Modely nedokonalé konkurence
Cournot, Stacklberg, Bertrand
Jan Mysliveček
Přf Muni
3.října 2008
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 1 / 19
Předpoklady
Velké množství malých firem (bez bariér vstupu)
Velké množství malých spotřebitelů
Dokonale homogenní zboží (kvalita, transakční náklady)
Dokonalé informace
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 2 / 19
Předpoklady
Velké množství malých firem (bez bariér vstupu)
Velké množství malých spotřebitelů
Dokonale homogenní zboží (kvalita, transakční náklady)
Dokonalé informace
Výsledky:
Firmy prodávají za mezní náklady, mají nulový zisk
Maximalizace blahobytu (welfare)
Rozhodnutí jedné firmy neovlivní ceny, množství
Co se stane, když některý předpoklad neplatí?
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 2 / 19
Nedokonalá konkurence
Jen několik firem, či některé velké
Nehomogenní zboží (kvalita, doprava)
Informace o tom, kde se zboží prodává a za jakou cenu
Málo spotřebitelů
Obvykle výsledky:
Ceny jsou nad mezními náklady
Firmy dosahují kladného zisku
Někdy selhání trhu (blahobyt není maximalizován)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 3 / 19
Cournot-konkurence v množství
Motivace:
Omezený počet firem
Všechny zhruba stejně velké
Rozhodnutí každé z nich má vliv na ostatní
Strategické interakce
Strategické rozhodnutí o rozsahu výroby
Rozhodování je současné
Cena je stanovena rovnováhou na trhu, poptávkou
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 4 / 19
Model
n firem
Každá volí vyráběné množství qi  R+
Poptávková funkce p(Q), Q = i qi , diferencovatelná
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 5 / 19
Model
n firem
Každá volí vyráběné množství qi  R+
Poptávková funkce p(Q), Q = i qi , diferencovatelná
Současné rozhodování, množství volená ostatními daná
Jediná cena, homogenní výrobky
Náklady ci (qi )--spojité, rostoucí, c(0) =?
Zisk pqi - ci (qi )
Rovnováhy, kde jsou všechny firmy aktivní, qi > 0.
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 5 / 19
Nashova rovnováha
Vnitřní řešení--podmínky prvního řádu
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 6 / 19
Nashova rovnováha
Vnitřní řešení--podmínky prvního řádu
maxqi
p(qi + Q-i )qi - ci (qi),
kde Q-i = j=i qj
FOC:
p (Q)qi + p(Q) - c (qi ) = 0
Existence řešení? Předpokládáme c (0) = 0, c (q) , 0, p (Q) < 0
Pro qi = 0 je FOC kladná
Pro dostatečně velké qi je záporná
Existuje q
i kde je nulová
Je nutné ověřit, že jde o maximum (jak?)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 6 / 19
Podmínky druhého řádu
p (Q)qi + 2p (Q) - c (qi ) < 0
Pro p (Q) dostatečně malé (vzhledem k p (Q), c (qi )) jde o
maximum
Lze použít větu o implicitní funkci pro studium qi (c, Q)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 7 / 19
Příklad--lineární náklady
Předpokládejte ci (q) = ci q, p = a - bq, a, b, ci > 0 nalezněte analytické
řešení
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 8 / 19
Příklad--lineární náklady
Předpokládejte ci (q) = ci q, p = a - bq, a, b, ci > 0 nalezněte analytické
řešení
-bqi + (a - bQ) - ci = 0
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 8 / 19
Příklad--lineární náklady
Předpokládejte ci (q) = ci q, p = a - bq, a, b, ci > 0 nalezněte analytické
řešení
-bqi + (a - bQ) - ci = 0
Sečtením těchto podmínek pro všechna i
bQ + na - nbQ - cj = 0
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 8 / 19
Příklad--lineární náklady
Předpokládejte ci (q) = ci q, p = a - bq, a, b, ci > 0 nalezněte analytické
řešení
-bqi + (a - bQ) - ci = 0
Sečtením těchto podmínek pro všechna i
bQ + na - nbQ - cj = 0
Q =
1
(n + 1)b
na - cj
Odvodťe p, qi .
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 8 / 19
Příklad--vstup na trh
Předpokládejte ci (q) = F + q2, p = a - bq, kde a, b > 0. Kolik firem
vstoupí na trh v symetrické rovnováze?
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 9 / 19
Příklad--vstup na trh
Předpokládejte ci (q) = F + q2, p = a - bq, kde a, b > 0. Kolik firem
vstoupí na trh v symetrické rovnováze?
Dvě kola hry--rozhodnutí o vstupu a pak rozhodnutí o výrobě. Vyřešíme
druhé kolo (DRVP!)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 9 / 19
Příklad--vstup na trh
Předpokládejte ci (q) = F + q2, p = a - bq, kde a, b > 0. Kolik firem
vstoupí na trh v symetrické rovnováze?
Dvě kola hry--rozhodnutí o vstupu a pak rozhodnutí o výrobě. Vyřešíme
druhé kolo (DRVP!)
Nechť vstoupilo n firem. Jako v předchozím příkladu
-bqi + a - bQ - 2qi = 0
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 9 / 19
Příklad--vstup na trh
Předpokládejte ci (q) = F + q2, p = a - bq, kde a, b > 0. Kolik firem
vstoupí na trh v symetrické rovnováze?
Dvě kola hry--rozhodnutí o vstupu a pak rozhodnutí o výrobě. Vyřešíme
druhé kolo (DRVP!)
Nechť vstoupilo n firem. Jako v předchozím příkladu
-bqi + a - bQ - 2qi = 0
Až teď je možné předpokládat symetrii Q = nq!
qi =
a
2 + b(n + 1)
, p =
2a + ba
2 + b(n + 1)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 9 / 19
Příklad--vstup na trh
Předpokládejte ci (q) = F + q2, p = a - bq, kde a, b > 0. Kolik firem
vstoupí na trh v symetrické rovnováze?
Dvě kola hry--rozhodnutí o vstupu a pak rozhodnutí o výrobě. Vyřešíme
druhé kolo (DRVP!)
Nechť vstoupilo n firem. Jako v předchozím příkladu
-bqi + a - bQ - 2qi = 0
Až teď je možné předpokládat symetrii Q = nq!
qi =
a
2 + b(n + 1)
, p =
2a + ba
2 + b(n + 1)
Zisk je
i = a2 b + 1
(2 + b(n + 1))2
- F
Rozhodnutí v prvním kole: vstoupit, pokud kladný (nezáporný?) zisk
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 9 / 19
Příklad--vstup na trh
Předpokládejte ci (q) = F + q2, p = a - bq, kde a, b > 0. Kolik firem
vstoupí na trh v symetrické rovnováze?
Dvě kola hry--rozhodnutí o vstupu a pak rozhodnutí o výrobě. Vyřešíme
druhé kolo (DRVP!)
Nechť vstoupilo n firem. Jako v předchozím příkladu
-bqi + a - bQ - 2qi = 0
Až teď je možné předpokládat symetrii Q = nq!
qi =
a
2 + b(n + 1)
, p =
2a + ba
2 + b(n + 1)
Zisk je
i = a2 b + 1
(2 + b(n + 1))2
- F
Rozhodnutí v prvním kole: vstoupit, pokud kladný (nezáporný?) zisk
n =
a
-
2
- 1Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 9 / 19
Interpretace modelu
Reakce na výrobu ostatních firem
Kladný zisk
Ceny vyšší než mezní
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 10 / 19
Interpretace modelu
Reakce na výrobu ostatních firem
Kladný zisk
Ceny vyšší než mezní
S počtem firem se blíží dokonalé konkurenci
Tedy klesá zisk, klesá vliv každé firmy na cenu atd.
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 10 / 19
Stacklebergův model
Kritika Cournotova modelu--současné rozhodování
Existují lídři na trhu--rozhodují se první
Je to výhoda?
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 11 / 19
Stacklebergův model
Kritika Cournotova modelu--současné rozhodování
Existují lídři na trhu--rozhodují se první
Je to výhoda?
Stále rozhodování o vyrobeném množství
Menší firmy se rozhodují po lídrech (lídru)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 11 / 19
Model
Model podobný minulému (zisk, poptávka, volba množství)
Dvě kola
Lídr volí množství jako první
Následovník (ci) volí množství jako druzí.
Co jsou strategie hráčů?
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 12 / 19
Řešení modelu
Strategie prvního hráče je množství, q1
Strategie druhého hráče je funkce q2(q1)
DRVP: Řešíme hru od konce
max
q2
p(q1 + q2)q2 - c2(q2
Řešení je q
2 (q1)
Řešení prvního kola
max
q1
p(q1 + q2(q1)) - c1(q1)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 13 / 19
příklad
Uvažujte opět p = a - bQ, ci (q) = ci q. Vyřešte.
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 14 / 19
příklad
Uvažujte opět p = a - bQ, ci (q) = ci q. Vyřešte.
q2(q1) =
a - bq1 - c2
2b
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 14 / 19
příklad
Uvažujte opět p = a - bQ, ci (q) = ci q. Vyřešte.
q2(q1) =
a - bq1 - c2
2b
Kompletní řešení
q1 =
a + c2 - 2c1
2b
q2 =
a - 3c2 + 2c1
4b
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 14 / 19
příklad
Uvažujte opět p = a - bQ, ci (q) = ci q. Vyřešte.
q2(q1) =
a - bq1 - c2
2b
Kompletní řešení
q1 =
a + c2 - 2c1
2b
q2 =
a - 3c2 + 2c1
4b
Interpretace:
Pro c1 blízké c2 volí první hráče více
Zisk prvního hráče je větší než v Cournotově modelu
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 14 / 19
Bertrandův model
Volba množství je nerealistická
Firmy volí ceny, ne množství
Stále homogenní zboží
Peníze jsou libovolně jemně dělitelné
Trh získá firma, která nastaví nižší cenu
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 15 / 19
Bertrandův model
Volba množství je nerealistická
Firmy volí ceny, ne množství
Stále homogenní zboží
Peníze jsou libovolně jemně dělitelné
Trh získá firma, která nastaví nižší cenu
Model:
Dvě firmy, každá volí cenu a prodává množství poptávané za tuto
cenu
Konstantní mezní náklady c
Trh si rozdělí napůl při stejné ceně
Strategie jsou ceny pi  R
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 15 / 19
Model
Zisk je
qi =



0 pokud pi > a
0 pokud pi > pj , i = j
a-p
2b pokud pi = pj = p < a
a-p
b pokud pi < min{pj , a}
Nashovy rovnováhy?
Obě ceny p1, p2 > c nad mezními náklady
Bertrandova rovnováha p1 = p2 = c
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 16 / 19
Model
Zisk je
qi =



0 pokud pi > a
0 pokud pi > pj , i = j
a-p
2b pokud pi = pj = p < a
a-p
b pokud pi < min{pj , a}
Nashovy rovnováhy?
Obě ceny p1, p2 > c nad mezními náklady
Alespoň jedna cena pod mezními náklady
Bertrandova rovnováha p1 = p2 = c
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 16 / 19
Model
Zisk je
qi =



0 pokud pi > a
0 pokud pi > pj , i = j
a-p
2b pokud pi = pj = p < a
a-p
b pokud pi < min{pj , a}
Nashovy rovnováhy?
Obě ceny p1, p2 > c nad mezními náklady
Alespoň jedna cena pod mezními náklady
Jedna cena rovna mezním nákladům, druhá stejná nebo vyšší
Bertrandova rovnováha p1 = p2 = c
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 16 / 19
Interpretace
Nulový zisk firem
Větší počet firem nemá žádný vliv.
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 17 / 19
Interpretace
Nulový zisk firem
Větší počet firem nemá žádný vliv.
Výsledky silně závislé na předpokladu dokonale homogenního zboží
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 17 / 19
Interpretace
Nulový zisk firem
Větší počet firem nemá žádný vliv.
Výsledky silně závislé na předpokladu dokonale homogenního zboží
Motivace firem odlišit se
Modely horizontální a vertikální diferenciace příště
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 17 / 19
Příklady
Nalezněte Nashovy rovnováhy pokud konstantní mezní náklady firem
jsou různé.
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 18 / 19
Příklady
Nalezněte Nashovy rovnováhy pokud konstantní mezní náklady firem
jsou různé.
Co když peníze nejsou nekonečně jemně dělitelné?
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 18 / 19
Příklady
Nalezněte Nashovy rovnováhy pokud konstantní mezní náklady firem
jsou různé.
Co když peníze nejsou nekonečně jemně dělitelné?
Co když mají firmy omezené kapacity, které žádné z nich nestačí k
pokrytí celého trhu?
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 18 / 19
Kartel
Motivace pro spolupráci
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 19 / 19
Kartel
Motivace pro spolupráci
Monopolní strategie (cena, množství)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 19 / 19
Kartel
Motivace pro spolupráci
Monopolní strategie (cena, množství)
Opakované hry--role diskontního faktoru
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 19 / 19
Kartel
Motivace pro spolupráci
Monopolní strategie (cena, množství)
Opakované hry--role diskontního faktoru
Příklad p = a - bQ, konstantní mezní náklady c. Pro jaký diskontní
faktor je kartel udržitelný v C. a B. modelu?
Jan Mysliveček (Přf Muni) 3/10 19 / 19