Ekonomie informací a nejistoty
Jan Mysliveček
Přf Muni
31.října 2008
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 1 / 26
Informace a nejistota
Řada událostí je značně nejistých
Informace o událostech je někdy obtížně získatelná
Jistota má svoji hodnotu (pro někoho)
Užitková funkce U(x), x je koš jistých statků
Ocenění losu, akcie nebo investičního projektu?
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 2 / 26
Loterie
Předpoklady: X množina
p : X  R0
+ konečné pravděpodobnostní rozdělení
Tedy p(x)  0 a supp(p) = {x : x  X, p(x) > 0} je konečná,
xsupp(p) p(x) = 1
Množinu všech p označujeme P
Příklad: X = {0, 1000000Kč}, p(0) = 0.999999
Na P lze definovat následující operaci
Nechť p, q  P a   [0, 1]. Definujeme
(p + (1 - )q)(x) = p(x) + (1 - )q(x)
Ověřte, že výsledek této operace leží opět v P.
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 3 / 26
Preference
Motivace:
Start: Preference na X
Cíl: Preference na množině loterií P
Přirozené požadavky na preference na P
Striktní preference, srovnatelné objekty
Axiom
Striktní preference jsou asymetrické a negativně transitivní.
Asymetričnost znamená, že neexistují dvě loterie p, q takové, že by zároveň
platilo x y a y x. Negativně transitivní preference musí splňovat, že
pokud x y, pak pro každé z  P platí buď x z nebo z y.
Axiom o nahraditelnosti
Axiom
Nechť p, q  P, p q. Pro libovolné r  P a   (0, 1) platí
p + (1 - )r q + (1 - )r.
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 4 / 26
Preference a užitková funkce
Neexistence extrémních loterií
Axiom
Nechť p, q, r  P takové, že p q r. Pak existují ,   (0, 1) takové,
že
p + (1 - )r q p + (1 - )r
Příklad: X = R0
+, X je stav na účtu.
Příklad: p q  Ep  Eq, kde Ex je střední hodnota loterie x
Splnění těchto axiomů je ekvivalentní existenci užitkové funkce
Věta
Preferenční uspořádání na množině P splňuje uvedené tři axiomy tehdy a
jen tehdy, existuje-li funkce u : X  R taková, že
p q  
xsupp(p)
u(x)p(x) > 
xsupp(q)
u(x)q(x),
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 5 / 26
Averze k riziku
Odteď X  R, jistá věc x je loterie z P, x (x) = 1
Neostré preference: x y pokud neplatí, že y x.
Indiference: x  y pokud neplatí x y ani y x.
Věta
Pro libovolné x > y, x, y  X platí, že x y tehdy a jen tehdy, je-li
příslušná užitková funkce u striktně rostoucí.
Definice
Označme Ep = x xp(x). Pokud pro daného hráče platí, že Ep p,
říkáme, že hráč je rizikově averzní.
Věta
Hráč je rizikově averzní tehdy a jen tehdy, je-li příslušná užitková funkce
konkávní.
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 6 / 26
Příklad
Los l: výhra 0 nebo 100 Kč, pravděpodobnost výhry je 0.1
Majetek hráče je před koupí 100Kč. Užitková funkce u(x) =

x.
Je hráč averzní k riziku? Hodnota losu?
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 7 / 26
Příklad
Los l: výhra 0 nebo 100 Kč, pravděpodobnost výhry je 0.1
Majetek hráče je před koupí 100Kč. Užitková funkce u(x) =

x.
Je hráč averzní k riziku? Hodnota losu?
E(l) = 10, u(110) > 0.1u(200) + 0.9u(100)
Protože 10.4880 > 10.414, agent je rizikově averzní.
Maximální částka t co je ochoten zaplatit
u(100) = 0.1u(200 - t) + 0.9u(100 - t)
Řešení t = 5
8 (27

5 - 47) = 8.36 < 10
Riziko vyhledávající p Ep
Koeficient absolutní averze k riziku
(x) = u
(x)
u (x)
Konstantní absolutní averze k riziku u(x) = -e-x
(x)  0 - rizikově averzní preference
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 7 / 26
Závěry
Užitková funkce u na X definujeme preference nad loteriemi
p q  
xsupp(p)
u(x)p(x) > 
xsupp(q)
u(x)q(x)
Parametr postoje k riziku (x) = -u (x)
u (x)
Více rizikově averzní hráč (x)  (x), x
Firmy obvykle považujeme za rizikově neutrální ( = 0)
Lidé jsou většinou rizikově averzní ( < 0)
Experimentální metody měření averze k riziku (výběr mezi loteriemi s
různým rizikem)
Příklad: Mám 5000 Kč, potřebuji 10000Kč na operaci, jakou cenu má
loterie s p(10000) = 0.1?
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 8 / 26
Rozhodování se při nejistotě
Nejistota o stavech světa
Možné stavy (s1, . . . , sS )
Hráč musí zvolit akci z (x1, . . . , xX )
Důsledek stavu světa a akce označujeme c(x, s)
Užitková funkce u(c(x, s))
Cílem hráče je vybrat optimální akci, s ohledem na stav světa
Informace o stavu světa
Očekávání  = (1, . . . , S )
Pravděpodobnostní rozdělení pi  0, i pi = 1
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 9 / 26
Optimální akce
Optimální akce maximalizuje
U(x, ) = 1v(c(x, 1)) +    + S v(c(x, S))
Očekávání určují optimální akci
Příklad: Dva stavy světa (bude pršet, nebude pršet), dvě akce (vzít si
deštník, nevzít)
Užitek když nezmoknu a nenesu deštník je 200
Nést deštník snižuje užitek o 10, zmoknutí o 100
Očekávám, že bude pršet s pravděpodobností 0.2.
Optimální akce?
Vzít deštník je lepší než nevzít pokud
190 > 0.2  100 + 0.8  200 = 180
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 10 / 26
Informace
Nové informace upřesňují stav světa
Informační zdroj zpráv {m1, . . . , mM }
Označme jms pravděpodobnost, že stav světa je s a zpráva je m
Příklad: Předpověď počasí
Předpověd stav světa Bude pršet Nebude pršet Součet
Dobrá předpověd 0.2 0.1 0.5
Špatná předpověd 0.00 0.7 0.5
0.2 0.8 1
Definujeme nepodmíněnou pravděpodobnost qm signálu m a

m
jms = s, 
s
jms = qm, s|m =
jsm
qm
(1)
Často dostáváme zadanou kvalitu zdroje, např. P(Dobra|Bude prset)
Zajímá nás více P(Bude prset|Dobra)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 11 / 26
Používání informací
Jak optimálně využít zdroje informací?
Na základě zprávy vytvořit nová, přesnější, očekávání
Jaká je pravděpodobnost, že bude pršet, jestliže předpověď je špatná?
P(prset|spatna) =
P(spatna|prset)P(prset)
P(spatna)
= (2)
=
P(spatna|prset)P(prset)
P(spatna|prset)P(prset) + P(spatna|nebude prset)P(nebude prset)
(3)
P(prset|spatna) =
P(spatna&prset)
P(spatna)
=
0.7
0.8
= 0.875 (4)
Další vztahy

m
qm|s = 1, 
s
s|m = 1,
Optimální proces tvorby nového odhadu pomocí Bayesova pravidla
s|m =
sqm|s
s sqm|s
=
sqm|s
qm
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 12 / 26
Příklady
Pacient může mít rakovinu (stav světa A), nebo ne (stav světa N).
Apriorní odhad, že náhodně vybraný člověk má rakovinu je 0.0001
Test u člověka s rakovinou je pozitivní s pravděpodobností 99%
Test je pozitivní u člověka bez rakoviny s pravděpodobnostní 1%.
Jaká je pravděpodobnost, že máte rakovinu když máte pozitivní test
(Tipněte si !)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 13 / 26
Příklady
Pacient může mít rakovinu (stav světa A), nebo ne (stav světa N).
Apriorní odhad, že náhodně vybraný člověk má rakovinu je 0.0001
Test u člověka s rakovinou je pozitivní s pravděpodobností 99%
Test je pozitivní u člověka bez rakoviny s pravděpodobnostní 1%.
Jaká je pravděpodobnost, že máte rakovinu když máte pozitivní test
(Tipněte si !)
Výpočet a označení: A = 0.0001, N = 0.9999, q1|A = 0.99,
q0|A = 0.01
p(A|1) =
q1|A  A
q1|A  A + q1|N  N
=
0.0001  0.99
0.0001  0.99 + 0.01  0.9999
= 0.01
Všimněte si jak relativně kvalitní test máme a jak malá je posteriorní
pravděpodobnost nemoci
Velmi jistý apriorní odhad, relativně(!) málo informativní test
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 13 / 26
Příklad--kino
Příklad
Uvažujete jak strávit večer. Klidný večer doma má hodnotu (po normalizaci) 0,
zatímco dobrý film v kině má hodnotu (po započtení nákladu) hodnotu 100,
zatímco špatný film má hodnotu -200. Odhadujete, že film je dobrý s 50ti
procentní pravděpodobností. Chcete jít do kina? Co když dostanete možnost
podívat se na online review. Review je příznivé s pravděpodobností 0.8, pokud je
film dobrý a s pravděpodobností 0.4, pokud je film špatný. Pokud je review
nepříznivé, půjdete do kina? Pokud je příznivé?
Příklad
Uvažujete jak strávit večer. Klidný večer doma má hodnotu (po normalizaci) 0,
zatímco dobrý film v kině má hodnotu (po započtení nákladu) hodnotu X,
zatímco špatný film má hodnotu Y < 0. Odhadujete, že film je dobrý s 50ti
procentní pravděpodobností. Opět máte k dispozici recenzi. Recenze je příznivá s
pravděpodobností p, pokud je film dobrý a s pravděpodobností 1 - p, pokud je
film špatný. Jaké musí být p, aby vás přesvědčilo jít do kina?
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 14 / 26
Hodnota informace
Přesnější odhad umožňuje lepší rozhodování a to má cenu
Signalizační zařízení zvyšuje užitek
U = Es {max EU( se signalem) - max EU(bez signalu)}
Nelze si koupit zprávu m, ale signalizační zařízení
Každý informační má nezápornou hodnotu (zprávu lze ignorovat)
Hodnota v
"
užitku"
M

m=1
qm max
x{x1,...,xX }

s{s1,...,sS }
s|mv(c(x, s)) - max
x{x1,...,xX }

s{s1,...,sS }
s v(c(x, s)),
Monetární hodnota v je definovaná pomocí posteriorního odhadu
s|m
M

m=1
qm max
x{x1,...,xX }

s{s1,...,sS }
smv(c(x, s) - v) = max
x{x1,...,xX }

s{s1,...,sS }
sj v(c(x, s))
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 15 / 26
Hodnota informace­aplikace
Informace má hodnotu, pokud alespoň pro jeden stav světa a jednu
zprávu vede ke změně akce
Monty Hall problém
Troje dveře, za jedněmi je cena. Hráč jedny vybere, ze zbylých dvou
jsou vybrány ty, za kterými nic není (náhodně)
Hráč dostane možnost změnit svoji volbu. Má?
Kolik je nejvíce hráč ochoten za tuto informaci a možnost změny
zaplatit?
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 16 / 26
Sekvenční hra
Zatím jeden hráč, jedna zpráva
Postupné zpracování informace
Dva možné stavy světa (H, L), dvě akce, optimální v různých stavech
(aL, aH)
U(aH, H) = U(aL, L) = U > 0 = U(aH, L) = U(aH, L)
Hráči i = 1, 2, . . ., čas t = 1, 2, . . .
Hráč i hraje v kole i.
Každý hráč má vlastní signál (h nebo l)
Apriorní odhad p(H) = p(L)
Kvalita signálu p = p(h|H) = p(l|L)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 17 / 26
Strategie hráčů
Každý hráč zná jen svůj signál a minulé akce ostatních hráčů.
Každý hráč maximalizuje vlastní užitek
První hráč má jen svůj signál
Signál je informativní, pravděpodobnost že stav světa je H po signálu
h
p(H|h) =
p(h|H)p(H)
p(h|H)p(H) + p(h|L)p(L)
= p
První hráč hraje H když dostane signál h, L když l.
Druhý hráč vidí akci prvního hráče
Z toho lze zjistit jaký měl signál
Pokud má stejný signál jako první hráč, volí stejnou akci
Pokud má opačný signál, jeho odhad je p(H|hl) = 1
2 = p(H|lh)
Je indiferentní mezi aH a aL, předpokládejme že hraje s prav. 1
2
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 18 / 26
Další hráči
Třetí hráč zná signál první hráče
Zná signál druhého hráče pokud byl opačný a druhý hráč zvolil
opačnou akci
Pokud vidí stejnou akci od prvních dvou hráčů, není jisté, že by oba
dostali stejný signál
Pokud oba hráči zahráli totéž, i třetí hráč to zahraje bez ohledu na
svůj signál
Uvažme aH, aH, l,
P(H|(aH , aH , l)) =
P(H  (aH , aH )  l)
P((aH , aH ), l)
=
P((aH , aH ), l|H)P(H)
P(H)P((aH , aH ), l|H) + P(L)P((aH , aH ), l|L)
=
=
P(hhl|H) + 1
2 P(hll|H)
P(hhl|H) + 1
2 P(hll|H) + P(hhl|L) + 1
2 P(hll|L)
=
=
p2(1 - p) + 1
2 p(1 - p)2
p2(1 - p) + 1
2 p(1 - p)2 + p(1 - p)2 + 1
2 p2(1 - p)
=
=
p + 1
2 (1 - p)
3
2 p + 3
2 (1 - p)
=
p + 1
3
>
1
2
Hráč ignoruje vlastní informaci, volí aH.
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 19 / 26
Informační kaskády
Po dvou stejných akcích další hráči ignorují vlastní informaci
Kdyby signály byly pozorovatelné, informace by nebyla ignorována
Korektní kaskáda začne po hře dvou hráčů
P1 = P(H)[P(hh|H) +
1
2
P(hl|H) + P(L)[p(ll|L) +
1
2
P(lh|L)] = p2 +
1
2
p(1 - p)
Nekorektní kaskáda po hře dvou hráčů
P2 = P(H)[P(ll|H) +
1
2
P(hl|H) + P(L)[p(hh|L) +
1
2
P(lh|L)] = (1 - p)2 +
1
2
p(1 - p)
Žádná kaskáda P3 = p(1 - p)
Pravděpodobnost, že nekorektní kaskáda někdy začne
P2 = P2 + P3P2 + P2
3 P2 +    =
P2
P1 + P2
<
1
2
Co se stane, když hráč sleduje vlastní signál, pokud je indiferentní?
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 20 / 26
Selekce
Minule: motivace různých typů agentů přes kontrakty
Více (h) a méně (l) produktivní agent, podíl  typu h
Principálovi přinesou wh > wl
Průměrný výnos w0 = wh + (1 - )wl
Hodnota vedlejší příležitosti (cl < ch)
Co když ch > w0?
Existuje-li aktivita levnější pro typ h, lze ji využít k oddělení typů
Vzdělání: bez vlivu na produktivitu
Náklady c(z, h) < c(z, l)
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 21 / 26
Odlišení agentů
Konkurence mezi principály
Principál bude vyžadovat vzdělání z aby dal mzdu wh, jinak wl
Příklad: náklady c(z, h) = chz, c(z, l) = cl z, cl > ch
Hledáme kontrakt oddělující různé typy agentů
w - chz  wl , w - cl z  wl
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 22 / 26
Grafické zobrazení
Uh
= w - chz
Ul
= w - clz
(^z, ^w)
(z, w)
Obrázek: Grafické zobrazení optimálního kontraktu
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 23 / 26
Optimální kontrakt a příklad
Obecný kontrakt může vyžadovat dvě úrovně vzdělání
Není optimální vyžadovat kladné vzdělání od l typu
Existuje řada úrovní, které lze v rovnováze vyžadovat od h typu
Konkurence mezi principály vede na nejnižší úroveň která odděluje
oba typy
Příklad
Dobrá auta mají hodnotu 100000Kč pro kupující, 75 000Kč pro
prodávající, nespolehlivá jen 50 000Kč pro kupující, 25 000Kč pro
prodávající. Existuje konečný počet aut na trhu, ale neomezená poptávka
(při těchto hodnotách). V průměru dvě třetiny aut jsou spolehlivé, jedna
třetina nespolehlivá. Prodávající znají kvalitu svého auta, kupující ji nevidí.
Jaké ceny mohou nastat v rovnováze? Co se stane, když kupující dostanou
možnost koupit si prohlídku auta za 1000Kč, která s jistotou určí typ auta?
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 24 / 26
Signalizace
V modelu selekce principál volí požadovanou úroveň vzdělání
Často ale agent musí zvolit vzdělání první--signalizuje typ
Podle existujících úrovní vzdělání agentů principál nabídne kontrakty
V rovnováze budou existovat dvě úrovně vzdělání
Odpovídající očekávání principála, aby šlo o rovnováhu
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 25 / 26
Příklad
Příklad
Následující příklad ukazuje, že zatím probrané problémy asymetrie informací se nemusejí vyskytovat odděleně. Firma najímá
cestovního agenta, který vyhledává potenciální zákazníky, aby jim prodal zboží této firmy. Existují dva typy agentů--s vysokou a
nízkou schopností (ability). Tyto schopnosti jsou v populaci rozděleny rovnoměrně, tj. obě s 50ti procentní pravděpodobností.
Agent kromě toho volí úsilí--nízké (a = 0) nebo vysoké (a = 1). Jeho užitková funkce je U(x, a) =

x - a. Hodnota ostatních
příležitostí je pro něj 5, tzn. že nikdy nepřijme kontrakt s očekávaným užitkem menším než 5.
Pokud agent uspěje a podaří se mu prodat, firma dosáhne zisku $100. Šance ale závisejí na úsilí i na vrozené schopnosti. Pokud
má agent vysokou schopnost a vyvine vysoké úsilí, prodá s pravděpodobností .9. S vysokou schopností a nízkým úsilím prodá s
pravděpodobností .6. S nízkou schopností a vysokým úsilím je pravděpodobnost úspěchu .5, a v případě nízké schopnosti a
nízkého úsilí je to jen 0.3.
Předpokládejte, že úsilí i typ agenta jsou pozorovatelné. Jaký je optimální kontrakt pro agenta s nízkou schopností a pro agenta
s vysokou schopností? Jaký bude jimi zvolené úsilí a zisk firmy?
Co se stane, když nabídnete tyto kontrakty v situaci, když nejste schopni pozorovat typ agentů?
Navrhněte optimální kontrakt(y) v situaci, kdy ani úsilí ani typ agenta není pozorovatelný. Jaký je váš zisk?
Jan Mysliveček (Přf Muni) 31/10 26 / 26