Kapitola 1
Maple
1.1 Úvod
Systém Maple je výkonný program vhodný k řešení komplexních matematických problémů.
Patří do skupiny systémů počítačové algebry, umožňuje symbolické i numerické výpočty
a slouží především k vytvoření speciálních dokumentů, prezentací, interaktivních výpočetních
modulů v prostředí Maple, které rovněž podporuje výuku matematiky.
Výrobcem systému Maple je kanadská společnost Maplesoft Inc., jejíž webové stránky
http://www.maplesoft.com poskytují základní informace o tomto systému a jeho dalších
příbuzných programech jako je MapleSim, MapleNet, Maple T.A. a mnoho dalších
Toolboxů a programů. Webové stránky mimo jiné obsahují tzv. Aplikační centrum (Application
Center), z nějž si může každý zaregistrovaný uživatel stáhnout ukázkové programy
demonstrující použití systému Maple při řešení mnoha různých matematických i technických
problémů. Dále poskytují Studentské centrum (Student Center), kde si zaregistrovaný
student může stáhnout mnoho studijních materiálů. Dalšími významnými zdroji informací
o Maple jsou například diskuzní fórum uživatelů Maplehttp://www.mapleprimes.com a
web distributora Maple pro Českou a Slovenskou republiku http://www.maplesoft.cz,
kde je většina dokumentů v českém jazyce.
Systém Maple je vyvíjen již po tři desetiletí, během nichž prošel mnoha verzemi. Přelomovou
se stala desátá verze, od níž je k dispozici grafické uživatelské rozhraní významně
usnadňující práci se systémem zejména novým uživatelům. V následujícím textu se budeme
zabývat dosud poslední verzí Maple 13. Se systémem je možné pracovat několika různými
způsoby, které volíme při spuštění programu Maple 13 ze startovacího menu počítače nebo
kliknutím na příslušnou ikonu na ploše.
1.1.1 Standardní zápisník (Standard Worksheet)
Grafické uživatelské rozhraní Maple zvané Standard Worksheet se spustí ze startovacího
menu počítače, kde se vybere (Programy > Maple 13 > Maple 13) nebo kliknutím
na ikonu Maple 13 na ploše. Toto prostředí poskytuje veškeré možnosti systému Maple
a pomáhá vytvářet elektronické dokumenty (zápisníky) zobrazující matematické výpočty,
matematické texty a komentáře spolu s propracovanou počítačovou grafikou. Některé výpočty
je možné v zápisníku ,,schovat a nechat ,,odkryté jen nejdůležitější pasáže tak, aby
1
2 KAPITOLA 1. MAPLE
Obrázek 1.1: Maple 13: Prostředí Standard Worksheet
dokument poskytoval uživateli potřebné informace. Jelikož vytvořené dokumenty jsou interaktivní,
tj. v jistém smyslu ,,živé , může si uživatel sám upravovat hodnoty parametrů,
vyhodnocovat příkazy a získávat nové výsledky.
Menu zápisníku Maple má tři vodorovné lišty: hlavní menu (zcela nahoře), nástrojovou
lištu (pod hlavním menu) a kontextovou lištu (o další ,,řádek níže); a dále palety (svislý
blok na levé straně) a vlastní pracovní pole ­ dokument, do nějž zadáváme příkazy, texty
a grafy. Vlastní pracovní pole je možné zobrazit přes celou obrazovku skrytím palet, nástrojové
lišty a kontextové lišty (kliknutím na příslušné položky záložce View hlavního
menu).
Obrázek 1.2: Maple 13: Prostředí Classic Worksheet
1.1. ÚVOD 3
1.1.2 Klasický zápisník (Classic Worksheet)
Classic Worksheet se spustí ze startovacího menu počítače, kde se vybere (Programy >
Maple 13 > Classic Worksheet Maple 13) nebo kliknutím na ikonu Classic Worksheet
na ploše. Tento zápisník Maple je určen především pro méně výkonné počítače s omezenou
pamětí. Neposkytuje také všechny funkce, příkazy a možnosti systému Maple jako
Standard Worksheet. Před verzí Maple 10 byl tento typ zápisníku jediný možný.
1.1.3 Příkazový řadek a kalkulačka Maple
Se systémem Maple můžeme pracovat i pouze v režimu tzv. příkazového řádku, který
se spouští ze startovacího menu počítače, kde se vybere (Programy > Maple 13 >
Command-line Maple 13) a je určen k řešení rozsáhlých a složitých úloh. K dispozici
nejsou žádné grafické prvky.
Dále je možné používat (a vytvářet) tzv. maplety, tj. grafická uživatelská rozhraní obsahující
okénka, textová pole a další vizuální prvky umožňující pouhým klikáním spouštět
výpočty. Kalkulačka systému Maple je speciální typ mapletu, který je k dispozici pouze
pro operační systémy Windows. Spouští se ze startovacího menu počítače, kde se vybere
(Programy > Maple 13 > Maple Calculator).
Obrázek 1.3: Maple 13: Kalkulačka
1.1.4 Document mode, Worksheet mode
Ve zbývající části kapitoly se omezíme na prostředí Standard Worksheet. V tomto prostředí
je možné pracovat ve dvou základních režimech: Worksheet mode a Document mode. Prvně
4 KAPITOLA 1. MAPLE
jmenovaný odpovídá prostředí Classic Worksheet, v němž je každý příkaz Maple uvozen
symbolem [> a musí být ukončen dvojtečkou (výsledek se nezobrazí) nebo středníkem (výsledek
se zobrazí na dalším řádku uprostřed). Otevírá se v základním menu jako New, kde
se vybere Worksheet mode. Druhý režim poskytuje přehlednější zápis příkazů a matematických
vzorců bez ,,přebytečných symbolů. Při otevření nového souboru v základním
menu New je standardně spuštěn režim Document mode.
Obrázek 1.4: Režimy zápisu v Document mode
Obrázek 1.5: Režimy zápisu v Worksheet mode
Dále máme možnost zapisovat k příkazům komentáře, a to uvedením symbolu mřížky
(#) před text, který má být komentářem (viz obrázek 1.6).
1.2. ZÁKLADNÍ OVLÁDÁNÍ 5
Obrázek 1.6: Zápis komentáře v příkazovém režimu
Obvykle je zápisník nastaven do jednoho režimu, který je možné zvolit při otevírání
nového souboru v hlavním menu (File > New > Worksheet mode nebo File > New
> Document mode). Existuje však i možnost přepínat mezi režimy v rámci jednoho
zápisníku, kdy je část vytvořena v jednom režimu, část v druhém. Z Document mode
se přepneme do Worksheet mode kliknutím na ikonku [> v nástrojové liště (pod hlavním
menu). Naopak z Worksheet mode se do režimu Document mode přepneme výběrem
položky v hlavním menu (Format > Create Document block).
1.1.5 Math mode, Text mode
Pro rozlišení příkazů a obyčejného textu v režimu Document mode slouží kontextová lišta
zápisníku, kde máme na výběr Text mode a Math mode. Math mode odpovídá příkazům
(po stisku klávesy Enter dojde k jeho vyhodnocení), v Text mode píšeme texty dokumentu
podobně jako např. v textovém editoru Word (po stisku klávesy Enter přejdeme
na nový řádek bez jakéhokoli vyhodnocení). Volit režim a typ zápisu můžeme buď myší (v
kontextové liště nad dokumentem jsou uvedeny názvy představující jednotlivé možnosti)
nebo výběrem položky v hlavním menu (Edit > Switch to Text/Math mode). Totéž
lze rychleji provést klávesou F5.
V režimu textitWorksheet mode lze pro text i pro příkazy použít oba druhy zápisu.
Pro psaní textu je nutné kliknout na ikonku T v nástrojové liště nebo zvolit položku
v hlavním menu (Insert > Text). Podobně pro zápis příkazů jazyka Maple je nutné
kliknout na ikonku [> v nástrojové liště nebo zvolit položku v hlavním menu (Insert >
Maple Input). Při otevření nového souboru je zápisník nastaven na psaní příkazů.
1.2 Základní ovládání
V této části si ukážeme, jak systému Maple zadávat jednoduché příkazy. Budeme proto
předpokládat, že zápisník je již nastaven pro psaní příkazů (Math mode, viz Úvod).
Zadání zlomku: zadáme čitatel, lomítko (/) a jmenovatel. Pro opuštění zápisu jmenovatele
stačí stisknout šipku doprava (ve zlomku je též možno pohybovat se šipkami).
Zadání mocniny: zadáme základ, symbol stříška (^) a exponent. Pro opuštění zápisu
exponentu je opět možné použít šipku doprava.
6 KAPITOLA 1. MAPLE
Základní operace: pro sčítání používáme symbol plus (+), pro odčítání mínus (­), pro
násobení (*), ale pozor, pro dělení musíme používat pouze lomítko (/), dvojtečka (:) má
jiný význam (viz dále).
1.2.1 Vyhodnocení příkazů
Příkaz vyhodnotíme stiskem klávesy Enter. Výsledek se zobrazí na dalším řádku uprostřed.
V dřívějších verzích (méně než 10) systému Maple bylo nutné příkaz ukončovat
středníkem, aby se provedl. Tato možnost nadále zůstala (tj. zadáme-li za příkaz středník,
,,nic nepokazíme ) a v některých situacích je dokonce jediná možná ­ např. textový
režim (Text mode) příkazů v Worksheet mode nebo při psaní příkazů v prostředí Classic
Worksheet. Z předešlých verzí Maple se uchovala i funkcionalita symbolu dvojtečka (:),
která po zařazení za příkaz a následného stisku klávesy Enter potlačí zobrazení výsledku
na dalším řádku (tj. příkaz se provede, ale na obrazovku se nic nevypíše). Proto není možné
dvojtečku používat jako operátor dělení. V Document mode je navíc možné zapisovat příkaz
i s výsledkem na jeden řádek. Po napsání příkazu k tomu stačí místo stisku klávesy
Enter použít klávesovou zkratku ,,Ctrl + = .
Jak bylo zmíněno dříve, interaktivní dokumenty v Maple jsou ,,živé . Tím máme na
mysli skutečnost, že i v dříve vytvořeném programu otevřeném po libovolně dlouhé době
můžeme kterýkoli výraz upravit, znovu vyhodnotit (stisknout Enter nebo ,,Ctrl + = ) a
dostaneme nový (správný) výsledek. Označení několika (libovolně mnoha) příkazů a stisknutí
ikonky ! (vykřičník) z nástrojové lišty způsobí postupné vyhodnocení všech označených
příkazů. K vyhodnocení všech příkazů v dokumentu slouží ikonka !!! (tři vykřičníky).
Maple obsahuje více než tisíc symbolů, pomocí nichž můžeme tvořit matematické výrazy.
Patří mezi ně písmena anglické abecedy a číslice, pomocí nichž můžeme vytvářet
jména (posloupnost znaků začínající písmenem, za kterým může následovat kombinace
písmen, čísel a vybraných symbolů), reálná čísla (celá, racionální, s desetinou tečkou nebo
v notaci pohyblivé řádové čárky), komplexní čísla (reálná a imaginární část), aritmetické,
booleovské operátory a další (+, ­, !, /, *, , lim, . . . ), konstanty (, e, . . . ), imaginární
jednotka, nekonečno, matematické funkce (cos(x), sin(
3 ), . . . ) a proměnné (pojmenované
jménem . . . ). Velkou předností systému Maple je jeho schopnost symbolických matematických
výpočtů (tj. práce s výrazy). Některé z matematických symbolů, které můžeme
použít, není na klávesnici, a tak se zadává buď z palety na levé straně zápisníku nebo
pomocí svých názvů.
1.2. ZÁKLADNÍ OVLÁDÁNÍ 7
1.2.2 Palety
Obrázek 1.7: Palety
Palety jsou pojmenované ,,obdélníčky při levém okraji zápisníku.
Každá paleta obsahuje symboly příslušné skupiny. Například
paleta s názvem Expression nabízí některé základní matematické
výrazy, palete Greek písmena řecké abecedy atd. Standardně
zůstává několik palet nezobrazených. V hlavním menu
(View > Palettes) můžeme seznam zobrazených palet upravit
tím, že některé přidáme, odebereme, ale třeba i jinak seřadíme.
Totéž lze provést jen za pomoci myši. Přidržením levého
tlačítka vybranou paletu přesuneme na jiné místo, stisknutím
pravého tlačítka vyvoláme stejnou nabídku, jako bychom postupovali
přes hlavní menu. Kliknutím (levého tlačítka myši) na některou
paletu zobrazíme (příp. skryjeme) symboly, které nabízí.
Vložit z palety symbol do zápisníku pak stačí pouhým kliknutím,
případně ,,přetáhnutím s pomocí levého tlačítka myši. Některé
symboly (,,barevné ) je možné dále specifikovat (upravovat).
Nyní ukážeme, jak vložit například výraz
10
i=1
2i. Pro jeho zapsání
potřebujeme celkem dva různé symboly: sumu a mocninu.
Sumační symbol nalezneme v paletě Expression. Kliknutím na
tuto paletu ji otevřeme (na obrázku 1.7 je jako jediná otevřená)
a vybereme z ní přítomný sumační symbol. Po jeho vložení do
zápisníku pak jednoduše přepíšeme obecné symboly (k, n a f)
požadovanými hodnotami. Pohybovat se ve vzorci můžeme pomocí
šipek na klávesnici, a přitom k jeho úpravě používat veškeré
jiné klávesy jako např. Delete, Backspace, mezerník, ... Znak
f smažeme a místo něj zapíšeme mocninný výraz. To můžeme
provést jednak vložením dalšího symbolu z palety Expression
(symbol ab) a následnou úpravou (specifikací hodnot a, b) nebo
užitím již známé klávesy pro tvorbu mocnin, stříšky (^).
1.2.3 Názvy symbolů
Mimo palet můžeme k zápisu symbolů užívat jejich názvů. Například
symbol  vložíme zapsáním jeho názvu Pi, pro odmocninu
je vyhrazen název sqrt, takže

x vložíme napsáním
sqrt(x). Při vkládání symbolů pomocí názvů může přijít vhod funkce ,,dokončování . Ta
se vyvolá stisknutím klávesy Esc, nebo kláves ,,Ctrl + mezerník . Pro zadání symbolu
pak stačí napsat jeho úvodní písmeno (písmena) a pomocí klávesové zkratky následně z
vyskakovacího okénka zvolit požadovanou hodnotu.
8 KAPITOLA 1. MAPLE
1.2.4 Pomocníci, instruktoři a řešené úlohy
Systém Maple poskytuje ,,pomocné nástroje pro řešení úloh. Jsou to tzv. Pomocníci (Assistants),
Instruktoři (Tutors) a Úlohy (Tasks), které vyvoláme z hlavního menu (Tools
> Assistants nebo Tools > Tutors anebo Tools > Tasks). Pomocníci (Assistants)
mají např. nástroje pro hledání funkční závislosti v datech, optimalizaci funkcí, řešení
diferenciálních rovnic a další. Pro daný typ úlohy mají implementováno několik často používaných
algoritmů. Po vyvolání provedou uživatele nastavením a specifikací parametrů
úlohy a zvolenou metodou úlohu vyřeší. Instruktoři (Tutors) provedou uživatele řešenou
problematikou pomocí jednoduchých názorných příkladů. Úlohy (Tasks) zobrazují na příkladech,
jak řešit různé úlohy. Zobrazí se vyvoláním z menu (Tools > Tasks > Browse),
viz obrázek 1.8.
Obrázek 1.8: Zobrazení úloh systému Maple.
1.3 Nápověda
Nápověda je významnou součástí systému Maple a pomáhá jeho uživateli velmi rychle
pochopit a využívat prostředí Maple. K dispozici je několik různých typů nápovědy, které
najdeme v položce Help hlavního menu.
1.3.1 Maple Help
Vyvoláním Maple Help se zobrazí základní stránky nápovědy se všemi dostupnými informacemi.
Je v nich možné jednak vyhledávat požadované téma, ale také procházet jednotlivá
témata jako v manuálu. Kromě zvolení položky v menu můžeme tuto nápovědu
otevřít i v zápisníku zapsáním příkazu ? (otazník), případně klávesovou zkratkou ,,Ctrl
+ F1 . Na obrázku 1.9 je okno nápovědy otevřené na informacích k příkazu discont.
1.3. NÁPOVĚDA 9
Obrázek 1.9: Hlavní nápověda systému Maple.
1.3.2 Tour of Maple
Položka Take a Tour of Maple poskytuje interaktivní přehled systému (jeho nejdůležitějších
prvků).
Obrázek 1.10: Tour of Maple.
1.3.3 Quick Reference
Kliknutím na Quick Reference zobrazíme tabulku informací o ovládání systému Maple,
zejména pro nové uživatele. Jedná se o základní informace s odkazy do nápovědy Maple
Help pro jejich případné doplnění.
10 KAPITOLA 1. MAPLE
Obrázek 1.11: Maple Quick Reference.
1.3.4 Quick Help
Položka Quick Help nabízí ještě stručnější tabulku než předchozí nápověda. Standardně
se objevuje v každém novém zápisníku při pravé straně v podobě černého okénka (pokud
toto nastavení nezrušíme). Po zavření je možné ji vyvolat stiskem klávesy F1, či jako
položku v hlavním menu.
1.3.5 What's New
K dispozici je též přehled rozšíření stávající verze Maple oproti předcházející verzi. Dosupné
přes Help > What's New.
1.3.6 Startup Dialog
Nápověda Startup Dialog obsahuje tipy pro práci se systémem Maple. Zobrazuje se vždy
po spuštění systému (pokud toto nastavení nezrušíme).
1.3.7 Manuals, Resources, and more
Vyvoláním Manuals, Resources, and more přejdeme do další oblasti nápovědy, z níž
popíšeme tři nejdůležitější části.
1.3. NÁPOVĚDA 11
Obrázek 1.12: Přehled novinek ve stávající verzi systému.
Maple Portal
Od nejnovější verze (tedy 13) je k dispozici tzv. Maple Portal. Spustit jej můžeme samostatně
(Maple Portal má vlastní ikonu na ploše) nebo přes nápovědu v hlavním menu
(Help > Manuals, Resources, and more > Maple Portal). Maple Portal slouží jako
pomocník všem novým (a nejen těm) uživatelům systému Maple. Je v něm možné rychle
najít detailní popis práce se systémem Maple od řešení nejjednodušších problémů až po
velmi složité úlohy.
Obrázek 1.13: Maple Portal.
12 KAPITOLA 1. MAPLE
Applications and Examples
Z nápovědy je možno vyvolat i spustitelné soubory (tj. již vytvořené programy) demonstrující
možnosti systému Maple. Vyvoláme je přes nápovědu v hlavním menu (Help >
Manuals, Resources, and more > Applications and Examples) a pak kliknutim na
zvolený příklad, viz obr. 1.14, kde je zvolen příklad Quality Control of Paint Production
Process.
Obrázek 1.14: Maple Applications and Examples.
Manuals
Z nápovědy je možno vyvolat i anglické manuály User manual, Introductory Programming
Guide, Advanced Programming Guide a Getting Started with Maple
Toolboxes podrobně popisující možnosti systému Maple. Vyvoláme je přes nápovědu v
hlavním menu (Help > Manuals, Resources, and more > Manuals) a pak kliknutim
na zvolený manuál.
1.4 Provádění výpočtů
Maple provádí přesně numerické výpočty s celými a racionálními čísly. Každý zadaný
matematický výraz se snaží co nejvíce zjednodušit (např. zlomek zkrátit a převést na
základní tvar, upravit algebraický výraz, . . . ), ale ne za cenu ztráty přesnosti. To znamená,
že například racionální čísla (zlomky) udržuje stále v jejich základním tvaru. Podobně s
konstantami , e a dalšími, odmocninami a jinými výrazy pracuje jako se symboly. Tímto
je zaručena absolutní přesnost numerických výpočtů i v případě, kdy nepracujeme pouze
s celými a racionálními čísly.
Jsou však situace, kdy potřebujeme znát přibližnou hodnotu reálného nebo racionálního
čísla v pohyblivé řádové čárce. K tomu slouží příkaz evalf, jenž vrátí zaokrouhlenou
1.4. PROVÁDĚNÍ VÝPOČTŮ 13
hodnotu svého argumentu na počet platných cifer mantisy specifikovaný systémovou proměnnou
Digits. Ta je standardně nastavena na hodnotu 10. Všechny výpočty, při nichž je
nutné zaokrouhlovat čísla, provádí proto Maple s přesností na 10 platných míst. Proměnnou
Digits můžeme nastavit na takřka libovolné přirozené číslo. Omezení, jak vysoké toto
číslo může být, zjistíme příkazem kernelopts(maxdigits). Pro představu uveďme, že pro
Maple 13 je toto číslo 268 435 448, tedy více než 268 milionů platných cifer, s kterými
dokáže systém počítat.
Aniž bychom měnili nastavení proměnné Digits, můžeme zobrazit libovolný výraz s
požadovanou přesností pouze pomocí příkazu evalf. Příkaz je možné použít s jedním
nebo dvěma parametry. Jediný zadaný parametr znamená, že tento zadaný výraz bude
vyhodnocen na počet platných míst specifikovaných v proměnné Digits. Přidaný druhý
parametr řekne funkci evalf, na kolik platných míst má výraz vyhodnotit, viz příklady na
obrázku 1.23.
Obrázek 1.15: Příkaz evalf.
S dříve zmíněnou nápovědou souvisí symbol ? (otazník). Jak již víme, samotný otazník
(jako příkaz) otevře hlavní nápovědu systému (Maple Help). Otazník spolu s názvem
příkazu otevře nápovědu rovnou na stránce týkající se zadaného příkazu. Tedy např. příkaz
?evalf otevře hlavní nápovědu systému na stránce popisující syntaxi a sémantiku příkazu
evalf spolu s příklady jeho použití. Zapsáním dvou otazníků na začátek příkazu otevřeme
tutéž stránku nápovědy ve ,,sbaleném tvaru osnovy, v níž je možné otevřít (odkrýt)
libovolné části. Nakonec je tu ještě možnost zadání tří otazníků před příkaz, což otevře
nápovědu na příkladech použití tohoto příkazu.
Maple rozeznává přesná čísla (mezi něž patří i zmíněné symboly  a e, zlomky atp.) a
čísla typu Floating-Point, nebo-li čísla v pohyblivé řádové čárce. Jestliže systému zadáme
výraz, v němž některý z jeho podvýrazů bude typu Floating-Point, může Maple na celý
výraz pohlížet jako by byl tohoto typu a bude výsledky výpočtů zaokrouhlovat. To nejlépe
uvidíme na dalších příkladech na obrázku 1.16.
14 KAPITOLA 1. MAPLE
Obrázek 1.16: Přesná čísla a čísla typu Floating-Point.
1.4.1 Příkazy
Pro provedení výpočtu máme zpravidla více možností. Tou základní, která je k dispozici
ve všech verzích systému, jsou příkazy jazyka Maple. Chceme-li například vypočítat
odmocninu z čísla 2.5, zapíšeme v systému Maple příkaz sqrt(2.5). Stejného výsledku
dosáhneme použitím symbolu pro odmocninu z palety Expression. Pokud chceme určit
nejmenší společný násobek čísel 10, 12 a 15, můžeme využít příkazu lcm, nebo zapsat
čísla na řádek za sebe (oddělená čárkami) a přes pravé tlačítko myši zvolit z kontextové
nabídky Apply Function > Least Common Multiple, viz obrázky 1.17, 1.18.
Obrázek 1.17: Provedení výpočtu pomocí kontextové nabídky.
1.4. PROVÁDĚNÍ VÝPOČTŮ 15
Obrázek 1.18: Různé možnosti v provedení výpočtu.
1.4.2 Označení výsledků
Každému zobrazenému výsledku se v zápisníku přiřazuje číselné označení, které se zapisuje
zcela vpravo na řádek s odpovídajícím výsledkem. Označení je možné potlačit (tj.
nezobrazovat), znovu vyvolat, případně upravit jeho formát v hlavním menu (Format >
Labels > ...). Díky označení se můžeme na předešlé výsledky odvolávat a používat je
při tvorbě dalších příkazů. V ukázkách vytvořených dokumentů (prezentovaných v tomto
textu) je označení výsledků vždy potlačeno. Použití označení ilustruje obrázek 1.19.
Pokud chceme například přičíst číslo 10 k výsledku s označením (2), pak napíšeme ,,10
+ a přes klávesovou zkratku ,,Ctrl + L vložíme požadované označení (tedy do ,,vyskakujícího
okénka zadáme číslo 2 a potvrdíme (OK)). Místo klávesové zkratky ,,Ctrl + L
je možné použít horní menu (Insert > Label. . . ). Upozorněme, že zápis (2) vytvořený
(pouze) na klávesnici při tvorbě příkazu Maple nepochopí, pro vložení označení do příkazu
je třeba důsledně používat předešlý postup s ,,vyskakujícím okénkem zobrazeným
na obrázku 1.20.
Obrázek 1.19: Označení výsledků.
Maple dále nabízí možnost odkazovat se na poslední tři výsledky (v tomto případě
je jedno, zda byly zobrazeny či nikoliv, a zda mají nějaké označení) pomocí symbolu %
(procento). Jedno procento představuje poslední výsledek, dvě procenta předposlední a tři
procenta před-předposlední.
16 KAPITOLA 1. MAPLE
Obrázek 1.20: ,,Vyskakující okénko pro zadání označení.
Obrázek 1.21: Využití procent při odkazování se na předchozí výsledky.
1.4.3 Přiřazení hodnot do proměnných
Odkazovat se na nějaké výrazy můžeme také po jejich přiřazení k nějaké proměnné. Operátorem
přiřazení je (dvoj)symbol := (dvojtečka + rovnítko).
Místo (dvoj)symbolu := můžeme k přiřazení použít příkaz assign. Tak, jak můžeme
výrazy do proměnných přiřazovat, můžeme též přiřazení zrušit (tj. odebrat proměnné
uloženou hodnotu). Zmíněné provedeme příkazem unassign nebo přiřazením názvu proměnné
v apostrofech (obrázek 1.22).
Přiřazovat hodnoty můžeme i do tzv. systémových proměnných. Již jsme se setkali s
proměnnou Digits, která vyjadřuje počet platných míst, s nimiž Maple počítá. Ilustraci
na obrázku 1.23 můžeme srovnat s obrázkem 1.15.
Odstranit uloženou hodnotu v systémové proměnné nelze. Do systémových proměnných
můžeme hodnoty pouze přiřazovat, nebo současně vrátit příkazem restart nastavení všech
systémových proměnných na jejich původní hodnoty. Provedení příkazu odstraní všechny
uložené hodnoty v paměti (tedy i námi definované proměnné, načtené balíky atd.). Příkaz
restart se proto používá zpravidla na počátku řešení nové úlohy, zejména pak na začátku
každé práce se zápisníkem (aby se předešlo tomu, že budeme používat proměnnou, v níž
je z dřívějška uložena pro nás nesprávná hodnota).
1.4. PROVÁDĚNÍ VÝPOČTŮ 17
Obrázek 1.22: Přiřazení hodnot do proměnných a odstranění uložené hodnoty.
Obrázek 1.23: Proměnná Digits a příkaz evalf.
18 KAPITOLA 1. MAPLE
1.4.4 Řešení rovnic
Pro řešení rovnic má systém Maple příkaz solve a několik příkazů k němu příbuzných
závislých na typech rovnic, viz tabulka 1.
Tabulka 1: Příkazy pro řešení rovnic
Typ rovnice Příkaz pro řešení
Rovnice a nerovnice solve, fsolve
Obyčejné diferenciální rovnice dsolve
Parciální diferenciální rovnice pdsolve
Rovnice v oboru celých čísel isolve
Rovnice v oboru celých čísel v konečném tělese msolve
Lineární integrální rovnice intsolve
Systémy lineárních rovnic LinearAlgebra[LinearSolve]
Rekurentní rovnice rsolve
Díky interaktivnímu prostředí Standard worksheet můžeme řešit rovnice též pomocí
kontextové nabídky. Zapíšeme rovnici a přes pravé tlačítko myši zvolíme požadovaný příkaz.
Obrázek 1.24 ilustruje některé příklady řešení rovnic.
Příkazy na řešení rovnic nemusí vždy zobrazit všechna řešení. Pokud je chceme zobrazit,
přidáme příkazu solve nepovinný parametr AllSolutions, viz obrázek 1.25.
Symbol ,, Z2 představuje libovolnou celočíselnou proměnnou. Že se jedná o celočíselnou
proměnnou poznáme podle toho, že se v symbolu vyskytuje písmeno Z. Podobně by
výskyt například písmena C značil proměnnou komplexní. Cifra 2 v symbolu proměnné
označuje pořadí, v jakém byla proměnná v zápisníku zavedena. A nakonec znak ,,
vyjadřuje, že proměnná splňuje nějaký předpoklad. Jaké předpoklady proměnná splňuje
přitom zjistíme příkazem about, případně zápisem proměnné a po kliknutí pravým tlačítkem
myši zvolením What Assumptions z kontextové nabídky. V zobrazeném příkladu
je předpoklad celočíselnosti proměnné přebytečný.
Dále může příkaz solve zobrazit výsledek se strukturou RootOf vyjadřující kořen (tj.
řešení) rovnice v nevyhodnoceném tvaru. Řešení pak vyhodnotíme buď příkazem allvalues
(pro symbolické vyjádření), nebo příkazem evalf (pro numerické vyjádření) ­ obrázek
1.26. Vedle příkazů můžeme též využít pravého tlačítka myši, zvolit z kontextové nabídky
položku All Values (pro symbolické vyjádření) a získaný výsledek převést na numerickou
hodnotu zvolením Approximate > 10 (pro 10 platných míst) z kontextové nabídky.
Symboly ,, Z ve struktuře RootOf nyní nepředstavují celočíselnou proměnnou (neboť
za písmenem Z nenásleduje číslo), nýbrž proměnnou libovolnou (tj. i komplexní). Struktura
RootOf z obrázku 1.26 tedy zastupuje kořen rovnice z4 - 2  z3 + 2 = 0.
1.4. PROVÁDĚNÍ VÝPOČTŮ 19
Obrázek 1.24: Ukázka řešení různých druhů rovnic vždy pomocí příkazu i pomocí kontextové
nabídky.
Obrázek 1.25: Zobrazení všech řešení.
20 KAPITOLA 1. MAPLE
Obrázek 1.26: Tvar zobrazení řešení.
Obrázek 1.27: Proměnná infolevel a ,,prázdný výpis příkazu solve.
Systém Maple po zadání příkazu vypisuje zpravidla pouze řešení, případně chybová
hlášení, či varování. U příkazu solve (a nejen u něj) toto chování způsobuje ,,prázdný
výpis v případě, že Maple žádné řešení nenašel. Pro výpis podrobnějších informací o průběhu
vyhodnocení příkazu a výsledcích slouží proměnná infolevel. Můžeme ji nastavit
buď pro každý příkaz samostatně, přičemž do hranatých závorek za proměnnou vložíme
název příslušného příkazu, nebo ji nastavíme všem příkazům současně na stejnou hodnotu
uvedením slova all do hranatých závorek. Proměnná může nabývat pěti hodnot (1,
..., 5). Čím vyšší hodnota je přiřazena v proměnné infolevel, tím více informací o vyhodnocení
příkazu obdržíme. Standardně není proměnná nastavena na žádnou hodnotu,
což v podstatě odpovídá nastavení proměnné na hodnotu 0. Použití proměnné infolevel
dokumentují obrázky 1.27 a 1.28.
1.5 Balíky
Knihovna příkazů jazyka Maple je rozdělena na hlavní knihovnu a tzv. balíky. Příkazy, s
nimiž jsme se doposud setkali, patří do hlavní knihovny, a můžeme je tak používat ihned
po spuštění systému. Naproti tomu většina příkazů naleží do balíků, které musíme před
1.5. BALÍKY 21
Obrázek 1.28: Proměnná infolevel a příkaz solve.
použitím příslušného příkazu buď načíst do dokumentu pomocí příkazu with, nebo zadat
příkaz spolu s názvem balíku. Načtení balíku pomocí příkazu with umožní používání
všech příkazů z příslušného balíku. Naopak zadání příkazu spolu s názvem balíku je nutné
provádět při každém použití jakéhokoli příkazu, v případě, že balík nenačteme (příkazem
with). My budeme (v případě potřeby) vždy načítat celý balík příkazů.
Například příkazy pro práci s vektory a maticemi náleží do balíku LinearAlgebra.
Jestliže chceme tedy použít příkaz Eigenvalues pro nalezení vlastních čísel matice, načteme
nejprve balík LinearAlgebra, jak dokumentuje obrázek 1.29.
1.5.1 Jednotky
Práci s jednotkami umožňuje balík Units. Při výpočtech tak nemusíme pracovat jen s
čísly, ale můžeme jim přiřazovat i jednotky. K vložení jednotek do zápisníku využijeme
palety Units. Obrázek 1.30 ilustruje použití jednotek při výpočtu gravitační síly působící
v tíhovém poli Země (tj. gravitační zrychlení je rovno 9.81 ms-2) na těleso o hmotnosti
10 kg. Vidíme, že Maple umí jednotky také zjednodušovat (resp. upravovat na jiný tvar).
Ke zjednodušení výrazů přitom slouží příkaz simplify (viz dále).
Maple rozpoznává jednotky různých soustav a velikostí, s nimiž umí pracovat a vzájemně
je převádět. K převodu jednotek je k dispozici speciální nástroj zvaný Units Calculator.
Spustit jej můžeme z hlavního menu přes Tools > Assistants > Units Cal-
22 KAPITOLA 1. MAPLE
Obrázek 1.29: Použití balíků.
Obrázek 1.30: Použití jednotek.
culator..., ukázku poskytuje obrázek 1.31.
Pokud chceme použít jednotku, která není v paletě Units, můžeme si ji vytvořit sami
tak, že přidáme jednotku s názvem unit a název přepíšeme. V systému Maple 13 je
implementováno celkem 568 jednotek (tzn. v paletě Units je pouze několik vybraných).
1.5.2 Vědecké konstanty
Balík ScientificConstants poskytuje hodnoty fyzikálních konstant a chemických vlastností
látek spolu s jednotkami a neurčitostmi v těchto hodnotách. Příkazem GetConstant
zobrazíme informace o zadané konstantě, viz obrázek 1.32 pro gravitační zrychlení v tíhovém
poli Země a Newtonovu gravitační konstantu.
Příkazem GetValue získáme (pouze) numerickou hodnotu konstanty, příkazem GetUnit
(pouze) jednotku ­ obrázek 1.33.
1.5. BALÍKY 23
Obrázek 1.31: Units Calculator.
Obrázek 1.32: Použití balíku ScientificConstants.
Obrázek 1.33: Práce s vědeckými konstantami.
24 KAPITOLA 1. MAPLE
Obrázek 1.34: Použití balíku RealDomain.
1.5.3 Reálná doména a předpoklady (omezení)
Systém Maple standardně počítá v oboru komplexních čísel. Někdy může být výhodné
omezit se pouze na reálná čísla, k čemuž slouží balík RealDomain. Rozdíly v chování
výpočtů podle toho, zda jsme načetli balík RealDomain, dokumentuje obrázek 1.34.
Pokud chceme pracovat v reálném oboru pouze u některých proměnných, případně
použít jiné omezení, využijeme příkazu assuming ­ viz příklady na obrázku 1.35.
Obrázek 1.35: Omezenní jednotlivých proměnných.
1.6. ZÁKLADNÍ MATEMATICKÉ VÝPOČTY 25
1.6 Základní matematické výpočty
1.6.1 Úpravy výrazů
K úpravám výrazů slouží několik různých příkazů. Pro zjednodušování jsou to především
příkazy simplify, normal a combine. Simplify je základní zjednodušující příkaz, normal
je příkaz určený pro úpravu zlomků, combine spojuje jednotlivé výrazy.
Obrázek 1.36: Zjednodušení výrazů.
Dále jsou k dispozici například příkazy collect (vytýkání), coef (koeficient u zvoleného
členu polynomu), sort (seřazení členů polynomu), expand (roznásobení), factor (rozklad
na kořenové činitele) a roots (nalezení kořenů polynomu).
1.6.2 Funkce
Definovat funkci můžeme více způsoby. Při zadávání (pouze) na klávesnici napíšeme název
funkce, symbol pro přiřazení (:=), argument funkce, šipku vpravo a funkční předpis. Šipku
přitom vytvoříme jako pomlčku následovanou uzavírající lomenou závorkou (symbol ,,větší
než ). Chceme-li tedy vytvořit funkci f(x) = x2, zapíšeme do zápisníku příkaz f:=x->x^2.
26 KAPITOLA 1. MAPLE
Obrázek 1.37: Vytýkání ve výrazech a práce s polynomy.
Obrázek 1.38: Práce s polynomy.
1.6. ZÁKLADNÍ MATEMATICKÉ VÝPOČTY 27
Obrázek 1.39: Definice funkce.
Pro zjednodušení můžeme využít palet. Jednak je možné při vytváření příkazu použít
šipku z palety Arrows, nebo můžeme vzít celou šablonu příkazu vytvoření funkce
z palety Expression a modifikovat v ní požadované symboly. Vytvářet přitom můžeme
funkce libovolného počtu proměnných. V prostředí Standard worksheet (s nímž celou dobu
pracujeme) můžeme funkci vytvořit též zápisem bez šipky: f(x):=x^2.
Po odkliknutí příkazu musíme v následně zobrazeném vyskakujícím okénku potvrdit,
že se jedná o definici funkce. Funkční hodnotu definované funkce v daném bodě získáme
zápisem názvu funkce spolu s hodnotami parametrů v závorce (nemusíme přitom zadávat
pouze numerické hodnoty).
Důležité je rozeznávat funkce od výrazů. Jestliže vytvoříme výraz, například x^2, a
přiřadíme jej k nějaké proměnné, např. g, jedná se stále pouze o výraz. Hodnotu g pro x = 5
nemůžeme proto určit jako funkční hodnotu v bodě 5, ale musíme použít vyhodnocovacího
příkazu eval, případně do x přiřadit hodnotu 5, viz obrázek 1.40.
Funkce můžeme též definovat po částech pomocí příkazu piecewise. Argumenty v závorce
signalizují vždy nejprve interval následovaný funkční hodnotou na tomto intervalu.
Poslední interval již zapisovat nemusíme, stačí funkční hodnota, Maple ji doplní ve zbývající
množině zatím nedefinovaných bodů. Je možné též sestrojit funkci, která je definována
pouze na libovolné podmnožině reálných čísel. Pokud má funkce definovaná po částech
pouze dva různé předpisy, můžeme k jejímu vytvoření využít symbolu otevřené složené
závorky z palety Expression.
28 KAPITOLA 1. MAPLE
Obrázek 1.40: Rozdíl mezi funkcí a výrazem.
Obrázek 1.41: Funkce definovaná po částech.
1.6. ZÁKLADNÍ MATEMATICKÉ VÝPOČTY 29
1.6.3 Limity, derivace a integrály
V rámci matematické analýzy si ukážeme, jak v systému Maple určovat limity, derivace
a integrály. Na výběr máme znovu několik možností. Ve všech třech případech můžeme
využít k tomu určených příkazů, symbolů z palety Expression, či kliknutí pravého tlačítka
myši a zvolení vhodné položky v kontextové nabídce.
K výpočtu limit slouží příkaz limit, který má dva povinné argumenty: funkci a bod,
v němž chceme limitu určit. K dispozici je též volitelný parametr pro určení směru limity
(zleva, zprava). Místo příkazu můžeme použít odpovídající symbol z palety Expression,
nebo zapsat do dokumentu funkci, kliknout na ni pravým tlačítkem a z kontextové nabídky
zvolit položku Limit. Všechny tři postupy ilustruje obrázek 1.42. Určit limitu funkce více
proměnných je možné pouze pomocí příkazu limit.
Obrázek 1.42: Určování limity.
Derivaci funkce můžeme určit příkazem diff, který má dva povinné parametry: funkci
a proměnnou, podle níž se má derivovat. Dále můžeme využít symbol pro diferenciální
operátor z palety Expression (k dispozici jsou dva: ,,obyčejný operátor a operátor parciální
derivace), nebo kliknout pravým tlačítkem myši na funkci, již chceme derivovat, a
z kontextové nabídky zvolit položku Differentiate > ... Ukázkové příklady poskytuje
obrázek 1.43.
Systém Maple umí počítat i směrové derivace a pro funkci dvou proměnných má též
nástroj na její vizualizaci. Nalezneme jej v hlavním menu kliknutím na Tools > Tutors >
Calculus - Multi-Variable > Directional Derivatives ... (obrázek 1.44). Výstupem
z nástroje je animace ilustrující sekvenci derivací v zadaném bodě v různých směrech.
K symbolickému výpočtu směrové derivace slouží příkaz DirectionalDerivative z
balíku Student[MultivariateCalculus].
30 KAPITOLA 1. MAPLE
Obrázek 1.43: Výpočet derivace.
Obrázek 1.44: Zobrazení směrové derivace.
1.6. ZÁKLADNÍ MATEMATICKÉ VÝPOČTY 31
Obrázek 1.45: Výpočet směrové derivace.
Integrál ze zadané funkce můžeme určit buď příkazem int, nebo příslušným symbolem
z palety Expression, případně kliknutím pravým tlačítkem myši na funkci a z kontextové
nabídky zvolením položky Integrate > ... Použití na jednoduchých příkladech ilustruje
obrázek 1.46.
Obrázek 1.46: Výpočet integrálu.
1.6.4 Lineární algebra
Jak jsme se již zmínili v části 1.5 (Balíky), pro výpočty lineární algebry slouží balík LinearAlgebra.
Vytvářet matice, vektory a provádět s nimi základní operace je možné bez
načtení tohoto balíku (obrázek 1.47). Jako obvykle máme několik možností, jak vytvořit
matici, respektive vektor. Tou první jsou příkazy Matrix a Vector. Matici též můžeme
zadat výčtem svých prvků po řádcích do lomenných závorek. Jednotlivé řádky matice oddělíme
svislými čarami. Vektor, jakožto speciální typ matice, můžeme vytvořit obdobně.
K dispozici je také paleta Matrix.
Balík LinearAlgebra obsahuje mnoho příkazů, z nichž zmiňme a na jednoduchých
příkladech ukažme některé základní (obrázek 1.48). K určení vlastních čísel a vlastních
vektorů zadané matice slouží příkazy Eigenvalues a Eigenvectors. Příkazem CharacteristicPolynomial
zobrazíme charakteristický polynom matice, příkazem JordanForm
32 KAPITOLA 1. MAPLE
Obrázek 1.47: Práce s maticemi.
ji převedeme na Jordanův kanonický tvar. K dispozici je též příkaz GaussElimination
pro převod matice na schodovitý tvar, příkazem LinearSolve můžeme řešit systémy lineárních
rovnic.
1.7 Kreslení a animace
Interaktivní prostředí Standard worksheet nabízí hned několik možností k vykreslení grafu
funkce. Nejrychlejší a zřejmě nejjednodušší je zadat do zápisníku předpis funkce, kliknout
na něj pravým tlačítkem myši a z kontextové nabídky zvolit Plots > 2-D Plot (v případě
funkcí jedné proměnné). Zvolením Plots > 3-D Plot z kontextové nabídky spolu se
specifikací proměnných zobrazíme funkce dvou proměnných.
Dále můžeme využít pomocníka Plot Builder, a to dvěma způsoby. Buď opět zapíšeme
do dokumentu předpis funkce, klikneme pravým tlačítkem myši a zvolíme Plots
> Plot Builder, nebo zamíříme do hlavního menu a vybereme Tools > Assistants >
Plot Builder... . V prvním případě se objeví okénko Interactive Plot Builder (obrázek
1.49), v němž upřesníme typ vykreslení. Pokud uvažujeme funkci jedné proměnné,
obvyklou volbou je 2-D Plot. Můžeme však volit i jiné jako například vykreslení v polárních
souřadnicích (2-D polar plot). Obdobně je tomu u trojrozměrného vykreslování
funkcí dvou proměnných. Kliknutím na tlačítko Plot graf zobrazíme v dokumentu.
1.7. KRESLENÍ A ANIMACE 33
Obrázek 1.48: Příkazy balíku LinearAlgebra.
Obrázek 1.49: Zvolení typu vykreslení v Plot Builderu.
34 KAPITOLA 1. MAPLE
V druhém případě, kdy Plot Builder vyvoláme z hlavního menu, se nám objeví okénko
na obrázku 1.50. Do něj zadáme předpis funkce, kterou chceme zobrazit (zadání nám
umožní tlačítka Add, resp. Edit), a proměnné (pokud výraz obsahuje pouze proměnné,
systém je vyplní sám). Kliknutím na tlačítko OK přejdeme do již známého okénka pro
zvolení typu vykreslení (obrázek 1.49).
Obrázek 1.50: Okénko pro zadání předpisu funkce a proměnných v Plot Builderu.
Nakonec máme možnost k vykreslení grafu funkce použít příkaz plot v případě funkce
jedné proměnné a příkaz plot3d pro funkci dvou proměnných. Příkazu plot3d musíme zadat
i rozsahy hodnot, kterých mohou proměnné nabývat. Při trojrozměrném vykreslování
se graf standardně zobrazuje bez souřadných os (obrázek 1.51).
Při vykreslování je k dispozici několik atributů, které mění podobu grafu. Opět je
několik možností, jak atributy zadávat. Při použití pomocníka Plot Builder se v okénku
Interactive Plot Builder (obrázek 1.49) objevuje tlačítko Options. Kliknutím na toto
tlačítko přejdeme na okénko (viz obrázek 1.52) umožňující nastavit parametry vykreslení
jako jsou rozsah hodnot závisle i nezávisle proměnné, barva a styl vykreslované křivky,
titulek grafu, legendu atd. Užitečné je navíc tlačítko Preview umožňující předběžně si
prohlédnout současný stav a následně pokračovat v dalším nastavování atributů vykreslení
grafu.
Při použití příkazu plot (resp. plot3d) můžeme totéž provést specifikací nepovinných
parametrů jako jsou thickness pro tloušťku křivky, color pro její barvu, discont pro
zobrazení nespojitostí, labels pro popisky os, legend pro tvar legendy u obrázku, axes
pro nastavení souřadých os a další. Ukázku použití příkazu plot s nastavením některých
nepovinných parametrů nabízí obrázek 1.53.
1.7. KRESLENÍ A ANIMACE 35
Obrázek 1.51: Vykreslení grafů pomocí kontextové nabídky a příkazů plot, plot3d.
Obrázek 1.52: Okénko Plot Builderu pro nastavení parametrů grafu.
36 KAPITOLA 1. MAPLE
Obrázek 1.53: Vykreslení grafu při specifikaci některých nepovinných parametrů.
I u vytvořeného grafu lze upravovat jeho vzhled. Jednak můžeme na graf kliknout
pravým tlačítkem myši a z kontextové nabídky vybírat vlastnosti grafu, které jsme mohli
měnit již dříve, nebo můžeme využít kontextové lišty těsně nad dokumentem. Po kliknutí
levým tlačítkem myši na graf se ve zmíněné liště zobrazí nástroje skupiny nazvané Plot.
K dispozici je též skupina s názvem Drawing. Nástroje v těchto skupinách umožňují do
hotového grafu přidávat text, kreslit, či jinak upravovat.
Možnosti systému Maple při kreslení grafů jsou daleko větší. Pro představu, co všechno
Maple umí, si ukažme průvodce grafy (Plotting Guide), který je součástí nápovědy systému.
Jde o uspořádaný přehled grafů všech jeho funkcí. Je to velmi dobrý pomocník
umožňující uživateli získat rychlý přehled o vizualizačních možnostech Maple. Ukázky z
tohoto průvodce jsou uvedeny na obrázcích 1.54 až 1.57.
Obrázek 1.54: Dvourozměrné čárové grafy.
1.7. KRESLENÍ A ANIMACE 37
Obrázek 1.55: Dvourozměrné vyplňované grafy.
Obrázek 1.56: Trojrozměrné vektorové grafy.
Obrázek 1.57: Statistické grafy.
Kliknutím na příslušný název (příkaz) získáme podrobnou nápovědu k tomuto příkazu.
Na konkrétním příkladu si ukažme vizualizaci ,,proložení lineární parametrické funkce
naměřenými body v prostoru. Využijeme k tomu graf s názvem Plot least squares fit z
třídy matematických konceptů.
Na obrázku 1.58 je prezentováno řešení příkladu, jak ,,proložit metodou nejmenších
čtverců lineární funkci f(x, y) = a+bxy+cxy+dy parametrů a, b, c, d množinou třinácti
bodů {[x = sin(0.5  t), y = cos(0.4  t), z = cos(0.3  t)  sin(0.3  t)], t = 3, . . . , 15}  E3.
38 KAPITOLA 1. MAPLE
Obrázek 1.58: Vizualizace ,,proložení funkce body metodou nejmenších čtverců.
Obrázek 1.59: Zadání předpisu funkce v Plot Builderu.
1.7. KRESLENÍ A ANIMACE 39
V systému Maple můžeme též vytvářet animace. Animace se skládá z několika grafů,
které jsou po spuštění zobrazené v sekvenci za sebou. Vytvoříme ji buď příkazem animate
z balíku plots, nebo pomocí Plot Builderu. Obrázky 1.59 a 1.60 ukazují nastavení Plot
Builderu pro vytvoření animace, obrázek 1.61 ilustruje tentýž příklad na použití příkazu
animate.
Obrázek 1.60: Zvolení druhu vykreslení (animace) v Plot Builderu.
Obrázek 1.61: Animace vytvořená příkazem animate.
Ukončení Plot Builderu, resp. provedení příkazu, umístí do dokumentu ,,prázdný
graf. Kliknutím na něj zobrazíme skupinu nástrojů v kontextové liště s názvem Animation.
Pomocí těchto nástrojů můžeme animaci spustit, změnit její rychlost, podívat se
40 KAPITOLA 1. MAPLE
na libovolný snímek animace atd.
Animace můžeme upravovat stejně jako grafy (vytvořené příkazy plots, plots3d), tj.
měnit tloušťku, barvu a druh křivky, souřadné osy, legendu apod. Navíc máme k dipsozici
několik nepovinných parametrů, díky nimž můžeme například urřit počet grafů, z nichž
se animace skládá, nebo kolik grafů má zůstat trvale zobrazených (po spuštění animace).
1.8 Práce s neurčitostmi
Pro práci s neurčitostmi nabízí systém Maple několik nástrojů. Jejich použití závisí zpravidla
na množství informace, kterou máme.
1.8.1 Intervalová aritmetika
V případě, že známe pouze velikost (intervalu) neurčitosti, využíváme intervalové aritmetiky
implementované v balíku Tolerances. Proměnné (resp. konstanty) definujeme spolu
s intervalem chyby (neurčitosti) pomocí symbolu &+­ a pracujeme s nimi jako s ,,obyčejnými
proměnnými (resp. konstantami), viz obrázek 1.62.
Obrázek 1.62: Intervalová aritmetika s balíkem Tolerances.
1.8.2 Scientific Error Analysis
Balík ScientificErrorAnalysis umožňuje pracovat s veličinami, které mají nějakou střední
hodnotu a přiřazenou neurčitost (resp. chybu). Na rozdíl od intervalové aritmetiky je nyní
interval neurčitosti prokládán normálním rozložením hodnot se střední hodnotou ve středu
intervalu a směrodatnou odchylkou rovnou délce poloviny intervalu. Navíc je možné přiřazovat
veličinám korelaci (vzájemný vztah) mezi sebou. Veličiny definujeme příkazem
Quantity, propagaci chyb daným výrazem určíme příkazem combine, korelaci nastavíme
příkazem SetCorrelation. Ilustraci poskytuje obrázek 1.63.
1.8. PRÁCE S NEURČITOSTMI 41
Obrázek 1.63: Práce s balíkem ScientificErrorAnalysis.
1.8.3 Fuzzy Sets Toolbox
Toolbox FuzzySets není standardní součástí systému Maple a je nutné jej dokoupit.
Po instalaci funguje jako klasický balík příkazů, který umožňuje využívat fuzzy logiku a
konstruovat a používat fuzzy množiny. Fuzzy množina může být definována obecně na
libovolné množině objektů U, je však možné (a často vhodné) omezit balík FuzzySets
pouze na množinu reálných čísel. K dispozici je několik konstruktorů fuzzy množin, přičemž
ten nejuniverzálnější je téměř totožný s příkazem piecewise pro tvorbu po částech
definovaných funkcí.
Obrázek 1.64 ilustruje načtení balíku FuzzySets s omezením na množinu reálných
čísel a konstrukci dvou různých fuzzy množin s následným vykreslením jejich funkcí příslušnosti.
V prvním případě (vlevo) je použit konstruktor  vytvářející fuzzy množinu s
funkcí příslušnosti, jejíž tvar odpovídá tomuto řeckému písmenu. Napravo je fuzzy množina
vytvořena pomocí obecného konstruktoru (který je analogický k příkazu piecewise).
S fuzzy množinami můžeme provádět množinové operace. Na obrázku 1.65 jsou vyznačeny
operace sjednocení (vlevo) a průnik (vpravo) právě vytvořených množin. K dispozici
přitom máme i další množinové operace jako jsou odečítání množin, komplement množiny
a další. Ukázku komplementu fuzzy množiny představuje obrázek 1.66. Na obrázích (1.65,
1.66) jsou vždy vykresleny funkce příslušnosti původních množin i těch výsledných (po
aplikaci dané operace). Výsledné množiny jsou znázorněny tlustou čarou.
42 KAPITOLA 1. MAPLE
Obrázek 1.64: Konstrukce fuzzy množiny a její zobrazení.
Obrázek 1.65: Zobrazení sjednocení a průniku fuzzy množin.
1.8. PRÁCE S NEURČITOSTMI 43
Obrázek 1.66: Komplement fuzzy množiny.
Balík FuzzySets poskytuje též prostředky defuzzyfikace, tedy přiřazení číselné hodnoty
dané fuzzy množině. Standardní proces defuzzifikace přiřadí fuzzy množině její těžiště
(první moment), je však možné použít i jiné typy defuzzyfikací. Pro omezení na doménu
reálných čísel je k dispozici ještě metoda hledající medián funkce příslušnosti (specifikuje
se pomocí atributu method=area), viz obrázek 1.67.
Obrázek 1.67: Defuzzyfikace.
44 KAPITOLA 1. MAPLE
1.8.4 Statistics
Pro práci s nástroji matematické statistiky a analýzy dat je určen balík Statistics. Nabízí
širokou škálu příkazů, mezi nimiž jsou i příkazy pro vytváření náhodných veličin
mnoha různých pravděpodobnostních rozložení a práci s nimi. Z pohledu neurčitostí se
zaměřme právě na generování náhodných veličin, které využíváme při Monte Carlo simulacích
. Na obrázku 1.68 můžeme vidět načtení balíku Statistics a balíku plots, který
potřebujeme k použití příkazu display. Definujeme náhodnou veličinu s lognormálním
rozložením pravděpodobnosti (se střední hodnotou 1340 a směrodatnou odchylkou rovnou
0.6) a vykreslíme její hustotu. Následně vygerujeme 10 realizací této veličiny, kterým přiřadíme
příkazem Rank pořadí (od nejmenší hodnoty). Poté vygenerujeme 1000 realizací
definované náhodné veličiny, opět vykreslíme její hustotu, tentokrát spolu s histogramem
vygenerovaných hodnot. Příkazy Mean a Variance určíme střední hodnotu a rozptyl
vygenerovaných hodnot.
Obrázek 1.68: Práce s balíkem Statistics.
1.9. ZÁKLADY PROGRAMOVÁNÍ 45
1.9 Základy programování
Doposud jsme vykonávali příkazy jednotlivě. Systém Maple obsahuje též programovací
jazyk, který umožňuje vytváření složitějších programových konstrukcí.
1.9.1 Podmíněný příkaz if
Syntax:
if podminka1 then prikazy1
elif podminka2 then prikazy2
elif podminka3 then prikazy3
...
else prikazyN
end if
Jak můžeme vidět na obrázku 1.69, v podmíněném příkazu nemusí být použity všechny
prvky uvedené výše. Podmínku tvoří vždy výraz, u nějž je možné rozhodnout, zda je
pravdivý, či nikoliv. Příkazů, které se mají provést při splnění podmínky, může být více.
Od sebe je oddělíme středníkem, případně dvojtečkou.
Při vytváření příkazu na více řádků použijeme k přechodu mezi řádky současného
stisknutí kláves Shift a Enter. Stisk samotné klávesy Enter by způsobil vyhodnocení
rozepsaného příkazu.
Obrázek 1.69: Použití podmíněného příkazu if.
46 KAPITOLA 1. MAPLE
1.9.2 Cyklus for
Syntax 1:
for iterator from pocatek by prirustek to konec do prikazy
end do
Syntax 2:
for promenna in vyraz do prikazy end do
Na příkladech (obrázek 1.70) opět vidíme, že nemusíme využít všech prvků obecné
syntaxe příkazu. Zejména pokud neuvedeme prirustek, bude system pracovat s hodnotou
prirustku rovnou jedne. Příkazů, které se mají v jednom průchodu cyklem provést, může
být opět více (a musí být od sebe odděleny středníkem, či dvojtečkou).
Obrázek 1.70: Použití cyklu for.
1.9.3 Cyklus while
Syntax:
while podminka do prikazy end do
Na obrázku 1.71 je pomocí cyklu while číslo 112 celočíselně dělené dvěma, dokud je
zbytek po dělení rovný nule (zbytek po dělení určíme příkazem irem).
1.9. ZÁKLADY PROGRAMOVÁNÍ 47
Obrázek 1.71: Použití cyklu while.
1.9.4 Iterativní příkazy
Maple obsahuje několik iterativních příkazů, které jsou optimalizovány pro určité specifické
operace.
Tabulka 2: Přehled iterativních příkazů
Příkaz Funkce
seq vytvoří posloupnost
add vypočítá numerický součet
mul vypočítá numerický součin
select vypíše operandy, které vyhovují podmínce
remove vypíše operandy, které nevyhovují podmínce
selectremove vypíše zvlášť operandy, které vyhovují podmínce, a operandy, které ji
nevyhovují
map aplikuje operaci na operandy výrazu
zip aplikuje binární operaci na operandy dvou seznamů či vektorů
Obrázek 1.72 ilustruje použití několika vybraných iterativních příkazů.
Obrázek 1.72: Použití iterativních příkazů.
48 KAPITOLA 1. MAPLE
1.9.5 Procedury
V systému Maple můžeme vytvářet i vlastní procedury. Definice procedury začíná vždy
slovem proc a končí slovy end proc. Definici přiřadíme jméno, pomocí něhož následně
proceduru voláme (obrázek 1.73).
Obrázek 1.73: Vytváření procedur.
Obsah
1 Maple 1
1.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Standardní zápisník (Standard Worksheet) . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Klasický zápisník (Classic Worksheet) . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Příkazový řadek a kalkulačka Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.4 Document mode, Worksheet mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.5 Math mode, Text mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Základní ovládání . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Vyhodnocení příkazů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Palety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Názvy symbolů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4 Pomocníci, instruktoři a řešené úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Nápověda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Maple Help . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Tour of Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Quick Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.4 Quick Help . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.5 What's New . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.6 Startup Dialog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.7 Manuals, Resources, and more . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Provádění výpočtů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Příkazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Označení výsledků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.3 Přiřazení hodnot do proměnných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.4 Řešení rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Balíky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.1 Jednotky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.2 Vědecké konstanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.3 Reálná doména a předpoklady (omezení) . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 Základní matematické výpočty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.1 Úpravy výrazů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.2 Funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.3 Limity, derivace a integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.4 Lineární algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7 Kreslení a animace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
49
50 OBSAH
1.8 Práce s neurčitostmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.8.1 Intervalová aritmetika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.8.2 Scientific Error Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.8.3 Fuzzy Sets Toolbox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.8.4 Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.9 Základy programování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.9.1 Podmíněný příkaz if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.9.2 Cyklus for . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.9.3 Cyklus while . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.9.4 Iterativní příkazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.9.5 Procedury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48