Zkouška 12.12 Tento text je stručným shrnutím vzorového řešení prvního písemného testu z předmětu Matematické modely v ekonomii. Některé detaily řešení jsou ponechány na čtenáři. Řešení 1.1 1. Jde o hru dvou hráčů, proto N = {1, 2}. Jejich strategie jsou nezáporná reální čísla: Si = R+ 0 . Užitek je U1(e1, e2) = 1000000 - e1 e1 > e2 500000 - e1 e1 = e2 -e1 e1 < e2 2. Ukážeme, že žádné čisté NR neexistují. Sporem: nechť e A, e B jsou rovnovážné strategie. Pokud e A = e B, pak si libovolný z hráčů polepší tím, že zvýší své úsilí o > 0 dostatečně malé. Pokud jeden z hráčů volí menší (kladné) úsilí než druhý hráč, pak si polepší tím, že sníží úsilí na nulu. Pokud jen jeden z hráčů volí nulové, tak si druhý hráč polepší tím, že sníží svoje úsilí na polovinu, přičemž stále vyhraje. 3. Označme eA, eB nejmenší úsilí obou hráčů zvolené s kladnými pravděpodobnostmi v rovnováze. Tyto pravděpodobnosti označme pA, pB. Podobně jako v předchozí části lze ukázat, že si každý hráč může polepšit. Nechť například eA = eB, pak si libovolný hráč může polepšit tím, že zvýší úsilí o > 0 dostatečně malé, protože zvítězí pokud oba hráči zvolí (s pravděpodobností pA pB) stejné úsilí, což zvýší jeho očekávanou výhru o 1000000 pA pB ale náklady jen o pA , což je menší číslo pro dostatečně malé > 0. 4. Pokud hráči volí úsilí zároveň, je jejich problém max ei (1000000) ei ei + ej - ei Tento problém vede na podmínky prvního řádu 1000000ej = (ej + ei)2 = 1000000ei Z toho snadno získáme eA = eB = 1 4 1000000. Každý hráč má stejnou, tedy poloviční pravděpodobnost, výhry. Řešení 1.2 1. Pokud znám náklady potenciálního dodavatele, mohu zvolit mzdu w = cx, kde x je mnou poptávané množství a c jsou jeho mezní náklady. Optimální poptávka x je určena problémem max x x - cx, který má řešení xH = 400 9 pro hráče s vysokými náklady a xL = 100 pro hráče s nízkými náklady. Očekávaný zisk je vážený průměr zisků z kontraktů s jednotlivými typy dodavatelů, kde váhy jsou pravděpodobnosti daných typů, tedy Upublic = 1 2 ( 100 - 0.05 100) + 1 2 ( 400 9 - 3 40 400 9 ) = 25 6 2. Jakmile je nějaký kontrakt přijatelný pro dodavatele s vysokými náklady, je přijatelný i pro dodavatele s nízkými náklady. Optimální kontrakt tedy musí být přijatelný pro dodavatele s vysokými náklady. Zisk z kontraktu je stejný, ať už jej vykonává dodavatel s nízkými nebo vysokými náklady, protože oba kontrakty jsou stejné (a přijatelné). Maximalizační problém je tedy max x - w, w - cLx 0, Lze snadno vidět, že optimální kontrakt je stejný jako optimální kontrakt pro dodavatele s vysokými náklady a pozorovatelným typem. Tedy nabídnutý kontrakt je x = 400 9 , w = 3 40 400 9 ). Očekávaný užitek je Udva = 10 3 . 3. Z výše uvedeného vyplývá, že jakmile je kontrakt přijatelný pro jediný typ, musí to být typ s nízkými náklady. Pro tento typ je optimální kontrakt x = 100, w = 5. Očekávaný užitek je Ujeden 1 2 (10 - 5) + 1 2 0 = 2.5, protože s padesáti-procentní pravděpodobností narazíme na dodavatele s vysokými náklady, který kontrakt nepřijme. 4. Pokud hledáme optimální kontrakty, které odliší oba hráče, musíme hledat mezi kontrakty, které splňují w1 - cLx1 0, w2 - cHx2 0, (1) w1 - cLx1 w2 - cLx2, w2 - cHx2 w1 - cHx1 (2) 1 Podmínka přijatelnosti pro agenta s vysokými náklady a podmínka, že kontrakt je optimální pro hráče s nízkými náklady, musí být splněny s rovností.1 Z první podmínky dostaneme w2 = cHx2 a w1 - cLx1 = w2 - cLx2 Vyjádříme mzdy w1, w2 a dosadíme je do maximalizačního problému max x1,x2 x1 + x2 - (cH - cL)x2 - cLx1 - cHx2 Řešení je x1 = 1 2 1 cL 2 , x2 = 1 2(2cH - cL) 2 Dosazením dostaneme x1 = 100, x2 = 25, w2 = 45 8 , w1 = 15 8 Očekávaný užitek je v oddělující rovnováze je Uoddelujici = 1 2 ( 100 - 45 8 ) + 1 2 ( 25 - 15 8 ) = 15 4 Zbývá ověřit, že podmínky, u kterých jsme předpokládali, že budou splněny (s nerovností) jsou skutečně splněny. Stačí do nich dosadit. 5. Porovnáním zjistíme, že pro principála je optimální (vede k jeho nejvyššímu užitku) nabídnout dva různé kontrakty, jeden určený pro dodavatele s nízkými náklady a druhý pro dodavatele s vysokými náklady. Jednoduchý výpočet ukáže, že zisk dodavatele s vysokými náklady se nezměnil, neboť 0 = 15 8 - 3 40 25 = 0. Zisk dodavatele s vysokými náklady vzroste z nuly v pozorovatelném případě na 45 8 - 5 = 5 8 . Množství vyráběné dodavatelem s nízkými náklady se nezměnil, zato klesl u dodavatele s vysokými náklady. Řešení 1.3 1. Obrázek je jednoduchý, protože lev (hráč) má dvě možnosti a v případě, že se rozhodne nesežrat, hra končí. ˇ 3 Nesezrat yyrrrrrrrrrr Sezrat &&MMMMMMMMMMMMM (0, 0, 0) ˇ 2 Nesezrat yyssssssssssss Sezrat ##GGGGGGGGGGG (0, 0, 1) ˇ 1 Nesezrat {{xxxxxxxxxx Sezrat $$HHHHHHHHHH (0, 1, -1) (1, -1, -1) 2. Pokud hru řešíme od konce, musíme začít s rozhodnutím hráče, který hraje nakonec, tedy lva s číslem 1. Pokud je první lev na řadě, pak jsou ve hře dva lvi. Lev s číslem 1 se tedy rozhodne lva s číslem 2 sežrat, protože sežrán být nemůže a sežrat je lepší než nesežrat. Druhý lev toto bere v úvahu, když se rozhoduje o úroveň výš, tedy když se rozhoduje o tom, zda sežrat lva s číslem 3. Je pro něj optimální nesežrat lva s číslem 3, protože kdyby ho sežral, tak by byl pak následně sežrán. Je tedy lepší nesežrat. Třetí lev toto bere v úvahu a proto je optimální sežrat lva s číslem 4 atd. Optimální strategie lichého lva je tedy sežrat sousedního lva. Sudý lev preferuje nesežrat sousedního lva. Řešení 1.4 1. Optimální pozice je 301 metrů od levého okraje.2 Tím u vás nakoupí maximální počet lidí, celkem 700, a váš hrubý zisk je 700 (15 - 9) = 4200. Náklady jsou 1000Kč, takže čistý zisk je 3200 Kč, dostatečně mnoho na to, aby bylo optimální vstoupit i v případě, že hodnota vedlejší příležitosti je 3000Kč. 2. Pokud vám obecní úřad nařídí umístit stánek do pozice 300m od pravého okraje, přijde za vámi 500 lidí a dosáhnete hrubého zisku 500 6 = 3000Kč, což je více než přímé náklady (1000Kč), ale ne dost na to, abyste vstoupili pokud si jinde máte možnost vydělat 3000Kč, protože váš čistý zisk by byl menší (jen 2000Kč). 1Kdyby jedna z těchto dvou podmínek nebyla splněna s rovností, existoval by lepší kontrakt pro principála stále přijatelný pro oba hráče. 2Pokud uvažujete vzdálenost jako spojitou veličinu, je optimální libovolná vzdálenost 300 + , kde > 0 je malé číslo, menší než 1. 2