1 Vyjednávání
Standardní ekonomická teorie se zabývá problémy, kde na straně prodávajících i kupujících je
mnoho hráčů (competitive equilibrium), řada kupujících a jeden prodávající (monopol), řada
prodávajících a jeden kupující (monopsony) či několik prodávajících a řada kupujících (oligopol).
Je evidentní, že existují situace, ve kterých je na obou stranách trhu velmi malý počet hráčů,
či dokonce pouze jeden prodávající a jeden kupující. V takových situacích modely předpokládající
velký počet či dokonce nekonečno účastníků nejsou příliš užitečné, neboť jejich závěry jsou většinou
ve sporu s pozorovaným chováním.
Mezi typické příklady patří vyjednávání mezi podnikatelem a investiční bankou, potenciálním
zaměstnavatelem a firmou, či kupujícím a prodávajícím apod. Charakteristické pro tyto příklady je,
že každý z účastníků má určitou představu o tom, jakou hodnotu pro něj daný objekt představuje
a za jakou cenu je schopen podobný či identický předmět koupit (prodat) na vedlejším trhu
(outside option). Je evidentní, že obchod může být uzavřen jen tehdy, je-li hodnota předmětu pro
prodávajícího nižší než pro kupujícího.
Příklad 1.0.1 Petr zvažuje prodej ojetého osobního automobilu svému kamarádovi Markovi. V
autobazaru dostal nabídku na 80 000 Kč. Marek je ochoten utratit za automobil podobného typu a
stáří až 90 000Kč. V jakém rozmezí lze očekávat cenu, na které se dohodnou za předpokladu, že
ani jeden z nich nechce tratit?
V řadě situací je zřejmé, jaká je hodnota vyjednávaného předmětu a proto většina ekonomických
modelů tuto hodnotu bere jako danou. Pro zjednodušení je dokonce obvyklé normalizovat
velikost
"
koláče" (pie) na 1. Toho lze dosáhnout tak, že se předpokládá, že hodnota předmětu je
pro prodávajícího nulová, zatímco pro kupujícího má hodnotu 1. Tento předpoklad většinou není
na újmu obecnosti.
Příklad 1.0.2 Právě jste se vrátili z dovolené v Rakousku a zůstalo vám 1000 EUR, které nepotřebujete
a za které můžete v nejlepší směnárně ve městě dostat 24 000 Kč. Váš kolega se na
dovolenou teprve chystá a zvažuje nákup 1000 EUR, za které by ovšem musel dát 24 500 Kč. Jaký
je váš maximální možný výdělek? Vašeho kolegy? Jaký výdělek očekáváte?
Existuje několik různých přístupů jak modelovat vyjednávání. My uvedeme dva základní.1
1.1 Nashovo vyjednávání
Nashův přístup k vyjednávání je axiomatický. Tedy místo detailního určení vyjednávacího procesu
je Nashova teorie postavena na vlastnostech (axiomech), které lze od
"
rozumné" teorie vyjednávání
očekávat. Po uvedení těchto axiomů ukážeme, že existuje jediné řešení. Pro zjednodušení budeme
uvažovat, že vyjednávání probíhá mezi dvěma hráči.
Základem Nashovi teorie vyjednávání je množina možných dohod (agreement set) A a bod
neshody (disagreement event) D. Dále vyžadujeme, aby každý hráč uměl možné výsledky vyjednávání
uspořádat podle svých preferencí, tedy aby měl tzv. preference ordering.2
Budeme pro
jednoduchost předpokládat, že existuje užitková funkce. Přestože představená teorie nepracuje
přímo s rizikem, postoj hráčů k riziku bude hrát podstatnou roli. Hráč si například nemusí být
jistý chováním ostatních hráčů a tedy ani tím, že vyjednávání dospěje do úspěšného konce. Tento
postoj je obsažen ve tvaru užitkové funkce, ale nezávisí na případné lineární transformaci této
funkce.
Důsledkem těchto předpokladů je, že problém vyjednávání lze přesunout z abstraktní množiny
AD do množiny reálných čísel, přesněji R2
. Základem Nashovy teorie vyjednávání tak je množina
S, která vznikne sjednocením všech dvojic (u1(a), u2(a)) pro všechny body a  A a bodu d =
(u1(D), u2(D)). Dvojce S, d je výchozí bod Nashovy teorie vyjednávání.
Definice 1.1.1 Problém vyjednávání je dvojce S, d , kde S  R2
je kompaktní a konvexní množina,
d  S a existuje s  S takové, že si di, i = 1, 2. Množinu všech problémů vyjednávání označujeme
1Následující dvě kapitoly jsou silně založeny na knize Osborne and Rubinstein (1990) zejména kapitolách 2 a
3. Pokud vím, tak v češtině jejich překlad není dostupný, ale kniha je dostupná v elektronické formě na adrese
http://ww2.economics.utoronto.ca/osborne/bm/ .
2Formálně jde o kompletní, transitivní a reflexivní binární relaci na množině A  D. Jak je v ekonomii zvykem,
tyto preference bereme jako daný, výchozí bod teorie.
1
B. Řešení problému vyjednávání je funkce f : B  R2
, která každému problému vyjednávání S, d
přiřadí jednoznačně prvek z S.
Nash dokázal, že řešení problému vyjednávání je jednoznačně určeno, pokud požadujeme
následující čtyři axiomy. První axiom vyžaduje, aby výsledek vyjednávání závisel pouze na preferencích
hráčů, nikoliv na konkrétní volbě užitkové funkce. Tedy první axiom požaduje, aby dvě
užitkové funkce, které se
"
liší" o lineární transformaci vedly ke stejnému řešení. Tento požadavek
je vlastně požadavkem na množinu S, d .
Axiom 1.1.2 (INV) Jestliže problém S , d vznikne z problému S, d pomocí lineární transformace
si  isi + i for i = 1, 2 a i > 0, pak fi(S , d ) = ifi(S, d) + i, pro i = 1, 2.
Druhý axiom vyžaduje, aby veškeré možné odlišnosti hráčů byly obsaženy v popisu hry, tedy
v množině S a bodu d, případně množině možných dohod a užitkových funkcí. Důsledkem je, že
pokud jsou tyto předpoklady symetrické, pak i výsledek vyjednávání musí být symetrický.
Axiom 1.1.3 (SYM) Nechť je problém vyjednávání S, d symetrický, tedy d1 = d2 a (s1, s2) 
S  (s2, s1)  S. Pak f1(S, d) = f2(S, d).
Další axiom vyžaduje, aby výsledek vyjednávání nezávisel na irelevantních alternativách. Tedy
požadujeme, aby se výsledek vyjednávání nezměnil, pokud odstraníme ty možné výsledky vyjednávání,
na kterých se hráči neshodnou.
Axiom 1.1.4 (IIA) Nechť S, d a T, d jsou dva problémy vyjednávání takové, že S  T a
f(T, d)  S. Pak f(S, d) = f(T, d).
Konečně, poslední axiom vyžaduje, aby po dokončení vyjednávání již neexistoval další prostor
k vylepšení dosažené dohody (renegotiation).
Axiom 1.1.5 (PAR) Nechť S, d je problém vyjednávání, s  S, t  S, ti > si, pro i = 1, 2. Pak
f(S, d) = s.
Nyní již můžeme přistoupit k samotné formulaci Nashovi věty.
Věta 1.1.6 Problém vyjednávání má jednoznačné řešení fN
: B  R2
vyhovující všem čtyřem
výše uvedeným axiomům (INV,SYM,IIA,PAR). Toto řešení je ve tvaru
fN
(S, d) = arg max
(d1,d2)(s1,s2)S
(s1 - d1)(s2 - d2)
.
Důkaz 1.1.7 Důkaz Nashovi věty provedeme postupně. Nejprve ukážeme, že uvedený předpis jednoznačně
definuje řešení, které splňuje uvedené axiomy. Pak ukážeme, že jakékoliv další řešení
splňující tyto axiomy se shoduje s Nashovým řešením.
* Množina {s  S : s  d} je kompaktní a funkce
H(s1, s2) = (s1 - d1)(s2 - d2)
je na této množině spojitá. Dále lze ukázat, že množina {s  S : s  d} je konvexní a funkce
H je striktně kvasi-konkávní3
a tedy nabývá maxima v jediném bodě. Tedy funkce fN
je dobře
definována.
* Funkce fN
splňuje čtyři axiomy.
3Funkce g : X  R, X  Rn je striktně kvasi-konkávní, pokud pro každé x, y  X, x = y, platí,
že g(x + (1 - )y) > min{f(x), f(y)} pro všechna   (0, 1). Lze ukázat, že pokud X je konvexní
množina, pak striktně kvasi-konkávní funkce nabývá maxima na X v jediném bodě. Důkaz lze nalézt na
http://homepages.nyu.edu/~caw1/UMath/Handouts/ums06h23convexsetsandfunctions.pdf
2
INV Mějme problém S, d a problém S , d , který vznikne lineární transformací pomocí
koeficientů (i, i), i = 1, 2. Pak s  S tehdy a jen tehdy, existuje-li s  S takové, že
si = isi + i, i = 1, 2. Pak ovšem
(s1 - d1)(s2 - d2) = 12(s1 - d1)(s2 - d2)
Pokud tedy (s
1, s
2) maximalizuje (s1 - d1)(s2 - d2) na množině S, pak (s
1 , s
2 ) maximalizuje
(s1 - d1)(s2 - d2) na množině S
SYM Funkce H je symetrická a pokud dosahuje maxima v bodě (s
1, s
2)  S, a problém S, d
je symetrický, pak (s
2, s
1)  S a d1 = d2 a tedy (s
2, s
1)  S rovněž maximalizuje H na
množině S. Protože řešení je určeno jednoznačně, musí platit, že s
1 = s
2.
IIA Pokud s
 S maximalizuje H na množině T, pak s
maximalizuje H i na množině
S  T.
PAR Kdyby existovalo vylepšení dohody t  S takové, že ti > si, i = 1, 2, pak by s nemaximalizovalo
H, neboť H je rostoucí v obou svých argumentech.
* Důkaz jednoznačnosti. Předpokládejme, že existuje funkce f splňující všechny čtyři axiomy.
Ukážeme, že f(S, d) = fN
(S, d) pro libovolný problém S, d . Nechť z = fN
(S, d)
Transformujeme problém S, d lineárně na problém S , (0, 0) , který má řešení v bodě
fN
(S , (0, 0)) = (1
2 , 1
2 ). Odpovídající předpis tohoto zobrazení je i = 1
2(zi-di) , i = - di
2(zi-di) , z =
z +. Tato definice je korektní, neboť existuje s takové,že si > di a proto i zi > di, i = 1, 2.
Pokud fN
(S , (0, 0)) = f(S , (0, 0)) pak i f(S, d) = fN
(S, d).
Nejprve ukážeme, že v S neexistuje bod (s1, s2) takový, že by s1+s2 > 1. Sporem, předpokládejme,
že takový bod existuje. Protože v bodě (1
2 , 1
2 ) je součet 1, body na spojnici bodů (1
2 , 1
2 ) a (s1, s2)
mají rovněž součet souřadnic větší než 1 a z konvexnosti množiny S vyplývá, že leží v S .
Pro  > 0 uvažme bod (t1, t2) = ((1 - )1
2 + s1, (1 - )1
2 + s2). Pro dostatečně malé  platí
t1t2 =
1
2
(1 - )((1 - )
1
2
+ (s2 + s1)) + 2
s1s2 > 1
Pak by ovšem (1
2 , 1
2 ) nemohlo být Nashovo řešení problému S , (0, 0) , což je spor s předpokladem.
Doplňme množinu S tak, aby tvořila trojúhelník
S = {(s1 , s2 |s1  0, s2  0, s1 + s2 
1
2
}
Takto vzniklý problém je symetrický, takže f(S , (0, 0)) = (1
2 , 1
2 ). Protože problém S , (0, 0)
již bod (1
2 , 1
2 ) obsahuje, přidali jsme jen irelevantní alternativy a řešení f tedy musí dát rovněž
f(S , (0, 0)) = (1
2 , 1
2 ). Protože se shoduje s Nashovým řešením na problému S , shoduje se i
na množině S a také S což jsme chtěli dokázat.
Příklad 1.1.8 Dva hráči vyjednávají o tom, jak si rozdělit 1 mKč. Pokud se nedohodnou, žádný z
nich nezíská nic (dolar propadne). Hráči mají možnost ponechat část peněz nerozdělenou. Předpokládejte,
že oba hráči se snaží maximalizovat svůj podíl a mají stejnou užitkovou funkci, která je konkávní.4
Jakým způsobem si rozdělí dolar? Jak se situace změní, jestliže jeden z nich se stane více averzní?
Řešení 1.1.9 Množina možných dohod je
A = {(a1, a2)  R2
: a1 + a2  1, ai  0, i = 1, 2}
a bod neshody D = (0, 0). Pokud oba hráči mají identickou užitkovou funkci, pak množina S musí
být symetrická a bod d = (u(0), u(0)) rovněž. Problém je tedy symetrický a Nashovo řešení je
tedy (1
2 , 1
2 ). Nyní předpokládejme, že hráč 2 se stane více averzní k riziku. Lze ukázat, že existuje
rostoucí konkávní funkce h : R  R taková, že jeho předchozí a současné preference platí
v2 = h  u2.
4Konkávní užitková funkce odpovídá situaci, kdy hráči mají averzi k riziku. Averze k riziku znamená, že hráč
preferuje jistou věc o dané hodnotě před loterií s toutéž střední hodnotou.
3
Pro zjednodušení označme v1 = u1 užitkovou funkci prvního hráče, která se nezměnila. Rovněž
celý problém normalizujme, h(0) = 0 a vi(0) = 0, ui(0) = 0. Máme tedy dva problémy. První
problém S, d s užitkovými funkcemi u1, u2, a problém S , d odpovídající užitkovým funkcím
v1, v2. Označme jejich řešení zu a zv, tedy řešení problému5
max
0z1
u1(z)u2(1 - z)
a podobně pro v. Předpokládejme, že funkce uivi, h jsou diferencovatelné a problém má vnitřní
řešení (0 < zu, zv < 1). Pak pro řešení platí podmínky prvního řádu, které vzniknou diferencováním
maximalizované funkce podle z. V případě užitkových funkcí ui to je
u1(z)u2(1 - z) - u1(z)u2(1 - z) = 0
což lze přepsat do tvaru
u1(z)
u1(z)
=
u2(1 - z)
u2(1 - z)
(1)
Podobně pro zv, kde rovnou dosadíme v2 = h  u2. Dostaneme
u1(z)
u1(z)
=
h (u2(1 - z))u2(1 - z)
h(u2(1 - z))
(2)
Protože ui jsou užitkové a tedy rostoucí funkce a protože ui jsou konkávní,6
výrazy na levé straně
předchozích rovnic jsou klesající v argumentu z. Dále lze ukázat,7
že h (t)t  h(t), t  0. Označme
tedy u2(1-z) = t a porovnejme pravé strany rovnic 1 a 2: h (t)
h(t)  1
t a tedy pravá strana rovnice 1 je
větší nebo rovna pravé straně rovnice 2. Protože výrazy na pravých stranách rovnic jsou rostoucí v
z, dokázali jsme, že hodnota z splňující rovnici 1 musí být větší než řešení rovnice 2. Tedy zu  zv.
Protože z označuje podíl prvního hráče, výsledek lze interpretovat tak, že pokud se druhý hráč stane
více averzní k riziku, pak podíl prvního hráče vzroste.
Poznámka 1.1.10 Lze ukázat, že žádný ze 4 axiomů není zbytečný. Důkaz spočívá v konstrukci
řešení, které se liší od Nashova, ale splňují vždy právě 3 axiomy.
INV Za řešení můžeme označit body (s1, s2) které maximalizují součet s1 +s2. Pokud jich je více,
tak zvolíme nejbližší přímce skrz bod D se sklonem -1.
SYM Je-li maximalizovaná funkce f(x, y) = (x - d1)
(y - d2)1IIA
Označme si maximální možný užitek hráče i na množině {s|s  S, s  D}. Definujme jako
řešení bod ležící na spojnici D a (s1, s2), na hr anici množiny S.
PAR Za řešení můžeme definovat právě bod D.
Příklad 1.1.11 (Lehký). Na příkladu A = {(a, a )|a + a  1, a  0, a  0}, u1(x) = x, u2(x) =
x, D = (0, 0) si ověřte, že hráč více averzní k riziku získá menší podíl (poloviční v tomto případě).
1.2 Rubinsteinovo vyjednávání
Na rozdíl od Nashova vyjednávání, Rubinsteinův přístup předpokládá danou strukturu vyjednávání,
tzv. střídajících se nabídek (alternating offers). Strategické modelování vyjednávání přináší řadu
potenciálních problémů. Příliš jednoduchý model nepostihne realitu a nedá tak užitečné výsledky.
Naopak příliš složitý model nemusí být řešitelný, nebo může poskytovat pouze povrchní, příliš
obecné výsledky. Na ekonomickém modelování je zřejmě nejtěžší umět najít rovnováhu mezi
přílišným a nedostatečným zjednodušením. Jak se to podařilo v tomto případě uvidíte sami.
Rubeinsteinův model předpokládá zjednodušenou strukturu vyjednávání. Hráči se střídají v
předkládání nabídek protihráči. Pokud je nabídka odmítnuta, protihráč získává možnost předložit
5Všimněte si, že podle axiomu PAR stačí hledat řešení na hranici, tedy stačí studovat situace, ve kterých jsou
všechny prostředky rozděleny beze zbytku.
6Pro diferencovatelné konkávní funkce platí, že jejich první derivace je klesající.
7Nakreslete si obrázek a uvědomte si, že h(0) = 0. Tvrzení platí obecněji, pro h(0)  0.
4
svoji nabídku. Hra končí v okamžiku, kdy je předložena nabídka přijata. Pokud není shody
dosaženo, získává každý hráč svoji vedlejší hodnotu (outside option). Motivací pro dosažení shody
v konečném čase jsou časové preference hráčů, neboli diskontování výhry. To znamená, že každý
hráč upřednostňuje získat danou hodnotu ihned, proti možnosti získat ji později. Mezičasové preference
jsou obvykle modelovány stejně jako úročení. Diskontní sazba  < 1 znamená, že předmět
o hodnotě 1 získaný okamžitě, má hodnotu , je-li získán v dalším kole. Dále množinu možných
dohod označujeme X a uvažujeme X  Rn
, kde n je počet hráčů (obvykle 2). I když teorii není
problém zobecnit, stejně jako v Nashově teorii můžeme problém přenést z obecné množiny X do
podmnožiny reálných čísel, a to díky užitkové funkci.
V nejjednodušším případě má předmět hodnotu 1, vedlejší možnost hodnotu 0, oba hráči mají
stejnou diskontní sazbu  > 1 a každý z hráčů maximalizuje hodnotu předmětu, kterou získá.8
Jednotlivá kola (v každém kole podává nabídku pravě jeden hráč) označujeme přirozenými čísly
T = {0, 1, 2, . . .}. V každém kole daný hráč podá nabídku 0  x  1, na kterou protihráč odpoví
ANO nebo NE. Výsledek hry označujeme pomocí dvojce (x, t), kde x označuje podíl, který první
hráč získal a t čas (index kola), ve kterém došlo ke shodě. Bod neshody označujeme D.
Podstatný, avšak poměrně přirozený předpoklad je, že hráče nezajímá, jakým způsobem došlo
k dojednání daného výsledku, pouze výsledek samotný. Například, pokud došlo k dohodě ve 3.
kole a oba hráči získají polovinu předmětu, pak jejich užitek nezáleží na tom, jaká nabídka byla
odmítnuta v prvním a druhém kole.
Na rozdíl od Nashova vyjednávání, kde podstatnou roli hrál postoj hráčů k riziku, zde je
rozhodujícím postoj k času--trpělivost. Musíme tedy specifikovat preference hráčů přes množinu
(X × T)  {D}. V našem případě se primárně budeme zabývat případem, kdy X = [0, 1], ale
teorii lze velmi snadno zobecnit. Po preferencích ( i)požadujeme, aby byly kompletní, transitivní
a reflexivní. Tím již máme naznačenu extenzivní formu hry. Formální definici vynecháváme.
Pro hlavní výsledky modelu musíme upřesnit mezičasové preference.
Axiom 1.2.1 Neshoda je nejhorší možný výsledek. Tedy každý shoda (x, t)  X ×T je preferována
před neshodou D : (x, t) i D, pro všechna i.
Druhý axiom požaduje, aby hráči usilovali o získání daného předmětu. Tedy aby mezi shodami
v daném kole preferovaly ty, které jim zaručí větší podíl.
Axiom 1.2.2 Předmět je hodnotný (desirable) . V libovolném kole t  T a pro libovolné x, y  X
platí, že (x, t) i (y, t) tehdy a jen tehdy xi > yi.
Dále požadujeme, aby hráči byli netrpělivý, tedy každá shoda byla preferována dříve.
Axiom 1.2.3 Pro každé t < s  T a x  X platí (x, t) i (x, s)). Preference je striktní, pokud
hráč něco získá xi > 0.
Čtvrtý axiom zaručuje, že preference hráčů jsou spojité, v následujícím smyslu:
Axiom 1.2.4 Nechť {(xn, t)}
n=1 a {(yn, s)}
n=1 jsou posloupnosti z (X, T) takové, že limnxn =
x a limnyn = y. Pak (x, t) i (y, s), pokud (xn, t) i (yn, s) pro všechna n.
Lze ukázat, že poslední tři axiomy jsou ekvivalentní požadavku, že existuje spojitá užitková
funkce Ui : X×T  R, rostoucí v prvním argumentu, klesající ve druhém pokud je první argument
kladný.
Pátý axiom výrazně zjednodušuje následující analýzu. Axiom požaduje, aby preference mezi
dvěma dohodami (x, t), (y, s) záležela pouze na x, y a vzdálenosti t a s, tedy t - s.
Axiom 1.2.5 Pro každé t  T, x, y  X platí, že (x, t) i (y, t + 1) tehdy a jen tehdy (x, 0) i
(y, 1).
Je užitečné zavést pojem současné hodnoty (present value) dohody (x, t). Současná hodnota je
takový podíl y získaný okamžitě (v kole 0), takový, že daný hráč je indiferentní mezi (y, 0) a (x, t).
Označujeme vi(xi, t) = yi, (x, t) i (y, 0). Pokud žádné takové y neexistuje, volíme vi(xi, t) = 0.
8Případ, kdy je předmět nedělitelný, je možné snadno vyřešit pomocí loterie. Návrhy v takovém případě
nepředstavují podíl na daném předmětu, ale pravděpodobnosti, se kterou předmět danému hráči připadne v dané
loterii. Pro zjednodušení budeme dále předpokládat, že předmět o který vyjednávání probíhá, je dokonale dělitelný.
5
Takto definovaná současná hodnota má očekávané vlastnosti. Platí, že (y, t) i (x, s) tehdy a jen
tehdy, když vi(yi, t) > vi(xi, s).
Poslední podmínkou na mezičasové preference je, že náklady spojené z prodlení jsou vyšší pro
vyšší podíl.
Axiom 1.2.6 Rozdíl xi - vi(xi, 1) je rostoucí funkcí xi.
Příklad 1.2.7 (Lehký). Ověřte, že užitková funkce Ui(xi, t) = xi - cit, ui(D) = - splňuje
axiomy 1.2.1 až 1.2.5, ale ne axiom 1.2.6.
Příklad 1.2.8 (Lehký). Ověřte, že užitková funkce Ui(xi, t) = t
xi, ui(D) = - splňuje axiomy
1.2.1 až 1.2.6.
Příklad 1.2.9 Předpokládejte že užitkovou funkci Ui(xi, t) = t
xi obou hráčů. Nalezněte nějakou
Nashovu rovnováhu. Dokážete pro každý výsledek (x, 0), tedy dohodu na 0  x  1 v nultém kole
najít Nashovu rovnováhu, která by k takovému výsledku vedla? Pro jednoduchost můžete uvažovat,
že si hráči dělí koláč o velikosti 1.
Řešení 1.2.10 Vyřešíme druhou část problému. Popíšeme stacionární strategie, které vedou k
výsledku (x, 0). Strategie prvního hráče je nabídnout x a přijmout každou nabídku, která mu
zaručuje alespoň x. Druhý hráč má stejnou strategii. Tato strategie vede okamžitě k výsledku x.
Jde o Nashovu rovnováhu? Hráč 2 nemůže nikdy dosáhnout lepšího výsledku než x a je tedy pro něj
optimální jej přijmout hned v prvním kole. Podobně pro prvního hráče. Neexistuje tedy výhodná
odchylka (profitable deviation) a tedy jde o Nashovu rovnováhu.
Příklad 1.2.11 Předpokládejte že užitkovou funkci Ui(xi, t) = t
xi obou hráčů. Omezte se na
následující strategie: Hráč 1 nabídne ^x a je akceptuje jakékoliv y  ^y.9
Druhý hráč nabízí ^y a
přijme nabídku alespoň ^x. Pro jaké hodnoty ^x, ^y jde o DRVP (subgame perfect equilibrium)?
Řešení 1.2.12 Definice DRVP vyžaduje, aby popsané strategie tvořili Nashovu rovnováhu v každé
podhře (subgame). Začněme tedy podhrou v čase t, kdy hráč 1 dává nabídku. Popsané strategie
nezávisí na historii a proto není relevantní, jaké předchozí nabídky byly odmítnuty. V DRVP hráč
2 musí odmítnout každou nabídku nižší než x2 = 1 - x. To je optimální jen tehdy, kdy (x , t) 2
(^y, t + 1), x  ^x, neboť nabídka hráče 2 v dalším kole (y) je přijata.10
Vzhledem ke spojitosti
(1.2.4) musí tedy platit, že (^x, t) 2 (^y, t + 1) a podle 1.2.5 tedy (^x, 0) 2 (^y, 1). Protože hráč 2
zároveň přijme nabídku x v nultém kole, musí platit i (^x, 0) 2 (^y, 1). Takovou situaci označujeme
(^x, 0) 2 (^y, 1). Podobná úvaha pro prvního hráče dává (^x, 1) 1 (^y, 0).
Dosadíme-li specifickou užitkovou funkci Ui(xi, t) = t
xi, pak dostaneme rovnice pro ^x a ^y:
(1 - ^x) = (1 - ^y), ^x = y.
Řešení tohoto systému je
^x =
1
1 - 
, ^y =

1 - 
.
Toto je jediné řešení DRVP problému.
Hlavní výsledek Rubensteinovy teorie je, že toto DRVP řešení je jednoznačné a to i když
připustíme nestacionární strategie. Před jejím formulováním ale uvedeme potřebné lemma. Jeho
důkaz je ponechán na čtenáři.
Lemma 1.2.13 Jestliže preference hráčů splňují axiomy 1.2.2 až 1.2.6, pak existuje jediné řešení
(x
, y
)  X × X rovnice
y
1 = v1(x
1, 1), x
2 = v2(y
2, 1) (3)
9Protože dělíme jednotkový koláč, pro zjednodušení budeme všechny nabídky popisovat podílem příslušejícím
prvnímu hráči. Pokud tedy říkáme, že nějaký hráč nabízí x, tak to znamená, že navrhuje dohodu na rozdělení
(x, 1 - x), kde první složka přísluší prvnímu hráči.
10Implicitně využíváme výsledku teorie her, že stačí studovat jednorázové odchylky od rovnovážné strategie.
6
Věta 1.2.14 Pokud preference hráčů splňují axiomy 1.2.1 až 1.2.6, pak vyjednávání ve formě
střídajících se nabídek má jediné DRVP řešení. Toto řešení je určeno rovnicemi (3). Strategie
prvního hráče je nabídnout x
a přijmout jakoukoliv nabídku, která mu zaručuje alespoň y
1. Druhý
hráč vždy nabízí y
a přijme každou nabídku, která mu zaručuje alespoň x
2. Výsledkem hry je
okamžitá dohoda (x, 0).
Důkaz 1.2.15 Důkaz lze provést v několika krocích. Jednoznačnost DRVP, pokud je řešením
požadovaných rovnic, plyne z toho, že systém (3) má jediné řešení, jak jsme ukázali v lemmatu
1.2.13. Druhým krokem je ukázat, že jde o DRVP řešení. V dalším kroku je vhodné ukázat, že
každé další DRVP řešení zaručuje stejný zisk jako dokazované řešení. Závěrečným krokem je pak
důkaz, že DRVP které zaručuje stejný zisk je dokazované DRVP.
Začneme důkazem, že jde o DRVP řešení. Definice DRVP (viz první přednáška) je taková, že
strategie musí indukovat Nashovu rovnováhu v každé podhře. Nechť jsme tedy v čase t a nechť je to
první hráč, kdo dává nabídku. Případ, kdy druhý hráč podává nabídku se řeší analogicky. Musíme
zkusit najít výhodnou odchylku pro prvního hráče při dané strategii druhého hráče, a naopak.
Druhý hráč tedy je ochoten přijmout nabídku neostře lepší než (x
, t) a nabídne (y
) v dalším
kole, tj. kole t + 1. Pokud první hráč nabídne dohodu, která je pro něj výhodnější a tak méně
výhodná pro druhého hráče, tato nabídka bude odmítnuta. V dalším kole pak první hráč přijme
nabídku druhého hráče (y
, t+1), čímž si ale nepolepší z definice x
, y
. Pokud by nabídku druhého
hráče odmítl, mohl by získat x
v t + 2 a později, což pro něj není výhodné. Je samozřejmé, že
nabídnout méně než x
pro prvního hráče rovněž není výhodné, přestože tato nabídka by byla ihned
přijata. Shrnuto: Pokud první hráč chce více, tak toho nedosáhne, jeho požadavek je odmítnut a k
dalším dohodám může dojít později. Chtít méně není výhodné.
Pokud bychom zafixovali strategii prvního hráče a podívali se na možnosti druhé hráče, tak
zjistíme, že pro něj přijmout x
v čase t je stejné jako získat y
o kolo později, opět z definice
x
, y
. Požadovat v některém kole více (ať už při odmítání nabídky či podávání vlastní nabídky)
mu tedy nemůže polepšit, Klíčové je, že strategie prvního hráče se nemění.
Jde tedy o Nashovu rovnováhu v podhře, ve které je na tahu první hráč. V podstatě identická
úvaha platí v situaci, kdy je v daném kole na tahu druhý hráč. Daná strategie tedy tvoří DRVP.
Zbývá náročnější část důkazu, kdy musíme ukázat, že jde o jedinou DRVP. Postup důkazu lze použít
i v situaci, kdy je zadán podobný problém a hledáme jeho řešní, nikoliv jen důkaz jednoznačnosti.
Označme Mi a mi nejvyšší a nejnižší možnou výhru v DRVP v okamžiku, kdy je na tahu hráč
i. Jakmile ukážeme, že
M1 = m1 = x
1, M2 = m2 = y
2, (4)
bude důkaz jednoznačnosti ukončen díky následujícímu argumentu: V libovolné DRVP musí být
první nabídka přijata, ať už je na tahu první nebo druhý hráč. Nechť je například na tahu první
hráč. Kdyby došlo k odmítnutí první nabídky, následuje podhra, ve které je na tahu druhý hráč
a který tedy vyhraje y
2. První hráč vyhraje tedy nejvíce y
1, což má současnou hodnotu v1(y
1, 1)
což je méně než y1 v čase 0 a to je méně než x1 v čase 0. Kdyby tedy šlo o SPE ve kterém by
první nabídka prvního hráče byla odmítnuta, neplatilo by (4). Podobně kdyby začínal druhý hráč a
jeho první nabídka by byla odmítnuta. Takže pokud první hráč nabídne x
, je jeho nabídka druhým
hráčem přijata a když druhý hráč nabídne y
, je jeho nabídka přijata prvním hráčem. První hráč
rovněž odmítne jakoukoliv nabídku, která mu v daném okamžiku nabízí méně než y
1 (díky tomu,
co by mu zaručilo čekání o jedno kolo více) a přijal by cokoliv, co nabízí více. Podobně pro druhého
hráče.
Zbývá tedy důkaz (4). Nejprve ukážeme, že m2  1 - v1(M1, 1). Tento zápis znamená, že
nejmenší hodnota výhry druhého hráče musí být doplněk k nejvyšší možné hodnotě výhry prvního
hráče o kolo později. Jinými slovy, když je na tahu druhý hráč, tak může nabídnout prvnímu hráči
tolik, jakou hodnotu pro něj (prvního hráče) má výhra, kdyby začínal o kolo později. Nejvíce, čeho
může první hráč dosáhnout je M1 když je na tahu, tedy o kolo později. Současná hodnota je pro něj
v1(M1, 1) a pokud je mu nabídnuto alespoň tolik druhým hráčem když je na tahu, nabídku přijme.
Nyní ukážeme, že M1  1 - v2(m2, 1). Když druhý hráč odmítne nabídku prvního hráče, pak
v druhém kole získá alespoň m2 a tedy odmítne cokoliv, co mu v prvním kole nezaručí současnou
hodnotu této výhry v druhém kole, tedy v2(m2, 1). První hráč nemůže tedy získat více než 1 v2(m2,
1) v prvním kole. Protože ale ani v dalších kolech nemůže získat více, platí M1  1 v2(m2,
1)
7
Stejnými argumenty lze ukázat i m1  1 - v2(M2, 1) a M2  1 - v1(m1, 1). Dále víme, že
m2  y
2, M1  x
1 a m1  y1, M2  x
2. Protože jde o dělení koláče o velikosti 1, platí i x1 + x2 =
1, y1 + y2 = 1. Z těchto vztahů musíme ukázat M2 = m2 = y
2 a M1 = m1 = y
1. I když to není
obtížné, důkaz přece jenom není zcela triviální.
Následující postup ukazuje jednodušší způsob jak najít DRVP.
Příklad 1.2.16 Nechť oba hráči mají stejne  < 1 a dělí si koláč o velikosti 1. Naleznětě DRVP.
Řešení 1.2.17 Označme M1 maximum, které si může první hráč zajistit v DRVP, když je na
tahu. Začněme studovat strategie odzadu, například od třetího kola. Ve druhém kole dává nabídku
druhý hráč. Jestliže první hráč v následujícím kole může získat M, musí mu druhý hráč nabídnout
M a nechat si tak 1 - M. V prvním kole tak první hráč musí nabídnout druhému hráči alespoň
(1 - M) a ponechat si tak může 1 - (1 - M). V rovnováze částka, kterou takto může získat
musí být samozřejmě rovna M a tak M = 1 - (1 - M), což má řešení M = 1
1+ . Všimněte
si, že tento argument nezávisí na tom, že jde o maximum. Argument platí pro libovolnou DRVP.
Výsledek je ale stejný, existuje jediné řešení, M = 1
1+ . Každý hráč je ochoten přijmout nabídku
ve výši 1 - M = 
1+ . Zatím jsme nedokázali, že jde o DRVP, ale ukázali jsme, že pokud jde o
DRVP, musí jít o rovnováhu jedinou. Zde můžeme použít část formálního důkazu.
Tento postup je výhodný pro hledání řešení podobných příkladů, například když se liší diskontní
faktory, nebo hráči mají vedlejší příležitost (outside option).
Příklad 1.2.18 (Lehký). Uvažte stejný příklad s jedinou modifikací. Diskontní faktory hráčů se
liší, a jsou 1, 2. Odvodťe DRVP.
Řešení 1.2.19 Mělo by vám vyjít řešení
x
1 =
1 - 2
1 - 12
, y
1 =
1(1 - 2)
1 - 12
(5)
Všimněte si, že když se daný hráč stane trpělivějším (i vzroste), pak se jeho podíl zvýší. Pokud
se některý hráč stane nekonečně trpělivý i  1, pak získá koláč celý.
Příklad 1.2.20 Obtížnost: střední. Vyřešte příklad s dělením jednotkového koláče při stejných
diskontních faktorech za situace, kdy první hráč předkládá nabídku ve dvou po sobě následujících
kolech (tedy v kolech 0,1,3,4, atd.).
Příklad 1.2.21 Vyřešte problém vyjednávání, kdy druhý hráč má možnost ukončit vyjednávání
poté, co mu první hráč předloží nabídku, a tím získá b. První hráč získá a, přičemž platí a+b < 1.
Diskutujte DRVP řešení. Kdy (tj. pro jaké hodnoty b možnost ukončit vyjednávání zvýší rovnovážný
zisk prvního hráče?
Řešení 1.2.22 Označme m výhru prvního hráče v DRVP. V případě, že druhý hráč neukončí
hru po nabídce od prvního hráče, musí dát prvnímu hráči nabídku alespoň ve výši m. Druhému
hráči pak zůstane 1 - m. První hráč v předchozím kole musí nabídnout druhému hráči alespoň
(1 - m). Druhý hráč dá přednost přednost ukončení hry pokud b > (1 - m), jinak přijme
nabídku (1 - m). Pokud nabídku přijme, pak stejně jako základním příkladu m = 1
1+ . Pokud
b > (1 - m), pak první hráč nabídne druhému hráči právě b, ten tuto nabídku přijme a první
hráč získá m = 1 - b. Platí, že b < (1 - m) pro m = 1
1+ tehdy a jen tehdy, pokud b < 
+1 .
Výsledkem je, že pro dostatečně malé b < 
+1 je m = 1
+1 , jinak m = 1-b. Všimněte si, že pro
dostatečně malá b zvýšení b na výsledku nic nezmění. Srovnejte tento výsledek s výsledek Nashova
vyjednávaní.
Reference
Osborne, M. J., and A. Rubinstein (1990): Bargaining and Markets. Academic Press Inc.
8