Teorie vyjednávání
Jan Mysliveček
Přf Muni
7.listopadu 2008
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 1 / 29
Trhy a vyjednávání
Dokonalá konkurence (mnoho prodávajících a kupujících)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 2 / 29
Trhy a vyjednávání
Dokonalá konkurence (mnoho prodávajících a kupujících)
Monopol (jeden prodávající a mnoho kupujících)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 2 / 29
Trhy a vyjednávání
Dokonalá konkurence (mnoho prodávajících a kupujících)
Monopol (jeden prodávající a mnoho kupujících)
Monopsony (jeden kupující, mnoho prodávajících)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 2 / 29
Trhy a vyjednávání
Dokonalá konkurence (mnoho prodávajících a kupujících)
Monopol (jeden prodávající a mnoho kupujících)
Monopsony (jeden kupující, mnoho prodávajících)
Oligopol, duopol (málo prodávajících, mnoho kupujících)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 2 / 29
Trhy a vyjednávání
Dokonalá konkurence (mnoho prodávajících a kupujících)
Monopol (jeden prodávající a mnoho kupujících)
Monopsony (jeden kupující, mnoho prodávajících)
Oligopol, duopol (málo prodávajících, mnoho kupujících)
Aukce (jeden prodávající, více kupujících)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 2 / 29
Trhy a vyjednávání
Dokonalá konkurence (mnoho prodávajících a kupujících)
Monopol (jeden prodávající a mnoho kupujících)
Monopsony (jeden kupující, mnoho prodávajících)
Oligopol, duopol (málo prodávajících, mnoho kupujících)
Aukce (jeden prodávající, více kupujících)
Jeden kupující a jeden prodávající?
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 2 / 29
Dvojstranné vyjednávání
Potenciální kupec, vlastník předmětu
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 3 / 29
Dvojstranné vyjednávání
Potenciální kupec, vlastník předmětu
Hodnota větší pro zájemce než pro vlastníka
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 3 / 29
Dvojstranné vyjednávání
Potenciální kupec, vlastník předmětu
Hodnota větší pro zájemce než pro vlastníka
Existuje prostor pro obchod
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 3 / 29
Dvojstranné vyjednávání
Potenciální kupec, vlastník předmětu
Hodnota větší pro zájemce než pro vlastníka
Existuje prostor pro obchod
Na jaké ceně se shodnou?
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 3 / 29
Dvojstranné vyjednávání
Potenciální kupec, vlastník předmětu
Hodnota větší pro zájemce než pro vlastníka
Existuje prostor pro obchod
Na jaké ceně se shodnou?
Všechny okolnosti mohou být známé
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 3 / 29
Dvojstranné vyjednávání
Potenciální kupec, vlastník předmětu
Hodnota větší pro zájemce než pro vlastníka
Existuje prostor pro obchod
Na jaké ceně se shodnou?
Všechny okolnosti mohou být známé
Dva základní přístupy
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 3 / 29
Dvojstranné vyjednávání
Potenciální kupec, vlastník předmětu
Hodnota větší pro zájemce než pro vlastníka
Existuje prostor pro obchod
Na jaké ceně se shodnou?
Všechny okolnosti mohou být známé
Dva základní přístupy
Axiomatický: Nashovo vyjednávání
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 3 / 29
Dvojstranné vyjednávání
Potenciální kupec, vlastník předmětu
Hodnota větší pro zájemce než pro vlastníka
Existuje prostor pro obchod
Na jaké ceně se shodnou?
Všechny okolnosti mohou být známé
Dva základní přístupy
Axiomatický: Nashovo vyjednávání
Strukturální: Rubinsteinovo vyjednávání
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 3 / 29
Axiomatický model
Soustava základních požadavků na výsledek vyjednávání
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 4 / 29
Axiomatický model
Soustava základních požadavků na výsledek vyjednávání
Předpoklady: množina možných dohod A a bod neshody D, dva hráči
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 4 / 29
Axiomatický model
Soustava základních požadavků na výsledek vyjednávání
Předpoklady: množina možných dohod A a bod neshody D, dva hráči
Preference i na A  D pro každého hráče
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 4 / 29
Axiomatický model
Soustava základních požadavků na výsledek vyjednávání
Předpoklady: množina možných dohod A a bod neshody D, dva hráči
Preference i na A  D pro každého hráče
Alternativně užitková funkce u : A  D  R
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 4 / 29
Axiomatický model
Soustava základních požadavků na výsledek vyjednávání
Předpoklady: množina možných dohod A a bod neshody D, dva hráči
Preference i na A  D pro každého hráče
Alternativně užitková funkce u : A  D  R
Pak lze uvažovat S  R2, d = (u1(d), u2(d)) :
S = {u1(a), u2(a)|a  A  D, }
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 4 / 29
Axiomatický model
Soustava základních požadavků na výsledek vyjednávání
Předpoklady: množina možných dohod A a bod neshody D, dva hráči
Preference i na A  D pro každého hráče
Alternativně užitková funkce u : A  D  R
Pak lze uvažovat S  R2, d = (u1(d), u2(d)) :
S = {u1(a), u2(a)|a  A  D, }
Problém vyjednávání je S, d
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 4 / 29
Axiomatický model
Soustava základních požadavků na výsledek vyjednávání
Předpoklady: množina možných dohod A a bod neshody D, dva hráči
Preference i na A  D pro každého hráče
Alternativně užitková funkce u : A  D  R
Pak lze uvažovat S  R2, d = (u1(d), u2(d)) :
S = {u1(a), u2(a)|a  A  D, }
Problém vyjednávání je S, d
Předpokládáme S kompaktní, konvexní množina
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 4 / 29
Axiomatický model
Soustava základních požadavků na výsledek vyjednávání
Předpoklady: množina možných dohod A a bod neshody D, dva hráči
Preference i na A  D pro každého hráče
Alternativně užitková funkce u : A  D  R
Pak lze uvažovat S  R2, d = (u1(d), u2(d)) :
S = {u1(a), u2(a)|a  A  D, }
Problém vyjednávání je S, d
Předpokládáme S kompaktní, konvexní množina
Požadujeme existenci s  S, s i d, i = 1, 2
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 4 / 29
Axiomy
Množina všech problémů B.
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 5 / 29
Axiomy
Množina všech problémů B.
Řešení vyjednávacího problému je f : B  R2, tak, že f ( S, d )  S
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 5 / 29
Axiomy
Množina všech problémů B.
Řešení vyjednávacího problému je f : B  R2, tak, že f ( S, d )  S
Na řešení vyjednávacího problému máme 4 podmínky
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 5 / 29
Axiomy
Množina všech problémů B.
Řešení vyjednávacího problému je f : B  R2, tak, že f ( S, d )  S
Na řešení vyjednávacího problému máme 4 podmínky
Lineární transformace užitkové funkce nezmění výsledek
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 5 / 29
Axiomy
Množina všech problémů B.
Řešení vyjednávacího problému je f : B  R2, tak, že f ( S, d )  S
Na řešení vyjednávacího problému máme 4 podmínky
Lineární transformace užitkové funkce nezmění výsledek
Axiom (INV)
Jestliže problém S , d vznikne z problému S, d pomocí lineární
transformace si  i si + i for i = 1, 2 a i > 0, pak
fi (S , d ) = i fi (S, d) + i , pro i = 1, 2.
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 5 / 29
Axiomy
Množina všech problémů B.
Řešení vyjednávacího problému je f : B  R2, tak, že f ( S, d )  S
Na řešení vyjednávacího problému máme 4 podmínky
Lineární transformace užitkové funkce nezmění výsledek
Axiom (INV)
Jestliže problém S , d vznikne z problému S, d pomocí lineární
transformace si  i si + i for i = 1, 2 a i > 0, pak
fi (S , d ) = i fi (S, d) + i , pro i = 1, 2.
Symetrický problém má symetrické řešení (informace o hráčích je
obsažena jen v S a d)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 5 / 29
Axiomy
Množina všech problémů B.
Řešení vyjednávacího problému je f : B  R2, tak, že f ( S, d )  S
Na řešení vyjednávacího problému máme 4 podmínky
Lineární transformace užitkové funkce nezmění výsledek
Axiom (INV)
Jestliže problém S , d vznikne z problému S, d pomocí lineární
transformace si  i si + i for i = 1, 2 a i > 0, pak
fi (S , d ) = i fi (S, d) + i , pro i = 1, 2.
Symetrický problém má symetrické řešení (informace o hráčích je
obsažena jen v S a d)
Axiom (SYM)
Nechť je problém vyjednávání S, d symetrický, tedy d1 = d2 a
(s1, s2)  S  (s2, s1)  S. Pak f1(S, d) = f2(S, d).
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 5 / 29
Zbylé axiomy
Irelevantní alternativy nezmění výsledek vyjednávání
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 6 / 29
Zbylé axiomy
Irelevantní alternativy nezmění výsledek vyjednávání
Axiom (IIA)
Nechť S, d a T, d jsou dva problémy vyjednávání takové, že S  T a
f (T, d)  S. Pak f (S, d) = f (T, d).
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 6 / 29
Zbylé axiomy
Irelevantní alternativy nezmění výsledek vyjednávání
Axiom (IIA)
Nechť S, d a T, d jsou dva problémy vyjednávání takové, že S  T a
f (T, d)  S. Pak f (S, d) = f (T, d).
Výsledek vyjednávání nedává prostor k vylepšení
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 6 / 29
Zbylé axiomy
Irelevantní alternativy nezmění výsledek vyjednávání
Axiom (IIA)
Nechť S, d a T, d jsou dva problémy vyjednávání takové, že S  T a
f (T, d)  S. Pak f (S, d) = f (T, d).
Výsledek vyjednávání nedává prostor k vylepšení
Axiom (PAR)
Nechť S, d je problém vyjednávání, s  S, t  S, ti > si , pro i = 1, 2.
Pak f (S, d) = s.
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 6 / 29
Zbylé axiomy
Irelevantní alternativy nezmění výsledek vyjednávání
Axiom (IIA)
Nechť S, d a T, d jsou dva problémy vyjednávání takové, že S  T a
f (T, d)  S. Pak f (S, d) = f (T, d).
Výsledek vyjednávání nedává prostor k vylepšení
Axiom (PAR)
Nechť S, d je problém vyjednávání, s  S, t  S, ti > si , pro i = 1, 2.
Pak f (S, d) = s.
Dávají smysl?
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 6 / 29
Zbylé axiomy
Irelevantní alternativy nezmění výsledek vyjednávání
Axiom (IIA)
Nechť S, d a T, d jsou dva problémy vyjednávání takové, že S  T a
f (T, d)  S. Pak f (S, d) = f (T, d).
Výsledek vyjednávání nedává prostor k vylepšení
Axiom (PAR)
Nechť S, d je problém vyjednávání, s  S, t  S, ti > si , pro i = 1, 2.
Pak f (S, d) = s.
Dávají smysl?
Připouštějí řešení?
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 6 / 29
Nashova věta
Věta
Problém vyjednávání má jednoznačné řešení f N : B  R2 vyhovující všem
čtyřem výše uvedeným axiomům (INV,SYM,IIA,PAR). Toto řešení je ve
tvaru
f N
(S, d) = arg max
(d1,d2)(s1,s2)S
(s1 - d1)(s2 - d2)
.
Důkaz
1 Jde o řešení
2 Splňuje všechny axiomy
3 Každé další řešení je splňující se s ním shoduje
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 7 / 29
Důkaz
Jde o řešení, neboť
Množina {s  S : s  d} je kompaktní, konvexní
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 8 / 29
Důkaz
Jde o řešení, neboť
Množina {s  S : s  d} je kompaktní, konvexní
Funkce H(s1, s2) = (s1 - d1)(s2 - d2) je spojitá a striktně
kvasi-konkávní
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 8 / 29
Důkaz
Jde o řešení, neboť
Množina {s  S : s  d} je kompaktní, konvexní
Funkce H(s1, s2) = (s1 - d1)(s2 - d2) je spojitá a striktně
kvasi-konkávní
Fce g : X  R, X  Rn je striktně kvasi-konkávní, pokud pro každé
x, y  X, x = y, platí, že g(x + (1 - )y) > min{f (x), f (y)} pro
všechna   (0, 1).
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 8 / 29
Důkaz
Jde o řešení, neboť
Množina {s  S : s  d} je kompaktní, konvexní
Funkce H(s1, s2) = (s1 - d1)(s2 - d2) je spojitá a striktně
kvasi-konkávní
Fce g : X  R, X  Rn je striktně kvasi-konkávní, pokud pro každé
x, y  X, x = y, platí, že g(x + (1 - )y) > min{f (x), f (y)} pro
všechna   (0, 1).
Řešení existuje a je jednoznačné
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 8 / 29
Důkaz
Jde o řešení, neboť
Množina {s  S : s  d} je kompaktní, konvexní
Funkce H(s1, s2) = (s1 - d1)(s2 - d2) je spojitá a striktně
kvasi-konkávní
Fce g : X  R, X  Rn je striktně kvasi-konkávní, pokud pro každé
x, y  X, x = y, platí, že g(x + (1 - )y) > min{f (x), f (y)} pro
všechna   (0, 1).
Řešení existuje a je jednoznačné
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 8 / 29
Důkaz
Jde o řešení, neboť
Množina {s  S : s  d} je kompaktní, konvexní
Funkce H(s1, s2) = (s1 - d1)(s2 - d2) je spojitá a striktně
kvasi-konkávní
Fce g : X  R, X  Rn je striktně kvasi-konkávní, pokud pro každé
x, y  X, x = y, platí, že g(x + (1 - )y) > min{f (x), f (y)} pro
všechna   (0, 1).
Řešení existuje a je jednoznačné
Axiomy jsou splněny:
INV Mějme problém S, d a problém S , d , který vznikne lineární
transformací pomocí koeficientů (i , i ), i = 1, 2. Pa k s  S tehdy
a jen tehdy, existuje-li s  S takové, že si = i si + i , i = 1, 2. Pak
ovšem
(s1 - d1)(s2 - d2) = 12(s1 - d1)(s2 - d2)
Pokud tedy (s
1 , s
2 ) maximalizuje (s1 - d1)(s2 - d2) na množině S,
pak (s
1 , s
2 ) maximalizuje (s1 - d1)(s2 - d2) na množině S
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 8 / 29
Důkazy
SYM Funkce H je symetrická a pokud dosahuje maxima v bodě
(s
1 , s
2 )  S, a problém S, d je symetrický, pak (s
2 , s
1 )  S a
d1 = d2 a tedy (s
2 , s
1 )  S rovněž maximalizuje H na množině S.
Protože řešení je určeno jednoznačně, musí platit, že s
1 = s
2 .
IIA Pokud s  S maximalizuje H na množině T, pak s maximalizuje H
i na množině S  T.
PAR Kdyby existovalo vylepšení dohody t  S takové, že ti > si , i = 1, 2,
pak by s nemaximalizovalo H, neboť H je rostoucí v obou svých
argumentech.
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 9 / 29
Jednoznačnost
Důkaz jednoznačnosti:
transformujeme S na S tak, aby d = (0, 0), f N (S , d ) = (1
2 , 1
2 ).
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 10 / 29
Jednoznačnost
Důkaz jednoznačnosti:
transformujeme S na S tak, aby d = (0, 0), f N (S , d ) = (1
2 , 1
2 ).
Označíme (z1, z2) = f N (S, d)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 10 / 29
Jednoznačnost
Důkaz jednoznačnosti:
transformujeme S na S tak, aby d = (0, 0), f N (S , d ) = (1
2 , 1
2 ).
Označíme (z1, z2) = f N (S, d)
Lineární transformace
i =
1
2(zi - di )
, i = -
di
2(zi - di )
, z = z + 
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 10 / 29
Jednoznačnost
Důkaz jednoznačnosti:
transformujeme S na S tak, aby d = (0, 0), f N (S , d ) = (1
2 , 1
2 ).
Označíme (z1, z2) = f N (S, d)
Lineární transformace
i =
1
2(zi - di )
, i = -
di
2(zi - di )
, z = z + 
V množině neexistují body s s1 + s2 > 1
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 10 / 29
Jednoznačnost
Důkaz jednoznačnosti:
transformujeme S na S tak, aby d = (0, 0), f N (S , d ) = (1
2 , 1
2 ).
Označíme (z1, z2) = f N (S, d)
Lineární transformace
i =
1
2(zi - di )
, i = -
di
2(zi - di )
, z = z + 
V množině neexistují body s s1 + s2 > 1
Kdyby ano, pak by
t1t2 =
1
2
(1 - )((1 - )
1
2
+ (s2 + s1)) + 2
s1s2 > 1
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 10 / 29
Jednoznačnost
Důkaz jednoznačnosti:
transformujeme S na S tak, aby d = (0, 0), f N (S , d ) = (1
2 , 1
2 ).
Označíme (z1, z2) = f N (S, d)
Lineární transformace
i =
1
2(zi - di )
, i = -
di
2(zi - di )
, z = z + 
V množině neexistují body s s1 + s2 > 1
Kdyby ano, pak by
t1t2 =
1
2
(1 - )((1 - )
1
2
+ (s2 + s1)) + 2
s1s2 > 1
To by byl spor s optimalitou (1
2 , 1
2 )
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 10 / 29
Jednoznačnost
Důkaz jednoznačnosti:
transformujeme S na S tak, aby d = (0, 0), f N (S , d ) = (1
2 , 1
2 ).
Označíme (z1, z2) = f N (S, d)
Lineární transformace
i =
1
2(zi - di )
, i = -
di
2(zi - di )
, z = z + 
V množině neexistují body s s1 + s2 > 1
Kdyby ano, pak by
t1t2 =
1
2
(1 - )((1 - )
1
2
+ (s2 + s1)) + 2
s1s2 > 1
To by byl spor s optimalitou (1
2 , 1
2 )
Doplníme množinu S na množinu
S = {(s1 , s2 )|s1  0, s2  0, s1 + s2 
1
2
}
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 10 / 29
Jednoznačnost
Důkaz jednoznačnosti:
transformujeme S na S tak, aby d = (0, 0), f N (S , d ) = (1
2 , 1
2 ).
Označíme (z1, z2) = f N (S, d)
Lineární transformace
i =
1
2(zi - di )
, i = -
di
2(zi - di )
, z = z + 
V množině neexistují body s s1 + s2 > 1
Kdyby ano, pak by
t1t2 =
1
2
(1 - )((1 - )
1
2
+ (s2 + s1)) + 2
s1s2 > 1
To by byl spor s optimalitou (1
2 , 1
2 )
Doplníme množinu S na množinu
S = {(s1 , s2 )|s1  0, s2  0, s1 + s2 
1
2
}
Tato množina je symetrická, takže f (S , (0, 0)) = (1
2 , 1
2 )
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 10 / 29
Jednoznačnost
Důkaz jednoznačnosti:
transformujeme S na S tak, aby d = (0, 0), f N (S , d ) = (1
2 , 1
2 ).
Označíme (z1, z2) = f N (S, d)
Lineární transformace
i =
1
2(zi - di )
, i = -
di
2(zi - di )
, z = z + 
V množině neexistují body s s1 + s2 > 1
Kdyby ano, pak by
t1t2 =
1
2
(1 - )((1 - )
1
2
+ (s2 + s1)) + 2
s1s2 > 1
To by byl spor s optimalitou (1
2 , 1
2 )
Doplníme množinu S na množinu
S = {(s1 , s2 )|s1  0, s2  0, s1 + s2 
1
2
}
Tato množina je symetrická, takže f (S , (0, 0)) = (1
2 , 1
2 )
To se shoduje s f N, a S vzniklo přidáním irelevantních alternativ
1 1 NJan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 10 / 29
Příklad
Nechť množina A = {(a, a )|a + a  1, a  0, a  0}, u1(x) =
x, u2(x) =

x, D = (0, 0),
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 11 / 29
Příklad
Nechť množina A = {(a, a )|a + a  1, a  0, a  0}, u1(x) =
x, u2(x) =

x, D = (0, 0),
Nalezněte Nashovo řešení vyjednávaní.
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 11 / 29
Příklad
Nechť množina A = {(a, a )|a + a  1, a  0, a  0}, u1(x) =
x, u2(x) =

x, D = (0, 0),
Nalezněte Nashovo řešení vyjednávaní.
Výpočet množiny S
S = {(x,

y)|x + y  1} = {(r, s)|r + s2
 1}
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 11 / 29
Příklad
Nechť množina A = {(a, a )|a + a  1, a  0, a  0}, u1(x) =
x, u2(x) =

x, D = (0, 0),
Nalezněte Nashovo řešení vyjednávaní.
Výpočet množiny S
S = {(x,

y)|x + y  1} = {(r, s)|r + s2
 1}
Problém pak je
arg max
r,s
, kde r + s2
 1
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 11 / 29
Příklad
Nechť množina A = {(a, a )|a + a  1, a  0, a  0}, u1(x) =
x, u2(x) =

x, D = (0, 0),
Nalezněte Nashovo řešení vyjednávaní.
Výpočet množiny S
S = {(x,

y)|x + y  1} = {(r, s)|r + s2
 1}
Problém pak je
arg max
r,s
, kde r + s2
 1
Řešení je x = r = 2
3 , y = s2 = 1
3 .
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 11 / 29
Příklad
Nechť množina A = {(a, a )|a + a  1, a  0, a  0}, u1(x) =
x, u2(x) =

x, D = (0, 0),
Nalezněte Nashovo řešení vyjednávaní.
Výpočet množiny S
S = {(x,

y)|x + y  1} = {(r, s)|r + s2
 1}
Problém pak je
arg max
r,s
, kde r + s2
 1
Řešení je x = r = 2
3 , y = s2 = 1
3 .
Řešení přímo
arg max x

y kde x + y  1
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 11 / 29
Příklad
Nechť množina A = {(a, a )|a + a  1, a  0, a  0}, u1(x) =
x, u2(x) =

x, D = (0, 0),
Nalezněte Nashovo řešení vyjednávaní.
Výpočet množiny S
S = {(x,

y)|x + y  1} = {(r, s)|r + s2
 1}
Problém pak je
arg max
r,s
, kde r + s2
 1
Řešení je x = r = 2
3 , y = s2 = 1
3 .
Řešení přímo
arg max x

y kde x + y  1
Řešení je x = 2
3 , y = 1
3
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 11 / 29
Příklad
Nechť množina A = {(a, a )|a + a  1, a  0, a  0}, u1(x) =
x, u2(x) =

x, D = (0, 0),
Nalezněte Nashovo řešení vyjednávaní.
Výpočet množiny S
S = {(x,

y)|x + y  1} = {(r, s)|r + s2
 1}
Problém pak je
arg max
r,s
, kde r + s2
 1
Řešení je x = r = 2
3 , y = s2 = 1
3 .
Řešení přímo
arg max x

y kde x + y  1
Řešení je x = 2
3 , y = 1
3
Postoj k riziku ovlivňuje výsledek
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 11 / 29
Averze k riziku
Množina A = {(a1, a2)  R2 : a1 + a2  1, ai  0, i = 1, 2},
D = (0, 0)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 12 / 29
Averze k riziku
Množina A = {(a1, a2)  R2 : a1 + a2  1, ai  0, i = 1, 2},
D = (0, 0)
Stejná užitková funkce obou hráčů u1 = u2
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 12 / 29
Averze k riziku
Množina A = {(a1, a2)  R2 : a1 + a2  1, ai  0, i = 1, 2},
D = (0, 0)
Stejná užitková funkce obou hráčů u1 = u2
Nashovo řešení je (1
2 , 1
2 )
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 12 / 29
Averze k riziku
Množina A = {(a1, a2)  R2 : a1 + a2  1, ai  0, i = 1, 2},
D = (0, 0)
Stejná užitková funkce obou hráčů u1 = u2
Nashovo řešení je (1
2 , 1
2 )
Nechť v2 = h  u2, v1 = u1, h konkávní
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 12 / 29
Averze k riziku
Množina A = {(a1, a2)  R2 : a1 + a2  1, ai  0, i = 1, 2},
D = (0, 0)
Stejná užitková funkce obou hráčů u1 = u2
Nashovo řešení je (1
2 , 1
2 )
Nechť v2 = h  u2, v1 = u1, h konkávní
Řešení symetrického problému
u1(z)
u1(z)
=
u2(1 - z)
u2(1 - z)
(1)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 12 / 29
Averze k riziku
Množina A = {(a1, a2)  R2 : a1 + a2  1, ai  0, i = 1, 2},
D = (0, 0)
Stejná užitková funkce obou hráčů u1 = u2
Nashovo řešení je (1
2 , 1
2 )
Nechť v2 = h  u2, v1 = u1, h konkávní
Řešení symetrického problému
u1(z)
u1(z)
=
u2(1 - z)
u2(1 - z)
(1)
Řešení asymetrického problému
u1(z)
u1(z)
=
h (u2(1 - z))u2(1 - z)
h(u2(1 - z))
(2)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 12 / 29
Averze k riziku
Množina A = {(a1, a2)  R2 : a1 + a2  1, ai  0, i = 1, 2},
D = (0, 0)
Stejná užitková funkce obou hráčů u1 = u2
Nashovo řešení je (1
2 , 1
2 )
Nechť v2 = h  u2, v1 = u1, h konkávní
Řešení symetrického problému
u1(z)
u1(z)
=
u2(1 - z)
u2(1 - z)
(1)
Řešení asymetrického problému
u1(z)
u1(z)
=
h (u2(1 - z))u2(1 - z)
h(u2(1 - z))
(2)
Tedy zu  zv .
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 12 / 29
Zbytečné axiomy?
Je některý z axiomů zbytečný?
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 13 / 29
Zbytečné axiomy?
Je některý z axiomů zbytečný?
INV Za řešení můžeme označit body (s1, s2) které maximalizují součet
s1 + s2. Pokud jich je více, tak zvolíme nejbližší přímce skrz bod D se
sklonem -1.
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 13 / 29
Zbytečné axiomy?
Je některý z axiomů zbytečný?
INV Za řešení můžeme označit body (s1, s2) které maximalizují součet
s1 + s2. Pokud jich je více, tak zvolíme nejbližší přímce skrz bod D se
sklonem -1.
SYM Je-li maximalizovaná funkce f (x, y) = (x - d1)(y - d2)1Jan
Mysliveček (Přf Muni) 7/11 13 / 29
Zbytečné axiomy?
Je některý z axiomů zbytečný?
INV Za řešení můžeme označit body (s1, s2) které maximalizují součet
s1 + s2. Pokud jich je více, tak zvolíme nejbližší přímce skrz bod D se
sklonem -1.
SYM Je-li maximalizovaná funkce f (x, y) = (x - d1)(y - d2)1IIA
Označme si maximální možný užitek hráče i na množině
{s|s  S, s  D}. Definujme jako řešení bod ležící na spojnici D a
(s1, s2), na hranici množiny S.
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 13 / 29
Zbytečné axiomy?
Je některý z axiomů zbytečný?
INV Za řešení můžeme označit body (s1, s2) které maximalizují součet
s1 + s2. Pokud jich je více, tak zvolíme nejbližší přímce skrz bod D se
sklonem -1.
SYM Je-li maximalizovaná funkce f (x, y) = (x - d1)(y - d2)1IIA
Označme si maximální možný užitek hráče i na množině
{s|s  S, s  D}. Definujme jako řešení bod ležící na spojnici D a
(s1, s2), na hranici množiny S.
PAR Za řešení můžeme definovat právě bod D.
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 13 / 29
Zbytečné axiomy?
Je některý z axiomů zbytečný?
INV Za řešení můžeme označit body (s1, s2) které maximalizují součet
s1 + s2. Pokud jich je více, tak zvolíme nejbližší přímce skrz bod D se
sklonem -1.
SYM Je-li maximalizovaná funkce f (x, y) = (x - d1)(y - d2)1IIA
Označme si maximální možný užitek hráče i na množině
{s|s  S, s  D}. Definujme jako řešení bod ležící na spojnici D a
(s1, s2), na hranici množiny S.
PAR Za řešení můžeme definovat právě bod D.
V každém případě jsme našli další řešení, různé od Nashova.
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 13 / 29
Rubinsteinovo vyjednávání
Předchozí model neobsahuje žádnou strukturu
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 14 / 29
Rubinsteinovo vyjednávání
Předchozí model neobsahuje žádnou strukturu
Vyjednávací pozice je shrnuta do bodu D a užitkových funkcí ui
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 14 / 29
Rubinsteinovo vyjednávání
Předchozí model neobsahuje žádnou strukturu
Vyjednávací pozice je shrnuta do bodu D a užitkových funkcí ui
Struktura ale může mít vliv na vyjednávání
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 14 / 29
Rubinsteinovo vyjednávání
Předchozí model neobsahuje žádnou strukturu
Vyjednávací pozice je shrnuta do bodu D a užitkových funkcí ui
Struktura ale může mít vliv na vyjednávání
Opakované nabídky
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 14 / 29
Rubinsteinovo vyjednávání
Předchozí model neobsahuje žádnou strukturu
Vyjednávací pozice je shrnuta do bodu D a užitkových funkcí ui
Struktura ale může mít vliv na vyjednávání
Opakované nabídky
Strany se střídají, ne nutně pravidelně
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 14 / 29
Rubinsteinovo vyjednávání
Předchozí model neobsahuje žádnou strukturu
Vyjednávací pozice je shrnuta do bodu D a užitkových funkcí ui
Struktura ale může mít vliv na vyjednávání
Opakované nabídky
Strany se střídají, ne nutně pravidelně
Čekání je nákladné, diskontování
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 14 / 29
Rubinsteinovo vyjednávání
Předchozí model neobsahuje žádnou strukturu
Vyjednávací pozice je shrnuta do bodu D a užitkových funkcí ui
Struktura ale může mít vliv na vyjednávání
Opakované nabídky
Strany se střídají, ne nutně pravidelně
Čekání je nákladné, diskontování
Opět množina možných dohod S, užitky ui , bod neshody D
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 14 / 29
Rubinsteinovo vyjednávání
Předchozí model neobsahuje žádnou strukturu
Vyjednávací pozice je shrnuta do bodu D a užitkových funkcí ui
Struktura ale může mít vliv na vyjednávání
Opakované nabídky
Strany se střídají, ne nutně pravidelně
Čekání je nákladné, diskontování
Opět množina možných dohod S, užitky ui , bod neshody D
Opět přeneseme problém do S  R2
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 14 / 29
Rubinsteinovo vyjednávání
Předchozí model neobsahuje žádnou strukturu
Vyjednávací pozice je shrnuta do bodu D a užitkových funkcí ui
Struktura ale může mít vliv na vyjednávání
Opakované nabídky
Strany se střídají, ne nutně pravidelně
Čekání je nákladné, diskontování
Opět množina možných dohod S, užitky ui , bod neshody D
Opět přeneseme problém do S  R2
Ještě více si to zjednodušíme: dělení koláče o velikosti 1.
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 14 / 29
Rubinsteinovo vyjednávání
Předchozí model neobsahuje žádnou strukturu
Vyjednávací pozice je shrnuta do bodu D a užitkových funkcí ui
Struktura ale může mít vliv na vyjednávání
Opakované nabídky
Strany se střídají, ne nutně pravidelně
Čekání je nákladné, diskontování
Opět množina možných dohod S, užitky ui , bod neshody D
Opět přeneseme problém do S  R2
Ještě více si to zjednodušíme: dělení koláče o velikosti 1.
Střídání kol, t = 1, 2, . . ., diskontování pomocí 
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 14 / 29
Popis hry
Jde o poziční hru s plnou informací
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 15 / 29
Popis hry
Jde o poziční hru s plnou informací
Dva hráči (i = 1, 2)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 15 / 29
Popis hry
Jde o poziční hru s plnou informací
Dva hráči (i = 1, 2)
Čas t = 1, 2, . . .
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 15 / 29
Popis hry
Jde o poziční hru s plnou informací
Dva hráči (i = 1, 2)
Čas t = 1, 2, . . .
V lichých kolech dává nabídku první hráč
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 15 / 29
Popis hry
Jde o poziční hru s plnou informací
Dva hráči (i = 1, 2)
Čas t = 1, 2, . . .
V lichých kolech dává nabídku první hráč
V sudých druhý hráč
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 15 / 29
Popis hry
Jde o poziční hru s plnou informací
Dva hráči (i = 1, 2)
Čas t = 1, 2, . . .
V lichých kolech dává nabídku první hráč
V sudých druhý hráč
Označme Xn = {(x0, . . . , xn)|xi  S}
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 15 / 29
Popis hry
Jde o poziční hru s plnou informací
Dva hráči (i = 1, 2)
Čas t = 1, 2, . . .
V lichých kolech dává nabídku první hráč
V sudých druhý hráč
Označme Xn = {(x0, . . . , xn)|xi  S}
Strategie prvního hráče t : Xt  X pro t sudé, t : Xt+1  {A, N}
pro t liché
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 15 / 29
Popis hry
Jde o poziční hru s plnou informací
Dva hráči (i = 1, 2)
Čas t = 1, 2, . . .
V lichých kolech dává nabídku první hráč
V sudých druhý hráč
Označme Xn = {(x0, . . . , xn)|xi  S}
Strategie prvního hráče t : Xt  X pro t sudé, t : Xt+1  {A, N}
pro t liché
Druhého hráče t : Xt+1  {A, N} pro t sudé, t : Xt  X pro t
liché
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 15 / 29
Popis hry
Jde o poziční hru s plnou informací
Dva hráči (i = 1, 2)
Čas t = 1, 2, . . .
V lichých kolech dává nabídku první hráč
V sudých druhý hráč
Označme Xn = {(x0, . . . , xn)|xi  S}
Strategie prvního hráče t : Xt  X pro t sudé, t : Xt+1  {A, N}
pro t liché
Druhého hráče t : Xt+1  {A, N} pro t sudé, t : Xt  X pro t
liché
Kompletní strategie--předpis i akce, která je vyloučena předchozí hrou
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 15 / 29
Nashovy rovnováhy
Dva hráči, první začíná
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 16 / 29
Nashovy rovnováhy
Dva hráči, první začíná
První nabídne (x, y)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 16 / 29
Nashovy rovnováhy
Dva hráči, první začíná
První nabídne (x, y)
Přijme nabídku, kde dostane alespoň x
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 16 / 29
Nashovy rovnováhy
Dva hráči, první začíná
První nabídne (x, y)
Přijme nabídku, kde dostane alespoň x
Druhý nabídne (x, y)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 16 / 29
Nashovy rovnováhy
Dva hráči, první začíná
První nabídne (x, y)
Přijme nabídku, kde dostane alespoň x
Druhý nabídne (x, y)
Druhý přijme nabídku, kde dostane alespoň y
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 16 / 29
Nashovy rovnováhy
Dva hráči, první začíná
První nabídne (x, y)
Přijme nabídku, kde dostane alespoň x
Druhý nabídne (x, y)
Druhý přijme nabídku, kde dostane alespoň y
Jde o Nashovu rovnováhu?
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 16 / 29
Nashovy rovnováhy
Dva hráči, první začíná
První nabídne (x, y)
Přijme nabídku, kde dostane alespoň x
Druhý nabídne (x, y)
Druhý přijme nabídku, kde dostane alespoň y
Jde o Nashovu rovnováhu?
Jde o DRVP?
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 16 / 29
Nashovy rovnováhy
Dva hráči, první začíná
První nabídne (x, y)
Přijme nabídku, kde dostane alespoň x
Druhý nabídne (x, y)
Druhý přijme nabídku, kde dostane alespoň y
Jde o Nashovu rovnováhu?
Jde o DRVP?
V DRVP by muselo jít o Nashovu rovnováhu v každé podhře
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 16 / 29
Nashovy rovnováhy
Dva hráči, první začíná
První nabídne (x, y)
Přijme nabídku, kde dostane alespoň x
Druhý nabídne (x, y)
Druhý přijme nabídku, kde dostane alespoň y
Jde o Nashovu rovnováhu?
Jde o DRVP?
V DRVP by muselo jít o Nashovu rovnováhu v každé podhře
Když je na tahu první hráč, druhý by měl přijmout již y
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 16 / 29
Nashovy rovnováhy
Dva hráči, první začíná
První nabídne (x, y)
Přijme nabídku, kde dostane alespoň x
Druhý nabídne (x, y)
Druhý přijme nabídku, kde dostane alespoň y
Jde o Nashovu rovnováhu?
Jde o DRVP?
V DRVP by muselo jít o Nashovu rovnováhu v každé podhře
Když je na tahu první hráč, druhý by měl přijmout již y
Využíváme větu o jediné odchylce (když existuje lepší strategie, tak
existuje i lepší strategie lišící se v jediném tahu)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 16 / 29
DRVP
Označme M1 nejvyšší výhru prvního hráče v DRVP, m1 nejmenší
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 17 / 29
DRVP
Označme M1 nejvyšší výhru prvního hráče v DRVP, m1 nejmenší
Vyjednávání o koláči velikosti 1:
S = {(x, y)|x + y  1, x, y  0}
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 17 / 29
DRVP
Označme M1 nejvyšší výhru prvního hráče v DRVP, m1 nejmenší
Vyjednávání o koláči velikosti 1:
S = {(x, y)|x + y  1, x, y  0}
Studujme kola t + 1, t + 2, t + 3, nazývaná první, druhé, třetí
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 17 / 29
DRVP
Označme M1 nejvyšší výhru prvního hráče v DRVP, m1 nejmenší
Vyjednávání o koláči velikosti 1:
S = {(x, y)|x + y  1, x, y  0}
Studujme kola t + 1, t + 2, t + 3, nazývaná první, druhé, třetí
Studujme DRVP s výhrou M1
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 17 / 29
DRVP
Označme M1 nejvyšší výhru prvního hráče v DRVP, m1 nejmenší
Vyjednávání o koláči velikosti 1:
S = {(x, y)|x + y  1, x, y  0}
Studujme kola t + 1, t + 2, t + 3, nazývaná první, druhé, třetí
Studujme DRVP s výhrou M1
Chceme zjistit, jak taková DRVP vypadá
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 17 / 29
DRVP
Označme M1 nejvyšší výhru prvního hráče v DRVP, m1 nejmenší
Vyjednávání o koláči velikosti 1:
S = {(x, y)|x + y  1, x, y  0}
Studujme kola t + 1, t + 2, t + 3, nazývaná první, druhé, třetí
Studujme DRVP s výhrou M1
Chceme zjistit, jak taková DRVP vypadá
Ve třetím kole si první hráč zaručí M1
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 17 / 29
DRVP
Označme M1 nejvyšší výhru prvního hráče v DRVP, m1 nejmenší
Vyjednávání o koláči velikosti 1:
S = {(x, y)|x + y  1, x, y  0}
Studujme kola t + 1, t + 2, t + 3, nazývaná první, druhé, třetí
Studujme DRVP s výhrou M1
Chceme zjistit, jak taková DRVP vypadá
Ve třetím kole si první hráč zaručí M1
Ve druhém kole může druhý hráč nabídnout M1, 1 - M1
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 17 / 29
DRVP
Označme M1 nejvyšší výhru prvního hráče v DRVP, m1 nejmenší
Vyjednávání o koláči velikosti 1:
S = {(x, y)|x + y  1, x, y  0}
Studujme kola t + 1, t + 2, t + 3, nazývaná první, druhé, třetí
Studujme DRVP s výhrou M1
Chceme zjistit, jak taková DRVP vypadá
Ve třetím kole si první hráč zaručí M1
Ve druhém kole může druhý hráč nabídnout M1, 1 - M1
Takovou nabídku by první hráč přijal (byl by indiferentní)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 17 / 29
DRVP
Označme M1 nejvyšší výhru prvního hráče v DRVP, m1 nejmenší
Vyjednávání o koláči velikosti 1:
S = {(x, y)|x + y  1, x, y  0}
Studujme kola t + 1, t + 2, t + 3, nazývaná první, druhé, třetí
Studujme DRVP s výhrou M1
Chceme zjistit, jak taková DRVP vypadá
Ve třetím kole si první hráč zaručí M1
Ve druhém kole může druhý hráč nabídnout M1, 1 - M1
Takovou nabídku by první hráč přijal (byl by indiferentní)
V prvním kole tak první hráč musí nabídnout alespoň (1 - M1)
druhému
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 17 / 29
DRVP
Označme M1 nejvyšší výhru prvního hráče v DRVP, m1 nejmenší
Vyjednávání o koláči velikosti 1:
S = {(x, y)|x + y  1, x, y  0}
Studujme kola t + 1, t + 2, t + 3, nazývaná první, druhé, třetí
Studujme DRVP s výhrou M1
Chceme zjistit, jak taková DRVP vypadá
Ve třetím kole si první hráč zaručí M1
Ve druhém kole může druhý hráč nabídnout M1, 1 - M1
Takovou nabídku by první hráč přijal (byl by indiferentní)
V prvním kole tak první hráč musí nabídnout alespoň (1 - M1)
druhému
Ten ji přijme, prvnímu zbude 1 - (1 - M1)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 17 / 29
DRVP
Označme M1 nejvyšší výhru prvního hráče v DRVP, m1 nejmenší
Vyjednávání o koláči velikosti 1:
S = {(x, y)|x + y  1, x, y  0}
Studujme kola t + 1, t + 2, t + 3, nazývaná první, druhé, třetí
Studujme DRVP s výhrou M1
Chceme zjistit, jak taková DRVP vypadá
Ve třetím kole si první hráč zaručí M1
Ve druhém kole může druhý hráč nabídnout M1, 1 - M1
Takovou nabídku by první hráč přijal (byl by indiferentní)
V prvním kole tak první hráč musí nabídnout alespoň (1 - M1)
druhému
Ten ji přijme, prvnímu zbude 1 - (1 - M1)
Toto je nejvíce, co si první hráč může zaručit v této DRVP, tedy
M1 = 1 - (1 - M1)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 17 / 29
DRVP--Závěr
Stejná úvaha platí i pro m1
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 18 / 29
DRVP--Závěr
Stejná úvaha platí i pro m1
Proto m1 = M1
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 18 / 29
DRVP--Závěr
Stejná úvaha platí i pro m1
Proto m1 = M1
Podobná úvaha pro druhého hráče
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 18 / 29
DRVP--Závěr
Stejná úvaha platí i pro m1
Proto m1 = M1
Podobná úvaha pro druhého hráče
Strategie jsou: každý hráč si ponechá 1
1+
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 18 / 29
DRVP--Závěr
Stejná úvaha platí i pro m1
Proto m1 = M1
Podobná úvaha pro druhého hráče
Strategie jsou: každý hráč si ponechá 1
1+
Je ochoten přijmout 
+1
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 18 / 29
DRVP--Závěr
Stejná úvaha platí i pro m1
Proto m1 = M1
Podobná úvaha pro druhého hráče
Strategie jsou: každý hráč si ponechá 1
1+
Je ochoten přijmout 
+1
Podobný postup je snadný pro analýzu modifikací problému
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 18 / 29
DRVP--Závěr
Stejná úvaha platí i pro m1
Proto m1 = M1
Podobná úvaha pro druhého hráče
Strategie jsou: každý hráč si ponechá 1
1+
Je ochoten přijmout 
+1
Podobný postup je snadný pro analýzu modifikací problému
Příklad: různé diskontní faktory 1, 2.
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 18 / 29
DRVP--Závěr
Stejná úvaha platí i pro m1
Proto m1 = M1
Podobná úvaha pro druhého hráče
Strategie jsou: každý hráč si ponechá 1
1+
Je ochoten přijmout 
+1
Podobný postup je snadný pro analýzu modifikací problému
Příklad: různé diskontní faktory 1, 2.
Příklad: první hráč dá dvě nabídky, druhý jednu, první dvě,. . .
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 18 / 29
DRVP--Závěr
Stejná úvaha platí i pro m1
Proto m1 = M1
Podobná úvaha pro druhého hráče
Strategie jsou: každý hráč si ponechá 1
1+
Je ochoten přijmout 
+1
Podobný postup je snadný pro analýzu modifikací problému
Příklad: různé diskontní faktory 1, 2.
Příklad: první hráč dá dvě nabídky, druhý jednu, první dvě,. . .
Dokázali jsme, že jde o DRVP?
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 18 / 29
Vedlejší příležitost
Druhý hráč má možnost ukončit vyjednávání
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 19 / 29
Vedlejší příležitost
Druhý hráč má možnost ukončit vyjednávání
Výsledek je pak (a, b), a + b < 1
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 19 / 29
Vedlejší příležitost
Druhý hráč má možnost ukončit vyjednávání
Výsledek je pak (a, b), a + b < 1
Rozhodnutí o ukončení následuje po odmítnutí nabídky
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 19 / 29
Vedlejší příležitost
Druhý hráč má možnost ukončit vyjednávání
Výsledek je pak (a, b), a + b < 1
Rozhodnutí o ukončení následuje po odmítnutí nabídky
První hráč tuto možnost nemá
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 19 / 29
Vedlejší příležitost
Druhý hráč má možnost ukončit vyjednávání
Výsledek je pak (a, b), a + b < 1
Rozhodnutí o ukončení následuje po odmítnutí nabídky
První hráč tuto možnost nemá
Označme m výhru prvního hráče když dává nabídku
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 19 / 29
Vedlejší příležitost
Druhý hráč má možnost ukončit vyjednávání
Výsledek je pak (a, b), a + b < 1
Rozhodnutí o ukončení následuje po odmítnutí nabídky
První hráč tuto možnost nemá
Označme m výhru prvního hráče když dává nabídku
Pokud druhý hráč chce pokračovat, tak nabídka m prvnímu hráči
bude přijata
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 19 / 29
Vedlejší příležitost
Druhý hráč má možnost ukončit vyjednávání
Výsledek je pak (a, b), a + b < 1
Rozhodnutí o ukončení následuje po odmítnutí nabídky
První hráč tuto možnost nemá
Označme m výhru prvního hráče když dává nabídku
Pokud druhý hráč chce pokračovat, tak nabídka m prvnímu hráči
bude přijata
Druhý hráč si tak může zaručit 1 - m
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 19 / 29
Vedlejší příležitost
Druhý hráč má možnost ukončit vyjednávání
Výsledek je pak (a, b), a + b < 1
Rozhodnutí o ukončení následuje po odmítnutí nabídky
První hráč tuto možnost nemá
Označme m výhru prvního hráče když dává nabídku
Pokud druhý hráč chce pokračovat, tak nabídka m prvnímu hráči
bude přijata
Druhý hráč si tak může zaručit 1 - m
První hráč mu musí nabídnout (1 - m)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 19 / 29
Vedlejší příležitost
Druhý hráč má možnost ukončit vyjednávání
Výsledek je pak (a, b), a + b < 1
Rozhodnutí o ukončení následuje po odmítnutí nabídky
První hráč tuto možnost nemá
Označme m výhru prvního hráče když dává nabídku
Pokud druhý hráč chce pokračovat, tak nabídka m prvnímu hráči
bude přijata
Druhý hráč si tak může zaručit 1 - m
První hráč mu musí nabídnout (1 - m)
Pokud je tohle méně než b, je pro druhého hráče lepší skončit
m = 1 - max{b, (1 - m)}
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 19 / 29
Vedlejší příležitost
Druhý hráč má možnost ukončit vyjednávání
Výsledek je pak (a, b), a + b < 1
Rozhodnutí o ukončení následuje po odmítnutí nabídky
První hráč tuto možnost nemá
Označme m výhru prvního hráče když dává nabídku
Pokud druhý hráč chce pokračovat, tak nabídka m prvnímu hráči
bude přijata
Druhý hráč si tak může zaručit 1 - m
První hráč mu musí nabídnout (1 - m)
Pokud je tohle méně než b, je pro druhého hráče lepší skončit
m = 1 - max{b, (1 - m)}
m = 1
1+ když b < 
1+
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 19 / 29
Vedlejší příležitost
Druhý hráč má možnost ukončit vyjednávání
Výsledek je pak (a, b), a + b < 1
Rozhodnutí o ukončení následuje po odmítnutí nabídky
První hráč tuto možnost nemá
Označme m výhru prvního hráče když dává nabídku
Pokud druhý hráč chce pokračovat, tak nabídka m prvnímu hráči
bude přijata
Druhý hráč si tak může zaručit 1 - m
První hráč mu musí nabídnout (1 - m)
Pokud je tohle méně než b, je pro druhého hráče lepší skončit
m = 1 - max{b, (1 - m)}
m = 1
1+ když b < 
1+
m = 1 - b když b > 
1+
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 19 / 29
Vedlejší příležitost
Druhý hráč má možnost ukončit vyjednávání
Výsledek je pak (a, b), a + b < 1
Rozhodnutí o ukončení následuje po odmítnutí nabídky
První hráč tuto možnost nemá
Označme m výhru prvního hráče když dává nabídku
Pokud druhý hráč chce pokračovat, tak nabídka m prvnímu hráči
bude přijata
Druhý hráč si tak může zaručit 1 - m
První hráč mu musí nabídnout (1 - m)
Pokud je tohle méně než b, je pro druhého hráče lepší skončit
m = 1 - max{b, (1 - m)}
m = 1
1+ když b < 
1+
m = 1 - b když b > 
1+
Na rozdíl od Nashova v. malá b nic nemění
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 19 / 29
Selhání vyjednávání
Místo volby ukončení vyjednání náhodná chyba
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 20 / 29
Selhání vyjednávání
Místo volby ukončení vyjednání náhodná chyba
Pravděpodobnost p selhání, žádné diskontování ( = 1)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 20 / 29
Selhání vyjednávání
Místo volby ukončení vyjednání náhodná chyba
Pravděpodobnost p selhání, žádné diskontování ( = 1)
Selhání nastává až po odmítnutí nabídky
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 20 / 29
Selhání vyjednávání
Místo volby ukončení vyjednání náhodná chyba
Pravděpodobnost p selhání, žádné diskontování ( = 1)
Selhání nastává až po odmítnutí nabídky
Maximální (očekávaný) výnos prvního hráče je m
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 20 / 29
Selhání vyjednávání
Místo volby ukončení vyjednání náhodná chyba
Pravděpodobnost p selhání, žádné diskontování ( = 1)
Selhání nastává až po odmítnutí nabídky
Maximální (očekávaný) výnos prvního hráče je m
Druhý hráč mu musí nabídnout pa + (1 - p)m aby první hráč přijal
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 20 / 29
Selhání vyjednávání
Místo volby ukončení vyjednání náhodná chyba
Pravděpodobnost p selhání, žádné diskontování ( = 1)
Selhání nastává až po odmítnutí nabídky
Maximální (očekávaný) výnos prvního hráče je m
Druhý hráč mu musí nabídnout pa + (1 - p)m aby první hráč přijal
Druhému hráči zůstane 1 - pa - (1 - p)m
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 20 / 29
Selhání vyjednávání
Místo volby ukončení vyjednání náhodná chyba
Pravděpodobnost p selhání, žádné diskontování ( = 1)
Selhání nastává až po odmítnutí nabídky
Maximální (očekávaný) výnos prvního hráče je m
Druhý hráč mu musí nabídnout pa + (1 - p)m aby první hráč přijal
Druhému hráči zůstane 1 - pa - (1 - p)m
První hráč musí druhému nabídnout pb + (1 - p)(1 - pa - (1 - p)m)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 20 / 29
Selhání vyjednávání
Místo volby ukončení vyjednání náhodná chyba
Pravděpodobnost p selhání, žádné diskontování ( = 1)
Selhání nastává až po odmítnutí nabídky
Maximální (očekávaný) výnos prvního hráče je m
Druhý hráč mu musí nabídnout pa + (1 - p)m aby první hráč přijal
Druhému hráči zůstane 1 - pa - (1 - p)m
První hráč musí druhému nabídnout pb + (1 - p)(1 - pa - (1 - p)m)
Prvnímu zůstane 1 - pb - (1 - p)(1 - pa - (1 - p)m)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 20 / 29
Selhání vyjednávání
Místo volby ukončení vyjednání náhodná chyba
Pravděpodobnost p selhání, žádné diskontování ( = 1)
Selhání nastává až po odmítnutí nabídky
Maximální (očekávaný) výnos prvního hráče je m
Druhý hráč mu musí nabídnout pa + (1 - p)m aby první hráč přijal
Druhému hráči zůstane 1 - pa - (1 - p)m
První hráč musí druhému nabídnout pb + (1 - p)(1 - pa - (1 - p)m)
Prvnímu zůstane 1 - pb - (1 - p)(1 - pa - (1 - p)m)
Opět m = 1 - pb - (1 - p)(1 - pa - (1 - p)m)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 20 / 29
Selhání vyjednávání
Místo volby ukončení vyjednání náhodná chyba
Pravděpodobnost p selhání, žádné diskontování ( = 1)
Selhání nastává až po odmítnutí nabídky
Maximální (očekávaný) výnos prvního hráče je m
Druhý hráč mu musí nabídnout pa + (1 - p)m aby první hráč přijal
Druhému hráči zůstane 1 - pa - (1 - p)m
První hráč musí druhému nabídnout pb + (1 - p)(1 - pa - (1 - p)m)
Prvnímu zůstane 1 - pb - (1 - p)(1 - pa - (1 - p)m)
Opět m = 1 - pb - (1 - p)(1 - pa - (1 - p)m)
Řešení m = 1+a-b-pa
2-p
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 20 / 29
Selhání vyjednávání
Místo volby ukončení vyjednání náhodná chyba
Pravděpodobnost p selhání, žádné diskontování ( = 1)
Selhání nastává až po odmítnutí nabídky
Maximální (očekávaný) výnos prvního hráče je m
Druhý hráč mu musí nabídnout pa + (1 - p)m aby první hráč přijal
Druhému hráči zůstane 1 - pa - (1 - p)m
První hráč musí druhému nabídnout pb + (1 - p)(1 - pa - (1 - p)m)
Prvnímu zůstane 1 - pb - (1 - p)(1 - pa - (1 - p)m)
Opět m = 1 - pb - (1 - p)(1 - pa - (1 - p)m)
Řešení m = 1+a-b-pa
2-p
Pro p  0 je m = 1+a-b
2 , stejné jako Nash.v.
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 20 / 29
Formální teorie
Formální studium problému
Axiom
Neshoda je nejhorší možný výsledek. Tedy každý shoda (x, t)  X × T je
preferována před neshodou D : (x, t) i D, pro všechna i.
Axiom
Předmět je hodnotný (desirable) . V libovolném kole t  T a pro libovolné
x, y  X platí, že (x, t) i (y, t) tehdy a jen tehdy xi > yi .
Axiom
Pro každé t < s  T a x  X platí (x, t) i (x, s)). Preference je striktní,
pokud hráč něco získá xi > 0.
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 21 / 29
Formální teorie
Formální studium problému
Množina možných výsledků (X × T)  {D}
Axiom
Neshoda je nejhorší možný výsledek. Tedy každý shoda (x, t)  X × T je
preferována před neshodou D : (x, t) i D, pro všechna i.
Axiom
Předmět je hodnotný (desirable) . V libovolném kole t  T a pro libovolné
x, y  X platí, že (x, t) i (y, t) tehdy a jen tehdy xi > yi .
Axiom
Pro každé t < s  T a x  X platí (x, t) i (x, s)). Preference je striktní,
pokud hráč něco získá xi > 0.
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 21 / 29
Formální teorie
Formální studium problému
Množina možných výsledků (X × T)  {D}
Preference ( i ) kompletní, transitivní a reflexivní.
Axiom
Neshoda je nejhorší možný výsledek. Tedy každý shoda (x, t)  X × T je
preferována před neshodou D : (x, t) i D, pro všechna i.
Axiom
Předmět je hodnotný (desirable) . V libovolném kole t  T a pro libovolné
x, y  X platí, že (x, t) i (y, t) tehdy a jen tehdy xi > yi .
Axiom
Pro každé t < s  T a x  X platí (x, t) i (x, s)). Preference je striktní,
pokud hráč něco získá xi > 0.
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 21 / 29
Další axiomy
Axiom
Nechť {(xn, t)}
n=1 a {(yn, s)}
n=1 jsou posloupnosti z (X, T) takové, že
limnxn = x a limnyn = y. Pak (x, t) i (y, s), pokud
(xn, t) i (yn, s) pro všechna n.
Axiom
Pro každé t  T, x, y  X platí, že (x, t) i (y, t + 1) tehdy a jen tehdy
(x, 0) i (y, 1).
Axiom
Rozdíl xi - vi (xi , 1) je rostoucí funkcí xi .
Současná hodnota vi (xi , t) = yi , (x, t) i (y, 0).
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 22 / 29
Příklad
Příklad
Ověřte, které axiomy splňuje užitková funkce Ui (xi , t) = xi - ci t.
Dokažte, že funkce Ui (xi , t) = t
xi splňuje všechny axiomy.
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 23 / 29
Příklad
Příklad
Ověřte, které axiomy splňuje užitková funkce Ui (xi , t) = xi - ci t.
Dokažte, že funkce Ui (xi , t) = t
xi splňuje všechny axiomy.
Řešení DRVP je definováno
y
1 = v1(x
1 , 1), x
2 = v2(y
2 , 1) (3)
Věta
Pokud preference hráčů splňují předchozí axiomy, pak vyjednávání ve
formě střídajících se nabídek má jediné DRVP řešení. Strategie prvního
hráče je nabídnout x a přijmout jakoukoliv nabídku, která mu zaručuje
alespoň y
1 . Druhý hráč vždy nabízí y a přijme každou nabídku, která mu
zaručuje alespoň x
2 . Výsledkem hry je okamžitá dohoda (x, 0).
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 23 / 29
Nedokonalá znalost
Dva hráči, Dva stavy světa (a, b), dvě různé hry
Ga A B
A M,M 1, -L
B -L, 1 0,0
Gb A B
A M,M 1, -L
B -L, 1 0,0
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 24 / 29
Nedokonalá znalost
Dva hráči, Dva stavy světa (a, b), dvě různé hry
Ga A B
A M,M 1, -L
B -L, 1 0,0
Gb A B
A M,M 1, -L
B -L, 1 0,0
Pravděpodobnost stavu a, tedy hraní hry Ga je 1 - p > 1
2
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 24 / 29
Nedokonalá znalost
Dva hráči, Dva stavy světa (a, b), dvě různé hry
Ga A B
A M,M 1, -L
B -L, 1 0,0
Gb A B
A M,M 1, -L
B -L, 1 0,0
Pravděpodobnost stavu a, tedy hraní hry Ga je 1 - p > 1
2
Náhoda určí stav, první hráč ho vidí
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 24 / 29
Nedokonalá znalost
Dva hráči, Dva stavy světa (a, b), dvě různé hry
Ga A B
A M,M 1, -L
B -L, 1 0,0
Gb A B
A M,M 1, -L
B -L, 1 0,0
Pravděpodobnost stavu a, tedy hraní hry Ga je 1 - p > 1
2
Náhoda určí stav, první hráč ho vidí
Druhý hráč stav světa neuvidí
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 24 / 29
Nedokonalá znalost
Dva hráči, Dva stavy světa (a, b), dvě různé hry
Ga A B
A M,M 1, -L
B -L, 1 0,0
Gb A B
A M,M 1, -L
B -L, 1 0,0
Pravděpodobnost stavu a, tedy hraní hry Ga je 1 - p > 1
2
Náhoda určí stav, první hráč ho vidí
Druhý hráč stav světa neuvidí
Možnost nedokonalé komunikace mezi hráči
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 24 / 29
Nedokonalá komunikace
Oba hráči mají počítače
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 25 / 29
Nedokonalá komunikace
Oba hráči mají počítače
Počítač prvního hráče automaticky odešle zprávu druhému hráči když
je stav b
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 25 / 29
Nedokonalá komunikace
Oba hráči mají počítače
Počítač prvního hráče automaticky odešle zprávu druhému hráči když
je stav b
Počítač druhého hráče na každou zprávu odešle potvrzení
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 25 / 29
Nedokonalá komunikace
Oba hráči mají počítače
Počítač prvního hráče automaticky odešle zprávu druhému hráči když
je stav b
Počítač druhého hráče na každou zprávu odešle potvrzení
I prvního hráče počítač odešle automaticky potvrzení na potvrzení. . .
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 25 / 29
Nedokonalá komunikace
Oba hráči mají počítače
Počítač prvního hráče automaticky odešle zprávu druhému hráči když
je stav b
Počítač druhého hráče na každou zprávu odešle potvrzení
I prvního hráče počítač odešle automaticky potvrzení na potvrzení. . .
Každá zpráva má malou pravděpodobnost , že se ztratí
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 25 / 29
Nedokonalá komunikace
Oba hráči mají počítače
Počítač prvního hráče automaticky odešle zprávu druhému hráči když
je stav b
Počítač druhého hráče na každou zprávu odešle potvrzení
I prvního hráče počítač odešle automaticky potvrzení na potvrzení. . .
Každá zpráva má malou pravděpodobnost , že se ztratí
Výměna zprávy a potvrzení až dokud se neztratí
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 25 / 29
Nedokonalá komunikace
Oba hráči mají počítače
Počítač prvního hráče automaticky odešle zprávu druhému hráči když
je stav b
Počítač druhého hráče na každou zprávu odešle potvrzení
I prvního hráče počítač odešle automaticky potvrzení na potvrzení. . .
Každá zpráva má malou pravděpodobnost , že se ztratí
Výměna zprávy a potvrzení až dokud se neztratí
Na závěr každý hráč uvidí počet zpráv odeslaných jeho počítačem
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 25 / 29
Obrázek
ˇ
p
//
1-p

ˇ
1-
//


ˇ
1-


(0, 0)
A
zzuuuuuuuuu
B

(1, 0)
A

B
##GGGGGGGGG
1
(1, 1)
ˇ
2
A
zzuuuuuuuuu
B

ˇ
B
##GGGGGGGGG
A

ˇ
A

B
##GGGGGGGGG ˇ
A
$$IIIIIIIII
B
))TTTTTTTTTTTTTTTTTT   
(M, M) (1, -L) (-L, 1) (0, 0) (0, 0) (1, -L) (-L, 1) (M, M
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 26 / 29
Stavy světa, strategie
Hráči po ukončení komunikace současně volí A nebo B
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 27 / 29
Stavy světa, strategie
Hráči po ukončení komunikace současně volí A nebo B
Stav světa (X, Y ), X počet zpráv odeslán prvním počítačem, Y
druhým
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 27 / 29
Stavy světa, strategie
Hráči po ukončení komunikace současně volí A nebo B
Stav světa (X, Y ), X počet zpráv odeslán prvním počítačem, Y
druhým
Jakmile je zpráva přijata, je potvrzení odesláno (ztráty jen na cestě)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 27 / 29
Stavy světa, strategie
Hráči po ukončení komunikace současně volí A nebo B
Stav světa (X, Y ), X počet zpráv odeslán prvním počítačem, Y
druhým
Jakmile je zpráva přijata, je potvrzení odesláno (ztráty jen na cestě)
Znalost hry: Stavy světa (0, 0), (1, 0), (1, 1), (2, 1), . . .
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 27 / 29
Stavy světa, strategie
Hráči po ukončení komunikace současně volí A nebo B
Stav světa (X, Y ), X počet zpráv odeslán prvním počítačem, Y
druhým
Jakmile je zpráva přijata, je potvrzení odesláno (ztráty jen na cestě)
Znalost hry: Stavy světa (0, 0), (1, 0), (1, 1), (2, 1), . . .
Každá informační množina je dosažena
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 27 / 29
Stavy světa, strategie
Hráči po ukončení komunikace současně volí A nebo B
Stav světa (X, Y ), X počet zpráv odeslán prvním počítačem, Y
druhým
Jakmile je zpráva přijata, je potvrzení odesláno (ztráty jen na cestě)
Znalost hry: Stavy světa (0, 0), (1, 0), (1, 1), (2, 1), . . .
Každá informační množina je dosažena
Pravděpodobnosti stavů
pi (0, 0) = 1 - p, pi (q + 1, q) = p(1 - )2q
,
pi (q + 1, q + 1) = p(1 - )2q+1
, q  0
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 27 / 29
Stavy světa, strategie
Hráči po ukončení komunikace současně volí A nebo B
Stav světa (X, Y ), X počet zpráv odeslán prvním počítačem, Y
druhým
Jakmile je zpráva přijata, je potvrzení odesláno (ztráty jen na cestě)
Znalost hry: Stavy světa (0, 0), (1, 0), (1, 1), (2, 1), . . .
Každá informační množina je dosažena
Pravděpodobnosti stavů
pi (0, 0) = 1 - p, pi (q + 1, q) = p(1 - )2q
,
pi (q + 1, q + 1) = p(1 - )2q+1
, q  0
Pravděpodobnosti v informačních množinách
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 27 / 29
Výsledek hry
Existuje jediná Nashova rovnováha, v ní oba hrají A
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 28 / 29
Výsledek hry
Existuje jediná Nashova rovnováha, v ní oba hrají A
Důkaz indukcí
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 28 / 29
Výsledek hry
Existuje jediná Nashova rovnováha, v ní oba hrají A
Důkaz indukcí
První hráč hraje A, pokud stav světa (0, 0), B je striktně dominovaná
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 28 / 29
Výsledek hry
Existuje jediná Nashova rovnováha, v ní oba hrají A
Důkaz indukcí
První hráč hraje A, pokud stav světa (0, 0), B je striktně dominovaná
Druhý hráč hrou A v info. množině {(0, 0), (1, 0)} získá alespoň
M(1-p)
(1-p)+p
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 28 / 29
Výsledek hry
Existuje jediná Nashova rovnováha, v ní oba hrají A
Důkaz indukcí
První hráč hraje A, pokud stav světa (0, 0), B je striktně dominovaná
Druhý hráč hrou A v info. množině {(0, 0), (1, 0)} získá alespoň
M(1-p)
(1-p)+p
Hrou B by získal nejvýše
(-L)(1-p)
(1-p)+p
+ pM
(1-p)+p
,
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 28 / 29
Výsledek hry
Existuje jediná Nashova rovnováha, v ní oba hrají A
Důkaz indukcí
První hráč hraje A, pokud stav světa (0, 0), B je striktně dominovaná
Druhý hráč hrou A v info. množině {(0, 0), (1, 0)} získá alespoň
M(1-p)
(1-p)+p
Hrou B by získal nejvýše
(-L)(1-p)
(1-p)+p
+ pM
(1-p)+p
,
Je pro něj lepší hrát A ať už první hráče hraje v (1, 0) cokoliv
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 28 / 29
Výsledek hry
Existuje jediná Nashova rovnováha, v ní oba hrají A
Důkaz indukcí
První hráč hraje A, pokud stav světa (0, 0), B je striktně dominovaná
Druhý hráč hrou A v info. množině {(0, 0), (1, 0)} získá alespoň
M(1-p)
(1-p)+p
Hrou B by získal nejvýše
(-L)(1-p)
(1-p)+p
+ pM
(1-p)+p
,
Je pro něj lepší hrát A ať už první hráče hraje v (1, 0) cokoliv
Druhý tedy hraje A v (1, 0),
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 28 / 29
Výsledek hry
Existuje jediná Nashova rovnováha, v ní oba hrají A
Důkaz indukcí
První hráč hraje A, pokud stav světa (0, 0), B je striktně dominovaná
Druhý hráč hrou A v info. množině {(0, 0), (1, 0)} získá alespoň
M(1-p)
(1-p)+p
Hrou B by získal nejvýše
(-L)(1-p)
(1-p)+p
+ pM
(1-p)+p
,
Je pro něj lepší hrát A ať už první hráče hraje v (1, 0) cokoliv
Druhý tedy hraje A v (1, 0),
Očekávání prvního v {(1, 0), (1, 1)}
z =
p(1 - )0
p(1 - )0 + p(1 - )1
>
1
2
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 28 / 29
Výsledek hry
Existuje jediná Nashova rovnováha, v ní oba hrají A
Důkaz indukcí
První hráč hraje A, pokud stav světa (0, 0), B je striktně dominovaná
Druhý hráč hrou A v info. množině {(0, 0), (1, 0)} získá alespoň
M(1-p)
(1-p)+p
Hrou B by získal nejvýše
(-L)(1-p)
(1-p)+p
+ pM
(1-p)+p
,
Je pro něj lepší hrát A ať už první hráče hraje v (1, 0) cokoliv
Druhý tedy hraje A v (1, 0),
Očekávání prvního v {(1, 0), (1, 1)}
z =
p(1 - )0
p(1 - )0 + p(1 - )1
>
1
2
Pro prvního je opět lepší hrát A v {(1, 0), (1, 1)}, neboť
z(-L) + (1 - z)M < 0
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 28 / 29
Výsledek hry
Existuje jediná Nashova rovnováha, v ní oba hrají A
Důkaz indukcí
První hráč hraje A, pokud stav světa (0, 0), B je striktně dominovaná
Druhý hráč hrou A v info. množině {(0, 0), (1, 0)} získá alespoň
M(1-p)
(1-p)+p
Hrou B by získal nejvýše
(-L)(1-p)
(1-p)+p
+ pM
(1-p)+p
,
Je pro něj lepší hrát A ať už první hráče hraje v (1, 0) cokoliv
Druhý tedy hraje A v (1, 0),
Očekávání prvního v {(1, 0), (1, 1)}
z =
p(1 - )0
p(1 - )0 + p(1 - )1
>
1
2
Pro prvního je opět lepší hrát A v {(1, 0), (1, 1)}, neboť
z(-L) + (1 - z)M < 0
Postupně indukcí lze pokračovat
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 28 / 29
I při velmi malém  > 0 se hraje A
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 29 / 29
I při velmi malém  > 0 se hraje A
Klíčové předpoklady
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 29 / 29
I při velmi malém  > 0 se hraje A
Klíčové předpoklady
Hrát B je rizikové i když je stav světa B
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 29 / 29
I při velmi malém  > 0 se hraje A
Klíčové předpoklady
Hrát B je rizikové i když je stav světa B
z > 1
2
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 29 / 29
I při velmi malém  > 0 se hraje A
Klíčové předpoklady
Hrát B je rizikové i když je stav světa B
z > 1
2
Realistické?
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 29 / 29
I při velmi malém  > 0 se hraje A
Klíčové předpoklady
Hrát B je rizikové i když je stav světa B
z > 1
2
Realistické?
Nejde o jedinou hru kde se reálné výsledky značně liší od toho, co lidé
hrají
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 29 / 29