Domácí úkol 1.
Termín odevzdání pro následující příklady je 17.10, 12:00 na přednášce. Můžete vytvořit skupiny
o maximálně třech členech, v rámci kterých na řešení můžete spolupracovat. Jména všech členů
skupiny musí být uvedeny na každém řešení. Každý může být členem nejvýše jedné skupiny. Každý
musí odevzdat vlastní řešení. Je ve vašem vlastním zájmu, aby řešení nebylo mechanicky opsané.1
V případě mechanického opisování mezi skupinami se nebudou počítat žádné body všem, kteří
odevzdají takto vzniklé řešení i autorovi originálu.
Váha tohoto úkolu na celkové známce je 10%. Správné výsledky bez vysvětlení jak se k nim
autor dostal jsou bezcenné. Vysvětlení by mělo být přiměřeně stručné a maximálně k věci. Vyřešení
a sepsání výsledků je asi nejlepší možnou přípravou na zkoušku.
Příklad 0.0.1 Uvažte následující hru dvou hráčů v normální formě
Muž
H B
Žena H (1, a) (c, 1)
B (1, b) (d, 1)
Určete hodnoty parametrů a, b, c, d tak, aby hra měla Nashovu rovnováhu (B, B). Pro jaké parametry
je to jediná Nashova rovnováha? Kdy jde o řešení vzniklé opakovanou iterací dominovanných
strategií?
Příklad 0.0.2 Formulujte následující problém jako hru dvou hráčů v normální formě a ukažte,
že v každé Nashově rovnováze hra končí okamžitě. Dva hráči vedou spor o daný objekt. Hodnoty
předmětu jsou v1 a v2. Čas je spojitá proměnná se začátkem v 0 a jdoucí až do nekonečna. Každý
hráč má možnost odstoupit ze sporu. V takovém případě spor končí a předmět získává druhý hráč.
Vedení sporu je náročné. Za každou jednotku času vedení sporu se užitek obou hráčů snižuje o 1.
Pokud odstoupí oba hráči najednou, každý z nich získá daný předmět s 50% pravděpodobností.
Příklad 0.0.3 Následující situaci zapište jako poziční hru dvou hráčů s neúplnou informací a nalezněte
všechny její Nashovu rovnováhy v čistých i smíšených strategiích. První hráč obdrží kartu,
která má budťo černou (kříže, piky) nebo červenou (srdce, káry) barvu, se stejnou pravděpodobností.
Hráč 2 nevidí barvu této karty. První hráč může přiznat, že je karta červená a pak zaplatí 100Kč
druhému hráči. Alternativně druhý hráč může tvrdit, že karta je černá. Druhý hráč pak muže tuto
informaci přijmout a zaplatit 100Kč prvnímu hráči. Druhý hráč ale může také trvat na tom, aby
mu první hráč kartu ukázal. Pokud byla černá, pak musí druhému hráči zaplatit 400Kč. V opačném
případě od prvního hráče tyto peníze dostane. Analyzujte rovněž sekvenčně racionální rovnováhy
a WPBE.
Příklad 0.0.4 Ve městě X. jsou dva týmy v nejvyšší fotbalové lize, označené A a B. Lístek na
zápas týmu A stojí PA, a PB pro tým B. Při těchto cenách je množství prodaných lístků na zápasy
na hřišti týmu A roven 21 - 2PA + PB a 21 - 2PB + PA pro tým B. Interpretujte znaménka u cen
v poptávkových funkcích. Nalezněte Nashovu rovnováhu v cenách.
Příklad 0.0.5 Předpokládejte, že k výrobě jedné jednotky mosazi je potřeba jedna jednotka mědi
a jedna jednotka zinku. Trh vyrábějící mosaz je dokonale konkurenční a výroba směsi nic nestojí,
takže cena mosazi je rovna součtu cen mědi a zinku. Na trhu mědi existuje jediný výrobce (monopol)
s nulovými výrobními náklady a totéž platí i pro zinek. Poptávka po mosazi je q = 900 - 2p, kde q
je poptávané množství mosazi při její cenně p. Pro měď a zinek neexistuje žádné jiné využití než
pro výrobu mosazi. Oba výrobci volí cenu. Nalezněte Nashovu rovnováhu jejich strategiích.
1I když nějaký problém nejste sami schopni vyřešit, zcela nejefektivnější je nechat si jen poradit a pak sepsat
vlastní řešení a případně zkontrolovat výsledky. Mechanické opisování je v podstatě zbytečné.
1