Lineární a adaptivní zpracování datLineární a adaptivní zpracování datLineární a adaptivní zpracování dat 5. Lineární filtrace: Z-transformace, stabilita Lineární a adaptivní zpracování dat 5. Lineární filtrace: Z-transformace, stabilita Daniel SchwarzDaniel Schwarz Institute of Biostatistics and Analyses Co nás čeká ještě vCo nás čeká ještě v Bi0440Bi0440 P5: lineární filtrace, lineární časově invariantní, kauzální filtry, impulzová odezva, FIR, IIR. Z-transformace, přenosová funkce vs. frekvenční charakteristika. Nuly, póly. Stabilita.Stabilita. P6: lineární filtrace ­ pokračování. Zmínka o časových řadách ­ AR, MA, ARMA překryvy s IIR, FIR. P7: odhad signálu v šumu, zprůměrování. SNR P8: odhad signálu v šumu ­ pokračování / procvičování P9: adaptivní filtry a identifikace. Obecné schéma adapt. Filtru. LMS, RLS. P10: lineární predikce pomocí LMS P11: adaptivní filtrace / lineární predikce ­ pokračování / procvičování P12: časově-frekvenční a vlnková analýza. Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Lineární filtrace obecněLineární filtrace obecně Filtrace= ...........?............. viz 3. přednáška o LTI systémech a jejich popisu ve frekvenční oblasti Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Lineární filtrace obecněLineární filtrace obecně Filtrace = zpracování sloužící k výběru jistých složek ze směsi více signálů a k potlačení složek jiných. Složky signálu = ............?............ Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Lineární filtrace obecněLineární filtrace obecně Filtrace = zpracování sloužící k výběru jistých složek ze směsi více signálů a k potlačení složek jiných. Složky signálu = harmonické komponenty ve frekvenční oblasti, jejichž amplitudy a fáze se s filtrací pozmění. Jak vystihujeme tuto změnu? ......................?...................... Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Lineární filtrace obecněLineární filtrace obecně Filtrace = zpracování sloužící k výběru jistých složek ze směsi více signálů a k potlačení složek jiných. Složky signálu = harmonické komponenty ve frekvenční oblasti, jejichž amplitudy a fáze se s filtrací pozmění. Jak vystihujeme tuto změnu? dvěma frekvenčními charakteristikami: * amplitudovou * a fázovou. Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Čeho? .........?......... Lineární filtrace obecněLineární filtrace obecně Filtrace = zpracování sloužící k výběru jistých složek ze směsi více signálů a k potlačení složek jiných. Složky signálu = harmonické komponenty ve frekvenční oblasti, jejichž amplitudy a fáze se s filtrací pozmění. Jak vystihujeme tuto změnu? dvěma frekvenčními charakteristikami: * amplitudovou * a fázovou. Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Čeho? Filtru. Lineární filtrace obecněLineární filtrace obecně Filtr= ...........?............. Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Lineární filtrace obecněLineární filtrace obecně Filtr = systém nebo algoritmus (program), který mění požadovaným způsobem spektrum vstupního signálu. Příklady aplikace: potlačení rušivých vlivů, frekvenční analýza Popis filtru: frekvenční charakteristika H(f), impulsní charakteristika h(n), diferenční rovnice (definice), přenosová funkce H(z). je ...............?........................ vzhledem k diskrétnímu charakteru signálů. Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Lineární filtrace obecněLineární filtrace obecně Filtr = systém nebo algoritmus (program), který mění požadovaným způsobem spektrum vstupního signálu. Příklady aplikace: potlačení rušivých vlivů, frekvenční analýza Popis filtru: frekvenční charakteristika H(f), impulsní charakteristika h(n), diferenční rovnice (definice), přenosová funkce H(z). je periodická vzhledem k diskrétnímu charakteru signálů. s periodou ..?.. v případě frekvence, ...?. v případě normované frekvence, ..?..v případě kmitočtu a ...?. v případě normovaného kmitočtu. Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Lineární filtrace obecněLineární filtrace obecně Filtr = systém nebo algoritmus (program), který mění požadovaným způsobem spektrum vstupního signálu. Příklady aplikace: potlačení rušivých vlivů, frekvenční analýza Popis filtru: frekvenční charakteristika H(f), impulsní charakteristika h(n), diferenční rovnice (definice), přenosová funkce H(z). je periodická vzhledem k diskrétnímu charakteru signálů. s periodou: 1/Ts v případě frekvence, 1 v případě normované frekvence, 2/Ts v případě kmitočtu a 2 v případě normovaného kmitočtu. Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Z transformaceZ transformace Transformace Z je důležitý nástroj pro reprezentaci a manipulaci s diskrétními posloupnostmi. Můžeme ji považovat za zevšeobecnění Fourierovy transformace prop p j p y p diskrétní soustavy a signály. * z je komplexní proměnná. * nejčastěji uvažujeme jednostrannou transformaci: sumace od n=0. Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Z transformaceZ transformace Transformace Z je důležitý nástroj pro reprezentaci a manipulaci s diskrétními posloupnostmi. Můžeme ji považovat za zevšeobecnění Fourierovy transformace prop p j p y p diskrétní soustavy a signály. * z je komplexní proměnná. * nejčastěji uvažujeme jednostrannou transformaci: sumace od n=0. z v polárních souřadnicích: z = r . ejT: ? Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses ............?........... Z transformaceZ transformace Transformace Z je důležitý nástroj pro reprezentaci a manipulaci s diskrétními posloupnostmi. Můžeme ji považovat za zevšeobecnění Fourierovy transformace prop p j p y p diskrétní soustavy a signály. * z je komplexní proměnná. * nejčastěji uvažujeme jednostrannou transformaci: sumace od n=0. z v polárních souřadnicích: z = r . ejT: ? Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses ............?........... Z transformaceZ transformace Transformace Z je důležitý nástroj pro reprezentaci a manipulaci s diskrétními posloupnostmi. Můžeme ji považovat za zevšeobecnění Fourierovy transformace prop p j p y p diskrétní soustavy a signály. * z je komplexní proměnná. * nejčastěji uvažujeme jednostrannou transformaci: sumace od n=0. z v polárních souřadnicích: z = r . ejT: Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Z transformaceZ transformace Transformace Z je důležitý nástroj pro reprezentaci a manipulaci s diskrétními posloupnostmi. Můžeme ji považovat za zevšeobecnění Fourierovy transformace prop p j p y p diskrétní soustavy a signály. Pro r=1 platí, že ....................?.......................................... Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Z transformaceZ transformace Transformace Z je důležitý nástroj pro reprezentaci a manipulaci s diskrétními posloupnostmi. Můžeme ji považovat za zevšeobecnění Fourierovy transformace prop p j p y p diskrétní soustavy a signály. Pro r=1 platí, že Z transformace na jednotkové kružnici |z|=1 je shodná s Fourierovou transformací DTFT.j Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Z transformaceZ transformace -- příkladypříklady Jednotkový impuls: {1,0,0,...} Jednotkový skok: {1,1,1,...} Exponenciální signál: Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Z transformaceZ transformace ­­ definiční obordefiniční obor ROC ­ Region Of Convergence ­ vyšetřuje se poloměr konvergence mocninných řad v X(z). kde ROC zahrnuje všechna komplexní čísla, pro něž je řada absolutně sumovatelná. Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Z transformaceZ transformace ­­ definiční obordefiniční obor ROC ­ Region Of Convergence ­ vyšetřuje se poloměr konvergence mocninných řad v X(z). Příklad: Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Z transformaceZ transformace ­­ definiční obordefiniční obor ROC ­ Region Of Convergence ­ vyšetřuje se poloměr konvergence mocninných řad v X(z). Příklad: Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Z transformaceZ transformace ­­ definiční obordefiniční obor ROC ­ Region Of Convergence ­ vyšetřuje se poloměr konvergence mocninných řad v X(z). Příklad: Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Z transformaceZ transformace ­­ definiční obordefiniční obor ROC ­ Region Of Convergence ­ vyšetřuje se poloměr konvergence mocninných řad v X(z). Příklad: Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Z transformaceZ transformace -- vlastnostivlastnosti Linearita: Útlum: Posun: Konvoluce: Subst: m=n-i Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Z transformaceZ transformace -- vlastnostivlastnosti ROC...všechna z PŘENOSOVÁ (SYSTÉMOVÁ) FUNKCE Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Z transformaceZ transformace ­­ přenosová funkcepřenosová funkce pro platí, že H(z) = .....................?..................... Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Z transformaceZ transformace ­­ přenosová funkcepřenosová funkce pro platí, že H(z) = H(j) Přenosová (systémová) funkce vyjadřuje na jednotkové kružnici |z|=1 kmitočtovou charakteristiku diskrétní soustavy. Viz popis vztahu Z transformace a Fourierovy transformace. Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Viz popis vztahu Z transformace a Fourierovy transformace. Z transformaceZ transformace ­­ přenosová funkcepřenosová funkce Přenosová (systémová) funkce vyjadřuje na jednotkové kružnici |z|=1 kmitočtovou charakteristiku diskrétní soustavy|z| 1 kmitočtovou charakteristiku diskrétní soustavy. Viz popis vztahu Z transformace a Fourierovy transformace. Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Z transformaceZ transformace ­­ přenosová funkcepřenosová funkce H(z) vyjádřená pomocí racionálně lomené funkce: , A=a0/b0. zi jsou .........?.......... pi jsou .........?.......... Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Z transformaceZ transformace ­­ přenosová funkcepřenosová funkce H(z) vyjádřená pomocí racionálně lomené funkce: , A=a0/b0. zi jsou NULY racionálně lomené funkce pi jsou PÓLY racionálně lomené funkce ?.............?............. Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Z transformaceZ transformace ­­ přenosová funkcepřenosová funkce H(z) vyjádřená pomocí racionálně lomené funkce: , A=a0/b0. zi jsou NULY racionálně lomené funkce pi jsou PÓLY racionálně lomené funkce ?.............?............. Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Z transformaceZ transformace ­­ přenosová funkcepřenosová funkce H(z) vyjádřená pomocí racionálně lomené funkce: , A=a0/b0. zi jsou NULY racionálně lomené funkce pi jsou PÓLY racionálně lomené funkce Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Z transformaceZ transformace ­­ přenosová funkcepřenosová funkce |A||A| . ? Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Z transformaceZ transformace ­­ přenosová funkcepřenosová funkce |A||A| . n ­ vzdálenosti mezi bodem T na jednotkové kružnici a NULAMI přenosové funkce. r dálenosti me i bodem T na kr žni i a PÓLY přenoso é f nk e Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses r ­ vzdálenosti mezi bodem T na kružnici a PÓLY přenosové funkce. |A| ­ zesílení systému Z transformaceZ transformace ­­ přenosová funkcepřenosová funkce n ­ vzdálenosti mezi bodem T na jednotkové kružnici a NULAMI přenosové funkce. r ­ vzdálenosti mezi bodem T na kružnici a PÓLY přenosové funkce. . |A| Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Z transformaceZ transformace ­­ přenosová funkcepřenosová funkce Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Stabilita diskrétního systémuStabilita diskrétního systému Stabilita = .................?................ Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses Stabilita diskrétního systémuStabilita diskrétního systému Stabilita = tendence systému reagovat přiměřeně na trvající podnět a po jeho zániku se vracet do výchozího stavujeho zániku se vracet do výchozího stavu. BIBO: bounded input -> bounded output Kritérium v časové oblasti: Kritérium v obrazové oblasti: Lineární diskrétní systém (jehož obrazový přenos je racionální lomená funkce) je stabilní tehdy a jen tehdy, když všechny póly pi jeho obrazového přenosu leží uvnitř jednotkové kružnice, pi <1, i. Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses i Zpětná Z transformaceZpětná Z transformace - jen pro doplnění, bez odvození. Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses ZZ--transformacetransformace ­­ příklady využitípříklady využití * z-Transform method for deconvolution as applied to the renogram. * Application of the chirp z transform to MRI dataˇ Application of the chirp z-transform to MRI data. * Use of the z-transform to investigate nanopulse penetration of biological matter. * Image reconstruction from zeros of the z-transform. * Modelling of anaerobic digestion in a fluidised bed with a view to controlModelling of anaerobic digestion in a fluidised bed with a view to control. Neplést si z-transform s fz-score transform ! Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses 5. cvičení5. cvičení 1. Impulsní charakteristika diskrétního systému má tvar: h[n]=0.5nu[n]. Určete přenosovou funkci systému a ověřte zda je systém stabilníUrčete přenosovou funkci systému a ověřte, zda je systém stabilní. 2. Impulsní charakteristika diskrétního systému má tvar: h[n]=1.5nu[n]. Určete přenosovou funkci systému a ověřte, zda je systém stabilní.Určete přenosovou funkci systému a ověřte, zda je systém stabilní. 3. Je dán systém s přenosovou funkcí Nakreslete rozložení nulových bodů a pólů. Odhadněte amplitudovou frekvenční charakteristiku. Zjistěte diferenční rovnici systému. Zjistěte impulsní charakteristiku systému. Na závěr vše ověřte v MATLABu (fvtool, freqz). O jaký filtr jde (HP, DP, PP) ? Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses 5. cvičení5. cvičení Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses 5. cvičení5. cvičení 1), 2) Pro exp. signál je Z transf. definována:p g j Jediný pól < 1, tedy stabilní. Pól nemá imaginární částPól nemá imaginární část. Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses 5. cvičení5. cvičení Bi0440 Institute of Biostatistics and Analyses