Matematické modely v ekonomii Úvod do Teorie Her Jan Mysliveček CERGE-EI 19.záíí 2008 □ s - = -€. -o<\(y Technické informace 1. • Jan Mysliveček, CERGE-EI, Praha, email: jan.myslivecek@cerge-ei.cz • Konzultace: v dny výuky, po dohodě □ s Technické informace 1. • Jan Mysliveček, CERGE-EI, Praha, email: jan.myslivecek@cerge-ei.cz • Konzultace: v dny výuky, po dohodě • Plánované termíny přednášek (změna vyhrazena) • 19.září • 3.října • 17.října • 31.října • 7.listopadu • 21.listopadu • 5. prosince • 12. prosince - zkouška, Q&A □ s Technické informace 2. Domácí úkoly - individuální, příprava ke zkoušce □ s - = -€. -o<\(y Technické informace 2. • Domácí úkoly - individuální, příprava ke zkoušce • Zkouška - písemná, 2-3 hodiny, příklady Tři typy otázek: • probrané modely (jiná čísla) • aplikace či modifikace modelů • neformální, intuitivní diskuse implikací alternativních předpokladů □ s Technické informace 2. • Domácí úkoly - individuální, příprava ke zkoušce • Zkouška - písemná, 2-3 hodiny, příklady • Tři typy otázek: • probrané modely (jiná čísla) • aplikace či modifikace modelů • neformální, intuitivní diskuse implikací alternativních předpokladů • Cvičení a přednášky se budou prolínat • Účast nebude vyžadována (ale bude užitečná) □ s Předpoklady, Literatura Předpoklady kurzu: • Žádné formální předpoklady • Praktické dovednosti teorie pravděpodobnosti, derivace, integrály, • Matematický formalismus (předpoklad, definice, důkaz) • Samostatné dostudovávání • Elementární ekonomické znalosti výhodou, ale ne nutné □ s Předpoklady, Literatura Předpoklady kurzu: • Žádné formální předpoklady • Praktické dovednosti teorie pravděpodobnosti, derivace, integrály, • Matematický formalismus (předpoklad, definice, důkaz) • Samostatné dostudovávání • Elementární ekonomické znalosti výhodou, ale ne nutné Zdroje a materiály • Prezentace • Text ke kurzu • V angličtině - online texty knih, články • Zdroje vždy uvedeny k příslušné kapitole □ s - Obsah a cíle kurzu Cíle kurzu: • Ukázka moderní ekonomie a způsobů využití matematiky □ s - Obsah a cíle kurzu Cíle kurzu: • Ukázka moderní ekonomie a způsobů využití matematiky • Schopnost sestavit model pro existující situaci, vyřešit ho a interpretovat výsledky □ s - Obsah a cíle kurzu Cíle kurzu: • Ukázka moderní ekonomie a způsobů využití matematiky • Schopnost sestavit model pro existující situaci, vyřešit ho a interpretovat výsledky Očekávaný obsah kurzu: • Úvod do Teorie Her • Teorie vyjednávání • Modely asymetrické informace (principál-agent) • Modely nedokonalé konkurence (Bertrand, Cournot, Stackeiberg) • Modely kvality (horizontální a vertikální diferenciace) • Teorie informací a komunikace (cheap talk) • Aukce, morální hazard, signaling, selekce □ s Obsah a cíle kurzu Cíle kurzu: • Ukázka moderní ekonomie a způsobů využití matematiky • Schopnost sestavit model pro existující situaci, vyřešit ho a interpretovat výsledky Očekávaný obsah kurzu: • Úvod do Teorie Her • Teorie vyjednávání • Modely asymetrické informace (principál-agent) • Modely nedokonalé konkurence (Bertrand, Cournot, Stackeiberg) • Modely kvality (horizontální a vertikální diferenciace) • Teorie informací a komunikace (cheap talk) • Aukce, morální hazard, signaling, selekce Otázky? □ S • Libor Polák: Teorie Her □ s • Libor Polák: Teorie Her • TH je jeden ze základních nástrojů současné ekonomie • Dva základní typy formulace - hry v normální formě, poziční hry • Základní pojmy, stručný přehled • Triviální počty, abstraktní pojmy, příklady □ s Hry v normální formě • Dva hráči, každý má minci a tu nějak otočí • Při shodě symbolů vyhrává první hráč 1Kč, jinak druhý □ s Hry v normální formě • Dva hráči, každý má minci a tu nějak otočí • Při shodě symbolů vyhrává první hráč 1Kč, jinak druhý • Hráči, strategie (každého hráče), vyhodnocení □ s Hry v normální formě • Dva hráči, každý má minci a tu nějak otočí • Při shodě symbolů vyhrává první hráč 1Kč, jinak druhý • Hráči, strategie (každého hráče), vyhodnocení Definice Hrou v normální formě nazýváme trojici {N,{S;}i€N,{u; : Si x •• ■ S n — -► K} ie A/}, kde N Je konečná množina hráčů, Sj Je množina strategií i-tého hráče, a u j Je výherní (payoff) funkce -tého hráče Mince (Matching pennies) Hráč 2 ___P 0 Hráč 1 P O 1,-1 -1,1 -1,1 1,-1 □ s Souboj pohlaví (koordinační hra) • Dva manželé se rozhodují o večerním programu (hokej nebo balet?). Hráč 2 ___H B Hráč 1 H B 2,1 0,0 0,0 1,2 □ s - = -€. -o<\(y Souboj pohlaví (koordinační hra) • Dva manželé se rozhodují o večerním programu (hokej nebo balet?). Hráč 2 ___H B Hráč 1 H B • Zapište hru Kámen, nůžky, papír jako hru v normální formě. 2,1 0,0 0,0 1,2 □ s Souboj pohlaví (koordinační hra) 2,1 0,0 0,0 1,2 • Dva manželé se rozhodují o večerním programu (hokej nebo balet?). Hráč 2 ___H B Hráč 1 H B • Zapište hru Kámen, nůžky, papír jako hru v normální formě. • Vězňovo dilema: dva podezřelí ve vazbě. Není dostatek důkazů odsoudit je za těžký zločin bez přiznání. Přiznání je polehčující okolnost Hráč 2 Hráč 1 • Jaký výsledek očekáváte? Co by měla rozumná teorie her předpovědět? □ s P N p (-10,-10) (0, -20) N (-20,0) (-2,-2) Striktně dominovaná strategie Definice Strategii s; nazýváme striktně dominovanou strategiís,- , jestliže užitek i-tého hráče je větší, pokud hraje strategii s,- ve srovnání s užitkem z hraní strategie s,-, pro všechny možné kombinace strategií ostatních hráčů. □ s Striktně dominovaná strategie Definice Strategii s; nazýváme striktně dominovanou strategiís,- , jestliže užitek i-tého hráče je větší, pokud hraje strategii s,- ve srovnání s užitkem z hraní strategie s,-, pro všechny možné kombinace strategií ostatních hráčů. Má nějaký hráč striktně dominovanou strategii ve Vězňově dilematu? Hráč 2 Hráč 1 P N P (-10,-10) (0, -20) N (-20,0) (-2,-2) □ s Striktně dominovaná strategie Definice Strategii s; nazýváme striktně dominovanou strategiís,- , jestliže užitek i-tého hráče je větší, pokud hraje strategii s,- ve srovnání s užitkem z hraní strategie s,-, pro všechny možné kombinace strategií ostatních hráčů. Má nějaký hráč striktně dominovanou strategii ve Vězňově dilematu? Hráč 2 Hráč 1 P N P (-10,-10) (0, -20) N (-20,0) (-2,-2) A co ve hře Kámen, nůžky, papír ? □ s Opakovaná eliminace striktně dominovaných strategi Definice Lze-li odebírat striktně dominované strategie dokud každému hráči nezůstane jediná, pak takovou hru nazýváme řešitelnou pomocí opakované eliminace striktně dominovaných strategií. • Spoustu her takto vyřešit nelze (Mince, KNP) • Eliminace slabě dominovaných strategií =>• nejednoznačnost • Řešení hry Souboj pohlaví? □ s Opakovaná eliminace striktně dominovaných strategi Definice Lze-li odebírat striktně dominované strategie dokud každému hráči nezůstane jediná, pak takovou hru nazýváme řešitelnou pomocí opakované eliminace striktně dominovaných strategií. • Spoustu her takto vyřešit nelze (Mince, KNP) • Eliminace slabě dominovaných strategií =>• nejednoznačnost • Řešení hry Souboj pohlaví? • Rovnováha jako řešení: nikdo nemá zájem hrát (sám o sobě) jinak □ s Nejlepší odpověd a Nashova rovnováha Definice Daná strategie určitého hráče je nejlepší odpovědí na dané strategie ostatních hráčů, pokud neexistuje strategie, která by vedla k vyššímu užitku tohoto hráče. • Napište tuto definici formálně Definice Nashovou rovnováhou nazýváme souhrn strategií (s/)/e/v takový, že strategie každého hráče je nejlepší odpovědí na strategie (s_/) ostatních hráčů. □ s Nejlepší odpověd a Nashova rovnováha Definice Daná strategie určitého hráče je nejlepší odpovědí na dané strategie ostatních hráčů, pokud neexistuje strategie, která by vedla k vyššímu užitku tohoto hráče. • Napište tuto definici formálně Definice Nashovou rovnováhou nazýváme souhrn strategií (s/)/e/v takový, že strategie každého hráče je nejlepší odpovědí na strategie (s_/) ostatních hráčů. • Nalezněte všechny N. rovnováhy hry Souboj pohlavia Mince □ g - = Existence a pravděpodobnostní rozšíření • Nashova rovnováha nemusí existovat, nebo jich může existuje několik Definice Pravděpodobností rozšíření hry v normální formě {N,{S;};eN,{u;};ei\i} je hra {N,{AS;}jei\i,{U;}jei\i}, kde AS,- je množina pravděpodobnostních rozdělení nad množinou S; a U j : A Si x • • • ASa/ -*■ K přiřazuje každému prvku množiny c G A Si x • • • ASa/ očekávanou (střední) hodnotu hry seS VyeW / pro konečné množiny S. • Množinu čistých strategií lze přirozeně identifikovat s podmnožinou smíšených strategií • Nashova rovnováha ve smíšených strategiích □ s - Existence a pravděpodobnostní rozšíření • Nashova rovnováha nemusí existovat, nebo jich může existuje několik Definice Pravděpodobností rozšíření hry v normální formě {N,{S;};eN,{u;};ei\i} je hra {N,{AS;}jei\i,{U;}jei\i}, kde AS,- je množina pravděpodobnostních rozdělení nad množinou S; a U j : A Si x • • • ASa/ -*■ K přiřazuje každému prvku množiny c G A Si x • • • ASa/ očekávanou (střední) hodnotu hry seS VyeW / pro konečné množiny S. • Množinu čistých strategií lze přirozeně identifikovat s podmnožinou smíšených strategií • Nashova rovnováha ve smíšených strategiích • Nalezněte N. rovnováhy ve s.s. pro hru Mince a Souboj, pohlaví. Poziční hry—príklad • Volba akcí po sobě (nejprve první, až pak druhý hráč) • Normální forma je nevhodná 0 Poziční hra—explicitní struktura hry □ s Poziční hry—príklad • Volba akcí po sobě (nejprve první, až pak druhý hráč) • Normální forma je nevhodná • Poziční hra—explicitní struktura hry • Souboj pohlaví sekvenčně—prvně žena, pak muž. Zapište v normální formě. • Hráči, kdo kdy hraje, co může udělat, co ví, kolik kdo dostane na konci □ s Poziční hry—príklad • Volba akcí po sobě (nejprve první, až pak druhý hráč) • Normální forma je nevhodná • Poziční hra—explicitní struktura hry • Souboj pohlaví sekvenčně—prvně žena, pak muž. Zapište v normální formě. • Hráči, kdo kdy hraje, co může udělat, co ví, kolik kdo dostane na konci Hokej / X Balet (2,1) (0,0) □ s Definice poziční hry s úplnou informací Definice Poziční hrou s perfektní informací nazýváme 5-tici {U,H,Z,P: H\Z -+ N,{uí : Z -+ R}/6W}, • N je konečná množina hráčů, 9 prvky množiny H nazýváme historie, prvky historií nazýváme akce. 9 Z C H je množina terminálních historií 9 Funkce P přiřazuje každé neterminální historii hráče, který po dané historii hraje (volí akci). □ g - = Hra o vstupu na trh Nová firma Nevstupuje (0,2) Vstup Bojuj • Zaběhnutá firma Přizpůsob se (-1,-1) (1,1) • Řešení hry? □ s Nashova rovnováha v pozičních hrách • Strategie—předpis akcí pro daného hráče kdykoliv hraje • Nashova rovnováha—strategický profil bez možnosti jednostranného polepšení si pro každého hráče. □ s Nashova rovnováha v pozičních hrách • Strategie—předpis akcí pro daného hráče kdykoliv hraje • Nashova rovnováha—strategický profil bez možnosti jednostranného polepšení si pro každého hráče. • Nashovy rovnováhy Hry o vstup na trh □ s Nashova rovnováha v pozičních hrách • Strategie—předpis akcí pro daného hráče kdykoliv hraje • Nashova rovnováha—strategický profil bez možnosti jednostranného polepšení si pro každého hráče. • Nashovy rovnováhy Hry o vstup na trh • Nashových rovnováh může existovat několik • Ne všechny dávají smysl □ s Zpětná indukce • Racionální hráči □ s Zpětná indukce • Racionální hráči • Postup od konce • Formálně—racionální chování (tj. Nashova rovnováha) v každé podhře • Hra o vstupu na trh • Dokonalá rovnováha vzhledem k podhrám □ s Poziční hry s neúplnou informací • Informace ve hrách v normální forme □ s - = -€. -o<\(y Poziční hry s neúplnou informací • Informace ve hrách v normální formě • Poziční hry—jak hrál předchozí hráč? □ s Poziční hry s neúplnou informací • Informace ve hrách v normální formě • Poziční hry—jak hrál předchozí hráč? • Definice pomocí informačních množin—dělení (partition) množiny historií daného hráče □ s Poziční hry s neúplnou informací • Informace ve hrách v normální formě • Poziční hry—jak hrál předchozí hráč? • Definice pomocí informačních množin—dělení (partition) množiny historií daného hráče • Akce hráče musejí být stejné pro všechny historie v dané informační množině (1,2) (24) (-1,3) (3,-1) □ S Pravděpodobnostní rozšíření • V čistých strategiích často neexistuje N R • Dvě možnosti pravděpodobnostního rozšíření □ s Pravděpodobnostní rozšíření • V čistých strategiích často neexistuje N R • Dvě možnosti pravděpodobnostního rozšíření • Smíšená strategie—pravděpodobnostní rozšíření strategií • Behaviorální—pravděpodobností rozdělení na množině akcí v každé informační množině □ s Pravděpodobnostní rozšíření • V čistých strategiích často neexistuje N R • Dvě možnosti pravděpodobnostního rozšíření • Smíšená strategie—pravděpodobnostní rozšíření strategií • Behaviorální—pravděpodobností rozdělení na množině akcí v každé informační množině • Přístupy jsou podobné, ale ne totožné □ s Príklady 1. • Příklad L / \ L R\ j/ R (3,1) (0,0) (0,2) (1,1) • Pro druhého hráče není podstatné, kde v informační množině se nachází □ g - = Príklady 2. • Jindy na tom záleží R \ / R (3,1) (0,2) (0,2) (1,1) • Očekávání: odhad (pravděpodobnost) pozice v každé informační množině • Odhad by měl být racionální □ s - Slabá Bayesova rovnováha (WPBE) • Očekávání jsou odvozena z Bayesova vzorce, kde je to možné • Libovolná očekávání v informačních množinách, kterých není dosaženo • WPBE: optimální behaviorální strategie (ßj(li)), očekávání \r □ s Slabá Bayesova rovnováha (WPBE) • Očekávání jsou odvozena z Bayesova vzorce, kde je to možné • Libovolná očekávání v informačních množinách, kterých není dosaženo • WPBE: optimální behaviorální strategie (ßj(li)), očekávání \r Nalezněte DRVP, WPBE: i (1,0,3 (2,1,2 (2,2,2) □ s Slabá Bayesova rovnováha (WPBE) • Očekávání jsou odvozena z Bayesova vzorce, kde je to možné • Libovolná očekávání v informačních množinách, kterých není dosaženo • WPBE: optimální behaviorální strategie (ßj(li)), očekávání \r Nalezněte DRVP, WPBE: i (1,0,3 (2,1,2 (2,2,2) • Jedna DVRP, dvě WPBE—libovolná očekávání Sekvenční racionalita • Dvě možnosti vylepšení: požadavek na očekávání či vynucení B. pravidla n S - = -E -00*0 Sekvenční racionalita • Dvě možnosti vylepšení: požadavek na očekávání či vynucení B. pravidla • Dokonale smíšené strategie: každá akce zvolena s kladnou pravděpodobností • Nejsou vhodné pro popis rovnováh □ s Sekvenční racionalita • Dvě možnosti vylepšení: požadavek na očekávání či vynucení B. pravidla • Dokonale smíšené strategie: každá akce zvolena s kladnou pravděpodobností • Nejsou vhodné pro popis rovnováh • Konzistentní strategie: limitně dosažitelné pomocí dokonale smíšených strategií • Podmínění užitku na dosažení dané informační množiny • Volba optimální strategie i v těch i.m., kterých není v rovnováze dosaženo • Sekvenčně racionální rovnováha: konzistentní, optimální v každé informační množině □ s (3,3,2) R L (0,0,0) (4,4,0) (1.1.1) (0,0,1) □ s (1,1,1) (3,3,2) (0,0,0) (4,4,0) (0,0,1) • Nashovy rovnováhy (ve smíšených či behaviorálních strategiích) • Sekvenčně racionální strategie? □ s Pivo nebo koláček? (2,1) (0,0) K 1 strong (3,1) (1,0) (3,0) (1,1) □ S Pivo nebo koláček? (24) (0,0) strong (3,0) (1,1) (3,1) (1,0) (2,0) (0,1) • Jedna ze sekvenčně racionálních rovnovah: oba typy hráče 1 volí K • Druhý hráč bojuje jen když si někdo dá P:očekává, že je to slabý typ □ s Pivo nebo koláček? (24) (34) (0,0) strong (3,0) (1,1) (0,1) (1,0) (2,0) • Jedna ze sekvenčně racionálních rovnovah: oba typy hráče 1 volí K • Druhý hráč bojuje jen když si někdo dá P:očekává, že je to slabý typ • Proč by slabý typ přešel na pivo? □ s - Hodnota budoucích příjmů—diskontovaní • Každé kolo příjem x,-, / = 1,..., oo • Diskontní faktor 0 < S < 1 • Dnešní hodnota co □ s Hodnota budoucích příjmů—diskontovaní • Každé kolo příjem x,-, / = 1,..., oo • Diskontní faktor 0 < S < 1 • Dnešní hodnota co ;=i • Pro hry: akční profil a = (af), výherní funkce u; co 7 = 1 □ s Hra s nekonečným počtem opakování Definice Necht G = {N,{Sj},{uj}} je hra v normální formě, S = X/S/. Hrou s nekonečným počtem opakování nazýváme poziční hru s dokonalou informací G' = {N, H, P,{U;}}, kde • H = U~oSř,S0 = {0} • P(h) = N pro každou neterminálníhistorii h E H 9 U j jsou definovány pomocí exponenciální diskontovaní Historii nazýváme terminálni, tehdy a jen tehdy, je-li nekonečná. □ s Minmax výhra • Definujme minmax výhru v\ v: = mirir • V N.R. nelze vyhrát méně • Vynutitelný výherní profil w : • Striktně vynutitelný: w, > v; es_.maxs.es.Ui(s-i,Si) Wj > v,,y i E N n S - = -E -00*0 Folk Theorem • V opakovaných hrách tvoří každá NR vynutitelný výherní profil • Ke každému vynutitelnému výhernímu profilu existuje blízká NR Pro každý striktně vynutitelný výherní profil w hry G' a každé e > 0 existuje ö £ (0,1) a výherní profil w' hry G' takový, že \ w' — w\ < e a existuje Nashova rovnováha, pro níž Je w' výherním profilem hry G' s nekonečným počtem opakování a diskontním faktorem ö. • Spousta Nashových rovnováh • Důkaz pomocí tzv. trigger strategií • Lze studovat i dokonalé rovnováhy vzhledem k podhrám—na ekvivalenci to skoro nic nemění • Pro DRVP stačí studovat odchylku v jediném kole po libovolné historii, pro všechny hráče □ s - = 3 Opakované vězňovo dilemma Hráč 2 P N P (-10,-10) (0, -20) N (-20,0) (-2,-2) Hráč 1 • Pro jaký diskontní faktor lze pomocí trigger strategií vynutit spolupráci? □ s - Opakované vězňovo dilemma Hráč 2 P N P (-10,-10) (0, -20) N (-20,0) (-2,-2) Hráč 1 • Pro jaký diskontní faktor lze pomocí trigger strategií vynutit spolupráci? • Stačí analyzovat jednorázovou odchylku v první periodě, pro jednoho z hráčů lA(í) = -£>'• =-2- ;__n J- ;=o U[(S) = 0-£HW'' = -10- Porovnáním získáme podmínku pro Nashovu rovnováhu ö > i. Hry v normální formě • Striktně dominované strategie • Optimální odpověď • Nashova rovnováha • Pravděpodobnostní rozšíření □ s • Hry v normální formě • Striktně dominované strategie • Optimální odpověď • Nashova rovnováha • Pravděpodobnostní rozšíření • Poziční hry • S úplnou informací (NR, DRVP) • S neúplnou informací • Očekávání, slabá Bayesova rovnováha a Sekvenčně racionální rovnováha □ s • Hry v normální formě • Striktně dominované strategie • Optimální odpověď • Nashova rovnováha • Pravděpodobnostní rozšíření • Poziční hry • S úplnou informací (NR, DRVP) • S neúplnou informací • Očekávání, slabá Bayesova rovnováha • Sekvenčně racionální rovnováha • Opakované hry • Hra s nekonečným počtem opakování a Diskontovaní • Folk Theorem: popis Nashových rovnováh □ s