Teorie horizontální a vertikální diferenciace
Jan Mysliveček
Přf Muni
21.listopadu 2008
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 1 / 26
Technické informace
Odpoledne v M4
Přehledová přednáška 5.12--otázky do 28.11
Písemka 11.12--začátek ve 12.00 (?)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 2 / 26
Homogenní produkce
Běžný předpoklad: dokonale homogenní produkce
Naprostá většina výrobků není dokonale homogenních
Základní dva aspekty kvality
Horizontální--různé aspekty (chuť, barva, . . . )
Při stejné ceně se prodávají různé druhy
Vertikální--lepší a horší (rychlost, velikost, . . . )
Při stejné ceně by se prodávala jen
"
lepší" kvalita
Ukážeme si řadu jednoduchých modelů
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 3 / 26
Lineární město, monopol
Míra zákazníku 1: rovnoměrně rozdělení na [0, 1]
Parametr y  [0, 1] charakterizuje preference
Lze si představit, že na každém x existuje jeden zákazník
Jak monopol volí kde otevřít pobočku?
Hodnota ideálního výrobku je s
Výrobek ve vzdálenosti a má hodnotu s - t(a)
Lineární náklady t(a) = ta
Konstantní mezní náklady c < s
Typ výrobku (umístění obchodu) x  1
2 , cena p
Poptávka y : p + t(y) = s
Nakupují lidé s parametry [max{x - y, 0}, min{x + y, 1}]
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 4 / 26
Lineární město, monopol
Uvažme x - y  0, x + y  1.
Optimální cena: maxp(p - c)2 s-p
t , p = s+c
2
Nechť například x - y < 0. Pak p = xt+s+c
2
N poboček pokrývající interval, pozice ( 1
2N , . . . , 1+2i
2N , . . . , 2N-1
2N )
Proto t y
2 + p = s = p = s - t y
2
Optimální počet obchodů maxN s - t 1
2N - fN = Nm = t
2f .
Srovnání počet obchodů zvolený vládou?
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 5 / 26
Lineární město, dvě firmy, pevná pozice
Míra zákazníku 1: rovnoměrně rozdělení na [0, 1]
Parametr x  [0, 1] charakterizuje preference
Lze si představit, že na každém x existuje jeden zákazník
Dvě firmy, na pozicích 0 a 1.
Hodnota ideálního výrobku je s
Výrobek ve vzdálenosti a má hodnotu s - t(a)
Mluvíme o přepravních nákladech t()
Lze je interpretovat i jako charakteristiku preferencí
Uvažujeme symetrické přepravní náklady
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 6 / 26
Pevná pozice
Firmy mají konstantní mezní náklady c1, c2 > 0.
Současně stanovují ceny (p1, p2)
Pokud všichni nakupují, pak indiferentní hráč
x : p1 + t(x) = p2 + t(1 - x) < s
Firma maximalizující zisk stanovuje cenu p1 takto
max(p1 - c1)  x
Uvažme lineární náklady t(x) = x, pak x = p1-p2-t
-2t
Spočítejte pro kvadratické náklady
Pak optimální ceny definuje
p2 + t - 2p1 + c2 = 0 t - 2p2 + p1 + c1 = 0
Řešení je
p1 = t +
c2 + 2c1
3
, p2 = t +
2c2 + c1
3
Podmínky x = 1
2 + c2-c1
2t
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 7 / 26
Obecná pozice
Problém pro obecnou pozici 0  a < b  1 a kvadratické náklady
Mezní zákazník
p1 + t(x - a)2
= p2 + t(b - x)2
,  x =
p1 - p2
2t(a - b)
+
a + b
2
Poptávka je
D1(p1, p2) = x =
p1 - p2
2t(a - b)
+
a + b
2
, D2(p1, p2) = 1 - x
Podmínky prvního řádu jsou
a + b
2
+
p1 - p2
2t(a - b)
+
p1 - c1
2t(a - b)
= 0
1 a
+ b
2
+
p2 - p1
2t(a - b)
+
p2 - c2
2t(a - b)
= 0
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 8 / 26
Volba pozice
Řešení
p1 =
2c1 + c2
3
+ t(b - a)
1
3
(2 + b + a) (1)
p2 =
2c2 + c1
3
+ t(b - a)
1
3
(4 - b - a) (2)
Současná volba pozice a, b firmami
Vyjádřit zisk, spočítat derivaci k vlastní poloze, diskutovat znaménko
Elegantněji, s použitím tzv.
"
Envelope theorem".
1
(a, b) = (p1(a, b) - c1)D1(a, b, p1(a, b), p2(a, b) (
d1
da
=
p1
a
D1 + (p1 - c)
D1
p1
p1
a
+ (p1 - c)
D1
p2
p2
a
+
D1
a
(
Platí
1
p1
D1 + (p1 - c)
D1
p1
p1
a
= 0
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 9 / 26
Maximální diferenciace
Pak
d1
da
= (p1 - c)
D1
p2
p2
a
+
D1
a
Spočítáme
D1
p2
=
1
2
+
p2 - p1
2t(a - b)2
(5)
D1
p2
= -
1
2t(a - b)
(6)
p2
a
= -
2t
3
(4 - 2a) (7)
A tak dostaneme
d1
da
= (p1 - c1)
1
2
+
p2 - p1
2t(a - b)2
+
1
(a - b)
1
3
(4 - 2a)
Firmy tedy volí a = 0, b = 1, nebo naopak  maximální diferenciace
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 10 / 26
Příklad--vstup na trh
Předpoklad:všechny firmy budou účtovat stejnou cenu po vstupu
Lineární dopravní náklady
Dvě firmy?
Obě uprostřed, každá má polovinu trhu. Optimální?
Tři firmy? Dvě v 1
4 , jedna ve 3
4 , a naopak
Čtyři firmy, pět firem,. . . , n firem ?
Obecných n firem: V nejlevější i nejpravější pozici musí být dvě firmy
na stejném místě
Na sousedních pozicích nemůže být po jedné firmě, nikde nemohou
být tři firmy
Je-li x pozic, jejich rozmístění je [ 1
2x , 3
2x , . . . , 2x-1
2x ]
Nejvíce 2x firem, nejméně (x - 1)/2 pro x liché, (x - 2)/2 pro x
sudé
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 11 / 26
Ceny v symetrické rovnováze
Modely o vstupu na trh-rozhodnutí zda vstoupit, ne kam
Kruh je ideální objekt (žádný začátek ani konec)
Vstup n firem, vzdálenost 1
n mezi nimi
Rozhodnutí o ceně z pohledu i-té firmy, jeho cena pi
Symetrická rovnováha--cena ostatních je p
Přepravní náklady t(x) = tx
Optimální hodnota p?
Poptávka Di (pi , p) = 2x = p+t/n-pi
t
Konstantní mezní náklady c, náklady na vstup f
max
pi
(pi - c)
p + t/n - pi
t
- f ,
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 12 / 26
Vstup
V symetrické rovnováze p = c + t
n
Zisk jedné firmy t
n
1
n - f
Rozhodnutí o vstupu
Konkurenční rovnováha nc = t
f
Maximalizace blahobytu (welfare)
Užitek spotřebitelů je konstantní
Více firem snižuje transportní náklady, vyšší fixní náklady
minn nf + t
4n
Optimální počet firem je n = t
4f
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 13 / 26
Závěry
Z možných kvalit je jen relativně málo skutečně prodáváno
Nižší fixní náklady zvyšují počet nabízených typů
Podobně počet lidí (hustota)
Vyšší transportní náklady--nižší konkurence, větší počet vstupu
Konkurence vede k vstupu příliš mnoha firem
Snaha odlišit se--snižuje intenzitu konkurence
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 14 / 26
Kvalita
Horizontální aspekty: různé chutě
Neexistuje
"
lepší" a
"
horší"
Vertikální diferenciace
Všichni se shodnou na tom, co je lepší
Lidé se liší v tom, jak moc si kvality cenní
Alternativně: různá schopnost platit (majetek)
Vertikálně (vyšší je lepší)
Užitková funkce U = s - p
Parametry: preference , s kvalita, p cena
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 15 / 26
Předpoklady
Preference rovnoměrně rozdělení   [,  + 1],
Dvě firmy, kvality s1 < s2
Konstantní mezní náklady c
Technické předpoklady   2
c +
-2
3 (s2 - s1)  s1
Zaručují, aby si každý spotřebitel koupil právě jeden výrobek
Označme nejvyšší hodnotu rozdílu s = s2 - s1,  = s
Nejnižší hodnotu rozdílu  = s
Ceny p1 < p2
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 16 / 26
Rovnováha
Indiferentní spotřebitel: 

s1 - p1 = 
s2 - p2
Firma s nižší kvalitou prodává spotřebitelům s nižším 
D1(p1, p2) =
p2 - p1
s
- 
Firma s vyšší kvalitou
D2(p1, p2) =  p2
- p1
s
Optimální ceny
p1 = c +
 - 2
3
s (8)
p2 = c +
2 - 
3
s (9)
Firma s vyšší kvalitou dosahuje vyššího zisku
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 17 / 26
Závěr
Zisk firmy s vyšší kvalitou je
2 =
2 - 
3
2
s
Podobně pro firmu s nižší kvalitou
1 =
 - 2
3
2
s
Zisk obou firem roste v s
Opět případ maximální diferenciace
Konkrétní rozsah záleží na nákladech dosažení určité kvality
Různé kvality mohou mít různé mezní náklady (modelovat?)
Opět intenzita konkurence klesá když roste vzdálenost firem
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 18 / 26
Bezplatná komunikace
Různé typy agentu nebo různé stavy světa
Jestliže jeden typ hráče může udělat něco levněji (dráž), lze to použít
k odlišení agentů
Modely signalizace a screeningu
Pokud jsou pro všechny typy náklady stejné, tak to není možné
Kdy můžete věřit informaci od jiných hráčů?
Nejjednodušší model: informace; akce; výhry; podobné, ale ne
identické preference
Jeden hráč má relevantní informaci (o stavu světa)
Druhý hráč volí akci
První hráč může poslat signál z určité (velmi velké) množiny
Druhý hráč signál interpretuje
Racionální očekávání
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 19 / 26
Model
Stav světa je m  [0, 1], první hráč se ho dozví
Druhý hráč zná distribuci f (m) signálu
První hráč pošle signál n  N
Druhý hráč zvolí akci y  [0, 1]
Užitková funkce US (y, m, b), UR (y, m), U12 > 0, U11 < 0
Parametr b popisuje odlišnost preferencí
Příklad US = -(y - (m + b))2, UR = -(y - m)2
Hustota pravděpodobnosti q(|m) na N
Zpráva n zvolena někdy zvolena pokud q(n|m) > 0
Nějaká zpráva je vždy odeslána: N
q(n|m)dn = 1
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 20 / 26
Zprávy
Apriorní očekávání stavu světa určeno f (m)
Na základě zprávy n a strategie q(n|m) je posteriorní odhad
p(m|n) =
q(n|m)f (m)
1
0
q(n|t)f (t)dt
Druhý hráč volí strategii y(n) tak, aby maximalizoval svůj užitek
maxy
1
0
UR
(y, m)p(m|n)dm.
Racionální očekávání--opakovaná hra, schopnost se učit
Hráče nelze systematicky mást
Jak manipulovat informaci dokonale chytrému hráči?
Optimální akce musí splňovat
yS
(m, b) = arg max
y
US
(y, m, b) (10)
yR
(m) = arg max
y
UR
(y, m) (11)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 21 / 26
Podmínky rovnováhy
Lemma
Pokud yS (m, b) = yR (m) pro všechna m, pak existuje  > 0 takové, že
pro každé akce u, v indukované v rovnováze platí |u - v| > . Důsledkem
toho tvrzení je, že množina indukovaných akcí je konečná.
Pro jednoduchosti je množina zpráv [0, 1], ale snadno lze zobecnit
Označme y(a, a) = arg max
a
a
UR (y, m)f (m)dm
Množina zpráv bude dělena na a(N) = [a0, . . . , aN ]
Optimální dělení je definováno
US
(y(ai , ai+1), ai , b) - US
(y(ai-1, ai ), ai , b) = 0 (12)
y(n) = y(ai , ai+1), n  (ai , ai+1) (13)
a0 = 0, a1 = 1 (14)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 22 / 26
Výsledky
Pro každé 1  N  N(b) existuje dělení
[0, 1] = [0 = a0, a1, . . . , aN = 1]
Pro každé m  (ai , ai+1) je odeslána náhodně (rovnoměrně)
rozdělená zpráva
Druhý hráč identifikuje interval, kde se signál nachází
Akce zvolí optimálně vzhledem k tomuto intervalu
N(b) je maximální n takové, aby existovalo příslušné dělení
Podmínky na dělení vedou na diferenciální rovnici
Podrobný postup ukážeme na příkladu
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 23 / 26
Příklad
Užitkové funkce
US (y, m, b) = -(y - (m + b))2, UR (y, m) = -(y - m)2
Rovnoměrné rozdělení na intervalu M = N = [0, 1], f (m) = 1
Ukažte y(a, a) = (a + a)/2
y(x, y) = arg max
y
a
a
UR
(y, m)f (m)dm =
= arg max
y
a
a
-(y - m)2
dm
= arg max -y2
(a - a) + 2
a
a
ymdm -
a
a
m2
dm =
= arg max
y
-y2
(a - a) + 2y(a2
- a2
) ,
Indiferentní hráč
US
(y(ai , ai+1), ai , b) - US
(y(ai-1, ai ), ai , b) = 0
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 24 / 26
Řešení
Podmínky y(n) = y(ai , ai+1) , a0 = 0, a1 = 1
Odesílatel který obdrží signál a1 musí být indiferentní mezi tím, když
první hráč zvolí akci příslušnou intervalu [0 = a0, a1]
Podmínka
ai
+ ai+1
2
- (ai + b)2
= ai
+ ai-1
2
- (ai + b)2
Vede na diferenciální rovnici
ai+1 = 2ai - ai-1 - 4b
Homogenizované rovnice
t2
- 2t + 1 = 0,
Obecné řešení je a(i) = C + Di
Partikulární řešení je x(i) = Ei2
Počáteční podmínka vede na C = 0
Dále E = b, koncová podmínka by určila D
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 25 / 26
Závěr
Místo toho volíme a1 jako podmínku
Řešení
ai = a1i + 2i(i - 1)b,
Nejjemnější možné dělení je pro max. i kde ještě 2i(i - 1)b < 1
Pomocí dolní celé části x, x definujeme
N(b) =
1
2
+
1
2
1 +
2
b
1
2
,
Pro b jdoucí k nule roste N(b)
Čím méně se dva hráči liší, tím kvalitnější může být signál
Jan Mysliveček (Přf Muni) 7/11 26 / 26