Fyzika základního kurzu I (hypertextově) věnováno všem, kteří mají zájem o fyziku a její radostné studium kolektiv ÚFI FSI hypertextová verze vycházející z přepracovaných skript Fyzika I a Fyzika II, autorů: Šantavý, Liška a Peška Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně Odkazy jsou v textu označeny modře a kliknutím ,,odskočíte na příslušnou rovnici, obrázek, apod. Pokud se chcete v textu vrátit zpět, použijte klávesové zkratky Alt+Šipka vlevo nebo menu Zobrazení-Jít na-Předcházející zobrazení (nebo ikonku ), pro dopředný pohyb Alt+Šipka vpravo ( ). Ve významných místech označeny symboly: odkazy na odpovídající části v knize [1] ve formátu: HRW kapitola, strana. odkazy do textů Vybrané kapitoly z fyziky a Fyzika 2. video nebo animace simulační program dokumentace k programu interaktivní příklad početní příklad interaktivní test Další texty a pomůcky ke studiu fyziky naleznete na http://physics.fme.vutbr.cz. Obsah 1 Úvod do fyziky 10 1.1 Obsah a metoda fyziky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.1 Jak fyzika studuje svět? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.2 Jak fyzika poznává svět? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Fyzikální pojmy a veličiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Fyzikální pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Fyzikální veličiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3 Mezinárodní soustava jednotek SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.3.1 Vedlejší jednotky základních veličin . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Skalární a vektorové fyzikální veličiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Vztažné soustavy, soustavy souřadnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2 Hlavní vlastnosti skalárních a vektorových veličin . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.3 Semikartézské vyjádření vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.4 Skalární součin dvou vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.5 Vektorový součin dvou vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4 Derivace a integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.1 Derivace skalární funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.2 Vektorová funkce a její derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4.2.1 Vektorová funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4.2.2 Derivace vektorové funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4.3 Integrál skalární funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.4.3.1 Primitivní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4.3.2 Riemannův integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4.3.3 Konkrétní výpočet integrálu (1.25) . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 Pohyb částice a hmotné soustavy v silových polích 36 2.1 Kinematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2 Kinematika hmotného bodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.1 Polohový vektor r. Rychlost v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.1.1 Hmotný bod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.1.2 Polohový vektor r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.1.3 Trajektorie hmotného bodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.1.4 Rychlost hmotného bodu v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.1.5 Dráhová rychlost hmotného bodu, v . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.1.6 Vztah mezi rychlostí v(t) a tečnou rychlostí v (t) . . . . . . . . 41 2.2.2 Zrychlení a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.2.1 Definice zrychlení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.2.2 Zrychlení hmotného bodu při pohybu po kružnici . . . . . . . . 43 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 3 OBSAH 2.2.2.3 Zrychlení hmotného bodu při pohybu na libovolné křivé rovinné trajektorii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.3 Rovnoměrný pohyb po křivce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.4 Rovnoměrně proměnný pohyb po křivce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3 Kinematika tuhého tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.1 Otáčivý pohyb tuhého tělesa kolem pevné osy . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.1.1 Pohyb hmotného bodu po kružnici . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3.1.2 Rovnoměrný a rovnoměrně proměnný pohyb hmotného bodu po kružnici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.3.1.3 Rotační pohyb tuhého tělěsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.3.2 Translační pohyb tuhého tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4 Pohybové zákony klasické fyziky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4.1 První pohybový zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4.2 Druhý pohybový zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.4.3 III. pohybový zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4.4 Nejčastější síly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.4.5 Výslednice sil při křivočarém pohybu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.4.6 Vzájemné translační pohyby vztažných soustav . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.4.6.1 Obecný translační pohyb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.4.6.2 Rovnoměrný přímočarý translační pohyb . . . . . . . . . . . . . 65 2.4.7 Pohyb v neinerciálních soustavách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.4.7.1 Neinerciální soustava vykonávající nerovnoměrný translační pohyb 66 2.4.7.2 Rovnoměrně rotující neinerciální soustava . . . . . . . . . . . . . 69 2.4.7.3 Ekvivalence sil skutečných a setrvačných . . . . . . . . . . . . . 71 2.5 Časový a dráhový účinek síly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.5.1 Impuls síly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.5.2 Obecně o energii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.5.3 Práce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.5.4 Kinetická energie hmotného bodu, Ek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.5.5 Výkon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.6 Gravitační pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.6.1 Newtonův gravitační zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.6.1.1 Gravitační interakce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.6.1.2 Intenzita gravitačního pole, Kg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.6.1.3 Newtonův gravitační zákon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.6.2 Gravitační energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.6.2.1 Práce sil gravitačního pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.6.2.2 Gravitační energie hmotného bodu . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2.6.2.3 Potenciál gravitačního pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.6.3 Gravitační pole Země . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.6.3.1 Ideální Země . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.6.3.2 Skutečná Země . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.6.3.3 Tíhové pole u povrchu Země . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.7 Mechanická energie hmotného bodu, pohyb hmotného bodu v gravitačním poli . 96 2.7.1 Mechanická energie hmotného bodu v tíhovém a gravitačním poli . . . . . 97 2.7.1.1 Definice mechanické energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2.7.1.2 Práce a mechanické energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.7.1.3 Zákon zachování mechanické energie hmotného bodu . . . . . . . 100 2.7.2 Pohyb hmotného bodu v tíhovém a gravitačním poli . . . . . . . . . . . . 102 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 4 OBSAH 2.7.2.1 Pohyb hmotného bodu v homogenním tíhovém poli Země . . . . 102 2.7.2.2 Podmínka úniku hmotného bodu z gravitačního pole . . . . . . . 105 2.7.2.3 Pohyb hmotného bodu v centrálním gravitačním poli . . . . . . 106 2.7.2.4 Kosmické rychlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2.8 Mechanika hmotných soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2.9 Energie hmotných soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2.9.1 Hmotná soustava, hmotný střed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 2.9.1.1 Hmotná soustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 2.9.1.2 Hmotný střed (těžiště) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 2.9.2 Kinetická energie hmotné soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 2.9.3 Potenciální energie hmotné soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 2.9.3.1 Potenciální energie hmotné soustavy v poli vnějších konzervativních sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 2.9.3.2 Potenciální energie hmotné soustavy v poli vnitřních sil . . . . . 118 2.9.3.3 Celková potenciální energie hmotné soustavy . . . . . . . . . . . 118 2.9.4 Elastická energie hmotné soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2.9.4.1 Elastická energie pružného tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2.9.4.2 Elastická energie ideální pružiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2.9.5 Mechanická energie hmotné soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 2.9.5.1 Mechanická energie hmotné soustavy . . . . . . . . . . . . . . . 122 2.9.5.2 Zákon zachování mechanické energie . . . . . . . . . . . . . . . . 124 2.9.6 Kinetická energie tuhých těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2.9.6.1 Kinetická energie rotujícího tělesa. Moment setrvačnosti . . . . . 125 2.9.6.2 Kinetická energie hmotné soustavy při obecném pohybu s užitím těžišťové soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 2.9.7 Zákon zachování energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 2.10 Pohybové rovnice soustavy částic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2.10.1 První pohybová rovnice a první impulsová věta pro hmotné soustavy . . . 131 2.10.1.1 Definice celkové hybnosti hmotné soustavy . . . . . . . . . . . . 131 2.10.1.2 První pohybová rovnice a první impulsová věta pro hmotné soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 2.10.1.3 Zákon zachování hybnosti hmotné soustavy . . . . . . . . . . . . 134 2.10.1.4 Souvislost změn hybnosti hmotné soustavy s pohybem jejího hmotného středu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 2.10.2 Druhá pohybová rovnice a druhá impulsová věta pro hmotné soustavy . . 136 2.10.2.1 Moment hybnosti, moment síly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 2.10.2.2 Druhá pohybová rovnice a druhá impulsová věta pro hmotnou soustavu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 2.10.2.3 Zákon zachování momentu hybnosti . . . . . . . . . . . . . . . . 144 2.10.3 Pohybová rovnice tuhého tělesa otáčejícího se kolem pevné osy . . . . . . 145 2.10.3.1 Definice hlavních veličin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 2.10.3.2 Pohybová rovnice pro rotační pohyb tělesa . . . . . . . . . . . . 147 2.11 Příklady k části 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 2.11.1 Skalární a vektorové veličiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 2.11.2 Kinematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 2.11.2.1 Polohový vektor r(t). Rychlost v(t) . . . . . . . . . . . . . . . . 152 2.11.2.2 Zrychlení a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 2.11.2.3 Rovnoměrný pohyb po křivce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 2.11.3 Pohybové zákony klasické fyziky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 5 OBSAH 2.11.3.1 I., II. a III. pohybový zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 2.11.4 Časový a dráhový účinek síly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 2.11.4.1 Hybnost, impuls síly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 2.11.4.2 Práce, kinetická energie, výkon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 2.11.5 Gravitační pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 2.11.5.1 (Gravitační síla, gravitační energie) . . . . . . . . . . . . . . . . 158 2.11.6 Mechanická energie. Pohyb hmotného bodu v gravitačním poli . . . . . . 160 2.11.6.1 (Em v tíhovém a gravitačním poli Země) . . . . . . . . . . . . . 160 2.11.6.2 (Vlastnosti trajektorií v centrálním gravitačním poli) . . . . . . 160 2.11.7 Energie hmotných soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 2.11.7.1 (Hmotný střed) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 2.11.7.2 (Energie obecné soustavy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 2.11.7.3 (ENERGIE TUHÉHO TĚLESA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 2.11.8 Pohybová rovnice soustavy částic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 2.11.8.1 První pohybová rovnice, první impulsová věta . . . . . . . . . . 164 2.11.8.2 Druhá pohybová rovnice, druhá impulsová věta . . . . . . . . . . 165 3 Speciální teorie relativity 168 3.1 Relativistická kinematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 3.1.1 Speciální teorie relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 3.1.2 Relativnost v klasické mechanice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 3.1.2.1 Galileiho transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 3.1.2.2 Důsledky Galileovy transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 3.1.3 Fyzikální základy speciální teorie relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 3.1.3.1 Invariantnost a kovariantnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 3.1.3.2 Postuláty speciální teorie relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 3.1.3.3 Důsledky Einsteinových postulátů speciální teorie relativity . . . 176 3.1.3.4 Kontrakce délek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 3.1.3.5 Lorentzova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 3.1.3.6 Důsledky Lorentzovy transformace v příkladech . . . . . . . . . 182 3.1.4 Relativistická dynamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 3.1.5 Relativistická hmotnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 3.1.6 Relativistická pohybová rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 3.1.6.1 Síla a zrychlení mají (obecně) různý směr. . . . . . . . . . . . . 187 3.1.6.2 Podélná a příčná hmotnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 3.1.6.3 Pro u c, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 3.1.7 Relativistická energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 3.1.7.1 Kinetická energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 3.1.7.2 Obecný vztah mezi energií a hmotností . . . . . . . . . . . . . . 191 3.1.8 Zákon zachování energie: E = E, tj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 3.1.9 Zákon zachování hmotnosti: mvsl = mvsl tj. . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 3.1.10 Příklady k části 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 4 Základy molekulárně kinetické teorie 196 4.1 Molekulová stavba látek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 4.2 Ideální plyn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 4.2.1 Makroskopický popis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 4.2.2 Mikroskopická definice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 4.3 Tlak ideálního plynu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 6 OBSAH 4.3.1 Hustota toku molekul na stěnu nádoby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 4.3.2 Kinetický výklad tlaku plynu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 4.3.3 Střední kvadratická rychlost molekul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 4.4 Teplota a její kinetická interpretace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 4.5 Vnitřní energie a tepelná kapacita ideálního plynu . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 4.5.1 Vnitřní energie ideálního plynu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 4.5.2 Tepelná kapacita ideálního plynu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 4.5.3 Ekvipartiční teorém . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 4.6 Statistické zákonitosti ideálního plynu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 4.6.1 Maxwellův zákon rozdělení rychlostí molekul ideálního plynu . . . . . . . 212 4.6.2 Rozdělení počtu částic s výškou ­ Boltzmannovo rozdělení . . . . . . . . . 216 4.6.3 Střední volná dráha molekul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 4.6.4 Příklady z molekulárně kinetické teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 5 Termodynamika 225 5.1 Základní pojmy termodynamiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 5.1.1 Předmět termodynamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 5.1.2 Teplota a její měření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 5.1.3 Teplo a práce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 5.2 První princip termodynamiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 5.3 Vratné a nevratné děje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 5.3.1 Stav termodynamické rovnováhy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 5.3.2 Vratné a nevratné děje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 5.4 Molová tepelná kapacita plynů při konstantním tlaku . . . . . . . . . . . . . . . . 233 5.5 Stavové změny ideálního plynu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 5.5.1 Změna za stálého objemu ­ izochorická, V = konst. . . . . . . . . . . . . 234 5.5.2 Změna za stálého tlaku ­ izobarická, p =konst. . . . . . . . . . . . . . . . 235 5.5.3 Změna za stálé teploty ­ izotermická, T = konst. . . . . . . . . . . . . . . 236 5.5.4 Změna adiabatická . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 5.5.5 Změna polytropická . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 5.6 Tepelné stroje a Carnotův kruhový děj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 5.6.1 Kruhové děje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 5.6.2 Carnotův kruhový děj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 5.6.3 Tepelné stroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 5.6.4 Absolutní termodynamická stupnice teploty . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 5.6.5 Účinnost nevratných dějů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 5.7 Druhý princip termodynamiky a entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 5.7.1 Druhý princip termodynamiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 5.7.2 Entropie při vratných dějích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 5.7.3 Entropie při nevratných dějích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 5.7.4 Volná expanze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 5.7.5 Vedení tepla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 5.7.6 Entropie a druhá termodynamická věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 5.7.7 Entropie a pravděpodobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 5.7.8 Třetí princip termodynamiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 5.8 Reálné plyny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 5.8.1 Fázové změny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 5.8.2 Stavová rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 5.8.3 Van der Waalsova rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 7 OBSAH 5.8.4 Kritický a trojný bod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 6 Kmitání 271 6.1 Hlavní vlastnosti kmitavých pohybů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 6.1.1 Obecné kmity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 6.1.1.1 Perioda T a frekvence f (nebo ) periodických kmitů. . . . . . . 273 6.1.2 Harmonické kmity (harmonický pohyb) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 6.1.2.1 Definice harmonických kmitů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 6.2 Lineární harmonicky oscilátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 6.2.0.2 Rychlost a zrychlení lineárního harmonického oscilátoru . . . . . 277 6.2.0.3 Fázový posuv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 6.2.0.4 Diferenciální rovnice harmonického pohybu . . . . . . . . . . . . 278 6.2.0.5 Síly působící na lineární harmonický oscilátor . . . . . . . . . . . 278 6.3 Vlastní kmity mechanických oscilátorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 6.3.1 Netlumené kmity tělesa na pružině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 6.3.1.1 Těleso na pružině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 6.3.1.2 Diferenciální rovnice kmitů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 6.3.1.3 Energie harmonického oscilátoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 6.3.2 Fyzické a matematické kyvadlo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 6.3.2.1 Diferenciální rovnice fyzického kyvadla: . . . . . . . . . . . . . . 284 6.3.2.2 Úhlová výchylka: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 6.3.2.3 Matematické kyvadlo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 6.3.3 Tlumené kmity mechanického oscilátoru: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 6.3.3.1 Vznik tlumení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 6.3.3.2 Tlumené kmity tělesa na pružině . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 6.3.3.3 Výchylka tlumeného oscilátoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 6.4 Netlumený elektrický oscilační obvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 6.4.0.4 Diferenciální rovnice kmitů v sériovém obvodě RLC . . . . . . . 291 6.4.0.5 Dokonale vodivý obvod LC (R = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . 292 6.5 Skládání kmitů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 6.5.1 Skládání stejnosměrných harmonických pohybů o stejných frekvencích (1 = 2 = ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 6.5.2 Skládání stejnosměrných harmonických pohybů o různých frekvencích, 1 = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 6.5.2.1 Podmínka periodičnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 6.5.3 Skládání stejnosměrných harmonických pohybů o různých (blízkých) frekvencích, splňujících vztah 1 . = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 6.5.4 Skládání harmonických kmitů navzájem kolmých . . . . . . . . . . . . . . 300 6.6 Příklady k části 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 7 Vlnění 310 7.1 Postupné mechanické vlnění . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 7.1.1 Co je to vlnění? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 7.1.1.1 Co je charakteristické pro mechanické vlny? . . . . . . . . . . . . 310 7.1.1.2 Různé druhy vlnění . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 7.1.2 Co se děje v pružné vlně? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 7.1.2.1 Podélné a příčné vlny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 7.1.3 Výchylka, rychlost částic, rychlost vlnění, čelo vlny, vlnoplocha . . . . . . 314 7.1.4 Zákon superpozice vlnění . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 8 OBSAH 7.1.5 Matematické vyjádření postupující vlny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 7.1.5.1 Sinusové (neboli harmonické) vlny . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 7.1.5.2 Matematické vyjádření postupující harmonické vlny . . . . . . . 319 7.1.5.3 Jak se pohybují částice v sinusové vlně? . . . . . . . . . . . . . . 320 7.1.5.4 Různé vyjádření harmonických vln . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 7.1.5.5 Fázová rychlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 7.1.6 Dopplerův jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 7.1.6.1 Příklady Dopplerova jevu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 7.1.6.2 Zdroj v pohybu -- vlnová délka . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 7.1.7 Akustické vlnění . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 7.1.7.1 Diferenciální rovnice vlnění . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 7.1.7.2 Vlnění v plynech, tyčích a vláknech . . . . . . . . . . . . . . . . 333 7.1.7.3 Energie pružných vln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 7.1.7.4 Přehled hlavních akustických veličin . . . . . . . . . . . . . . . . 337 7.1.8 Interference a ohyb vlnění . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 7.1.8.1 Superpozice a interference vlnění . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 7.1.8.2 Stojaté vlnění . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 7.1.8.3 Interference vlnění ze dvou bodových zdrojů . . . . . . . . . . . 344 7.1.8.4 Huygensův­Fresnelův princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 7.1.9 Příklady ­ Vlnění . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 8 Optika 354 8.1 Vlnová optika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 8.1.1 Fyzikální podstata světla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 8.1.1.1 Rovinná elektromagnetická vlna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 8.1.1.2 Viditelné světlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 8.1.1.3 Koherentní a nekoherentní světlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 8.1.1.4 Polarizace světla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 8.1.2 Interference a ohyb světla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 8.1.2.1 Interference světla na tenké vrstvě . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 8.1.2.2 Ohyb světla na štěrbině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 8.1.2.3 Ohyb světla na optické mřížce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 8.1.2.4 Holografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 8.2 Zobrazení čočkou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 8.2.1 Zobrazovací rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 8.2.2 Zvětšení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 8.2.3 Chod paprsků čočkou -- paprskový obrazec . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 8.2.3.1 Zobrazení spojnou čočkou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 8.2.3.2 Zobrazení rozptylnou čočkou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 9 Výsledky 384 10 Fyzikální a astronomické konstanty 400 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 9 1. Úvod do fyziky 1.1 Obsah a metoda fyziky MetodyFyziky} V této části je stručně připomenut obsah fyziky a poněkud podrobněji je vyložena metoda, kterou fyzika zkoumá přírodu. Ústřední pojem je ,,fyzikální model . Vztah fyzikálního modelu k realitě a metoda fyziky jsou přehledně znázorněny ve schematu 1.1. Pochopení tohoto schematu je velmi užitečné pro pochopení metody vědecké práce ve všech oblastech lidské činnosti. Cíl: I) Porozumět schematickému znázornění metody fyziky 1.1 a jeho hlavním myš- lenkám. 1.1.1 Jak fyzika studuje svět? Předmět zkoumání fyziky zná v hrubých rysech každý absolvent střední školy. Připomeňme: Fyzika zkoumá nejobecnější zákonitosti dějů, které probíhají v neživé i živé přírodě, tj. v látkách (to je ta forma hmoty, která je složena z molekul a atomů) a ve fyzikálních polích (to je ta forma hmoty, která sestává z částic s nulovou klidovou hmotností -- např. elektromagnetické pole, gravitační pole). Zákony, které se ve fyzice vyslovují, jsou obecné v tom smyslu, že platí -- za stanovených podmínek -- ve všech dějích, nezávisle na tom, zda probíhají v živé nebo neživé přírodě, ve strojních mechanizmech, elektrických zařízeních atd. Tato obecnost fyziky je na jedné straně výhodou fyziky (proto je fyzika zařazena v programu studia téměř na všech vysokých školách), na druhé straně však i její nevýhodou v tom, že nemůžeme zacházet -- alespoň na úrovni základního kurzu -- do příliš velkých podrobností, jejichž studium člověka často upoutá víc než studium věcí obecných. O tom, jak je důležitá znalost fyziky pro dnešního inženýra, není třeba dlouho hovořit. Stačí např. podívat se do studijních textů pro vyšší ročníky kterékoliv technické fakulty, abychom viděli, že ve většině z nich se rozvádějí, aplikují a v určitých směrech prohlubují fyzikální výsledky, jež jsou předmětem studia posluchačů v prvních semestrech. Jestliže někdo porozumí fyzice, neznamená to ovšem ještě nutně, že bude dobrým inženýrem. Na druhé straně však dnes nemůže být dobrým inženýrem ten, kdo nerozumí fyzice. 1.1.2 Jak fyzika poznává svět? Přečtete-li si a promyslíte následující část, máte velkou naději, že se budete dívat na fyziku i na jiné předměty nebo oblasti vědy moudřeji něž dosud. Hlavní myšlenka tohoto odstavce je: Příroda, všechny objekty kolem nás a všechny děje jsou neobyčejně složité a mnohotvárné, jejich postupné poznávání je náročný a dlouhodobý proces. Fyzika, podobně jako všechny jiné vědy, musí při jejich zkoumání vždy vybrat jen jejich část a uvažovat jen o určitých stránkách dějů a jen o určité části vlivů, které se v nich uplatňují. Fyzik zanedbává drtivou většinu stránek ostatních, těch, o nichž se přesvědčil, anebo o nichž se pouze domnívá, že nejsou za dané situace a za daných podmínek podstatné. Zjednodušený objekt, který takto ze skutečnosti fyzik ,,vypreparuje a který je jistým obrazem skutečnosti, se nazývá ,,fyzikální model skutečného objektu nebo děje. Fyzik pak zkoumá vlastnosti tohoto modelu. Všechny fyzikální zákony, které kdy byly a které budou vysloveny, platí Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 10 1.2. FYZIKÁLNÍ POJMY A VELIČINY a budou platit pouze pro fyzikální modely, nikoliv pro přírodu samotnou. S rozvojem našeho poznání odrážejí tyto modely skutečnost stále dokonaleji. Uvedeme příklady: 1. Povrch každého skutečného tělesa je tvořen molekulami. Je nerovný, neurčitý a nestálý. Molekuly vykonávají neuspořádaný tepelný pohyb, jsou bombardovány molekulami okolního plynu nebo kapaliny, některé molekuly se uvolňují, jiné se v něm zachycují (oxidace, koroze), atd. Jestliže tedy ve fyzice nebo mechanice považujeme při zkoumání pohybu těles jako celku jejich povrch za hladký, uvažujeme o modelu těchto těles, nikoliv o nich samých. 2. Dotknou-li se dvě tělesa obecného tvaru, charakterizujeme jejich vzájemné působení veličinou ,,síla a působištěm v bodě dotyku. Ve skutečnosti se na interakci podílí obrovské množství molekul v oblasti styku, tělesa se více nebo méně deformují, deformace postupuje tělesy konečnou rychlostí atd. Všechny tyto děje v části mechaniky zvané ,,Mechanika tuhého tělesa zanedbáváme, namísto o skutečných tělesech a skutečných dějích uvažujeme o jejich fyzikálním modelu. Fyzikálním modelem často rozumíme nejen zjednodušenou představu o fyzikálním objektu, nýbrž i celou soustavu postulátů nebo axiomů, jimiž je model definován, včetně všech zákonitostí, které v rámci modelu platí. Nejznámějším takovým modelem je ,,Bohrův model atomu . Ve skutečnosti ovšem všechny části fyziky -- mechanika, vlnění, elektromagnetismus atd. -- jsou v tomto smyslu nauky o modelech. Vztah mezi zkoumanými objekty a ději na straně jedné a fyzikálním modelem na straně druhé je zřejmý ze schématu 1.1: Zkoumáme-li jeden a tentýž objekt z různých hledisek za různých podmínek a pro různé typy dějů, setkáváme se často s různými modely téhož objektu. Např.: dokonale tuhé těleso, dokonale pružné těleso, plastické těleso, struktura látky tělesa, těleso jako termodynamická soustava atd. Nelze se pak divit, že někdy mohou vést dva různé modely téhož objektu a děje k různým teoretickým výsledkům. Plyne to z metody vědecké práce. Stane-li se to, postupuje se podle předešlého schématu. 1.2 Fyzikální pojmy a veličiny zikalniPojmy} Vytváření fyzikálních pojmů, zavádění (definování) fyzikálních veličin a jejich jednotek. Důležité pojmy: jednotka fyzikální veličiny, její číselná hodnota, rozměr fyzikální jednotky. Uzákoněná soustava jednotek SI je vysvětlena relativně podrobně, je nejdů- ležitější. Cíl: I) Vysvětlit co je fyzikální pojem a fyzikální veličina, vyložit jejich hlavní vlast- nosti. II) Vysvětlit soustavu jednotek SI, zejména: vyjmenovat základní veličiny, základní jednotky, odvozené veličiny a jednotky, odvodit rozměr jednotek. III) Znát a vysvětlit pojmy, veličiny a výsledky uvedené v tomto textu. 1.2.1 Fyzikální pojmy Podobně jako v běžném životě vytváříme a užíváme při myšlení a dorozumívání myšlenkové útvary zvané pojmy -- např. úsilí, stůl, dovolená atd. -- vytváříme a užíváme v odborné činnosti navíc pojmy nové, pro danou oblast činnosti specifické. Ve fyzice jsou to pojmy fyzikální -- např. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 11 1.2. FYZIKÁLNÍ POJMY A VELIČINY Objekty a děje kolem nás - Zkoumáme, poznáváme, ovlivňujeme a přetváříme je. Na základě znalostí (vždy neúplných) o nich zjednodušujeme, zanedbáváme, vytvářímeFyzikální modely objektů a dějů XXXXXXXXXz Zkoumáme modely, docházíme k novým výsledkům a zákonitostem platným pro modely ? Srovnáváme tyto výsledky s dalšími vlastnostmi skutečných objektů a dějů. Zjistíme že: - souhlasí Užíváme fyzikální model dále - - - - nesouhlasí Upřesňujeme podmínky starého modelu (Např. klasická mechanika v c) Starý model upravíme (Rovnice ideálního plynu Van der Waalsova rovnice ) Vytvoříme nový model pro ty podmínky, pro něž starý model neplatí (Relativistická mechanika kvantová me- chanika) Model opustíme a vytvoříme nový (Fluidová teorie kinetická teorie tepla) Obr. 1.1: Schematické znázornění metody fyziky{schema1} setrvačnost, gravitační pole, jaderná syntéza atd. Jsou obvykle přesněji vymezeny, tj. definovány než pojmy běžného života. Pojmy charakterizují určitý objekt, nebo děj, nebo vlastnost atd. po stránce kvalitativní, tj. říkají, o co jde. Vysvětlí se to při jejich zavádění (definování). Např. fyzikální pojem ,,setrvačnost charakterizuje tu vlastnost těles, že bez působení okolních těles a fyzikálních polí nemění (v inerciální vztažné soustavě) rychlost, tj. setrvávají ve stálém pohybovém stavu. 1.2.2 Fyzikální veličiny Fyzikální veličiny jsou, podobně jako fyzikální pojmy, myšlenkové útvary, které vytváříme při myšlení a dorozumívání ve fyzice. Odrážejí přírodu a její vlastnosti i naše znalosti o ní. Jsou to Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 12 1.2. FYZIKÁLNÍ POJMY A VELIČINY vyšší útvary než fyzikální pojmy, od nichž se liší zejména tím, že je definujeme a) téměř vždy přesně, b) tak, že jim přiřazujeme určité číslo, které nazýváme číselná hodnota fyzikální veličiny. Např. měrnou hustotu homogenního tělesa o hmotnosti m a objemu V definujeme vztahem = m V . (1.1){1.1-1} Číselná hodnota veličiny závisí na jednotkách, v nichž jsou udány veličiny m, V a v nichž je pak dána i jednotka veličiny . Přitom jednotkou fyzikální veličiny rozumíme zcela určitou fyzikální veličinu téhož druhu, kterou prohlásíme za jednotkovou -- např. kilogram, metr, atd. Jednotku fyzikální veličiny X značíme [X], její číselnou hodnotu {X}. Můžeme tedy psát X = {X}[X], např. m = 5 kg, nebo = 8,00 kgm-3 , = {}[]. Číselná hodnota fyzikální veličiny závisí na její jednotce. Např. v = 7,2 kmh-1 = 7,2(103 m)(3,6103 s)-1 = 2 ms-1 . (1.2){1.1-2} Zřejmě: je-li jednotka [X] fyzikální veličiny X k-násobkem jednotky [X] , tj platí-li [X] = k[X] , platí pro odpovídající číselné hodnoty vztah {X} = k-1{X} . Rovnice (1.2) naznačuje i metodu převádění jednotek. Fyzikální veličina má dvě stránky: a) kvalitativní (vyjadřuje, podobně jako fyzikální pojem, o co jde), b) kvantitativní (vyjadřuje číselně mohutnost, případně stupeň, nebo rozsah uvažované vlastnosti, děje atd.). Veličinu jsme definovali vztahem (1.1) s užitím veličin m, V , které jsme přitom (mlčky) pokládali za známé. Všechny veličiny takto definovat nelze, z některých musíme vyjít a považovat je tak za známé, které nemusíme definovat pomocí veličin jiných, nýbrž jen vysvětlíme a popíšeme, co máme na mysli a udáme předpis, jak jim přiřadíme číslo, tj. číselnou hodnotu. Takovéto veličiny, kterých je konečný počet, nazýváme veličiny základní. Ostatní pak nazýváme veličiny odvozené. Volba základních veličin není jednoznačná, nýbrž je věcí dohody, neboli konvence. Takové konvence se provádějí v mezinárodním měřítku. Základní veličiny se volí podle mnoha kritérií, z nichž nejdůležitější požadují, aby: 1. ze základních veličin bylo možno definovat všechny ostatní veličiny, 2. jim bylo možno měřením přiřadit číselnou hodnotu s přesností co největší, 3. jejich jednotky byly stálé (tj. s časem co nejméně proměnné) a daly se relativně snadno realizovat. Proto např. v elektromagnetismu byl za základní veličinu zvolen ,,elektrický proud s jednotkou ,,ampér , i když z hlediska fyzikálního fundamentální veličinou je elektrický náboj, protože ,,elektrický proud charakterizuje pohybující se elektrické náboje. Soubor zvolených základních veličin a určitým způsobem definovaných odvozených veličin se nazývá soustava měřicích jednotek. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 13 1.2. FYZIKÁLNÍ POJMY A VELIČINY Soustavy měřicích jednotek užívané dříve v různých státech se lišily a v průběhu času měnily. Výsledkem snah o jejich zjednodušení a sjednocení v mezinárodním měřítku je, že ve většině zemí byla přijata tzv. Mezinárodní soustava měřících jednotek (SI), (Systéme International d'Unités). U nás je uzákoněna v normě ČSN 01 1300. Zde uvedeme pouze základní informace o ní. Obšírnější informace jsou uvedeny v [2, 3]. 1.2.3 Mezinárodní soustava jednotek SI Základní veličiny a jim příslušné hlavní jednotky, tzv. základní jednotky soustavy SI jsou: 1. délka -- metr, 2. hmotnost -- kilogram, 3. čas -- sekunda, 4. elektrický proud -- ampér, 5. termodynamická teplota -- kelvin, 6. látkové množství -- mol, 7. svítivost -- kandela. Doplňkové veličiny a jejich hlavní jednotky, tzv. doplňkové jednotky, soustavy SI jsou 1. rovinný úhel -- radián, 2. prostorový úhel -- steradián. Definice: Metr (m) je délka rovnající se 1 650 763,73 vlnové délky záření odpovídajícího přechodu mezi hladinami 2p10 a 5d5 atomu kryptonu 86 ve vakuu1. Kilogram (kg) je hmotnost mezinárodního prototypu kilogramu. Sekunda (s) je doba trvání 9 192 631 770 period záření, které přísluší přechodu mezi dvěma hladinami velmi jemné struktury základního stavu atomu cesia 1332. Ampér (A) viz definice v části 1.4.2.3 textu Fyzika II. Kelvin (K) je 1/273,16 část termodynamické teploty trojného bodu vody -- viz část 5.1.2. Mol (mol) je látkové množství soustavy sestávajících ze stejných částic (atomů, molekul atd.), v níž počet částic je roven počtu atomů v 0,012 kg uhlíku 12C. Kandela (cd) je svítivost jistého prototypu (viz [2, 3]). Radián (rad) je rovinný úhel sevřený dvěma radiálními polopaprsky, které vytínají na kružnici o poloměru R oblouk délky s = R (viz obr. 1.2a.) Steradián (sr) je prostorový úhel daný kuželem, který na kouli o poloměru R se středem ve vrcholu kužele vytíná plochu o obsahu S = R2 (viz obr. 1.2b) 1 Přibližně se rovná vzdálenosti dvou vrypů na dříve užívaném normálu a 10-7 délky čtvrtiny poledníku Země. 2 ,,Astronomická definice pomocí tropického roku byla nahrazena definicí ,,pozemskou . Poznamenejme, že Země rotuje nepravidelně -- její úhlová rychlost kolísá a v průměru se zmenšuje. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 14 1.2. FYZIKÁLNÍ POJMY A VELIČINY kružnice R ç s 1 rad s = R Definice: ç = s R , [ç] = rad a) koule R S 2 S = R Definice: = S R , [] = sr b) 1 sr Obr. 1.2: Definice rovinného úhlu a prostorového úhlu {obr1.1-1} 1.2.3.1 Vedlejší jednotky základních veličin Kromě uvedených hlavních jednotek je povoleno v SI užívat tzv. vedlejších jednotek, které jsou uvedeny v obr. 1.3. Vedlejší jednotky Veliina ZnakaNázev Jednotka as rovinný úhel minuta hodina den (úhlový) stupe (úhlová) minuta (úhlová) vteina Veliina ZnakaNázev Jednotka 1 min 1 h 1 d 1 " 1 ' 1 '' objem hmotnost Celsiova teplota energie hmotnost litr tuna Celsiv stupe elektronvolt atomová hmotnostní konstanta 1 l 1 t 1 "C 1 eV 1 u Obr. 1.3: Vedlejší jednotky SI.{obr1.1-2} Povoleny jsou násobné a dílčí jednotky tvořené násobkem 103, 106, . . . základních a odvozených jednotek. Jejich názvy se tvoří předsunutím předpony a jejich značky předsunutím znaku podle schematu Předpona tera giga mega kilo mili mikro nano piko femto atto Značka T G M k m n p f a Význam 1012 109 106 103 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 Např.: 1 megavolt = 1 MV = 106 V, 1 nanometr = 1 nm = 10-9 m. Kromě toho je povoleno užívat tyto jednotky: cm2, km2 , dm2 , mm2, dm3 , cm3, mm3. Odvozené veličiny v soustavě SI jsou všechny takové veličiny (bez omezení počtu), které jsou součinem (kladných i záporných) mocnin základních a doplňkových veličin. Jim příslušné hlavní jednotky, tzv. odvozené jednotky, jsou součinem mocnin hlavních jednotek základních a doplňkových veličin. Číselný faktor v uvedených vztazích je roven jedné. Např. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 15 1.3. SKALÁRNÍ A VEKTOROVÉ FYZIKÁLNÍ VELIČINY p = F S , 1 Pa = 1 N 1 m2 = 1 m-1 kgs-2 Takto zavedené odvozené jednotky i hlavní jednotky veličin základních a odvozených se nazývají koherentní. Rozměr (neboli dimenze) fyzikální veličiny X se značí D(X) nebo (X) a je definován: a) pro základní veličiny: rozměr délky je délka, zápis D(l) = L, b) pro odvozené veličiny je jejich rozměr roven součinu mocnin rozměrů základních veličin, daný vztahem mezi nimi. Např. rozměr tlaku je D(p) = L-1 MT-2 , kde L je jednotka délky, M jednotka hmotnosti a T jednotka času. Veličinová rovnice je rovnice mezi fyzikálními veličinami, např. U = RI, např. 6 V = 2 3 A. Jsou-li všechny veličiny udány v hlavních (tj. koherentních) jednotkách, plynou odtud rovnice [U] = [R][I], tj. V = A rovnice pro jednotky {U} = {R}{I}, tj. 6 = 23 rovnice pro číselné hodnoty D(U) = D(R)D(I), tj. L2 MT-3 I-1 = L2 MT-3 I-2 I dimenzionální rovnice Vztah jednotky odvozené veličiny k základním jednotkám vyjadřuje rovnice typu 1 N = 1 mkgs-2, nebo 1 V = m2kgs-3A-1 atd. Někdy (ne zcela správně, ale velmi často) se pravá strana nazývá rozměrem (dimenzí) jednotky. Rozměr základních veličin: délka l, D(l) = L; hmotnost m, D(m) = M; čas , D() = T; elektrický proud I, D(I) = I; teplota t, D(t) = ; látkové množství n, D(n) = N; svítivost I, D(I) = J. 1.3 Skalární a vektorové fyzikální veličiny roveVeliciny} Vyloženy budou pojmy ,,vztažná soustava , ,,souřadnicová soustava , ,,dráhová souřadnice . Ve výkladu vektorů se předpokládá, že je čtenář zná v rozsahu textu Vybrané kapitoly z fyziky, část ,,Vektory . Základní vlastnosti vektorů jsou připomenuty. Nově je vyloženo semikartézské vyjádření vektorů a operace ,,skalární součin a ,,vektorový součin . Cíl: I) Vyložit vlastnosti vektorových veličin a pravidla počítání s vektory v rozsahu skripta [6], část ,,Vektory , zejména umět jich užít. II) Pracovat s vektory v semikartézském vyjádření. III) Pracovat s vektorovými rovnicemi a převádět je na rovnice skalární. IV) Vyslovit definice skalárního a vektorového součinu dvou vektorů, vyložit jejich vlastnosti a pracovat s nimi. V) Uvedené vztahy a výsledky definovat a vysvětlit pojmy a veličiny zvýrazněné v tomto textu. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 16 1.3. SKALÁRNÍ A VEKTOROVÉ FYZIKÁLNÍ VELIČINY 1.3.1 Vztažné soustavy, soustavy souřadnic {1.1.3A} Fyzikální děje -- např. mechanické pohyby těles, šíření světla, elektromagnetické děje atd. -- zkoumáme a popisujeme vždy tak, že nejprve zvolíme (někdy jen podvědomě) vztažnou soustavu, tj. nějaké vhodné těleso (nebo skupinu těles), a pohyby ostatních těles i jiné děje vztahujeme k této soustavě. Vztažnou soustavou může být např. laboratoř, v níž provádíme pokusy a měření, povrch Země, kabina letadla, stator motoru atd. Velmi vhodnou vztažnou soustavou je např. ideální ,,dokonale tuhé těleso, jehož elementy mají stálou vzájemnou vzdálenost. Abychom mohli popisovat a vyšetřovat kvantitativně polohy a pohyby těles, nebo zkoumat elektromagnetické pole, nebo vyšetřovat šíření vlnění atd., zavádíme navíc soustavu souřadnic spojenou se vztažnou soustavou. Při zkoumání prostorových pohybů zavádíme nejčastěji trojrozměrnou pravotočivou soustavu pravoúhlých orientovaných os Oxyz, tzv. kartézskou soustavu souřadnic. Polohu obecného bodu P pak charakterizujeme trojicí jeho souřadnic (x, y, z). Užíváme zápisu P(x, y, z), obr. 1.4. z x yO P(x,y,z) y x z Obr. 1.4: Význam trojice souřadnic (x, y, z) charakterizujících polohu bodu P(x, y, z) v trojrozměrné pravotočivé soustavě pravoúhlých souřadnic Oxyz.{obr1.1-3} V této soustavě zavedeme ještě čas t tak, že ve vztažné soustvě umístíme vhodné časoměrné přístroje -- hodiny. Hodiny umístěné v různých místech seřídíme tak, aby ukazovaly stejný čas -- synchronizujeme je. Čas t nazýváme někdy časová souřadnice, na rozdíl od prostorových souřadnic x, y, z. x y x P(x,y) s <0 s > 0 O c y Obr. 1.5: Geometrický význam dráhové souřadnice s (krátce dráha) popisující polohu hmotného bodu na libovolné křivce k.{obr1.1-4} Soustavu souřadnic budeme spojovat vždy s nějakým vztažným tělesem a budeme užívat i pro ni název ,,vztažná soustava . Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 17 1.3. SKALÁRNÍ A VEKTOROVÉ FYZIKÁLNÍ VELIČINY Při zkoumání rovinných pohybů relativně malých těles, tzv. hmotných bodů, zavádíme obvykle jen dvojrozměrnou soustavu souřadnic s osami Ox, Oy. Příklady: pohyb loďky na vodní hladině, pohyb družice kolem Země, šikmý vrh atd. Chceme-li udat polohu hmotného bodu, o němž víme, že se pohybuje po určité předem známé křivce -- např. automobil po dálnici Praha ­ Brno, můžeme postupovat takto: Na křivce k (obr. 1.5) volíme libovolně (vhodně) počátek O, křivku orientujeme (tj. vyznačíme směr, který považujeme za kladný) a polohu hmotného bodu na ní charakterizujeme veličinou (souřadnicí) s >=< 0, podobně jako na souřadnicové ose Ox. Veličinu s budeme nazývat dráhová souřadnice, krátce dráha. Vztažnou a souřadnicovou soustavu bychom měli zakreslovat do všech obrázků znázorňujících fyzikální děje. V situacích, kdy je zřejmé, o co jde, se to však obvykle nemusí provádět. 1.3.2 Hlavní vlastnosti skalárních a vektorových veličin Skalární a vektorové fyzikální veličiny se probírají na středních školách. O čtenáři se předpokládá, že je s nimi seznámen v rozsahu daném obsahem části ,,Vektory textu [6], viz také [7]. Z hlediska popisu určitého fyzikálního děje s užitím různých navzájem se nepohybujících soustav souřadnic (obr. 1.6) je užitečné si uvědomit, že skalární veličiny -- např. teplota, objem, hmotnost tělesa atd. -- mají v takových soustavách (Oxyz, O x y z v obr. 1.6) stejné číselné hodnoty. Vektorové veličiny však (jež lze znázornit orientovanou úsečkou), např. síla F, svírají s odpovídajícími si osami (např. Ox, O x ) různé úhly, takže jejich průměty do os Ox, O x atd. mají různé hodnoty. z x yO z' y' x' 'â â ~F ~FO' Obr. 1.6: Dvě vůči sobě vzájemně se nepohybující vztažné soustavy souřadnic (Oxzy a O x y z ) a jejich rozdílný popis téhož vektoru F.{obr1.1-5} Uvedeme zde některé další vlastnosti vektorových veličin v rozsahu potřebném k dalšímu výkladu. Budeme při tom užívat často názoru a náš výklad tedy nebude přesný. V matematice si čtenář poznatky o matematických objektech i operacích zde probíraných upřesní. Doporučená matematická literatura: [3], [4], [6]. Vektorové veličiny zde budeme značit obvyklými symboly, např. F, v, p atd. a budeme je nazývat většinou krátce vektory. Vektor o počátečním bodě A a koncovém bodě B budeme značit -- AB. Počáteční bod vektoru budeme nazývat umístění vektoru. Umístění síly se nazývá působiště. Každou vektorovou veličinu lze napsat ve tvaru, který uvedeme na příkladu síly F: F = 3 newtonyF0 = 3 NF0. Zde je Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 18 1.3. SKALÁRNÍ A VEKTOROVÉ FYZIKÁLNÍ VELIČINY newton N jednotka síly F. Značí se [F] = N; 3 číselná hodnota síly F (v uvedených jednotkách). Značí se {F} = 3; 3 N velikost síly F (jiné názvy: modul, absolutní hodnota). Značí se F = 3 N (nebo |F| = 3 N); F0 = F/F jednotkový vektor ve směru síly. Platí |F0| = 1 (obr. 1.7). umístní psobišt ~F 0 0 ~F , F = 1 Obr. 1.7: Význam jednotkového vektoru F0 ve směru vektoru síly F.{obr1.1-6} Při kreslení vektorů se délky úseček volí tak, aby byly úměrné velikostem znázorněných veličin. Lze tedy psát F = {F}[F]F0. Dvě vektorové veličiny a, b jsou si rovny (a = b) právě tehdy, když a) jsou shodné po stránce kvalitativní b) mají stejnou velikost c) mají stejný směr. Informace: 1. Nesplňují-li dvě vektorové veličiny všechny tři uvedené podmínky, nejsou stejné. Je-li např. F1 síla vodorovného směru o velikosti F1 = 5 N a síla F2 o velikosti F2 = 5 N je svislá, nejsou to stejné síly, tj. F1 = F2. Platí ovšem F1 = F2; 2. Dva vektory a, b, které splňují uvedené podmínky a), b), c) jsou stejné, i když mají různé umístění; 3. Jsou-li dvě vektorové veličiny stejné, neznamená to, že jsou zcela shodné po stránce fyzikální. Příklad: Na těleso T, které leží v klidu na vodorovné podložce, působí síla tíhová G a síla N od podložky (obr. 1.8). Těleso působí na podložku silou F1. Síly G, F1 se liší původem (G je způsobeno tíhovým polem, F1 je způsobeno tělesem T) i působištěm. Platí však G = F1; 4. Z vektorové rovnice a = b plyne a = b, a0 = b0 (a naopak). 1.3.3 Semikartézské vyjádření vektorů Při vyšetřování vztahů mezi vektorovými veličinami s užitím kartézské soustavy souřadnic se zavádějí některé další pojmy a operace: 1. Kolmé průměty (krátce: Průměty) vektorové veličiny a do souřadnicových os (viz [6]. Značí se ax, ay, az (obr. 1.9) a jsou definovány vztahy Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 19 1.3. SKALÁRNÍ A VEKTOROVÉ FYZIKÁLNÍ VELIČINY T ~G ~F1 ~G = ~F = -~N1 ~N Obr. 1.8: Tíhová síla G a síla F1, kterou působí těleso na podložku. Obě vektorové veličiny jsou shodné, avšak nejsou zcela totožné po stránce fyzikální.{obr1.1-7} ax = a cos , ay = a cos , az = a cos . souřadnice vektoru a (1.3){1.1-3} {ram-1} Tyto veličiny se nazývají rovněž souřadnice vektoru a. Ze vztahu (1.3) plyne ax > 0 pro 0 /2, ax = 0 pro = /2, ax < 0 pro /2 < . Užívá se zápisu a = (ax, ay, az). Vektor a a jeho souřadnice mají stejné jednotky. x y z k j i á â bz |b |y b `a az ax ay ~ ~ ~ ~ axi~ Obr. 1.9: Vyjádření vektorů a a b pomocí jejich složek ax, ay, az (resp. bx(= 0), by, bz) a jednotkových vektorů i, , k. V obrázku jsou rovněž vyznačeny úhly, které svírá vektor a se souřadnicovými osami.{obr1.1-8} Je-li dán vektor svými souřadnicemi, např. a = (ax, ay, az), lze určit jeho velikost a úhly, které svírá se souřadnicovými osami, s užitím vztahů plynoucích z obr. 1.9: |a| = a = a2 x + a2 y + a2 z; cos = ax a , cos = ay y , cos = az a . 2. Semikartézské vyjádření vektoru. Jednotkové vektory ve směru souřadnicových os Ox, Oy, Oz budeme značit i, , k. Tyto vektory jsou navzájem kolmé (obr. 1.9) a platí pro ně |i| = || = |k| = 1. Vektory axi, ay, azk Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 20 1.3. SKALÁRNÍ A VEKTOROVÉ FYZIKÁLNÍ VELIČINY a o velikostech |ax|, |ay|, |az| se nazývají složky vektoru a v souřadnicových osách. Platí pro ně a = axi + ay + azk semikartézské vyjádření (1.4){1.1-4} {ram-2} To je tzv. semikartézské vyjádření vektoru a. Informace: Většina fyzikálních veličin, které nejsou skalární, jsou veličiny vektorové a lze je vyjádřit ve tvaru (1.4). Trojice vektorů (i, , k) se nazývá báze vektorového prostoru tvořeného těmito veličinami. Počet vektorů báze se nazývá dimenze vektorového prostoru. Poznamenejme, že v matematice a v teoretických úvahách v oblasti techniky se pojem vektoru zobecňuje a uvažuje se obecně o n-dimenzionálních vektorových prostorech. (viz např. [8]). 3. Souvislost vektorových a skalárních rovnic. Z definičních vztahů (1.3) a z věty o průmětech (viz [6]) plyne: Jsou-li S1, S2 . . . , Sn skalární veličiny a v1, v2, . . . , vn vektorové veličiny takové, že platí vztah (1.5), pak platí i vztahy (1.6) a naopak, tj. s1v1 + s2v2 + . . . + snvn = 0 (1.5){1.1-5} s1v1x + s2v2x + . . . + snvnx = 0 s1v1y + s2v2y + . . . + snvny = 0 s1v1z + s2v2z + . . . + snvnz = 0 . (1.6){1.1-6} To značí: vektorová rovnice (s vektory trojdimenzionálního prostoru) a tři skalární rovnice pro průměty do souřadnicových os jsou ekvivalentní. `a b `cd ap bp dp |c | = -cp p p ~ ~ Obr. 1.10: Průmět dp součtu vektorů a + b + c do orientované přímky p.{obr1.1-9} Připomeňme obsah zmíněné věty o průmětech vektorů: Uvažujme o vektorových veličinách a, b, c a o jejich součtu d = a + b + c (obr. 1.10). Utvořme průmět vektoru d do libovolné orientované přímky p. Z obr. 1.10 je zřejmé, že platí dp = ap + bp - |cp| = ap + bp + cp. Tedy d = a + b + c dp = ap + bp + cp, slovy: průmět součtu vektorů do orientované přímky p je roven součtu jejich průmětů do p. Obecně pak platí: b = ckak bp = ckakp, (1.7){1.1-7} kde ck jsou skalární veličiny takové, že ckak jsou vektorové veličiny stejného druhu. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 21 1.3. SKALÁRNÍ A VEKTOROVÉ FYZIKÁLNÍ VELIČINY KP 1.3-1{pr1.1-1} Vektory a, b jsou dány svými souřadnicemi ax, ay, az, bx, by, bz. Vektor c je dán vztahem c = a - 2b. Určete 1. cx, cy, cz; 2. c. Řešení: 1. Z rovnice (1.6) plyne c = a - 2b cx = ax - 2bx, cy = ay - 2by, cz = az - 2bz; 2. c = c2 x + c2 y + c2 z = (ax - 2bx)2 + . . . 1.3.4 Skalární součin dvou vektorů Skalární součin ab dvou (libovolných) vektorových veličin a, b je skalární veličina c daná vztahem c(= ab) = ab cos , definice skalárního součinu (1.8){1.1-8} {ram-3} kde je dutý nebo přímý úhel sevřený vektory a, b (obr. 1.11). ba `a b á ab ~ Obr. 1.11: Geometrický význam skalárního součinu ab = a b cos (= abb = baa).{obr1.1-10} Informace: 1. Jednotky: [c] = [a][b]; 2. Platí: ab = ba; 3. Platí: ab > 0 pro 0 < /2 = 0 pro = /2 < 0 pro /2 < 4. S užitím průmětů ab = a cos , ba = b cos lze psát ab = abb = baa (1.9){1.1-9} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 22 1.3. SKALÁRNÍ A VEKTOROVÉ FYZIKÁLNÍ VELIČINY á `s ~F Obr. 1.12: Příklad KP 1.3-2.{obr1.1-11} KP 1.3-2{pr1.1-2} Vagon je tažen na přímém úseku délky s = 20 m lanem, které svírá se směrem rychlosti vagonu úhel = 20 a které je napínáno silou o velikosti F = 800 N. Vyjádřete práci W vykonanou silou F pomocí skalárního součinu a vypočtěte ji. Řešení: Zavedeme vektor s podle obr. 1.12. Pak W = Fss = F(cos )s = Fs, W = Fs = Fs cos = 800 N20 m cos 20 = 1,50104 J. 5. S užitím vztahů (1.7), (1.8) lze dokázat: Pro libovolné vektory a, b, c, d a skaláry A, B, C, D takové, že splňují vztahy [Aa] = [Bb], [Cc] = [Dd], platí (Aa + Bb)(Cc + Dd) = ACac + ADad + BCbc + BDbd. (1.10){1.1-10} Analogický výsledek platí pro libovolný počet sčítanců a součinitelů. KP 1.3-3{pr1.1-3} Vyjádřete skalární součin vektorů a = (ax, ay, az), b = (bx, by, bz) pomocí jejich souřadnic. Řešení: ab = (axi + ay + azk)(bxi + by + bzk) = axbxii + axbyi + . . . + azbzkk = axbx + ayby + azbz, neboť ii = 1, i = 0 atd. 1.3.5 Vektorový součin dvou vektorů Vektorový součin a × b dvou (libovolných) vektorových veličin a, b je vektorová veličina c, definovaná takto: Oba vektory a, b umístíme do jednoho (libovolného) bodu (bod P v obr. 1.13). Pak vektor c = a × b má: Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 23 1.3. SKALÁRNÍ A VEKTOROVÉ FYZIKÁLNÍ VELIČINY `c b `a P p ~ á S = `c Obr. 1.13: Geometrický význam vektorového součinu a × b.{obr1.1-12} 1. Velikost: |c| = ab sin , tj. platí |a × b| = ab sin , kde je tupý nebo přímý úhel sevřený vektory a, b. 2. Směr: kolmý na rovinu danou vektory a, b tak, že vektory a, b, c (v uvedeném pořadí) tvoří pravotočivý trojhran (nebo: pravotočivý šroub -- otáčení kolem přímky p od a do b nejkratší cestou, vektor c má směr postupu šroubu) -- obr. 1.13. Proč právě takto se přiřazuje dvěma vektorům a, b třetí vektor c? Odpověď je jednoduchá: protože se ve fyzice a v technice veličiny tohoto typu často vyskytují. Příklady: (a) Na elektricky nabitou částici o náboji Q, pohybující se rychlostí v v magnetickém poli o magnetické indukci B, působí magnetická síla F = Q (v × B). Úkol: volte libovolně vektory v, B a zakreslete směr F pro Q > 0 a pro Q < 0. ~M ~F `r P O Obr. 1.14: Příklad užití vektorového součinu: otáčivý moment M síly F působící na těleso v bodě P, jehož polohový vektor je r, je roven M = r × F.{obr1.1-13} (b) Síla F působící na těleso v bodě P vyvozuje vzhledem k počátku souřadnic otáčivý moment M = r × F, kde r je polohový vektor bodu P (obr. 1.14). Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 24 1.4. DERIVACE A INTEGRÁLY Informace: 1. Velikost vektoru c, tj. c = ab sin , je rovna plošnému obsahu kosodélníka vyšrafovaného v obr. 1.13. 2. Jednotky [c] = [a][b] ; 3. Z definice vektoru c = a × b plyne a) a × b = -b × a; b) k(a × b) = (ka) × b = a × (kb); c) a × (b1 + b2) = a × b1 + a × b2. `r ~F ~M y x z 0 1 2 l Obr. 1.15: Kříklad KP 1.3-4.{obr1.1-14} KP 1.3-4{pr1.1-4} Na konci tyče délky l působí síla F Ox podle obr. 1.15. Určete otáčivý moment síly F vzhledem k počátku O. (Pozn.: symbolem a b vyjadřujeme, že vektory a, b jsou souhlasně rovnoběžné, tj. paralelní. Symbol a b vyjadřuje, že vektory a, b jsou nesouhlasně rovnoběžné, tj. antiparalelní). Řešení: M = r × F. Vektor M zakreslíme v bodě O, směr je zřejmý z obr. 1.15. Platí M = |r||F| sin 90 = 1 2 lF. Řešte příklady KP 1.1-10 až KP 1.1-15 v textu Vybrané kapitoly z fyziky; KP 1.3-5. 1.4 Derivace a integrály ceAIntegraly}{1.1.4} Ve fyzice i v technice má vzrůstající význam matematika. Věnujte se jejímu studiu, co vám síly stačí. Nezapomeňte však na to, že matematika je pro inženýra účinný nástroj pro studium technických dějů, jimž musí rozumět především po stránce fyzikální -- musí vždy vědět, o co jde. Ve fyzice na technických fakultách se předpokládá, že student ovládá matematiku na gymnaziální úrovni, viz např. [8]. Přesto zde raději vyložíme ty matematické pojmy a operace, bez nichž se ve fyzice neobejdeme. Výklad je založen na názornosti a je zaměřen tak, aby student věcem porozuměl v rozsahu potřebném ke studiu fyziky. Důkazy uváděných výsledků a podmínky jejich platnosti si upřesní student v matematice. Zde vyložíme pojmy: derivace skalární a vektorové funkce, diferenciál, integrál. Cíl: Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 25 1.4. DERIVACE A INTEGRÁLY I) Vyložit pojem derivace skalární funkce, vyslovit její definici a vysvětlit její geometrický význam; II) Porozumět pojmu diferenciál a umět vyložit jeho hlavní význam v aplikacích; III) Vysvětlit a na příkladech ilustrovat pojem vektorové funkce skalárního argumentu, vyslovit a vyložit definici derivace vektorové funkce; IV) Vyložit pojem primitivní funkce, pojem Riemannova integrálu a jejich sou- vislosti; V) Umět použít vztahy a výsledky zde v textu uvedené, definovat a vysvětlit pojmy a veličiny. VI) Samostatně řešit příklady řešené v tomto textu. 1.4.1 Derivace skalární funkce Fyzikální veličiny -- skalární i vektorové -- se při fyzikálních a technických dějích (obecně) mění. Např. při běhu pístového motoru se ve válci mění objem plynu, jeho tlak i teplota. Vzájemná souvislost libovolných dvou veličin z p, V, T, t (kde t jsme označili čas) může být ve většině případů znázorněna graficky. Např. v obr. 1.16 je křivkou c znázorněna závislost tlaku p na čase t, tj. funkce p(t). Přitom předpokládáme, že veličiny jsou udány v hlavních jednotkách SI, tj. p v pascalech a t v sekundách. á âá t0 t P0 P p(t) c g(t) T Äg Äp Äg = %p0 Ät = %t Ät 0 t (s) p (Pa) p p0 p = p(t )0 0 Obr. 1.16: Geometrický význam derivace skalární funkce. Příklad závislosti tlaku p na čase t, která je popsaná křivkou c. V bodě P0 je ke křivce c sestrojena tečna T, vyjadřující graf lineární závislosti na čase (tj. popsaná lineární funkcí času) g(t).{obr1.1-15} Většinu funkcí, jimiž jsou vyjádřeny souvislosti fyzikálních veličin při technických dějích, lze znázornit křivkami sestávajícími z úseků, k nimž lze sestrojit v každém jejich bodě tečnu a tato tečna mění při postupu dotykového bodu po křivce svůj směr plynule. Takové úseky se nazývají hladké křivky. Pro posouzení průběhu děje znázorněného křivkou c v obr. 1.16 v některém čase t0 není důležitá jen hodnota funkce p(t0), kterou označíme p0, nýbrž i to, jaký má funkce p(t) průběh v časech blízkých k t0 -- zda a jak rychle stoupá nebo klesá s měnícím se t. Předpokládejme, že křivka c je hladká a veďme k ní v bodě P0(t0, p0) tečnu (T v obr. 1.16). Tato tečna má stejný sklon jako křivka c v bodě P0. Tečnou T je znázorněna lineární funkce času, kterou označíme např. g(t). Její analytické vyjádření je dfs gdfgd gdfg d aesg fsdgdfgfds gdflg sdfgldf kgslfdglgdfkg fsdg sdfgdfgdfgggflgdfgldfgdfl Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 26 1.4. DERIVACE A INTEGRÁLY g(t) = g(t0) + K(t - t0), kde g(t0) = p0 (1.11){1.1-11} {ram-4} a kde K je jistá konstanta. Tato konstanta K se nazývá derivace funkce p(t) v čase t0 (nebo v bodě t0). Značí se obvykle ˙p(t0) nebo symbolem dp(t0) dt , tj. K = ˙p(t0). Na základě vztahu (1.11) můžeme pro t = t0 psát ˙p(t0) = dp(t0) dt = g(t) - g(t0) t - t0 = g t . (1.12){1.1-12} Zde je g = (g-g0) konečný přírůstek lineární funkce g(t), rovnice (1.11), znázorněné tečnou T, odpovídající nenulovému, jinak však libovolně velkému přírůstku času t = t - t0. Přírůstek t se značí obvykle dt, tj. dt = t, přírůstek g v bodě t0 se značí dp0 nebo dp(t0). Veličiny dt a dp0 se nazývají diferenciály v čase t0. Přitom dt je diferenciál nezávisle proměnné t a dp0 je diferenciál funkce p(t). Derivace dp(t0) dt = ˙p(t0) a diferenciály dt, dp0 souvisí vztahem dp0 = ˙p(t0)dt. (1.13){1.1-13} Geometrický význam derivace dp(t0) dt je zřejmý z obr. 1.16: její číselná hodnota {dp(t0) dt } je rovna tangentě úhlu , který svírá tečna T s osou Ot, tj. směrnici přímky T: { dp(t0) dt } = tg . (1.14){1.1-14} s v'(t)0 p `v1 `v3 `v2 `v0t0 t3 t2 t1 a) `v1 t1 `v0 t0 P0 t3 t2 q `v3 `v2 b) q Ä`v Ät `v0 Ä`v `v P0 tP t0 O O c) d) -`v0 `v Obr. 1.17: Geometrický význam derivace vektorové funkce. Okamžitá rychlost kosmické sondy v a průměrná změna rychlosti v časovém intervalu t, tj. v/t.{obr1.1-16} Závislost p na t, vyjádřená funkcí p(t) a znázorněná křivkou C, není lineární. Je však zřejmé, že pro t blízké k t0, tj. pro |t| 1, lze funkci p(t) přibližně nahradit lineární funkcí g(t), danou vztahem (1.11) a znázorněnou tečnou T, a to tím lépe, čím je |t| menší. Tedy křivku C nahradíme v okolí bodu P0 tečnou T, takže přibližně platí p(t) . = p0 + dp(t0) dt (t - t0) . (1.15){1.1-15} Z uvedeného plyne, že derivaci dp(t0) dt lze získat také tímto limitním procesem: Utvoříme podíl p/t, pro který z obr. 1.16 plyne {p/t} = tg . Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 27 1.4. DERIVACE A INTEGRÁLY Zmenšujeme |t| tak, že t t0. Pak konverguje (blíží se): bod P P0, úhel , podíl p/t g/t = dp(t0) dt . Tedy ˙p(t0) = dp(t0) dt = lim tt0 p - p0 t - t0 = lim t0 p t definice derivace skalární funkce v bodě t0 (1.16){1.1-16} {ram-5} To je vlastní definiční vztah pro derivaci funkce p(t) v bodě t0. Je velmi užitečný z hlediska určování derivací konkrétních funkcí jakožto limit, k vyšetřování jejich vlastností i k odvozování pravidel pro výpočet derivací. Derivace funkce p(t) v bodě t0, tedy dp(t0) dt , závisí na tom, jak jsme zvolili t0. Jestliže každému t, v němž má funkce p(t) derivaci, přiřadíme tuto derivaci, definuje toto přiřazení novou funkci proměnné t. Tato funkce se označuje ˙p(t) a nazývá se derivace funkce p(t) podle času. Důležitá informace: Z hlediska využití derivací ve fyzikálních a technických dějích je nejdůležitější tento jednoduchý vztah, který plyne z (1.16) pro malé hodnoty veličiny ||t: p . = dp(t0) dt t = dp(t0) dt dt = dp0. přibližná hodnota přírůstku p (1.17){1.1-17} {ram-6} Umožňuje nahradit přibližně přírůstek p funkce p(t) odpovídajícím přírůstkem t nezávisle proměnné t v okolí bodu t0 jejím diferenciálem ˙p(t0)dt. KP 1.4-1{pr1.1-5} Hrana krychle o délce l0 = 2 m se zahřátím prodlouží na l = 2,003 m. Určete zvětšení objemu krychle. Řešení: Objem V je funkcí délky hrany l : V = l3. Označíme ji V (l). Přírůstek této funkce v bodě l0, odpovídající přírůstku l = 0,003 m, je podle (1.17) přibližně roven V . = V (l0)dl = 3l2 0dl = 340,003 m3 = 0,036 m3 . Užili jsme vztah (x3) = 3x2, ve kterém jsem symbolem označili derivaci funkce podle x. Informace: 1. Derivace dp(t) dt funkce p(t) je nová fyzikální veličina. Její jednotkou je dp(t) dt = [p]/[t]. Veličina t se nazývá argument funkce p(t). Po derivaci dp(t) dt se užívá také názvu (první) derivace funkce p(t) podle t. 2. Z definičního vztahu (1.16) plynou (zde bez důkazu) pro často se vyskytující funkce f(x) tyto vztahy f(x) = x, (-, ) f (x) = x-1; pro = 0 : f(x) = 1 f (x) = 0 . f(x) = ex f (x) = ex, f(x) = sin x f (x) = cos x, f(x) = cos x f (x) = - sin x . (1.18){1.1-18} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 28 1.4. DERIVACE A INTEGRÁLY Dále jsou-li A1, A2 konstanty a f1(x), f2(x) funkce, které mají derivaci: f(x) = A1f1(x) + A2f2(x) f (x) = A1f1(x) + A2f2(x), f(x) = f1(x)f2(x) f (x) = f1(x)f2(x) + f1(x)f2(x), f(x) = f1(x) f2(x) f (x) = f1(x)f2(x)-f1(x)f2(x) f2 2 (x) , (ale f2(x) = 0), f(x) = f1(kx), k = konst. f (x) = kdf1(y) dy , kde y = kx . (1.19){1.1-19} 3. Derivace funkce f (x), tj. derivace derivace funkce f(x) se značí f (x) = d dx df dx = d2f dx2 a nazývá se druhá derivace funkce f(x). Podobně f (x) atd. Derivace f (x) se pak pro určitost nazývá ,,první derivace . Derivace funkce f(t) podle času, tj. výraz df(t) dt , se ve fyzice a technice často značí zkráceně ˙f(t). Podobně pro derivace vyšších řádů podle času píšeme ¨f(t), . . ., kde počet teček nad funkcí odpovídá řádu derivace. 1.4.2 Vektorová funkce a její derivace 1.4.2.1 Vektorová funkce Podobně jako o skalárních funkcích lze uvažovat o vektorových funkcích a o jejich derivacích. Co je to vektorová funkce ukážeme na příkladě: Uvažujme např. o pohybu kosmické sondy, jejíž trajektorie (v geometrické vztažné soustavě) je zakreslena v obr. 1.17a. Rychlost sondy v se při pohybu mění: v každém čase (určitém intervalu časů) má učitou hodnotu, tj. je funkcí času: v = v(t). Analogicky lze uvažovat o závislosti rychlosti v na dráhové souřadnici (dráze) s, tj. o funkci v = v(s). Funkce v(t), v(s) jsou vektorové funkce skalárních argumentů t, s. Grafické znázornění vektorových funkcí je většinou obtížné a méně názorné než znázornění funkcí skalárních. Lze je provést např. takto: Všechny vektory v, jež měla sonda, umístíme do jednoho bodu (obr. 1.17b). Koncové body vektorů v vytvoří jistou křivku q. Ke každému bodu této křivky napíšeme čas, v němž měla sonda příslušnou rychlost. Tím dostaneme jisté, ovšem ne příliš dokonalé znázornění funkce v(t). Analogicky můžeme znázornit funkci v(s) tak, že připíšeme ke každému bodu křivky q příslušnou dráhu s. Podobně lze znázornit většinu vektorových funkcí skalárních argumentů vyskytujících se ve fyzice i technické praxi. 1.4.2.2 Derivace vektorové funkce Budeme uvažovat o funkci v(t) znázorněné na obr. 1.17b. Budeme přitom předpokládat, že křivka q (tj. křivka spojující koncové body vektorů v(t) pro různá t) je hladká. Než budeme definovat derivaci funkce v(t), připomeňme, že derivace ˙p(t0) funkce p(t) v bodě t0 je definována v podstatě jako limitní podíl malého přírůstku funkce p(t) (tj. p) a malého přírůstku t nezávisle proměnné t, ve kterém se t blíží k 0 (viz rovnice (1.16)). Podobně se definuje i derivace vektorové funkce v(t) podle času v čase t0: Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 29 1.4. DERIVACE A INTEGRÁLY V čase t0 nechť má vektorová funkce v(t) jistou hodnotu v0. V čase t (> t0) ne příliš odlišném od t0 nechť má hodnotu v. Během časového intervalu (t0, t) délky t = t-t0 se rychlost změnila z v0 na v (obr. 1.17c), tj. vztahem v = v - v0 (obr. 1.17d). V dalším utvoříme vektorovou veličinu v/t. Tento vektor má stejný směr jako vektor v, neboť t > 0, viz obr. 1.17c. Nyní zvolíme t bližší k t0, utvoříme opět v/t a tento postup opakujeme. Přesněji: Provedeme limitní operaci -- zmenšujeme t tak, že t t0. Přitom P P0, v 0 (obr. 1.17c). Tvoříme stále podíly v/t. Jejich limitní hodnota se nazývá derivace funkce v(t) podle času v čase t0 a označuje se ˙v(t0) nebo dv(t0) dt . Tedy ˙v(t0) = dv(t0) dt = lim tt0 v - v0 t - t0 = lim t0 v t . definice derivace vektorové funkce (1.20){1.1-20} {ram-7} q `v0 P0 O %`v(t)0 %t Obr. 1.18: Vektor ˙v(t0) má směr tečny ke křivce q.{obr1.1-17} Informace: 1. Z hlediska definičního vztahu (1.20) a z obr. 1.17c plyne, že vektor ˙v(t0) má směr tečny ke křivce q (obr. 1.18). Má tedy jiný směr než v0. 2. Derivace ˙v(t0) funkce v(t) závisí na volbě t0. Označíme-li, podobně jako u derivace skalární funkce, čas, v němž je vytvořena derivace, symbolem t, můžeme definovat (novou) vektorovou funkci času, tj. v = v(t). 3. Derivace ˙v je nová fyzikální veličina. V našem případě, kdy derivujeme rychlost v(t) podle času, nazývá se ˙v(t) zrychlením. Zcela analogicky lze derivovat i funkci v(s) podle s a získat vektorovou funkci v (s). Podobně lze derivovat libovolnou vektorovou funkci f (x). Tyto funkce obecně nemají zvláštní název. Jejich jednotky jsou [f ] = [f]/[x]. Pro derivace vektorových funkcí platí pravidla analogická pravidlům (1.19). 1.4.3 Integrál skalární funkce Integrálem funkce f(x) se souhrnně nazývá několik matematických objektů. Z hlediska aplikací na naší úrovni jsou nejdůležitější tyto integrály: 1. Primitivní funkce k dané funkci f(x) (tzv. neurčitý integrál funkce f(x)), 2. Riemannův integrál funkce f(x) (tzv. určitý integrál funkce f(x)). Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 30 1.4. DERIVACE A INTEGRÁLY 1.4.3.1 Primitivní funkce Primitivní funkce k funkci f(x) je, podle definice, taková funkce F(x), pro kterou platí F (x) = f(x). Je to funkce, jejíž derivací je funkce f(x). Příklad: {f(x) = xn, n = -1} F(x) = xn+1/n + 1 + C, kde C je libovolná konstanta. Skutečně: F (x) = 1 n + 1 dxn+1 dx + dC dx = 1 n + 1 xn + 0 = xn = f(x). Primitivní funkce k funkci f(x) se obvykle značí symbolem f(x)dx , my ji však budeme značit symbolem F (x). Tedy např.: f(x) = x F(x) = x2 2 + C. Je-li f(x) funkce udávající fyzikální veličinu, udává funkce F(x) jinou fyzikální veličinu. Jejich jednotky jsou dány vztahem [F(x)] = [f][x]. 1.4.3.2 Riemannův integrál K definici Riemannova integrálu dospějeme při řešení úloh tohoto typu: Určete práci W, kterou je nutno vykonat k protažení pružiny o tuhosti k a o původní délce l (v nezatíženém stavu) na délku l = l + l. Tuto úlohu nelze řešit přímým užitím známého vztahu pro práci W = Fs cos , neboť při protahování pružiny není síla, kterou je nutno na ni působit, konstantní, nýbrž roste s protažením, mění se. Zavedeme-li osu Ox podle obr. 1.19, je síla F i její průmět Fx do osy Ox funkcí protažení (resp. stlačení) x. Označíme f(x) = Fx(x). Tato funkce je při nepříliš velkých změnách délky pružiny lineární (obr. 1.20), platí f(x) = kx, kde k je tzv. tuhost pružiny [k] = N/m. O x x ~F Obr. 1.19: Síla F (i její průmět do osy Ox) protahující pružinu je funkcí protažení (resp. stlačení) x.{obr1.1-18} Práci proměnné síly Fx určíme takto: Rozdělíme interval (O, l), v němž počítáme práci, na malé intervaly, tak malé, že veličina Fx = f(x) je v každém z nich téměř konstantní. Vyberemeli jeden z nich, např. (x, x + x) (obr. 1.20), pak práce, kterou vykoná síla F při protahování pružiny v tomto malém intervalu, je přibližně W . = Fxx = f(x)x = kxx. Tato tzv. elementární práce je číselně rovna plošnému obsahu úzkého obdélníka o základně x a výšce f(x), vyšrafovaného v obr. 1.20. Celková práce síly F při protažení pružiny ze stavu x = 0 do stavu x = l je přibližně rovna součtu těchto elementárních prací, tj. W . = W = f(x)x, (1.21){1.1-21} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 31 1.4. DERIVACE A INTEGRÁLY x x+Äx ÄW = f(x)Äx f(x) = F (x)x Äl A B x0 f(x) Obr. 1.20: Geometrický význam elementární práce W při protažení pružiny z délky x na délku x + x.{obr1.1-19} f(x) A B D C x1 x2x x+Äx f(x)Äx f(x)dx x2 x1 x f(x) 0 Obr. 1.21: Geometrický význam Riemannova integrálu obecné funkce f(x) v intervalu x1, x2 . {obr1.1-20} tj. číselně je rovna součtu obsahů všech takových proužků v celém intervalu 0, l . Součet na pravé straně se nerovná práci W přesně, protože v intervalu (x, x+x) se f(x) přece jen trochu mění. Je zřejmé, že součet na pravé straně vztahu (1.21) se liší od W tím méně, čím je dělení intervalu 0, l jemnější, tj. čím jsou elementární intervaly (x, x + x) menší. Zjemňujeme tedy dělení tak, že x 0 (přičemž počet elementárních intervalů roste nade všechny meze) a tvoříme součty typu (1.21). Limita posloupnosti těchto součtů se nazývá Riemannův integrál funkce f(x) v intervalu 0, l a značí se symbolem l 0 f(x)dx. (1.22){1.1-22} Je tedy W = l 0 Fx(x)dx = l 0 f(x)dx = l 0 kxdx. (1.23){1.1-23} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 32 1.4. DERIVACE A INTEGRÁLY Z obr. 1.20 je zřejmé, že W je číselně rovno plošnému obsahu trojúhelníka OAB, tedy W = 1 2 l|AB| = 1 2 lkl = 1 2 k(l)2 . (1.24){1.1-24} Obecně je Riemannův integrál obecné funkce f(x) v intervalu x1, x2 definován jako limita posloupnosti součtů typu (1.21), viz obr. 1.21. Číselně je roven plošnému obsahu obrazce ABCD ležícího pod křivkou znázorňující funkci f(x) v intervalu x1, x2 , obr. 1.21. Značí se I(x1, x2) = x2 x1 f(x)dx. (1.25){1.1-25} Symbolu se užívá proto, že je to limita součtů (součet se značí ). Sčítají se výrazy typu f(x)x, z nichž každý je (přibližně) číselně roven plošnému obsahu hustě šrafovaného proužku v obr. 1.21. Krajní body integračního intervalu x1, x2 se nazývají dolní mez (x1) a horní mez (x2) integrálu (1.25). Veličina x se nazývá integrační proměnná. Jsou-li f(x) a x fyzikální veličiny, platí pro jejich jednotky [I] = [f][x]. 1.4.3.3 Konkrétní výpočet integrálu (1.25) Uvedeme dva užívané způsoby. 1. Integrál (1.15) každé funkce f(x), pro niž tento integrál existuje, lze určit buď graficky (plošný obsah plochy, dělalo se dříve) nebo číselně s užitím počítačů, většinou přímo na základě definice jako limitu součtů typu (1.21). 2. Pro ty funkce f(x), pro něž lze nalézt jejich primitivní funkci F(x), se užívá k výpočtu Riemannova integrálu (1.25) výsledku, který uvedeme v dalším textu. a) Vztah mezi Riemannovým integrálem a primitivní funkcí (Tato část je z hlediska konkrétních výpočtů mimořádně důležitá). Uvažujme o funkci f(x) a utvořme její Riemannův integrál v mezích t1 = 0, t2 = x (obr. 1.22): I(x) = I(0, x) = x 0 f(t)dt. (1.26){1.1-26} Nechť dolní mez je pevné (t1 = 0) a horní nechť se mění. Integrál (1.26), tj. plošný obsah vyšrafované plochy v obr. 1.22, je pak funkcí své horní meze x. Budeme jej nadále značit I(x) = P(x). Dokážeme, že derivací této funkce je funkce f(x), tj. že platí I (x) = f(x) a že naopak je I(x) primitivní funkcí k f(x), tj. I(x) = F(x). Důkaz: Volme nějaké x, poté k němu blízké (x + x), dále utvořme rozdíl I(x + x) - I(x) = P(x + x) - P(x) = x+x 0 f(t)dt - x 0 f(t)dt. Tento výraz je roven rozdílu plošného obsahu obsahu obrazce ABCD a řídce šrafovaného obrazce AEFD, tj. obsah hustě šrafovaného proužku EBCF. Obsah tohoto proužku však je přibližně f(x)x, tedy I(x + x) - I(x) = f(x)x f(x) = I(x + x) - I(x) x . Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 33 1.4. DERIVACE A INTEGRÁLY f(x) P(x) A B CF D f(t) tE x Äx x+ÄxO f(t) Obr. 1.22: Geometrický význam Riemannova integrálu obecné funkce f(t) v intervalu t1 = 0, t2 = x .{obr1.1-21} V limitě x 0 dostáváme f(x) = lim x0 I(x + x) - I(x) x = I (x) = dI(x) dx . Tedy: Derivací funkce I(x) dané vztahem (1.26), je funkce f(x). Naopak platí F(x) = I(x). Tedy I (x) = f(x), F(x) = I(x). (1.27){1.1-27} b) Výpočet integrálu I(x1, x2) = x2 x1 f(x)dx, tj. určení plošného obsahu obrazce ABCD v obr. 1.23. Poznamenejme, že namísto označení t v symbolu pro integrál jsme zavedli označení x. Tato veličina se nazývá, jak jsme uvedli, integrační proměnná, na jejím označení výsledek nezávisí, musí však být označena jinak než meze integrálu. Ze vztahu (1.26), z obr. 1.22 a 1.23 a ze vztahu (1.27) plyne I(x1, x2) = x2 x1 f(x)dx = x2 0 f(x)dx - x1 0 f(x)dx = F(x2) - F(x1), (1.28){1.1-28} kde F(x) je primitivní funkce k funkci f(x). To je hledaný, velmi důležitý a užitečný výsledek. Zdůrazněme jej: Integrál z funkce f(x) v intervalu x1, x2 je roven rozdílu hodnot její primitivní funkce F(x) v horní mezi x2 a dolní mezi x1. K určení integrálu I(x1, x2) z funkce f(x) tedy stačí v podstatě najít primitivní funkci k funkci f(x). KP 1.4-2{pr1.1-6} Určete integrál I = l 0 kxdx. Řešení: Primitivní funkce k funkci f(x) = kx je funkce F(x) = 1 2 kx2 + C, kde C je libovolná (integrační) konstanta. Ze vztahu (1.28) plyne I = F(l) - F(0) = 1 2 k(l)2 - 0 = 1 2 k(l)2 . Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 34 1.4. DERIVACE A INTEGRÁLY A B C D f(x) x0 f(x) I(x ,x )1 2 x1 x2 Obr. 1.23: K výpočtu integrálu I(x1, x2) = x2 x1 f(x)dx = F(x2) - F(x1).{obr1.1-22} srovnejte s výsledkem (1.24). Poznámka: Výsledek výpočtu nezávísí na integrační konstantě C, která se při tvoření rozdílu F(x2) - F(x1) zruší. Je ji tedy možno volit libovolně, např. rovnu nule. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 35 2. Pohyb částice a hmotné soustavy v silových polích {1.2}{1.2.1} Tato poměrně rozsáhlá část obsahuje výklad nerelativistické mechaniky, tj. rozbor mechanických pohybů těles pohybujících se nerelativistickými rychlostmi (rychlostmi mnohem menšími než je rychlost světla ve vakuu, v c). Nerelativistická mechanika je zvláštním (limitním) případem relativistické mechaniky, zabívající se i pohybem těles s rychlostmi srovnatelnými s rychlostí světla ve vakuu. Strojní inženýr se většinou setkává s nerelativistickými rychlostmi, proto část 1 má mnohem větší rozsah než část 2, obsahující výklad teorie relativity. Některé výsledky teorie relativity však uvedeme i zde. V celém dalším výkladu této kapitoly budeme předpokládat, že pohyby těles jsou nerelativistické, tj. pomalé ve srovnání s rychlostí světla ve vakuu (v c). Výjimky výslovně uvedeme. Mechanika se zabývá studiem nejjednoduššího pohybu látek -- jejich přemísťování. Zde se budeme zabývat jen mechanikou těles, nikoliv mechanikou tekutin. Velká část zákonitostí, jež budeme studovat, platí však zcela obecně. Při studiu pohybu těles se nebudeme zabývat jejich vnitřní strukturou, chemickým složením atd., budeme studovat jen ty vlastnosti těles, které na jejich vnitřní struktuře nezávisí. Jestliže se tělesa dotýkají, působí na sebe -- částečně se deformují a mění pohyb. Takové vzájemné působení se nazývá silové působení a je charakterizováno fyzikální veličinou síla. Typické síly jsou: síla tření, síla odporu vzduchu, síla, kterou působí ložisko na hřídel, plyn na píst atd. Těmto silám se obvykle říká mechanické síly, aby se odlišily od sil elektromagnetických. Ovšem síly, kterými takto na sebe tělesa působí, jsou výslednicemi sil, kterými na sebe navzájem působí obrovské počty jejich molekul v místě styku. Tyto síly jsou většinou původu elektromagnetického. Název ,,mechanické síly je poněkud problematický. Podle současných poznatků lze síly, kterými na sebe působí jakékoliv objekty, makroskopické, mikroskopické i submikroskopické, redukovat na čtyři typy vzájemného působení, neboli interakcí. Uvedeme je v pořadí mohutnosti. Interakce (mocninou je dána relativní mohutnost vzhledem k silné interakci), 1. silná, 100. Vzájemné působení nukleonů -- protonů a neutronů; 2. elektromagnetická, 10-2. Vzájemné působení všech elektricky nabitých objektů; 3. slabá, 10-5. Vzájemné působení některých elementárních částic; 4. gravitační, 10-38. Nesmírně slabá ve srovnání s ostatními interakcemi. Uplatňuje se tam, kde se interakcí zúčastňují objekty s velkou hmotností. V obsahu je uveden přehled témat části 2. Její struktura je znázorněna v diagramu na obr. 2.1. 2.1 Kinematika {Kinematika}{1.2.2} Kinematika se zabývá popisem a zkoumáním mechanických pohybů, nezabývá se příčinami pohybů. V části 2.2 budou uvedeny základní pojmy a veličiny kinematiky hmotného bodu: hmotný bod, polohový vektor, trajektorie, rychlost, zrychlení. Jednoduché Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 36 2.1. KINEMATIKA Experimentální poznatky 2.1 Kinematika Zkoumá se pohyb, nezkoumají se jeho příčiny 2.4 Pohybové zákony klasické fyziky Souvislost mezi pohybem hmotného bodu a jeho pří- činami 2.6 Gravitační pole Jedna ze základních inter- akcí Teoreticky získané poznatky 2.5 Časový a dráhový účinek síly Impuls, práce, kinetická energie, výkon 2.7 Mechanická energie hm. bodu. Pohyb bodu v gravitačním poli Hm. bod v tíhovém a gravitačním poli. Zákon zachování mechanické energie. Trajektorie. 2.9 Energie hmotných soustav 2.10 Pohybové rovnice soustavy částic Impulsové věty, zákony zachování -- - ? - 6 - - 6 - - - - r Obr. 2.1: Pohyb částice a hmotné soustavy v silovém poli{schema} typy pohybů: pohyb rovnoměrný a rovnoměrný proměnný. Část 2.3 obsahuje rozbor rotačního a translačního pohybu tuhého tělesa. Cíl: I) Definovat a vysvětlit vlastnosti pojmů a veličin: hmotný bod, polohový vektor, trajektorie; II) Definovat veličiny: rychlost, dráhová rychlost, zrychlení. Vysvětlit jejich vlastnosti, umět je určit při daném pohybu; III) Vysvětlit obecné vlastnosti zrychlení při křivočarém pohybu, umět zrychlení určit; IV) Vyšetřit pohyb rovnoměrný a rovnoměrný proměnný; V) Definovat, vysvětlit a užít veličiny charakterizující rotační pohyb tuhého tělesa: úhlová dráha, úhlová rychlost, úhlové zrychlení; VI) Vyšetřit otáčivý pohyb rovnoměrný a rovnoměrně proměnný; VII) Definovat posuvný pohyb, vysvětlit jeho vlastnosti; VIII) Umět zpaměti vztahy a zákony uvedené zvýrazněně, vyložit pojmy a veličiny podtržené plnou čarou v tomto textu; IX) Řešit samostatně příklady řešené v tomto textu, zdůvodnit, nakreslit náčrtky; X) Řešit příklady typu KP 1.2-7, KP 1.2-1, KP 1.2-10 v textu Vybrané kapitoly z fyziky; KP 2.2-4 až KP 2.2-8. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 37 2.2. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU 2.2 Kinematika hmotného bodu matikaHmBodu}{1.2.2a} 2.2.1 Polohový vektor r. Rychlost v 2.2.1.1 Hmotný bod Definice: Hmotný bod je těleso o hmotnosti m, jehož tvar a rozměry nejsou při uvažovaném ději podstatné. Poloha hmotného bodu v soustavě souřadnic Oxyz je určena třemi souřadnicemi x, y, z. 2.2.1.2 Polohový vektor r Polohovým vektorem hmotného bodu, který je v bodě P(x, y, z), je podle definice vektor OP (obr. 2.2). Značí se r. Jeho průměty do os Ox, Oy, Oz, tj. jeho souřadnice, jsou x, y, z. Jeho složky jsou xi, y, zk, jeho semikartézské vyjádření (viz rovnice (1.4)) je r = x i + y + z k . polohový vektor (2.1){1.2-1} {ram-8} Platí [r] = metr. z y x zk` k` `r P(x,y,z) Oi~ j~ yj xi~ ~ Obr. 2.2: Poloha bodu P je dána jeho polohovým vektorem r = x i + y + z k.{obr1.2-1} 2.2.1.3 Trajektorie hmotného bodu V určité vztažné soustavě je množina bodů, kterými prochází pohybující se hmotný bod. Trajektorie hmotného bodu, který je v klidu, je bod. Tvar trajektorie závisí na vztažné soustavě, ve které je pohyb hmotného bodu zkoumán. V tomto smyslu je pohyb relativní. Např. trajektorie hmotného bodu puštěného volně ve vagonu rovnoměrně jedoucím po přímých kolejích je: 1. ve vztažné soustavě dané vagonem je trajektorií svislá přímka, 2. ve vztažné soustavě dané povrchem Země: parabola, 3. ve vztažné soustavě spojené s hmotným bodem: bod. Při pohybu hmotného bodu v soustavě souřadnic Oxyz jsou jeho souřadnice x, y, z jistými funkcemi času, např. x(t) = At + B, y(t) = C sin t, z(t) = Dt3 - E. Tato trojice funkcí vyjadřuje trajektorii v parametrickém tvaru (parametrem je čas t). Tutéž trajektorii lze vyjádřit vektorovou funkcí r(t): r(t) = (At + B)i + C sin t + (Dt3 - E)k. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 38 ? ? 2.2. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU Obecně lze psát r(t) = x(t)i + y(t) + z(t)k, (2.2){1.2-2} kde x(t), y(t), z(t) jsou jisté funkce času. Tento vztah se někdy nazývá rovnice trajektorie. 2.2.1.4 Rychlost hmotného bodu v Uvažujme o pohybu hmotného bodu popsaném funkcí r(t), danou např. ve tvaru (2.2). Trajektorie hmotného bodu je v obr. 2.3 označena s. Rychlost hmotného bodu v čase t1 (nebo v bodě P1, v němž je hmotný bod v čase t1) je vektorová veličina, která charakterizuje časovou změnu polohového vektoru r v čase t1. Značíme ji v(t1). Je definována jako derivace vektorové funkce r podle času v čase t1 (viz rovnice (1.20)), tedy v(t1) = lim tt1 r(t) - r(t1) t - t1 = lim t0 r t = dr(t1) dt = ˙r(t1). (2.3){1.2-3} Leží v tečně k trajektorii v bodě P1. Udává směr pohybu hmotného bodu v čase t1. Jednotka [v] = m/s. z y x s O `v(t )1 `r(t) `r(t )1 `r t `r Obr. 2.3: Okamžitá rychlost v(t) hmotného bodu v čase t1 je dána vztahem v(t1) = lim tt1 r t = dr(t1) dt = ˙r(t1). {obr1.2-2} Vektor v(t1) závisí (při daném pohybu) na volbě t1. Přiřadíme-li ke každému t uvažovaného intervalu časů příslušnou derivaci ˙r(t), tj. rychlost v(t), definujeme tím novou vektorovou funkci skalárního argumentu t, kterou rovněž označíme ˙r(t) = v(t), nebo krátce jen v a nazýváme rychlost hmotného bodu. Tedy v = ˙r. Informace: Ze vztahů (2.3), (2.1) a z pravidel pro výpočet derivací vektorových funkcí, analogických vztahům (1.19), plyne v(t) = d dt x(t)i + y(t) + z(t)k = dx(t) dt i + dy(t) dt + dz(t) dt k. (2.4){1.2-4} Srovnáním se vztahem v(t) = vx(t)i + vy(t) + vz(t)k dostaneme vx(t) = dx(t) dt , vy(t) = dy(t) dt , vz(t) = dz(t) dt . Slovy: Průměty rychlosti v(t) do os Ox, Oy, Oz, tj. souřadnice rychlosti v(t), jsou rovny derivacím funkcí x(t), y(t), z(t) (udávajících trajektorii ­ viz rovnice (2.2)) podle času, tedy funkcím ˙x(t), ˙y(t), ˙z(t). Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 39 ? 2.2. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU 2.2.1.5 Dráhová rychlost hmotného bodu, v a) Střední dráhová rychlost hmotného bodu v časovém intervalu t1, t2 , vstř(t), je definována takto: Na trajektorii hmotného bodu zavedeme dráhovou souřadnici (dráhu s) (obr. 2.4). Při pohybu hmotného bodu je s funkcí času, tj. s(t). Označíme s1 = s(t1), s2 = s(t2) a definujeme vstř(t) = s(t2) - s(t1) t2 - t1 = s2 - s1 t2 - t1 = s t . Podle toho, kterým směrem se hmotný bod pohybuje po trajektorii, může být vstř(t) >=< 0. Tato veličina udává jen hrubou informaci o tom, jak se hmotný bod v intervalu t1, t2 pohyboval. Např. když se hmotný bod pohybuje na trajektorii střídavě oběma směry, může být s2 = s1 a tedy vstř = 0 přesto, že se bod pohyboval. Jednotka: [vstř] = m/s. z y x O sP2 P1 s `r t , s2 2 t , s1 1 Obr. 2.4: Střední dráhová rychlost hmotného bodu je dána vztahem vstř(t) = s(t2)-s(t1) t2-t1 = s2-s1 t2-t1 .{obr1.2-3} b) Dráhová rychlost v(t1) hmotného bodu v čase t1, v(t1), je pak dána přechodem vstř(t) pro t 0, což vede k derivaci v(t1) = lim t0 vstř(t) = lim tt1 s(t) - s(t1) t - t1 = ds(t1) dt = ˙s(t1) definice dráhové rychlosti v čase t1 (2.5){1.2-5} {ram-9} Tato veličina se někdy nazývá také ,,okamžitá dráhová rychlost v čase t1 . Platí: s(t) v čase t1 roste, je-li ˙s(t1) = v(t1) > 0 atd. Veličinu |v(t)| ukazuje tachometr automobilu, říká se jí v běžné řeči prostě rychlost. Podobně ,,rychlost zvuku ve vzduchu je v = 335 m/s . Tam, kde nemůže dojít k nejasnosti, lze tuto terminologii tolerovat. Přiřadíme-li každému t derivaci ˙s v čase t dostaneme funkci v(t) = ˙s(t). KP 2.2-1{pr1.2-1} Dráhová souřadnice (dráha) hmotného bodu pohybujícího se po zakřivené trajektorii byla dána pro t > 0 vztahem s(t) = At + Bt3, kde A = 10 m/s, B = -5 m/s3. Určete 1. v(t1), kde t1 = 2 s; 2. Přibližnou změnu dráhy s v časovém intervalu t1, t2 , kde t2 = 2,03 s. Řešení: 1. v(t) = ˙s(t) = d dt(At + Bt3) = A + 3Bt2; v(t1) = A + 3Bt2 1 = . . . = -50 m/s. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 40 2.2. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU 2. s . = ds(t1) = ˙s(t1)dt, tj. změnu funkce s(t) počítáme přibližně jako diferenciál -- viz rovnice (1.17). Přitom dt = 0,03 s. Tedy s = -50 m/s 0,03 s = -1,5 m. Je tedy s(t2) = s(t1) + s . = s(t1) - 1,5 m. 2.2.1.6 Vztah mezi rychlostí v(t) a tečnou rychlostí v (t) Trajektorii orientujeme a zavedeme dráhovou souřadnici s(t). V bodě P1 (obr. 2.5) sestrojíme tečnu orientovanou shodně s trajektorií. Vektor v(t), který v ní leží, do ní promítneme a průmět označíme v (t), takže platí buď v (t) = |v(t)| cos 0 = |v(t)| > 0, nebo v (t) = |v(t)| cos 180 = -|v(t)| < 0. S užitím definičních vztahů pro v(t1), v(t1) lze dokázat, že platí v (t1) = v(t1) = ˙s(t1). Pro velikosti uvedených veličin platí |v (t)| = |v(t)| = | ˙s(t)|. Poznámka: Tečnu jsme výjimečně označili symbolem , aby nedošlo k záměně s časem t. s P1 `v(t )1 `v(t )1 v = > 0 %s %t v = <0 %s %t Obr. 2.5: Vztah mezi rychlostí v(t) a tečnou rychlostí v (t).{obr1.2-4} 2.2.2 Zrychlení a 2.2.2.1 Definice zrychlení Zrychlení a(t) hmotného bodu je veličina, která charakterizuje časovou změnu vektoru v(t) při jeho pohybu v určité vztažné soustavě. Vektor a(t) byl zaveden jako derivace vektorové funkce v(t). Vektor a(t) je v dynamice důležitější než v(t), neboť souvisí s působícími silami prostřednictvím druhého Newtonova pohybového zákona: ma = Fv. Proto jej vyšetříme důkladněji. a) Střední zrychlení hmotného bodu v časovém intervalu t1, t , astř(t). Uvažujme o pohybu hmotného bodu po trajektorii s. V čase t1 nechť je hmotný bod v bodě P1 a nechť má rychlost v(t1) (obr. 2.6). V čase t > t1 nechť je v P a jeho rychlost je v(t). V intervalu t1, t se rychlost změnila o v = v(t) - v(t1). Tento vektor sestrojíme např. tak, že vektory v(t1), v(t) přeneseme do jednoho bodu (kteréhokoliv, v obr. 2.6 je to pro jednoduchost bod P) a utvoříme vektor v, pro který platí v(t) = v(t1) + v. Definice: Střední zrychlení astř(t) hmotného bodu v intervalu t1, t je definováno vztahem astř(t) = v t = v(t) - v(t1) t - t1 . střední zrychlení (2.6){1.2-6} {ram-10} Poznámka: Vektor astř(t) lze umístit do libovolného bodu úseku P1P. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 41 ? 2.2. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU z y x O s P1 P `a t1 `v +`v = `v1 t `v `v `v1 `v1 v t = `ast Obr. 2.6: Hmotný bod se pohybuje po orientované křivce s: v čase t1 se nachází v bodě P1 a má okamžitou rychlost v1. V dalším okamžiku t > t1 je pak v P2 a má okamžitou rychlost v. V časovém intervalu t = t - t1 se tak jeho rychlost změnila z v1 na v, tedy o v. Bod se tudíž pohyboval se středním zrychlením astř(t).{obr1.2-5} b) Okamžité zrychlení hmotného bodu v čase t1 , tj. a(t1). Vektor a(t1) charakterizuje rychlost změny vektoru v(t) v čase t1. Je definován takto: uvažujme opět o pohybu hmotného bodu znázorněném v obr. 2.6. Předpokládejme, že v(t) se mění v okolí t1 spojitě (tj. plynule). Volme t1 pevně a mějme postupně různá t tak, aby t t1. Pak P P1, v(t) v(t1), v = 0. Definice: Okamžité zrychlení a(t) v čase t1 je definováno vztahem a(t1) = lim t0 astř(t) = lim tt1 v(t) - v(t1) t - t1 = lim t0 v t = dv(t1) dt . okamžité zrychlení (2.7){1.2-7} {ram-11} Informace: Z definice (2.7) a z obr. 2.6 plyne: 1. Vektor a(t1) má (obecně) jiný směr než v(t1). Jedině při přímočarém pohybu, kdy vektory v(t) leží pro všechna t v jedné přímce, je a(t) v(t). 2. Jednotka: [a] = m/s2. 3. Přiřazením a ke každému t definujeme vektorovou funkci a(t). V praxi se někdy značí jak tato funkce, tak její hodnota v určitém čase jen symbolem a. 4. Je-li pohyb hmotného bodu po trajektorii dán v semikartézském vyjádření polohového vektoru r(t) = x(t)i + y(t) + z(t)k, pak (viz rovnice 2.4) platí a(t) = dv(t) dt = d dt dx(t) dt i + dy(t) dt + dz(t) dt k = d2x(t) dt2 i+ d2y(t) dt2 + d2z(t) dt2 k = d2r(t) dt2 , což je to samé, jako a(t) = ˙v(t) = ˙vx(t)i + ˙vy(t) + ˙vz(t)k = ¨x(t)i + ¨y(t) + ¨z(t)k = ¨r(t). Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 42 2.2. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU Srovnáním s a(t) = ax(t)i + ay(t) + az(t)k dostaneme ax(t) = d2x(t) dt2 = ¨x(t), ay(t) = d2y(t) dt2 = ¨y(t), az(t) = d2z(t) dt2 = ¨z(t). Tedy: průmět zrychlení a(t) do osy Ox je ax(t) = d2x(t)/dt2 = dvx(t)/dt, atd. 5. Z definičního vztahu (2.7) a z obr. 2.6 a 2.7a plyne: vektor a(t) lze rozložit na tečnou složku at(t) a normálovou složku an(t), tj. a(t) = at(t) + an(t). Jestliže |v(t)| se při pohybu zvětšuje (obr. 2.9), je at(t) v(t). Jestliže |v(t)| se zmenšuje (obr. 2.7a) je at(t) v(t). Mezní případ: je-li |v(t)| = konst., je at(t) = 0. Vektor an je při pohybu po zakřivené trajektorii vždy nenulový, an = 0. Je-li tento pohyb rovnoměrný (tj., platí-li dv(t)/dt = 0, ale zároveň dv(t)/dt = 0), je at = 0, takže a(t) = an(t), tedy a v (obr. 2.7b). a) b) `an `a t1 `at `v1 t `v `v `v1 `v `a %v %t = 0 Obr. 2.7: Vektor a(t) lze rozložit na tečnou složku at(t) a normálovou složku an(t) (a). Je-li navíc a(t) v(t), pak platí a(t) = an(t) a at(t) = 0 a tedy dv (t)/dt = 0. Jedná se o pohyb rovnoměrný po zakřivené trajektorii (b).{obr1.2-6} KP 2.2-2{pr1.2-2} Hmotný bod se pohyboval rovnoměrně po kružnici k ve směru naznačeném v obr. 2.8a. Úsek AB urazil rychlostí o (konstantní) velikosti v = 2 m/s za čas t = 0,4 s. Úkoly: 1. Určete změnu rychlosti hmotného bodu na úseku AB. 2. Určete střední zrychlení hmotného bodu na úseku AB. Řešení: 1. v =?, v = vB -vA, viz obr. 2.8b. Směr v -- viz obr. 2.8b; velikost |v| = v2 A + v2 B = 2v2 = v 2 = 2 2 m/s = 2,83 m/s. 2. astř(t) =?, astř(t) = v/t. Směr: astř(t) v (obr. 2.8b); velikost |astř(t)| = |v|/t = 2,83/0,4 m/s2 = 7,07 m/s2. 2.2.2.2 Zrychlení hmotného bodu při pohybu po kružnici icizrychleni} Toto je důležitý případ nejen proto, že se často vyskytuje, nýbrž i proto, že jeho zákonitosti platí i pro pohyb po libovolné křivce -- viz další části. Hlavní výsledek je obsažen ve vztazích (2.11). Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 43 ? 2.2. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU a) b) k B A `vB `vA `v `vB -`vA `ast 45 Obr. 2.8: Příklad KP 2.2-2.{obr1.2-7} Uvažujme o hmotného bodu, který se pohybuje po kružnici k o poloměru r. Nechť v čase t1 je v bodě P1 (obr. 2.9) a nechť jeho rychlost v okolí bodu P1 je dána funkcí v(t). Označme v(t1) = v1, dále označme pro jednoznačnost a(t1) = a. Podle definice (2.7) je a = lim t0 v t = lim t0 (v)t + (v)n t = lim t0 (v)t t + lim t0 (v)n t = at + an (2.8){1.2-8} k r C P1 `v1 |v-v |1 `v1 s ç ç `v `v (`v)t (`v)n Obr. 2.9: Obecný pohyb hmotného bodu po kružnici. Změnu rychlosti v lze rozložit na tečnou složku: (v)t a normálovou složku: (v)n.{obr1.2-8} Přitom jsme rozložili v na tečnou a normálovou složku, v = (v)t + (v)n (obr. 2.9) a užili pravidel pro počítání s limitami. Z obr. 2.9 je zřejmé: |(v)t| . = |v - v1| = |v|, kde v je velikost rychlosti v, |(v)n| . = |v1| = |v1 s r |. Na základě těchto vztahů dostaneme ze vztahu (2.8) s užitím pravidel pro počítání s limitami: |at(t1)| = lim t0 |(v)t| t = lim t0 |v| t = lim tt1 v - v1 t - t1 = dv(t1) dt = ˙v(t1), (2.9){1.2-9} |an(t1)| = lim t0 |(v)n| t = lim t0 |v1 s r | t = |v1| r lim t0 s t = |v1| r |v1| = v2 1 r . (2.10){1.2-10} Tedy obecně (obr. 2.10): a(t) = at(t) + an(t), kde |at(t)| = at(t) = dv(t) dt , |an(t)| = an(t) = v2(t) r . (2.11){1.2-11} Složka at(t) se nazývá tečné zrychlení, složka an(t) se nazývá dostředivé zrychlení, protože míří vždy do středu kružnice na obr. 2.10. Vektor a(t) směřuje tedy vždy na konkávní stranu kružnice, tj. na tu její stranu, na níž leží její střed. Informace: Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 44 2.2. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU C `a `an `v `at Obr. 2.10: Obecný pohyb hmotného bodu po kružnici. Zrychlení a lze rozložit na tečnou složku at a normálovou složku an.{obr1.2-9} 1. Z definičního vztahu pro a(t) lze dokázat tvrzení: Je-li pohyb hmotného bodu na orientované trajektrorii dán funkcí s(t), určíme orientaci vektoru at(t) ze vztahu at(t) = dv(t) dt = d2s(t) dt2 , (2.12){1.2-12} kde at(t) >=< 0 je průmět vektoru a(t) do tečny orientované shodně s trajektorií. 2. Platí-li v bodě P vztah at v (obr. 2.11a), rychlost v se v bodě P zvětšuje. Platí-li at v (obr. 2.11b), rychlost se zmenšuje. a) b) s s `v `at `v `at a > 0t a <0t Obr. 2.11: Znázornění vzájemného možného vztahu mezi tečným zrychlením a okamžitou rychlostí. Je-li at v, rychlost se zvětšuje (a), platí-li at v, rychlost klesá (b).{obr1.2-10} 2.2.2.3 Zrychlení hmotného bodu při pohybu na libovolné křivé rovinné trajektorii Zrychlení hmotného bodu v obecném bodě P1 trajektorie s, v němž má hmotný bod rychlost v, se určí takto: Trajektorii s nahradíme v malém okolí bodu P1 obloukem tzv. oskulační kružnice k0 v obr. 2.12. Je to taková kružnice, která, zhruba řečeno, trajektorii v okolí bodu P1 aproximuje ze všech kružnic, dotýkajících se jí v bodě P1, nejlépe. K definici oskulační kružnice zavedeme nejprve veličinu zvanou křivost křivky. s ko R C P1 Obr. 2.12: Libovolnou křivou rovinnou trajektorii lze nahradit v malém okolí bodu P1 obloukem oskulační kružnice k0.{obr1.2-11} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 45 2.2. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU Křivost rovinné křivky s v bodě P1 je definována takto: Ke křivce s vedeme tečnu v bodě P1 a v blízkém bodě P (obr. 2.13a). Délku oblouku P1P označíme s a úhel tečen označíme . Utvoříme poměr /s. Tento poměr je tím větší, čím je větší (při daném s) úhel , tj. čím je křivka zakřivenější (v obr. 2.13a je /s větší v bodě P2 než v bodě P1). Proto se nazývá /s střední křivost křivky v úseku P1P. Křivost křivky C v bodě P1 je definována vztahem = lim s0 s . křivost křivky (2.13){1.2-13} Jednotka [] = m-1. Pro kružnici o poloměru R platí (obr. 2.13b): /s = /(R) = 1/R. Odsud a ze vztahu (2.13) plyne, že křivost kružnice je = 1/R. ç ç+ç ç ç s s a) PP1 P2 b) C R ç ç Obr. 2.13: K výpočtu křivosti křivky s (a). Vztah mezi změnou úhlu a poloměrem R kružnice (b).{obr1.2-12} Oskulační kružnice k rovinné křivce k v bodě P1 je kružnice, která leží v rovině křivky, dotýká se jí v bodě P1 a má stejnou křivost jako křivka v bodě P1. Poloměr oskulační kružnice se nazývá poloměr křivosti křivky k v bodě P1. Značí se R. Střed C oskulační kružnice se nazývá střed křivosti křivky k v bodě P1 (obr. 2.12). Z úvah vedoucích k odvození vztahů (2.11) a z definice oskulační rovnice plyne: Zrychlení a(t) hmotného bodu v bodě P1 při jeho pohybu po trajektorii s je dáno vztahy (2.11), kde r je poloměr křivosti křivky s v bodě P1. KP 2.2-3{pr1.2-3} Malé těleso (hmotný bod) má v bodě P0 na povrchu Země rychlost v0 o velikosti v0 = 30 m/s, která svírá s vodorovnou rovinou úhel = 60. Odpor vzduchu je zanedbatelný (viz též pohyb hmotného bodu v tíhovém poli ideální Země na straně 103 a příklad KP 2.7-7). Určete: 1. Zrychlení hmotného bodu v bodě P0; 2. Zakreslete tečné a normálové zrychlení v bodě P0; 3. Zakreslete poloměr křivosti R0 trajektorie (paraboly) v bodě P0; 4. Zakreslete poloměr křivosti R1 trajektorie v jejím nejvyšším bodě. Řešení: 1. a =?, a = g, g = 10 m/s2 , 2. at =? směr viz obr. 2.14; velikost at = g sin = . . . = 8,67 m/s2 ; an =? směr viz obr. 2.14; velikost an = g cos = . . . = 5 m/s2 ; Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 46 ? 2.2. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU P0 R0 `v1 `v0 C1 R1 P1 `v1 `a = `g Obr. 2.14: Příklad KP 2.2-3{obr1.2-13} 3. R0 =? an = v2 0 R0 R0 = v2 0 an = . . . = 180 m; 4. R1 =? an = v2 1 R1 , kde an = g. Během pohybu je vodorovná složka zrychlení a = g rovna nule, platí tedy d2x(t) dt2 = 0. Je tedy dx(t) dt = konst., tj. vodorovná složka rychlosti je stálá. Tedy v1 = v0 cos = . . . = 15 m/s. Odtud R1 = v2 1/g . . . = 22,5 m. 2.2.3 Rovnoměrný pohyb po křivce {1.2.2D} Rovnoměrným pohybem hmotného bodu nazýváme takový pohyb, při němž se nemění velikost rychlosti v(t), tj. při němž je |v(t)| = konst. Zavedeme na trajektorii dráhovou souřadnici s, označíme (stálou) dráhovou rychlost v0 a budeme předpokládat, že je dáno s(t = 0) v čase t = 0, tj. s(0) = s0. Určíme s(t): ds(t) dt = v0 s(t) = v0t + C , kde C je libovolná konstanta. V našem případě však konstanta C není libovolná -- musí být taková, aby pro t = 0 s platilo s(0) = s0. Dosazením t = 0 s dostaneme s(0) = C takže C = s0. Tedy s(t) = s0 + v0t . dráha při rovnoměrném pohybu (2.14){1.2-14} {ram-12} Pro s0 = 0 m plyne odsud s(t) = v0t. Dále a(t) = at(t) + an(t), kde at(t) = d2s(t) dt2 = 0, an(t) = v2 0(t) r . Přitom r je poloměr křivosti trajektorie v uvažovaném bodě. Ježto at(t) = 0, je a(t) rovno an(t), tj. a(t) = an(t). To značí, že v tomto případě je a(t) v(t). 2.2.4 Rovnoměrně proměnný pohyb po křivce {1.2.2DP} Rovnoměrně proměnným pohybem hmotného bodu nazýváme takový pohyb, při němž tečné zrychlení má stálou velikost |at(t)| = konst. (= 0). Na trajektorii zavedeme dráhovou souřadnici s(t), průmět vektoru zrychlení a(t) do tečny orientované shodně s trajektorií označíme at(t) = at = konst. = a0( > <0) a budeme předpokládat, Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 47 2.3. KINEMATIKA TUHÉHO TĚLESA že je známa dráhová souřadnice a dráhová rychlost v čase t = 0 s. Označíme je s(0) = s0, v(0) = v0 a určíme v(t) a s(t): 1. at(t) = dv(t) dt , tj. dv(t) dt = a0 v(t) = a0t + C1. Dosadíme-li t = 0 s, dostaneme s přihlédnutím ke vztahu v(0) = v0 výsledek C1 = v0. Tedy v(t) = a0t + v0. 2. v(t) = ds(t) dt s(t) = v(t)dt = (a0t + v0)dt = 1 2 a0t2 + v0t + C2 = 1 2 a0t2 + v0t + s0. Hodnotu C2 = s0 jsme dostali, podobně jako hodnoty konstant C, C1 dříve, dosazením t = 0 s. Shrnutí: at(t) = a0(= konst.), s(0) = s0, v(0) = v0, v(t) = v0 + a0t, s(t) = s0 + v0t + 1 2 a0t2. pohyb rovnoměrně proměnný (2.15){1.2-15} {ram-13} Jestliže při rovnoměrně proměnném pohybu velikost v(t), tj. |v(t)| a) roste, pohyb se nazývá pohyb rovnoměrně zrychlený (platí pak at(t) v(t)), b) |v(t)| klesá, pohyb se nazývá pohyb rovnoměrně zpožděný (nebo zpomalený) (platí pak at(t) v(t)). Orientujeme-li trajektorii ve směru pohybu hmotného bodu, tj. ve směru v(t), je v(t) > 0. Označíme-li |at(t)| = a(t)(> 0), pak ze vztahů (2.14) plyne pro pohyb rovnoměrně zrychlený: v(t) = v0 + at, s(t) = s0 + v0t + 1 2 at2, pohyb rovnoměrně zpomalený: v(t) = v0 - at, s(t) = s0 + v0t - 1 2 at2. (2.16){1.2-16} {ram-14} Nezapomeňte, že celkové zrychlení a při každém křivočarém pohybu je dáno vztahy (2.11) a velikost normálového zrychlení je obecně nenulová. Řešte příklad KP 1.2-5 v textu Vybrané kapitoly z fyziky. 2.3 Kinematika tuhého tělesa nemTuhTelesa}{1.2.2b} Všechna tělesa se pod vlivem působení ostatních těles a fyzikálních polí, vlivem změny teploty, atd. deformují. Většina těles se deformuje tak málo, že deformace lze zanedbat. Idealizované těleso, jež se vůbec nedeformuje a jehož elementy tedy mají stálé vzájemné vzdálenosti, se nazývá dokonale tuhé těleso, krátce tuhé těleso. Je modelem skutečných těles. V této části vyšetříme nejjednodušší pohyby tuhých těles -- rotační pohyb a translační pohyb. 2.3.1 Otáčivý pohyb tuhého tělesa kolem pevné osy Při otáčivém (tj. rotačním) pohybu tuhého tělesa kolem osy, jejíž směr se nemění (pevná osa), se pohybují všechny jeho elementy (hmotné body), které neleží na ose otáčení, po kružnicích se středy ležícími na ose otáčení o (obr. 2.15a). V obr. 2.15b je znázorněn kmitavý pohyb čočky kyvadla kolem vodorovné osy o, která neprochází čočkou. Je to rovněž otáčivý pohyb. V dalším vyšetříme nejprve pohyb hmotného bodu po kružnici, poté rotační pohyb tuhého tělesa. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 48 ? ? 2.3. KINEMATIKA TUHÉHO TĚLESA S HB o a) b) o Obr. 2.15: Příklady otáčivého pohybu tělesa kolem pevné osy.{obr1.2-14} 2.3.1.1 Pohyb hmotného bodu po kružnici Budeme uvažovat pohyb hmotného bodu po kružnici k o poloměru r se středem v bodě C (obr. 2.16a). Trajektorii orientujeme (obvykle ve směru opačném než je směr pohybu hodinových ručiček -- obr. 2.16a, není to však nutné), volíme na ní pevný bod O a zavedeme dráhovou souřadnici s a polohový vektor r umístěný v C. Dále zavedeme osu otáčení o (obr. 2.16a) a orientujeme ji s užitím pravidla pravého šroubu (tj. pravotočivého šroubu) (obr. 2.16b): otáčíme šroubem ve směru orientace trajektorie, směr postupu šroubu udává kladný směr osy o. Nakonec zavedeme nejdůležitější veličinu -- úhlovu dráhu . S s o o a) b) `2 `1 P HB O s >0 `r ç C `1 k s2 s1 Obr. 2.16: Kladná orientace trajektorie hmotného bodu po kružnici k (a). Grafické znázornění pravidla pravotočivého šroubu (b).{obr1.2-15} a) Úhlová dráha je rovinný úhel, který svírá polohový vektor r hmotného bodu s polohovým vektorem r0 pevného bodu O. Úhel se udává buď v úhlových stupních nebo v radiánech (rad). Úhel v radiánech je definován poměrem = s r - s = r, (2.17){1.2-17} viz obr. 1.2. Ježto pro = 180 je s = r, platí 180 = rad 1 rad = 57 17 45 . Při pohybu hmotného bodu jsou veličiny s(t), (t), r(t) obecně funkcemi času. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 49 2.3. KINEMATIKA TUHÉHO TĚLESA b) Úhlová rychlost hmotného bodu v čase t1 je vektorová veličina, která se označuje (t1) a která je definována takto (definice): velikost |(t1)| = d(t1) dt (2.18){1.2-18} směr (t1) leží v ose o a její směr je dán užitím pravidla pravotočivého šroubu na směr pohybu hmotného bodu na k. Při pohybu hmotného bodu ve směru šipky s1 (obr. 2.16a), tj. ve směru shodném s orientací trajektorie, je 1 o; při pohybu v opačném směru (šipka s2) je 2 o. Vektor (t1) se umísťuje nejčastěji do bodu C. Značí se i 1. Informace: 1. Přiřadíme-li ke každému t příslušné (t), dostaneme vektorovou funkci času, kterou označíme buď (t) nebo jen . 2. [] = rads-1 = s-1; 3. Průmět vektoru do osy o označíme . Platí = || cos . Při o je = 0, > 0; pro o je = 180, < 0. Z definice plyne = d dt . úhlová rychlost (2.19){1.2-19} {ram-15} Platí: { roste} d/dt > 0 > 0 o. Analogicky: { klesá} o. Skalární veličina daná vztahem (2.19) nebo i její absolutní hodnota se většinou rovněž nazývá úhlová rychlost. 4. Lze dokázat, že veličina je skutečně veličina vektorová, pro niž jsou definovány operace sčítání atd. 5. Rychlost hmotného bodu: (a) Dráhová ryhlost v(t) = ds(t) dt = d(r(t)) dt = rd(t) dt = r(t). (b) Rychlost v(t) je dána vztahem (viz obr. 2.17) ; v(t) = (t) × r(t). Skutečně: |v(t)| = |(t) × r(t)| = |(t)|r sin 90 = |(t)r| = |v(t)|. Tedy v(t) = r(t), v(t) = (t) × r(t) . (2.20){1.2-20} ` `v `vC `r 90 m Obr. 2.17: Rychlost v(t) hmotného bodu pohybujícího se po kružnici je dána vztahem v(t) = (t) × r(t).{obr1.2-16} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 50 ? 2.3. KINEMATIKA TUHÉHO TĚLESA 6. Velikost střední úhlové rychlosti, tj. stř(t) hmotného bodu v časovém intervalu t1, t2 je definována vztahem stř(t) = (t2) - (t1) t2 - t1 . Zřejmě: (t1) = lim t2t1 stř(t). (2.21){1.2-21} c) Úhlové zrychlení (t) hmotného bodu v čase t1 je vektorová veličina, která charakterizuje časovou změnu úhlové rychlosti v čase t1. Označuje se (t1) a je definována vztahem (t1) = d(t1) dt . (2.22){1.2-22} o o ` ` |`| roste |`| klesá`` Obr. 2.18: Orientace úhlové rychlosti a úhlového zrychlení .{obr1.2-17} Ježto vektor leží v ose o, leží v ose o i vektor (t1) (obr. 2.18). Při obecném otáčivém pohybu je úhlové zrychlení funkcí času. Značíme je buď (t) nebo jen . Informace: 1. [] = rads-2 = s-2; 2. Průmět vektoru do osy o označíme . Ze vztahů (2.19), (2.22) plyne = d dt = d2 dt2 . úhlové zrychlení (2.23){1.2-23} {ram-16} Tato skalární veličina, nebo i její absolutní hodnota, se rovněž nazývá úhlové zrych- lení. 3. Zrychlení a(t) hmotného bodu v čase t (nebo v bodě P, obr. 2.19a) je dáno vztahem a(t) = an(t) + at(t), (2.24){1.2-24} kde an(t) = v2(t) r = (r)2 r = 2r = r = v; an = × v (obr. 2.19b), at = d2s dt2 = d2(r) dt2 = r, at = × r. Tedy an = 2 r, at = r zrychlení a pomocí , (2.25){1.2-25} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 51 2.3. KINEMATIKA TUHÉHO TĚLESA a) b) C `v ` `an `at `a `an `v r ` C Obr. 2.19: Zrychlení a hmotného bodu lze rozložit na tečnou složku at a na složku an normálovou (a). Normálová složka je dána vztahem an = × v (b).{obr1.2-18} 2.3.1.2 Rovnoměrný a rovnoměrně proměnný pohyb hmotného bodu po kružnici a) Rovnoměrný pohyb hmotného bodu po kružnici je definován vztahem = 0. Z této definice plyne = 0 = 0(=konst.) = 0 + 0t, kde 0 = (0). (2.26){1.2-26} Charakteristické veličiny: n (nebo f) - otáčky, frekvence otáčení; T - perioda otáčení. ) Otáčky n - definice: Označíme N(t) udávající počet otoček vykonaných od začátku pohybu do okamžiku t a definujeme (f =)n = N t = 2 1 t = 2 = 2n(= 2f). (2.27){1.2-27} Jednotka: [n] = s-1; n je číselně rovno počtu otoček za 1 s (neboť volíme-li {t} = 1, je {n} = {N}). ) Perioda otáčení T. Definiční vztah: T = t N = 1 f . (2.28){1.2-28} Jednotka: [T] = 1 s. T je doba jedné otočky. b) Rovnoměrně proměnný pohyb hmotného bodu po kružnici je definován vztahem (t) = 0 = konst. = 0, (srovnejte odst. 2.2.3, rovnice (2.14)). Z definice plyne: (t) = 0 (t) = 0t + 0 (t) = 0 + 0t + 1 2 0t2 . (2.29){1.2-29} Tyto vztahy, i další vztahy a zákonitosti, jež z definiční rovnice plynou, jsou formálně shodné se vztahy z odst. 2.2.3. Např. vztahy analogické vztahům (2.16) získáme takto: volíme 0 > 0, 0 > 0. Pak: rotační pohyb rovnoměrně zrychlený: (t) = 0 + 0t, (t) = 0 + 0t + 1 2 0t2, rotační pohyb rovnoměrně zpomalený: (t) = 0 - 0t, (t) = 0 + 0t - 1 2 0t2, (2.30){1.2-30} {ram-17} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 52 2.3. KINEMATIKA TUHÉHO TĚLESA 2.3.1.3 Rotační pohyb tuhého tělěsa Při rotačním pohybu tuhého tělesa kolem osy o, která je pevná ve vztažné soustavě S (obr. 2.20), se pohybují všechny jeho elementy neležící na ose o po kružnicích. Všechny elementy (hmotné body) mají stejné úhlové rychlosti a stejná úhlová zrychlení. Rychlost a zrychlení mají různé. o ` ` `v =``r1 1 `v1`r1C1 C C2 q p ç S `v =``r2 2 `r2 `v2 m1 m2 Obr. 2.20: Rotační pohyb tuhého tělesa kolem pevné osy otáčení.{obr1.2-19} Okamžitou polohu tuhého tělesa charakterizujeme úhlem (t) - úhlovou souřadnicí, definovanou takto: Na ose o volíme libovolný bod C a vedeme jím polopřímku p kolmou na o pevnou ve vztažném systému S; bodem C vedeme dále polopřímku q o spojenou s tělesem, volíme kladný směr postupu od p ku q a zavedeme úhlovou souřadnici tělesa, (t) (p, q(t)), podobně jako dříve pro hmotný bod. Analogicky jako pro hmotný bod definujeme úhlovou rychlost tělesa, (t) a úhlové zrychlení tělesa, (t). Pro tyto veličiny platí vztahy (2.18), (2.19), (2.21), (2.27), (2.23), (2.26) až (2.30). Veličiny charakterizující pohyb jednotlivých elementů tělesa, např. itého hmotného bodu, jsou dány vztahy (2.17), (2.20), (2.25), v nichž dosazujeme s(t) si(t), r ri, r(t) ri(t), v(t) vi(t), a(t) ai(t), viz např. v1(t), v2(t) v obr. 2.20. KP 2.3-1{pr1.2-4} Tuhé těleso, jež bylo původně v klidu, se začalo v čase t1 = 0 s otáčet kolem pevné osy se stálým úhlovým zrychlením = 0,4 s-2. Určete zrychlení a(t) jeho elementu, který je ve vzdálenosti 30 cm od osy otáčení, v čase t2 = 2 s. P r `an `a `at obr.1.2-20 Obr. 2.21: Příklad KP 2.3-1.{obr1.2-20} Řešení: Hmotný bod koná rovnoměrně zrychlený otáčivý pohyb po kružnici o poloměru r = 0,3 m. V čase t2 je v jistém bodě P, obr. 2.21. Jeho zrychlení je dáno vztahy (2.24), (2.25), kde závisí na čase vztahem (t) = 0 +t, viz rovnice (2.30), v němž 0 = 0. Tedy 2 = t2. Zrychlení: a(t) = at(t) + an(t), kde at = r = 0,30,4 m/s2 , an = 2 2r = (t2)2r = (0,42)20,3 m/s2 = 0,19 m/s2 . Velikost a(t): a(t) = a2 t (t) + a2 n(t) = . . . = 0,23 m/s2 . Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 53 2.4. POHYBOVÉ ZÁKONY KLASICKÉ FYZIKY 2.3.2 Translační pohyb tuhého tělesa nslacniPohyb} Translační (neboli posuvný) pohyb tuhého tělesa je takový pohyb, při němž všechny body tělesa mají trvale stejné rychlosti v a tedy i stejná zrychlení a. Rychlost v se nazývá rychlost tělesa, a je jeho zrychlení. Trajektorie všech elementů tělesa jsou shodné -- jedna přejde v druhou posunutím -- obr. 2.22. Přímky spojené s tělesem při pohybu zachovávají směr. Obr. 2.22: Translační pohyb tuhého tělesa. Každý bod tělesa se pohybuje stejnou rychlostí, přímky spojené s tělesem při pohybu zachovávají směr.{obr1.2-21} Řešte příklady KP 1.2-7, KP 1.2-1, KP 1.2-10 v textu Vybrané kapitoly z fyziky; KP 2.2-4 až KP 2.2-8. 2.4 Pohybové zákony klasické fyziky hyboveZakony}{1.2.3} Tato část je z celé mechaniky nejdůležitější. Jsou v ní vyloženy základní pojmy a veličiny: inerciální vztažné soustavy a první pohybový zákon (odst. 2.4.1), setrvačnost, hmotnost, síla a (mimořádně důležitý) druhý pohybový zákon (odst.2.4.2) a třetí (relativně jednoduchý) pohybový zákon (odst. 2.4.3). V odstavcích 2.4.4, 2.4.5 jsou informace o různých silách a o vlastnostech výslednice sil působících na hmotný bod při křivočarém pohybu. Vztahy mezi rychlostmi v, v , mezi zrychleními a, a a mezi pohybovými rovnicemi ve dvou inerciálních soustavách jsou studovány v odst. 2.4.6, kde je vysloven i tzv. Galileiho princip relativity. V odst. 2.4.7 jsou vyšetřeny pohybové rovnice v některých neinerciálních soustavách a zavedeny setrvačné síly. Cíl: I) Umět vztahy a zákony uvedené v rámečcích, vyložit pojmy, veličiny a výsledky v tomto textu; II) Definovat a vyložit pojmy, veličiny a zákony uvedené v části ,,Obsah ; III) Samostatně řešit příklady řešené v tomto textu, řešení zdůvodnit, nakreslit náčrtky; IV) Řešit příklady typu KP 1.3-1 až KP 1.3-23 v textu Vybrané kapitoly z fyziky; KP 2.4-4 až KP 2.4-8. Předpokládané znalosti: Kinematika (odst. 2.1), Derivace a integrály (1.4). 2.4.1 První pohybový zákon {1.2.3A} První pohybový zákon vyslovuje tvrzení, že existuje zvláštní skupina vztažných soustav, tzv. inerciální vztažné soustavy. Inerciální vztažná soustava je např. přibližně malá část povrchu Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 54 2.4. POHYBOVÉ ZÁKONY KLASICKÉ FYZIKY Země (nazýváme ji někdy laboratorní vztažná soustava) nebo (rovněž přibližně) soustava daná vlakem rovnoměrně jedoucím po přímé koleji. Provedeme úvahu vedoucí k definici inerciální vztažné soustavy. Uvažujme o té části vesmíru, kterou zaujímá sluneční soustava a představme si, že by v ní nebyla tělesa sluneční soustavy, nýbrž jen několik malých kosmických sond, které by se pohybovaly jedna vůči druhé s vyřazenými motory. Vzájemné gravitační působení těchto sond, jež lze považovat za hmotné body, je zanedbatelně malé. Předpokládejme, že je zanedbatelně malé i působení záření (elektromagnetického, světelného) přicházejícího z vesmíru. Taková malá tělesa, jež se pohybují jen účinkem gravitačního působení vesmíru (o jehož mohutnosti a vlastnostech se názory odborníků různí), budeme nazývat volné hmotné body. Vybereme jednu ze sond, označíme ji např. S1. Zastavíme její případnou rotaci vzhledem k vesmíru (tj. vzhledem ke stálicím) a ponecháme ji samu sobě. Spojíme s ní souřadnicový systém Oxyz a zavedeme v něm čas t (viz odst. 1.3.1). Všechny dosavadní pokusy provedené na Zemi i s kosmickými sondami vedou k tomu, že se domníváme, že 1. Sonda S1 se nezačne sama od sebe vzhledem k vesmíru otáčet, 2. Všechny ostatní sondy se budou v souřadnicové soustavě Oxyz; t pohybovat rovnoměrně přímočaře nebo budou v klidu. Definice: Inerciální soustava souřadnic je taková soustava, v níž se každý volný hmotný bod pohybuje rovnoměrně přímočaře nebo je v klidu. Z předešlé úvahy je zřejmé, že souřadnicová soustava daná sondou S1 je inerciální a že každá soustava vytvořená analogickým způsobem s užitím libovolného hmotného bodu, je inerciální. Dokázat to ovšem nelze, protože volný hmotný bod v přítomnosti těles sluneční soustavy nelze realizovat. Proto vyslovujeme tvrzení o existenci inerciální vztažné soustavy jako (nedokázaný) axiom. Nazýváme jej první pohybový zákon: Definice: 1. pohybový zákon: Existuje inerciální vztažná soustava; podrobněji: Existuje taková soustava souřadnic, v níž se každý volný hmotný bod pohybuje rovnoměrně přímočaře nebo je v klidu. Realizace inerciální soustavy: heliocentrická soustava. Ve vesmírných měřítcích je Slunce hmotný bod, který se pohybuje (téměř) jen účinkem gravitačního působení vesmíru (gravitační působení planet je zanedbatelně malé). Slunce je tedy volný hmotný bod. Soustava souřadnic Oxyz; t, jejíž střed je ve středu Slunce (přesněji: v těžišti sluneční soustavy) a jejíž osy jsou orientovány do pevných směrů vesmíru (tj. k určitým stálicím), je tedy inerciální. Nazývá se heliocentrická soustava. Označíme ji HCS. Jiné inerciální soustavy souřadnic získáme takto: Předpokládáme, v souhlase s experimenty prováděnými při nerelativistických rychlostech, že v každé soustavě souřadnic lze seřídit hodiny tak, aby jejich údaje byly shodné s údaji hodin jiných soustav, neboli, že čas je ve všech souřadnicových soustavách stejný. Z předešlých závěrů o pohybu volných hmotných bodů plyne, že všechny inerciální soustavy jsou právě ty, které vykonávají vzhledem k jedné inerciální soustavě, konkrétně tedy vzhledem k heliocentrické, rovnoměrnou translaci, nebo které jsou vzhledem k ní v klidu. Tyto soustavy vykonávají rovnoměrnou translaci i jedna vůči druhé. Souřadnicová soustava, jejíž počátek splývá trvale se středem Země a jejíž osy jsou orientovány do pevných směrů vesmíru, se nazývá geocentrická. Není inerciální, neboť má v HCS zrychlení vlivem gravitační síly, kterou působí Slunce na Zemi. Lze však dokázat, že tato soustava má vlastnosti inerciální vztažné soustavy, jestliže při zkoumání dějů v ní nezapočítáme mezi působící síly gravitační síly Slunce. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 55 2.4. POHYBOVÉ ZÁKONY KLASICKÉ FYZIKY S menším oprávněním (pro většinu dějů však s dostatečnou přesností) lze považovat za inerciální soustavu laboratorní soustavu kdekoliv na povrchu Země a soustavu, která vykonává vzhledem k laboratorní soustavě rovnoměrnou translaci. Vztažné soustavy, které nejsou inerciální, se nazývají neinerciální. Je to např. vztažná soustava daná otáčejícím se kolotočem, rozjíždějícím se vlakem atd. 2.4.2 Druhý pohybový zákon {1.2.3B} Druhý pohybový zákon shrnuje poznatky o tom, jaký vliv má na pohyb hmotného bodu v inerciální vztažné soustavě působení jiných těles nebo silových polí. Je vyjádřen známým vztahem (2.36). Připomeneme definici a vlastnosti veličin m - hmotnost, F - síla. 1. Hmotnost m je veličina, která charakterizuje setrvačné vlastnosti těles, neboli jejich setrvačnost. Těmito názvy označujeme tu vlastnost těles (hmotných bodů), že bez působení ostatních těles a polí nemění svoji rychlost vzhledem k inerciální soustavě. Dále pak to, že dvě různá tělesa nabývají stejným působením jiného tělesa (např. působením stejných a stejně protažených pružin) různá zrychlení. Hmotnost m tělesa T je definována takto: Zvolíme nejprve těleso, které prohlásíme za normál hmotnosti a jehož hmotnost prohlásíme za jednotkovou. V soustavě SI je to normál N uložený v Sévres, jehož hmotnost je podle definice m1 = 1 kg. Poté budeme na obě tělesa N a T, která necháme pohybovat se v inerciální soustavě S nerelativistickými rychlostmi v1 a v (v1, v c) (obr. 2.23), působit stejnými a stejně protaženými pružinami a zjistíme jejich zrychlení a1, a. Utvoříme podíl a1/a. Vykonáme-li tentýž pokus s jinými rychlostmi v1, v a s jinak orientovanými a protaženými pružinami zjišťujeme, že poměr a1/a se nemění. To nám umožňuje definovat hmotnost m tělesa T vztahem S N T m m = 1 kg1 `v1 `a `a1 `v Obr. 2.23: K definici hmotnosti m tělesa T.{obr1.2-22} m = a1 a m1 = a1 a kg. (2.31){1.2-31} Z této definice plyne, že hmotnost m tělesa je v nerelativistické mechanice konstantní veličina, nezávislá na pohybu tělesa. Informace: (a) Výsledky měření při pohybu částic v urychlovačích, v nichž částice dosahují relativistických rychlostí, vedou k závěru, že zrychlení, které získá rychle se pohybující částice, je menší než zrychlení, které získá tatáž pomalu se pohybující částice účinkem stejného pole. Její hmotnost s rostoucí rychlostí v roste a to podle vztahu m = m0 1 - v2 c2 . (2.32){1.2-32} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 56 2.4. POHYBOVÉ ZÁKONY KLASICKÉ FYZIKY Tento vztah byl získán nejprve teoreticky. Platí pro všechny rychlosti, nejen pro relativistické. Pro nerelativistické rychlosti (v c) však platí přibližně m . = m0(= konst.). Normál v Sévres má tedy, přesně řečeno, hmotnost 1 kg jen když je v klidu. Závislost m na v je znázorněna v obr. 2.24. m m0 0 vc Obr. 2.24: Relativistická závislost hmotnosti m částice na velikosti její rychlosti v.{obr1.2-23} (b) Teorie relativity dochází k závěru, že při změně vnitřní energie tělesa se změní i jeho hmotnost, a to podle vztahu E = c2 m . Experimenty tento vztah potvrzují. (c) Hmotnost je veličina aditivní. To značí, že vznikne-li ze dvou těles o hmotnostech m1, m2 nové těleso a vnitřní energie této soustavy se přitom nezmění, je hmotnost nového tělesa dána vztahem m = m1 + m2 . 2. Síla F je vektorová fyzikální veličina, která charakterizuje působení jednoho tělesa (nebo pole) na druhé těleso, a to takové působení, které má za následek jeho deformaci, nebo změnu rychlosti (nejčastěji obojí). Zavedeme ji takto: Budeme uvažovat o hmotném bodě o hmotnosti m1 = 1 kg pohybujícím se v inerciální vztažné soustavě rychlostí v. Přitom nechť na něj působí pouze pružina P1 tak, že mu uděluje zrychlení a1 o velikosti a1 = 1 m/s2 (obr. 2.25a). Působení této pružiny charakterizujeme fyzikální veličinou, kterou nazveme síla a kterou označíme F1. Její směr je shodný se směrem pružiny, její velikost prohlásíme za jednotkovou. Jednotku nazveme 1 newton = 1 N. Bod A (obr. 2.25) je působiště síly. a) b) `v `v m1 A `a1 ~F1 m1 `a = 2`a2 1 ~F = 2~F2 1 Obr. 2.25: Působení jedné (a) a dvou (b) pružin na hmotný bod.{obr1.2-24} Účinek dvou takových stejných pružin podle obr. 2.25b charakterizuje síla F2 o velikosti 2 newtony a stejného směru. Tedy F2 = 2F1, F2 = 2 N. Podobně můžeme realizovat sílu F3 = 3F1 atd. Při volbě dostatečně jemných pružin můžeme takto (teoreticky) realizovat sílu jakéhokoliv směru a jakékoliv velikosti. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 57 2.4. POHYBOVÉ ZÁKONY KLASICKÉ FYZIKY Působení jednoho tělesa na druhé pak můžeme nahradit působením vhodné pružiny a definovat tak sílu, kterou první těleso působí na druhé. Poznamenejme, že tento názorný způsob definice síly působící na makroskopické těleso selhává např. při definici síly, kterou působí elektromagnetické pole na elektron. Pak je možno považovat za definiční vztah pro sílu buď vztah (2.36) nebo vztah (2.38), z nichž druhý je definičním vztahem pro sílu v teorii relativity. Důležité informace: V inerciální vztažné soustavě charakterizuje síla působení jednoho tělesa (nebo pole) na druhé těleso. Neexistuje síla bez něčeho, co by ji vyvolávalo. 3. Druhý Newtonův pohybový zákon shrnuje v jediném vztahu (2.36) tyto výsledky zkoumání pohybu hmotného bodu v inerciální soustavě: a) Mění-li se síla působící na stejný hmotný bod, mění se i jeho zrychlení a platí a F, a F. (2.33){1.2-33} Zrychlení má tedy stejný směr jako síla (obr. 2.25). Jejich velikosti jsou si přímo úměrné. b) Působí-li tatáž síla na hmotné body o různých hmotnostech, pak pro jejich hmotnosti a zrychlení platí a 1 m . (2.34){1.2-34} c) Působí-li na hmotný bod současně několik sil F1, F2, . . . , Fn, pak jejich pohybový účinek je stejný jako účinek jejich výslednice. Fv = F1 + F2 + . . . + Fn. výslednice sil (2.35){1.2-35} {ram-18} Experimentálně získané vztahy lze vyjádřit při užití jednotek kg, m/s2 , N jediným vztahem, který se nazývá druhý Newtonův pohybový zákon: ma = Fv. druhý Newtonův pohybový zákon (2.36){1.2-36} {ram-19} Informace: (a) Vztah (2.36) platí pro hmotný bod, a je jeho zrychlení v inerciální vztažné soustavě a Fv je výslednice působících sil. Neobsahuje informaci o rychlosti hmotného bodu, jen o její časové změně dané zrychlením a. (b) Vztah (2.36) vyjadřuje souvislost mezi veličinou Fv charakterizující příčinu změny pohybu a veličinou a, charakterizující změnu pohybu, tj. důsledek působící síly. Nazývá se také pohybová rovnice. Je to nejdůležitější zákon celé nerelativistické mechaniky. (c) Známe-li pro určitý hmotný bod jeho zrychlení, můžeme ze vztahu (2.36) určit výslednici sil, které na něj působí, aniž bychom znali jednotlivé síly. Např. na hmotný bod, který je připevněný na okraji kotouče rovnoměrně rotujícího ve vodě podle obr. 2.26, působí tíhová síla G (kterou známe) a další dvě síly: F1, kterou na hmotný bod působí voda a F2, kterou na hmotný bod působí kotouč. Síly F1, F2 neznáme, přesto Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 58 2.4. POHYBOVÉ ZÁKONY KLASICKÉ FYZIKY `a `v ~Fv Obr. 2.26: Výsledná síla Fv působící na hmotný bod, jeho zrychlení a a rychlost v. Hmotný bod je připevněn na okraji kotouče rovnoměrně rotujícího ve vodě.{obr1.2-25} můžeme určit výslednici Fv = F1 + F2 + G: podle vztahu (2.36) je Fv = ma. Pohyb je rovnoměrný, tedy at = 0, takže a = an. Síla Fv = ma tedy míří do středu kruhové dráhy a má velikost Fv = mv2/R, kde R je poloměr kotouče. 4. Vztah (2.36) byl vysloven pouze pro hmotný bod, platí však i v některých jiných situacích, zejména při translačním pohybu tuhého tělesa -- viz odst. 2.3.2. V tom případě je m hmotnost tělesa, a jeho zrychlení a Fv výslednice sil, které na těleso působí. Důkaz: Rozdělíme těleso na malé elementy (hmotné body) a napíšeme pro každý z nich pohybovou rovnici, tj. m1a = F1, m2a = F2, . . . Tyto rovnice sečteme a dostaneme rovnici (2.36). 5. Druhý Newtonův pohybový zákon v relativisticky platném tvaru. Nejprve připomeneme definici hybnosti p hmotného bodu pohybujícího se rychlostí v v určité vztažné soustavě (obr. 2.27): p = mv . definice hybnosti hmotného bodu (2.37){1.2-37} {ram-20} Jednotka: [p] = kgms-1. Podobně jako rychlost v je i p veličina relativní: má v různých vztažných soustavách různé hodnoty. tm `p 't `p `p ~F =st t `p Obr. 2.27: Vztah mezi změnou hybnosti p hmotného bodu v časovém intervalu t a střední výslednicí sil Fstř působící v témže časovém úseku na hmotný bod.{obr1.2-26} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 59 2.4. POHYBOVÉ ZÁKONY KLASICKÉ FYZIKY Při pohybu hmotného bodu účinkem sil o výslednici Fv se p mění (obr. 2.27). Je-li vztažná soustava inerciální a jsou-li rychlosti nerelativistické (tj. je-li m = konst.), platí dp dt = d dt (mv) = m dv dt = ma = Fv, (neboť dm/dt = 0), tedy dp dt = Fv . druhý Newtonův pohybový zákon v obecném tvaru (2.38){1.2-38} {ram-21} Tedy: z rovnice (2.36)(2.38). Analogicky se dokáže, že (2.38)(2.36). Vztahy (2.36), (2.38) jsou tedy v nerelativistické mechanice ekvivalentní. Pozn.: V obr. 2.27 je naznačeno určení střední síly působící na hmotný bod v časovém intervalu t, t . Informace: Při relativistických rychlostech není m konstantní, ale je funkcí velikosti rychlosti a ta je (obecně) funkcí času. Je tedy m (obecně) funkcí času. Pak platí dp dt = d dt (mv) = dm dt v + m dv dt = dm dt v + ma = ma. Vztahy (2.36), (2.38) pak nejsou ekvivalentní: platí-li jeden z nich, neplatí (obecně) druhý. Teorie relativity dochází k závěru (a experimenty jej potvrzují), že vztah (2.38) má obecnou platnost, zatím co vztah (2.36) platí pouze přibližně. 2.4.3 III. pohybový zákon {1.2.3C} Třetí pohybový zákon vyslovuje tvrzení o silách, jimiž na sebe působí dvě tělesa, nebo dvě částice téhož tělesa, v místě styku (obr. 2.28a). Zní: Definice: Působí-li jedno těleso na druhé při jejich styku silou F, působí druhé na první silou F = -F. P Q A B ~F '~F ~Fg '~Fg a) b) Obr. 2.28: Ke třetímu Newtonovu pohybovému zákonu.{obr1.2-27} Těleso A působí na B silou F, jejímž působištěm je bod P (obr. 2.28a). Těleso B působí na A silou F , jejímž působištěm je bod Q. Nazveme-li jednu ze sil akcí, je druhá reakce. Proto se tento zákon nazývá někdy ,,zákon akce a reakce nebo ,,zákon vzájemného působení . Platí i tehdy, když tělesa na sebe působí prostřednictvím svých polí, např. gravitačních (obr. 2.28b), jestliže jsou tělesa v uvažované vztažné soustavě v klidu. Jestliže se pohybují, uplatňuje se při vzájemném působení konečná rychlost šíření změn ve fyzikálních polích a zákon akce a reakce nemusí platit. Třetí pohybový zákon vyslovil Isaac Newton na základě rozboru zákonitostí pohybů těles. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 60 2.4. POHYBOVÉ ZÁKONY KLASICKÉ FYZIKY KP 2.4-1{pr1.2-5} Na drsné nakloněné rovině leží v klidu těleso T o hmotnosti m. Určete síly, které na ně působí. Ke každé z těchto sil určete reakci. Uveďte působiště všech sil (obr. 2.29). T ~F ~G ~F1 '~F Obr. 2.29: Příklad KP 2.4-1.{obr1.2-28} Řešení: Na T působí tíhová síla G = mg (v celém jeho objemu, zakresluje se do těžiště) a síla F od nakloněné roviny (na dolní stěně tělesa v ploše styku). Ježto T je v klidu v laboratorní soustavě, platí a = 0, takže Fv = ma = 0. Přitom Fv = G + F. Tedy F = -G. Reakcí na sílu G je (přibližně) síla F1 = -G, kterou působí gravitační pole buzené tělesem T na Zemi v celém jejím objemu. Reakcí na sílu F je síla F , kterou působí T na nakloněnou rovinu v místě styku. 2.4.4 Nejčastější síly {1.2.3D} 1. Gravitační síla Fg. Působí na každé těleso v celém jeho objemu, je způsobena gravitačním polem, které vytvářejí (budí) všechna tělesa (odst. 2.6). Je hlavní složkou tíhové síly G. 2. Tíhová síla (neboli tíha) G. Působí na každé těleso v blízkosti povrchu Země a je rovna G = mg, kde m je hmotnost tělesa a g tíhové zrychlení v daném místě. Je vektorovým součtem gravitační síly Fg buzené gravitačním polem Země a tzv. odstředivé síly setrvačné F o (viz odst. 2.6) působící v důsledku toho, že Země se otáčí a že tedy laboratorní soustava není přesně inerciální. Platí tedy G = Fg + F o ( . = Fg, neboť F o Fg). Nepůsobí-li na těleso jiná síla než G, uděluje mu G zrychlení g = G/m. Směr síly G je (podle definice) svislý směr v daném místě. 3. Síly vzájemného působení při styku těles. Příklady: hřídel na ložisko -- ložisko na hřídel; plyn ve válci na píst -- píst na plyn; lano výtahu na kabinu -- kabina na lano atd. 4. Třecí síla, síla valivého odporu a) Statická třecí síla: Ftř. Je to tečná složka síly, kterou působí podložka na těleso, které je vůči ní v klidu. Její velikost může nabýt hodnot z intervalu 0, Ftř,max . Přitom Ftř,max závisí na kvalitě styčných ploch a je přímo úměrná velikosti normálové složky N síly, kterou podložka působí na těleso, Ftř,max N. Veličina fs daná vztahem Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 61 ? 2.4. POHYBOVÉ ZÁKONY KLASICKÉ FYZIKY fs = |Ftř,max| N Ftř,max = fs N síla statického tření (2.39){1.2-39} {ram-22} závisí jen na kvalitě styčných ploch a nazývá se součinitel statického tření. ~N ~F~Ft ~G Obr. 2.30: Síly působící na těleso pohybující se po vodorovné drsné podložce, které je lanem taženo ve směru síly F.{obr1.2-29} Působí-li např. na těleso T, které leží zpočátku v klidu na klidné vodorovné podložce, lano ve vodorovném směru silou F (obr. 2.30), jejíž velikost roste od nuly, zůstane těleso nejprve v klidu (a = 0), takže Ftř = -F. Dosáhne-li velikost síly F hodnoty fsN, dosáhne Ftř hodnoty Ftř,max. Při dalším zvětšení F se začne T pohybovat a třecí síla se zmenší. Nazývá se pak kinetická (dynamická) třecí síla. b) Kinetická (dynamická) třecí síla, Ftř. Je to tečná složka síly, kterou působí podložka na těleso, které se vzhledem k ní pohybuje smykem. Má opačný směr než rychlost v tělesa vzhledem k podložce, tedy Ftř = v. Její velikost je dána vztahem Ftř = fdN. dynamická třecí síla (2.40){1.2-40} {ram-23} Veličina fd definovaná tímto vztahem se nazývá součinitel kinetického (neboli dynamického) tření. Závisí na jakosti styčných ploch a částečně (většinou nepatrně) i na rychlosti v. c) Síla valivého odporu, Fo. Je to tečná složka síly, kterou působí podložka na kola, která se po ní odvalují. Platí opět Fo = valN. Veličina val se nazývá součinitel valivého odporu, závisí na kvalitě styčných ploch a částečně na rychlosti odvalování. 2.4.5 Výslednice sil při křivočarém pohybu {1.2.3E} Pohybuje-li se hmotný bod v inerciální soustavě účinkem jedné nebo několika sil po zakřivené rovinné trajektorii, souvisí výslednice Fv těchto sil působících na hmotný bod v obecné poloze (bod P v obr. 2.31) s jeho zrychlením a vztahem Fv = ma, kde a je dáno vztahy (2.11). Odsud plyne (obr. 2.31): Fv = ma = man + mat = Fn + Ft. (2.41){1.2-41} Přitom: 1. Fn je normálová složka výslednice sil Fv. Míří do středu křivosti C křivky v bodě P a má velikost Fn = mv2/R, kde v je rychlost hmotného bodu v bodě P a R je poloměr křivosti trajektorie v bodě P. Tato složka výslednice sil se proto nazývá síla dostředivá a někdy se značí Fd. 2. Ft je tečná složka výslednice sil. Její velikost je Ft = m|dv/dt|. Je-li trajektorie zakřivena (tj. není-li přímka), je |Fn| = 0. Je-li při pohybu v = konst., tj. je-li pohyb rovnoměrný, je |Ft| = 0, takže Fv = Fn. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 62 2.4. POHYBOVÉ ZÁKONY KLASICKÉ FYZIKY ~Ft `at P C `an ~Fn `a ~Fv Obr. 2.31: Vztah mezi výslednicí Fv všech sil působících na hmotný bod a jeho zrychlením a.{obr1.2-30} Důležité: Dostředivá síla není nějaká zvláštní síla, která působí kromě jiných sil ,,navíc . Je to normálová složka výslednice sil působících na hmotný bod. KP 2.4-2{pr1.2-6} Kotouč o poloměru r = 50 cm se otáčí rovnoměrně kolem vodorovné osy úhlovu rychlostí = 4 s-1 (obr. 2.32). Na okraji kotouče je upevněno malé těleso (hmotný bod) o hmotnosti m = 0,2 kg. Zanedbejte odpor vzduchu a řešte úkoly: 1. Vyjmenujte všechny síly, které působí na hmotný bod v bodě P (obr. 2.32); 2. Určete výslednci sil působících na hmotný bod v P a zakreslete ji do náčrtku; 3. Určete všechny síly působící na hmotný bod v P. P m ~G ~Fk ~Fv =30" Obr. 2.32: Příklad KP 2.4-2.{obr1.2-31} Řešení: 1. Síly = ? Tíhová síla G = mg; G = 0,210 N = 2 N; Síla od kotouče, Fk; 2. Fv =?. Fv = ma = man (at = 0, neboť pohyb je rovnoměrný, v = konst.). Směr: Fv = Fn, tj. do středu trajektorie hmotného bodu; velikost: Fv = m2r = 0,2420,5 N = 1,6 N; 3. Síly = ? G; Fk =?. Fv = G + Fk Fk = Fv - G. Směr Fk - viz obr. 2.32. Velikost: F2 k = G2 + F2 v - 2GFv cos Fk = . . . = 1,83 N. 2.4.6 Vzájemné translační pohyby vztažných soustav {1.2.3F} V této části budou vyšetřeny vztahy mezi polohovými vektory, rychlostmi a zrychleními hmotných bodů ve dvou vztažných soustavách konajících vzhledem k sobě translační pohyb. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 63 2.4. POHYBOVÉ ZÁKONY KLASICKÉ FYZIKY 2.4.6.1 Obecný translační pohyb Nechť se vztažná soustava S (O , x , y , z , t ) pohybuje vzhledem k soustavě S(O, x, y, z, t) translačním pohybem (obr. 2.33). Osy soustavy S svírají přitom s osami soustavy S stálé úhly. Pro časy t, t v obou soustavách platí t = t. Uvažujme přitom o hmotném bodu, který se pohybuje (obecně vzhledem k oběma soustavám). Jeho trajektorie v S je v obr. 2.33 označena q. Označme postupně r(t), r (t), R(t) vektorové funkce udávající polohový vektor v soustavě S, v soustavě S a polohový vektor počátku O vzhledem1 k S. Z obr. 2.33 je zřejmé, že v každém čase platí r(t) = R(t) + r (t ), t = t . (2.42){1.2-42} Derivujeme-li obě strany podle času t(= t ), dostaneme v(t) = vO (t) + v (t), skládání rychlostí (2.43){1.2-43} {ram-24} kde v(t) = dr(t) dt je rychlost hmotného bodu v S (někdy se nazývá ,,absolutní rychlost), v (t) = dr (t ) dt = dr (t) dt je rychlost hmotného bodu v S (tzv. relativní rychlost) a vO (t) = dR(t) dt je rychlost translačního pohybu celé soustavy S vzhledem k S (tzv. unášivá rychlost). z y x z' y' x' OS ~R `r `r' q m O' s Obr. 2.33: Popis pohybu hmotného bodu ve vztažných soustavách S(O, x, y, z, t) a S (O , x , y , z , t = t).{obr1.2-32} Vztah (2.43) vyjadřuje dobře známý zákon skládání rychlostí nerelativistické fyziky. Derivováním rovnice (2.43) podle času dostaneme 1 Říkáme: Počátek O soustavy S (O , x , y , z , t ) se pohybuje po křivce s vzhledem k soustavě S(O, x, y, z, t). Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 64 2.4. POHYBOVÉ ZÁKONY KLASICKÉ FYZIKY a(t) = aO (t) + a (t), skládání zrychlení (2.44){1.2-44} {ram-25} kde a(t) = dv(t) dt je zrychlení hmotného bodu v S, a (t) = dv (t ) dt = dv (t) dt je zrychlení hmotného bodu v S , aO (t) = dvO (t) dt je zrychlení počátku O vztažné soustavy S vzhledem k S. 2.4.6.2 Rovnoměrný přímočarý translační pohyb Ze vztahu (2.44) plyne: koná-li S vzhledem k S rovnoměrný přímočarý pohyb, nebo je-li vzhledem k S v klidu, je vO (t) = konst., tedy aO (t) = 0, takže a(t) = a (t). zrychlení hmotného bodu v inerciálních soustavách (2.45){1.2-45} {ram-26} Je-li soustava S inerciální a je-li zrychlení libovolného volného hmotného bodu a(t) = 0, pak ze vztahu (2.45) plyne a (t) = 0, tj. každý volný hmotný bod se pohybuje rovnoměrně přímočaře i v S . Soustava S je tedy rovněž inerciální. Tím je teoreticky odvozen výsledek, který jsme již uvedli jako experimentální fakt: Inerciální vztažné soustavy konají vzájemný rovnoměrný translační pohyb. Pohybová rovnice hmotného bodu v jedné inerciální soustavě S zní: ma = Fv. Jak zní v druhé inerciální soustavě S ? Úvaha: 1. Platí a = a; 2. Hmotnost je při nerelativistických rychlostech hmotného bodu nezávislá na pohybu hmotného bodu, tedy: hmotnost hmotného bodu v S = hmotnost hmotného bodu v S, tj. m = m; 3. Síly charakterizují působení reálných objektů na hmotný bod, proto se o nich v nerelativistické fyzice předpokládá, že jsou v S a S stejné, tj. že platí Fv = Fv. Tedy ma = Fv, a = a , m = m , Fv = Fv m a = Fv, což značí: Pohybová rovnice hmotného bodu má ve všech inerciálních vztažných soustavách stejný tvar. Odtud plyne, že děje v mechanických soustavách probíhají při stejných počátečních podmínkách (polohách, rychlostech) a při stejném silovém působení ve všech inerciálních vztažných soustavách stejně. Tento výsledek se nazývá z historických důvodů Galileův (neboli mechanický) princip relativity. Jeho zobecnění na všechny děje, nejen mechanické, formuloval A. Einstein. Je základním postulátem teorie relativity (viz část 3.1) na straně 168 tohoto textu). Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 65 2.4. POHYBOVÉ ZÁKONY KLASICKÉ FYZIKY 2.4.7 Pohyb v neinerciálních soustavách {1.2.3G} Při zkoumání mechanických pohybů těles se zavádějí vztažné soustavy tak, aby popis a vyšetřování dějů bylo co nejjednodušší. Ukazuje se, že někdy jsou pro to vhodné i neinerciání vztažné soustavy. V těchto soustavách neplatí vztah Fv = ma, který platí v inerciálních soustavách. Vztahy mezi působícími silami a zrychlením jsou v neinerciálních soustavách složitější. Hlavním cílem našich úvah bude ukázat, že pohybovou rovnici Fv = ma lze přidáním vhodných členů, jež mají význam setrvačných sil, upravit tak, aby zůstala v platnosti i v neinerciálních soustavách. Omezíme se přitom pouze na jednoduché, avšak často se vyskytující případy soustav uvedených v následujících částech 2.4.7.1 a 2.4.7.2. 2.4.7.1 Neinerciální soustava vykonávající nerovnoměrný translační pohyb {Nsvntp1} a) Formální úvahy. Uvažujme o vztažné soustavě S , která koná nerovnoměrný translační pohyb vzhledem k inerciální vztažné soustavě S (viz obr. 2.33). Budeme zkoumat hmotný bod, který se pohybuje účinkem sil o výslednici Fv vzhledem k oběma soustavám S, S . Rychlosti v, v hmotného bodu a jeho zrychlení a, a v soustavách S a S jsou vázány vztahy (2.43), (2.44), tj. v = vO + v , a = aO + a , (2.46){1.2-46} kde vO je okamžitá rychlost a aO okamžité zrychlení (počátku O ) soustavy S vzhledem k S. Pohybová rovnice hmotného bodu v soustavě S a S : S (inerciální) : ma = Fv S (neinerciální) : ma = Fv m(aO + a ) = Fv ma = Fv - maO , (2.47){1.2-47} {ram-27} tj. ma = Fv + F , pohybová rovnice v neinerciální soustavě (2.48){1.2-48} {ram-28} kde F = -maO . setrvačná síla (2.49){1.2-49} {ram-29} Poznamenejme, že hmotnost m a síla F jsou v nerelativistické fyzice veličiny nezávislé na volbě vztažné soustavy, jsou tedy v S a S stejné. Rovnice (2.48) má shodný tvar s rovnicí (2.47), jestliže veličinu F = -ma0 prohlásíme za sílu; na pravé straně rovnice (2.48) je pak součet všech sil. Tato síla se liší od sil, jejichž výslednice je označena Fv tím, že necharakterizuje působení reálných objektů na hmotný bod, nýbrž je způsobena zrychleným pohybem soustavy S . Veličina F je nový typ síly. Abychom ji odlišili od předešlých, nazveme ji síla setrvačná, zatímco ostatní síly budeme nazývat síly skutečné (neboli ,,pravé ). Shrneme provedený myšlenkový postup: Postulujeme platnost pohybové rovnice pro hmotný bod ma = F i v soustavě S . Pak ke skutečným silám je nutno přidat ještě sílu setrvačnou F. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 66 2.4. POHYBOVÉ ZÁKONY KLASICKÉ FYZIKY Poznamenejme ihned, že zavedením názvu ,,skutečné síly pro síly, jež jsme definovali dříve, nechceme říci, že síly setrvačné jsou neskutečné. Je to jen název, který jsme užili v souhlase s literaturou. Síly setrvačné jsou svými účinky právě tak reálné jako síly, které jsme nazvali ,,skutečné . b) Fyzikální význam a užití setrvačné síly F ukážeme na příkladech: 1. Ve vagoně V1 rozjíždějícího se vlaku (soustava S ), který má vzhledem k vodorovnému povrchu Země (soustava S) v čase t = 0 rychlost vO (0) = 0 a stálé zrychlení aO , položíme na podlahu, o níž předpokládáme, že je vodorovná a dokonale hladká, malou krychli (tj. hmotný bod). Vyšetříme její pohyb v S (obr. 2.34a) a S (obr. 2.34b), kde S je soustava daná vagonem: V1 `a=0 S ~'O *~F a) b) `a 'O V1 `a=0~ t0 t > t1 0 V1t0 t > t1 0 ~N ~G ~N ~G ~N ~G `v '(t ) = 0O 0 ~ `v '(t )O 1 `a'= -`a 'O *~F V1 ~N ~G 'S 'O 'S 'O 'S 'O 'S `a 'O `a 'O `a 'O `v '(t ) = 0O 0 ~ `v '(t )O 1 O SO SO SO `a'= -`a 'O Obr. 2.34: Význam setrvačné síly F v neinerciální soustavě S spojené s vagonem, který se pohybuje se zrychlením aO vůči inerciální soustavě S spojené se Zemí.{obr1.2-33} Soustava S: Trajektorie hmotného bodu je bod, poněvadž jeho rychlost nejen v čase t = 0 je v(0) = 0. Zrychlení má rovněž nulovou i svislou složku. Na hmotný bod totiž působí tíhová síla G a síla N1, kterou vyvozuje podlaha. V S tak platí N1 + G = ma . Síly N1, G jsou svislé a svislá složka zrychlení hmotného bodu je rovna nule. Proto platí N1 +G = 0. Vodorovná složka zrychlení hmotného bodu je rovněž nulová. Tedy: a(t) = a = 0 v = konst., tj. krychle se v S pohybuje původní, tj. nulovou rychlostí. Vagon má ale v S zrychlení aO , tudíž se zadní stěna vagonu blíží ke krychli. Soustava S : Pro pohyb hmotného bodu v neinerciální soustavě platí pohybová rovnice ma = G + N1 + F , Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 67 2.4. POHYBOVÉ ZÁKONY KLASICKÉ FYZIKY kde F = -maO . Ježto G+N1 = 0, plyne odsud ma = F, a = -aO (vagonek V2 na obr. 2.34b). Pro pozorovatele v S se krychle pohybuje zrychleně (nabývá zrychlení) účinkem setrvačné síly F směrem k zadní stěně vagonu. 2. Ve vagoně V2 na obr. 2.35 visí na vlákně kulička (tj. hmotný bod), která je vůči vagonu v klidu. Vyšetříme její pohybový stav v S (obr. 2.35a) a S (obr. 2.35b). Soustava S: Trajektorie kuličky je přímka, po níž se kulička pohybuje rovnoměrně zrychleně se zrychlením a = aO . Působí na ni tíhová síla G a vlákno silou F1. Výslednice těchto sil, G + F1, jí uděluje zrychlení a = aO , dané vztahem G + F1 = maO . (2.50){1.2-50} Soustava S : Kulička je v klidu, její trajektorie je (ve vagoně na obr. 2.34b) bod, takže platí a = 0. Pohybová rovnice zní ma = G + F1 + F , kde F = -maO . Ježto platí a = 0, plyne odsud 0 = G + F1 - maO vyjadřující, že síly pravé a setrvačné síly jsou v rovnováze. Je to ovšem rovnice shodná s rovnicí (2.50), jenže se k ní došlo jinak. a) b) V2 t0 t > t1 0 V2t0 t > t1 0 V2 ~F1 ~G ~F +~G1 ~F1 ~G ~F +~G1 ~F1 `a'=0 ~G *~F ~ `a=`a 'O V2 ~F1 `a'=0 ~G *~F ~ `a 'O `v '(t )O 1 `a 'O `a 'O `a 'O `v '(t )O 1 `v '(t )O 0 `v '(t )O 0 'O 'S 'O 'S 'O 'S 'O 'S O S O S O S O S `a=`a 'O Obr. 2.35: Dva pohledy z různých soustav na fyzikální děj ve vagonku V2 našeho experimentálního vlaku, tentokrát nikoliv s kluzištěm (které se nachází ve vagonu V1), ale s hmotným bodem na závěsu.{obr1.2-34} Úkol: Určete směr a velikost síly F1 na obr. 2.34 pro m = 0,2 kg, aS = 3 m/s2 . Řešení: F1 = G2 + (maS )2 = 10 N, = arctan(maS /G) = 16,7. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 68 2.4. POHYBOVÉ ZÁKONY KLASICKÉ FYZIKY Poznámka: Ježto síla F1 má stejný směr jako vlákno, je vlákno vychýleno od svislého směru o úhel . 2.4.7.2 Rovnoměrně rotující neinerciální soustava {Nsvntp2} a) Formální úvahy. Uvažujeme o pohybu hmotného bodu, jenž se pohybuje na kotouči, který rovnoměrně rotuje úhlovou rychlostí v inerciální soustavě S. Vztažnou soustavu spojenou s kotoučem označme S (obr. 2.36). z' y' x' C ` `n `v' *~FC m ` S *~Fo Obr. 2.36: Odstředivá F o = -m2rn a Coriolisova F C = -2m( × v ) setrvačná síla působící na hmotný bod m pohybující se rychlostí v vzhledem k soustavě S pevně spojené s rotujícím kotoučem.{obr1.2-35} Nechť v čase t je hmotný bod v bodě P a nechť má v S (tj. vzhledem ke kotouči) rychlost v . Lze dokázat2 (zde to nebudeme dokazovat), že jeho zrychlení a (v S), a (v S ) jsou dána vztahem ma = ma - m2 rn - 2m( × v ). (2.51){1.2-51} Zde je r vzdálenost bodu P od středu otáčení C, vektor n je jednotkový vektor ve směru PC. V soustavě S platí: ma = Fv, kde Fv je výslednice skutečných sil -- zde výslednice síly G a síly F1, kterou na hmotný bod působí kotouč, tj. Fv = G + F1. Postulujeme-li platnost vztahu: ma = součet všech sil působících na hmotný bod v soustavě S , ma = Fv + F o + F C, (2.52){1.2-52} kde F o = -m2 rn, se nazývá setrvačná síla odstředivá (2.53){1.2-53} {ram-30} 2 Tuto pasáž lze najít např. v [25] nebo [26]. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 69 ? 2.4. POHYBOVÉ ZÁKONY KLASICKÉ FYZIKY F C = -2m( × v ). se nazývá setrvačná síla Coriolisova (2.54){1.2-54} {ram-31} Název ,,odstředivá síla setrvačná je odůvodněn směrem této síly (obr. 2.36). Coriolisova síla působí kolmo na a na relativní rychlost v (obr. 2.36). Je-li v = 0, je F C = 0. Rychlost v může mít libovolný směr, nemusí být kolmá na jako v obr. 2.36. Síla F C se uplatňuje např. při pohybech na povrchu (rotující) Země. KP 2.4-3{pr1.2-7} Na kotouči, který rotuje stálou úhlovou rychlostí = 4 s-2 kolem svislé osy v tíhovém poli Země, je připevněno malé těleso (hmotný bod) o hmotnosti m = 0,1 kg ve vzdálenosti R = 50 cm od osy otáčení. Vyšetřete pohyb hmotného bodu v soustavě S spojené se Zemí a v soustavě S spojené s kotoučem. Určete: 1. Trajektorii hmotného bodu; 2. Zrychlení hmotného bodu; 3. Výslednici sil působících na hmotný bod; 4. Síly působící na hmotný bod, a to vše v některém okamžiku t1. Sílu odporu vzduchu zanedbejte. Řešení:{pr1.2-7a} a) V soustavě S 1. Trajektorie: kružnice se středem v C (obr. 2.37). 2. a míří do C a má velikost a = v2/R = 2R = . . . = 8 m/s2 ; 3. Fv = ma; míří do C a má velikost Fv = m2R = . . . = 0,8 N; 4. G ­ tíhová síla; G = mg = . . . = 1 N; Fk ­ síla od kotouče; pro ni platí Fv = G+Fk Fk = Fv-G. Směr Fk: tg = G/Fv = . . ., = . . . Velikost Fk: Fk = F2 v + G2 = . . . S C ` o ~G m `a ~Fv ~Fk trajektorie (kružnice) Obr. 2.37: Příklad KP 2.4-3.{obr1.2-36} {pr1.2-7b} b) V soustavě S 1. Trajektorie: bod P; 2. a = 0 (obr. 2.38); Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 70 2.5. ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY 3. F = ma = 0; 4. F = G + Fk + F o , G + Fk + F o = 0. Síly skutečné a setrvačná odstředivá síla jsou v rovnováze. Přitom směr F o ­ viz obr. 2.38, velikost F o = mv2/R = m2R. Tedy Fk = -(G + F o ), obr. 2.38. Směr Fk: tg = G/F o = . . . tg . Velikost: Fk = F2 o + G2 = F2 v + G2, výsledek je tedy stejný jako v soustavě S. o C ~Fk = m ~G *~G +~Fo S trajektorie (bod) *~Fo Obr. 2.38: Příklad KP 2.4-3.{obr1.2-37} 2.4.7.3 Ekvivalence sil skutečných a setrvačných vivalenceSil} Setrvačné síly mají stejné účinky jako síly skutečné: Udělují tělesům zrychlení, deformují je atd. Působí na všechna tělesa a jsou úměrny hmotnosti těles. Pozorovatel v uzavřené pohyblivé laboratoři oba typy sil nerozliší. Síly setrvačné a skutečné jsou, pokud jde o účinky, ekvivalentní. Rozdíl mezi oběma typy sil je pouze v tom, že síly skutečné jsou způsobeny tělesy v našem okolí a gravitačním působením těles sluneční soustavy, zatímco síly setrvačné zdánlivě nemají zdroj. Většina odborníků se dnes však přiklání k názoru, že síly setrvačné jsou způsobeny gravitačním působením vzdálených vesmírných objektů. Je-li tomu tak, pak se síly setrvačné a skutečné neliší ani původem. Řešte příklady KP 1.3-1 až KP 1.3-23 v textu Vybrané kapitoly z fyziky; KP 2.4-4 až KP 2.4-8. 2.5 Časový a dráhový účinek síly {UcinekSily}{1.2.4} Tato část se zabývá přechodem hmotného bodu z jednoho pohybového stavu do stavu jiného. Tyto přechody probíhají v jistém časovém intervalu t1, t2 a na určité trajektorii působením různých sil. Časový účinek síly je charakterizován veličinou ,,impuls síly, I . Impuls I splňuje důležitý vztah I = p2 -p1. Dráhový účinek síly je charakterizován veličinou ,,práce, W . Práce výslednice sil působících na hmotný bod splňuje důležitý vztah W = Ek,2 -Ek,1, kde Ek je kinetická energie hmotného bodu. Vztahy I = p2 -p1, W = Ek,2 - Ek,1 mají stejnou strukturu: Nalevo je veličina, která charakterizuje děj, kterým hmotný bod přechází ze stavu 1 do stavu 2. Napravo je změna veličin p, Ek charakterizujících pohybový stav hmotného bodu. V závěru odst. 2.5.1 je definován výkon síly. Obecné úvahy o energii v části 2.5.2 jsou velmi důležité. Cíl: I) Umět vztahy uvedené v rámečcích, znát veličiny, pojmy a výsledky nacházející se v tomto textu; Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 71 2.5. ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY II) Definovat impuls síly, která působí na hmotný bod. Vztah (2.59) odvodit nebo odvození naznačit; III) Definovat práci konanou silou působící na hmotný bod; IV) Definovat kinetickou energii hmotného bodu. Zpaměti vztah (2.70), vyložit jej; V) Vyslovit a vyložit definici výkonu; VI) Řešit samostatně příklady vyřešené v tomto textu a příklady typu KP 1.4-1 až KP 1.4-16 v textu Vybrané kapitoly z fyziky; KP 2.4-9 až KP 2.4-15. 2.5.1 Impuls síly {ImpulsSily} 1. Definice I(t). Impuls síly I(t) je vektorová veličina, která charakterizuje časový účinek síly F(t) působící na těleso v časovém intervalu t1, t2 . Nejprve budeme definovat I(t) pro zvláštní případ, kdy platí F = konst., poté pro obecný případ. t2 ~F ~F I~ t1 Obr. 2.39: Impuls I stálé síly F.{obr1.2-38} a) Impuls I(t) stálé (tj. časově nezávislé) síly F působící na těleso v časovém intervalu t1, t2 je vektorová veličina definovaná vztahem I(t) = Ft = F (t2 - t1). (2.55){1.2-55} Má směr síly F a velikost I(t) = F (t2 - t1). Jednotka [I] je rovna [I] = Ns = kgms-1 (obr. 2.39). b) Impuls (libovolné, obecně časově proměnné) síly F(t) působící na těleso v časovém intervalu t1, t2 je definován takto: Rozdělíme interval t1, t2 na elementární intervaly délky t tak malé, že v každém z nich je přibližně F(t) . = konst. Impuls síly F v každém z těchto intervalů je dán vztahem (2.55), tj. I = Ft. Všechny tyto impulsy sečteme (obr. 2.40). V limitě pro t 0 dostaneme I = t2 t1 F(t) dt . impuls síly (2.56){1.2-56} {ram-32} Impuls I závisí jen na průběhu vektorové funkce F(t) v časovém intervalu t1, t2 . Jeho jednotka je kgms-1. c) Střední hodnota síly F (tj. vektorové funkce F(t)) v časovém intervalu t1, t2 se označuje Fstř(t) a je definována vztahem Fstř(t) = 1 (t2 - t1) t2 t1 F(t)dt (2.57) Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 72 2.5. ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY Fstř(t)(t2 - t1) = t2 t1 F(t)dt = I Fstř(t) = I t2 - t1 . střední hodnota síly (2.58){1.2-57} {ram-33} t1 t2 ~F I ~Ft ~F ~ Obr. 2.40: Impuls I obecně časové proměnné síly F.{obr1.2-39} 2. Věta o impulsu síly je nejdůležitější ze vztahů, v nichž se užívá impulsu. Zní takto: Nechť se hmotný bod pohybuje v inerciální vztažné soustavě S (obr. 2.41) účinkem sil o výslednici Fv. V čase t1 nechť má hmotný bod hybnost p1, v čase t2 hybnost p2. Pak platí p2 - p1 = t2 t1 Fv(t)dt. věta o impulsu síly (2.59){1.2-58} {ram-34} ˙p = Fext V . I. impulsová věta (2.60) {ram-35} t1 t2 I `p1 `p1 `p2 I ~ ~ `p2 -`p1 Obr. 2.41: K větě o impulsu síly.{obr1.2-40} Důkaz: Označme p(t) vektorovou funkci času, udávájící průběh hybnosti hmotného bodu v časovém intervalu t1, t2 v soustavě S. Platí pro ni druhý Newtonův pohybový zákon dp(t) dt = Fv dp = Fvdt (= dI). To značí: změna dp hybnosti p hmotného bodu v časovém intervalu délky dt je rovna impulsu výslednice sil, které na něj působí. Sečtením těchto změn v časovém intervalu t1, t2 dostaneme vztah (2.59). Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 73 2.5. ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY Vztahu (2.59) se užívá velmi často v kombinaci se vztahem (2.58) k řešení příkladů tohoto typu: KP 2.5-1{pr1.2-8} Míč o hmotnosti m = 400 g dopadl na pevnou stěnu rychlostí v1 o velikosti v1 = 5 m/s a odrazil se stejně velkou rychlostí podle obr. 2.42a. Náraz trval po dobu t = = 0,1 s. Určete: (a) Změnu hybnosti míče; (b) Střední sílu, kterou působila stěna na míč; (c) Střední sílu, kterou působil míč na stěnu. = 30" `v1 m a) b) `p - `p = I2 1 `p2-`p1 ~Fst ešení ~ `v2 Obr. 2.42: Příklad KP 2.5-1.{obr1.2-41} Řešení: (a) p =?, p = p2-p1 (obr. 2.42b). Směr: p stěna, velikost |p| = p2 1 + p2 2 - 2p1p2 cos = 2(0,45)2 - 2(0,45)2 cos 120 kgms-1 = 3,46 kgms-1; (b) Fstř =?, Fstř = I/(t2 - t1), Fstř = (p2 - p1)/(t2 - t1) = p/. Směr: Fstř p, velikost: Fstř = |p|/ . . . = 34,6 N; (c) Fs,stř =?, Fs,stř = -Fstř. Doplňující úkoly: (i) Měkký míč se odrazí od skleněné tabule vitriny, aniž ji rozbije. Tvrdý míč o stejné hmotnosti a rychlosti jako měkký míč ji však rozbije. Vysvětlete. (ii) Účinky nárazu automobilu na překážku se pro jeho posádku zmírňují přidáním poddajné části karoserie v přední části automobilu. Vysvětlete. 2.5.2 Obecně o energii {1.2.4B} Přesto, že hlavním obsahem další části jsou úvahy o veličině, která se nazývá práce, začneme hovořit o energii. Pohybující se automobil má kinetickou energii Ek danou vztahem Ek = 1 2 mv2. Jede-li do kopce, získává polohovou tíhovou energii EG = mgh. V jeho motoru, jehož činnost je nutná k rozjezdu, k jízdě do kopce a k překonávání sil odporu a tření, se mění chemická energie pohonných hmot v kinetickou a potenciální energii vozu. Navíc se motor, automobil, okolní vzduch, povrch silnice zahřívají, tj. zvětšuje se energie neuspořádaného pohybu jejich molekul neboli roste vnitřní energie látek, které se na ději podílejí. Pojem, nebo přesněji fyzikální veličina ,,energie je známa: charakterizuje určitým způsobem tělesa, soustavy těles nebo fyzikální pole (např. elektromagnetické vlny) v jejich stavech, jichž Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 74 2.5. ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY nabývají při všech možných i kvalitativně velmi různorodých dějích. Podle toho o jaké stavy se jedná -- zda o polohy nebo o pohybové stavy atd. -- hovoříme o energii polohové, pohybové, jaderné, chemické atd. Při fyzikálních dějích a technických procesech se jednak mění formy (druhy) energie (jeden druh energie přechází v jiný, např. vůz jedoucí z kopce: energie polohová energie kinetická + vnitřní), jednak při interakci dvou objektů (soustav) se energie jednoho z nich obecně zmenšuje, druhého zvětšuje -- soustavy si ,,předávájí energii. V hydrocentrále se proces zmenšování mechanické (tj. kinetické a potenciální) energie vody a současný růst elektrické energie generátoru a připojené sítě nazývá ,,výroba elektrické energie. Tím, že každá soustava má energii ­ veličinu uplatňující se ve všech soustavách a při všech různorodých dějích ­ tak tyto soustavy a děje tato veličina (energie) z jistého hlediska sjednocuje - zvláště, když zkušenost ukazuje, že platí: Zákon zachování energie: Celková energie libovolné izolované soustavy je stálá při všech dějích, které v ní probíhají. e. elastická e. chemická e. jaderná e. vnitní e. magnetická e. elektrická e. kinetická e. gravitaní Q W práce teplo Obr. 2.43: Změny a přechody energie z jedné soustavy do druhé.{obr1.2-42} Změny energie a přechody energie z jedné soustavy do druhé jsou charakterizovány veličinami práce a teplo (obr. 2.43). Jestliže jedna soustava působí na druhou soustavu silou F (např. plyn na píst motoru -- obr. 2.44a, nebo těleso T na pružinu, k níž je připevněno -- obr. 2.44b) a působiště P se přitom pohybuje, koná síla F práci. Tato práce se rovná (při pohybu pístu ve směru síly) úbytku vnitřní energie plynu a přírůstku mechanické energie pístu. Podobně v druhém případě je práce síly F rovna úbytku mechanické (kinetické a tíhové) energie tělesa T a přírůstku elastické energie pružiny. Jestliže však energie přechází z jedné soustavy do druhé při jejich styku v důsledku vzájemných srážek jejich molekul konající neuspořádaný tepelný pohyb (obr. 2.45a) nebo formou teplotního (elektromagnetického) záření, jež trvale vyzařují všechny látky, hovoříme o tepelné výměně (energie). Energie, která přejde z jedné soustavy do druhé tepelnou výměnou, se nazývá teplo. Tepelnou výměnou se budeme zabývat v odst. 5.1. Ve většině případů se výměna energie mezi soustavami uskutečňuje současně formou práce i tepelnou výměnou. Často však jedna z těchto forem výměny bývá zanedbatelně malá. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 75 2.5. ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY práce W `v W ~F P T a) b) ~F`v P Obr. 2.44: Přechod energie z jedné soustavy do druhé konáním práce W.{obr1.2-43} tepelná výmna a) b) teplo Q Q Q Obr. 2.45: Přechod energie z jedné soustavy do druhé tepelnou výměnou.{obr1.2-44} 2.5.3 Práce Ukazuje se, že silovým působením se přenáší energie z jedné soustavy do druhé tehdy, když současně a) působiště síly se (v uvažované vztažné soustavě) pohybuje, b) síla má nenulovou složku ve směru pohybu působiště. Definice veličiny práce, která se označuje W, k tomu přihlíží. Uvedeme nejprve definici pro jednoduchý případ silového působení, poté obecnou definici. 1. Práce stálé síly při přímočarém pohybu působiště. Nechť na těleso (např. sáně na obr. 2.46) působí (kromě jiných sil) v jednom jeho bodě (působišti Q) stálá síla F. Působiště nechť koná přímočarý pohyb (jinak libovolně proměnný) z bodu P1 do bodu P2. Posunutí působiště je vektor -- P1P2 = s. Práce W síly F na úseku P1P2 je definována vztahem W = F cos | --- P1P2|, definice práce stálé síly (2.61){1.2-59} {ram-36} kde = (F, --- P1P2). Jiný zápis W = Fs cos = Fs s = Fs, (2.62){1.2-60} kde Fs = F cos je průmět síly F do směru s. Informace: (a) Je-li 0 < 90, je W > 0; = 90 W = 0; 90 < 180 W < 0. (b) Jednotka: [W] = Nm = 1 joule = 1 J(= kgm2s-2). (c) Pohyb je relativní, trajektorie působiště je v různých vztažných soustavách různá. Tedy i práce je v tomto smyslu relativní, v různých vztažných soustavách má obecně různou hodnotu. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 76 2.5. ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY P2 P1 ~G ~FQ~F2 ~F1 Obr. 2.46: Příklad KP 2.5-2 -- síly působící na sáně. Práce síly F při přemístění saní z bodu P1 do bodu P2.{obr1.2-45} KP 2.5-2{pr1.2-9} Při ději znázorněném v obr. 2.46 je | -- P1P2| = 12 m, = 20, = 10, hmotnost saní m = 8 kg, F = 40 N, tečná složka síly, kterou působí sníh na sáně (tj. síla tření), má velikost F1 = 23 N. Určete: (a) Práci W síly F; (b) Práci W1 síly F1; (c) Práci WG tíhové síly. Řešení: (a) W =?, W = Fs cos = 40 N cos 20 12 m = 451 J; (b) W1 =?, W1 = F1 cos(F1, -- P1P2) s = 23 N cos 180 12 m = -276 J; (c) WG =?, WG = G cos(G, -- P1P2) s = Gs cos(90 + ) = 8012 (- sin 10) J = -167 J. 2. Práce proměnné síly při obecném pohybu působiště. Uvažujme o tělese, které vykonává obecný pohyb a na které působí (kromě případných jiných sil) v jednom jeho bodě Q síla F, která se (obecně) při pohybu mění. Působiště Q nechť se pohybuje v jednom směru po trajektorii, kterou označíme c (obr. 2.47a). Orientujeme ji ve směru pohybu a zavedeme na ní dráhovou souřadnici s. Práce, kterou vykoná síla F na úseku P1P2, je definována takto: Rozdělíme c na malé elementy délky s a zavedeme příslušné vektory posunutí r, a to tak malé, že na každém z nich je síla F přibližně konstantní. Trajektorii c tak nahradíme lomenou čarou c (obr. 2.47b), která se liší od c tím méně, čím jsou |r| menší. ~F s Q c `r 'c a) b) P2 P1 ~F s `r P1 P2 Obr. 2.47: Práce proměnné síly při obecném pohybu působiště.{obr1.2-46} Práce síly F na malém (elementárním) úseku r je dána vztahem (2.62), tj. je W = Fr = F cos |r| . = F cos s , (2.63){1.2-61} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 77 2.5. ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY neboť |r| . = s. V limitě pro s 0 pak můžeme psát dW = F cos ds = Fs ds. (2.64){1.2-62} Veličina Fs je v různých bodech trajektorie různá, je funkcí veličiny s, tj. Fs = Fs(s). V obr. 2.48a je tato závislost znázorněna křivkou C. Elementární práce W daná vztahem (2.64), je úměrná plošnému obsahu jednoho vyšrafovaného proužku (obdélníčku). Práce síly F na úseku P1P2 je přibližně rovna součtu všech elementárních prací (2.63), tj. W = W = F1 cos 1s1 + F2 cos 2s2 + . . . = Fr. (2.65){1.2-63} Definována je (přesně) jako limita součtu (2.65) pro s = |r| 0, tj. jako Riemannův integrál (viz odst. 1.4) W = s2 s1 Fs(s) ds = s2 s1 F(s) cos (s) ds = r2 r1 Fdr. definice práce (2.66){1.2-64} {ram-37} Zde jsme vyznačili, že veličina Fs i úhel jsou funkcemi veličiny s. Dále: r1 a r2 jsou polohové vektory bodů P1, P2. Informace: W C 0 s0 s1 s2 s b)a) Fs C s s+s s Fs Fs s1 s2 Obr. 2.48: Geometrický význam práce síly F, jejíž průmět do směru elementárního posunutí dr je Fs.{obr1.2-47} (a) Veličina W, daná vztahem (2.66), je úměrná plošnému obsahu plochy pod křivkou C v obr. 2.48b. (b) Výpočet intgrálů ve vztahu (2.66) vyžaduje v obecném případě často důkladnou znalost integrálního počtu. Pro nás je důležité zejména to, že jsou to v podstatě součty, znázorněné plošnými obsahy v diagramu typu obr. 2.48. Omezíme se jen na výpočty matematicky dostupné. (c) Důležitá věta: Práce výslednice několika sil působících v jednom bodě je rovna součtu prací jednotlivých sil. Tedy (F = F1 + F2 + . . . + Fn) (W = W1 + W2 + . . . + Wn). Důkaz: Při elementárním posunutí r platí W = Fr = (F1+F2+. . .+Fn)r = F1r+F2r+. . .+Fnr = W1+. . .+Wn. Celková energie je rovna součtu elementárních prací. Sečteme nejprve elementární příspěvky síly F1, tj. příspěvky W1 a dostaneme W1, poté sečteme W2 atd. Tím je uvedené tvrzení dokázáno. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 78 2.5. ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY Jesliže těleso vykonává translační pohyb, platí analogické tvrzení i pro případ, že síly F1, F2, . . . , Fn nepůsobí v jednom bodě. To proto, že vektory posunutí působišť všech sil jsou stejné. KP 2.5-3{pr1.2-10} Hmotný bod o hmotnosti m byl přenesen z bodu P1 (o výšce h1 = 14 m) do bodu P2 (o výšce h2 = 6 m) po trajektorii c (obr. 2.49). Určete práci, kterou přitom vykonala tíhová síla. Řešení: WG = r2 r1 Gdr = s2 s1 G cos ds (dW =) G cos ds = mg |dh| = -mgh. Pozn.: Na úseku dr se h zmenšilo, tedy dh < 0, takže |dh| = -dh. Vztah |dh| = cos ds plyne z pravoúhlého trojúhelníka o přeponě |dr|. Tedy WG = h2 h1 -mg dh = -mg h2 h1 dh = -mg(h2 - h1) = mgh1 - mgh2. (2.67){1.2-65} To je výsledek, na němž je pozoruhodné: Začíná-li trajektorie (kdekoliv) ve výšce h1 a končí-li ve výšce h2, pak práce tíhové síly je WG = mg(h1 - h2), ať má trajektorie jakýkoliv tvar. h h1 `r1 s1 m h P2 ~G |%h| O h + %h `r2 s2 P1 h2 %`r c m |%h| %`r ~G Obr. 2.49{obr1.2-48} Příklad KP 2.5-3. KP 2.5-4{pr1.2-11} Určete práci výslednice sil působících na sáně v obr. 2.46 (viz příklad KP 2.5-2) na úseku P1P2. Řešení: Podle věty o práci výslednice sil působících na těleso při translačním pohybu platí pro práci Wv výslednice Fv sil působících na sáně WFv = W + WG + W1 + W2, kde W2 je práce normálové složky F2, tj. síly, kterou na sáně působí nakloněná rovina. Ježto F2 --- P1P2, je W2 = 0 J. Veličiny W, WG, W1 jsou vypočteny v KP 2.5-2, tedy po dosazení WFv = 451 J - 167 J - 276 J = 8 J. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 79 2.5. ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY 2.5.4 Kinetická energie hmotného bodu, Ek. {1.2.4D} V této části zavedeme fyzikální veličinu ,,kinetická (neboli pohybová) energie hmotného bodu, Ek jakožto nejznámější typ (druh) energie. Je definována vztahem (2.69). K této definici jsme vedeni velmi důležitým vztahem (2.68), který má základní význam ve všech úvahách o energii. Je to první ze vztahů mezi energiemi, prací a teplem, znázorněných schematicky v obr. 2.43, 2.44 a 2.45. Zmíněný základní vztah zní: Nechť hmotný bod se pohybuje v inerciální vztažné soustavě S (obr. 2.50) z bodu P1 do bodu P2 po libovolné trajektorii účinkem různých sil. Nechť Fv je jejich výslednice. Pak práce WFv,P1P2 , kterou přitom vykoná Fv, je dána vztahem WFv,P1P2 = 1 2 mv2 2 - 1 2 mv2 1. základní vztah pro práci výslednice sil (2.68){1.2-66} {ram-38} Zde v1 je velikost rychlosti hmotného bodu v P1, v2 velikost rychlosti hmotného bodu v bodě P2. Nejprve důkaz, potom komentář. x y z stav 1 stav 2 s Ek,1 s2 `v2 %s ~F Fs P2 P1 `v1 s1 Ek,2 S Obr. 2.50: Práce výslednice sil Fv při pohybu hmotného bodu hmotnosti m po libovolné trajektorii.{obr1.2-49} Důkaz: Orientujme trajektorii od P1 k P2 a zaveďme dráhovou souřadnici s (obr. 2.50). Podle definice (2.66) platí WFv,P1P2 = r2 r1 Fvdr = s2 s1 Fs ds = s2 s1 masds = s2 s1 m dvs dt ds. Zde jsme užili vztahů: Fv = ma (S je inerciální, Fv výslednice) Fs = mas, kde Fs, as jsou průměty do orientované tečny k trajektorii. Dále platí as = dvs/dt, kde vs je dráhová rychlost a dvs, dt jsou diferenciály (odst. 1.4). Pak dvs dt ds = dvs ds dt = dvs vs, kde vs je dráhová rychlost. Tedy WFv,P1P2 = vs,2 vs,1 mvsdvs = 1 2 mv2 s vs,2 vs,1 = 1 2 mv2 s,2 - 1 2 mv2 s,1(= Ek,2 - Ek,1) . Ježto pro dráhovou rychlost platí |vs| = |v| = v, dostáváme vztah (2.68). Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 80 2.5. ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY Co je na vztahu (2.68) pozoruhodné? To, že k přechodu hmotného bodu ze stavu 1, v němž má jeho rychlost velikost v1, do stavu 2, v němž je v = v2, je zapotřebí vykonat výslednicí sil vždy stejnou práci WFv,P1P2 . Tato práce nezávisí ani na poloze bodů P1 a P2, ani na tvaru trajektorie -- závisí jen na m, v1, v2. Známe-li m, v1, v2, známe i WFv,P1P2 . To umožňuje zavést novou fyzikální veličinu Ek nazvanou ,,kinetická energie hmotného bodu v uvažované vztažné soustavě definičním vztahem Ek = 1 2 mv2 . definice kinetické energie hmotného bodu (2.69){1.2-67} {ram-39} Tato veličina charakterizuje pohybový stav hmotného bodu. Z definičního vztahu (2.69) a ze vztahu (2.68) plyne její nejdůležitější vlastnost, která je vyjádřená souvislostí práce výslednice sil se změnou kinetické energie WFv,P1P2 = Ek,2 - Ek,1 = Ek . základní vlastnost kinetické energie (2.70){1.2-68} {ram-40} Informace: 1. Jednotky: [Ek] = kgm2s-2; 2. Hodnota Ek závisí na volbě vztažné soustavy; 3. Jestliže WFv,P1P2 > 0, tj. koná-li výsledná síla Fv kladnou práci, rychlost v se zvětšuje a Ek roste. Ke vzrůstu Ek je tedy třeba vykonat kladnou práci; 4. Jesliže na hmotný bod působí jen síly způsobené stykem s jinými tělesy, pak síly, kterými působí hmotný bod na své okolí, vykonají při pohybu hmotného bodu z P1 do P2 práci W = -W = Ek,1 - Ek,2. 5. Vztahy (2.68), (2.69), (2.70) i ostatní úvahy a informace platí i pro těleso konečných rozměrů, které koná translační pohyb. KP 2.5-5{pr1.2-12} Malé těleso (hmotný bod) o hmotnosti m = 0,2 kg bylo vrženo v bodě P1 na povrchu Země rychlostí o velikosti v1 = 20 m/s šikmo vzhůru. V bodě P2 ve výšce h2 = 12 m mělo rychlost o velikosti v2 = 10 m/s. Určete: 1. Práci Wv výslednice sil působících na hmotný bod na úseku P1P2; 2. Práci tíhové síly na úseku P1P2; 3. Rozhodněte, zda na hmotný bod působila při pohybu kromě síly G ještě další síla. Jestliže ano, uveďte která a určete práci, kterou vykonala. Řešení: 1. Wv =? Wv = Ek,2 - Ek,1 = 1 2 mv2 2 - 1 2 mv2 1 = . . . = -30 J; 2. WG =? Viz rovnice (2.67). WG = mgh1 - mgh2 = 0 - mgh2 = . . . = -24 J; 3. Další síla? Wv = WG, působila ještě další síla, a to síla odporu vzduchu Fo. Pro práci Wo, kterou vykonala, platí Wv = WG + Wo Wo = Wv - WG = 30 J - 24 J = -6 J. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 81 2.6. GRAVITAČNÍ POLE Řešte příklady KP 1.4-1 až KP 1.4-16 v textu Vybrané kapitoly z fyziky; KP 2.4-9 až KP 2.4-14. 2.5.5 Výkon Výkon P je veličina, která charakterizuje rychlost, se kterou koná práci nějaká síla F (neboli rychlost, se kterou koná práci nějaké zařízení, např. stroj, které na své okolí působí silou F) v uvažované vztažné soustavě. ~F `vá P =~F* `v = F cos á * v Obr. 2.51: Výkon síly F při pohybu působiště rychlostí v.{obr1.2-50} 1. Definice výkonu Nechť síla F koná práci během určitého časového intervalu. Práce, kterou vykoná od začátku děje, je funkcí času, W(t). a) Střední výkon Pstř(t) síly F v časovém intervalu t1, t2 je definován vztahem Pstř(t) = W(t2) - W(t1) t2 - t1 . b) Výkon síly F v čase t1 je definován vztahem P(t1) = lim t0 Pstř(t) = lim t2t1 W(t2) - W(t1) t2 - t1 = dW(t1) dt . 2. Vyjádření výkonu pomocí rychlosti působiště síly Nechť působiště síly F se pohybuje v čase t1 v uvažované vztažné soustavě rychlostí v (obr. 2.51). Pak výkon této síly v čase t1 je podle definice P = lim t0 W t = lim t0 Fr t = F lim t0 r t = Fv, kde r je posunutí působiště síly F v časovém intervalu t1, t1 + t . Tedy P = Fv. Řešte příklad KP 2.4-15. 2.6 Gravitační pole avitacniPole}{1.2.5} Nejprve jsou vyloženy obecné vlastnosti gravitačního pole, poté je zavedena veličina ,,intenzita gravitačního pole a vysloven Newtonův gravitační zákon. V další části je vyšetřeno gravitační pole z energetického hlediska. Je dokázáno, že gravitační pole je konzervativní. Na základě této vlastnosti gravitačního pole je definována potenciální gravitační energie hmotného bodu a potenciál gravitačního pole. V poslední části je podrobněji vyšetřeno gravitační a tíhové pole Země. Cíl: Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 82 2.6. GRAVITAČNÍ POLE I) Umět použít uvedené vztahy a zákony uvedené v rámečcích, vysvětlit pojmy, veličiny a výsledky; II) Vyložit hlavní vlastnosti gravitačních interakcí, definovat a vysvětlit veličinu ,,intenzita gravitačního pole , vyslovit a vyložit Newtonův gravitační zákon; III) Vyložit pojem ,,konzervativní silové pole , definovat potenciální energii hmotného bodu v gravitačním poli a užít ji k výpočtu práce gravitačních sil. Definovat potenciál gravitačního pole; IV) Vysvětlit vlastnosti gravitačního pole ideální a skutečné Země, vyložit souvislost gravitační a tíhové síly, vysvětlit vlastnosti tíhového pole v blízkosti povrchu Země; V) Řešit příklady řešené v tomto textu a příklady typu KP 1.5-2 v textu Vybrané kapitoly z fyziky a KP 2.6-4 až KP 2.6-9. 2.6.1 Newtonův gravitační zákon 2.6.1.1 Gravitační interakce cniInterakce} Výsledky pozorování a pokusů ukazují, že všechny materiální objekty vytvářejí (budí) ve svém okolí i ve svém vnitřku gravitační pole. Toto pole se projevuje zejména tím, že působí na jiné hmotné objekty silami, které se nazývají síly gravitační. Vzájemné působení těles prostřednictvím gravitačních polí se nazývá gravitační interakce. Je to jedno ze čtyř základních působení hmotných objektů (viz odst. 2). Hovoříme-li o hmotných objektech, nemáme na mysli jen objekty látkové, sestávající z atomů a molekul, nýbrž i objekty s nulovou klidovou hmotností, např. fotony, tj. částice elektromagnetického pole, neutrina, atd. Gravitační působení je univerzální. Gravitační pole každého hmotného objektu sahá (teoreticky) do nekonečna a nelze jej odstínit. Jeho mohutnost se však s rostoucí vzdáleností rychle zmenšuje, takže gravitační působení velmi vzdálených objektů je většinou zanedbatelně malé. Gravitační interakce jsou ostatně ze známých interakcí nejslabší. Např. vzájemné gravitační působení objektů o hmotnostech srovnatelných s hmotností lidského těla je velmi slabé a lze je zjistit jen citlivými přístroji. Gravitační interakce se neuplatňují ani ve světě atomů a atomových jader. Přesto však jsou gravitační síly v denním životě nejběžnější, neboť žijeme na Zemi, tj. na tělese s obrovskou hmotností. Ve světě planet, galaxií a v celém vesmíru mají gravitační interakce dominující postavení: udržují pohromadě planetární systémy i celé galaxie a ovlivňují významným způsobem vývoj všech vesmírných objektů i vesmíru jako celku. K poznání základních zákonitostí gravitačního pole přispěl rozhodujícím způsobem I. Newton (1642­1727), který na základě tehdejších poznatků o pohybu planet odvodil základní zákon gravitačního působení (rovnice (2.76)). V tomto století to byl zejména A. Einstein (1879-1955), který položil základy obecné teorie relativity, jejíž podstatnou částí je teorie gravitačního pole. Řada otázek gravitačních interakcí ještě není vyjasněna. 2.6.1.2 Intenzita gravitačního pole, Kg Přesná měření ukázala, že gravitační síly působící v určitém bodě P gravitačního pole na různá malá tělesa o stejných hmotnostech, zhotovená však z různých látek (dřevo, ocel atd.), jsou stejné. Dále, že tyto síly jsou úměrné hmotnostem těles, tj. že platí Fg m, (2.71){1.2-69} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 83 2.6. GRAVITAČNÍ POLE kde Fg je gravitační síla a m je veličina, která vystupuje v druhém pohybovém zákoně Fv = ma, tj. hmotnost tělesa. Vztah (2.71) vyjadřuje přírodní zákon a není samozřejmý: mohlo by se totiž stát, že gravitační síly působící na 1 kg oceli a na 1 kg vody by byly různé. Pak by bylo nutno zavést tzv. gravitační hmotnost, která by byla pro zmíněná tělesa různá. Na základě poněkud složitějších úvah, které zde nebudeme uvádět, se vyslovuje uvedený zákon výrokem ,,gravitační hmotnost je úměrná setrvačné hmotnosti . Poznamenejme ještě, že síla Fg nezávisí na pohybu hmotného bodu. Z uvedeného vztahu (2.71) plyne, že vektorová veličina Fg/m nebude již záviset na hmotnosti uvažovaného hmotného bodu. Závisí ovšem na mohutnosti gravitačního pole v bodě P a tedy toto pole po stránce silových účinků v bodě P charakterizuje. To vede k tomu, že definujeme v obecném bodě P gravitačního pole vektorovou veličinu Kg, zvanou intenzita gravitačního pole vztahem Kg = Fg m , intenzita gravitačního pole (2.72){1.2-70} {ram-41} kde Fg je gravitační síla působící v bodě P na libovolný hmotný bod o hmotnosti m. Informace: 1. Kg je vektorová veličina, která má stejný směr jako Fg. Jednotka: [Kg] = m/s2 ; 2. Jestliže je vztažná soustava, v níž gravitační působení zkoumáme, inerciální a jestliže na hmotný bod působí jen síla gravitační, má hmotný bod v bodě P zrychlení ag = Fg/m. Srovnáním se vztahem (2.72), dostaneme Kg = ag. Gravitační pole, v jehož všech bodech je Kg stejné, se nazývá homogenní, jinak je nehomogenní. Jestliže se Kg s časem nemění, nazývá se pole stacionární. Na základě dosavadních poznatků soudíme, že změny gravitačního pole se jím šíří rychlostí c, podobně jako změny pole elektromagnetického a že gravitační interakce jsou zprostředkovány ,,polními částicemi, které nazýváme gravitony. Gravitační pole znázorňujeme někdy přehledně graficky gravitačními siločárami. Jsou to orientované křivky, jejichž orientovaná tečna v libovolném bodě siločáry má směr příslušného vektoru Kg. Na obr. 2.52 a obr. 2.53 jsou zakresleny plnými čarami siločáry gravitačního pole Země a soustavy Země-Měsíc. Obr. 2.52: Siločáry gravitačního pole Země (orientované přímky směřující do jejího středu).{obr1.2-51} Superpozice gravitačních polí Z experimentů plyne, že dva hmotné objekty Z1, Z2 budí gravitační pole, jehož intenzita Kg v obecném bodě P je dána vztahem Kg = Kg,1 + Kg,2, zákon superpozice (2.73){1.2-71} {ram-42} kde Kg,1, Kg,2 jsou intenzity gravitačních polí, které by budily zdroje Z1, Z2 samostatně (obr. 2.54). Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 84 2.6. GRAVITAČNÍ POLE Zem MsícA v bod A je ~K = 0g ~ Obr. 2.53: Siločáry gravitačního pole soustavy Země - Měsíc (orientované křivky).{obr1.2-52} To značí: Zdroje se v buzení gravitačních polí neovlivňují a jejich pole se překládají (superponují). Analogický výsledek platí pro libovolný počet zdrojů. Nazývá se zákon superpozice gravitačních polí. Z1 P ~Kg,1 ~Kg ~Kg,2 Z2 Obr. 2.54: Zákon superpozice gravitačních polí.{obr1.2-53} 2.6.1.3 Newtonův gravitační zákon. Základní zákon gravitační interakce zní: Hmotný bod H1 o hmotnosti m1 (obr. 2.55) budí gravitační pole, které působí na hmotný bod H2 o hmotnosti m2 ve vzdálenosti r silou Fg o velikosti Fg = m1m2 r2 , Newtonův gravitační zákon (2.74){1.2-72a} {ram-43} která leží ve spojnici H1H2 a je orientována směrem k H1. Pole buzené hmotným bodem H2 působí na H1 silou F g, pro niž platí F g = -Fg. Newtonův gravitační zákon (2.75){1.2-72b} {ram-44} Konstanta se nazývá gravitační konstanta. Její (experimentálně zjištěná) hodnota je = 6,670 10-11 N m2 kg-2 . Vztah pro sílu Fg lze zapsat ve vektorovém tvaru Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 85 2.6. GRAVITAČNÍ POLE r 0`r H1 m1 0|`r | = 1 ~Fg H2 m2'~Fg Obr. 2.55: K Newtonovu gravitačnímu zákonu.{obr1.2-54} Fg = - m1m2 r2 r0 , Newtonův gravitační zákon (2.76){1.2-73} {ram-45} kde r0 = --- H1H2/| --- H1H2|, obr. 2.55. Zákon nazvaný Newtonův gravitační zákon lze vyslovit stručně: Dva hmotné body se přitahují stejně velkými silami o velikosti dané vztahem (2.74). Informace: 1. Platnost gravitačního zákona, který vyvodil Newton rozborem pohybu planet kolem Slunce, byla ověřena astronomickými měřeními, studiem pohybů družic i experimenty v laboratořích. Naopak ze vztahů (2.74), (2.75) lze s užitím pohybových rovnic určit teoreticky trajektorie planet i zákonitosti jejich pohybu, z nichž některé vyvodil J. Kepler na základě astronomických pozorování ještě před Newtonem (tři Keplerovy zákony). Největším úspěchem a potvrzením Newtonova gravitačního zákona bylo předpovědní existence, teoretické určení polohy a objevení osmé planety Slunce, planety Neptuna. Výpočty provedl r. 1840 U. Leverrier na základě studia malých odchylek dráhy planety Uranu od eliptické trajektorie, po níž by se Uran pohyboval jen účinkem gravitačního působení Slunce. 2. Zákon vyjádřený vztahy (2.74), (2.75) platí tehdy, jsou-li hmotné body v klidu nebo když se pohybují rychlostmi mnohem menšími než je rychlost světla. Při velmi rychlých (relativistických) pohybech se uplatňují jevy zpoždění způsobené konečnou rychlostí šíření změn gravitačního pole. 3. Gravitační síly, jimiž na sebe působí dvě tělesa T1, T2 obecného tvaru a které tudíž nelze dále považovat za hmotné body (tj. tělesa, jejichž lineární rozměry nejsou zanedbatelně malé vzhledem k jejich vzdálenosti), nelze určit prostým užitím vztahů (2.76), (2.75). Vždyť pro taková tělesa -- např. pro dva vedle sebe stojící domy -- není veličina r ve vztahu (2.76) vůbec definována. Gravitační síly Fg působící na T1 lze určit např. takto: Obě tělesa T1, T2 si představíme rozdělena na tak malé elementy, že je lze považovat za hmotné body. S užitím vztahů (2.76), (2.75) určíme gravitační síly, jimiž na sebe navzájem působí libovolné dva z těchto elementů. Poté sečteme (vektorově) všechny síly, které působí na všechny elementy tělesa T1. Tím získáme hledanou gravitační sílu Fg. Tento postup je v obecném případě matematicky velmi náročný. Lze však dokázat -- a to buď s užitím uvedeného postupu nebo podstatně snadněji s užitím postupu, jímž se dokazuje tzv. Gaussův zákon elektrostatiky (viz [9], 1.2), tento důležitý výsledek: Dvě koule o hmotnostech m1, m2, v nichž je hmotnost rozložena s kulovou symetrií (obr. 2.56), např. tedy i dvě homogenní koule, jejichž středy jsou od sebe vzdáleny o r, působí na sebe gravitačními silami danými vztahy (2.74), (2.75). Tento výsledek je důležitý zejména pro gravitační pole Země. 4. Intenzita gravitačního pole hmotného bodu a koule se souměrně rozloženou hmotností. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 86 2.6. GRAVITAČNÍ POLE r '~Fg m2 ~Fg m1 Obr. 2.56: Dvě homogenní koule, jejichž středy jsou od sebe vzdáleny o r, působí na sebe gravitačními silami danými vztahy (2.74) a (2.75).{obr1.2-55} Označíme-li hmotnost M, plyne ze vztahů (2.72) a (2.76), že intenzita Kg ve vzdálenosti r od hmotného bodu nebo ve vzdálenosti r od středu koule v jejím vnějšku (tj. pro r > R, obr. 2.57) je dána vztahem Kg = - M r2 r0 . (2.77){1.2-74} Pro velikost Kg dostáváme Kg = M/r2. V obr. 2.57 je zakreslen křivkami k1, k2 průběh veličiny Kg pro homogenní kouli. Vně koule je to křivka k1. Lze dokázat, že uvnitř koule je to část přímky (k2). rR M k1 ~Kg ~Kg ~Kg k2 ~Kg Obr. 2.57: Závislost velikosti vektoru intenzity gravitačního pole Kg na velikosti vzdálenosti r od středu koule se symetricky rozloženou hmotou.{obr1.2-56} 5. Silové pole, v němž působí na malé (bodové) těleso síly, které míří do jednoho bodu C, se nazývá centrální silové pole. Bod C se nazývá centrum. Gravitační pole homogenní koule je tedy centrální. KP 2.6-1{pr1.2-13a} Určete hmotnost Země za předpokladu, že je to nerotující homogenní koule (ideální Země) o poloměru RZ = 6,37 106 m a že gravitační zrychlení na jejím povrchu je ag = 9,8 m/s2 ( . = g). Řešení: Ze vztahů ag = Kg a (2.77) plyne ag = MZ/R2 Z MZ = agR2 Z/ = 9,80 (6,37 106 )2 /6,67 10-11 kg = 5,96 1024 kg. Pozn.: tabulková hodnota MZ = 5,974 1024 kg. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 87 2.6. GRAVITAČNÍ POLE 2.6.2 Gravitační energie V této části budeme uvažovat o gravitačních polích buzených tělesy, která jsou v klidu v některé inerciální vztažné soustavě S, nebo která se vzhledem k ní pohybují pomalu. Taková gravitační pole se nazývají statická nebo kvazistatická. 2.6.2.1 Práce sil gravitačního pole Pohybuje-li se hmotný bod v gravitačním poli vzhledem ke vztažné soustavě, v níž jsou zdroje gravitačního pole v klidu (např. družice v poli Země), konají gravitační síly práci. Jednou z nejdůležitějších vlastností gravitačního pole (kterou dokážeme) je, že velikost této práce je při přemístění hmotného bodu z nějakého bodu P1 do libovolného bodu P2 závislá pouze na poloze bodů P1, P2, nikoliv však na tvaru trajektorie. V obr. 2.58 jsou tedy práce gravitačních sil na trajektoriích t1 a t2 stejné. S t1 P2 m t2 P1 Obr. 2.58: Hodnota práce gravitačních sil při přemístění hmotného bodu o hmotnosti m z bodu P1 do bodu P2 nezáleží na tvaru trajektorie oba body spojující.{obr1.2-57} A B C %`r %r ~Fg r t á m m0 á `r2 r P2 `r1 P1 S Obr. 2.59: K vyjádření práce gravitační síly (která je buzena hmotným bodem m0 a působí na hmotný bod m), která byla vykonána při přemístění hmotného bodu m z bodu P1 do bodu P2. {obr1.2-58} Důkaz: a) V gravitačním poli buzeném hmotným bodem m0 (jenž je v S v klidu, viz obr. 2.59) nechť se přemístí hmotný bod m po trajektorii t z bodu P1 do P2. Gravitační síla Fg, která na něj působí, vykoná práci W12 = t dW, kde dW = Fg dr = -Fg|dr| cos = - m0m r2 dr , protože |dr| cos = dr Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 88 2.6. GRAVITAČNÍ POLE (viz trojúhelník ABC). Tedy W12 = r2 r1 - m0m r2 dr = m0m r2 - m0m r1 . práce sil grav. pole (2.78){1.2-75} {ram-46} Důležitý výsledek: W12 nezávisí na tvaru trajektorie. Vztah (2.78) platí i v případě, že je gravitační pole buzeno homogenní koulí o hmotnosti m0. Přitom r je vzdálenost hmotného bodu od středu koule. b) Obecné gravitační pole lze interpretovat jako pole vzniklé superpozicí gravitačních polí hmotných bodů, na něž lze zdroj obecného pole rozložit. Síla, kterou působí na hmotný bod výsledné pole, je rovna součtu sil od těchto elementárních polí. Dále: práce výslednice sil je rovna součtu prací jednotlivých sil. Avšak práce těchto jednotlivých sil podle (2.78) nezávisí na tvaru trajektorie. Tedy ani výsledná práce nezávisí na tvaru trajektorie. Výsledek: Práce W12, kterou vykonají gravitační síly působící na hmotný bod při jeho přemístění z bodu P1 do P2, nezávisí na tvaru trajektorie C, tj. integrál W12 = P2 P1,C Fg dr = m P2 P1,C Kg dr (2.79){1.2-76} nezávisí na tvaru křivky C. Přemístí-li se hmotný bod po uzavřené křivce C, tj. vrátí-li se do výchozího bodu P1, určíme práci gravitačních sil takto: Volíme na C další bod P2, tím rozdělíme C na dvě části C , C : C . . . P1P2, C . . . P2P1. Práce W, vykonaná gravitačními silami na celé křivce C, je dána vztahem W = W12,C +W21,C = W12,C -W12,C = 0. Tedy W = C Fg dr = m C Kg dr = 0. konzervativnost grav. pole (2.80){1.2-77} {ram-47} Silové pole, které má tu vlastnost, že práce sil, jimiž působí na pohybující se hmotný bod, závisí jen na počáteční a výsledné poloze hmotného bodu v poli (nikoliv však na tvaru trajektorie), se nazývá konzervativní silové pole. Nutná a postačující podmínka pro to, aby silové pole F(x, y, z) bylo konzervativní, zřejmě je C F dr = 0, podmínka konzervativnosti silového pole (2.81){1.2-78} {ram-48} kde C je libovolná uzavřená křivka. Obecné gravitační pole je tedy (vzhledem k platnosti rovnice (2.80)) konzervativní. 2.6.2.2 Gravitační energie hmotného bodu Na základě výsledku předešlého odstavce můžeme vyslovit definici gravitační potenciální energie Eg: Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 89 2.6. GRAVITAČNÍ POLE Gravitační potenciální energie hmotného bodu (krátce: gravitační energie hmotného bodu) v obecném bodě P obecného gravitačního pole (buzeného hmotnými objekty ležícími v konečné vzdálenosti od bodu P), je definována takto: 1. V referenčním bodě P0 (v nekonečnu) je podle definice Eg() = 0; (2.82){1.2-79} 2. V obecném bodě P je Eg(P) = -WP0P = WPP0 = WP(= m P Kg dr ), kde WP je práce, kterou vykonají gravitační síly působící na hmotný bod při jeho přemístění z bodu P do po libovolné křivce (obr. 2.60) a kde Kg je intenzita gravitačního pole. E = Wg PÍÉP P0 m WPÍÉ S T1 T2 Obr. 2.60: Práce gravitačních sil působících na hmotný bod m při přemístění tohoto hmotného bodu z bodu P do P0 , ve kterém je zvolena Eg = 0.{obr1.2-59} Gravitační energie hmotného bodu o hmotnosti m v gravitačním poli jiného hmotného bodu o hmotnosti m0 nebo homogenní koule v jejím vnějšku. V bodě P (obr. 2.61) má hmotný bod gravitační energii danou vztahem (2.82). Přitom WP je dáno vztahem (2.78), kde r1 = r a r2 . Tedy Eg(P) = WP = - m0m r . grav. energie dvojice hmotných bodů (2.83){1.2-80} {ram-49} Všimněme si: Eg je záporná, s rostoucím r roste, pro P je Eg 0. Energii Eg danou vztahem (2.83) lze interpretovat i jako gravitační energii soustavy ,,koule + hmotný bod . Výsledek platí i pro dvě koule nebo dva hmotné body. KP 2.6-2{pr1.2-13b} Určete: 1. Sílu, kterou přitahuje Země Měsíc; 2. Intenzitu gravitačního pole Země v oblasti Měsíce; 3. Zrychlení Měsíce v geocetrické soustavě; 4. Gravitační energii soustavy ,,Země + Měsíc . Řešení: Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 90 2.6. GRAVITAČNÍ POLE R P m0 P ÍÉ2 m E = -g m m0 r r S 0 ; r >R r E (r)g R Obr. 2.61: Gravitační energie Eg soustavy ,,koule o hmotnosti m0 + hmotný bod m v bodě P (nacházející se mimo kouli).{obr1.2-60} 1. Fg =? Je orientována do středu Země. Má velikost Fg = MZMM r2 ZM . Dosadíme hodnoty z tabulek na straně 401. Fg = 1,99 1020 N; 2. Kg =? Kg Fg, Kg = MZ r2 ZM = . . . = 2,70 10-3 m/s2 ; 3. a =? a = Kg; 4. Eg =? Eg = -MZMM rZM = . . . = -7,62 1028 J. 2.6.2.3 Potenciál gravitačního pole Gravitační pole lze charakterizovat nejen intenzitou gravitačního pole Kg, nýbrž i skalární veličinou g nazvanou potenciál gravitačního pole. Při její definici vycházíme z toho, že podle (2.82) je gravitační energie Eg hmotného bodu v libovolném bodě P gravitačního pole úměrná jeho hmotnosti m. Skalární veličina Eg/m tedy na m nezávisí. Potenciál gravitačního pole g v jeho obecném bodě P definujeme vztahem g = Eg m , potenciál gravitačního pole (2.84){1.2-81} {ram-50} kde Eg je gravitační energie hmotného bodu o (libovolné) hmotnosti m v bodě P. Informace: 1. Jednotky: [g] = J kg-1 ; 2. Fyzikální význam: Volíme-li m = 1 kg, je {g} = {Wg}, tj. číselně . . .; 3. Z předešlých úvah vyplývá, že pro g platí zákon superpozice: Potenciál g pole buzeného zdroji Z1, Z2, . . . je dán vztahem g = g,1 + g,2 + . . ., kde g,1, g,2, . . . jsou potenciály gravitačních polí, které by budily jednotlivé zdroje Z1, Z2, . . ., kdyby existovaly samo- statně; 4. Potenciál gravitačního pole hmotného bodu. Podle (2.84) a (2.83) je potenciál g v bodě P gravitačního pole buzeného (hmotným bodem o hmotnosti m0) dán vztahem g = Eg m = 1 m - mm0 r = - m0 r . (2.85){1.2-82} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 91 2.6. GRAVITAČNÍ POLE Zde m je hmotnost jiného hmotného bodu, vloženého do bodu P a Eg jeho gravitační energie v poli, vytvořeném hmotným bodem m0. Vztah (2.92) platí i pro gravitační pole buzené homogenní koulí (např. ideální Zemí) v jejím vnějšku. 5. Hladina stejného potenciálu (též ekvipotenciála) gravitačního pole je plocha, na níž má potenciál g všude stejnou hodnotu. V gravitačním poli buzeném hmotným bodem, v němž je g dáno vztahem (2.85), jsou hladiny potenciálu soustředné kulové plochy (r = konst.). Hladiny potenciálu jsou všude kolmé na gravitační siločáry (viz obr. 2.52, 2.53). 6. Ze zákona superpozice gravitačních polí plyne, že gravitační energie hmotného bodu v gravitačním poli buzeném několika zdroji (např. Slunce + Země + Měsíc + . . .) je dána vztahem Eg = Eg,1 + Eg,2 + . . . + Eg,n, kde Eg,1, Eg,2, . . . jsou gravitační energie, které by hmotný bod měl v jednotlivých gravitačních polích. Práci gravitačních sil působících v obecném gravitačním poli na hmotný bod při jeho přemístění z bodu P1 do P2 lze vyjádřit takto (obr. 2.62) W12 = W1 - W2 = Eg,1 - Eg,2. (2.86){1.2-83} Užili jsme definičního vztahu (2.82). Pomocí potenciálu -- rovnice (2.84) -- lze práci vyjádřit takto W12 = Eg,1 - Eg,2 = m(g,1 - g,2). (2.87){1.2-84} m Eg,1 çg,2 É P1çg,1 P2 Eg,2 Obr. 2.62: K odvození práce gravitačních sil působících v obecném gravitačním poli na hmotný bod o hmotnosti m při jeho přemístění z bodu P1 do bodu P2 vyjádřená pomocí potenciálních energií Eg,1, Eg,2 a potenciálů g,1, g,2 určených v bodech P1, resp. P2.{obr1.2-61} KP 2.6-3{pr1.2-14} Družice o hmotnosti m = 4 000 kg, která se původně pohybovala ve výšce h = 4 000 km, přistála na Zemi. Určete: 1. Gravitační energii družice a) ve výšce h, b) na Zemi; 2. Práci, kterou vykonala gravitační síla při sestupu družice. Řešení: 1. a) Eg,1 =? Eg,1 = - mMZ RZ+h = . . . = -1,54 1011 J, Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 92 2.6. GRAVITAČNÍ POLE b) Eg,2 =? Eg,2 = -mMZ RZ = . . . = -2,50 1011 J; 2. W =? W = Eg,1 - Eg,2 = 9,6 1010 J. 2.6.3 Gravitační pole Země 2.6.3.1 Ideální Země představuje nerotující kulově souměrné těleso o poloměru RZ = 6,37 106 m. Gravitační síla Fg působící na hmotný bod m na povrchu Země je centrální a má velikost Fg = MZm R2 Z . Gravitační zrychlení ag míří rovněž do středu Země a má velikost ag = Fg m = MZ R2 Z = . . . . = 9,80 m/s2 ( . = g). (2.88){1.2-85} Gravitační energie hmotného bodu ve vzdálenosti r(> RZ) od středu Země je dána vztahem Eg = - mMZ r . (2.89){1.2-86} 2.6.3.2 Skutečná Země má tvar baňaté hrušky s vystouplým severním pólem. Gravitační síly Fg působící na hmotný bod i gravitační zrychlení jsou v různých místech povrchu Země (vzhledem ke zmiňovanému nerovnoměrnému rozložení hmoty) různě velké a nejsou přesně centrální. Označíme-li aP gravitační zrychlení na pólu a aR gravitační zrychlení na rovníku, platí aP - aR = 0,018 m/s2 . Tyto výsledky byly získány v poslední době na základě zkoumání pohybu družic Země. Vzhledem k tomu, že Země v geocentrické vztažné soustavě rotuje, je neinerciální vztažnou soustavou a na tělesa na jejím povrchu působí i setrvačné síly. Ježto rotace Země je (téměř) rovnoměrná, působí na klidný hmotný bod na jejím povrchu ze sil setrvačných jen setrvačná síla odstředivá3 F o o velikosti F o = mv2/r. Na rovníku je r = RZ, v = 465 m/s. Součet sil Fg a F o se nazývá tíhová síla nebo tíže nebo tíha. Značí se G (obr. 2.63): G = Fg + F o . (2.90){1.2-87} Má největší velikost na pólech (G = Fg), nejmenší na rovníku (G = Fg - F o ). Rozdíl velikostí tíhového zrychlení g definovaného vztahem g = G m na severním pólu a na rovníku je gP - gR = (9,832 1 - 9,779 9) m/s2 = 0,052 2 m/s2 . Fyzikální pole, které se projevuje tíhovými silami, se nazývá tíhové pole. 3 Lze ji rovněž vyjádřit vztahem F o = -m × ( × R), kde R je polohový vektor hmotného bodu v soustavě spojené se středem Země. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 93 2.6. GRAVITAČNÍ POLE Zem m mm Sever ~G ~G = ~Fg ~Fg ~G ` *~Fo *~G = ~F + ~Fg o *|~F | ß |~F |o g *~Fo~Fg Jih r RZ Obr. 2.63: Tíhová síla G je dána vektorovým součtem gravitační síly Fg a odstředivé setrvačné síly F o .{obr1.2-62} Ke vztahu (2.90) poznamenejme, že síla G je součet gravitační síly Fg tj. síly skutečné a setrvačné síly F o (která se někdy považuje za neskutečnou, zdánlivou). Sčítání sil různého typu je oprávněné proto, že z hlediska účinků není mezi silami skutečnými a setrvačnými rozdíl. Nadto je velmi pravděpodobné, že síly setrvačné jsou způsobeny gravitačním působením veškerých hmot vesmíru, takže mezi oběma typy sil není pravděpodobně podstatný rozdíl ani z hlediska jeho vzniku. 2.6.3.3 Tíhové pole u povrchu Země v nepříliš velké oblasti je homogenní. Tíhová síla{TihovaSila} G = mg (2.91){1.2-88} působící na hmotný bod má v této oblasti všude stejný směr a velikost. Je dána vztahem (2.90) -- viz obr. 2.64a. Vektor G má podle definice svislý směr. Přibližně platí G . = Fg. (2.92){1.2-89} Z předešlých úvah o obecném gravitačním poli i z výsledku příkladu 1.2-10 plyne, že tíhové pole je konzervativní, tj. že platí C G dr = 0, (2.93){1.2-90} kde C je libovolná uzavřená křivka. Přemístí-li se hmotný bod z bodu P1 ve výšce h1 (obr. 2.64b) do bodu P2 ve výšce h2, vykoná tíhová síla G práci (viz příklad KP 2.5-3) WG,12 = G(h1 - h2) = mgh1 - mgh2(= EG,1 - EG,2 = -EG) (2.94){1.2-91} nezávislou na tvaru trajektorie, na rychlosti pohybu a na tom, zda na hmotný bod současně působí i jiné síly. Je-li h1 > h2 (obr. 2.64b), je WG > 0. Je-li h1 < h2, je WG < 0 (obr. 2.64c). Na základě vztahu (2.94) definujeme potenciální energii hmotného bodu v homogenním tíhovém poli (krátce: tíhovou energii), označenou EG, takto: 1. Volíme libovolnou vodorovnou rovinu rovnoběžnou s povrchem Země a pro každý její bod P položíme EG(P) = 0 J. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 94 2.6. GRAVITAČNÍ POLE a) b) c) d) h E = 0G ´O ~G W >0G W <0G P1 h1 ~G ~G m *~Fo ~Fg smr zemské osy h2 h1 h2 P2 P1 P2 vodorovná hladina Obr. 2.64: Aproximace síly Fg tíhovou silou G u povrchu Země (a). Práce tíhové síly, působící na hmotný bod po libovolné trajektorii (b), (c). Hladina nulové potenciální tíhové energie je rovinou, v jejímž každém bodě P položíme EG(P) = 0, je rovnoběžná se zemským povrchem.{obr1.2-63} Pozn.: rovina se nazývá hladina nulové tíhové energie (obr. 2.64d). 2. Zavedeme svislou osu Oh s počátkem v rovině , orientovanou nahoru. Tíhová potenciální energie v bodě P o souřadnici h je podle definice EG(P) = mgh. (2.95){1.2-92} Informace: 1. Jednotka [EG] = joule. Pro h > 0 je EG > 0, pro h < 0 je EG < 0. 2. Z definičního vztahu (2.95) a ze vztahu (2.94) plyne, že platí (obr. 2.64) WG,P1P2 = EG(P1) - EG(P2) = -EG. práce tíhové síly (2.96){1.2-93} {ram-51} Tento vztah je zvláštním případem obecného vztahu (2.86). 3. Lze dokázat (viz odst. 2.9), že tíhová potenciální energie obecného tělesa, jež nelze pokládat za hmotný bod, je rovněž dána vztahem (2.95), přičemž h je souřadnice jeho těžiště. 4. Za hladinu nulové tíhové potenciální energie se volí nejčastěji povrch Země. Poznámka: Souvislost mezi vztahy (2.89) a (2.95). Potenciální energie hmotného bodu v gravitačním poli buzeném tělesy rozloženými v ohraničené oblasti vesmíru (např. tělesy sluneční soustavy) byla definována vztahy (2.82) tak, že jsme volili hodnotu potenciální energie hmotného bodu v nekonečně vzdáleném bodě P0 rovnu nule, tj. Eg(P0 ) = 0. Tato volba byla účelná, ale libovolná. Volme nyní bod P0, v němž pro hmotný bod platí Eg(P0) = 0, na povrchu ideální Země. Pak v obecném bodě P ve vzdálenosti r R2 bude mít hmotný bod gravitační potenciální energii Eg(P) = - mMZ r + C. (2.97){1.2-94} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 95 2.7. MECHANICKÁ ENERGIE HMOTNÉHO BODU, POHYB HMOTNÉHO BODU V GRAVITAČNÍM POLI Konstantu C určíme z podmínky, že pro r = RZ má být Eg(P) = Eg(P0) = 0. Dosazením do (2.97) dostaneme C = mMZ/RZ. Ve výšce h( RZ) nad povrchem Země má pak hmotný bod gravitační potenciální energii přibližně rovnou tíhové potenciální energii: Eg = - mMZ (RZ + h) + mMZ RZ = -mMZ(RZ + h)-1 + mMZ RZ = MZ R2 Z mh = mgh. Při úpravě jsme užili binomického rozvoje (RZ + h)-1 = R-1 Z (1 + h/RZ)-1 . = R-1 Z (1 - h/RZ) a vztahu (2.88). Hlavní výsledek: rovnice (2.95) je přibližný vztah plynoucí z obecného vztahu (2.97). Řešte příklady KP 1.5-2 v v textu Vybrané kapitoly z fyziky; KP 2.6-4 až KP 2.6-9. 2.7 Mechanická energie hmotného bodu, pohyb hmotného bodu v gravitačním poli nickaEnergie}{1.2.6} Nejprve zde bude definována mechanická energie hmotného bodu v tíhovém a gravitačním poli, poté odvozen základní vztah mezi změnou mechanické energie hmotného bodu a prací sil, které na něj působí -- rovnice (2.102). Zvláštním případem tohoto vztahu je zákon zachování mechanické energie, rovnice (2.107). V další části jsou nejprve odvozeny zákonitosti ideálního šikmého vrhu. Poté je odvozena energetická podmínka pro setrvání hmotného bodu v gravitačním poli nebo jeho úniku do nekonečna. V dalším je diskutován tvar trajektorií při pohybu hmotného bodu v centrálním gravitačním poli a vysloveny zákonitosti tohoto pohybu (zobecnění Keplerových zákonů). V závěru jsou vyšetřeny tzv. kosmické rychlosti. Cíl: I) Vztahy a zákony uvedené v rámečcích, vysvětlit pojmy, veličiny a výsledky v tomto textu; II) Definovat mechanickou energii hmotného bodu v gravitačním a tíhovém poli, vysvětlit souvislost jejích změn s prací působících sil; III) Vyslovit a vyložit zákon zachování mechanické energie hmotného bodu v gravitačním a tíhovém poli; IV) Odvodit a vysvětlit zákonitosti ideálního šikmého vrhu; V) Odvodit a vysvětlit podmínku setrvání hmotného bodu v gravitačním poli resp. jeho úniku, vysvětlit zákonitosti pohybu hmotného bodu v centrálním gravitačním poli -- tvar trajektorií, zobecnění Keplerových zákonů; VI) Vysvětlit pojem kosmických rychlostí, odvodit vztahy pro velikost první a druhé kosmické rychlosti, znát jejich velikosti; VII) Řešit samostatně příklady uvedené v tomto textu a příklady typu KP 1.4-8 až KP 1.4-18, KP 1.4-10 až KP 1.4-11, KP 1.5-1, KP 1.5-3 v textu Vybrané kapitoly z fyziky; KP 2.6-10 až KP 2.6-20. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 96 2.7. MECHANICKÁ ENERGIE HMOTNÉHO BODU, POHYB HMOTNÉHO BODU V GRAVITAČNÍM POLI 2.7.1 Mechanická energie hmotného bodu v tíhovém a gravitačním poli 2.7.1.1 Definice mechanické energie Hmotný bod o hmotnosti m, který se pohybuje v tíhovém poli Země (např. kámen vržený na povrchu Země), má ve vztažné soustavě dané povrchem Země (tj. v laboratorní vztažné soustavě) kinetickou energii Ek = 1 2 mv2 a potenciální tíhovou energii Ep = EG = mgh (obr. 2.65a). a) h `v m 2 E = mv + mghm 1 2 b) c) S r1Z M `v m r2 M Z RZ `v r m Obr. 2.65: Mechanická energie Em hmotného bodu v tíhovém poli Země (a), v gravitačním poli soustavy ,,Země + Měsíc (b), v gravitačním poli ideální Země (c).{obr1.2-64} Hmotný bod, který se pohybuje v obecném gravitačním poli (např. kosmická sonda), má v geocentrické (nebo heliocentrické) vztažné soustavě (obr. 2.65b) kinetickou energii Ek = 1 2 mv2 a potenciální gravitační energii Ep = Eg. V obou případech definujeme mechanickou energii hmotného bodu v uvažované vztažné soustavě vztahem Em = Ek + Ep. definice mechanické energie hmotného bodu (2.98){1.2-95} {ram-52} Tento obecný definiční vztah nabývá v konkrétních případech tento tvar: 1. hmotný bod v homogenním tíhovém poli Země, v laboratorní soustavě, obr. 2.65a: Em = 1 2 mv2 + mgh. (2.99){1.2-96} 2. hmotný bod v obecném gravitačním poli, v geocentrické (nebo heliocentrické) soustavě, obr. 2.65b: Em = 1 2 mv2 + Eg. (2.100){1.2-97} Konkrétní tvar funkce udávající Eg závisí na uvažovaném gravitačním poli -- viz příklad KP 2.7-2. 3. hmotný bod v gravitačním poli ideální Země, v geocentrické soustavě, obr. 2.65c: Em = 1 2 mv2 - mMZ r . (2.101){1.2-98} Význam symbolů je zřejmý z obr. 2.65c. Analogický vztah platí pro hmotný bod v gravitačním poli Slunce, Měsíce nebo obecně v gravitačním poli hmotného bodu. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 97 ? 2.7. MECHANICKÁ ENERGIE HMOTNÉHO BODU, POHYB HMOTNÉHO BODU V GRAVITAČNÍM POLI KP 2.7-1{pr1.2-15} Určete mechanickou energii kamene o hmotnosti m = 0,2 kg, který se ve výšce h = 15 m pohybuje v tíhovém poli Země rychlostí v = 10 m/s. Řešení: Em = 1 2 mv2 + mgh = . . . = 40 J. KP 2.7-2{pr1.2-16} Určete mechanickou energii kosmické sondy v gravitačním poli soustavy ,,Země + Měsíc , obr. 2.65b. Sonda má hmotnost m = 1 000 kg, její rychlost v geocentrické soustavě je v = 2 km/s, její vzdálenost od Země je r1 = 3,80 105 km a od Měsíce r2 = 1,00 104 km. Gravitační pole Slunce neuvažujte. Řešení: Mechanická energie sondy v geocentrické soustavě je dána vztahem Em = 1 2 mv2 + Eg, kde Eg = - mMZ r1 - mMM r2 . Užili jsme zákona superpozice. Dosazením a užitím tabulkových hodnot dostaneme Em = 4,6 108 J. 2.7.1.2 Práce a mechanické energie Úvahy v této části navazují na obecné úvahy o energii v odst. 2.5.2 a na úvahy o kinetické energii v odst. 2.5.4. Budeme vyšetřovat energetické poměry při pohybu malého tělesa (hmotného bodu) v tíhovém a gravitačním poli v laboratorní a geocentrické vztažné soustavě S. Uvažujme o hmotném bodu, který se pohybuje v homogenním tíhovém poli Země -- obr. 2.66a, (resp. v obecném gravitačním poli -- obr. 2.66b) současným účinkem tíhové síly G (resp. gravitační síly Fg) a dalších sil. Hmotným bodem může být např. raketa, na kterou působí kromě konzervativní síly G (resp. Fg) síla odporu vzduchu Fo a síla motoru Fm. Označme Em,1 a Em,2 mechanickou energii hmotného bodu ve dvou bodech P1, P2, jimiž hmotný bod prochází v uvedeném pořadí. Dokážeme, že platí Em,2 - Em,1 = Wnekonz, souvislost změny mech. energie s prací (2.102){1.2-99} {ram-53} kde Wnekonz je součet prací, které na úseku P1P2 vykonají všechny síly jiné než konzervativní, tj. síly jiné než síla tíhová G (resp. gravitační Fg). V případě rakety na obr. 2.66a je Wnekonz součet prací sil odporu vzduchu Fo a motoru rakety Fm. Důkaz: Součet prací všech sil působících na hmotný bod na úseku P1P2, tj. výsledná práce Wv, je rovna změně kinetické energie hmotného bodu (viz odst. 2.5.4): 1 2 mv2 2 - 1 2 mv2 1 = Wv, kde Wv = Wkonz + Wnekonz. (2.103){1.2-100} Přitom jsme vyjádřili Wv jako součet práce síly konzervativní (tíhové resp. gravitační), Wkonz, a práce všech jiných sil, Wnekonz. Práce Wkonz je rovna rozdílu potenciálních energií, Wkonz = Ep,1 - Ep,2, kde Ep může být např. EG nebo Eg, viz rovnice (2.94), (2.86). Dosadíme-li do rovnice (2.103) a užijeme-li definičního vztahu (2.98), dostaneme po úpravě dokazovaný vztah (2.102). V konkrétních případech nabude obecný vztah (2.102) tento tvar: Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 98 2.7. MECHANICKÁ ENERGIE HMOTNÉHO BODU, POHYB HMOTNÉHO BODU V GRAVITAČNÍM POLI m r1 S Z ~Fg r2 a) b) ~G ~Fm `v2P2 `v1 h1 m Em,2 ~Fo h2 Em,1 P1 P1 P2 Em,2 Em,1 ~Fm `v1 `v2 Obr. 2.66: Pohyb hmotného bodu v tíhovém poli Země (a) a v obecném gravitačním poli (b).{obr1.2-65} 1. hmotný bod v homogenním tíhovém poli Země (obr. 2.66a) 1 2 mv2 2 + mgh2 - 1 2 mv2 1 + mgh1 = Wnekonz; (2.104){1.2-101} 2. hmotný bod v obecném gravitačním poli 1 2 mv2 2 + Eg,2 - 1 2 mv2 1 + Eg,1 = Wnekonz; (2.105){1.2-102} 3. hmotný bod v centrálním gravitačním poli ideální Země (obr. 2.66b) 1 2 mv2 2 - mMZ r2 - 1 2 mv2 - mMZ r1 = Wnekonz. (2.106){1.2-103} KP 2.7-3{pr1.2-17} Kámen (hmotný bod) o hmotnosti m = 0,1 kg byl vržen v bodě P1 na povrchu Země šikmo vzhůru rychlostí v1 o velikosti v1 = 20 m/s. V bodě P2 ve výšce h2 = 14 m měla jeho rychlost velikost v2 = 10 m/s. Pro úsek P1P2 trajektorie určete: 1. Práci výsledné síly působící na hmotný bod; 2. Práci tíhové síly; 3. Práci síly odporu vzduchu. Řešení: 1. Wv =? Wv = 1 2 mv2 2 - 1 2 mv2 1 = . . . = -15 J; 2. WG =? WG = mgh1 - mgh2 = -mgh2 = -14 J; 3. Wo = Wnekonz = Em,2 - Em,1 = 1 2 mv2 2 + mgh2 - 1 2 mv2 1 + mgh1 = 1 2 mv2 2 + mgh2 - 1 2 mv2 1 = . . . = -1 J. [Nebo: Wv = WG + Wo Wo = Wv - WG = . . . = -1 J]. Poznámka: Síla odporu prostředí koná vždy zápornou práci, neboť míří proti směru pohybu. Působí-li na těleso pohybující se v tíhovém poli kromě síly G jen síla odporu prostředí, Em klesá -- viz rovnice (2.102). Tento proces přeměny mechanické energie hmotného bodu v energii neuspořádaného pohybu molekul okolního prostředí i jeho vlastních se nazývá disipace energie. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 99 2.7. MECHANICKÁ ENERGIE HMOTNÉHO BODU, POHYB HMOTNÉHO BODU V GRAVITAČNÍM POLI 2.7.1.3 Zákon zachování mechanické energie hmotného bodu Jestliže se hmotný bod pohybuje v tíhovém poli jen účinkem tíhové síly G (tj. jestliže na něj nepůsobí jiné síly) nebo jestliže se hmotný bod pohybuje v gravitačním poli jen účinkem síly gravitační, je ve vztahu (2.102) Wnekonz = 0. Vyjádříme-li v tomto vztahu Em podle rovnice (2.98), dostaneme (Ek,2 + Ep,2) - (Ek,1 + Ep,1) = 0, tj. Ek,2 + Ep,2 = Ek,1 + Ep,1. Ježto tyto vztahy platí pro libovolnou dvojici bodů P1P2 náležejících trajektorii hmotného bodu, platí během celého pohybu Ek + Ep = konst. zákon zachování mechanické energie (2.107){1.2-104} {ram-54} Tedy: 1 2 mv2 + mgh = konst. v homogenním tíhovém poli (obr. 2.64a) (2.108){1.2-105} {ram-55} 1 2 mv2 + Eg = konst. v obecném gravitačním poli (obr. 2.64b) (2.109){1.2-106} {ram-56} 1 2 mv2 - mM r = konst. v centrálním gravitačním poli (obr. 2.64c) (2.110){1.2-107} {ram-57} Zde jsou v, h, Eg, r proměnné funkce času. Vztah (2.107) nebo vztahy (2.108) ­ (2.110) vyjadřují zákon zachování mechanické energie hmotného bodu v tíhovém a gravitačním poli. Informace: 1. Vztah Em,2 - Em,1 = Wnekonz je jeden z typických vztahů znázorněných schematicky v obr. 2.43. Nalevo je rozdíl hodnot mechanické energie ve stavech 1, 2, napravo je veličina Wnekonz charakterizující určitým způsobem děj, kterým hmotný bod ze stavu 1 do stavu 2 přechází. 2. Vztah (2.107) platí i tehdy, když na hmotný bod působí i jiné síly než gravitační nebo tíhové, jestliže tyto síly nekonají práci (Wnekonz = 0) -- viz příklad 1.2-19. KP 2.7-4{pr1.2-18} Startující meteorologická raketa o hmotnosti m = 1 kg měla v bodě P1 ve výšce h1 = 10 m nad Zemí rychlost v1 = 10 m/s a v bodě P2 ve výšce h2 = 50 m rychlost v2 = 20 m/s. Považujte hmotnost rakety na úseku P1P2 za stálou a řešte úkoly: 1. Určete Ek, EG, Em v bodech P1, P2; 2. Odhadněte práci, kterou na úseku P1P2 vykonala síla odporu vzduchu Fo, jestliže motor rakety vykonal práci Wmot = 340 J (obr. 2.67). Řešení: Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 100 2.7. MECHANICKÁ ENERGIE HMOTNÉHO BODU, POHYB HMOTNÉHO BODU V GRAVITAČNÍM POLI ~Fo h1 ~Fm h2 P2 `v2 P1 Obr. 2.67: Příklad KP 2.7-4.{obr1.2-66} 1. Ek,1 = 1 2 mv2 1 = 1 2 1 102 J = 50 J, EG,1 = mgh1 = . . . = 100J. Ek,2 = 1 2 mv2 2 = . . . = 200 J, EG,2 = mgh2 = . . . = 250 J. Em,1 = Ek,1 + EG,1 = 50 J + 100 J = 150 J, Em,2 = 450 J; 2. Wmot =? Podle (2.102) platí Wnekonz = Em,2 - Em,1. Přitom Wnekonz = Wmot + Wo, kde Wo je práce síly odporu vzduchu. Ježto Wo < 0 (Fo působí proti směru pohybu), musí být Wmot > Wnekonz = Em,2 - Em,1 = 300 J; 3. Wo =? Wnekonz = Wmot + Wo, Wo = Wnekonz - Wmot = 300 J - 340 J = -40 J. KP 2.7-5{pr1.2-19} Těleso (hmotný bod) o hmotnosti m = 0,5 kg, zavěšené na vlákně délky l = 80 cm (obr. 2.68), bylo vychýleno z rovnovážné polohy (úhel = 60) a puštěno s nulovou počáteční rychlostí. Zanedbejte odpor vzduchu a určete: 1. Kinetickou energii hmotného bodu při průchodu rovnovážnou polohou; 2. Sílu F1, kterou působí vlákno na hmotný bod v nejnižším bodě trajektorie. Řešení: Těleso se pohybuje účinkem síly G, která je stálá, a síly F1, kterou na ně působí vlákno a která se při pohybu mění. Označíme počáteční bod P1, nejnižší bod trajektorie P2. 1. Ek =? Vyjdeme ze vztahu (2.102), kde Wnekonz je práce síly F1. Tato síla je trvale kolmá na trajektorii, tedy Wnekonz = 0. Mechanická energie hmotného bodu při pohybu je tedy stálá ­ viz rovnice (2.102): Em = konst. Tedy 1 2 mv2 2 + mgh2 = 1 2 mv2 1 + mgh1, a zároveň v1 = 0 Ek,2 = 1 2 mv2 2 = mg(h1 - h2) = mg(l - l cos ) = mgl(1 - cos ) = . . . = 2 J. 2. F1(P2) =? F1 + G = Fv (obr. 2.68), Fv = mv2 2/l (síla dostředivá) F1 = G + mv2 2/l = mg + 2Ek,2/l = . . . = 10 N. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 101 2.7. MECHANICKÁ ENERGIE HMOTNÉHO BODU, POHYB HMOTNÉHO BODU V GRAVITAČNÍM POLI l m P1 ~F1 ~G á ~F (P )1 2 ~Fv `v2 ~G P2 Obr. 2.68: Příklad KP 2.7-5.{obr1.2-67} KP 2.7-6{pr1.2-20} Těleso je vrženo na povrchu ideální Země svisle vzhůru rychlostí v = 7 km/s. Předpokládejte, že na ně působí jen gravitační síla Země a určete, do jaké výšky vystoupí. RZ M Z P1 h `v1 P2 RZ Obr. 2.69: Příklad KP 2.7-6.{obr1.2-68} Řešení: Označíme krajní body trajektorie P1, P2 (obr. 2.69). Platí: Em = konst., kde Em = mv2/2 mMZ/r, 1 2 mv2 1 - mMZ r1 = 1 2 mv2 2 - mMZ r2 , kde v1 = v, r1 = RZ, v2 = 0, r2 = RZ + h. Po dosazení a úpravě dostaneme h = 4,09 106 m. 2.7.2 Pohyb hmotného bodu v tíhovém a gravitačním poli 2.7.2.1 Pohyb hmotného bodu v homogenním tíhovém poli Země Vyšetříme pohyb malého tělesa (hmotného bodu) v homogenním tíhovém poli Země, např. pohyb hozeného kamene nebo vystřeleného projektilu. Pohyb budeme zkoumat ve vztažné soustavě dané povrchem Země, tj. v laboratorní vztažné soustavě. Při tomto pohybu působí na těleso tíhová síla G = mg, síla odporu vzduchu Fodp a navíc působí4 Coriolisova síla F C = -2m( × v), kde v je rychlost tělesa v laboratorní soustavě, a síla odtředivá F o = -m2rn (viz rovnice 2.51). Zde se však omezíme na vyšetřování idealizovaného pohybu, při němž lze síly Fodp, F o i F C zanedbat a při němž se těleso, jež lze považovat za hmotný bod, pohybuje v relativně malé oblasti, v níž je tíhové pole homogenní. Takový pohyb nazveme ideální šikmý vrh. Formulace úlohy: Na vodorovném povrchu Země je v bodě P0 vymrštěn v čase t = 0 hmotný bod šikmo vzhůru rychlostí v0, která svírá s vodorovnou rovinou úhel . Předpokládejme, že na 4 Vzhledem k tomu, že laboratorní vztažná soustava rotuje v geocentrické inerciální soustavě společně se Zemí úhlovou rychlostí (viz obr. 2.63 a rovnice 2.51) a že je tedy neinerciální. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 102 ? ? 2.7. MECHANICKÁ ENERGIE HMOTNÉHO BODU, POHYB HMOTNÉHO BODU V GRAVITAČNÍM POLI hmotný bod působí po vymrštění jen tíhová síla G = mg, kde g je v celé oblasti pohybu stejné. vsiná0 v cos á0 P0 á `v0 y x j `r ~G `a = `g P2`v m~ i~ Obr. 2.70: Pohyb hmotného bodu m v idealizovaném tíhovém poli Země.{obr1.2-69} Úkol: Určete rychlost v(t) a polohový vektor r(t) hmotného bodu jako funkce času. Řešení: Zavedeme soustavu souřadnic Oxyz podle obr. 2.70 tak, že rovina Oxy je svislá a že v ní leží vektor v0. Při pohybu hmotného bodu je polohový vektor r a rychlost v funkcí času. Zrychlení hmotného bodu a = g je stálé. Je to pohyb se stálým zrychlením. Platí (rovnice 2.1, 2.4 a 2.7) r(t) = x(t)i + y(t) + z(t)k, v(t) = vx(t)i + vy(t) + vz(t)k = dx(t) dt i + dy(t) dt + dz(t) dt k, a(t) = -g = dvx(t) dt i + dvy(t) dt + dvz(t) dt k. Odtud plyne, že k řešení úlohy stačí určit funkce vx(t), vy(t), vz(t) a funkce x(t), y(t), z(t) udávající souřadnice rychlosti v(t) a polohového vektoru r(t). Tyto funkce musí splňovat podmínky I. a II.: I.: (ax(t) =) dvx(t) dt = 0, dx(t) dt = vx(t); (ay(t) =) dvy(t) dt = -g, dy(t) dt = vy(t); (az(t) =) dvz(t) dt = 0, dz(t) dt = vz(t); II.: počáteční podmínky: pro t = 0 musí být x(0) = y(0) = z(0) = 0, vx(0) = v0 cos , vy(0) = v0 sin , vz(0) = 0. To je ryze matematická úloha. Řeší se postupnou integrací daných funkcí, tj. určováním jejich primitivních funkcí, analogicky jako v odst. 2.2.3. Tedy 1. Souřadnice v ose Ox: ax, vx(t), x(t): a) vx(t) =? Je dáno ax = 0, vx(0) = v0 cos Řešení: ax = dvx(t) dt , ax = 0 vx(t) = C1, kde C1 je libovolná konstanta o jednotce m/s. Určení konstanty C1: {vx(t) = C1, vx(0) = v0 cos } C1 = v0 cos . Tedy vx(t) = v0 cos . Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 103 2.7. MECHANICKÁ ENERGIE HMOTNÉHO BODU, POHYB HMOTNÉHO BODU V GRAVITAČNÍM POLI b) x(t) =? Je dáno vx(t) = v0 cos , x(0) = 0. Řešení: vx(t) = dx(t) dt , vx(t) = v0 cos x(t) = v0 cos dt = v0 cos t + C2. Určení C2: {x(t) = v0 cos t + C2, x(0) = 0} C2 = 0. Tedy x(t) = v0 cos t. 2. Souřadnice v ose Oy: ay, vy(t), y(t). Postup zcela analogicky: a) vy(t) =? Je dáno ay = -g, vy(0) = v0 sin . Řešení: ay = dvy(t) dt , ay = -g vy(t) = -gdt = -gt + C3. C3 =?: {vy(t) = -gt + C3; vy(0) = v0 sin } C3 = v0 sin . Tedy: vy(t) = -gt + v0 sin . b) y(t) - analogicky: y(t) = vy(t)dt = -1 2 gt2 + v0 sin t + C4. Dosadíme t = 0, dostaneme C4 = 0. Celkem y(t) = -1 2 gt2 + v0 sin t. 3. Souřadnice v ose Oz: az, vz(t), z(t). Analogickým postupem se dojde k výsledku vz(t) = 0, z(t) = 0. Výsledek: Trajektorie leží v rovině Oxy. Pohyb je popsán vztahy v = vxi + vy(t), kde vx = v0 cos , vy(t) = v0 sin - gt (2.111){1.2-108a} r = x(t)i + y(t), kde x(t) = v0 cos t, y(t) = v0 sin t - 1 2 gt2 ideální šikmý vrh (2.112){1.2-108b} Vztahy (2.112) vyjadřují trajektorii v parametrickém tvaru (parametrem je čas t). Vyloučením parametru t dostaneme rovnici trajektorie ve tvaru y = tg x - 1 2 g v2 0 cos2 x2 . (2.113){1.2-109} Vztah (2.113) je rovnice paraboly. Trajektorie hmotného bodu při ideálním šikmém vrhu je tedy parabola. Poznámky: Není-li odpor vzduchu zanedbatelný, trajektorie není parabola, nýbrž tzv. balistická křivka. Při střelbě na velké vzdálenosti se uplatňuje navíc vliv Coriolisovy setrvačné síly a případně i vliv nehomogenity gravitačního pole a náš původní předpoklad o ideálním tíhovém poli Země již splněn není. KP 2.7-7{pr1.2-21} Malé těleso (hmotný bod) bylo vrženo v čase t = 0 v bodě P0 na vodorovném povrchu Země rychlostí v0, která svírala s vodorovnou rovinou úhel = 60 a která měla velikost v0 = 30 m/s. Považujte pohyb za ideální šikmý vrh a určete: 1. Polohu hmotného bodu v čase t1 = 1 s; 2. v1 a její velikost v1 v čase t1 = 2 s; 3. Polohu nejvyššího bodu P2 trajektorie; 4. Místo dopadu -- bod P3 (obr. 2.70). Řešení: Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 104 ? 2.7. MECHANICKÁ ENERGIE HMOTNÉHO BODU, POHYB HMOTNÉHO BODU V GRAVITAČNÍM POLI 1. x(t1), y(t1) =? Užijme rovnici (2.112): x1 = x(t1) = v0 cos t1 = 30 cos 60 2 m = 30 m. y1 = y(t1) = v0 sin t1 - 1 2 gt2 1 = . . . = 32 m. 2. v1 =?, v1 =? v1 = v(t1) = vx(t1)i + vy(t1). Zde vx(t1) = v0 cos = . . . = 15 m/s, vy(t1) = v0 sin - gt1 = . . . = 6,0 m/s; v1 = v2 x(t1) + v2 y(t1) = 16,2 m/s; 3. P2 =? V nejvyšším bodě P2 je vy = 0. Z této podmínky určíme příslušný čas t2 a dosadíme do (2.112): (vy(t2) =) v0 sin - gt2 = 0 t2 = (v0 sin )/g = . . . = 2,60 s. Souřadnice bodu P2: x2 = x(t2) = v0 cos t2 = 39,0 m, y2 = y(t2) = v0 sin t2 - 1 2 gt2 2 = . . . = 33,7 m; 4. P3 =? V bodě P3 je y3 = y(t3) = 0. Z této podmínky určíme t3 a dosadíme do (2.112): (y(t3) =) v0 sin t3 - 1 2 gt2 3 = 0 t3 = 0 (start); t3 (dopad), t3 = (v0 sin )/(1 2 g) = . . . = 5,2 s; x3 = v0 cos t3 = . . . = 78 m. 2.7.2.2 Podmínka úniku hmotného bodu z gravitačního pole Uvažujme o hmotného bodu, který se pohybuje v obecném gravitačním poli buzeném objekty nacházejícími se v ohraničené oblasti prostoru pouze účinkem gravitačních sil. Může to být např. kosmická sonda, která se pohybuje s vyřazenými motory v oblasti sluneční soustavy, nebo těleso, které vniklo do sluneční soustavy ze vzdálených oblastí vesmíru. Předpokládejme, že v některém okamžiku t1 známe polohu hmotného bodu a jeho rychlost v inerciální vztažné soustavě spojené s těžištěm soustavy těles, jež jsou zdrojem uvažovaného gravitačního pole. Položme si otázku, zda a za jakých podmínek se hmotný bod bude pohybovat v ohraničené oblasti prostoru, (tj. kdy jeho pohyb bude finitní) a naopak, za jakých podmínek se bude trvale vzdalovat do libovolně velkých vzdáleností, tj. kdy unikne do nekonečna. Odpověď lze najít úvahou o mechanické energii hmotného bodu. Působí-li na hmotný bod při pohybu jen gravitační síla (Ep = Eg), je jeho mechanická energie Em stálá, tj. platí (Em =) 1 2 mv2 + Eg = Em,1. (2.114){1.2-110} Zde v je (obecně se měnící) velikost rychlosti hmotného bodu v uvažované vztažné soustavě, Eg jeho (obecně se měnící) gravitační energie a Em,1 jeho mechanická energie v čase t1. Gravitační energie hmotného bodu je přitom definována tak, že v nekonečně vzdáleném bodě P má hmotný bod gravitační energii nulovou, tj. že platí Eg, = 0. Celková mechanická energie hmotného bodu v bodě P je tedy Em, = 1 2 mv2 + Eg, = 1 2 mv2 0, kde v je rychlost hmotného bodu v nekonečnu. Má-li tedy hmotný bod, jehož energie Em je dána vztahem (2.114), uniknout do nekonečna, musí platit Em,1 0. Platí-li Em,1 < 0, pak je pohyb hmotného bodu finitní. Shrňme výsledek úvah: Má-li hmotný bod v některém bodě gravitačního pole takovou kinetickou energii Ek a takovou gravitační energii Eg, že platí 1. Ek + Eg < 0, tj. Em < 0, podmínka finitního pohybu (2.115){1.2-111} {ram-58} neunikne do nekonečna, jeho pohyb je finitní. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 105 2.7. MECHANICKÁ ENERGIE HMOTNÉHO BODU, POHYB HMOTNÉHO BODU V GRAVITAČNÍM POLI 2. Ek + Eg = 0, tj. Em = 0, mezní případ úniku (2.116){1.2-112} {ram-59} může uniknout (a lze dokázat, že unikne) do nekonečna, kde má limitní rychlost v = 0 3. Ek + Eg > 0, tj. Em > 0, podmínka úniku (2.117){1.2-113} {ram-60} může uniknout (a lze dokázat, že unikne) do nekonečna, kde má limitní rychlost v > 0. Přitom se samozřejmě předpokládá, že hmotný bod se nesetká s jiným tělesem (např. že nenarazí na Zemi). Je-li uvažované gravitační pole buzeno kulově souměrným tělesem, tj. je-li centrální, je Eg v podmínkách (2.115) až (2.117) dáno vztahem (2.83), tj. Eg = - mM r , (2.118){1.2-114} kde m je hmotnost hmotného bodu, M hmotnost tělesa T budícího gravitační pole a r vzdálenost hmotného bodu od středu tělesa T. KP 2.7-8{pr1.2-22} Vyšetřete, zda je finitní pohyb tělesa (družice, kosmické sondy), které se pohybuje pouze účinkem gravitačního pole Země tak, že ve výšce h = 3 000 km nad Zemí má rychlost, jež má velikost v = 6,00 km/s a jež je orientovaná směrem od Země. Řešení: Je nutno rozhodnout, který ze vztahů (2.115) až (2.117) platí, přičemž Eg je dáno vztahem (2.89). Tedy Em = m 1 2 v2 - MZ RZ + h = . . . = m (-1,80 107 m2 s-2 ) < 0. Za MZ a RZ jsme dosadili tabulkové hodnoty. Odsud a ze vztahu (2.115) plyne, že pohyb tělesa je finitní, těleso neunikne do nekonečna. 2.7.2.3 Pohyb hmotného bodu v centrálním gravitačním poli entralniPole} Tvar trajektorie a zákonitosti pohybu hmotného bodu v centrálním gravitačním poli s centrem C (např. družice v poli Země, planety v poli Slunce atd.) lze vyšetřit teoreticky na základě Newtonova gravitačního zákona a pohybové rovnice Fv = ma s užitím diferenciálního a integrálního počtu. Zde uvedeme pouze výsledky. Budeme užívat vztažné soustavy, v níž je silové centrum C v klidu, a budeme o ní předpokládat, že je inerciální. V této soustavě platí: I. Možné trajektorie hmotného bodu jsou kuželosečky -- elipsy (a jejich zvláštní případy kružnice) hyperboly a paraboly (ve zvláštním případě to mohou být i přímky jdoucí centrem C). Jedno z jejich ohnisek (nebo střed kružnice) leží v centru. Označíme-li Em celkovou mechanickou energii hmotného bodu v uvažovaném poli, pak trajektorie je elipsa nebo kružnice Em < 0, parabola Em = 0, hyperbola Em > 0. {ram-61} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 106 2.7. MECHANICKÁ ENERGIE HMOTNÉHO BODU, POHYB HMOTNÉHO BODU V GRAVITAČNÍM POLI Tvar trajektorie tedy závisí na počáteční poloze a počáteční rychlosti hmotného bodu. Na obr. 2.71 jsou znázorněny trajektorie družic vystřelovaných ve vodorovném směru ve velké výšce nad povrchem Země s postupně se zvětšujícími rychlostmi. Křivka t může být např. i hyperbolická trajektorie objektu přilétajícího k Zemi z vesmíru. C Z `v 'B 'A A B %S '%S = %S K elipsy + kružnice K E > 0m E <0m E = 0m parabola t hyperboly Obr. 2.71: Trajektorie družic vystřelovaných ve velké výšce nad povrchem Země s postupně se zvětšujícími rychlostmi.{obr1.2-70} II. Plochy dS obecných trojúhelníků ABC, A B C opsaných průvodičem hmotného bodu ve stejných dobách dt na jedné trajektorii (libovolného typu) jsou stejné. Plošná rychlost dS/dt na jedné trajektorii je stálá. III. Při pohybu hmotného bodu na dvou libovolných uzavřených trajektoriích v témže poli platí T2 1 T2 2 = a3 1 a3 2 . Zde T1 je oběžná doba na jedné trajektorii (elipse nebo kružnici), a1 je délka její hlavní poloosy nebo poloměr kružnice. Stejný význam mají T2, a2 na druhé trajektorii. Zvláštním případem těchto zákonitostí jsou tři Keplerovy zákony, které vyslovil astronom J. Kepler pro pohyb planet kolem Slunce na základě astronomických pozorování. Vyslovte je samostatně! 2.7.2.4 Kosmické rychlosti Kosmickými rychlostmi se obvykle nazývají tři rychlosti, které jsou význačné z hlediska pohybu tělesa (hmotného bodu) v gravitačním poli Země a Slunce. 1. První kosmická rychlost v1 (tzv. kruhová rychlost) je velikost rychlosti, se kterou by se pohyboval hmotný bod vzhledem ke geocentrické vztažné soustavě po kružnici kolem Země v těsné její blízkosti, kdyby nebylo odporu vzduchu. KP 2.7-9{pr1.2-23} Určete první kosmickou rychlost. Řešení: Uvažujme o hmotném bodu, který se pohybuje v centrálním gravitačním poli ideální Země (MZ, RZ) v geocentrické vztažné soustavě (GCS) po kružnici o poloměru RZ (obr. 2.72). GCS je přibližně inerciální, jestliže se v ní zanedbá gravitační síla Slunce (viz odst. 2.4), Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 107 2.7. MECHANICKÁ ENERGIE HMOTNÉHO BODU, POHYB HMOTNÉHO BODU V GRAVITAČNÍM POLI RZ M Z `a = `g ~Fg m `v1 Obr. 2.72: Příklad KP 2.7-9.{obr1.2-71} platí v ní tedy F = ma. Zde F = G, kde G = mg, přičemž g je tíhové zrychlení na pólu (g . = 9,80 m/s2 ). Zrychlení a: a Fg, a = v2 1/RZ. Tedy mv2 1/RZ = mg v1 = gRZ . = 7,9 km/s. první kosmická rychlost (2.119){1.2-115} {ram-62} Přibližně touto rychlostí se pohybovala první umělá družice Země -- Sputnik. 2. Druhá kosmická rychlost v2 (tzv. parabolická rychlost) je minimální velikost rychlosti, kterou by musel mít na povrchu Země hmotný bod, aby unikl do nekonečna, kdyby nebylo Slunce a planet a kdyby odpor vzduchu byl zanedbatelný (hmotný bod by se pohyboval do nekonečna po parabole nebo přímce). KP 2.7-10{pr1.2-23a} Určete druhou kosmickou rychlost v2. Řešení: Podle rovnic (2.12), (2.13) unikne hmotný bod pohybující se v gravitačním poli ideální Země do nekonečna tehdy, když pro jeho mechanickou energii bude platit Em 0, tj. Ek + Eg 0, tj. 1 2 mv2 - mMZ r 0. Odtud plyne (pro v = v2, r = RZ) 1 2 v2 2 - MZ RZ RZ = 0, 1 2 v2 2 - gRZ = 0, (2.120){1.2-116} kde g je tíhové zrychlení dané vztahem (2.88). Ze vztahu (2.120) plyne v2 = 2gRZ . = 11,2 km/s. druhá kosmická rychlost (2.121){1.2-117} {ram-63} 3. Třetí kosmická rychlost v3 (tzv. úniková rychlost) je minimální velikost rychlosti měřené v geocentrické soustavě, kterou by musel mít na povrchu Země hmotný bod, aby při zanedbatelném odporu vzduchu unikl ze sluneční soustavy do nekonečna. Její hodnota je v3 = 16,7 km/s. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 108 2.8. MECHANIKA HMOTNÝCH SOUSTAV Řešte příklady KP 1.4-8 až KP 1.4-18, KP 1.4-10 až KP 1.4-11, KP 1.5-1, KP 1.5-3 v textu Vybrané kapitoly z fyziky; KP 2.6-10 až KP 2.6-13 a KP 2.6-14 až KP 2.6-20. 2.8 Mechanika hmotných soustav ikaHmSoustav} Úvod k částem 2.9, 2.10: Při zkoumání pohybu skupiny hmotných bodů nebo těles (tuto skupinu budeme nazývat ,,hmotná soustava ) je často obtížné (a někdy i nemožné) vyšetřovat detailně pohyb jednotlivých částí soustavy jako celku. Proto se zavádějí vhodné veličiny charakterizující soustavu jako celek -- energie soustavy, celková hybnost soustavy, moment hybnosti soustavy a zkoumají se jejich změny v závislosti na silách, které na soustavu působí. Výsledky se vyslovují ve formě fyzikálních vět a zákonů. Zvláštním případem těchto zákonů jsou tzv. zákony zachování. V části 2.9 jsou odvozeny vztahy mezi změnami energie hmotné soustavy a vysloven zákon zachování energie. V části 2.10 jsou odvozeny vztahy mezi změnou hybnosti soustavy a momentem působících sil. Jsou to pohybové rovnice hmotné soustavy. Jejich zvláštním případem je zákon zachování hybnosti soustavy a zákon zachování momentu hybnosti soustavy. 2.9 Energie hmotných soustav gieHmSoustav}{1.2.7} Hlavní poznatky obsažené v této části jsou: Hmotné soustavy (HS) mají při mechanickém pohybu mechanickou energii, která sestává z energie kinetické a potenciální, jejímž zvláštním případem je energie elastická. Změny těchto energií souvisejí zcela určitým způsobem s prací zcela určitých sil působících na soustavu. Zvláštním případem hmotné soustavy jsou izolované soustavy. Probíhají-li v nich pouze mechanické děje, platí zákon zachování mechanické energie. Probíhají-li v nich i jiné děje (např. chemické, elektromagnetické atd.), platí pro ně zákon zachování energie v obecné formě. Důležité veličiny definované pro hmotnou soustavu jsou hmotný střed (neboli těžiště) a moment setrvačnosti tělesa vzhledem k přímce. Cíl: I) Definovat a vysvětlit pojmy a veličiny: hmotná soustava, kinetická energie, potenciální energie, elastická energie a mechanická energie hmotné soustavy; II) zpaměti vztah (2.129) mezi Ek a prací všech sil, vztah (2.137) mezi Ep a prací konzervativních sil a vztah (2.145) mezi Em a prací nekonzervativních sil, vysvětlit je a naznačit postup jejich odvození; III) zpaměti definici hmotného středu a momentu setrvačnosti tělesa vzhledem k přímce, vysvětlit hlavní vlastnosti, význam a užití; IV) zpaměti a na příkladech vysvětlit zákon zachování mechanické energie a obecný zákon zachování energie; V) vztahy pro určení kinetické energie rotujícího tělesa a obecně se pohybujícího se tělesa; VI) zpaměti vztahy a zákony uvedené v rámečcích a podtržené plnou čarou v tomto textu. VII) řešit samostatně příklady uvedené v tomto textu a příklady typu KP 1.4-9, KP 1.4-22, KP 1.4-23 a KP 1.6-3, KP 1.6-4 v textu Vybrané kapitoly z fyziky; KP 2.6-21 až KP 2.6-27. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 109 2.9. ENERGIE HMOTNÝCH SOUSTAV 2.9.1 Hmotná soustava, hmotný střed {1.2.7A} 2.9.1.1 Hmotná soustava Hmotnou soustavou zde budeme rozumět skupinu objektů, které mají nenulovou klidovou hmotnost -- tělesa (nebo jen jedno těleso), částice, molekuly atd. Tuto skupinu vyčleníme (myšlenkově) z ostatních těles, a to ve složení, jež se nám jeví účelné a uvažujeme o ní jako o jednom objektu. Jako příklad je na obr. 2.73 znázorněna hmotná soustava HS1 sestávající ze Země a družice a hmotné soustavy HS2 sestávající ze Země družice a Měsíce. Jednotlivé části hmotných soustav budeme nazývat prvky nebo elementy hmotné soustavy. M HS2 HS1 ext ~F1 Z ext ~F2 int ~F1 int ~F2 Obr. 2.73: Vnější (horní index ,,ext ) a vnitřní (index ,,int ) síly působící na hmotné objekty soustavy HS1, která se skládá ze Země a družice. Dále je zde vyznačena hmotná soustava HS2, sestávající ze Země, družice a Měsíce.{obr1.2-72} Prvky hmotné soustavy se v obecném případě pohybují účinkem sil, jež dělíme do dvou skupin: 1. Síly vnitřní, neboli interní, jež označujeme Fint, jsou síly, kterými na sebe navzájem působí prvky soustavy buď při vzájemném dotyku, nebo prostřednictvím svých polí. Např. v HS1 jsou to gravitační síly, kterými na sebe navzájem působí Země a družice. 2. Síly vnější, neboli externí, jež označujeme Fext, jsou síly, kterými na prvky soustavy působí objekty, které do ní nepatří. Např. v HS1 jsou to gravitační síly, kterými na Zemi a na družici působí Slunce, Měsíc a planety. Které síly jsou vnitřní v soustavě HS2? Důležité vlastnosti vnitřních sil: jejich (vektorový) součet je roven nule, tj platí Fint 1 + Fint 2 + . . . + Fint N = 0. součet vnitřních sil (2.122){1.2-118} {ram-64} Tento vztah plyne z toho, že vnitřní síly splňují třetí Newtonův pohybový zákon ­ součet dvou sil, jež jsou ve vztahu akce a reakce, je roven nule (odstavec 2.4.3). Izolovaná hmotná soustava je soustava, na niž nepůsobí vnější objekty, takže vnější síly nepůsobí, jsou nulové: Fext = 0. izolovaná hmotná soustava (2.123){1.2-119} {ram-65} Izolované hmotné soustavy ve skutečnosti neexistují, neboť na každý objekt působí gravitační pole všech ostatních objektů vesmíru. Často však jsou vnější síly ve srovnání s vnitřními zanedbatelně malé. Někdy vnější síly malé nejsou, působí však tak, že hmotná soustava se chová jako izolovaná -- uvidíme to na konkrétních příkladech. Pro pohyb izolovaných hmotných soustav Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 110 2.9. ENERGIE HMOTNÝCH SOUSTAV platí všechny zákonitosti, jimiž se řídí pohyb obecných soustav, tyto zákonitosti však nabývají jednoduššího tvaru. Některé veličiny charakterizují pohybový stav soustavy, např. energie soustavy, hybnost soustavy atd., se v izolovaných soustavách nemění. Tyto výsledky jsou vyslovovány jako ,,zákony zachování . 2.9.1.2 Hmotný střed (těžiště) Hmotný střed neboli těžiště hmotné soustavy je bod C, který je definován takto (obr. 2.74): Hmotnou soustavu rozdělíme na tak malé části (elementy), že je můžeme považovat za hmotné body a očíslujeme je. Jejich hmotnosti nechť jsou m1, m2, . . . , mn, celková hmotnost hmotné soustavy je m = m1 +m2 +. . .+mn. Zavedeme (libovolně) soustavu souřadnic Oxyz a polohové vektory hmotných bodů hmotné soustavy označíme r1, r2, . . . rn. Hmotný střed hmotné soustavy je podle definice ten bod C, jehož polohový vektor rC je dán vztahem rC = 1 m (m1r1 + m2r2 + . . . + mnrn). definice hmotného středu (2.124){1.2-120} {ram-66} Odsud plyne xC = 1 m(m1x1 + m2x2 + . . . + mnxn), yC = 1 m(m1y1 + m2y2 + . . . + mnyn), zC = 1 m(m1z1 + m2z2 + . . . + mnzn). (2.125){1.2-121} Tyto vztahy plynou ze vztahu (2.124) tak, že v něm vyjádříme všechny vektory rC, r1, . . . , rn v semikartézském tvaru rC = xCi + yC + zCk, r1 = x1i + y1 + z1k atd. a porovnáme postupně členy obsahující i, , k. z y x C O `r1 m2 `rC m3 m4 m1 `r2 `r3 `r4 Obr. 2.74: Polohový vektor hmotného středu C (těžiště) hmotné soustavy je definován jako rC = n i=1 miri n i=1 mi . {obr1.2-73} Informace: 1. Hmotný střed C má tyto význačné vlastnosti (pro které se vlastně zavádí): jeho pohyb závisí jen na vnějších silách působících na hmotnou soustavu a s jeho užitím lze snadno vyjádřit: celkovou hybnost hmotné soustavy, otáčivý moment tíhových sil, případně potenciální energii hmotné soustavy v tíhovém poli Země atd. 2. Lze dokázat (zde to nebudeme dokazovat), že poloha bodu C nezávisí na volbě soustavy souřadnic Oxyz. 3. Polohový vektor rC pro těleso se spojitě rozloženou hmotností M je definován vztahem (2.126) analogickým vztahu (2.124). Získáme jej takto: O tělese budeme uvažovat Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 111 2.9. ENERGIE HMOTNÝCH SOUSTAV jako o souboru elementů o hmotnostech dm, pro každý element vytvoříme součin rdm, kde r je polohový vektor elementu a všechny takto vzniklé vektory sečteme a dělíme M. V limitě bude5: rC = 1 M M r dm. (2.126){1.2-122} Tohoto vztahu však nebudeme v dalším užívat. 4. Hmotný střed hmotné soustavy sestávající z několika těles o hmotnostech M1, M2, . . . , Mn lze určit takto: (a) Najdeme hmotné středy C1, C2, . . . , Cn všech těles; (b) do bodů C1, C2, . . . , Cn vložíme hmotné body o hmotnostech M1, M2, . . . , Mn; (c) určíme hmotný střed C této soustavy hmotných bodů. Tento bod je totožný s hmotným středem C soustavy těles. Důkaz: Důkaz provedeme pro jednoduchost jen pro hmotnou soustavu sestávající ze dvou těles T1, T2 (obr. 2.75). Těleso T1 považujeme za soubor hmotných elementů (hmotných bodů), které očíslujeme 1, 2, . . . k. Podobně těleso T2, jehož elementy očíslujeme (k + 1), (k + 2), . . . , n. Zavedeme libovolnou soustavu souřadnic Oxyz a podle rovnice (2.125) a určíme xC: xC = 1 M1+M2 (m1x1 + m2x2 + . . . + mnxn) (M1 + M2)xC = M1 1 M1 (m1x1 + m2x2 + . . . + mkxk) + M2 1 M2 (mk+1xk+1 + mk+2xk+2 + . . . + mnxn) = M1xC1 + M2xC2 . Tedy xC = 1 M (M1xC1 + M2xC2 ) = xC , kde M = M1 + M2. Podobně se určí yC, zC. z x y C2 C T2T1 C1 O Obr. 2.75: K výpočtu hmotného středu C (těžiště) hmotné soustavy sestávající ze dvou těles T1 a T2.{obr1.2-74} 5. Hmotný střed homogenních rotačně symetrických těles leží na jejich ose souměrnosti. Důkaz se provede tak, že se zvolí souřadnicová soustava Oxyz tak, aby osa Oz splývala s osou souměrnosti tělesa. Těleso se rozdělí na dvojice stejně hmotných elementů souměrně položených vzhledem k ose Oz. Ze vztahů (2.125)a, b pak plyne xC = 0, yC = 0. Analogicky platí: Střed souměrnosti homogenních bodově souměrných těles je jejich hmotným středem. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 112 2.9. ENERGIE HMOTNÝCH SOUSTAV y x m1 b c a m2m3 O Obr. 2.76{obr1.2-75} KP 2.9-1{pr1h2-24} Určete hmotný střed soustavy sestávající se ze tří hmotných bodů o hmotnostech m1 = 2 g, m2 = 0,8 g, m3 = 1,2 g, rozmístěných podle obr. 2.76, kde a = 40 cm, b = 30 cm, c = 28 cm. Řešení: K určení polohy bodu C můžeme zavést libovolnou soustavu souřadnic Oxyz. Souřadnice xC, yC, zC vypočteme podle vztahů (2.125). V konkrétní situaci zavedeme Oxyz tak, aby výpočet byl co nejjednodušší. V uvažovaném případě zavedeme soustavu Oxy např. podle obr. 2.76. Pak xC = 1 m1+m2+m3 (m1x1 + m2x2 + m3x3) = = 1 (2+0,8+1,2)10-3 kg (2 0,1 + 0,8 0,4 + 0) 10-3 kg m = 0,13 m, yC = 1 m1 + m2 + m3 (m1y1 + m2y2 + m3y3) = 1 4 10-3 kg (2 0,28 + 0 + 0) 10-3 kg m = 0,14 m. Doplňující úkol: Určete bod C tak, že zavedeme jiný (opět vhodný) systém souřadnic. 2.9.2 Kinetická energie hmotné soustavy Kinetická energie hmotné soustavy v určité vztažné soustavě S je definována na základě tohoto důležitého výsledku (který později dokážeme): Nechť se hmotná soustava pohybuje (vzhledem k S) a nechť přitom na ni (obecně) působí vnitřní a vnější síly. Označíme v1, v2, . . . , vn vektorové funkce času udávající rychlosti hmotných bodů hmotné soustavy o hmotnostech m1, m2, . . . , mn. Výslednici vnitřních sil působících na k-tý hmotný bod označíme Fint v,k , výslednici vnějších sil označíme Fext v,k (obr. 2.77). V některém okamžiku nechť je hmotná soustava v určitém pohybovém stavu 1, charakterizovaném polohami a rychlostmi jejích hmotných bodů (obr. 2.77). Účinkem vnitřních a vnějších sil se její pohybový stav mění, takže v některém pozdějším okamžiku je její pohybový stav 2. Příkladem může být např. startující běžec: V okamžiku startu je jeho pohybový stav 1, pak se běžec pohybuje účinkem vnějších sil (tíhová síla, síla od povrchu Země na jeho chodidla, síla odporu vzduchu) a vnitřních sil (vzájemná působení svalů a kostí). Po několika sekundách je v jistém pohybovém stavu 2. Označíme Wv,12 součet prací, které vykonaly při přechodu 1 2 všechny síly, tj. vnější i vnitřní, působící na hmotnou soustavu v uvažované inerciální vztažné soustavě S. Pak platí Wv,12 = 1 2 m1v2 1 + 1 2 m2v2 2 + . . . + 1 2 mnv2 n 2 - 1 2 m1v2 1 + 1 2 m2v2 2 + . . . + 1 2 mnv2 n 1 , (2.127){1.2-123} kde symboly ()1, ()2 označují hodnoty uvedených výrazů ve stavu 1 a 2. 5 Viz též přechod od vztahu 1.21 ke vztahu 1.22. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 113 2.9. ENERGIE HMOTNÝCH SOUSTAV 1 2 S W1Í2 HS Ek,1 `vk,1 m1 int ~Fv,k Ek,2 m2 mk mn `v2,1 `v1,1 m1 m2 mn `v1,2 `v2,2`vk,2 mkext ~Fv,k Obr. 2.77: K výpočtu změny kinetické energie hmotné soustavy.{obr1.2-76} Na základě tohoto výsledku definujeme kinetickou energii Ek hmotné soustavy v libovolné (inerciální i neinerciální) vztažné soustavě vztahem Ek = 1 2 m1v2 1 + 1 2 m2v2 2 + . . . + 1 2 mnv2 n, definice kinetické energie hmotné soustavy (2.128){1.2-124} {ram-67} tj. jako součet kinetických energií jejích hmotných bodů. Pak lze vztah (2.127), platný v inerciální vztažné soustavě, psát ve tvaru Ek,2 - Ek,1 = Wv,12. základní vztah mezi kinetickou energií a prací všech sil (2.129){1.2-125} {ram-68} Důkaz: Důkaz vztahu (2.127): Uvažujme o pohybu k-tého hmotného bodu hmotné soustavy v inerciální vztažné soustavě S (obr. 2.76). Jeho pohybová rovnice (druhý Newtonův pohybový zákon ­ rovnice 2.36) zní mkak = Fext v,k + Fint v,k . Při pohybu hmotné soustavy ze stavu 1 do stavu 2 vykonají síly Fext v,k a Fint v,k , které na něj působí na trajektorii tk, celkovou práci Wk,12, pro kterou plyne ze vztahu (2.68) Wk,12 = 1 2 mkv2 k,2 - 1 2 mkv2 k,1. (2.130){1.2-126} Napíšeme-li tyto rovnice pro k = 1, 2, . . . , n, a tyto rovnice sečteme, dostaneme vztah (2.127). Informace: 1. [Ek] = kg m2 s-2 = joule; 2. Ek závisí jen na velikostech rychlostí v1, v2, . . . , vn, nezávisí na jejich směru. V různých vztažných soustavách je různá; 3. Změna Ek,2 - Ek,1 závisí jen na součtu prací, všech vnějších a vnitřních sil. Nezávisí na tvaru trajektorií hmotných bodů ani na rychlostech během přechodu 1 2 v uvažované vztažné soustavě; Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 114 2.9. ENERGIE HMOTNÝCH SOUSTAV 4. Vztah (2.129) je zcela analogický vztahu (2.70) platnému pro hmotný bod; 5. Při výpočtu kinetické energie hmotné soustavy se spojitě rozloženou hmotností (např. tělesa) na základě vztahu (2.128) je nutno nahradit součet konečného počtu členů integrálem Ek = 1 2 V (P)v2 dV, kde (P)dV je hmotnost malého elementu o objemu dV obsahujícího bod P. Tento vztah uvádíme pouze pro informaci, nebudeme jej používat. 6. Poznamenejme výslovně, že úvahy jsme provedli pouze pro nerelativistické rychlosti, při nichž hmotnosti hmotných bodů jsou stálé. S tímto omezením je definována např. (2.128) i kinetická energie Ek. Příklady dějů, při nichž se mění kinetická energie soustavy účinkem vnějších nebo vnitřních sil. 2 1 `v ~F1 C ~G ~Fodp E -E = W + W + W (= W )k,2 k,1 G 1 odp nekonz Obr. 2.78: Tuhý válec valící se po drsné nakloněné rovině.{obr1.2-77} 1 2 `v E > 0k,2 ~G ext ~F1 C E = 0k,1 int E - E = Wk,2 k,1 ext ~F2 Obr. 2.79: Šikovný experimentátor na kolečkových bruslích se uvádí do pohybu odtlačováním od zdi.{obr1.2-78} 1. Na obr. 2.78 je znázorněn tuhý válec, který se valí na drsné nakloněné rovině. Na válec přitom působí jednak vnitřní síly (elementy válce působí na sebe navzájem), jednak vnější síly: G - tíhová síla (je vnější, i když působí v celém objemu válce, neboť ji vyvolává vnější tíhové pole), F1 - síla, kterou působí na válec nakloněná rovina, Fo - síla odporu vzduchu. Tyto síly vykonají při přechodu 1 2 práce WG, W1, Wo. Platí: Ek,2 - Ek,1 = WG + W1 + Wo, neboť vnitřní síly v tuhém6 tělese nekonají práci. 6 Tuhé těleso má neproměnné vzdálenosti jednotlivých svých elementů, tedy přítomné vnitřní síly (které jej udržují pohromadě) nemohou konat práci. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 115 2.9. ENERGIE HMOTNÝCH SOUSTAV 2. Na obr. 2.79 je znázorněn šikovný experimentátor na kolečkových bruslích (bez tření), který se uvádí do pohybu odtlačováním ode zdi. Vnější síly jsou: F - tíhová síla, Fext 1 stěna na jeho ruce, Fext 2 - síla na jeho brusle (je svislá). Práce každé z těchto sil je nulová. Člověk získává pohybovou energii jen prací vnitřních sil: Ek,2 - Ek,1 = Wint, kde Wint je práce vnitřních sil. 3. Na obr. 2.80 je naznačena idealizovaná jízda automobilu se zanedbatelným valivým odporem i zanedbatelným odporem vzduchu. Vnější síly G, Fext 1 , Fext 2 konají práci nulovou -- automobil se v jistém smyslu ,,odtlačuje od silnice tak, jak v obr. 2.79 člověk ode zdi, a to silou Fext 2 . Změna jeho vnitřní energie je rovna práci jeho vnitřních sil: Ek,2 -Ek,1 = Wint. 21`v1 ~G `v2 ext ~F1 ext ~F2 Ek,1 Ek,2 int E - E = Wk,2 k,1 Obr. 2.80: Idealizovaná jízda automobilu (se zanedbatelným valivým odporem a zanedbatelným odporem vzduchu), který se pohybuje silou Fext 2 .{obr1.2-79} 2.9.3 Potenciální energie hmotné soustavy Potenciální energie hmotné soustavy je veličina, která charakterizuje, podobně jako kinetická energie, určitým způsobem stav hmotné soustavy. Kinetická energie hmotné soustavy závisí na rychlostech jejích elementů -- viz rovnice (2.128) a její změna závisí na práci všech (tj. výslednici) sil působících na hmotnou soustavu -- viz rovnice (2.129). Potenciální (neboli polohová, konfigurační) energie hmotné soustavy však závisí jen na polohách elementů hmotné soustavy -- viz např. rovnice (2.131) a její změnu lze vyjádřit pomocí práce konzervativních sil působících na soustavu -- viz rovnice (2.137). 2.9.3.1 Potenciální energie hmotné soustavy v poli vnějších konzervativních sil {1.2.7C} Pohybuje-li se hmotná soustava vzhledem k nějaké inerciální vztažné soustavě, působí na její elementy obecně síly vnější a vnitřní (obr. 2.76). Uvažujme konkrétně např. o dětském autíčku na péro, které jede po nakloněné rovině směrem vzhůru. Na autíčko, jež považujeme za hmotnou soustavu, působí síly vnější (síla tíhová, síla od podložky, síla, kterou působí vzduch) a vnitřní (jednotlivé elementy autíčka včetně pružiny na sebe navzájem). Pohyb autíčka zkoumáme v laboratorní soustavě, v níž je tíhové pole homogenní a časově neměnné. Síly tíhové jsou konzervativní. Přejde-li hmotná soustava (tj. autíčko) ze stavu 1 (obr. 2.81) do stavu 2, vykonají tíhové síly práci (viz rovnice (2.67)) WG,12 = (gm1h1 + gm2h2 + . . . + gmnhn)1 - (gm1h1 + gm2h2 + . . . + gmnhn)2, (2.131){1.2-127} kde h1, h2, . . . , hn jsou výšky hmotných elementů o hmotnostech m1, m2, . . . , mn nad povrchem Země. Na základě tohoto výsledku definujeme potenciální energii hmotné soustavy v tíhovém poli, krátce tíhovou energii hmotné soustavy, vztahem Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 116 2.9. ENERGIE HMOTNÝCH SOUSTAV EG = gm1h1 + gm2h2 + . . . + gmnhn. definice tíhové energie hmotné soustavy (2.132){1.2-128} {ram-69} Vztah (2.131) lze psát ve tvaru WG,12 = EG,1 - EG,2. vyjádření práce tíhové síly pomocí tíhové energie (2.133){1.2-129} {ram-70} Jestliže autíčko po nakloněné rovině stoupá, působí tíhové síly proti směru pohybu a konají zápornou práci, WG,12 < 0. Tedy EG,1 < EG,2, tj. EG roste. h 1 2 h1,1 h1,2 Obr. 2.81: Práce tíhových sil při přechodu autíčka ze stavu 1 do stavu 2.{obr1.2-80} Vyjádření potenciální energie obecné hmotné soustavy v homogenním tíhovém poli pomocí těžiště. Definiční vztah (2.132) pro EG lze s užitím vztahu (2.125) upravit takto: EG = g(m1h1 + m2h2 . . . + mnhn) = gmhC, (2.134){1.2-130} kde m = m1 + m2 + . . . + mn je celková hmotnost uvažované soustavy. Fyzikální obsah vztahu (2.134): Potenciální energie hmotné soustavy o hmotnosti m v tíhovém poli je rovna tíhové energii hmotného bodu o hmotnosti m umístěného ve výšce těžiště C (obr. 2.82). m hC m C Obr. 2.82: Potenciální energie hmotné soustavy o hmotnosti m v tíhovém poli je rovna potenciální energii hmotného bodu o hmotnosti m umístěného ve výšce těžiště C.{obr1.2-81} Informace: 1. V jiném poli než homogenním, např. v obecném gravitačním poli, potenciální energie pomocí polohy těžiště vyjádřit nelze. 2. Vztahy (2.131) až (2.134) platí nezávisle na tom, zda na hmotnou soustavu současně působí či nepůsobí i jiné síly. Zcela analogicky jako tíhová energie se definuje potenciální energie hmotné soustavy v libovolném jiném vnějším konzervativním silovém poli, např. potenciální energie hmotné Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 117 2.9. ENERGIE HMOTNÝCH SOUSTAV soustavy v obecném gravitačním poli, nebo potenciální energie soustavy elektricky nabitých částic v elektrostatickém poli. Např. potenciální energie hmotné soustavy ve (vnějším) gravitačním poli (krátce: gravitační energie) je definována vztahem Eg = Eg,1 + Eg,2 + . . . + Eg,n, definice potenciální energie hmotné soustavy v grav. poli (2.135){1.2-131} {ram-71} kde Eg,1 je potenciální gravitační energie prvního elementu hmotné soustavy atd. Pro změnu gravitační energie platí, analogicky vztahu (2.133), vztah Wg,12 = Eg,1 - Eg,2, (2.136){1.2-132} kde Wg,12 je práce, kterou vykonají síly vnějšího gravitačního pole působícího na soustavu při jejím přechodu ze stavu 1 do stavu 2. 2.9.3.2 Potenciální energie hmotné soustavy v poli vnitřních sil Podobně jako vnější síly mohou i vnitřní síly v hmotné soustavě být konzervativní (např. síly gravitační v soustavě Země - Měsíc, nebo síly elastické neboli pružné, nebo síly elektrostatické), tak nekonzervativní (např. síly vnitřního tření v látkách). Vnitřní konzervativní síly mají tuto důležitou vlastnost: Jestliže v hmotné soustavě proběhl nějaký děj a jestliže přitom vzájemné polohy jejích elementů byly na konci děje stejné jako na jejich začátku (říkáme, že konfigurace soustavy se nezměnila), pak konzervativní síly vykonaly během děje nulovou práci. Z této vlastnosti konzervativních sil plyne, podobně jako dříve, že má hmotná soustava v poli vnitřních sil potenciální energii, krátce vnitřní potenciální energii Eint p , pro kterou platí: Přejdeli hmotná soustava při nějakém ději ze stavu 1 do stavu 2, vykonají vnitřní konzervativní síly práci Wint 12, pro kterou platí Wint 12 = Eint p,1 - Eint p,2. 2.9.3.3 Celková potenciální energie hmotné soustavy Celková potenciální energie hmotné soustavy Ep,1 je rovna podle definice součtu všech jejích potenciálních energií v poli vnějších i vnitřních konzervativních sil. Např. potenciální energie Ep autíčka na obr. 2.81 je součet jeho tíhové energie EG a jeho vnitřní potenciální energie pružnosti, Eelast (tj. elastické energie jeho pružiny). Přejde-li hmotná soustava při nějakém ději ze stavu 1 do stavu 2, vykonají vnější i vnitřní konzervativní síly práci Wk,12 danou vztahem Wk,12 = Ep,1 - Ep,2 = -Ep . změna potenciální energie soustavy (2.137){1.2-133} {ram-72} Např. při pohybu autíčka podle obr. 2.81 konají (vnější) tíhové síly zápornou práci (a tíhová energie roste), pružné (vnitřní) síly konají práci kladnou (a elastická energie klesá). Součet obou prací může být kladný, záporný nebo nulový. Informace: Při úvahách o potenciální energii hmotné soustavy v poli vnějších sil lze postupovat takto: K tělesům uvažované hmotné soustavy přičleníme navíc těleso, které je zdrojem vnějšího silového pole. Tím dostaneme novou (širší) hmotnou soustavu HS , v níž se staly síly, které v hmotné soustavě byly síly vnější, silami vnitřními. Např.: Při pohybu družice D v gravitačním Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 118 2.9. ENERGIE HMOTNÝCH SOUSTAV poli Země buď považujeme družici za hmotnou soustavu, která se pohybuje ve vnějším gravitačním poli Země, nebo považujeme družici a Zemi za jedinou soustavu HS . V této nové soustavě HS (D + Z) jsou gravitační síly, kterými na sebe navzájem působí družice a Země, silami vnitřními. Potenciální energie této nové soustavy je pak její potenciální energií v poli vnitřních sil, která závisí jen na vzájemných polohách těles soustavy, tj. na její konfiguraci. KP 2.9-2{pr1p2-25} Dvě malá tělesa (hmotné body) o hmotnostech m1, m2, spojená pružným vláknem o zanedbatelné hmotnosti, byla vyhozena vzhůru na vodorovném povrchu Země (obr. 2.83). V čase t měla tělesa souřadnice yj a rychlosti vj (j = 1,2), (stav 1), v čase t (> t ) byly souřadnice yj a rychlosti vj (stav 2). Předpokládejte, že veličiny m1, m2, y1, y2, v2, y1 , y2 , v1 , v2 , g jsou dány. Uvažujte o této dvojici hmotných bodů jako o soustavě (hmotné soustavě) a řešte úkoly: 1. Vyjmenujte všechny síly, které působily na hmotnou soustavu během pohybu 1 2; 2. Určete součet prací všech sil, které působily na hmotnou soustavu; 3. Určete práci, kterou vykonaly tíhové síly; 4. Určete součet prací, které vykonaly ostatní síly (tj. síly od vlákna a síly odporu vzduchu). Řešení: 1. Působily tíhové síly G1, G2, síly od vlákna a síly odporu vzduchu; 2. W12 = Ek = Ek,2 - Ek,1 = 1 2 m1v 2 1 + 1 2 m2v 2 2 - 1 2 m1v 2 1 + 1 2 m2v 2 2 ; 3. WG,12 = Wkonz,12 = -Ep = EG,1 - EG,2 = g(m1y1 + m2y2) - g(m1y1 + m2y2 ); 4. Wnekonz,12 = W12 - Wkonz,12 = W12 - WG,12. 1 2 y O m1 y1,1 t1`v1,1 m2 m1 m2 `v2,1 y2,1 t2 `v1,2 `v2,2 y1,2 y2,2 Obr. 2.83: Dvě malá tělesa (hmotné body) a o hmotnostech m1 a m2 spojená pružným vláknem o zanedbatelné hmotnosti vyhozena vzhůru nad vodorovným povrchem Země.{obr1.2-82} 2.9.4 Elastická energie hmotné soustavy 2.9.4.1 Elastická energie pružného tělesa V této části pojednáme stručně o energetických poměrech při deformování (změně tvaru) pružných těles působením jiných těles nebo silových polí. Deformace těles je z hlediska fyzikálního složitý děj, jehož průběh závisí na molekulární struktuře těles, na časovém průběhu působících sil a na mnoha dalších faktorech. Zvláštní skupinu těles tvoří tělesa pružná, tj. taková tělesa, která se po odstranění vnějších příčin deformace sama vrací do stavu velmi blízkého stavu původnímu. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 119 2.9. ENERGIE HMOTNÝCH SOUSTAV Idealizované těleso, které se vrátí přesně do původního stavu, se nazývá dokonale pružné těleso. Skutečně tělesa se dokonale pružnému tělesu při malých deformacích svými vlastnostmi většinou velmi blíží. Deformujeme-li dokonale pružné těleso, které bylo zpočátku v klidu a které bylo již jistým způsobem deformováno (stav 1) a převedeme je do (obecně jiného) stavu 2, v němž je opět v klidu a v němž je deformováno (obecně) jinak, vykonají vnější síly na ně působící (mezi tyto síly patří i síla tíhová) jistou práci W12 (obr. 2.84). Tato práce nezávisí u dokonale pružného tělesa na způsobu, jakým těleso přešlo ze stavu 1 do stavu 2, nýbrž jen na počátečním a konečném stavu. Tento výsledek plyne z definice dokonale pružného tělesa a jeho přibližná platnost pro reálná tělesa je ověřena experimentálně. ~G a ~~~F jsou vnjší síly stav stav ~G ~F~G Eelast,2 1 2 Eelast,1 Obr. 2.84: Elastická energie pružného tělesa při přechodu ze stavu 1 do stavu 2.{obr1.2-83} Na základě uvedeného výsledku definujeme potenciální energii pružnosti, neboli elastickou energii tělesa, Eelast, takto * V nedeformovaném stavu, který označíme indexem 0, je Eelast,0 = 0. * V deformovaném stavu (stav 1) je Eelast,1 = Wext 01, kde Wext 01, je práce, kterou vykonaly při deformaci vnější síly působící na těleso za předpokladu, že v počátečním i výsledném stavu bylo těleso v klidu. (definice elastické energie tělesa) (2.138){1.2-134} {ram-73} Z této definice plyne pro elastické energie Eelast,1, Eelast,2 ve dvou stavech 1, 2 vztah Eelast,2 - Eelast,1 = Wext 12, práce vnějších sil při pružné deformaci (2.139){1.2-135} {ram-74} kde Wext 12 je práce, kterou vykonají vnější síly působící na těleso při deformování tělesa ze stavu 1 do stavu 2. Důkaz: Eelast,2 = Wext 02 = Wext 012 = Wext 01 + Wext 12 = Eelast,1 + Wext 12 Wext 12 = Eelast,2 - Eelast,1. Práce sil, kterými působí pružné těleso na okolí při deformaci 1 2, je Wint 12 = -Wext 12. Tedy Wint 12 = Eelast,1 - Eelast,2 = -Eelast . (2.140){1.2-136} V technických zařízeních pružná tělesa (např. pružiny) v některých fázích děje energii přijímají, v jiných fázích ji opět vydávají (vzduchové pistole, pružiny ventilů, tlumičů atd.). Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 120 2.9. ENERGIE HMOTNÝCH SOUSTAV Poznamenejme, že elastická energie je vnitřní energii soustavy. Někdy však (při obecných úvahách) se z vnitřní energie vyčleňuje a uvádí zvlášť. 2.9.4.2 Elastická energie ideální pružiny Ideální pružina je pružina, která má zanedbatelně malou hmotnost (m = 0), která je dokonale pružná a která splňuje Hookův zákon (protažení působící síla, l F, viz odst. 1.4, obr. 2.20). Pružné vlastnosti pružiny jsou charakterizovány veličinou k, která se nazývá tuhost pružiny a která je definována vztahem k = F |x| . definice tuhosti pružiny (2.141){1.2-137} {ram-75} Zde F je velikost síly působící deformaci a x je její prodloužení (x > 0) nebo zkrácení (x < 0), obr. 2.85; [k] = N/m. 0 x ~F (x>0) (x<0) ~F m = 0 Obr. 2.85: Síla F způsobuje deformaci pružiny ­ její prodloužení (x > 0) nebo zkrácení (x < 0).{obr1.2-84} Z definičního vztahu Eelast = Wext, viz definici (2.138) a ze vztahu (1.24) plyne Eelast = 1 2 kx2 ; elastická energie pružiny (2.142){1.2-138} {ram-76} KP 2.9-3{pr1.2-26} Pružina ventilu je stlačena o 8 mm silou o velikosti 40 N. Určete její tuhost a její elastickou energii. Považujte pružinu za ideální. Řešení: 1. k = F/|x| = 40 N/(8 10-3 m) = 5 103 N/m; 2. Eelast = 1 2 kx2 = 1 2 5 103 (8 10-3)2 J = 0,16 J. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 121 ? 2.9. ENERGIE HMOTNÝCH SOUSTAV 2.9.5 Mechanická energie hmotné soustavy rgieSoustavy} 2.9.5.1 Mechanická energie hmotné soustavy Mechanická energie Em hmotné soustavy v určité vztažné soustavě je definována vztahem Em = Ek + Ep, definice mechanické energie hmotné soustavy (2.143){1.2-139} {ram-77} kde Ek je její kinetická energie -- rovnice (2.128) a Ep její potenciální energie -- odst. 2.9.3.1. Např. mechanická energie hmotné soustavy tvořené stoupající kabinou zdviže o hmotnosti m1, v níž na pružině kmitá těleso T o hmotnosti m2, je (v laboratorní soustavě) součet kinetických energií všech jejích prvků, tíhových energií všech jejích prvků a elastické energie pružiny (obr. 2.86). 1 2 `v ~F1 Em,2 Wn,12 T,m2 ~G2 ~G1 ~Fo Em,1 ~F1 ~G1 ~G2 m1 Obr. 2.86: Mechanická energie hmotné soustavy.{obr1.2-85} Mechanická energie hmotné soustavy je veličina velmi důležitá v technické praxi. Její změny při různých dějích souvisejí s prací sil, které na hmotnou soustavu působí, a to podle vztahu (2.145) případně podle vztahu (2.147), který je zvláštním případem předešlého vztahu. V dalším oba vztahy odvodíme a vysvětlíme. Uvažujme konkrétně o hmotné soustavě znázorněné na obr. 2.86, tj. o soustavě ,,kabina + pružina + těleso T . Budeme předpokládat, že vliv vzduchu v kabině na průběh děje je zanedbatelně malý. V určitém čase je hmotná soustava ve stavu 1, později je ve stavu 2. Při přechodu hmotné soustavy ze stavu 1 do stavu 2 vykonají všechny síly působící na soustavu (vnější i vnitřní) celkovou práci Wv,12, pro kterou podle vztahu (2.129) platí Ek,2 - Ek,1 = Wv,12, (2.144){1.2-140} kde Ek je kinetická energie hmotné soustavy. Vyjádříme Wv,12 takto: Síly působící na hmotnou soustavu rozdělíme na dvě skupiny: 1. konzervativní (to jsou síly tíhové a elastické) a 2. všechny jiné (síla od lana, síly odporu vedení a vzduchu). Při ději 1 2 vykonají konzervativní síly práci Wkonz,12 = Ep,1 - Ep,2, viz rovnice (2.137). Součet prací všech jiných sil označíme Wnekonz,12. Vztah (2.144) pak lze upravit takto Ek,2 - Ek,1 = Wv,12 = Wkonz,12 + Wnekonz,12 = Ep,1 - Ep,2 + Wnekonz,12. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 122 2.9. ENERGIE HMOTNÝCH SOUSTAV Odtud plyne úpravou (Ek,2 + Ep,2) - (Ek,1 - Ep,1) = Wnekonz,12, tj. Em,2 - Em,1 = Wnekonz,12. nejdůležitější vztah pro Em (2.145){1.2-141} {ram-78} Připomeňme: Em je mechanická energie hmotné soustavy. V případě hmotné soustavy na obr. 2.85 je Em = Ek + EG + Eelast. Veličina Wnekonz,12 je práce jiných sil než konzervativních. V případě hmotné soustavy na obr. 2.86 je to součet prací síly F1, kterou působí lano na kabinu a (záporná) práce, kterou vykonají síly odporu. V technické praxi je Wnekonz většinou práce sil, kterými působí na uvažovanou hmotnou soustavu ostatní tělesa, s nimiž je hmotná soustava ve styku. Rovnice (2.145) je nejdůležitějším vztahem v celé části 2.9 . Poznamenejme, že ji lze napsat i ve tvaru Ek + Ep = Em = Wnekonz,12. (2.146){1.2-142} KP 2.9.5-1{pr1.2-27} Na ideální nezatíženou pružinu (m = 0, F = k|x|) zavěsíme těleso o hmotnosti m (obr. 2.87). Nejprve je přidržíme a poté pustíme s nulovou počáteční rychlostí, takže těleso začne kmitat. Původní stav soustavy označíme 1. Po určitém čase (po několika kmitech) se soustava dostane do stavu 2 naznačeného na obr. 2.87b, v němž měřením zjistíme, že těleso má rychlost v. Určete: 1. Mechanickou energii soustavy ve stavu 1 a 2; 2. Práci Wo, kterou vykonaly síly odporu vzduchu. 1 2 ~F k m d h1 `v ~Fo Obr. 2.87: Příklad KP 2.9.5-1.{obr1.2-86} Řešení: 1. a) Em,1 = Ek,1 + EG,1 + Eelast,1 = 0 + mgh + 0, b) Em,2 = 1 2 mv2 + mg(h1 - d) + 1 2 kd2; 2. Wo = Wnekonz = Em,2 - Em,1 = . . . ( 0). Pozn.: Kromě síly odporu vzduchu působí na soustavu síla F v místě uchycení. Její působiště je v klidu, její práce je tedy nulová. Proto platí Wnekonz = Wo + WF = Wo. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 123 2.9. ENERGIE HMOTNÝCH SOUSTAV 2.9.5.2 Zákon zachování mechanické energie Při mnoha dějích probíhajících v hmotné soustavě je veličina Wnekonz,12 v rovnici (2.145) velmi malá, téměř nulová. Zejména v izolovaných soustavách, v nichž je navíc zanedbatelně malé vnitřní tření, je Wnekonz,12 = 0, takže vztah (2.145) nabude tvar Em = konst., Ek + Ep = konst. zákon zachování mechanické energie, (je-li Wnekonz,12 = 0) (2.147){1.2-143} {ram-79} Každý z těchto vztahů vyjadřuje zákon zachování mechanické energie. Diskuse: V odst. 2.9.1 jsme uvedli, že izolovaná soustava neexistuje. Kdy tedy platí zákon zachování, vyjádřený vztahy (2.147)? Platí vždy, když ve vztahu (2.145) platí Wnekonz,12 = 0, tj. tehdy, když: 1. Nekonzervativní síly působící na hmotnou soustavu jsou tak malé, že jejich práce Wnekonz,12 je ve vztahu (2.145) téměř rovna nule. Příklady: hmotná soustava znázorněná na obr. 2.83 v případě, že síly odporu a vnitřního tření jsou zanedbatelné. Nebo: srážka dvou dokonale pružných míčů nebo pružná srážka dvou molekul plynu. 2. Nekonzervativní síly jsou zanedbatelně malé, konají však nulovou práci. Příklady: a) Vozík na toboganu za předpokladu, že síly tření jsou zanedbatelně malé (obr. 2.88a). Síla Fn (od kolejnic) je kolmá na směr pohybu, koná tedy nulovou práci. Platí rovnice (2.147); b) hmotná soustava sestávající z ideální pružiny a tělesa, které na ní kmitá (obr. 2.88b). Na soustavu působí v bodě A pružiny síla Fn(= 0), kterou vyvozuje závěs. Bod A je v klidu, síla Fn koná nulovou práci, platí rovnice (2.147); c) Zcela analogická je situace u matematického kyvadla na obr. 2.88c; d) Dvě kuličky spojené ideální pružinou se pohybují po dokonale hladké nakloněné rovině (obr. 2.88d). Síly Fn od podložky jsou kolmé na směr pohybu kuliček, jejich práce je nulová, platí rovnice (2.147). `v ~Fn AA k m m a) b) c) d) ~Fn ~Fn ~Fn ~Fn Obr. 2.88: Příklady, kdy platí zákony zachování mechanické energie (nekonzervativní síla Fn koná nulovou práci). Vozík na toboganu (a), těleso na ideální pružině (b), matematické kyvadlo (c) a hmotné body spojené pružinou pohybující se po dokonale hladké nakloněné rovině (d).{obr1.2-87} KP 2.9.5-2{pr1u2-28} Na ideální nedeformovanou pružinu o tuhosti k = 50 N/m upevněnou v bodě A podle obr. 2.88b, zavěsíme těleso o hmotnosti m = 0,4 kg a pustíme je s nulovou počáteční rychlostí, takže začne volně kmitat. Odpor vzduchu je zanedbatelný; g = 10 m s-2. Uvažujte o soustavě ,,pružina + těleso a vyřešte úkoly: Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 124 2.9. ENERGIE HMOTNÝCH SOUSTAV 1. Rozhodněte a zdůvodněte, které z veličin Em, EG, Ek, Eelast se mění a které nikoliv; 2. Určete největší protažení pružiny; 3. Rychlost tělesa v okamžiku, kdy je pružina protažena o 10 cm. Řešení: 1. Vyjdeme ze vztahu (2.145), v němž Wnekonz je součet prací síly Fn (obr. 2.88b) a nulové síly odporu vzduchu. Je tedy Wnekonz = 0, takže Em = konst. Veličiny Ek, EG, Eelast se mění. 2. Označíme h (proměnnou) výšku tělesa nad zemským povrchem. Stav, v němž je těleso v nejnižším bodě, označíme 2. Pak lmax = h1 - h2. Platí: a) v nejvyšším bodě Em,1 = Ek,1 + EG,1 + Eelast,1 = 0 + mgh1 + 0 b) v nejnižším bodě Em,2 = 0 = mgh2 + 1 2 k(h1 - h2)2 Em,1 = Em,2 mgh1 = mgh2 + 1 2 k(h1 - h2)2 1) h1 = h2 - triviální 2) lmax = h1 - h2 = 2mg k = . . . = 0,16 m. 3. Označíme indexem 3 stav v němž je pružina protažena o l = 10 cm. Pak Em,1 = Em3 = mgh1 = mgh3 + 1 2 mv2 3 + 1 2 k(h1 - h3)2; h1 - h3 = l = v2 3 = l(2g - k ml) = v3 = . . . = 0,75 = 0,87 m s-1. Pokyn: Řešte příklady KP 2.6-21, KP 1.4-9, KP 1.4-22, KP 1.4-23 v textu Vybrané kapitoly z fyziky; KP 2.6-22 až KP 2.6-24. 2.9.6 Kinetická energie tuhých těles eTuhychTeles} Tuhým tělesem (nebo ,,dokonale tuhým tělesem) se nazývá takové těleso, v němž jsou vzájemné vzdálenosti jeho elementů stálé. Tuhé těleso je abstrakce, model reálných těles, jež se při působení sil vždy deformují, v nichž jsou molekuly v neustálém pohybu atd. Vyšetříme vlastnosti kinetické energie tuhých těles při rotačním a při obecném pohybu. 2.9.6.1 Kinetická energie rotujícího tělesa. Moment setrvačnosti Dokážeme toto tvrzení: Kinetickou energii tuhého tělesa, rotujícího úhlovou rychlostí kolem osy p pevné v soustavě S (inerciální nebo neinerciální) (obr. 2.89), lze v této soustavě vyjádřit ve tvaru Ek = 1 2 I2 . kinetická energie rotujícího tělesa (2.148){1.2-144} {ram-80} Zde I je veličina nazvaná ,,moment setrvačnosti tělesa vzhledem k přímce p , definovaná takto: Rozdělíme těleso na tak malé elementy, že je můžeme považovat za hmotné body a očíslujeme je. Hmotnost j-tého elementu označíme mj, jeho vzdálenost od přímky p označíme rj. Pak Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 125 2.9. ENERGIE HMOTNÝCH SOUSTAV I = m1r2 1 + m2r2 2 + . . . + mnr2 n = n j=1 mjr2 j . definice momentu setrvačnosi (2.149){1.2-145} {ram-81} S p` `v1 rj `vj mj r1 Obr. 2.89: K výpočtu kinetické energie rotujícího tělesa.{obr1.2-88} Důkaz: Do vztahu (2.128) pro Ek dosadíme v2 j = vj vj =| × rj |2= (rj)2 (obr. 2.89) a dostaneme Ek = 1 2 m1(r1)2 + 1 2 m2(r2)2 + . . . + 1 2 mn(rn)2 = 1 2 2 (m1r2 1 + m2r2 2 + . . . + mnr2 n). Zavedeme-li I definičním vztahem (2.149), dostaneme vztah (2.148). Informace: 1. Vztahem (2.149) je definován i moment setrvačnosti libovolné soustavy hmotných bodů, nejen tělesa. Při konkrétním výpočtu I pro těleso se spojitě rozloženou hmotností na základě definice (2.149) je nutno nahradit součet konečného počtu členů integrálem I = V r2 (P)(P)dV, (2.150){1.2-146} kde (P) je hustota tělesa v elementu o objemu dV v bodě P ve vzdálenosti r od přímky p. Jednotka [I] = kg m2. KP 2.9.5-3{pr1.2-29} Určete moment setrvačnosti vzhledem k ose Oy soustavy hmotných bodů naznačené v obr. 2.76. Řešení: I = m1r2 1 +m2r2 2 +m3r2 3 = m1(a-b)2 +m2a2 +m302 = 210-3 kg0,12 m2 +0,810-3 kg 0,42 m2 = 1,48 10-4 kg m2. 2. Moment setrvačnosti I vzhledem k libovolné přímce tělesa sestávajícího z několika částí o momentech setrvačnosti I1, I2, . . . , In (vzhledem k téže přímce) je dán vztahem I = I1 + I2 + . . . + In. (2.151){1.2-147} Důkaz: Součet na pravé straně definičního vztahu (2.149) rozdělíme na n součtů vztažených k jednotlivým tělesům a dostaneme přímo vztah (2.151). Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 126 2.9. ENERGIE HMOTNÝCH SOUSTAV 3. Steinerova věta Moment setrvačnosti Ip libovolného tělesa vzhledem k přímce p (obr. 2.90) a jeho moment setrvačnosti Io vzhledem k přímce o jdoucí hmotným středem C rovnoběžně s p jsou vázány vztahem Ip = Io + md2 , Steinerova věta (2.152){1.2-148} {ram-82} kde m je hmotnost tělesa a d je vzdálenost přímek p a o. Užití: Výpočet Ip integrálem (2.150) je mnohdy obtížný, výpočet Io je většinou snadnější, nadto je Io pro řadu těles jednoduchých tvarů tabelováno. Např. pro kotouč na obr. 2.90 je Io = mr2/2. Vztah (2.152) lze dokázat s užitím definičního vztahu (2.149) a jednoduché geometrické úvahy. p o r C A m d Ip Io Obr. 2.90: Příklad KP 2.9.5-3.{obr1.2-89} KP 2.9.5-4{pr1.2-30} Kotouč na obr. 2.90 má parametry m = 6 kg, r = 30 cm. Určete: 1. Io; 2. Ip pro d = 20 cm. Řešení: 1. Io = 1 2 mr2 = 1 2 6 kg 0,32 m2 = 0,27 kg m2 2. Ip = Io + md2 = (0,27 + 6 0,22) kg m2 = 0,51 kg m2. KP 2.9.5-5{pr1.2-31} Kotouč zadaný v KP 2.9.5-4 (předešlý příklad) se otáčí úhlovou rychlostí = 4 s-1 kolem 1. přímky o, 2. přímky p. Určete v obou případech jeho kinetickou energii. Řešení: Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 127 2.9. ENERGIE HMOTNÝCH SOUSTAV 1. Ek = 1 2 Io2 = 1 2 0,27 kg m242 s-2 = 2,16 J; 2. Ek = 1 2 Ip 2 = 1 2 0,51 kg m242 s-2 = 4,08 J. 2.9.6.2 Kinetická energie hmotné soustavy při obecném pohybu s užitím těžišťové soustavy Kinetickou energii Ek libovolné hmotné soustavy v libovolné inerciální vztažné soustavě S (obr. 2.91) lze vyjádřit takto: Označíme m její hmotnost a vC rychlost jejího hmotného středu C. Zavedeme vztažnou soustavu SC s počátkem v C, která koná v S translační pohyb. Nazveme ji ,,těžišťová soustava . Označíme Ek,C kinetickou energii hmotné soustavy v soustavě SC. Pak platí Ek = 1 2 mv2 C + Ek,C = Ek,trans + Ek,C . (2.153){1.2-149} Veličina Ek,trans = 1 2 mv2 C (2.154){1.2-150} se nazývá energie translačního (postupného) pohybu hmotné soustavy ve vztažné soustavě S. Udává kinetickou energii, kterou by hmotná soustava měla, kdyby vykonávala ve vztažné soustavě S postupný pohyb rychlostí vC, kterou v ní má její těžiště. Naproti tomu veličina Ek,C na volbě vztažné soustavy S nezávisí, udává tedy kinetickou energii vnitřního pohybu hmotné soustavy. Vztah (2.154) nebudeme dokazovat. HS C m S SC `vC Obr. 2.91: Kinetická energie hmotné soustavy určovaná ve vztažné soustavě S je dána její celkovou hmotností m a rychlostí jejího hmotného středu vC (vzhledem k soustavě S).{obr1.2-90} Vztah (2.154) samozřejmě platí i pro tuhé těleso. Jeho Ek,C lze vyjádřit takto: Těžiště C je v SC pevné, těleso tedy koná v SC otáčivý pohyb kolem pevného bodu C. Lze dokázat (zde to nebudeme dokazovat), že rychlosti elementů tuhého tělesa v SC jsou v každém okamžiku takové, jako kdyby se těleso právě otáčelo kolem jisté (s časem proměnné) přímky o jdoucí bodem C (obr. 2.92). Je tedy Ek,C energií rotačního pohybu, tj. Ek,C = Ek,rot. Označíme-li moment setrvačnosti tělesa vzhledem k o symbolem Io a symbolem jeho okamžitou úhlovou rychlost, pak kinetickou energii tuhého tělesa, která koná v S zcela obecný pohyb, lze vyjádřit ve tvaru Ek = Ek,trans + Ek,rot = 1 2 mv2 C + 1 2 Io 2 . kinetická energie tuhého tělesa (2.155){1.2-151} {ram-83} Tedy: Kinetická energie tuhého tělesa konajícího obecný pohyb je rovna součtu kinetických energií translačního a rotačního pohybu. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 128 2.9. ENERGIE HMOTNÝCH SOUSTAV S O C SC p `vC Obr. 2.92: Těleso se otáčí kolem pohybující se přímky p jdoucí těžištěm C.{obr1.2-91} Mechanická energie tuhého tělesa pohybujícího se v homogenním zemském tíhovém poli je dána vztahem Em = 1 2 mv2 C + 1 2 Io 2 + mghC, kde význam symbolů je zřejmý. KP 2.9.5-6{pr1.2-32} Po klidné vodorovné podložce se valí plný válec o poloměru R a o hmotnosti m rychlostí v. Určete jeho kinetickou energii. Řešení: Není-li v zadání uvedeno výslovně, ve které vztažné soustavě se má energie určit, považujeme většinou za samozřejmé, že jde o laboratorní soustavu, tj. zde o soustavu spojenou s podložkou. Uvedeme dva způsoby výpočtu. C o `v SC R m pS Obr. 2.93: Příklad KP 2.9.5-6.{obr1.2-92} 1. Zavedeme opět soustavu SC - viz obr. 2.93. V ní se válec otáčí kolem své osy souměrnosti o úhlovou rychlostí = v/R ve směru otáčení hodinových ručiček. Užijeme vztah (2.155) a dostaneme Ek = 1 2 mv2 C + 1 2 Io2 = 1 2 mv2 + 1 2 1 2 mR2 v R 2 = 3 4 mv2 . (2.156){1.2-152} 2. Valivý pohyb válce lze v každém okamžiku interpretovat jako jeho otáčení kolem osy dané přímkou dotyku p, a to úhlovou rychlostí = vC/R = v/R(= ). Kinetická energie válce je tedy Ek = 1 2 Ip 2 , kde Ip je moment setrvačnosti válce vzhledem k ose p. Ze Steinerovy věty (2.152) plyne Ip = Io + mR2 = 1 2 mR2 + mR2 = 3 2 mR2 . Dosadíme-li do předešlého vztahu, dojdeme k výsledku Ek = 1 2 Ip 2 = 1 2 3 2 mR2 2 = 3 4 mv2 , Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 129 2.9. ENERGIE HMOTNÝCH SOUSTAV který je shodný s (2.156). 2.9.7 Zákon zachování energie Při dosavadních úvahách o energii hmotných soustav jsme uvažovali jen o jejich mechanické energii. Hmotné soustavy však mají i jiné formy energie. Příklady: Atomy a molekuly ve všech látkách konají neuspořádaný (tepelný) pohyb a v různých vzájemných vzdálenostech na sebe působí přitažlivými nebo odpudivými silami. V důsledku toho mají látky tzv. vnitřní energii, kterou obvykle značíme U. Dále: V atomech a molekulách jsou v interakci atomová jádra s elektrony elektronového obalu. V důsledku tohoto vzájemného působení mají látky energii, která se mění např. při chemických reakcích (avšak i při jiných dějích -- např. při ozařování), proto se nazývá energie chemické vazby, krátce energie chemická. Dále: Soustava částic tvořících atomové jádro -- proton a neutrony -- má energii, která se nazývá energie jaderná Ejad. Zmagnetovaný kus oceli má energii magnetickou, nabitý elektrický kondenzátor má energii elektrickou. Celková energie hmotné soustavy je definována jako součet všech jejích energií: E = Ek + Ep + U + Echem + . . . . (2.157){1.2-153} Při dějích probíhajících v hmotných soustavách se (obecně) mění jak jednotlivé formy (neboli druhy) energie, tak i celková energie soustavy. Z mnoha experimentů konaných s nejrůznějšími soustavami v makroskopickém i atomárním měřítku vyplývá, že energie hmotné soustavy, která není v interakci s okolím, tj. která je izolovaná, se nemění. Celková energie izolované soustavy zůstává stálá při všech dějích, které v ní probíhají. Platí: E = konst. zákon zachování energie (2.158){1.2-154} {ram-84} Tento výsledek se nazývá zákon zachování energie. Je jedním z nejdůležitějších fyzikálních zákonů, má obecnou platnost. Přechází-li izolovaná soustava z jednoho stavu (1) do druhého (2), plyne z rovnice (2.158), že platí E1 = E2, tj E2 - E1 = 0, neboli E = 0, tj. Ek + Ep + U + . . . = 0. (2.159){1.2-155} {ram-85} Při konkrétních dějích se mohou některé z energií zmenšovat, jiné zvětšovat a některé se nemusí měnit vůbec (málokdy se mění např. Ejad). Víme-li při zkoumání určitého děje předem, že určitý druh energie se při něm nemění, pak ve vztazích (2.159), (2.158) příslušný člen obvykle vůbec nevypisujeme. Mění-li se např. jen mechanická energie hmotné soustavy, přejde vztah (2.158) na vztah (2.147). Zákon vyjádřený vztahem (2.158) se v literatuře často nazývá také ,,zákon zachování a přeměny energie . Řešte příklady KP 1.4-9, KP 1.4-22, KP 1.4-23 v textu Vybrané kapitoly z fyziky; KP 2.6-21 až KP 2.6-27. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 130 ? 2.10. POHYBOVÉ ROVNICE SOUSTAVY ČÁSTIC 2.10 Pohybové rovnice soustavy částic {1.2.8} Nejprve jsou zavedeny veličiny, které charakterizují pohybový stav hmotné soustavy jako celku: celková hybnost hmotné soustavy P (charakterizuje pohybový stav hmotné soustavy z hlediska postupné složky jejího pohybu). První (resp. druhá) pohybová rovnice7 pro hmotnou soustavu vyjadřuje souvislost časové změny hybnosti (resp. momentu hybnosti) hmotné soustavy se silami (resp. s momenty sil), které na hmotnou soustavu působí. První a druhá impulsová věta vyslovuje tvrzení o změnách uvedených veličin v časovém intervalu konečné délky. V závěru je vyšetřena pohybová rovnice pro těleso, které koná otáčivý pohyb kolem pevné osy. Cíl: I) Umět použít vztahy a zákony uvedené v rámečcích, vysvětlit pojmy, veličiny a výsledky v tomto textu; II) Vyslovit a vyložit první pohybovou rovnici a první impulsovou větu pro hmotnou soustavu, vysvětlit jejich souvislost a vyložit analogii s pohybovou rovnicí a impulsovou větou pro hmotný bod. Vyslovit zákon zachování hybnosti, vyložit podmínky jeho platnosti; III) Vysvětlit zákonitosti, jimiž se řídí pohyb hmotného středu soustavy; IV) Vysvětlit a vyložit druhou pohybovou rovnici a druhou impulsovou větu pro hmotnou soustavu, vysvětlit jejich souvislost. Vysvětlit analogii a rozdíl mezi první a druhou pohybovou rovnicí. Vyslovit zákon zachování momentu hybnosti, vyložit podmínky jeho platnosti; V) Vysvětlit zákonitosti rotačního pohybu tuhého tělesa kolem pevné osy. Vysvětlit formální analogie mezi pohybovou rovnicí rotujícího tělesa a pohybovou rovnicí hmotného bodu; VI) Řešit samostatně příklady řešené v tomto textu a příklady KP 1.4-3, KP 1.4-4, KP 1.6-1, KP 1.6-2 v textu Vybrané kapitoly z fyziky; KP 2.6-28 až KP 2.6-38. 2.10.1 První pohybová rovnice a první impulsová věta pro hmotné soustavy Uvedená rovnice a věta vyslovují tvrzení o souvislosti hybnosti hmotných soustav se silami, které na soustavu působí. Dále v textu uvedené rovnice (2.161) resp. (2.162) jsou formálně shodné s pohybovou rovnicí (2.38) pro hmotný bod resp. s rovnicí (2.59) vyslovující impulsovou větu pro hmotný bod. První pohybová rovnice i první impulsová věta jsou důsledkem pohybových rovnic pro hmotný bod. 2.10.1.1 Definice celkové hybnosti hmotné soustavy P Celková hybnost P hmotné soustavy je další z veličin, které charakterizují její pohybový stav. Zákonitosti, jež celková hybnost hmotné soustavy splňuje, umožní získat užitečné informace o pohybu hmotné soustavy jako celku, aniž bychom detailně zkoumali pohyb jejích jednotlivých částí. Celková hybnost hmotné soustavy v určité vztažné soustavě S je vektorová veličina P definovaná vztahem 7 V některé literatuře bývá obsah těchto vět pojmenováván jako I., respektive II. impulsová věta, které jsou v tomto textu vyhrazeny k pojmenování mírně odlišných tvrzení ­ viz níže. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 131 2.10. POHYBOVÉ ROVNICE SOUSTAVY ČÁSTIC S HS m1 `p1 ~P`p2 `p3 `p4 m2 m3 m4 `p1 `p2 `p3 `p4 Obr. 2.94: Celková hybnost P hmotné soustavy HS je dána vektorovým součtem hybností jednotlivých jejích elementů.{obr1.2-93} P = p1 + p2 + . . . + pn, definice celkové hybnosti hmotné soustavy (2.160){1.2-156} {ram-86} kde p1, p2, . . . , pn jsou hybnosti jejích elementů tak malých, že je lze považovat za hmotné body (obr. 2.94). Vektor P lze zakreslit kamkoliv, nejčastěji se umísťuje do těžiště soustavy. Při pohybu soustavy jsou všechny vektorové veličiny ve vztahu (2.160) obecně funkcemi času. KP 2.10-1{pr1.2-33} Určete celkovou hybnost P soustavy sestávající ze dvou těles T1, T2 o hmotnostech m1, m2 = 2m1, pohybujících se podle obr. 2.95a. Určete velikost a směr této hybnosti. T1 m1 `v1 '`v2 á ~P `p1 `p2 a) b) m2 T2 `v2 -`v1 `v2 Obr. 2.95: Příklad KP 2.10-1.{obr1.2-94} Řešení: a) P =?; P = p1 + p2, viz obr. 2.95b. Přitom |v2| = |v1|, p2 = m2v2 = 2m1v2 = 2m1v1 = 2p1. b) P =?, =?; P = p2 1 + p2 2 = p2 1 + (2p1)2 = 5 p1 = 5 m1v1; = arctan p1 p2 = arctan 1 2 = 27. Pozn.: Hybnost jsme určili v laboratorní soustavě. Určete hybnost téže hmotné soustavy ve vztažné soustavě S spojené s tělesem T1 (v soustavě S je v1 = 0, v2 = v2 - v1, obr. 2.95). 2.10.1.2 První pohybová rovnice a první impulsová věta pro hmotné soustavy První pohybová rovnice pro hmotnou soustavu a první impulsová věta pro hmotnou soustavu jsou nejdůležitějšími vztahy, jež splňuje celková hybnost P hmotných soustav. Jsou to analogie druhého Newtonova pohybového zákona a věty o impulsu síly pro hmotný bod, viz rovnice (2.38), (2.59). Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 132 2.10. POHYBOVÉ ROVNICE SOUSTAVY ČÁSTIC První pohybová rovnice pro hmotnou soustavu zní: Nechť se hmotná soustava pohybuje v inerciální vztažné soustavě S účinkem vnějších sil (Fext) a vnitřních sil (Fint), obr. 2.96. Její hybnost P(t) se přitom (obecně) mění tak, že platí dP(t) dt = ˙ P(t) = n k=1 Fext k = Fext v . první pohybová rovnice pro hmotné soustavy (2.161){1.2-157} {ram-87} Slovy: Derivace vektoru celkové hybnosti P hmotné soustavy podle času je rovna součtu vnějších sil (tj. výslednici Fext v vnějších sil), které na ni působí. To značí, že vnitřní síly nemají na P vliv. `p1,1 stav ; t ,~P1 1 S HS 1 2 m1 int ~Fv,1 m2 `v2,1 ext ~Fv,1 m3 `v3,1 `v1,1 m4 `v4,1 stav ; t ,~P2 2 m1 m2 m3 m4 `v1,2 `v2,2 `v3,2 `v4,2 Obr. 2.96: Prvky hmotné soustavy HS se pohybují v inerciální vztažné soustavě S účinkem vnějších (Fext) a vnitřních sil (Fint).{obr1.2-95} Důkaz: Napíšeme pohybové rovnice (viz rovnice (2.38)) všech elementů hmotné soustavy ve vztažné soustavě S, která je podle předpokladu inerciální, a sečteme je. Dostaneme dpk dt = Fext k + Fint k , k = 1, 2, . . . , n; n k=1 dpk dt = n k=1 Fext k , přičemž jsme užili toho, že součet vnitřních sil, které splňují třetí Newtonův pohybový zákon (viz strana 60), je roven nule. Užijeme-li v posledním vztahu vztah, který dostaneme derivováním rovnice (2.160) podle času, dostaneme vztah (2.161). Srovnejte tuto rovnici s (2.38). První impulsovou větu, rovnice (2.162), dostaneme takto: Nechť uvažovaná hmotná soustava naznačená na obr. 2.96 má v čase t1 hybnost P1 a v pozdějším čase t2 hybnost P2. V průběhu děje 1 2 se v malém časovém intervalu délky dt změní vektor P o diferenciál dP, pro který ze vztahu (2.161) plyne dP = Fext v dt, kde Fext v je výslednice vnějších sil. Sečteme-li všechny tyto změny v celém časovém intervalu t1, t2 , tj. integrujeme-li obě strany rovnice (2.161) podle času v intervalu t1, t2 , dostaneme vztah P2 - P1 = t2 t1 Fext v dt . první impulsová věta pro hmotné soustavy (2.162){1.2-158} {ram-88} Vektor daný integrálem na pravé straně je impuls vnějších sil v časovém intervalu t1, t2 , srovnejte rovnice (2.56) a (2.59). Impuls síly se značí I. Vztahy (2.161), (2.162) jsou sice formálně shodné se vztahy (2.38), (2.59) platnými pro hmotný bod, mají však obecnější fyzikální obsah. Poznamenejme, že vztahy (2.161), (2.162) jsou teoreticky získané z výsledků plynoucích z Newtonových pohybových zákonů. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 133 2.10. POHYBOVÉ ROVNICE SOUSTAVY ČÁSTIC KP 2.10-2{pr1.2-34} Vystřelený dělostřelecký granát o hmotnosti m explodoval v čase t1, kdy měl hybnost P1. Určete celkovou hybnost všech střepin a produktů exploze v pozdějším čase t2. Předpokládejte, že odpor vzduchu byl zanedbatelný a že žádná část granátu ještě nedopadla na zem (obr. 2.97). m t1 m m`g(t - t )2 1 ~P2 ~P1 1 2 t2 ~P1 ~P2 Obr. 2.97: Příklad KP 2.10-2.{obr1.2-96} Řešení: Granát i s náloží považujeme za hmotnou soustavu. Při pohybu v časovém intervalu t1, t2 na ni působily vnitřní síly a z vnějších sil, podle předpokladu, pouze síly tíhové, jejichž výslednice byla G = mg. Z první impulsové věty (2.162) dostaneme (obr. 2.97): P2 = P1 + t2 t1 G dt = P1 + mg(t2 - t1). 2.10.1.3 Zákon zachování hybnosti hmotné soustavy Je-li součet vnějších sil působících na hmotnou soustavu roven nule, plyne ze vztahu (2.161), že platí dP/dt = 0, neboli že je P = konst., tj. p1+p2+. . .+pn = konst., zákon zachování celkové hybnosti hmotné soustavy (2.163){1.2-159} {ram-89} kde p1, p2, . . . , pn jsou hybnosti jejích elementů. Celková hybnost takové soustavy je tedy stálá. Hybnosti jednotlivých elementů se mohou měnit, jejich (vektorový) součet je však konstantní. Vztah (2.163) vyjadřuje zákon zachování hybnosti. Je-li zejména na počátku pohybu P = 0, je pk = 0 v každém dalším okamžiku. Tento zákon platí např. pro izolované soustavy, platí však i pro soustavy, které izolované nejsou a na které působí i vnější síly, jejichž součet je však nulový. Příklady užití zákona zachování hybnosti a) Na obr. 2.98a je člověk v loďce na klidné vodě. Původně byla soustava ,,člověk + loďka v klidu, poté začal člověk kráčet doprava. Odpor vody byl zanedbatelný. Na soustavu působily tyto vnější síly: celková tíhová síla G a vztlaková síla vody, F = -G. Jejich výslednice byla trvale rovna nule, Fext v = G + F = 0. Ze vztahu (2.161) plyne, že hybnost soustavy je konstantní -- nulová, neboť byla nulová v původním stavu. Loďka se tedy začne pohybovat doleva tak, aby pro její hybnost p2 platilo p2 = -p1, kde p1 je hybnost člověka (v laboratorní soustavě). b) Na obr. 2.98b jsou dvě tělesa těsně před srážkou (stav 1) a těsně po ní (stav 2). Byl-li impuls vnějších sil při srážce zanedbatelně malý, pak hybnost soustavy zůstala konstantní nezávisle na tom, zda srážka byla pružná nebo nepružná. Mechanická energie soustavy se ovšem mohla změnit. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 134 ? 2.10. POHYBOVÉ ROVNICE SOUSTAVY ČÁSTIC 1 2 a) b) c) ~F ~P = 01 ~G `p1,2 ~P = ~P , `p = -`p2 1 1,2 2,2 ~F2 `p = 0 = konst. ~F1 ~F + ~F = 01 2 ` ` ` ` `p2,2 1 2 `p1,1 `p2,1 `p1,2 `p2,2 ~P = ~P2 1 ~P1 `p1,2 `p2,2`p1,1 `p2,1 ~P2 Obr. 2.98: Příklady užití zákona zachování hybnosti: člověk v loďce (a), srážka dvou těles (b) a rotující setrvačník (c).{obr1.2-97} c) Na obr. 2.98c je rotující souměrný setrvačník s volnou osou, na který působí pouze dvě vnější síly: F1 a F2 = -F1. Ježto součet vnějších sil je roven nule, hybnost setrvačníku se nemění, i když se jeho rotační pohyb a jeho kinetická energie mění. 2.10.1.4 Souvislost změn hybnosti hmotné soustavy s pohybem jejího hmotného středu Hmotný střed C hmotné soustavy, neboli těžiště hmotné soustavy, je bod, jehož poloha je definována vztahem (2.124). Při dějích, jež probíhají v hmotné soustavě, nebo jichž se hmotná soustava zúčastní, se těžiště (obecně) pohybuje. Ukážeme, že jeho pohyb souvisí s celkovou hybností hmotné soustavy a jejími změnami. a) Vyjádření hybnosti hmotné soustavy pomocí rychlosti těžiště. Označíme-li vC rychlost těžiště C hmotné soustavy o celkové hmotnosti m v libovolné vztažné soustavě (obr. 2.99) a je-li P její celková hybnost, pak platí P = mvC. (2.164){1.2-160} Skutečně je: P = m1v1 + m2v2 + . . . + mnvn = m1 dr1 dt + m2 dr2 dt + . . . + mn drn dt = d dt(m1r1 + m2r2 +. . .+mnrn) = d dt(mrC) = mvC. Přitom jsme užili vztahu (2.124). Výsledek (2.164) lze vyjádřit slovy takto: Hybnost hmotné soustavy o hmotnosti m je stejná jako hybnost hmotného bodu o hmotnosti m pohybujícího se rychlostí hmotného středu. hmotný bod soustava S O m = m + m + ... + m1 2 n m1 C ~P `vC `v1 m `v = `vC m2 m3 m4 `v2 `v3 `v4 ~P Obr. 2.99{obr1.2-98} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 135 2.10. POHYBOVÉ ROVNICE SOUSTAVY ČÁSTIC b) Věta o pohybu hmotného středu Tato zajímavá a užitečná věta zní: Hmotný střed hmotné soustavy o hmotnosti m, ve které působí vnitřní a vnější síly (tyto pak o výslednici Fext v ), se pohybuje v inerciální soustavě stejně jako hmotný bod o hmotnosti m, na který působí síla Fext v (obr. 2.100). Vnitřní síly nemají na pohyb hmotného středu vliv. C `aC `vC hmotná soustava hmotný bod `v = `vC `a = `aC m ext ~F = ~Fv S m1 int ~Fv,1 m2 m3 m4 ext ~Fv,1 m5 ext ~Fv m = m + m + ... + m1 2 n Obr. 2.100{obr1.2-99} Tato věta vyplývá ze vztahu (2.165), který odvodíme: Pro celkovou hybnost P soustavy platí vztah (2.164). Jeho derivováním podle času dostaneme dP dt = d dt (mvC) = m dvC dt = maC, kde aC je zrychlení hmotného středu. Dosadíme-li sem za dP/dt veličinu Fext v ze vztahu (2.161) platného v libovolné inerciální soustavě, dostaneme Fext v = maC. zrychlení hmotného středu (2.165){1.2-161} {ram-90} Vztah Fv = ma je však pohybová rovnice hmotného bodu o hmotnosti m, na který působí síly o výslednici Fv. Ze vztahu (2.165) plyne, že hmotný střed má stejné zrychlení jako zmíněný hmotný bod. Mají-li hmotný bod a hmotný střed stejné počáteční rychlosti, pohybují se po stejných trajektoriích, viz obr. 2.100. Příklady užití vztahu (2.165): 1. Je-li Fext v = 0 (hmotná soustava je např. izolovaná), plyne ze vztahu (2.164) aC = 0. Hmotný střed je buď v klidu nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře. 2. Pohybuje-li se libovolná hmotná soustava jen účinkem homogenního tíhového pole (bez odporu vzduchu), je součet vnějších sil dán vztahem Fext v = G = mg. Ze vztahu (2.165) pak plyne aC = g. To značí: hmotný střed hmotné soustavy se pohybuje obecně po parabole. Na obr. 2.101 je znázorněn skokan. Po odrazu od země se jeho těžiště pohybuje po parabole, nezávisle na tom, jaké pohyby atlet během letu koná. Podobně se po parabole pohybuje i těžiště soustavy střepin vybuchlého granátu znázorněného na obr. 2.97. 2.10.2 Druhá pohybová rovnice a druhá impulsová věta pro hmotné soustavy ybovaRovnice} Uvedeme věty vyslovující zákonitosti, které se vztahují k rotační části obecného pohybu obecné hmotné soustavy. Její hlavní smysl vysvětlíme na pohybu desky znázorněné v obr. 2.102. Homogenní čtvercová deska, na kterou nepůsobí vnější síly, nechť se v některém okamžiku otáčí Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 136 ? ? ? 2.10. POHYBOVÉ ROVNICE SOUSTAVY ČÁSTIC parabola C C Obr. 2.101{obr1.2-100} v inerciální soustavě S kolem přímky q. Její hybnost P je rovna nule, neboť celou desku lze považovat za soustavu dvojic hmotných elementů o stejných hmotnostech položených souměrně vzhledem k přímce q, pro něž platí p1 + p2 = 0 (obr. 2.102). (Pozn.: takový pohyb lze realizovat v kosmu nebo v soustavě, která je v nezatíženém stavu). qm2 `p1 m = m , `p = -`p , `p +`p = 01 2 1 2 1 2 S ~ `p2 m1 Obr. 2.102{obr1.2-101} Položme si otázku: Může se deska sama od sebe, jen působením vnitřních sil, začít otáčet rychleji nebo pomaleji? Tušíme, že ne. První pohybová rovnice však na tuto otázku nedává odpověď, tvrdí jenom, viz rovnice (2.163), že P = konst., tj. v našem případě P = 0. Tento vztah by ovšem platil, i kdyby deska změnila svoji úhlovou rychlost. Tedy: Změna rotačního pohybu hmotné soustavy bez působení vnějších sil není v rozporu s první pohybovou rovnicí pro hmotnou soustavu. To, že změna rotačního pohybu izolované soustavy není možná, vyplývá až z tzv. druhé pohybové rovnice pro hmotnou soustavu, rovnice (2.169), kterou v dalším odvodíme. Nejprve však budeme definovat veličiny, které se uplatňují při rotačním pohybu -- moment hybnosti a moment síly. 2.10.2.1 Moment hybnosti, moment síly a) Moment hybnosti hmotného bodu vzhledem k bodu P je vektorová veličina definována takto: Nechť hmotný bod se pohybuje vzhledem k nějaké soustavě S v určitém okamžiku bodem A rychlostí v, takže má hybnost p. Volme libovolně bod P a sestrojme vektor r = PA (obr. 2.103). Moment hybnosti hmotného bodu vzhledem k bodu P je vektorová veličina l definována vztahem P ~ l = `r `p `r `p A m S Obr. 2.103{obr1.2-102} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 137 2.10. POHYBOVÉ ROVNICE SOUSTAVY ČÁSTIC l = r × p = r × mv. definice momentu hybnosti hmotného bodu vzhledem k bodu (2.166){1.2-161a} {ram-91} Informace: (a) [l] = kg m2 s-1 (b) Vektor l se umísťuje do bodu P, který se nazývá pól. Velikost i směr vektoru l závisí na volbě bodu P. Velikost vektoru l :| l |= rp sin = rmv sin , kde 0 180 (obr. 2.103). Směr vektoru l : l r, p, vektory r, p, l umístěné v jednom bodě tvoří pravotočivý trojhran, přitom postupujeme od r k p nejkratší cestou ( 180). Pozn.: Určení směru l zde často činí potíže. (c) Všimněte si: Je-li pól P pevný a hmotný bod se pohybuje rovnoměrně po přímce (p = konst.), je l = konst. (d) Za pól P se nejčastěji volí počátek souřadnic, P O. b) Celkový moment hybnosti L hmotné soustavy vzhledem k bodu P je definován jako (vektorový) součet momentů hybností všech jejích elementů vzhledem k bodu P (obr. 2.104), tj. P ~ l = `r `p1 1 1 1 S `p1 `r1 m1 `r2 m2 `p2 ~ l = `r `p2 2 2 2 ~L =~ l +~ l1 2 Obr. 2.104{obr1.2-103} L = l1 +l2 +. . .+ln = r1 ×p1 +. . .+rn ×pn . definice L pro hmotnou soustavu (2.167){1.2-162} {ram-92} V obr. 2.104 je pro přehlednost zakreslena hmotná soustava sestávající pouze ze dvou hmotných bodů. Pohybují-li se elementy hmotné soustavy, pak momenty hybností l1, l2, . . . , ln, a L se obecně mohou, ale také nemusí, měnit. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 138 2.10. POHYBOVÉ ROVNICE SOUSTAVY ČÁSTIC KP 2.10-3{pr1.2-35} Určete moment hybnosti bicyklového kola rotujícího úhlovou rychlostí kolem osy o podle obr. 2.105, a to vzhledem k pólu P ležícímu ve středu kružnice k. Předpokládejte, že hmotnost m kola je rozložena na kružnici k o poloměru R. Řešení: Kolo považujeme za hmotnou soustavu sestávající z malých elementů ­ hmotných bodů o hmotnostech m1, m2, . . . , mn a rychlostech v1, v2, . . . , vn, jež mají stejné velikosti, v1 = v2 = . . . = vn = R. Hybnost k-tého elementu označíme pk, jeho moment hybnosti vzhledem k pólu P označíme lk. Pak platí L = n k=1 lk = l1 + l2 + . . . + ln = r1 × p1 + r2 × p2 + . . . + rn × pn, kde rk je polohový vektor k-tého elementu vzhledem k pólu P. Všechny vektory lk = rk × pk, k = 1, 2, . . . , n mají směr osy o. Jejich velikosti jsou |lk| = |rk| |pk| sin 90 = Rmkvk 1 = RmkR = mkR2 . Ježto všechny vektory mají stejný směr, má jejich (vektorový) součet velikost (obr. 2.105) |L| = n k=1 lk = n k=1 |lk| = n k=1 mkR2 = I, kde I je moment setrvačnosti kola vzhledem k ose o. ~ ln S k `r1 m1 90" `p1 R o ~ l1 ~L ~ `rn mn 90" `pn ~ l1 ~ ln Obr. 2.105{obr1.2-104} c) Moment síly F vzhledem k bodu P. Nechť na nějaký hmotný bod nebo na nějaké těleso v jeho bodě A působí síla F (obr. 2.106). Volme (libovolně) pól P a označme r = - PA. Moment síly F vzhledem k bodu P je vektorová veličina M definována vztahem M = r × F. definice momentu síly vzhledem k bodu (2.168){1.2-163} {ram-93} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 139 ? 2.10. POHYBOVÉ ROVNICE SOUSTAVY ČÁSTIC P `r ~F tleso A f~M d Q Obr. 2.106{obr1.2-105} Informace: (a) [M] = N m(= kg m2 s-2); užívá se N m; (b) Vektor M se umísťuje do pólu P. Vektor M závisí na poloze pólu. Má velikost: |M|(= M) = rF sin , 0 180 . Směr: M r, F. Vektory r, F, M umístěné v jednom bodě tvoří pravotočivý trojhran (rovněž: pravidlo pravotočivého šroubu). Viz obr. 2.106; (c) Úsečka PQ, kde Q je pata kolmice spuštěné z P na nositelku síly F, tj. přímku f v obr. 2.106, se nazývá rameno síly F. Její délka d = r sin se někdy rovněž nazývá rameno síly. Pak lze psát M = Fr sin = Fd. (d) Z předchozího plyne, že posouvá-li se působiště A po přímce f, zůstává M = konst; (e) Veličina M charakterizuje otáčivý účinek síly umístěné v bodě A, vzhledem k bodu P. Proto se nazývá otáčivý moment síly; (f) Působí-li v bodě A několik sil, F1, F2, . . . , Fn, (viz obr. 2.106), pak z experimentu plyne, že jejich celkový otáčivý účinek je stejný, jako otáčivý účinek jejich výslednice Fv = F1 + F2 + . . . + Fn. Moment výslednice sil je tedy roven součtu momentů jednotlivých sil, Mv = M1 + M2 + . . . + Mn. Tento výsledek plyne i matematicky ze vztahu (2.65). 2.10.2.2 Druhá pohybová rovnice a druhá impulsová věta pro hmotnou soustavu Pohybová rovnice pro hmotnou soustavu zní: Nechť se soustava pohybuje v inerciální vztažné soustavě S účinkem vnějších sil (Fext) a vnitřních sil (Fint), obr. 2.107. Její celkový moment hybnosti L vzhledem k libovolnému (ale v S pevnému) bodu P je (obecně) funkcí času a mění se tak, že platí Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 140 2.10. POHYBOVÉ ROVNICE SOUSTAVY ČÁSTIC dL(t) dt = Mext v , druhá pohybová rovnice pro hmotnou soustavu (2.169){1.2-164} {ram-94} kde Mext v je výsledný moment jednotlivých vnějších sil působících na soustavu. ext ~F1 ext ~M v P ext %~L = ~M %tv ~L(t) ~L(t+%t) ext ~F3 ext ~F2 int ~F32 int ~F23int ~F31 int ~F13 int ~F12 int ~F21`r1 `r2 `r3 m1 m2 m3 Obr. 2.107{obr1.2-106} V obr. 2.107 jsou znázorněny vektory L a Mext v v čase t. V elementárním časovém intervalu (t, t + dt) změní se L(t) na L(t + dt) = L(t) + dL, kde podle vztahu (2.169) je dL = Mext v dt. Důkaz: Považujme hmotnou soustavu za soubor hmotných elementů o hmotnostech m1, m2, . . . , mn, o hybnostech p1, p2, . . . , pn a o momentech hybnosti l1, l2, . . . , ln. Označme r1, r2, . . . , rn jejich polohové vektory vzhledem k P, dále Fext, Fint, atd. vnější a vnitřní síly, které na ně působí, a Mext, Mint atd. momenty odpovídajících sil vzhledem k P. Pak platí dL dt = d dt (l1+l2+. . .+ln) = d dt (r1×p1+r2×p2+. . .+rn×pn) = d dt (r1×p1)+ d dt (r2×p2)+. . .+ d dt (rn×pn). Jednotlivé členy upravíme s užitím vztahu d dt a(t) × b(t) = ˙a × b + a × ˙ b, který se dokazuje ve vektorové analýze. Napíšeme pouze úpravu prvního členu: d dt (r1×p1) = dr1 dt ×p1+r1× dp1 dt = v1×p1+r1×(Fext 1 +Fint 1 ) = 0+r1×Fext 1 +r1×Fint 1 = Mext 1 +Mint 1 . Zde jsme užili toho, že v1 p1 a toho, že soustava S je inerciální a že platí pohybové rovnice dp1 dt = Fext 1 + Fint 1 = Fv . Sečteme-li tyto členy, dostaneme dL dt = n k=1 Mext k + n k=1 Mint k = n k=1 Mext k + 0 = Mext v (= Mv). Zde jsme užili toho, že vnitřní síly splňující třetí pohybový zákon (akce a reakce), takže je lze seskupit do dvojic sestávajících ze stejně velkých opačně orientovaných sil ležících na jedné přímce. Moment každé z těchto dvojic vzhledem k libovolnému bodu je nulový. Důkaz je tím proveden. Informace: Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 141 2.10. POHYBOVÉ ROVNICE SOUSTAVY ČÁSTIC P C š1 ~F2 ~F1 ext ~M ext %~L = ~M %t ~L(t+%t) ~L(t) š2 Obr. 2.108{obr1.2-107} 1. Pohybová rovnice (2.169) má tvar analogický tvaru první pohybové rovnice (2.161). Platí i tehdy, když pohyb hmotné soustavy zkoumáme v těžišťové soustavě a bod P leží v jejím počátku, tj. v těžišti hmotné soustavy. Důkaz nebudeme provádět, lze jej najít např. [1], strana 307. 2. Působí-li na rotující hmotnou soustavu, např. na tuhá tělesa, otáčivé momenty, reagují na ně hmotné soustavy způsobem, který je pro nezasvěceného pozorovatele nečekaný. Uvedeme příklady: ) Na obr. 2.108 je znázorněn symetrický setrvačník sestávající ze dvou homogenních kotoučů spojených hřídelem rotující v některém okamžiku kolem své osy souměrnosti. Hřídel je uložen pomocí ložiska zavěšeném na vlákně v místě, kde je těžiště C celé soustavy, a je vodorovný. Moment vnějších sil vzhledem k pólu P C je roven nule, Mext v,1 = 0. Ze vztahu 2.169 plyne, že moment hybnosti setrvačníku, který má směr osy symetrie, se nemění, L = konst. Setrvačník tedy rotuje stálou úhlovou rychlostí a směr jeho osy se nemění. Začne-li na setrvačník působit silová dvojice (F1, F2) o momentu Mext 2 , vektor L se začne souhlasně s 2.169 měnit. Jeho změna v elementárním časovém intervalu délky dt bude dL = Mext v,2 dt = Mext 2 dt. Směr vektoru dL je tedy rovnoběžný se směrem vektoru Mext 2 , který leží ve vodorovné rovině a je kolmý na osu setrvačníku. Osa setrvačníku se začne otáčet ve směru naznačeném v obr. 2.108 šipkami š1, š2, takže zůstane vodorovná. Konce hřídele se budou pohybovat kolmo na směr působících sil. ) Na rotující souměrnou káču podepřenou v bodě P působí tíhové síly momentem Mext v = rC × G (viz obr. 2.109). Ježto podle vztahu (2.169) platí dL = Mext v dt, pohybuje se konec vektoru L ve směru daném okamžitým směrem vektoru Mext v . Osa setrvačníku tedy opisuje kužel K a současně opisuje (jiný) kužel i vektor Mext v . Oba kužely mají společnou osu o a vrchol P. Takový pohyb setrvačníku se nazývá precesní. Podobný precesní pohyb koná i Země vlivem sil nehomogenního gravitačního pole Slunce a jimi způsobeného momentu. Osa Země se pohybuje (přibližně) po kuželové ploše s vrcholem v těžišti Země s periodou, která se nazývá Platonský rok, . = 2,6104 roku. 3. Zákon plošné rychlosti pro pohyb hmotného bodu v centrálním silovém poli. Při pohybu tělesa (hmotného bodu) v centrálním silovém poli, např. při pohybu družice v gravitačním Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 142 2.10. POHYBOVÉ ROVNICE SOUSTAVY ČÁSTIC k o P ~G C `rC ext ~M ~L(t+%t) ~L(t) ext %~L = ~M %t ~L ext ~M = `r ~GC Obr. 2.109{obr1.2-108} poli Slunce, jsou plochy, opsané průvodičem r hmotného bodu v časových intervalech stejné délky na jedné trajektorii, stejné (viz ods. 2.7.2.3, druhý Keplerův zákon pro pohyb planet). Tento zákon nyní dokážeme. Důkaz: Nechť hmotný bod se pohybuje v centrálním silovém poli s centrem A, jenž je v klidu v inerciální vztažné soustavě (viz obr. 2.108). Užijeme pro hmotný bod vztah (2.169), přičemž P volme v bodě A. Platí: dL dt = Mext v , tj. d dt (r × mv) = r × F = 0, neboť síla F je orientována do bodu P. Odtud plyne (L =)r×mv = konst. Ježto L r, v, plyne odtud, že trajektorie je rovinná. Vypočteme velikost vektoru L (význam užitých symbolů je zřejmý z obr. 2.110): trajektorie %S m `v `r ~F AP ~L = konst. trajektorie %S %s0 %s m`r AP %s = v %t, %s = %s sin 0 ~L = konst. Pohled shora Obr. 2.110{obr1.2-109} | L |= L = rmv sin = mr ds dt sin = mr ds0 dt = m 2 1 2 rds0 dt = m 2 dS dt , kde dS je plošný obsah obecného (v obr. 2.108 vyšrafovaného) trojúhelníka, opsaného za dobu dt průvodičem hmotného bodu. Ježto L = konst., dostáváme dS dt = konst. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 143 2.10. POHYBOVÉ ROVNICE SOUSTAVY ČÁSTIC Druhá impulsová věta obsahuje tvrzení o změně momentu hybnosti hmotné soustavy v časovém intervalu konečné délky. Svým obsahem a formou zápisu je analogická první větě impulsové, rovnice (2.162). Zní takto: Nechť se hmotná soustava pohybuje v inerciální vztažné soustavě S účinkem vnějších sil. Označme Mext v (obecně časově proměnný) moment hybnosti vzhledem k bodu P, který je vzhledem k S v klidu. Nechť celkový moment hybnosti soustavy vzhledem k P v čase t1 je L1 a v čase t2(> t1) je L2. Pak platí L2 - L1 = t2 t1 Mext v dt. druhá impulsová věta pro hmotné soustavy (2.170){1.2-165} {ram-95} Vektorová veličina na pravé straně se nazývá impuls momentu sil v časovém intervalu t1; t2 . Výsledek (2.170) se nazývá druhá impulsová věta. Plyne z rovnice (2.169) její integrací v časovém intervalu t1; t2 . Zůstává v platnosti i tehdy, když pohyb hmotné soustavy zkoumáme v těžišťové soustavě a bod P leží v jejím počátku, tj. v těžišti hmotné soustavy. Impuls momentu sil se označuje L. 2.10.2.3 Zákon zachování momentu hybnosti Jestliže moment vnějších sil působících na hmotnou soustavu je roven nule (Mext v = 0), pak z rovnice (2.169) plyne, že celkový moment hybnosti L hmotné soustavy se nemění, tj. že platí L = konst. Podmínka Mext v = 0 je splněna zejména u izolované soustavy. Platí tedy: Pohybuje-li se izolovaná hmotná soustava v inerciální vztažné soustavě, pak její celkový moment hybnosti vzhledem k pevnému bodu P je stálý, L = konst. zákon zachování celkového momentu hybnosti izolované soustavy (2.171){1.2-166} {ram-96} Tento výsledek zůstává v platnosti i při zkoumání pohybu hmotné soustavy v její těžišťové soustavě P umístěným v těžišti hmotné soustavy. Výsledek vyjádřený vztahem (2.171) se nazývá zákon zachování momentu hybnosti. Důsledky zákona zachování momentu hybnosti: a) Setrvačníkový (gyroskopický) kompas. Umělý horizont v letadle. Symetrický setrvačník rotující kolem své osy symetrie vznášející se v beztížném stavu ve volně letící družici, na který nepůsobí otáčivé momenty, zachovává vzhledem k inerciální soustavě (např. heliocentrické nebo geocentrické) jednak směr svojí osy, jednak svojí úhlovou rychlost ({dL/dt = Mext v , Mext v = 0} L = konst.) Jeho osa míří trvale do určitého směru vesmíru, tj. k některé ze stálic (obr. 2.111). Je-li setrvačník upevněn v tzv. Cardanově závěsu, je moment vnějších sil (za předpokladu, že síly tření v ložiskách a síly odporu vzduchu jsou zanedbatelné) rovněž nulový. Osa tohoto setrvačníku, roztočeného kolem osy jeho symetrie, je v geocentrické soustavě stálá, i když je setrvačník umístěn např. na povrchu Země. Umístíme-li takový setrvačník např. v letadle, lze vhodným mechanizmem, jehož je setrvačník součástí, trvale registrovat podélný i příčný sklon letadla vzhledem k vodorovné rovině (umělý horizont). Setrvačník umístěný ve vhodném závěsu zaujímá při pohybu na povrchu Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 144 2.10. POHYBOVÉ ROVNICE SOUSTAVY ČÁSTIC družice v klidu vzhledem k Zemi Zem S Obr. 2.111{obr1.2-110} Země směr místního poledníku (setrvačníkový kompas). Setrvačníků se užívá k navigaci lodí, letadel a kosmických sond, k jejich stabilizaci i k jejich automatickému řízení. Přesná teorie setrvačníků je složitá. b) Uvede-li se do chodu ruční elektrická vrtačka zavěšená podle obr. 2.112, která byla zpočátku v klidu a jejíž celkový moment hybnosti v laboratorní soustavě byl nulový, L1 = 0, zůstane L = 0 i při otáčení rotoru, neboť Mext v = 0. Nabude-li rotor moment hybnosti l2, tak musí být tento vektor takový, aby stále platilo l1 + l2 = L2 = 0. Pouzdro vrtačky se tedy začne otáčet opačným směrem než rotor. 2 1 S ~L1 ~L = -~L2 1 Obr. 2.112{obr1.2-111} 2.10.3 Pohybová rovnice tuhého tělesa otáčejícího se kolem pevné osy saKolemPevne} V této části se budeme zabývat zákonitostmi rotačního pohybu tuhých těles a budeme studovat příslušnou pohybovou rovnici (2.179), která vyjadřuje souvislost kinematické veličiny (viz vztah 2.23) s dynamickou veličinou M (rovnice 2.168). 2.10.3.1 Definice hlavních veličin Uvažujeme o tuhém tělese T, které koná otáčivý pohyb kolem osy o, pevné v inerciální vztažné soustavě S (obr. 2.113). Může to být např. ozubené kolo v rychlostní skříni, nebo setrvačník, nebo fyzické kyvadlo. Pohyb tělesa je charakterizován úhlovou rychlostí a úhlovým zrychlením , které jsou (obecně) jistými funkcemi času. Na těleso přitom působí vnější a vnitřní síly. (Síly nejsou pro přehlednost v obr. 2.113 zakresleny.) Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 145 2.10. POHYBOVÉ ROVNICE SOUSTAVY ČÁSTIC ` Ck `rk 90" T o S mk `vk ~ lo,k ~Lo Obr. 2.113{obr1.2-112} Pohybový stav rotujícího tělesa je charakterizován veličinou celkový moment hybnosti tělesa vzhledem k ose o, který se označuje Lo a který budeme v dalším definovat. Považujeme těleso za soustavu hmotných elementů, jež se všechny pohybují po kružnicích a jejichž vzájemné vzdálenosti se neměnní (těleso je tuhé). Elementy očíslujme indexem k a označme mk hmotnost k-tého elementu, rk poloměr kružnice, po níž se tento element pohybuje, a vk jeho (obecně proměnnou) rychlost. Moment hybnosti k-tého elementu vzhledem k ose o je definován takto: Označíme rk polohový vektor k-tého elementu vzhledem ke středu jeho trajektorie (bod Ck v obr. 2.113) a jeho moment hybnosti lo,k vzhledem k ose o definujeme vztahem lo,k = rk × mkvk. definice momentu hybnosti k-tého hmotného bodu vzhledem k ose o (2.172){1.2-167} {ram-97} Tato vektorová veličina, která je rovnoběžná s vektorem , se umísťuje do bodu Ck. Celkový moment hybnosti tělesa vzhledem k ose o se značí Lo. Je definován součtem Lo = n k=1 lo,k = n k=1 rk × mkvk. definice celkového momentu hybnosti hmotné soustavy vzhledem k ose o (2.173){1.2-168} {ram-98} Vektor Lo je rovnoběžný s vektorem a má velikost, kterou lze vyjádřit ve tvaru |Lo| = n k=1 lo,k = n k=1 |lo,k| = n k=1 rkmkvk sin 90 = n k=1 rkmkrk = = n k=1 mkr2 k = I, kde I je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose rotace. Rovnost mezi druhým a třetím výrazem plyne z toho, že vektory lo,k mají stejný směr. Ježto platí Lo , můžeme psát Lo = I. vztah mezi Lo a (2.174){1.2-169} {ram-99} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 146 2.10. POHYBOVÉ ROVNICE SOUSTAVY ČÁSTIC ~Fk|| T ~Fk Ck ~Fk ~M o,k S `rk k o Ak Obr. 2.114{obr1.2-113} Moment síly vzhledem k ose o, tj. Mo, je vektorová veličina, která charakterizuje otáčivý účinek síly působící na těleso, jež se může otáčet kolem osy o. Nazývá se otáčivý moment síly vzhledem k ose o. Moment síly Fk působící na k-tý element tělesa T (obr. 2.114) definujeme takto: Sílu Fk rozložíme na dvě navzájem kolmé složky Fk a Fk, z nichž první je rovnoběžná s osou o a druhá leží v rovině kolmé na osu o. Z bodu Ck (viz obr. 2.113­2.114) vedeme opět polohový vektor rk (kolmý na osu o) a moment Mo,k síly Fk vzhledem k ose o definujeme vztahem Mo,k = rk × Fk. moment síly Fk vzhledem k ose o (2.175){1.2.-170} {ram-100} Tento vektor se umísťuje do bodu Ck. Je buď souhlasně nebo nesouhlasně rovnoběžný s vektorem . Zvolíme-li kladný smysl otáčení tím, že osu o orientujeme a průmět vektoru Mo,k do orientované osy o označíme Mo,k, pak může být buď Mo,k > 0 (síla má otáčivý účinek v kladném smyslu), anebo Mo,k < 0 (síla má otáčivý účinek v záporném smyslu), přičemž |Mo,k| = rkFk sin k. Z obr. 2.114 je patrný smysl užitých symbolů (např. k je vždy kladný úhel, který svírají vektory rk a Fk). Pokud bude k = 0, případně 180, je Mo,k = 0 a síla Fk nemá otáčivý účinek na k-tý element tělesa. Výsledný moment sil působících na těleso vzhledem k ose o je definován jako součet Mo,v = n k=1 Mo,k. výsledný moment sil působících na těleso vzhledem k ose o (2.176){1.2.-171} {ram-101} 2.10.3.2 Pohybová rovnice pro rotační pohyb tělesa Analogií druhého pohybového zákona ma = Fv pro hmotný bod je rotační pohyb tělesa kolem pevné osy (viz rovnice 2.179). Odvodíme ji úvahou o momentech hybnosti vzhledem k ose o Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 147 2.10. POHYBOVÉ ROVNICE SOUSTAVY ČÁSTIC jednotlivých elementů tělesa. Tedy pro k-tý element platí dlo,k dt = d dt (rk×mkvk) = drk dt ×mvk+rk×mk dvk dt = 0+rk×mkak = rk×Fk = rk×(Fint k +Fext k +Fext k ). (2.177){1.2-172} Při úpravách jsme užili vztahu mak = Fk, kde Fk je výslednice sil působících na k-tý element. Tuto sílu jsme vyjádřili jako součet výslednic vnitřních sil (Fint k ) a vnějších síl (Fext k ) působících na bod k. Výslednici vnějších sil jsme dále rozložili na dvě složky: Fext k = Fext k + Fext k , viz obr. 2.114. Sečteme nyní všechny rovnice, které dostaneme z (2.177) dosazením k = 1, 2, . . . , n, a užijeme vztahu 2.173. Vychází dLo dt = n k=1 dlo,k dt = n k=1 rk ×Fint k + n k=1 rk ×Fext k + n k=1 rk ×Fext k = 0+0+ n k=1 Mext o,k = Mext o,v (2.178){1.2-173} Při úpravách jsme použili toho, že: 1. Vnitřní síly splňují zákon akce a reakce a působí na spojnici bodů, lze je tedy uspořádat do dvojic, z nichž každá má nulový moment vzhledem k ose o; 2. Vektor dLo/dt leží na ose o, zatímco každý z vektorů rk × Fext k je, pokud se sám nerovná nule, na osu o kolmý. Ježto poslední člen na pravé straně (tj. n k=1 rk × Fext k ) leží v ose o, musí tedy platit n k=1 rk × Fext k = 0 . Ze vztahů (2.178) a (2.174) dostáváme dLo dt = Mext o,v , I d dt = Mext o,v , I = Mext o,v , tj. I d2 dt2 = Mext o,v pohybové rovnice tělesa otáčejícího se kolem pevné osy (2.179){1.2-174} {ram-102} Informace: 1. Zopakujme fyzikální význam veličin ve vztahu (2.179): Skalární veličina I je moment setrvačnosti vzhledem k ose o, viz definice (2.149). Charakterizuje setrvačné vlastnosti tělesa při jeho otáčení kolem pevné osy. Úhlové zrychlení tělesa je kinematická veličina, která charakterizuje časovou změnu úhlové rychlosti tělesa. Vektorová veličina Mext o,v ­ výsledný moment vnějších sil vzhledem k ose o ­ charakterizuje otáčivý účinek sil vzhledem k ose. 8 Vektory Lo, , , Mext o,v leží v ose o. Pro konkrétní výpočty je užitečné rovnice (2.179) přepsat do skalárního tvaru. 2. Analogie mezi pohybovými rovnicemi pro hmotný bod a pro tuhé těleso rotující kolem pevné osy o: dp dt = Fv, ma = Fv, max = Fv,x ; dLo dt = Mext o,v , I = Mext o,v , I = Mext o,v (2.180){1.2-177} 8 Nezaměňujte s momentem výslednice vnějších sil! Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 148 2.10. POHYBOVÉ ROVNICE SOUSTAVY ČÁSTIC o S 0 ~F ~R Obr. 2.115{obr1.2-114} 3. Pro průměty vektorů Mext o,v , Mext k do osy o může platit kterýkoliv ze vztahů Mext o,v >=< 0, Mext k >=< 0. Znaménko závisí na volbě kladného smyslu rotace a na smyslu otáčivého účinku působících sil, viz následující příklady. KP 2.10-4{pr1.2-36} Kotouč o poloměru R a o momentu setrvačnosti I vzhledem k ose o obr. 2.115 rotuje s úhlovou rychlostí 0. V čase t = 0 s na něj začne působit točná síla F podle obr. 2.115. Určete: 1. Úhlové zrychlení kotouče; 2. Úhlovou rychlost kotouče jako funkci času; 3. Čas, v němž se kotouč zastaví. Řešení: 1. =? Smysl otáčení kotouče budeme považovat (zvolíme za) kladný, tj. osu o orientujeme za nákresnu. Veličinu určíme s pomocí rovnic (2.180), tj. I = Mext o,v , kde Mext o,v = -RF. (Pozn.: Vektor M = R × F míří před nákresnu, takže jeho průmět do orientované osy je záporný). Tedy: I = -RF = - RF I (=konst.; otáčivý pohyb rovnoměrně zpomalený) 2. (t) =? = d dt = t + 0; = 0 - RF I t; 3. t1 =? (t1) = 0, tj. 0 - RF I t1 = 0 t1 = I0 RF . KP 2.10-5{pr1.2-37} Na plné homogenní kladce T1 o hmotnosti m1, poloměru R a momentu setrvačnosti I = 1 2 m1R2 je navinuto vlákno, na jehož konci je připevněno těleso T2 o hmotnosti m2 (viz obr. 2.116). Řešte úkoly: 1. Kladka je zajištěna proti otáčení kolíkem K. Určete tah ve vlákně; 2. Kladka je uvolněna, tření v ložisku je zanedbatelné. Určete Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 149 ? 2.10. POHYBOVÉ ROVNICE SOUSTAVY ČÁSTIC x R m1 T1 '~F,~F ~G2 + T2 m2 Obr. 2.116{obr1.2-115} a) zrychlení tělesa T2, b) tah ve vlákně. Řešení: 1. F =? Pohybová rovnice tělesa T2 zní: m2a = G2 + F, kde a = 0. Tedy F = -G2, F = m2g; 2. a x =? Pohybová rovnice tělesa T2: m2a = G2 + F m2ax = G2 - F . Pohybová rovnice kladky: zvolíme kladný směr otáčení podle obr. 2.116, pak I = Mext o,v , kde Mext o,v = +F R, = ax R . Tedy I a x R = F R I ax R = (G2 - m2ax)R ax = G2/(I/R2 + m2); F =? F = G2 - m2ax = . . . Doplňkový úkol: Určete sílu, kterou kladka působí na hřídel v případech 1 a 2. (Výsledek: 1) Fv = g(m1 + m2); 2) Fv = gm1 + (-F ) = . . .) KP 2.10-6{pr1.2-38} O xxkxC mk l ç C Obr. 2.117{obr1.2-116} Fyzické kyvadlo je libovolné těleso, které se kýve kolem vodorovné osy v homogenním tíhovém poli Země (viz obr. 2.117). Řešte úkoly: 1. Rozhodněte, které veličiny musíme znát, abyste mohli určit zrychlení fyzického kyvadla; Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 150 ? 2.10. POHYBOVÉ ROVNICE SOUSTAVY ČÁSTIC 2. Určete úhlové zrychlení fyzického kyvadla naznačeného na obr. 2.117. Řešení: Kyvadlo koná otáčivý pohyb (kýve se) kolem osy o. Zvolme kladný smysl otáčení podle obr. 2.117, tím orientujeme osu o před nákresnu. Pohybová rovnice kyvadla zní I = Mext o,v , kde Mext o,v je průmět výsledného (otáčivého) momentu všech tíhových sil působících na elementy kyvadla vzhledem k ose o do této osy (orientované před nákresnu). Je obr. 2.117 Mext o,v = -m1gx1 - m2gx2 - . . . - mngnxn = -g(m1x1 + m2x2 + . . . + mnxn) = -gmxC, kde xC je souřadnice těžiště C. Tedy I = -gmxC = -gml sin = -gml sin /I. K určení musíme znát m, l, I, . KP 2.10-7{pr1.2-39} Vysvětlete, jak bruslař, který koná piruetu, využívá při zvyšování a snižování své úhlové rychlosti zákon zachování momentu hybnosti. Řešení: `1 I1 o° b)a) I2 `2 Obr. 2.118{obr1.2-117} 1. fáze pohybu ­ začátek piruety obr. 2.118a. Bruslař se mírně otáčí kolem osy o jako tuhé těleso. Má přitom roztaženy paže a obvykle i zvednutou nohu. Má velký moment setrvačnosti I1 a malou úhlovou rychlost 1. Jeho celkový moment hybnosti vůči ose otáčení o je L1 = I11. 2. fáze pohybu ­ roztáčení. Bruslař přitahuje ruce i nohu. Ježto moment vnějších sil je zanedbatelně malý ­ působí pouze moment sil odporu vzduchu a ledu ­ je přibližně L = konst. (= L1). 3. fáze pohybu ­ rychlé otáčení. Bruslař má přitaženy ruce i nohu a otáčí se opět jako tuhé těleso. Má malý moment setrvačnosti I2(< I1) a moment hybnosti L2 = I22, kde 2 je jeho výsledná úhlová rychlost. Ježto L2 = L1, tj. I11 = I22, je |2| > |1| ­ bruslař se otáčí rychle ­ obr. 2.118b. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 151 2.11. PŘÍKLADY K ČÁSTI 1.1 Řešte příklady KP 1.4-3, KP 1.4-4, KP 1.6-1, KP 1.6-2 v textu Vybrané kapitoly z fyziky; KP 2.6-28 až KP 2.6-38. 2.11 Příklady k části 1.1 V této části jsou uvedeny další příklady. Jejich řešení vede k neformálnímu porozumění teorie a k pochopení významu obecných výsledků pro rozbor konkrétních dějů. Ježto ve výkladu teorie se zčásti opakují a upřesňují středoškolské poznatky, na něž vysokoškolská látka navazuje, jsou zde uvedena i čísla vhodných příkladů ze skripta Vybrané kapitoly z fyziky. Příklady jsou uspořádány po tématech. 2.11.1 Skalární a vektorové veličiny Viz také příklady KP 1.1-10 až KP 1.1-15 v textu Vybrané kapitoly z fyziky; KP 1.3-5{pr1.1-7} Určete následující veličiny a jejich velikosti, definované s užitím obr. 2.119, v němž vektory a, b, c leží v rovině Oxy. Výsledky vhodnou formou zapište. Jsou-li určované veličiny vektory, určete i jejich směr a zakreslete je do vhodných náčrtků: 1. a) a + b, b) a - b, c) a + c, d) a - c ; 2. a) a b, b) a c, c) b c, d) b a ; 3. a) a × b, b) b × a, c) b × c, d) a × c ; 4. a) (a × b) c, b) a (a × b), c) (b × c) × a ; 5. a) a cos , b) a cos , c) bc, d) bc, e) b + c . c = 5 `c = 30" b `a z O y x ~ Obr. 2.119{obr1.1-23} 2.11.2 Kinematika 2.11.2.1 Polohový vektor r(t). Rychlost v(t) Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 152 2.11. PŘÍKLADY K ČÁSTI 1.1 KP 2.2-4{pr1.2-40} Poloha pohybujícího se bodu P v soustavě Oxyz je dána (v hlavních jednotkách SI) těmito funkcemi času: x(t) = 0,5t + 2, y(t) = sin 2t, z = t2 - 1. Řešte úkoly: 1. Uvedené funkce x(t), y(t), z(t) znázorněte (přibližně) graficky v časovém intervalu -1; 2 s; 2. určete a v soustavě Oxyz zakreslete polohový vektor bodu P v čase t = 0 s; 3. určete tyto funkce času a) souřadnice rychlosti bodu P, b) složky rychlosti bodu P, c) rychlost v v bodu P, její velikost a úhel, který svírá s osou Ox; 4. určete hodnoty funkcí, uvedených v předešlém úkolu 3, v čase t = 0 s. Vektory zakreslete. 2.11.2.2 Zrychlení a KP 2.2-5{pr1.2-41} Pro bod P uvedený v předešlém příkladě KP 2.2-4 určete: 1. Funkce času udávající a) souřadnice zrychlení, b) složky zrychlení, c) zrychlení a, jeho velikost a úhel, který svírá s osou Ox; 2. Hodnotu funkcí, uvedených v předešlém bodě 1, v čase t = 0 s. Vektory zakreslete. 2.11.2.3 Rovnoměrný pohyb po křivce KP 2.2-6{pr1.2-42} Kotouč o poloměru R = 60 cm, na jehož obvodě bylo připevněno malé těleso (hmotný bod), se začal v čase t1 = 0 s roztáčet z klidu se stálým úhlovým zrychlením = 0,5 rad/s2. Sestrojte náčrtek a řešte úkoly: 1. Určete, jak závisí na čase a) velikost tečné složky zrychlení, b) velikost normálové složky zrychlení, c) zrychlení a, d) velikost zrychlení | a | hmotného bodu; 2. Určete a) polohu, b) rychlost v2, c) zrychlení a2 hmotného bodu v čase t2 = 2 s. Zakreslete. KP 2.2-7{pr1.2-43} Kotouč o poloměru R = 0,5 m rotující s periodou T = 2 s se začal v čase t1 = 0 s pohybovat rovnoměrně zpomaleně tak, že se zastavil v čase t2 = 4 s. Na jeho obvodě bylo připevněno malé těleso (hmotný bod). Sestrojte náčrtek. Určete, jak závisí na čase: 1. Úhlové zrychlení kotouče; 2. Úhlová rychlost; 3. Úhlová dráha; 4. Dráhová rychlost; 5. Zrychlení a hmotného bodu. 6. Určete počet otoček, které kotouč vykonal během zastavování. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 153 2.11. PŘÍKLADY K ČÁSTI 1.1 KP 2.2-8{pr1.2-44} Malé těleso (hmotný bod) zavěšené na vlákně mající délku l = 1,25 m a zanedbatelnou hmotnost A l C B 2 g = 10 m/s Obr. 2.120{obr1.2-118} (tj. matematické kyvadlo) bylo vychýleno z rovnovážné polohy do bodu A obr. 2.120 a puštěno s nulovou počáteční rychlostí. Odpor vzduchu byl zanedbatelně malý, takže bodem B prošlo rychlostí o velikosti v = 2gl = . . . = 5 m/s, vystoupilo do bodu C atd. Určete jeho zrychlení aA, aB, aC v bodech A, B, C. Zakreslete. 2.11.3 Pohybové zákony klasické fyziky 2.11.3.1 I., II. a III. pohybový zákon Viz také příklady KP 1.3-1 až KP 1.3-23 v textu Vybrané kapitoly z fyziky. KP 2.4-4{pr1.2-45} Malé těleso (hmotný bod) o hmotnosti m = 0,06 kg viselo na vlákně, jež mělo délku l = 0,8 m = 30" `v0 `v B A Obr. 2.121{obr1.2-119} a zanedbatelnou hmotnost (matematické kyvadlo). V poloze A obr. 2.121 mu byla udělena jistá rychlost, takže se začalo pohybovat po kružnici (kyvadlo vykývlo). V poloze B, v níž bylo = 30, bylo vlákno napínáno silou o velikosti T = 0,7 N. Odpor vzduchu byl zanedbatelný. Pro polohu B určete: 1. Směr a velikost tečné složky zrychlení at tělesa. Zakreslete; 2. Směr a velikost normálové složky zrychlení an. Zakreslete; 3. Velikost a směr zrychlení a. Zakreslete; 4. Velikost rychlosti v. KP 2.4-5{pr1.2-46} Ve vozíku taženém se stálým zrychlením a o velikosti a = 2 m/s2 podle obr. 2.122 visí na vlákně o zanedbatelné hmotnosti malé těleso (hmotný bod) o hmotnosti 20 g v poloze naznačené na obr. 2.122 a je vzhledem k vozíku v klidu. Následující úlohy řešte a) v laboratorní soustavě S, b) v soustavě S spojené s vozíkem. Úkoly: Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 154 ? 2.11. PŘÍKLADY K ČÁSTI 1.1 m 'S S Obr. 2.122{obr1.2-120} 1. Vyjmenujte a do dvou náčrtků zakreslete přibližně všechny síly, které působí na hmotný bod; 2. Určete zrychlení hmotného bodu; 3. Určete všechny síly působící na hmotný bod. KP 2.4-6{pr1.2-47} Na podlaze kabiny zdviže byla tažena stálou silou F1 bedna o hmotnosti m = 40 kg podle m ~F1 Obr. 2.123{obr1.2-121} obr. 2.123 a pohybovala se přitom vzhledem ke kabině rovnoměrně. Součinitel dynamického tření byl fd = 0,1. Kabina se přitom: I) pohybovala rovnoměrně směrem dolů, II) pohybovala se směrem nahoru, III) rozjížděla se zrychlením o velikosti a = 2 m/s2 a) směrem dolů, b) směrem nahoru. Určete: 1. Svislou složku síly, kterou působila bedna na podlahu; 2. Sílu F1. KP 2.4-7{pr1.2-48} V láhvi naplněné vodou byl pingpongový míček (viz obr. 2.124). Láhev byla zpočátku v klidu A B? ? Obr. 2.124{obr1.2-122} v poloze A, poté byla rychle přesunuta do polohy B a ponechána v klidu. Vyšetřete pohyb míčku vzhledem k láhvi při přesunu. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 155 2.11. PŘÍKLADY K ČÁSTI 1.1 KP 2.4-8{pr1.2-49} Malé těleso (hmotný bod) o hmotnosti m = 80 g se pohybovalo na vlákně délky l = 60 cm, l C A m `v S Obr. 2.125{obr1.2-123} jež mělo zanedbatelnou hmotnost, po kružnici o poloměru r = 30 cm podle obr. 2.125. Odpor vzduchu byl zanedbatelný. Vyšetřujte pohyb v laboratorní soustavě S a řešte úkoly: 1. Vyjmenujte a přibližně zakreslete všechny síly, které na hmotný bod při pohybu působí; 2. Určete tečnou složku výsledné síly působící na hmotný bod; 3. Rozhodněte a zdůvodněte: pohyb hmotného bodu po kružnici je/není rovnoměrný; 4. Určete výslednici sil působících na hmotný bod; 5. Určete zrychlení hmotného bodu; 6. Určete velikost rychlosti hmotného bodu. Vektory zakreslete. 2.11.4 Časový a dráhový účinek síly 2.11.4.1 Hybnost, impuls síly Viz také příklady KP 1.4-1 až KP 1.4-12 v textu Vybrané kapitoly z fyziky. KP 2.4-9{pr1.2-50} Raketa o hmotnosti m = 500 kg se pohybovala v časovém intervalu t1, t2 , t2 = t1 + 10 s, v geocentrické soustavě po přímce rovnoměrně zrychleně účinkem tažné síly motorů, jež měla velikost F1 = 2 000 N. Odpor prostředí byl zanedbatelně malý. V čase t1 měla její rychlost velikost v1 = 50 m/s. Sestrojte náčrtek a určete: 1. Hybnost rakety v čase t1. Zakreslete; 2. Impuls síly F1 v intervalu t1, t2 . Zakreslete; 3. Rychlost rakety v čase t2. Zakreslete. KP 2.4-10{pr1.2-51} Pravoúhlým kolenem potrubí o průřezu S = 10 cm2 proudí voda rychlostí v = 5 m/s. Nakreslete náčrtek a určete: 1. Hybnost vody, která do kolena vstoupí za dobu t = 0,001 s; 2. Hybnost vody, která z kolena vystoupí za tutéž dobu t; Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 156 ? 2.11. PŘÍKLADY K ČÁSTI 1.1 3. Změnu hybnosti vody v koleně za dobu t; 4. Impuls síly, kterou působí koleno na vodu, v době t; 5. Sílu, kterou působí voda na koleno. Zakreslete. KP 2.4-11{pr1.2-52} Řidič automobilu, jehož hmotnost byla m = 500 kg, jedoucí přímočaře nejprve rychlostí v1 = Fs (N) 1500 1000 500 0 5 (s) t Obr. 2.126{obr1.2-124} 10 m/s, přidával v časovém intervalu t1, t2 , kde t1 = 0 s, t2 = 5 s, plyn tak, že průmět výsledné síly do směru pohybu měl průběh znázorněný na obr. 2.126. Nakreslete náčrtek a určete: 1. Impuls síly F v časovém intervalu t1, t2 . Zakreslete; 2. Hybnost automobilu v čase t1 a v čase t2. Zakreslete; 3. Rychlost automobilu v čase t2. 2.11.4.2 Práce, kinetická energie, výkon Viz také příklady KP 1.4-13 až KP 1.4-16 v textu Vybrané kapitoly z fyziky. KP 2.4-12{pr1.2-53} Průmět výsledné síly F působící na automobil o hmotnosti m = 800 kg do trajektorie orien- (N) Fs 1000 500 0 100 200 300 -400 s (m) 0 Obr. 2.127{obr1.2-125} tované ve směru pohybu měl na úseku s1 = 0 m, s2 = 300 m průběh znázorněný na obr. 2.127. Původní rychlost automobilu byla v1 = 20 m/s. Sestrojte náčrtek a naznačte v něm směr tečné složky síly F na jednotlivých úsecích trajektorie. Určete: 1. Práci síly F na úseku s1, s2 ; Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 157 2.11. PŘÍKLADY K ČÁSTI 1.1 2. Konečnou kinetickou energii automobilu; 3. Konečnou rychlost automobilu. KP 2.4-13{pr1.2-54} Těleso o hmotnosti m = 0,2 kg bylo vrženo na střeše domu ve výšce h = 15 m šikmo vzhůru rychlostí v1 = 10 m/s a dopadlo na vodorovný povrch Země rychlostí v2 = 15 m/s. Nakreslete náčrtek a určete: 1. Změnu jeho kinetické energie; 2. Práci, kterou na trajektorii vykonala a) výslednice sil Fv, působících na těleso, b) tíhová síla G, c) síla odporu vzduchu Fo; 3. Rychlost, se kterou by těleso dopadlo, kdyby odpor vzduchu byl zanedbatelně malý. KP 2.4-14{pr1.2-55} Bedna o hmotnosti m = 20 kg, která byla zpočátku v klidu, se volně sesunula po drsné nakoloněné rovině, která svírala s vodorovnou rovinou úhel = 30. Trajektorie měla délku l = 5 m, součinitel smykového tření byl fd = 0,1. Nakreslete náčrtek a určete: 1. Normálovou a tečnou složku síly, kterou na bednu působí nakloněná rovina. Uveďte působiště této síly, zakreslete ji a označte; 2. Práci, kterou na trajektorii vykonala a) tíhová síla, b) síla tření, c) výslednice sil; 3. Výslednou kinetickou energii bedny. KP 2.4-15{pr1.2-56} Automobil o hmotnosti m = 800 kg se v čase t = 0 s začal rozjíždět na vodorovné vozovce z klidu se stálým zrychlením a = 1,5 m/s2. Předpokládejte, že síly tření a odporu byly zanedbatelně malé. Určete výkon, se kterým pracoval motor v čase a) t1 = 10 s, b) t2 = 20 s. Znázorněte závislost výkonu motoru na čase graficky. 2.11.5 Gravitační pole 2.11.5.1 (Gravitační síla, gravitační energie) Viz také příklad KP 1.5-2 v textu Vybrané kapitoly z fyziky. KP 2.6-4{pr1.2-57} S užitím vztahu (2.88) dokažte, že na těleso o hmotnosti m, které je ve vzdálenosti r od středu Země, působí gravitační síla o velikosti Fg = gR2 Zm/r2 a že gravitační energie je Eg = -gR2 Zm/r. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 158 2.11. PŘÍKLADY K ČÁSTI 1.1 KP 2.6-5{pr1.2-58} Volně se pohybující kosmická orbitální stanice o hmotnosti m = 4 000 kg je v jistém okamžiku ve vzdálenosti r = 104 km od středu Země. Nakreslete náčrtek a určete: 1. Gravitační sílu, která na ni působí; 2. Její zrychlení (v geocentrické soustavě); 3. Gravitační sílu, kterou působí družice na Zemi; 4. Zrychlení, které by Země získala účinkem této gravitační síly; 5. Práci, kterou by vykonala síla gravitačního pole Země, kdyby a) stanice unikla do nekonečna, b) se stanice vrátila na Zemi. Pozn.: Užijte případně výsledků předešlého příkladu KP 2.6-4. KP 2.6-6{pr1.2-59} Uvažujte o soustavě Země - Měsíc a s užitím tabulkových hodnot určete: 1. Sílu, kterou je přitahován Měsíc k Zemi; 2. Zrychlení Měsíce (v geocentrické soustavě GS); 3. Rychlost Měsíce za předpokladu, že se pohybuje v GS po kružnici; 4. Intenzitu gravitačního pole Země v oblasti Měsíce; 5. Intenzitu gravitačního pole soustavy Země - Měsíc v bodě A, jenž je středem úsečky spojující středy Země a Měsíce; 6. Gravitační potenciál pole soustavy Země - Měsíc v bodě A; 7. Gravitační energii kosmické sondy o hmotnosti m = 200 kg v bodě A. Pozn.: Země a Měsíc se ve skutečnosti pohybují (rotují) kolem společného hmotného středu. KP 2.6-7{pr1.2-60} Určete sílu, kterou by působilo na povrchu Měsíce jeho gravitační pole na člověka o hmotnosti m = 80 kg. Určete, jakou výšku by přibližně zdolal v klimatizované hale na Měsíci skokan, který na Zemi skočí do výšky 200 cm. Předpokládejte přitom, že Měsíc má hmotnost 81krát menší než Země a že jeho poloměr je 3/11 středního poloměru Země. KP 2.6-8{pr1.2-61} Dva kosmonauti, každý o hmotnosti 70 kg, se volně vznášejí v kosmickém prostoru. V okamžiku, kdy jsou od sebe vzdáleni o 4 m, pohybují se v geocentrické soustavě stejnými rychlostmi. Určete: 1. Gravitační síly, kterými na sebe působí; 2. Jejich relativní zrychlení; 3. Změnu jejich vzdálenosti během jednoho dne. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 159 2.11. PŘÍKLADY K ČÁSTI 1.1 KP 2.6-9{pr1.2-62} Určete práci, kterou vykoná síla, kterou působí gravitační pole Země na družici o hmotnosti 2 000 kg vracející se k Zemi na úseku mezi body P1, P2, z nichž první je ve výši 8 000 km a druhý ve výši 1 000 km nad povrchem Země. 2.11.6 Mechanická energie. Pohyb hmotného bodu v gravitačním poli 2.11.6.1 (Em v tíhovém a gravitačním poli Země) Viz také příklady KP 1.4-8 až KP 1.4-18 a KP 1.4-11 v textu Vybrané kapitoly z fyziky. KP 2.6-10{pr1.2-63} Kosmická sonda o hmotnosti m = 1 000 kg se pohybovala se spuštěnými motory v oblasti Země tak, že v bodě P1 ve výši 100 km nad povrchem Země měla rychlost 2 km/s a v bodě P2 ve výšce 1 000 km rychlost 3 km/s. Považujte hmotnost sondy za konstantní a určete: 1. Energii sondy v bodě P1. 2. Práci, kterou na úseku P1P2 vykonala gravitační síla. KP 2.6-11{pr1.2-64} Družice Země o hmotnosti 8 000 kg se pohybovala s vyřazenými motory. V bodě P1 ve vzdálenosti 15 000 km od středu Země měla rychlost 1 km/s. Určete: 1. Mechanickou energii družice v bodě P1; 2. Rychlost družice ve vzdálenosti 10 000 km od středu Země. KP 2.6-12{pr1.2-65} Těleso o hmotnosti m = 20 kg padá volně k Zemi s nulovou počáteční rychlostí 1) z výšky 1 000 km, 2) z nekonečna. Zanedbejte odpor vzduchu a určete jeho: a) mechanickou energii, b) kinetickou energii, c) rychlost; vše při dopadu na povrch Země. KP 2.6-13{pr1.2-66} Těleso je na povrchu Země vrženo svisle vzhůru rychlostí 4 km/s. Zanedbejte odpor vzduchu a určete: 1. Rychlost, kterou bude mít ve výšce 500 km; 2. Maximální vzdálenost od povrchu Země. 2.11.6.2 (Vlastnosti trajektorií v centrálním gravitačním poli) Viz také příklady KP 1.5-1, KP 1.5-3 v textu Vybrané kapitoly z fyziky. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 160 2.11. PŘÍKLADY K ČÁSTI 1.1 KP 2.6-14{pr1.2-67} Dokažte tato tvrzení o pohybu družic Země po kruhových trajektoriích: 1. Rychlost v družice závisí na poloměru r trajektorie podle vztahu v = C1/ r, kde C1 = RZ g; 2. Oběžná doba T družice závisí na poloměru r trajektorie podle vztahu T = C2 r3, kde C2 = 2/(RZ g). KP 2.6-15{pr1.2-68} S užitím výsledku předešlého příkladu KP 2.6-14 určete: 1. a) První kosmickou rychlost, b) příslušnou dobu oběhu; 2. a) Poloměr trajektorie stacionární družice Země, b) její oběžnou rychlost. Pozn.: Stacionární družice se pohybuje po kružnici v rovině rovníku s oběžnou dobou T = 23 h 56 min. KP 2.6-16{pr1.2-69} Družice Země o hmotnosti m = 200 kg se pohybuje po kruhové trajektorii s oběžnou dobou T = 2 h. Určete: 1. Výšku družice nad povrchem Země; 2. Rychlost družice; 3. Zrychlení družice; 4. Mechanickou energii družice. Vektorové veličiny zakreslete do náčrtku. KP 2.6-17{pr1.2-70} Kosmická sonda, která nebyla opatřena motory, se ve výšce 100 km nad povrchem Země vzdalovala rychlostí 6 km/s. Rozhodněte, zda se vzdálí do nekonečna nebo zda je její pohyb finitní. KP 2.6-18{pr1.2-71} Těleso o hmotnosti m = 100 kg a) je v klidu na povrchu Země, b) pohybuje se jako stacionární družice Země. Určete maximální energii, kterou je mu nutno dodat, aby se vzdálilo do nekonečna. Odpor vzduchu zanedbejte. Pozn.: Užijte výsledku příkladu KP 2.6-15. KP 2.6-19{pr1.2-72} Určete první a druhou kosmickou rychlost Měsíce. KP 2.6-20{pr1.2-73} Ruská kosmická raketa, vypuštěna r. 1959, se stala družicí Slunce a pohybuje se tak, že její nejmenší vzdálenosti od Slunce je 1,46 108 km a největší vzdálenost 1,97 108 km (obr. 2.128). Určete: 1. Tvar a rozměry trajektorie této umělé družice; 2. Oběžnou dobu (srovnáním s pohybem Země - Keplerův zákon). Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 161 2.11. PŘÍKLADY K ČÁSTI 1.1 a b e S D xmax xmin Obr. 2.128{obr1.2-126} 2.11.7 Energie hmotných soustav 2.11.7.1 (Hmotný střed) KP 2.6-21{pr1.2-74} Určete polohu hmotného středu C soustav znázorněných v obr. 2.129. Desky jsou homogenní. C (x ,y ,z )1 1 1 1 C m1 ? m = 0,5m2 1 x y z O a) b) c) m - hmotnost homog. r S C? C? S r P T údaje-viz tabulka Msíc Zem C? d) m1 m = 0,2m2 1 C (x ,y ,z )2 2 2 2 Obr. 2.129{obr1.2-127} Zakreslete C do náčrtků. 2.11.7.2 (Energie obecné soustavy) Viz také příklady KP 1.4-9, KP 1.4-22, KP 1.4-23 v textu Vybrané kapitoly z fyziky. KP 2.6-22{pr1.2-75} Na svisle visící pružině o zanedbatelné hmotnosti a o tuhosti k = 100 N/m bylo zavěšeno těleso o hmotnosti m = 0,5 kg a bylo puštěno s nulovou počáteční rychlostí, takže začalo kmitat. Po chvíli se vlivem odporu vzduchu ustálilo v rovnovážné poloze a zůstalo v klidu. Určete: 1. Rovnovážnou polohu; 2. Přibližnou rychlost, se kterou těleso procházelo poprvé rovnovážnou polohou; 3. Ztátu mechanické energie soustavy ,,pružina - těleso celého děje. KP 2.6-23{pr1.2-76} Těleso T o hmotnosti m = 0,60 kg, které je ve výšce h1 = 0,65 m nad deskou stolu, dopadne na misku pérových vah, která je ve výšce h2 = 0,25 m nad deskou stolu (viz obr. 2.130) a jejichž pružina má tuhost k = 2103 N/m. Pokládejte hmotnosti misky a pružiny za zanedbatelně malé, zanedbejte ztrátu mechanické energie při nárazu a určete: Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 162 2.11. PŘÍKLADY K ČÁSTI 1.1 m h1 k h2 Obr. 2.130{obr1.2-128} 1. a) tíhovou, b) kinetickou, c) elastickou, d) celkovou energii soustavy ,,těleso - váhy těsně před dopadem tělesa na misku; 2. Tytéž energie v okamžiku, kdy je pružina stlačena o x = 40 mm. KP 2.6-24{pr1.2-77} Na pružině o tuhosti k = 120 N/m je připevněno těleso T1 o hmotnosti m1 = 1,5 kg. K němu k T m1 1 T m2 2 Obr. 2.131{obr1.2-129} přiléhá volně těleso T2 o hmotnosti m2 = 1,0 kg podle obr. 2.131. Silou působící na T2 zprava se tělesa posunou doleva a pružina se stlačí o d = 80 mm. Poté přestane vnější síla působit a tělesa se začnou z klidu účinkem síly pružiny pohybovat doprava. Zanedbejte hmotnost pružiny, podložku považujte za dokonale hladkou. Popište pohyb a určete: 1. Energii stlačené pružiny; 2. Zrychlení těles na začátku pohybu; 3. Sílu, kterou na začátku pohybu bude působit T2 na T1. Zakreslete; 4. Výslednou rychlost tělesa T2; 5. Amplitudu, se kterou bude T1 kmitat nakonec na pružině. 2.11.7.3 (ENERGIE TUHÉHO TĚLESA) KP 2.6-25{pr1.2-78} Pro každou z kruhových desek znázorněných v obr. 2.129b,c, určete pro hodnoty r = 20 cm, m = 4 kg, m1 = 1 kg: 1. Moment setrvačnosti vzhledem k přímce p jdoucí středem S desky kolmo k rovině desky; Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 163 2.11. PŘÍKLADY K ČÁSTI 1.1 2. Kinetickou energii, jestliže deska rotuje kolem přímky p s úhlovou rychlostí = 3 s-1. KP 2.6-26{pr1.2-79} Homogenní kruhová deska o hmotnosti m1 = 6 kg a o poloměru r = 40 cm znázorněná na obr. 2.129c (bez přídavného tělíska T) se může otáčet v homogenním poli Země kolem přímky q jdoucí bodem P kolmo na rovinu desky. Desku vychýlíme z dolní rovnovážné polohy o 90 a pustíme s nulovou počáteční rychlostí, takže se deska začne kývat. Zanedbejte síly odporu a určete: 1. Moment setrvačnosti desky vzhledem k přímce q; 2. Rozdíl tíhových energií desky v horní poloze a v rovnovážné poloze. KP 2.6-27{pr1.2-80} Určete kinetickou energii soustavy sestávající z kladky T1 a tělesa T2 znázorněné na obr. 2.116 v okamžiku, kdy těleso má rychlost v. 2.11.8 Pohybová rovnice soustavy částic 2.11.8.1 První pohybová rovnice, první impulsová věta KP 2.6-28{pr1.2-81} Dvě tělesa o hmotnosti m1 = 1,5 kg, m2 = 3 kg, spojená pružinou o hmotnosti m3 = 0,5 kg, m2 ~F1 m3 m1 Obr. 2.132{obr1.2-130} leží zpočátku v klidu na dokonale hladké vodorovné rovině. V určitém okamžiku začne na první těleso působit stálá síla o velikosti F1 = 10 N podle obr. 2.132, takže soustava se dá do pohybu. Pružina se přitom protahuje a zkracuje, takže pohyb tělesa není pravidelný. Rozhodněte, jak se přitom pohybuje těžiště soustavy. KP 2.6-29{pr1.2-82} Člověk o hmotnosti m1 = 100 kg stál na zádi pramice, jež měla hmotnost m2 = 200 kg a délku l = 4,8 m (viz obr. 2.98a). Pramice byla v klidu na klidné vodě. Poté člověk přešel příď pramice a zastavil se tam. Předpokládejte, že odpor vody byl zanedbatelně malý. Popište pohyb soustavy a určete: 1. Počáteční polohu těžiště soustavy ,,člověk - pramice ; 2. Pohybový stav soustavy na konci děje. Zdůvodněte; 3. Změnu polohy pramice; 4. Pohybový stav soustavy za předpokladu, že odpor vody nebyl zanedbatelný. Zdůvodněte. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 164 2.11. PŘÍKLADY K ČÁSTI 1.1 KP 2.6-30{pr1.2-83} Do bedny s pískem o hmotnosti m1 = 4 kg visící v klidu na závěsu délky l = 2 m byl ve vodorovném směru vstřelen projektil o hmotnosti m2 = 20 g rychlostí v = 250 m/s a uvízl v ní. Popište děj a určete: 1. Hybnost soustavy ,,bedna + projektil před nárazem a těsně po něm; 2. Kinetickou energii soustavy před nárazem a těsně po něm. Vysvětlete výsledek; 3. Výšku, do které bedna při výkyvu vystoupí; 4. Maximální úhlovou výchylku závěsu. Poznámka: Toto zařízení, dříve užívané k měření rychlosti střel, se nazývá balistické kyvadlo. Vysvětlete jeho užití. 2.11.8.2 Druhá pohybová rovnice, druhá impulsová věta KP 2.6-31{pr1.2-84} Na obvodě plného homogenního kotouče o hmotnosti m1 = 10 kg a o poloměru r = 50 cm, který se otáčel kolem osy souměrnosti s úhlovou rychlostí 1 = 5 s-1, začala v čase t1 = 0 s působit stálá tečná síla F1 o velikost F = 20 N ve směru otáčení a působila po dobu = 10 s. Síly odporu a tření byly zanedbatelné. Určete: 1. Moment setrvačnosti kotouče vzhledem k ose o; 2. Moment síly F vzhledem k ose o. Zakreslete; 3. Úhlové zrychlení kotouče; 4. Úhlovou rychlost kotouče v čase t2. KP 2.6-32{pr1.2-85} Pro děj popsaný v příkladu KP 2.6-31 určete: 1. Moment hybnosti kotouče v čase t1. Zakreslete; 2. Impuls momentu síly F1 v časovém intervalu t1, t1 + . Zakreslete; 3. Moment hybnosti kotouče v čase t2 = . Zakreslete; 4. Úhlovou rychlost kotouče v čase t2. KP 2.6-33{pr1.2-86} Pro děj popsaný v příkladu KP 2.6-26 určete: 1. Výsledný moment vnějších sil vzhledem k ose q na začátku pohybu desky. Zakreslete do náčrtku; 2. Úhlové zrychlení desky na začátku pohybu; 3. Moment hybnosti desky vzhledem ke q v nejnižší poloze desky. Zakreslete. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 165 2.11. PŘÍKLADY K ČÁSTI 1.1 m1 l1 l l l2 m2 Obr. 2.133{obr1.2-131} KP 2.6-34{pr1.2-87} Na tuhé vodorovné tyči o zanedbatelné hmotnosti jsou navlečeny dvě malé koule o hmotnostech m1 = 0,1 kg, m2 = 0,15 kg a připoutány vlákny délek l1 = 40 cm, l2 = 30 cm k ose o podle obr. 2.133. Tyč se otáčí kolem osy o stálou úhlovou rychlostí 1 = 20 s-1 (tření v ložiscích je zanedbatelné). Poté vlákna postupně přepálíme, koule se přesunou ke koncům tyče, kde jsou zarážky, takže koule jsou ve vzdálenosti l = 60 cm od osy o. Považujte koule za hmotné body, určete: 1. Výslednou úhlovou rychlost tyče; 2. Kinetickou energii soustavy na začátku a na konci otáčení. Vysvětlete. KP 2.6-35{pr1.2-88} Krasobruslař znázorněný v obr. 2.118 se na začátku piruety (stav(1)) otáčel s periodou T1 = 1 s a měl moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení I1 = 10 kg m2. Při maximálních otáčkách v piruetě (stav(2)) se otáčel s periodou T2 = 0,5 s. Určete: 1. Moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení ve stavu (2); 2. Kinetickou energii a) ve stavu (1), b) ve stavu (2); 3. Práci, kterou vykonal při přitahování paží a nohou v piruetě. KP 2.6-36{pr1.2-89} Dvě malé koule K1, K2 (hmotné body) o hmotnostech m1 = 0,2 kg, m2 = 0,6 kg jsou upevněny na koncích tenké tuhé tyče délky l = 1,2 m o zanedbatelné hmotnosti. Tyč rotuje s periodou T = 0,5 s kolem osy o jdoucí těžištěm soustavy kolmo na tyč. Určete: 1. Polohu těžiště soustavy; 2. Moment setrvačnosti soustavy vzhledem k ose o; 3. Kinetickou energii soustavy; 4. Hybnost P soustavy; 5. Sílu, kterou působí osa o na tyč (tíhové síly neuvažujte); 6. Výslednici sil, kterými působí osa na ložiska; 7. Moment hybnosti soustavy vzhledem k ose otáčení. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 166 2.11. PŘÍKLADY K ČÁSTI 1.1 KP 2.6-37{pr1.2-90} Tenká tuhá tyč délky l = 1 m o zanedbatelné hmotnosti, na jejíž koncích jsou připevněny kuličky (hmotné body) o hmotnostech m1 = 0,2 kg, m2 = 0,3 kg, se může otáčet kolem vodorovné osy o jdoucí jejím středem kolmo na tyč v tíhovém poli Země. Tyč držíme nejprve v klidu ve vodorovné poloze a poté uvolníme, takže se začne otáčet kolem osy o. Zanedbejte síly odporu a určete: 1. Moment setrvačnosti soustavy vzhledem k ose o; 2. Polohu těžiště; 3. Úhlové zrychlení tyče v okamžiku a) počátečním, b) kdy tyč svírá se svislou přímkou úhel = 60; 4. a) Kinetickou energii; b) úhlovou rychlost tyče při průchodu rovnovážnou polohou. KP 2.6-38{pr1.2-91} Tenkostěnná trubka o poloměru r = 5 cm a o hmotnosti m = 3 kg se v okamžiku t1 = 0 s začne valit z klidu po nakloněné rovině, která svírá s vodorovnou rovinou úhel = 30. V čase t2 byla dráha, kterou trubka urazila, l = 2 m. Určete: 1. V jakém poměru se rozdělí kinetická energie trubky na energii postupného pohybu a na energii rotačního pohybu; 2. Práci, kterou vykonala na uvedeném úseku tíhová síla působící na trubku; 3. Kinetickou energii trubky v čase t2; 4. Rychlost těžiště trubky v čase t2. Řešte uvedené úkoly pro plný válec o stejných parametrech. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 167 3. Speciální teorie relativity {STR} 3.1 Relativistická kinematika kaKinematika}{2.1.2A} V této části se uvažuje o vztazích mezi fyzikálními pojmy, veličinami a zákony vyjádřenými v různých inerciálních vztažných soustavách. Relativnost kinematických veličin v klasické fyzice je vyjádřena v tzv. Galileově transformaci. Galileův princip relativity vyslovuje tvrzení o relativnosti mechanických dějů. Einstein provedl jeho zobecnění na děje elektromagnetické a na všechny fyzikální děje ve speciální teorii relativity. Jejím základem jsou dva postuláty speciální teorie relativity. Vztahy mezi kinematickými veličinami ve speciální teorii relativity jsou vyjádřeny Lorentzovou transformací. Z postulátů speciální teorie relativity (nebo z Lorentzovy transformace) vyplývají teoreticky zajímavé důsledky: relativnost současnosti, relativistické skládání rychlostí, dilatace času, kontrakce délek. Všechny tyto jevy se uplatňují pouze při rychlostech srovnatelných s rychlostí světla. Cíl: I) Zpaměti základní zákony a vztahy zvýrazněné v rámečcích, vysvětlit pojmy, veličiny a výsledky zvýrazněné v tomto textu; II) Vyslovit, vyložit, zdůvodnit a na příkladech ilustrovat Galileův princip relativity. Napsat Galileovu transformaci a vyvodit z ní důsledky pro rychlost a zrychlení; III) Vysvětlit klasické představy o šíření světla, vysvětlit cíl měření Michelsona a Morleye a jeho výsledek. Vyslovit a objasnit postuláty speciální teorie rela- tivity; IV) Lorentzovu transformaci a srovnat ji s Galileiho transformací. Vysvětlit rozdílné postavení času a prostoru v klasické fyzice a ve speciální teorii relativity; V) Na základě postulátů speciální teorie relativity nebo na základě Lorentzovy transformace vysvětlit: relativnost současnosti, dilataci času a kontrakci délek. Na základě Lorentzovy transformace naznačit postup při odvození relativistického vztahu pro skládání rychlostí; VI) Uvést některá experimentální ověření výsledků speciální teorie relativity. 3.1.1 Speciální teorie relativity Speciální teorie relativity, jejímž základem je práce [11] A. Einsteina z r. 1905, je dnes již klasická a experimentálně dobře ověřená část fyziky, která pojednává o obecných zákonitostech, jimiž se řídí všechny fyzikální děje, jestliže je zkoumáme a matematicky popisujeme v inerciálních (navzájem libovolně rychle se pohybujících) vztažných soustavách. Takto formulovaný obsah speciální teorie relativity nepřináší zdánlivě mnoho nového ve srovnání s klasickou Newtonovou (předrelativistickou) mechanikou a fyzikou. Víme ovšem, že úvahy Alberta Einsteina, tvůrce speciální teorie relativity, vedly k dalekosáhlým důsledkům a k velmi podstatným změnám v názorech na čas, prostor i pohyb. Kromě speciální teorie relativity vypracoval Einstein a po něm řada dalších fyziků zobecněnou teorii, která se zabývala studiem fyzikálních jevů v gravitačních polích s užitím libovolných Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 168 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA vztažných soustav, tj. i soustav zrychlených, rotujících atd. Tato teorie, která vznikla v r. 1915, se nazývá ,,Obecná teorie relativity . Je pojmově i matematicky velmi náročná. Zde se budeme zabývat pouze speciální teorie relativity. Z důvodů konvence budeme označovat předrelativistickou fyziku názvem ,,klasická fyzika . Einsteinova speciální teorie relativity spočívá v podstatě na zobecnění (v klasické fyzice známého) Galileiho (neboli mechanického) principu relativity (viz ods. 2.4.6), a to jeho zobecněním z dějů mechanických na všechny fyzikální děje, zejména na děje elektromagnetické. Einsteinova základní práce o speciální teorii relativity, publikovaná v r. 1905, se nazývá ,,Elektrodynamika pohybujících se prostředí a jejím obsahem je studium zákonitostí elektromagnetických jevů zkoumaných v různých inerciálních vztažných soustavách. Hlavním cílem Einsteinových úvah bylo teoretické vyjádření a zdůvodnění výsledků pokusů z oblasti elektromagnetismu, které byly konány koncem předminulého století, a hledání odpovědi na otázku, zda a jak je nutno formulovat zákony elektromagnetismu (a snad i jiných oblastí fyziky), aby vystihovaly skutečný průběh dějů v různých libovolně rychle se navzájem pohybujících inerciálních vztažných soustavách. Z tzv. Galileova (neboli mechanického) principu relativity (ods. 2.4.6 - prostudujte a promyslete jej znovu!) plyne např. tento výsledek: ~Fe `v p Q Q p' Q Q `v = konst. b)a) S 'S ` ~Fe Obr. 3.1{obr2.1-1} Vrhneme-li na povrchu Země těleso počáteční rychlostí v0 vzhledem k soustavě S spojené s povrchem Země (tj. v laboratorní inerciální soustavě), pohybuje se po parabole p ­ obr. 3.1a. Vrhneme-li totéž těleso ve vagonu rovnoměrně přímočaře jedoucího vlaku (který představuje jinou inerciální soustavu S - obr. 3.1b) tak, že těleso má vzhledem k vagonu rychlost v0 = v0, pak se těleso vzhledem k S pohybuje po parabole p , která je shodná s parabolou p. Podobně i těleso zavěšené na pružině kmitá v S zcela stejně jako shodné těleso na shodné pružině v S. Takto shodně probíhají v obou soustavách (a ve všech inerciálních soustavách) všechny mechanické děje. To je vlastní fyzikální obsah uvedeného Galileova principu relativity. Při studiu elektromagnetických jevů v různých inerciálních vztažných soustavách vzniká otázka, zda pro ně platí podobná jednoduchá zákonitost. Např.: Platí Coulombův zákon v soustavě S i S ? Jsou síly Fe a Fe stejné ­ obr. 3.1a,b? Má Faradayův zákon elektromagnetické indukce stejný tvar v S i S ? Pracuje elektromagnetický transformátor stejně, je-li v klidu vzhledem k S nebo vzhledem k S ? Šíří se elektromagnetické vlny (což je rovněž elektromagnetický děj) stejně vzhledem k S i vzhledem k S ? Zejména poslední problém týkající se šíření elektromagnetických vln včetně světla je velmi zajímavý a důležitý jak z hlediska poznání základních obecných zákonitostí přírody, tak z hlediska praktického. Nadto lze zákonitosti šíření světla zkoumat experimentálně s dostatečnou přesností relativně snadněji než zákonitosti jiných elektromagnetických jevů. Einstein se zabýval uvedenými otázkami. Provedl rozbor zákonů elektromagnetismu, zforCopyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 169 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA mulovaných v tzv. Maxwellově teorii elektromagnetického pole, zejména však rozbor výsledků experimentů fyziků Michelsona a Morleye, kteří měřili rozdíly v rychlosti šíření světla na Zemi v různých směrech a zjistili, že tyto rozdíly jsou nulové. Došel k závěru, že všechny zákonitosti, jimiž se řídí elektromagnetické děje ve dvou libovolných inerciálních soustavách S a S , jsou zcela stejné a že to platí i pro libovolné fyzikální děje. Dále postuloval, že světlo (a rovněž všechny elektromagnetické vlny) se šíří ve vakuu ve všech inerciálních soustavách stejnou rychlostí nezávislou na směru šíření, rychlostí c. Důsledkem těchto dvou nenápadných relativně jednoduchých a pro toho, kdo zná Galileův princip relativity, velmi srozumitelných tvrzení, jenž Einstein vyslovil jako postuláty speciální teorie relativity, jsou všechny zdánlivě paradoxní výsledky, jimiž speciální teorie relativity překvapuje každého, kdo je zvyklý myslet v pojmech klasické fyziky. Větší část teorie relativity představuje logické vyvozování důsledků plynoucích z uvedených dvou postulátů. V době vzniku speciální teorie relativity byla většina z ní plynoucích teoretických výsledků považována mnohými fyziky za pouhé spekulace, které mohou, ale také nemusí, odpovídat skutečnosti. Většinu z nich nebylo při tehdejším stavu experimentální techniky ověřit. Dnes už téměř všechny výsledky speciální teorie relativity experimentálně ověřeny jsou a běžně se s nimi počítá nejen ve fyzikálních laboratořích a ústavech, nýbrž se jich využívá i v mnoha odvětvích techniky. Zajímavé je, že přijetí Einsteinových postulátů nevedlo ke změnám ve formulaci zákonitosti elektromagnetického pole, nýbrž že bylo nutno změnit formulaci zákonů kinematiky a mechaniky. Studium těchto zákonitostí bude obsahem dalších částí tohoto textu. 3.1.2 Relativnost v klasické mechanice 3.1.2.1 Galileiho transformace Galileiho transformace je soustava vztahů (3.1). Je zvláštním (jednoduchým) případem vztahů (2.42) uvedených v odst. 2.4.5. Ve vztazích (3.1) jsou x, y, z souřadnice nějakého bodu P v inerciální vztažné soustavě S obr. 3.4 a x , y , z souřadnice téhož bodu v jiné inerciální soustavě S , která se vzhledem k S pohybuje stálo rychlostí v. Veličiny t a t jsou časy měřené v obou soustavách. Einstein došel ve svých úvahách vedoucích ke speciální teorii relativity k závěru, že Galiĺeiho transformace, která se v klasické mechanice považuje za správnou, je pouze limitním případem obecně platné tzv. Lorentzovy transformace (3.12), pro případ, že pro relativní rychlost "v" inerciálních soustav platí v c. V této části vysvětlíme fyzikální smysl Galiĺeiho transformace tak, abychom byli připraveni i na následující relativistické úvahy. Uvažujme o nějaké inerciální vztažné soustavě - např. o volném tělese, které nerotuje vzhledem ke stálicím, viz ods. 2.4.1. Zaveďme v něm pravoúhlý pravotočivý systém souřadnic Oxyz tak, že zvolíme tři navzájem kolmé orientované přímky - osy. Bodům těchto os přidáme čísla tak, že užijeme jako normálu délky (např. 1 m) tyče N zhotovené z určitého materiálu a tuto tyč přikládáme postupně na osy, tak jak se to dělá často v praxi. Dělení pak zjemníme. Tím přiřadíme každému bodu os, a poté známým způsobem i každému prostoru, trojici čísel - souřadnic x, y, z obr. 3.2. Kromě toho zavedeme v této soustavě čas t tak, že předpokládáme v souladu s Newtonem, že čas je veličina absolutní, ve všech bodech vesmíru a ve všech vztažných soustavách stejná. V uvažované soustavě jej ukazuje např. soustava stejných mechanických hodin H, rozmístěných (teoreticky) ve všech bodech prostoru. Předtím jsem je synchronizovali (tj. seřídili tak, aby ukazovaly stejně) v počátku souřadnic podle tamějších hodin H0, viz obr. 3.2. Hodiny H jsou vzhledem k Oxyz v klidu. Vztažnou soustavu se zavedenou soustavou souřadnic Oxyz a časem t označíme S. Uvažujme nyní o jiné vztažné soustavě, která se pohybuje (pro jednoduchost) rovnoměrnou Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 170 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA S z x y z' x' y' O O' `v normál N v klidu v S 'normál N 'v klidu v S H0 H 'H0'S 'H Obr. 3.2{obr2.1-2} translací rychlostí v o velikosti v ve směru osy Ox. (Pozn.: veličině | v |= v(> 0) budeme pro krátkost říkat rovněž ,,rychlost . V této nové vztažné soustavě obr. 3.2 zavedeme rovněž soustavu souřadnic, nyní O x y z , a to tak, aby v čase t = 0 s splývala osa O x s osou Ox, osa O y s osu 0y a O z s osu 0z. Bodům na osách O x , O y , O z přiřadíme čísla tak, že užijeme stejné tyče (nebo její věrné kopie) stejným způsobem jako v soustavě S. Tato tyč - normál N je v klidu v O x y z . V této vztažné soustavě zavedeme čas t s užitím hodin H . Tyto hodiny seřídíme takto: hodiny H0 umístěné v počátku O seřídíme podle hodin H0 v okamžiku t = 0 s (nastavíme na nich t = 0 s) a ostatní hodiny H nastavíme podle hodin H0. Hodiny H jsou v O x y z v klidu, tuto druhou soustavou označíme S . Děj, ke kterému dojde v určitém čase v určitém bodě P (např. sepnutí kontaktů nebo dopad elektronu na stínítko) nazveme ,,událost . Událost je v soustavě S charakterizována z hlediska prostoru a času čtyřmi veličinami x, y, z, t, kterým se říká ,,souřadnice události . Z toho jsou x, y, z prostorové souřadnice a t souřadnice časová. Tatáž událost je v S charakterizována souřadnicemi x , y , z , t . Základní otázka, na kterou dává odpověď Galiĺeiho transformace, zní: Jaký je vztah mezi čtveřicemi souřadnic (x, y, z, t), (x , y , z , t )? Jak se určí x , y , z , t , jsou-li dány x, y, z, t (a naopak)? x y x' y' O `v H, t 't= t ' 'x - x = x - x2 12 1 'H O' 'S S 'x1 'x2 x1 x2 Obr. 3.3{obr2.1-3} Při hledání odpovědi vycházíme z každodenní zkušenosti týkající se času a délky: 1. Libovolé hodiny H (klidné v S ) ukazují stejně jako hodiny H (klidné v S, s nimiž jsou v koincidenci (tj. jsou ve stejném místě). Jedeme-li totiž ve vlaku (soustava S v obr. 3.3), ukazují naše hodiny H stejně jako hodiny H na nádraží, kterým právě projíždíme. Poznamenejme ihned, že máme smyslovou zkušenost pouze s pomalými pohyby a že takto neměříme čas dosti přesně. Úvahy speciální teorie relativity vedou k závěru, že hodiny H a H neukazují stejně. 2. Délka l Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 171 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA libovolného předmětu klidného např. v S , např. délka vagonu, kterou naměříme v S , je stejná jako délka l pohybujícího se vagonu, tj. jako délka, kterou naměří pozorovatel (nebo přístroj) klidný v S. Vztah l = l považujeme za samozřejmý, neboť délku předmětu považujeme za veličinu charakteristickou pro předmět samotný, nezávislou na jeho pohybu. I zde však úvahy speciální teorie relativity vedou k závěru, že vztah l = l nemá obecnou platnost. Uvedené ,,samozřejmé požadavky splňuje tzv. Galileiho transformace - soustava vztahů mezi čtveřicemi veličin (x, y, z, t), (x , y , z , t ) charakterizujících tutéž událost ve dvou uvažovaných vztažných soustavách S, S (obr. 3.4): x = x - vt, y = y, z = z, t = t . Galileiho transformace (3.1){2.1-1} Tuto soustavu vztahů lze napsat i ve vektorovém tvaru r = r - vt, t = t , Galileiho transformace ve vektorovém zápise (3.2){2.1-2} srovnejte (2.42) pro R(t) = vt, viz obr. 3.4. Naše požadavky stejného času a stejné délky jsou z x y z' x' y' `v S O Q x x'vt `v t `r `r' O' 'S Obr. 3.4{obr2.1-4} skutečně splněny: 1. Platí t = t, tj. hodiny H a H ukazují stejně; 2. Platí l = l. Neboť označímeli x1 a x2 souřadnice konce a čela vagonu v S v určitém (libovolném) čase t0, je l = x2 - x1. Ze vztahu (3.1) dostaneme x2 - x1 = x2 - x1, tj. l = l. 3.1.2.2 Důsledky Galileovy transformace Zákon skládání rychlostí Pohybuje-li se nějaký hmotný bod vzhledem k S , pohybuje se (obecně) i vzhledem k S. Jeho souřadnice x , y , z jsou funkcemi času t , jeho souřadnice x, y, z jsou funkcemi času t. Tyto funkce jsou vázány vztahy (3.1) resp. (3.2). Označíme u = dr /dt rychlost hmotného bodu v S a podobně u = dr/dt jeho rychlost v S. Pro souřadnice rychlostí dostaneme derivováním rovnic (3.1) vztahy ux = dx dt = dx dt - v dt dt = dx dt - v = ux - v, (neboť t = t dt = dt) uy = uy, uz = uz, tj. ux = ux - v, uy = uy, uz = uz. (3.3){2.1-3} Analogicky derivováním rovnice (3.2) podle t dostaneme Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 172 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA u = u - v, klasický zákon skládání rychlostí (3.4){2.1-4} viz rovnice (2.43). Vztah (3.4) je tedy důsledkem Galileiho transformace. Zrychlení v inerciálních soustavách Derivováním vztahu (3.4) podle t dostaneme a = a, zrychlení hmotného bodu v inerciálních soustavách (3.5){2.1-5} viz rovnice (2.45). Rovněž vztah (3.5) je důsledkem Galiĺeiho transformace. Galileiho princip relativity Galileiho princip relativity byl vysloven v odst. 2.4.6. Připomeneme jej. Uvažujme o malém tělese (hmotném bodě), na které působí jiná tělesa a zkoumejme jeho pohyb v inerciální soustavě S a v inerciální soustavě S obr. 3.4. V soustavě S platí pohybová rovnice a) ma = Fv, tj. b) m d2r dt2 = Fv, tj. c) dp dt = Fv , (3.6){2.1-6} kde m, a, Fv , r, p jsou veličiny definované, měřené, resp. počítané v S. Přitom Fv je výslednice sil působících na hmotný bod v S. V soustavě S je: 1. a = a, viz rovnice (3.5); 2. O hmotnosti tělesa předpokládáme, že nezávisí na jeho pohybu, že tedy platí m = m; 3. Síly charakterizující působení ostatních těles jsou závislé na vzájemné vzdálenosti těles a na jejich vzájemných rychlostech. Ty jsou, podle Galileiho transformace, stejné v S i S . Proto o silách předpokládejme, že platí Fv = Fv. S užitím těchto výsledků a vztahu (3.6) dostáváme a) ma = Fv, tj. b) m d2r dt 2 = Fv, tj. c) m d2p dt 2 = Fv . (3.7){2.1-7} Pohybové rovnice (3.6) v S a pohybové rovnice (3.7) v S mají tedy stejný tvar. To značí: Jestliže hmotný bod o hmotnosti m, který má v S počáteční rychlost v0, se pohybuje účinkem okolních těles vzhledem k S po trajektorii T, pak jiný hmotný bod o stejné hmotnosti, který má v S počáteční rychlost v0 = v0, se bude pohybovat po trajektorii T , která má stejný tvar jako T, viz obr. 3.1. Analogická zákonitost platí zřejmě pro mechanické pohyby všech hmotných soustav. Vyslovuje se jako Galileův (neboli mechanický) princip relativity: Rovnice vyjadřující zákony mechaniky mají stejný tvar ve všech inerciálních vztažných soustavách. 3.1.3 Fyzikální základy speciální teorie relativity 3.1.3.1 Invariantnost a kovariantnost Fyzikální veličiny, kterými charakterizujeme vlastnosti těles, polí, fyzikální děje, mají v různých vztažných soustavách buď různé nebo stejné hodnoty. Např. v inerciálních soustavách (SI), pro něž platí Galiĺeiho transformace, má délka tělesa stejnou hodnotu. Říkáme, že délka tělesa je invariantní vzhledem ke Galileově transformaci. Další invariantní veličiny (vzhledem ke Galiĺeiho transformaci) jsou zřejmě plošný obsah, objem, zrychlení hmotného bodu, hmotnost, síla atd. Invariantní vzhledem ke Galiĺeiho transformaci nejsou např. veličiny: rychlost, hybnost, kinetická energie atd. Jestliže nějaký vztah (např. rovnice) mezi fyzikálními veličinami, formulovaný v inerciální soustavě S, nezmění při jeho přepsání do soustavy S s užitím Galiĺeiho transformace svůj tvar, Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 173 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA říkáme, že je kovariantní vzhledem ke Galiĺeiho transformaci. Např. rovnice (3.6)c je kovariantní vzhledem ke Galiĺeiho transformaci, neboť má v S stejný tvar rovnic (3.6)c, (3.7)c je však stejný, tedy rovnice dp/dt = Fv je kovariantní. Je-li nějaký fyzikální zákon vyjádřen matematicky rovnicí, která je kovariantní vzhledem k nějaké transformaci, kterou jsou vázány souřadnice a čas ve dvou vztažných soustavách, tj. má-li fyzikální zákon v obou soustavách stejný tvar, probíhají děje, jež se tímto zákonem řídí, v obou soustavách za stejných podmínek stejně. 3.1.3.2 Postuláty speciální teorie relativity Uvažujme nyní o elektromagnetických dějích. Jejich zákonitosti, jako je např. Coulombův zákon, Gaussův zákon (který hovoří, zhruba řečeno, o počtu siločar, které vystupují z kladného elektrického náboje), Faradayův zákon elektromagnetické indukce atd., jsou shrnuty v tzv. Maxwellově teorii elektromagnetického pole, (viz [10], odst. 1.5.2). Lze dokázat, že ve vztažné soustavě, v níž platí Maxwellovy rovnice (vyjadřující hlavní zákonitosti elektromagnetických dějů) se šíří elektromagnetické záření (tedy i světlo) ve vakuu všemi směry stejnou rychlostí danou vztahem c = 1 00 . (3.8){2.1-8} Zde 0 je konstanta, která se nazývá permitivita vakua a 0 je konstanta, která se nazývá permeabilita vakua. Jejich hodnoty lze najít v tabulkové části na straně 400. x y x' `v O y' c c c'' = c + v c' = c - v O' S 'S 'Z Obr. 3.5{obr2.1-5} Předpokládejme, že uvedené zákony elektromagnetismu platí v určité inerciální vztažné soustavě S a uvažujme o jiné inerciální soustavě S , která se vzhledem k S pohybuje rychlostí v podle obr. 3.5. Předpokládejme, že souřadnice (x, y, z, t), (x , y , z , t ) událostí v obou soustavách jsou vázány rovnicemi (3.1), tj. že platí Galiĺeiho transformace. Pak rychlost u libovolného objektu (tělesa nebo pole) měřená v S a jeho rychlost u měřená v S , jsou vázány vztahem (3.4). Světlo by se tedy mělo v S šířit ve směru osy O x rychlostí c = c-v a ve směru opačném rychlostí c = c + v. Situace by měla být podobná jako při šíření zvuku ve vzduchu klidném na Zemi. V soustavě S spojené se Zemí se zvuk šíří všemi směry stejnou rychlostí, kterou označíme c, obr. 3.5. V soustavě S spojené s vagonem jedoucím ve směru osy Ox rychlostí v se zvuk šíří rychlostí c = c - v ve směru osy O x a rychlostí c = c + v ve směru opačném. Kdyby tomu tak bylo, musely by mít rovnice vyjadřující zákony elektromagnetismu v soustavě S jiný tvar než v soustavě S. Kdyby totiž měly stejný tvar, šířilo by se světlo i v soustavě S rychlostí danou vztahem (3.8). Jinak řečeno: rovnice vyjadřující zákony elektromagnetismu nejsou kovariantní vzhledem ke Galileově transformaci. Až do vzniku speciální teorie relativity se předpokládalo, že Galiĺeiho transformace je správná a že zákony elektromagnetismu formulované v rovnicích Maxwellovy teorie platí přesně jen v jedné vztažné soustavě. Tato vztažná soustava že má tedy význačné (privilegované) postavení a že je tedy v jistém smyslu ,,absolutní . Přirozeně se předpokládalo, že je to soustava spojená Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 174 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA s vesmírem, se stálicemi. Přesněji vyjádřeno, je to soustava, v níž má vesmír jako celek nulovou hybnost i nulový moment hybnosti. Tuto soustavu budeme pro stručnost nazývat vesmírná soustava (VS). O elektromagnetickém vlnění se předpokládalo, že musí mít, podobně jako mechanické vlnění (např. zvuk), nějakého nositele, nějaké prostředí, kterým se toto vlnění šíří. Ježto elektromagnetické vlny se šíří i vakuem, předpokládalo se, že nositelem elektromagnetických vln je nějaké jemné prostředí s mizivou hmotností, které je v celém vesmíru, ve vakuu i v látkách a jehož funkce je to, že umožňuje šíření elektromagnetických vln. Toto prostředí se nazývalo světový éter, krátce éter. Výlučnost vesmírné soustavy spočívala v tom, že éter je v ní v klidu. Podle těchto představ (byly považovány za jediné správné, nebyly však experimentálně potvrzeny) se mělo světlo šířit všemi směry stejnou rychlostí c danou vztahem (3.8) pouze ve vesmírné soustavě (VS). V jiné inerciální vztažné soustavě S, která se vzhledem k VS pohybuje rychlostí v, se mělo světlo šířit různými směry různou rychlostí - např. ve směru pohybu soustavy S rychlostí c = c - v, v opačném směru rychlostí c . Vzhledem k takové soustavě S se měl éter pohybovat rychlostí -v, měl v ní ,,vanout éterový vítr , právě tak, jako vzniká skutečný vítr v soustavě S spojené s jedoucím vagonem v obr. 3.5. 'Zem, S `v -`v rychlost Zem vzhledem k VS rychlost ,,éterového vtru" 'vzhledem k S vesmírná soustava VS Obr. 3.6{obr2.1-6} Rozhodnout o správnosti těchto představ mohlo jedině měření, experiment. Tato měření provedli s dostatečnou přesností r. 1887 A. Michelson a E. Morley. Za soustavu S pohybující se vzhledem k VS zvolili obr. 3.6 Zemi, která se v heliocentrické soustavě pohybuje rychlostí, jejíž velikost je asi v = 29 km/s, jež je dostatečná pro to, aby bylo možno zjistit, zda světlo se šíří vzhledem k Zemi v souhlase s předešlou éterovou teorií. Užili velmi citlivého přístroje optického interferometru, dnes nazývaného ,,Michelsonův interferometr . V něm se světlo vyslané z jediného zdroje rozdělilo na dva paprsky, které postupovaly ve směrech navzájem kolmých a poté se opět setkaly a sládaly (interferovaly). Rozborem výsledného interferenčního obrazce vzniklého složením obou paprsků zjistili, že světlo urazí na Zemi za stejnou dobu stejnou dráhu, ať se šíří kterýmkoliv směrem. Zjistili, že ,,éterový vítr je jejich metodou nezjistitelný. Tento překvapující záporný výsledek jejich měření vzbudil velký rozruch, protože byl v rozporu s tehdejšími představami. Proto oba fyzici měření opakovali se zvětšenou přesností. Kromě jejich experimentů byla provedena řada dalších měření různými metodami za různých podmínek, např. ve velkých výškách atd. V posledních desítkách let byla konána měření s užitím družic a kosmických sond. Žádný z těchto pokusů nevedl ke zjištění pohybu naší Země vůči éteru. Výsledky některých pokusů bylo možno vysvětlit vhodnými předpoklady, např. že éter je látkami částečně strháván, že předměty se při pohybu vůči éteru smršťují, že světlo má konstantní rychlost pouze vzhledem ke svému zdroji atd. Žádný z těchto předpokladů však nevedl k vysvětlení všech experimentálně zjištěných zákonitostí šíření světla. Einstein vyřešil rozpor mezi klasickými představami a výsledky experimentů originálním a přitom jednoduchým a na první pohled přirozeným způsobem. Ježto žádný pokus nevedl Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 175 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA k důkazu existence světového éteru a ježto naopak hypotéza existence éteru ztěžovala výklad experimentů, došel Einstein k závěru, že éter neexistuje, že elektromagnetické pole včetně elektromagnetických vln a světla nepotřebuje ke své existenci nositele. Ježto dále výsledky pokusů lze vyložit s užitím předpokladu, že světlo se šíří v každé inerciální soustavě ve vakuu rychlostí c danou vztahem (3.8), který plyne z rovnic vyjadřujících zákonitosti elektromagnetického pole, došel Einstein k závěru, že rovnice elektromagnetického pole mají ve všech inerciálních soustavách stejný tvar. Analogický výsledek pro mechanické děje byl již znám jako tzv. Galileův princip relativity. Proto Einstein vyslovil jako fyzikální princip tvrzení, že libovolný fyzikální děj se řídí v libovolné inerciální soustavě stejnými zákonitostmi. Konečně pak vyslovil jako fyzikální princip tvrzení, že světlo se šíří ve vakuu ve všech inerciálních soustavách stejnou (na směru nezávislou) rychlostí. Princip relativity Postulát 1: Rovnice, jimiž se jsou vyjádřeny fyzikální zákony, mají ve všech inerciálních vztažných soustavách stejný tvar. Princip konstantní rychlosti světla Postulát 2: Světlo se šíří ve vakuu ve všech inerciálních vztažných soustavách stejnou rychlostí c. Poznamenejme ještě, že z Einsteinových úvah a vztahů, které odvodil, vyplývá, že rychlost libovolného tělesa v inerciální soustavě je vždy menší než c. 3.1.3.3 Důsledky Einsteinových postulátů speciální teorie relativity z y z' x' y' `v t= c r r r' 't = c r' QP ty ty x S H0 H 'H0 'S 'H Obr. 3.7{obr2.1-7} Zavedení vztažných soustav Budeme uvažovat, tak jako dříve, o dvou inerciálních vztažných soustavách S a S , z nichž S se pohybuje ve směru osy Ox rychlostí v (obr. 3.7). Soustavu souřadnic Oxyz zavedeme obdobně, jako v klasické fyzice: bodům prostoru přiřadíme trojice čísel - prostorové souřadnice s užitím určité tyče - normálu délky, která je vzhledem k S v klidu. Čas v S budeme měřit na hodinách, které jsou rozmístěny ve všech bodech prostoru a jsou v klidu v S. Synchronizujeme je podle hodin H0 umístěných v počátku O takto: V čase t = 0 vyšleme z bodu O rádiový signál a na hodinách H v obecném bodě P ve vzdálenosti r od O obr. 3.7 nastavíme při příchodu signálu čas t = r/c, neboť podle druhého postulátu světlo, a tedy i rádiový signál, se šíří v každé inerciální soustavě rychlostí c (pozn.: respektování doby letu rádiových signálů je běžná praxe zejména při řízení družic, kosmických sond atd.). Soustavu souřadnic O x y z v S zavedeme opět tak, aby počátky O a O splývaly v čase t = 0. Přiřazení prostorových souřadnic provedeme opět s užitím stejné tyče - normálu - jako předtím v S s tím, že tyč je nyní v klidu v S . Hodiny H0 umístěné v počátku O seřídíme podle hodin H v okamžiku t = t = 0, kdy H0 a H0 jsou v koncidenci. Ostatní hodiny H pevné v S synchronizujeme s hodinami H0 opět užitím rádiového signálu, který se šíří i vzhledem k S rychlostí c. Na H nastavujeme t = r /c, obr. 3.7. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 176 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA a) b) A A B B 'Z `v P c c c S c 'S Obr. 3.8{obr2.1-8} Relativnost současnosti Uvažujme o hypotetickém superexpresu, který jede stálou rychlostí v = 2 108 m/s a který představuje inerciální soustavu S (obr. 3.8). Přesně ve středu vagonu je zdroj světla Z . Tento zdroj vyšle v okamžiku, kdy právě míjí pozorovatele P pevného v pozemské soustavě S, světelný signál. Tento signál se šíří vzhledem k S rychlostí c všemi směry, dorazí tedy na zadní stěnu A vagonu a na přední stěnu B současně. Dvě události: dopad světla na A a na B jsou v S současné. Pro pozorovatele P pevného v S se světlo rovněž šíří rychlostí c. Zadní stěna A vagonu se k němu přibližuje, přední stěna B se od něj vzdaluje. Signál dopadne na A v době, kdy paprsek letící k B je ještě od B vzdálen ­ obr. 3.8b. Dopad světla na A a B jsou tedy v S dvě události nesoučasné. Zopakujme: Dvě nesoumístné události, které jsou v S současné, jsou v S nesoučasné. Současnost nesoumístných jevů je tedy pojem relativní. Paradoxní skládání rychlostí Světlo se šíří vzhledem k vagonu směrem od Z k B rychlostí c = 3 108 m/s obr. 3.8a, vagon jede ve stejném směru rychlostí v = 2 108 m/s. Podle vztahu (3.4) plynoucího z Galileovy transformace by mělo mít toto světlo vzhledem k S rychlost c = c + v = 5 108 m/s. Tento, z hlediska klasické fyziky paradoxní, výsledek ukazuje, že vztah (3.4) a tedy i Galileova transformace v speciální teorii relativity neplatí. Relativistické skládání rychlostí bude vyloženo v dalším. Dilatace času Ukážeme, že pohybující se hodiny jdou pomaleji než hodiny, které jsou v klidu. Předpokládejme, že pozorovatel v jiném vagonu uvažovaného superexpresu (v = 2108 m/s) vyšle ze zdroje světla Z na podlaze vagonu světelný signál svisle směrem ke stropu, kde je umístěn detektor D ve vzdálenosti d ­ obr. 3.9a. Signál dopadne na D za dobu t = d/c. Pozorovatel klidný v S vzhledem k němuž se vagon pohybuje rychlostí v, zjistí, že signál dopadne na D po uplynutí jisté doby t. Vagon urazil za tu dobu dráhu s = vt obr. 3.9. V soustavě S se paprsek musel šířit po šikmé úsečce Z D v obr. 3.9b. Ježto světlo se šíří v S rovněž rychlostí c, letěl paprsek ze Z do D po dobu t = |Z D |/c. Z obr. 3.9b plyne |Z D |2 = (vt)2 + d2. Dosazením dostaneme c2 (t)2 = v2 (t)2 + c2 (t )2 t = t 1 - v2 c2 . dilatace času (3.9){2.1-9} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 177 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA a) b) S 'cÄt d 'D d vÄt vÄt H 'S 'S 'D 'Z 'Z 'cÄt Obr. 3.9{obr2.1-9} Ježto 1 - v2 c2 < 1, je t > t . To značí: děj, který trvá ve vagonu po dobu t trvá v soustavě, v níž se vagon pohybuje, po dobu t > t , tedy déle. Kdybychom do místa D a Z dali rovnoběžná vodorovná zrcadla, mezi nimiž by se paprsek pohyboval vzhledem k vagonu nahoru a dolů, mohli bychom toto zařízení považovat za hodiny H , v nichž probíhá periodický děj o periodě T = 2t . Perioda téhož děje v soustavě S, v níž se hodiny H pohybují, by byla T = 2t > T . Tedy: pohybující se hodiny H ukazují méně a jdou tedy pomaleji než hodiny H, s nimiž jsou právě v koincidenci. Tato vlastnost času se nazývá dilatace času. Čas měřený na hodinách, které jsou v klidu v inerciální soustavě, v níž je uvažovaný objekt v klidu, se nazývá vlastní čas. Poznamenejme, že pro pozorovatele, který je v klidu v S , se pohybují hodiny H rychlostí -v. Srovnává jejich údaje s údaji těch hodin H , jež jsou s H právě v koincidenci a zjistí, že platí t < t . Dilatace času je tedy relativní, zjistí ji na pohybujících se hodinách jak pozorovatel klidný v S, tak pozorovatel klidný v S . Experimentální ověření dilatace času bylo provedeno mnohokrát. Běžně se s ní počítá ve fyzice elementárních částic, při pohybu částic v urychlovačích atd. První jev, který bylo možno vysvětlil dilataci času, byl průlet částic (mionů) atmosférou. Miony jsou nestabilní částice, které mají v laboratoři v klidu střední dobu života asi 0 = 2 s. Kdyby nebylo dilatace času, mohly by miony, které se mohou pohybovat rychlostmi menšími než c, urazit nanejvýš dráhu s = 0c = 2 10-6 3 108 m = 600 m. Ve skutečnosti však miony vznikají v horních vrstvách atmosféry ve výšce několika desítek tisíc metrů nad Zemí účinkem kosmického záření a mnoho z nich doletí až na povrch Země, takže urazí dráhu řádově 104 m. Vysvětlení: Čas 0 je vlastní čas. Je to doba, po kterou miony existují, měřená v hodinách na hodinách, vzhledem k nimž se miony nepohybují. V soustavě, v níž se miony pohybují (v našem případě je to soustava spojená s povrchem Země), mají miony střední dobu života danou vztahem (3.9), tj = 0(1-v2/c2)1/2, tj. větší než 0. 3.1.3.4 Kontrakce délek Ukážeme, že rozměry pohybujícího se předmětu, měřené ve směru pohybu, jsou menší než rozměry předmětu klidného. Rozměry ve směru příčném ke směru pohybu zůstávají beze změny. Uvažujme opět o jednom vagonu superexpresu, který jede rychlostí v kolem plotu, jehož délka v soustavě S spojené s povrchem Země je l0 (obr. 3.10). Vagon tvoří soustavu S . Pozorovatel ve Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 178 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA S t1 l0 't1 `v -`v `v 'S 'H'H t2 't2 H1 H2 Obr. 3.10{obr2.1-10} vagonu chce zjistit délku plotu, který se vzhledem k němu, tj. vzhledem k soustavě S , pohybuje rychlostí -v. Provede to takto: na svých hodinách H zjistí časy t1, t2, kdy jel kolem začátku a konce plotu a délku určí ze vztahu l = v(t2 - t1) = vt . Pozorovatel P, který je v klidu v S, zjistí na hodinách H1, H2 časy t1 a t2, kdy vagon míjel rychlostí v začátek a konec plotu a pro délku l0 plotu, který je v klidu, dostaneme l0 = v(t2 - t1) = vt. Dělením vztahů dostaneme l /l0 = t /t. Dosadíme-li sem t /t ze vztahu (3.9), dostaneme l = l0 1 - v2 c2 . kontrakce délek (3.10){2.1-10} To značí: Délka l pohybujícího se předmětu (zde délka plotu pohybujícího se v S rychlostí -v) je menší než délka téhož předmětu v klidu (zde délka) plotu v soustavě S. Tento jev se nazývá kontrakce délek. Délka l0 se nazývá klidová délka. Právě tak bylo možno dokázat, že jedoucí vagon má v S menší délku než je jeho klidová délka. Pokud jde o rozměry předmětů ve směru kolmém ke směru jejich pohybu, získáme výsledek takto: Postavíme se vedle vagonu, v ruce máme křídu, kterou držíme ve výšce horního okraje vagonu. Nechť nyní vagon jede rychlostí v. Jestliže se jeho výška při pohybu zmenší, křída bude výš než horní okraj vagonu a nezanechá na vagonu stopu. Z hlediska soustavy spojené s vagonem se však pohybujeme my rychlostí -v, takže se zmenšíme my a křída zanechá na vagonu stopu. Avšak křída nemůže na vagonu stopu současně zanechat a současně nezanechat, výška vagonu se tedy nezmění. Rozměry předmětů ve směru příčném k pohybu se tedy nemění. 3.1.3.5 Lorentzova transformace Transformační vztahy Uvedli jsme, že souřadnice (x, y, z, t) a (x , y , z , t ) jedné události ve dvou inerciálních vztažných soustavách S, S , z nichž S se pohybuje rychlostí v vzhledem k S rychlostí v podle obr. 3.11, nemohou být vázány rovnicemi Galileovy transformace (3.1), neboť v speciální teorii relativity neplatí zákon skládání rychlostí (3.4), jenž z Galiĺeiho transformace vyplývá. Ukazuje se, že Einsteinovy postuláty speciální teorie relativity jsou splněny, jestliže souřadnice (x, y, z, t) události v S a souřadnice (x , y , z , t ) téže události v S jsou vázány vztahy, které se nazývají Lorentzova transformace a které mají tvar Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 179 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA z x y z' x' y' `v O vt S O' 'S Obr. 3.11{obr2.1-11} a) x = x + vt 1 - v2 c2 , b) y = y , c) z = z , d) t = t + v c2 x 1 - v2 c2 . Lorentzova transformace (3.11){2.1-11} To jsou rovnice, pomocí kterých získáme ze souřadnic (x , y , z , t ) v soustavě S souřadnice (x, y, z, t) téže události v S. Jsou-li naopak dány souřadnice (x, y, z, t) nějaké události v S získáme z nich souřadnice v S ze vztahů (3.11) záměnou x x , y y , z z , t t , v -v. Dostaneme tak z Lorentzovy transformace ve tvaru a) x = x - vt 1 - v2 c2 , b) y = y, c) z = z, d) t = t - v c2 x 1 - v2 c2 . Lorentzova transformace (3.12){2.1-12} 1. Lorentzova transformace je zobecnění Galileovy transformace, kterou dostaneme z Lorentzovy transformace pro případ rychlostí v, pro něž platí v c (tzv. nerelativistické rychlosti). Skutečně pro v/c 1 dostaneme ze vztahů (3.12) vztahy x . = x - vt, y = y, z = z, t . = t. Galiĺeiho transformace je tedy limitním případem Lorentzovy transformace pro v/c 0 2. Ze vztahu (3.12)d plyne, že čas není absolutní. Čas t události měřený v S závisí nejen na čase t této události v S, nýbrž i na její prostorové souřadnici. Ve speciální teorii relativity nejsou prostorové a časové souřadnice nezávislé, prostorové a časové charakteristiky dějů spolu souvisí. Z tohoto důvodu se ve speciální teorii relativity užívá kromě pojmů prostoru a času i sjednocujícího pojmu prostoročas. 3. Lze ukázat, že rovnice elektromagnetického pole jsou vzhledem k Lorentzově transformaci kovariantní, tj. že zákony elektromagnetismu mají ve všech inerciálních soustavách stejný tvar. Zejména pro rychlost světla ve vakuu vychází (v souhlasu se 2. postulátem speciální teorie relativity) ve všech inerciálních soustavách stejná hodnota daná vztahem (3.8). Zato zákony klasické mechaniky nejsou, jak lze ukázat, vzhledem k Lorentzově transformaci kovariantní a je nutno je modifikovat. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 180 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA 4. Mají-li rovnice (3.11) popisovat děje probíhající v reálném prostoru a čase, musí být výraz (1 - v2/c2)1/2 reálný a nenulový, tj. musí platit v < c. Odsud plyne, že vzájemné rychlosti inerciálních vztažných soustav musí být menší než c. Tedy i rychlost libovolného tělesa v libovolné inerciální vztažné soustavě musí být menší než c, neboť toto těleso může tvořit vztažnou soustavu. 5. V předešlých úvahách jsme ukázali, že některé veličiny a pojmy, které jsou v klasické fyzice ,,absolutní , jsou ve speciální teorii relativity relativní, závislé na užité vztažné soustavě. Platí to např. o rozměrech předmětů, o délkách časových intervalů a o pojmu současnosti. V příkladech 2.1-1 až 2.1-4 ukážeme, že tyto výsledky plynou přímo z Lorentzovy transformace. 6. Kdyby bylo c , přešla by Lorentzova transformace v Galiĺeiho transformaci. Relativistické skládání rychlostí V této části odvodíme vztah (3.13), který je relativistickým zobecněním vztahu (3.14) platného v klasické fyzice. z x y z' x' y' u = ? O O' `v vt u' 'SS Obr. 3.12{obr2.1-12} Uvažujme o malém tělese (hmotném bodu), který se pohybuje vzhledem k inerciální vztažné soustavě S podél osy O x obr. 3.12. Pro jeho souřadnice platí y = y = konst., z = z = konst.. Jeho souřadnice x je v S funkcí času t , tj. x (t ). Jeho rychlost u v S i rychlost u v S má směr osy O x , tj. i osy Ox. Platí ux = u(t) = dx/dt, ux = u = dx /dt . Odvodíme vztah mezi u a u . Předem uvedeme tento pomocný vztah, který budeme potřebovat t = t + v c2 x 1 - v2 c2 dt = dt + v c2 dx 1 - v2 c2 . Nyní počítejme u: u(t) = dx dt = d dt x + vt 1 - v2 c2 = dx + vdt dt 1 - v2 c2 = dx + vdt dt + v c2 dx 1- v2 c2 1 - v2 c2 = dx + vdt dt + v c2 dx = dx dt + v 1 + v2 c2 dx dt = u + v 1 + vu c2 u(t) = u + v 1 + vu c2 . vztah speciální teorie relativity pro skládání rychlostí (3.13){2.1-13} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 181 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA 1. Vztah (3.13) nahrazuje ve speciální teorii relativity klasický vztah u = u + v, je jeho zobecněním. Vztah u = u + v je limitním případem vztahu (3.13) buď pro vu c2 (nerelativistické rychlosti), nebo pro c . 2. Pro u > 0 plyne ze vztahu (3.13), že vždy platí u < u + v. 3. Pro jakékoliv hodnoty rychlostí u (< c) a v(< c) dává vztah (3.13) výsledek u < c. Důkaz: Označme u = (1 - p)c, kde 0 < p 1, v = (1 - q)c, kde 0 < q 1 Dostáváme u = (1 - p)c + (1 - q)c 1 + (1-p)c(1-q)c c2 = 1 - p + 1 - q 1 + 1 - p - q + pq c = 2 - p - q (2 - p - q) + pq c < c . Zejména pro u c (p 0) vychází, že rovněž u c. Vztah (3.13) je tedy v souhlase s druhým postulátem speciální teorie relativity. 3.1.3.6 Důsledky Lorentzovy transformace v příkladech z x y z' x' y' `u1 `v = -`u2 `u2 P - e S O O' 'S Obr. 3.13{obr2.1-13} KP 3.1-1{kpr2.1-1} Elektron e se pohybuje v soustavě S rychlostí u1 = 0,9 c ve směru osy O x obr. 3.13, proton p se pohybuje v téže soustavě rychlostí u2 = 0,8 c v opačném směru. Určete relativní rychlost elektronu vzhledem k protonu. Řešení: S protonem spojíme vztažnou soustavu S obr. 3.13. Vzhledem k této soustavě se soustava S pohybuje rychlostí v = -u2 ve směru osy Ox. Relativní rychlost elektronu vzhledem k protonu je rovna rychlosti u elektronu vzhledem k soustavě S. Ze vztahu (3.13), v němž u = u, v = u2, dostaneme u = u1 + u2 1 + u2u1 c2 = 0,9c + 0,8c 1 + 0,8 0,9 = 0,988 372 c (< c) Podle klasické fyziky by mělo být u = 1,7 c. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 182 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA KP 3.1-2{kpr2.1-2} Dokažte, že z Lorentzovy transformace plyne relativnost současnosti. Důkaz: Uvažujme o dvou dějích současných v S obr. 3.13. Jejich souřadnice v S nechť jsou (x1, y1, z1, t1), (x2, y2, z2, t2 = t1). Pak jejich časové souřadnice v S jsou podle (3.11)d, t1 = t1 + v c2 x1 1 - v2/c2 , t2 = t2 + v c2 x2 1 - v2/c2 , kde t2 = t1 . odečtením dostaneme t = t2 - t1 = v c2 (x2 - x1)/(1 - v2 /c2 )1/2 . Je-li x1 = x2, je t2 = t1 a děje jsou v S současné. Je-li však x2 = x1, je t2 = t1, tj. děje jsou v S nesoučasné. KP 3.1-3{kpr2.1-3} S užitím Lorentzovy transformace dokažte platnost vztahu (3.9) pro dilataci času. Důkaz: Uvažujme o dvou událostech, které nastaly v S obr. 3.13 ve stejném místě v různých časech. Jejich souřadnice v S jsou (x1, y1, z1, t1), (x2 = x1, y2 = y1, z2 = z1, t2). Jejich časové souřadnice v S jsou, podle (3.11)d, t1 = t1 + v c2 x1 1 - v2/c2 , t2 = t2 + v c2 x1 1 - v2/c2 . Odečtením dostaneme t = t2 - t1 = t2 - t1 1 - v2/c2 = t 1 - v/c2 , což je vztah (3.9). KP 3.1-4{kpr2.1-4} S užitím Lorentzovy transformace dokažte platnost vztahu (3.10) pro kontrakci délek. Důkaz: Uvažujme o tyči, která leží v klidu v soustavě S na ose O x (obr. 3.7) a která v ní má délku lo (klidová délka), prostorové souřadnice jejich konaných bodů pro všechna t jsou (x1,0, 0), (x2 = x1 + l0,0, 0). Délku tyče v soustavě S určíme tak, že určíme souřadnice x1, x2(= x1 +l) jejích koncových bodů v S v libovolném, ale pevném, čase t0. Z Lorentzovy transformace, rovnice (3.12)a, plyne x1 = x1 - vt0 1 - v/c2 , x2 = x2 - vt0 1 - v2/c2 odečtením dostaneme l0 = x2 - x1 = x2 - x1 1 - v2/c2 = l 1 - v2/c2 , což je vztah (3.10). Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 183 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA Problém -- paradox Stojící vlak má stejnou délku l0 jako tunel, jímž bude projíždět, platí l0 = L0, kde L0 je délka tunelu. Projíždí-li vlak relativistickou rychlostí v tunelem, tvrdí na základě svých měření. 1. Pozorovatel Z stojící na Zemi: tunel se pohybuje rychlostí -v, jeho délka je menší než l0, tedy l < l0 = L0. To značí, že vlak je kratší než tunel. V některém okamžiku je vlak celý v tunelu schován a ještě v tunelu zbývá místo. 2. Pozorovatel V stojící ve vlaku: tunel se pohybuje rychlostí -v, jeho délka L je menší L0, tj. L < L0 = l0. To značí, že tunel je kratší než vlak. V některém okamžiku je současně část lokomotivy i posledního vagonu vně tunelu. Pokuste se vysvětlit. 3.1.4 Relativistická dynamika ickaDynamika} V této části jsou vysvětleny základní výsledky mechaniky hmotného bodu ve speciální teorii relativity. Při definici veličin a při formulaci základních zákonů se vychází z požadavků kovariantnosti rovnic vyjadřujících zákony mechaniky vzhledem k Lorentzově transformaci, z požadavků platnosti zákonů zachování relativistické hmotnosti, hybnosti a energie a požadavku, aby zákony speciální teorie relativity přešly pro v/c 0 v zákony klasické fyziky. Z těchto požadavků vyplývá zejména: závislost hmotnosti na rychlosti hmotného bodu, dále definice hybnosti hmotného bodu a relativistická pohybová rovnice pro hmotný bod, jež jsou sice formálně shodné s výsledky klasické fyziky, jejichž fyzikální obsah i jejich důsledky se však od klasické fyziky podstatně liší. Důležitý je relativistický vztah pro kinetickou energii. Jedním z nejdůležitějších vztahů speciální teorie relativity je vztah vyjadřující vzájemnou souvislost energie tělesa s jeho hmotností. Cíl: I) Umět použít základní zákony a vztahy zvýrazněné v rámečcích, vysvětlit pojmy, veličiny a výsledky zde v textu uvedené; II) Zpaměti relativistické vztahy pro hmotnost a hybnost hmotného bodu, vysvětlit důsledky plynoucí ze závislosti hmotnosti na rychlosti, umět znázornit závislosti hmotnosti a hybnosti na rychlosti graficky; III) Vyslovit, vysvětlit a na příkladech ilustrovat zákon zachování relativistické hmotnosti a energie; IV) Napsat relativistickou pohybovou rovnici pro hmotný bod a vysvětlit souvislost mezi zrychlením hmotného bodu a výslednicí sil, která na něj působí; V) Napsat relativistický vztah pro kinetickou energii hmotného bodu (tělesa) a pro jeho celkovou energii, vyložit a na příkladech ilustrovat jejich význam. Znázornit grafiky závislost rychlosti hmotného bodu na jeho kinetické energii; VI) Vysvětlit vztah mezi relativistickou a klasickou mechanikou. 3.1.5 Relativistická hmotnost Základní pohybové zákony mechaniky jsou pohybové zákony pro hmotný bod. V klasické mechanice jsou to tři pohybové zákony. První z nich - zákon setrvačnosti vyslovující tvrzení o existenci inerciální vztažné soustavy platí, samozřejmě, i ve speciální teorii relativity. Podobně je tomu Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 184 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA i s třetím pohybovým zákonem - principem akce a reakce. Pokud jde o druhý pohybový zákon, vyjádřený vztahem m d2r dt2 = Fv, (3.14){2.1-14} tomu tak není. Tato rovnice je kovariantní vzhledem ke Galileově transformaci, není však kovariantní vzhledem k transformaci Lorentzově. Skutečně: napíšeme-li ji např. v soustavě S pro těleso, které se pohybuje ve směru osy Ox, ve tvaru dux/dt = Fx a zavedeme-li do této rovnice veličiny, charakterizující jeho pohyb v inerciální soustavě S , pak namísto ux zavedeme ux vztahem ux = ux - v c2 t 1 - uxv c2 . Podobně musíme nahradit derivaci podle t derivací podle t atd. Výsledná rovnice nebude mít tvar md2ux /dt 2 = Fx , nýbrž bude mnohem složitější. To však znamená, že kdyby v jedné inerciální soustavě platila pohybová rovnice ve tvaru (3.14) tak, aby nová rovnice byla kovariantní vzhledem k Lorentzově transformaci a aby při nerelativistických rychlostech přešla v rovnice (3.14), neboť při nerelativistických rychlostech je rovnice (3.14) správná. Relativisticky kovariantní pohybovou rovnici hmotného bodu lze získat různými způsoby. Naznačíme zde velmi stručně myšlenkový postup, který však vede k získání vztahu vyjadřujícího závislost hmotnosti tělesa na jeho rychlosti v ve známém tvaru m = m0 1 - v2/c2 . relativistická hmotnost tělesa (3.15){2.1-15} Zde je m0 tzv. klidová hmotnost tělesa, tj. hmotnost tělesa ve vztažné soustavě, vzhledem k níž je v klidu. Veličina m je hmotnost téhož tělesa v soustavě, vzhledem k níž se těleso pohybuje rychlostí v. Připomeňme, že hmotnost je mírou setrvačných vlastností tělesa. Zmíněná úvaha vedoucí ke vztahu (3.15) je takováto: Základní zákony fyziky jsou zákony zachování - zachování energie, hmotnosti, hybnosti, elektrického náboje atd. Proto při zobecňování fyzikálních zákonů, o nichž je známo, že platí za určitých omezujících podmínek, je nutno definovat nové zobecnění fyzikální veličiny tak, aby zákony zachování zůstaly v platnosti. Ve speciální teorie relativityí se proto hmotnost m hmotného bodu a jeho hybnost p definují tak, aby pro celkovou hmotnost hmotné soustavy definovanou vztahem m = m1 + m2 + . . . + mn a pro celkovou hybnost hmotné soustavy definovanou vztahem p = p1 + p2 + . . . + pn platily zákony zachování: hmotnost izolované hmotné soustavy i její hybnost v určité vztažné soustavě je stálá při všech dějích, které v ní probíhají. Vyjádřeno matematicky: a) m = konst., b) p = konst. (3.16){2.1-16XX} Rozborem jednoduchých mechanických dějů, např. rozborem srážky dvou pružných částic s užitím vztahů (3.16)a,b a kinematických vztahů speciální teorie relativity, které jsme odvodili v předešlé části, lze dokázat, že hmotnost částice pohybující se v určité vztažné soustavě S rychlostí v je dána v této soustavě vztahem (3.15). Její hybnost v soustavě S je dána vztahem p - mv = m0v 1 - v2/c2 . (3.17){2.1-17XX} Informace: Informace ke vztahu (3.15) pro m a ke vztahu (3.17) pro p 1. Ze vztahu (3.15) plyne, že relativistická hmotnost tělesa není veličina, která by charakterizovala jen těleso, nýbrž charakterizuje i jeho pohybový stav. Závisí na rychlosti tělesa, tj. i na volbě vztažné soustavy; Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 185 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA m(kg) v c m = 1 kg0 p klasicky relativisticky a) b) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 v c Obr. 3.14{obr2.1-14} 2. Hmotnost m pohybujícího se tělesa je vždy větší než jeho klidová hmotnost m0, platí m m0. Pouze při nerelativistických rychlostech je m přibližně konstantní, m . = m0. Přitom klidová hmotnost m0 tělesa je totožná s jeho hmotností definovanou v klasické fyzice; 3. Pro v c je m . Hmotnosti relativistických částic urychlených v urychlovačích jsou mnohonásobně větší než jejich klidové hmotnosti. Žádný objekt s nenulovou klidovou hmotností nemůže dosáhnout rychlosti světla. Závislost hmotnosti m na v a hybnosti p na v je znázorněna v obr. 3.14a,b. Např. elektron, který získal v urychlosvači rychlost v = 0,999 999 999 7 c, tj. jen asi o 10 cm/s menší, než je rychlost světla, má hmotnost m . = 4 104 m0, kde m0 je jeho klidová hmotnost; 4. Vztah (3.16)a vyjadřuje, že se zachovává relativistická hmotnost soustavy. Objasní to příklad: Dvě stejné částice o klidových hmotnostech m0 se pohybují v soustavě S proti sobě stejně velkými opačně orientovanými rychlostmi v, v . Srazí se, srážka je nepružná, takže vznikne jedno těleso, které je v S v klidu. Hmotnost M tohoto tělesa (a je to jeho klidová hmotnost, tedy M0) není rovna 2m0, nýbrž je dána vztahem M = M0 = m + m = m0 1 - v2/c2 + m0 1 - v2/c2 = 2m0 1 - v2/c2 (> 2m0) Tedy výsledná klidová hmotnost této soustavy na konci děje je větší, než součet klidových hmotností jejích členů! Klidová hmotnost se nezachovává; 5. Relativistické zvětšování hmotnosti bylo experimentálně ověřeno již r. 1909 a od té doby bylo prokázáno nesčetkrát s velkou přesností. Vztahy (3.15) a (3.17) se běžně užívají při studiu všech dějů, kde se objekty pohybují relativistickými rychlostmi (televizní obrazovka, urychlovače atd). 3.1.6 Relativistická pohybová rovnice V odst. 3.1 jsem uvedli, že druhý pohybový zákon klasické fyziky, rovnice (3.14), není kovariantní vzhledem k Lorentzově transformaci, proto při relativistických rychlostech neplatí. Jeho relativistické zobecnění musí být vyjádřeno rovnicí, která je kovariantní vzhledem k Lorentzově Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 186 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA transformaci a která pro nerelativistické rychlosti přejde v rovnici (3.14). Ukazuje se, že tyto požadavky splňuje rovnice a) dp dt = F , kde b) p = mu = m0u 1 - u2 c2 , (3.18){2.1-16} tj. rovnice dp dt = m0u 1 - u2 c2 = F . relativistická pohybová rovnice pro hmotný bod (3.19){2.1-17} Zde p je hybnost hmotného bodu o klidové hmotnosti m0 pohybujícího se rychlostí u a F je výslednice sil, které na něj působí. Vztahem (3.18)a je formálně shodný se vztahem dp/dt = F klasické fyziky, ve skutečnosti však se od něj velmi podstatně odlišuje tím, že hmotnost m závisí na rychlosti hmotného bodu. Ježto rychlost u závisí (obecně) na čase, závisí i m na čase a v derivaci rovnice (3.19) se to projeví. Důsledkem jsou některé zvláštnosti zákonitostí pohybů. Navíc se ukazuje, že ve speciální teorii relativity není F invariantní. 3.1.6.1 Síla a zrychlení mají (obecně) různý směr. Vyplývá to ze vztahu (3.19), v něž provedeme naznačenou derivaci. Přitom u (a rovněž u) je funkcí času. F = d dt m0u 1 - u2 c2 = d dt m0 1 - u2 c2 u + m0 1 - u2 c2 du dt = m0 u c2 1 - u2 c2 3/2 du dt u + m0 1 - u2 c2 a . (3.20){2.1-18} Ježto u má (obecně) jiný směr než a, nejsou a a F (obecně) rovnoběžné (obr. 3.15). ~Ft ~F `a `at ~Fn `an Obr. 3.15{obr2.1-15} 3.1.6.2 Podélná a příčná hmotnost a) Podélná hmotnost Působí-li síla F ve směru rychlosti u, označíme průměty veličin F, u a a do směru rychlosti u symboly F, u, a. Z předešlého vztahu dostaneme F = m0 u c2 1 - u2 c2 3/2 au + m0 1 - u2 c2 a = m0 1 - u2 c2 3/2 a . V analogii se vztahem F = ma se nazývá veličina m0/(1 - u2 c2 )3/2 podélná hmotnost. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 187 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA b) Příčná hmotnost Působí-li síla F kolmo na rychlost u, lze dokázat, že platí F = ma, kde m = m0/ 1 - u2 c2 . Poslední veličina se proto nazývá příčná hmotnost. 3.1.6.3 Pro u c, tj. pro nerelativistické rychlosti, přechází vztah (3.19) v klasický vztah m0a = F. Je to zřejmé ze vztahu (3.20), v němž položíme u2/c2 = 0. KP 3.1.4-1{kpr2.1-5} Na částici o klidové hmotnosti m0, která je nejprve v klidu, začne v lineárním urychlovači v čase t = 0 působit síla F. Vyšetřete její pohyb Řešení: V tomto případě plyne z rovnice (3.20), že veličiny F, a, u mají stejný směr, částice se bude pohybovat po přímce. Orientujme tuto přímku, kterou zvolíme za osu Ox, ve směru u a označíme průměty veličin u, a, F do Ox symboly u, a, F. Z rovnice (3.20) dostaneme d dt m0u 1 - u2 c2 = F m0u 1 - u2 c2 = t 0 Fdt = Ft . Z tohoto vztahu určíme u jako funkci času u = c (F/m0c)t 1 + (F/m0c)t . (3.21){2.1-19} Diskuse: Pro velmi malá t, tak malá, že platí (F/(m0c)2)t2 1, nabude poslední vztah tvar u . = F m0 t . To je však známý vztah klasické fyziky: u = at, kde a = F/m0. To značí: Na začátku pohybu roste rychlost lineárně s časem, částice se pohybuje rovnoměrně zrychleně se zrychlením a = F/m0, tak jako podle zákonů klasické fyziky. Pro velmi velká t (pro t ) lze zanedbat ve jmenovateli ve vztahu (3.21) jedničku, takže u . = c (u c). To značí: Po uplynutí dostatečně velkého času se při konstantní působící síle se rychlost částice téměř nezvětšuje a blíží se k c. Dráha: Ze vztahu (3.21), v němž položíme u = dx/dt, dostaneme integrací za předpokladu, že částice byla na začátku urychlování v poloze x = 0, vztah x = t 0 u(t)dt = . . . = m0c2 F 1 + (F/m0c)2t2 - 1 . (3.22){2.1-20} Pro velmi malé hodnoty času t můžeme rozvinout funkci x(t) v okolí bodu t = 0 v Taylorovu řadu a v rozvoji se omezit na první člen. Vychází x . = 1 2 at2 kde a = F m0 . Pohyb je zpočátku přibližně rovnoměrně zrychlený. Pro t nabude vztah (3.22) tvar x . = ct - m0c2/F. To je vztah pro rovnoměrný pohyb rychlostí c. Závislost rychlosti a dráhy na čase, dané vztahy (3.21), (3.22), jsou graficky znázorněny v obr. 3.16. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 188 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA t0 x t u 0 c u = t F klasicky relativisticky a) b) relativisticky klasicky x = 2t F m0 1 2 x = ct-K tg = c m0 Obr. 3.16{obr2.1-16} 3.1.7 Relativistická energie Jedním z nejdůležitějších výsledků teorie relativity je objevení souvislostí mezi hmotností m fyzikálního objektu (částice, tělesa, hmotné soustavy atd.) a jeho celkovou energií E, vyjádřené vztahem E = mc2 . vztah mezi energií a hmotností (3.23){2.1-21} Naznačíme postup, kterým se k tomuto vztahu dojde a provedeme jeho diskusi. `v1 ~Fvm z x y O 1 2 `v2 Obr. 3.17{obr2.1-17} 3.1.7.1 Kinetická energie Při definici kinetické energie částic nebo tělesa (hmotného bodu) ve speciální teorie relativity se volí stejný postup jako v klasické fyzice. V klasické fyzice je kinetická energie hmotného bodu definována v určité vztažné soustavě vztahem Ek = 1 2 mv2 na základě tohoto výsledku obr. 3.17: Pohybuje-li se hmotný bod z bodu 1 do bodu 2 účinkem sil o výslednici Fv, pak práce W12 této výslednice na uvedeném úseku trajektorie souvisí s jeho počáteční rychlostí v1 a konečnou rychlostí v2 vztahem W12 = 1 2 mv2 2 - 1 2 mv2 1 = Ek,2 - Ek,1 , (3.24){2.1-22} kde jsem zavedli kinetickou energii Ek vztahem Ek = 1 2 mv2 tak, aby pro v = 0 bylo Ek = 0, viz ods. 2.5.4. Provede-li se analogicky výpočet práce síly Fv na úseku 1,2 v obr. 3.17 pro hmotný bod Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 189 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA o klidové hmotnosti m0 v rámci speciální teorie relativity, dojde se k výsledku W12 = m0c2 1 - v2 2 c2 - m0c2 1 - v2 1 c2 = m2c2 - m1c2 = mc2 , (3.25){2.1-23} kde m1 a m2 jsou relativistické hmotnosti pohybujícího se hmotného bodu na začátku a na konci úseku 1,2. Kinetická energie Ek hmotného bodu se definuje opět tak, aby platil vztah W12 = Ek,2 - Ek,1 a aby pro v = 0 měla Ek hodnotu Ek = 0 . S užitím vztahu (3.25) odsud plyne: Ek = mc2 + K, kde K = -m0c2. Výsledek: Hmotný bod o klidové hmotnosti m0 pohybující se (v určité vztažné soustavě) rychlostí v má kinetickou energii Ek = mc2 - m0c2 = m0 1 - v2 c2 - m0 c2 . relativistická kinetická energie hmotného bodu (3.26){2.1-24} Při této definici platí W12 = Ek,2 - Ek,1 . Všimněme si, že přírůstek kinetické energie Ek = Ek,2 - Ek,1 lze vyjádřit ve tvaru Ek = Ek,2 - Ek,1 = (m2c2 - m0c2 ) - (m1c2 - m0c2 ) = (m2 - m1)c2 = mc2 . (3.27){2.1-25} Závislost Ek na v, dána vztahem (3.26), je graficky znázorněna v obr. 3.18a (při daném m0). V obr. 3.18b je pro názornost vynesena graficky závislost rychlostmi na kinetické energii. Z obr. 3.18b je zřejmé, že při urychlování částic nejprve jejich rychlost prudce roste, pak se vzrůst rychlosti zmírní a v závěru se rychlost téměř nezvětšuje a asymtoticky se blíží k c (viz příklad 2.1-5). 0 0c c klasicky relativisticky Ek v a) b) v Ek Obr. 3.18{obr2.1-18} Např. v lineárním urychlovači, v němž urychlované elektrony získávají celkovou kinetickou energii 20 GeV = 2 1010 elektronvoltů (1 eV . = 1,6 10-19 J), nabude elektron dodáním prvních 10 GeV rychlost 0,999 999 999 c, tj. rychlost jen o 0,39 m/s nižší než c. Zvýší-li se jeho kinetická energie o dalších 10 GeV vzroste jeho rychlost o pouhých 0,29 m/s a přiblíží se rychlosti světla na 0,1 m/s. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 190 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA Relativistická kinetická energie definována vztahem (3.26) nemá zdánlivě mnoho společného s klasickám vztahem Ek = 1 2 mv2. Není však tomu tak, pro v c přechází vztah (3.26) v klasický vztah. Skutečně: rozvineme-li výraz (1-x2)-1/2, kde x = v/c, ve vztahu (3.26) podle binomické věty (nebo vyjádříme-li jej Taylorovou řadou v okolí bodu x = 0), dostaneme Ek = m0c2 1 - v2 c2 -1/2 - 1 = m0c2 1 + 1 2 v2 c2 + 3 8 v4 c4 + . . . - 1 . = 1 2 m0v2 . Zde jsme se nakonec omezili na první člen rozvoje. Výsledek pro v c platí Ek = mc2 - m0c2 . = 1 2 m0v2 (3.28){2.1-26} v souhlase s klasickou fyzikou. 3.1.7.2 Obecný vztah mezi energií a hmotností Vztah (3.27) vyjadřující úměrnost mezi Ek m lze zobecnit na formy energie: je-li E změna jakékoliv energie hmotné soustavy a m změna její hmotnosti, platí E = mc2 . (3.29){2.1-27} 1 2 S TT `v -`v m = m0 P Ek Ep M M 'M =M 0 ' 'm = m0 E =Ek k,0' Ek 'E =Ek k,0 'Ep 'M =M 0 Obr. 3.19{obr2.1-19} V dalším ukážeme, jak tento vztah vyplývá z požadavku platnosti zákona zachování (relativistické) hmotnosti a zákona zachování energie izolované soustavy pro konkrétní případ potenciální energie. Uvažujme o izolované hmotné soustavě sestávající z pružiny P a dvou stejných těles T (obr. 3.19). V první fázi děje (stav 1) je pružina v soustavě S v klidu a tělesa se pohybují směrem k S rychlostmi v, -v tak, že poté současně narazí na pružinu. Pružina se deformuje a ve stavu 2, kdy je maximálně deformována, je celá soustava v klidu. Označme hodnoty hmotností a energií ve stavu 1 bez čárky, ve stavu 2 s čárkou. Přitom M a E je hmotnost a energie každého z těles T; m a EP je hmotnost a energie pružiny P. Veličiny m0, m0, M0 jsou klidové hmotnosti. 3.1.8 Zákon zachování energie: E = E, tj . EP + 2ET = EP + 2ET + 2(E0T + EkT ) neboli EP + 2E0T = EP + 2E0T + 2(M - M0)c2 . (3.30){2.1-28} Zde jsme vyjádřili ET ve tvaru ET = T0T +EkT , kde EkT je kinetická energie tělesa T a E0T nějaká (neznámá) konstanta. Dále jsme užili vztahu ET = E0T . Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 191 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA 3.1.9 Zákon zachování hmotnosti: mvsl = mvsl tj. m0 + 2M0 = m0 + 2M . (3.31){2.1-29} Odtud ihned plyne: ježto hmotnost M tělesa T v pohybu je větší než jeho klidová hmotnost M0, je m0 > m0, tj. deformovaná pružina má větší hmotnost než pružina nedeformovaná, takže m = m0 - m0 > 0. Vypočteme-li ze vztahu (3.30) veličinu EP = EP - EP , dostaneme s užitím vztahu (3.31) vynásobeného c výsledek EP = 2(M - M0)c2 = (m0 - m0)c2 , tj. EP = mc2 . (3.32){2.1-30} To je vztah zcela analogický vztahu (3.27). Poznamenejme, že zatímco se při zvětšení kinetické energie tělesa zvětšila jeho relativistická hmotnost m, přičemž jeho klidová hmotnost se nezměnila, pak při zvětšení elastické energie pružiny se zvětšila její klidová hmotnost. Analogickou úvahu lze zřejmě provést pro jakýkoliv druh energie, takže platí obecný vztah (3.29). Vztah (3.29) byl ověřen mnohokrát experimentálně a běžně se jej užívá zejména v atomové a kvantové fyzice, jaderné energetice atd. Ohřejeme-li např. těleso, zvětší se tím nepatrně jeho hmotnost, právě tak jako se zvětšuje hmotnost pružiny hodinek při jejich natahování. Změny hmotnosti v těchto případech jsou ovšem zanedbatelně malé, platí pro ně m = E/c2, kde c2 . = 9 1016 m2/s2. V jaderné fyzice však dochází často k velkým změnám energie a příslušné změny hmotnosti se projevují velmi zřetelně. Např. při vzniku atomových jader syntézou elementárních částic se uvolňují relativně značná množství energie. Hmotnost soustavy částic, z nichž vzniká jádro, se zmenšuje. Proto klidová hmotnost atomového jádra je vždy menší než součet klidových hmotností protonů a neutronů v jádře obsažených. Rozdíl obou hmotností se nazývá hmotnostní schodek. Úvahami do jisté míry analogickými těm, které jsme uvedli, lze dojít k závěru, že celková energie hmotné soustavy m je dána vztahem E = mc2 . relativistická energie (3.33){2.1-31} Tento vztah je analogický vztahu (3.29). Je-li hmotná soustava v klidu a má-li klidovou hmotnost m0, je její energie dána vztahem E0 = m0c2 . klidová energie (3.34){2.1-32} Tato energie se nazývá klidová energie hmotné soustavy. S užitím vztahů (3.33) a (3.34) lze napsat vztah (3.26) pro kinetickou energii hmotného bodu ve tvaru Ek = E - E0 E = Ek + m0c2 . Ze vztahu (3.33) plyne, že v látkách je koncentrováno obrovské množství energie. V jaderných elektrárnách se jí zužitkovává jen nepatrná část. 3.1.10 Příklady k části 3 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 192 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA KP 3.1.4-2{pr2.1-1} Mimozemský kosmický cestovatel prolétá sluneční soustavou rychlostí v = 0,99 c. Předpokládejte, že průměr sluneční soustavy je roven průměru trajektorie planety Pluta a určete: 1. Dobu průletu naměřenou přístroji pevnými ve sluneční soustavě; 2. Dobu průletu, kterou naměří cestovatel svými přístroji; 3. Průměr sluneční soustavy, kterou naměří cestovatel. KP 3.1.4-3{pr2.1-2} Kosmický cestovatel prolétá poblíž Země a vrátí se po dvou hodinách letu měřených na Zemi. Jeho hodiny však ukazují, že uplynula pouze hodina. Určete velikost jeho rychlosti v geocentrické soustavě za předpokladu, že byla během letu přibližně stálá. KP 3.1.4-4{pr2.1-3} Elektron byl urychlen v televizní obrazovce tak, že při dopadu se pohyboval rychlostí v = c/3 = 108 m/s. Délka jeho trajektorie měřené v laboratorní soustavě byla l = 30 cm. Pro okamžik dopadu elektronu na obrazovku určete jeho: 1. Hmotnost; 2. Hybnost; 3. Energii a) celkovou, b) klidovou, c) kinetickou; 4. Napětí na televizní obrazovce (pozn.: urychlující napětí se číselně rovná práci vykonané silami urychlujícího pole působícími na elektron, vyjádřené v elektronvoltech); 5. Délku trajektorie měřenou v soustavě s elektronem v okamžiku dopadu. KP 3.1.4-5{pr2.1-4} Určete celkovou energii: 1. Klidné částice o hmotnosti rovné atomové jednotce hmotnosti u; 2. Klidného elektronu. Vyjádřete v eV. KP 3.1.4-6{pr2.1-5} Elektron byl urychlen v televizní obrazovce elektrickým polem o napětí U = 1,5 104 V, takže získal kinetickou energii Ek = 1,5 104 eV. Pro okamžik dopadu elektronu na obrazovku určete jeho: 1. Celkovou energii; 2. Hmotnost; 3. Rychlost; 4. Rychlost za předpokladu, že by platily zákony klasické fyziky. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 193 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA KP 3.1.4-7{pr2.1-6} Určete maximální napětí, jímž je možno urychlit elektron tak, aby jeho rychlost nepřesáhla hodnotu 0,1 c. KP 3.1.4-8{pr2.1-7} Pro elektron dopadající na antikatodu v rentgenové trubici pracující na napětí 80 kV určete: 1. Celkovou energii; 2. Hmotnost; 3. Rychlost; 4. Relativní zkrácení elektronu v podélném směru. KP 3.1.4-9{pr2.1-8} Sluneční záření dopadá do horních vrstev atmosféry s intenzitou I = 1,37 kW/m2. Určete: 1. Výkon, se kterým vyzařuje Slunce; 2. Rychlost, se kterou se vyzařováním zmenšuje hmotnost Slunce; 3. Úbytek hmotnosti Slunce vlivem vyzařování za 24 hodin. Určete objem vody o stejné hmotnosti. KP 3.1.4-10{pr2.1-9} Určete: 1. Hmotnostní schodek a 2. Vazebnou energii částic: a) deuteronu, b) částice . Pozn.: Deuteron je jádro deuteria, obsahuje 1 proton 1 neutron; částice je jádro hélia, obsahuje dva protony a dva neutrony). Potřebné hodnoty najděte v tabulce na straně 400 tohoto textu. KP 3.1.4-11{pr2.1-10} Dokažte, že pro superrelativistickou částici, která se pohybuje rychlostí téměř rovnou rychlostí světla, platí 1 - v2/c2 . = 2 (c - v)/c . KP 3.1.4-12{pr2.1-11} S užitím výsledku příkladu KP 3.1.4-11 řešte příklad: Fiktivní kosmická loď se pohybuje ve směru Země-Měsíc rychlostí, která je jen o 3 m/ s menší než rychlost světla c. Určete: 1. Dobu letu Z M zjištěnou přístroji pevnými v geocentrické soustavě; 2. Dobu letu naměřenou v lodi; 3. Vzdálenost Země-Měsíc naměřenou v lodi. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 194 3.1. RELATIVISTICKÁ KINEMATIKA KP 3.1.4-13{pr2.1-12} Dva elektrony se pohybují v laboratorní soustavě rychlostmi v1 = 0,5 c, v2 = 0,6 c v jedné přímce v opačných směrech. Určete jejich relativní rychlost. KP 3.1.4-14{pr2.1-13} Elektron a proton se pohybují v laboratorní soustavě po přímce ve stejném směru, první z nich rychlostí v1 = 0,9 c, druhý rychlostí v2 = 0,95 c. Určete jejich relativní rychlost. KP 3.1.4-15{pr2.1-14} Z transformačních rovnic (3.11) odvoďte rovnice (3.12). KP 3.1.4-16{pr2.1-15} Kosmická loď K1 letící od Země k Jupiteru míjí Mars rychlostí v1 = 0,4 c. Posádka zpozorujeme před sebou jinou kosmickou loď K2, pohybující se směrem k Jupiteru rychlostí v2 = 0,8 c vzhledem ke K1 a má za sebou další kosmickou loď K3, která se vzhledem k nim pohybuje rychlostí v3 = 0,8 c směrem k Zemi. Určete, jakou rychlost lodí K1, K2, K3 zaregistrují přístroje na Marsu. KP 3.1.4-17{pr2.1-16} Určete maximální napětí, kterým může být urychlen původně klidový proton, má-li jeho rychlost přesáhnout 0,1 c. KP 3.1.4-18{pr2.1-17} Kladně nabité klidné piony mají hmotnost m0 = 273 me a střední dobu života = 2,6 10-8 s. V urychlovači získají rychlost v = 0,8 c. Určete: 1. Střední dobu jejich života v laboratorní soustavě; 2. Střední dráhu, kterou urazí v laboratoři, než se rozpadnou (dobu pohybu v urychlovači zanedbejte); 3. Střední vzdálenost urychlovače od místa rozpadu pionů měřenou v jejich klidové vztažné soustavě; 4. Hmotnost pionů v laboratorní soustavě; 5. Kinetickou energii pionů v laboratorní soustavě. KP 3.1.4-19{pr2.1-18} (Science fiction). Učitel zadal studentům hodinovou kontrolní práci, nasedl do kosmické lodi a vzdaloval se (k velkému potěšení studentů) rychlostí v = 0,97 c. Po hodině letu, naměřené na jeho hodinkách, zaslal studentům rádiovou depeši, aby práci ukončili, jakmile jim depeše přijde. Ti to učinili. Jak dlouho pracovali na kontrolní práci? Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 195 4. Základy molekulárně kinetické teorie 4.1 Molekulová stavba látek kulovaStavba} V této části jsou stručně vyloženy základní pojmy, názvosloví a veličiny molekulové stavby látek: hmotnost molekuly, relativní molekulová hmotnost, látkové množství a jeho jednotka, Avogadrova konstanta a její význam. Cíl: I) Vyložit základní pojmy a vztahy zvýrazněné v rámečcích a definovat veličiny odpovídající veličiny. II) Samostatně řešit jednoduché příklady v tomto textu a příklady podobného typu, řešení zdůvodnit. Molekulová fyzika představuje obor fyziky vycházející z molekulárně kinetických představ. Zabývá se stavbou a vlastnostmi látek. V souhlase s těmito představami libovolná látka (tuhá, kapalná nebo plynná) se skládá z velkého počtu velmi malých částic - molekul. Molekuly každé látky se nacházejí v neuspořádaném, chaotickém pohybu všemi směry, kde žádný směr pohybu nemá přednost. Intenzita pohybu závisí na teplotě látky a rozměrech částic. Bezprostředním důkazem existence chaotického pohybu molekul je brownovský pohyb. Tento jev spočívá v tom, že velmi malé částice (viditelné jen mikroskopem) rozptýlené v kapalině, vždy se nachází ve stavu neustálého neuspořádaného pohybu, který nezávisí na vnějších příčinách, ale je projevem vnitřního pohybu látek. Brownovské částice uskutečňují pohyb vlivem nárazu molekul na pozorované částice. Molekulárně kinetická teorie vysvětluje fyzikální jevy na základě pohybu molekul, tj. vysvětluje tepelné vlastnosti látek z hlediska jejich molekulové struktury a využívá zákonů statistické fyziky. Zde budeme aplikovat kinetickou teorii látek jen na plyny, protože interakce mezi molekulami v plynech jsou mnohem menší než v kapalinách a pevných látkách a matematické vyjádření je snazší. Termodynamika pojednává jen o makroskopických veličinách, které jsou přímo pozorovatelné a měřitelné, jako teplota, tlak a objem. Její základní zákony, vyjádřené pomocí těchto veličin, neříkají nic o složení látky z atomů a molekul. Všechny termodynamické proměnné veličiny dovedeme vyjádřit jako určitý průměr vlastností atomů a molekul. Počet atomů a molekul je obvykle v makroskopickém systému tak veliký, že takové průměry jsou přesně definované hodnoty. Molekuly a atomy jsou velmi složité útvary, skládající se z jader a obalů osazených elektrony. Tyto základní částice se navíc neřídí zákony klasické mechaniky. O skutečném tvaru molekul víme velmi málo a velikost nemůžeme přesně měřit. Ze zkušenosti víme, že molekuly jsou útvary dosti stabilní. Existuje veličina, která je pro molekulu charakteristická, a tou je hmotnost molekuly. V kinetické teorii látek zavádíme jednak hmotnost molekuly m, jednak relativní molekulovou hmotnost Mr. Hmotnost molekuly vyjadřujeme v kg. Relativní molekulová hmotnost Mr je bezrozměrná veličina, udávající, kolikrát je hmotnost molekuly větší než klidová hmotnost jedné dvanáctiny atomu uhlíku 12C (kterou značíme symbolem mu) mu = (1,660 44 0,000 08) 10-27 kg . Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 196 4.2. IDEÁLNÍ PLYN Hmotnost molekuly lze pak vyjádřit vztahem m = Mrmu . (4.1){3.1-1} Mějme určité množství látky o hmotnosti M1, její relativní molekulová hmotnost nechť je Mr,1. Počet N1 molekul látky o hmotnosti M1 lze určit ze vztahu M1 = N1m1 = N1Mr,1mu , kde m1 je hmotnost molekuly. Analogický vztah můžeme psát pro druhou látku o hmotnosti M2 M2 = N2m2 = N2Mr,2mu . Pro poměr hmotností obou látek dostáváme M1 M2 = N1Mr,1 N2Mr,2 . Obsahují-li obě množství látek stejná počet molekul (N1 = N2), pak hmotnosti dvou látek jsou ve stejném poměru jako jejich relativní molekulové hmotnosti M1 M2 = Mr,1 Mr,2 . Představa, že se látka skládá z molekul, umožňuje posuzovat množství látky podle počtu molekul. Zavádí se proto veličina látkové množství, které je určeno počtem molekul v jistém objemu látky. Jednotkou látkového množství je mol, což je takové množství soustavy, které obsahuje stejný počet elementárních jedinců, kolik je atomů ve 0,012 kg nuklidu uhlíku 12C. Pro látkové množství užíváme obvykle jednotky násobné kilomol (kmol). Kilomoly látek všech skupenství obsahují stejný počet molekul. Můžeme určit hmotnost kilomolu libovolné látky, zvolíme-li za množství druhé látky jeden kilomol nuklidu 12C. Pak hmotnost kilomolu libovolné látky je číselně rovná její relativní molekulové hmotnosti. Značíme ji Mm a nazýváme molová hmotnost; její jednotkou je kg kmol-1. Počet molekul v jednom kilomolu libovolné látky udává Avogadrova konstanta NA, jejíž hodnota je NA = (6,022 52 0,000 28) 1026 kmol-1 . Známe-li molovou hmotnost Mm látky, vypočteme hmotnost jedné molekuly m = Mm NA . (4.2){3.1-2} KP 4.1-1{pr3.1-1} Určete lineární rozměr molekul vody, jestliže jeden mol vody zaujímá objem Vm = 18 cm3. Řešení: K přibližnému určení rozměrů molekul musí být splněn předpoklad, že molekuly v látce jsou rozloženy blízko vedle sebe. U kapalin tento předpoklad je splněn. Nejprve vypočteme, jaký objem přísluší jedné molekule V0 = Vm NA = 18 10-6 m3mol-1 6,02 1023 mol-1 = 30 10-30 m3 . Lineární rozměr molekuly bude a = 3 V0 = 3 30 10-30 m3 . = 3,1 10-10 m = 3,1°A . Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 197 4.2. IDEÁLNÍ PLYN 4.2 Ideální plyn {IdealniPlyn} Tato část obsahuje definici ideálního plynu z hlediska makroskopického a mikroskopického. Je zde vyložen význam proměnných veličin (charakterizující ideální plyn) a uvedena rovnice vyjadřující jednoduchý vztah mezi nimi. Cíl: I) Definovat ideální plyn z hlediska makroskopického a mikroskopického. II) Použít stavovou rovnici k řešení problémů. 4.2.1 Makroskopický popis kopickyPopis} Plyn, který vykazuje jistý jednoduchý vztah mezi termodynamickými proměnnými veličinami p, V a T, se nazývá ideální plyn. Je-li nějaký plyn o celkové hmotnosti M v teplotní rovnováze, můžeme měřit jeho tlak, teplotu a objem. Pro plyny o malé hustotě se dá experimentálně ukázat, že 1. pro dané množství plynu je tlak za konstantní teploty nepřímo úměrný objemu (BoylůvMariottův zákon), 2. pro dané množství plynu je objem při konstantním tlaku přímoúměrný teplotě (GayLussacův zákon). Tyto dva experimentální výsledky zapíšeme ve tvaru pV T = konst. (pro stálé množství plynu) (4.3){3.1-3} {ram-103} Objem zaujímaný plynem (reálným nebo ideálním) při daném tlaku a teplotě je úměrný jeho množství. Tedy konstanta v (4.3) musí být úměrná množství plynu. Vyjádříme-li množství plynu látkovým množstvím nm (tj. v kilomolech), napíšeme uvedenou konstantu ve tvaru konst. = nmR , kde nm je látkové množství (počet (kilo)molů) a R musí být určeno experimentálně pro každý plyn. Jestliže experimenty provádíme při dostatečně malé hustotě plynů, má R konstantní hodnotu pro všechny plyny R = (8,314 3 0,001 2) 103 J kmol-1 K-1 a nazývá se univerzální plynová konstanta. Rovnici (4.3) píšeme ve tvaru pV = nmRT stavová rovnice pro ideální plyn (4.4){3.1-4} {ram-104} a ideální plyn definujeme jako takový, který splňuje tento vztah za všech podmínek. Tato rovnice se nazývá stavová rovnice pro ideální plyn. 4.2.2 Mikroskopická definice ickaDefinice} Rovněž z mikroskopického hlediska musí ideální plyn splňovat zákony uvedené pro tento plyn v makroskopickém popisu. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 198 4.3. TLAK IDEÁLNÍHO PLYNU 1. Plyn se skládá z velkého počtu částic zvaných molekuly. Každá molekula se sestává z jednoho atomu nebo skupiny atomů. Všechny molekuly stejného plynu jsou stejné. 2. Pohyb molekul je dokonale chaotický, přičemž jsou zachovány Newtonovy pohybové zákony. Molekuly se pohybují různými rychlostmi ve všech směrech. Směr a rychlost pohybu kterékoliv molekuly se může náhle měnit při srážce se stěnou nebo jinou molekulou. 3. Objem molekul je zanedbatelný proti objemu, který zaujímá plyn. 4. Vzájemné působení molekul je zanedbatelné s výjimkou krátkých okamžiků vzájemných srážek. Molekuly se proto mezi srážkami pohybují rovnoměrně přímočaře. 5. Molekuly se chovají jako pružné koule, takže srážky molekul se stěnou i mezi sebou trvají zanedbatelně krátce. Kinetická energie molekul zůstává zachována. 6. Koncentrace částic n (tj. počet molekul N v objemové jednotce n = N V ) je ve všech místech stejná (n =konst.). Úpravou jednotlivých předpokladů lze vystihnout i vlastnosti reálného plynu. Podle definice se mohou jednotlivé ideální plyny lišit jen hmotností molekul. KP 4.2-1{pr3.1-2} Napište stavovou rovnici ideálního plynu ve tvarech obsahujících a) objem, b) kilomolový objem, c) měrný objem plynu, d) koncentraci částic. Řešení: a) Stavová rovnice obsahující objem je pV = nmRT, kde nm = M/Mr = Nm NAm = N NA je počet molů, (N celkový počet částic a NA je Avogadrova konstanta). b) Zavedeme-li kilomolový objem vk = V/nm do předchozí rovnice, dostaneme {pV = nmRT , vk = V/nm} pvknm = nmRT pvk = RT . c) Podobně zavedením měrného objemu v = V M dostaneme rovnici ve tvaru {pV = nmRT , v = V/M} pvM = nmRT pv = nmRT M pv = nmRT nmMm pv = MmRT. d) {pV = nmRT , nm = N/NA} p = NRT V NA p = nRT NA p = nkT, kde k = R/NA je plynová konstanta vztažené na jednu molekulu ­ tzv. Boltzmannova konstanta (1,380 54 10-23 JK-1) a n představuje koncentraci částic. 4.3 Tlak ideálního plynu {TlakPlynu} V této části je naznačen výklad tlaku plynu z pohledu statistické fyziky. V odst. 4.3.1 je vyložena hustota toku molekul na stěnu nádoby a její matematická formulace a v odst. 4.3.2 je proveden kinetický výklad tlaku plynu. Výklad veličiny střední kvadratická rychlost molekul je proveden v odst. 4.3.3. Cíl: Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 199 4.3. TLAK IDEÁLNÍHO PLYNU I) Vyložit a matematicky formulovat hustotu toku molekul na stěnu nádoby. II) Vyložit a odvodit vztah pro tlak plynu a střední kvadratickou rychlost mole- kul. III) Samostatně řešit příklady uvedené v tomto textu. 4.3.1 Hustota toku molekul na stěnu nádoby {HustotaToku} Molekuly plynu při svém pohybu narážejí na stěny nádoby, což se navenek projevuje jako tlak. Na jeho určení potřebujeme vědět, kolik molekul dopadá na stěnu nádoby za jednotku času. Zvolíme si na stěně nekonečně malý plošný element dS a zjistíme, kolik molekul plynu na něj dopadne za čas dt. Mezi dopadajícími molekulami budou molekuly s různými rychlostmi v, tedy nejen o různých velikostí, ale i směrů. Rozdělení absolutních hodnot rychlostí je spojité a lze jej charakterizovat hustotou pravděpodobnosti výskytu určité rychlosti f(v), která, je-li plyn v ustáleném stavu, nezávisí na čase. Funkce f(v) nezávisí ani na směru pohybu molekul, protože rozdělení jejich rychlostí je izotropní (ani jeden směr není upřednostněný). To souhlasí s předpokladem o chaotickém pohybu molekul. Výraz f(v)dv udává pravděpodobnost, že velikost rychlosti molekuly leží v intervalu (v, v + dv). Průběh funkce f(v) (jak víme ze statistické fyziky) za určitých předpokladů můžeme znázornit křivkou na obr. 4.1. Ohraničená plocha o šířce dv představuje pravděpodobnost, že rychlost molekuly leží v intervalu (v, v + dv). Potom ke každé rychlosti z tohoto intervalu můžeme přiřadit stejnou pravděpodobnost Pi, přičemž všechny rychlosti zaokrouhlíme na hodnotu vi. Chyba, které se přitom dopustíme, nepřesáhne hodnotu v 2 a zjemňováním dělení ji můžeme zmenšit na předem stanovenou hodnotu. Místo funkce f(v) budeme dále používat posloupnost rychlostí vi s přiřazenými pravděpodobnostmi jejich výskytu Pi f(v) v v+%v v Obr. 4.1{obr3.1-1} Okolo plošky dS opíšeme polokouli s poloměrem vidt. Potom všechny molekuly s rychlostí vi, které dopadnou během časového intervalu dt na plošku dS, leží uvnitř polokoule. Předpokládáme, že tyto molekuly se za čas dt nesrazí, tzn., že se nezmění ani velikost rychlosti, ani směr pohybu. Protože srážky mezi molekulami můžeme zanedbat, pak tuto skutečnost musíme zahrnou do výpočtů. Lze to provést dvěma způsoby: 1. Zvolíme čas dt tak malý, že srážky na vzdálenosti vidt se neprojeví. 2. Využijeme stacionárnost rozdělení rychlostí: počet molekul, které po dobu srážek změní rychlost nebo směr (případně oboje) nahradíme stejným počtem molekul, které v průběhu jiných srážek opět získají požadovanou rychlost a směr. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 200 4.3. TLAK IDEÁLNÍHO PLYNU Oba dva způsoby poskytují stejné výsledky. V dalších úvahách budeme nejprve sledovat molekuly, které mají rychlosti vi. Tyto mohou dopadat na plošku dS pod různými úhly , který svírá směr pohybu molekuly s normálou n0 k plošce dS (jednotkový vektor normály n0 směřuje ven z nádoby). Vybereme jen ty molekuly, které svírají s normálou úhel ( , + d) a které dopadají ze vzdálenosti r až r + dr, přičemž 0 < r vidt. Jejich počet je určený jednak počtem molekul s rychlostí vi v elementu objemu ve tvaru prstence (viz obr. 4.2), jehož poloměr je r sin , výška dr a šířka rd, a jednak pravděpodobností, že molekuly se budou pohybovat směrem k plošce dS. Počet molekul dN(dV ) o rychlostech vi v prstenci vypočítáme, když objem prstence dV vynásobíme jejich koncentrací ni: %r r % %S 0`n v %ti Obr. 4.2{obr3.1-2} dN(dV ) = nidV = ni(2r sin )(rd)dr = ni2r2 sin drd . (4.5){3.1-5} Na základě předpokladu, že všechny směry pohybu molekul jsou rovnocenné, bude do stejných prostorových úhlů (libovolně orientovaných) dopadat za jednotku času stejný počet molekul. Potom pravděpodobnost Pi() dopadu molekuly o rychlosti vi na plošku dS pod úhlem je rovna poměru prostorového úhlu, pod kterým vidíme plošku ze vzdálenosti r, k plnému prostorovému úhlu 4. Z prstencového elementu vidíme plošku pod úhlem , takže její zdánlivá velikost se rovná průmětu dS do tohoto směru, tj. cos dS. Poměr prostorových úhlů je pak dán dS cos r2 : 4 12 = dS cos 4r2 = Pi() . (4.6){3.1-6} Hledaný počet molekul dN(vi) s rychlostí vi, které dopadnou pod úhlem až + d na dS za čas dt z prstencového elementu, dostaneme vynásobením počtu molekul v prstenci a pravděpodobností dopadu dN(vi) = dN(dV )Pi() = ni(2r2 sin ddr) dS cos 4r2 = 1 2 ni sin cos drddS . Integrací podle r od 0 až po vidt dostaneme počet částic s rychlostí vi, které dopadnou za čas dt na dS pod úhlem až + d dN(vi) = 1 2 ni sin cos ddS vidt 0 dr = 1 2 nivi sin cos ddSdt . Podělíme-li tuto rovnici dtdS, dostaneme počet částic dopadajících na jednotku plochy za jednotku času pod úhlem až + d s rychlostí vi. Tento počet nazýváme hustota toku částic Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 201 4.3. TLAK IDEÁLNÍHO PLYNU a značíme jej dhi() = dN(vi) dtdS = 1 2 nivi sin cos d . (4.7){3.1-7} Integrací podle v mezích od 0 do /2 (tj. zajímáme se jen o ,,horní poloprostor nad plochou dS - viz obr. 4.5) dostaneme hustotu toku všech molekul, které dopadají za jednotku času na jednotkovou plochu (např. stěny nádoby) s rychlostí vi hi = /2 0 dhi() = 1 2 nivi /2 0 sin cos d = 1 4 nivi , (4.8){3.1-8} kde ni je koncentrace částic (tj. jejich počet v objemové jednotce) s rychlostmi vi. Při výpočtu tohoto integrálu jsme s úspěchem využili substituce1. Když sečteme všechny hustoty toků, kterými přispívají všechny molekuly s různými velikostmi rychlostí vi, dostaneme celkovou hustotu toku všech molekul na jednotkovou stěnu nádoby h = l i=1 hi = 1 4 l i=1 nivi = 1 4 l i=1 ni n n vi = 1 4 n l i=1 ni n vi = 1 4 n l i=1 viPi = 1 4 nv , hustotu toku molekul na jednotkovou plochu (4.9){3.1-9} kde n = ni/Pi je koncentrace všech molekul bez ohledu na jejich rychlost a v = viPi je střední rychlost; je to střední hodnota velikosti vektoru rychlosti v a je mírou mikroskopického pohybu molekul. 4.3.2 Kinetický výklad tlaku plynu etickyVyklad} Při každém nárazu na stěnu si molekuly plynu vyměňují s molekulami stěny energii a impuls. Nárazy se projevují jako silové působení. Střední hodnotu nárazů velkého počtu molekul můžeme interpretovat jako tlak plynu na stěnu nádoby. Budeme uvažovat, že máme plyn o N molekulách uzavřený v nádobě libovolného tvaru. Pro zjednodušení výpočtů zvolíme případ tzv. ideálně hladké stěny, tj. bez molekulové struktury. Molekula po dobu nárazu na ideálně hladkou stěnu změní svoji hybnost o p. Podle první impulsové věty je změna hybnosti molekuly rovna impulsu síly, který odevzdala stěně. Podle zákona zachování hybnosti musí být součet hybností dvou srážejících se těles před a po srážce stejný. Stěna je stále v klidu, a proto se její hybnost po dobu srážky nemění. Impuls síly, kterou působí molekula na stěnu po přepočtu na jednotku plochy, představuje příspěvek k celkovému tlaku na stěnu nádoby. Součtem příspěvků od jednotlivých molekul přes všechny možné směry a velikosti rychlostí dostaneme výsledný tlak plynu na stěnu. Označíme-li v rychlost, kterou molekula dopadá na stěnu, a v její rychlost po odrazu od stěny, zákon zachování hybnosti se dá napsat ve tvaru mv = mv + p , (4.10){3.1-10} kde m je hmotnost zmiňované molekuly. Mezi rychlostmi v a v existuje určitá souvislost. Po dobu dokonale pružného nárazu molekuly nepohyblivá stěna nepřebírá žádnou energii a tedy kinetická energie před a po nárazu je stejná. 1 2 mv2 = 1 2 mv2 . (4.11){3.1-11} 1 Např. {x = sin dx = cos d} sin cos d = xdx. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 202 4.3. TLAK IDEÁLNÍHO PLYNU Vektor rychlosti v si můžeme rozložit na dvě složky - normálovou vn a tangenciální (tečnou) vt (viz obr. 4.3). Podobný rozklad provedeme pro rychlost v . Protože stěna je dokonale hladká, tak po dobu srážky molekula na povrchu stěny sklouzne bez přibrzdění, proto tangenciální složky zůstanou stejné vt = vt. Uvážíme-li, že platí v2 = v2 n + v2 t a v 2 = v 2 n + v 2 t , z rovnice (4.11) dostaneme výsledek v2 n = vn 2 |vn| = -|vn| nebo |vn| = |vn|. Poslední rovnice má dvě řešení vn = vn a vn = -vn . Fyzikálně možný je jen druhý případ, kdy normálová složka rychlosti po odrazu změní svoje znaménko, čemuž přísluší zrcadlový odraz molekuly od dokonalé stěny. `vt `vn `v `n0 '`vn '`vt '`v Obr. 4.3{obr3.1-3} Na základě výše odvozených zákonitostí můžeme odevzdanou hybnost p (neboli sílu, kterou působí molekula na stěnu) z rovnice (4.10) vyjádřit následovně p = m(v - v ) = m(vn + vt - vn - vt) = m(vn - vn) = 2mvn . Označíme-li n0 jednotkový vektor ve směru normály ke stěně a úhel dopadu molekuly na stěnu (obr. 4.3), dostaneme p = 2mvnn0 = 2mn0 v cos . (4.12){deltap} Podle (4.7) dopadne pod úhlem až + d na jednotkovou plochu dS za jednotku času celkem dhi() molekul o rychlosti vi. Tyto molekuly odevzdají tomuto plošnému elementu stěny velikosti dS za jednotku času celkovou hybnost pidhi()dS. To můžeme interpretovat v souladu s druhým Newtonovým zákonem jako sílu, která působí na plošný element dS. Použitím 4.12 a (4.7) dostaneme pro silový příspěvek od molekul s rychlostí vi, dopadajících pod úhlem +d na elementární plochu dS, hodnotu dFi = pidhi()dS = 2mn0 vi cos 1 2 nivi sin cos ddS = mniv2 i sin cos2 n0 dS d , kde ni je koncentrace molekul s rychlostmi vi. Z výše uvedeného vztahu vidíme, že silový přírůstek dFi působí vždy kolmo na plošný element dS, nezávisle na úhlu a rychlosti vi. Pak jednotlivé silové příspěvky můžeme sčítat jen algebraicky. Vydělíme-li absolutní velikost silového příspěvku plochou dS, dostaneme výraz závislý jen na parametrech plynu, který představuje částečný (parciální) příspěvek dpi k tlaku, jenž pochází od molekul s rychlostí vi a dopadajících na jednotkovou plochu (např. stěny nádoby, uzavírající plyn) pod úhlem až + d dpi = |dFi| dS = mniv2 i sin cos2 d . (4.13){3.1-12} Výsledný parciální tlak od molekul s rychlostmi vi dostaneme integrací2 podle úhlu od 0 2 Např. substitucí {x = cos dx = - sin d} sin cos2 d = -x2 dx. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 203 4.3. TLAK IDEÁLNÍHO PLYNU až po /2 pi = /2 0 dpi = mniv2 i /2 0 sin cos2 d = 1 3 mniv2 i . Sečteme-li příspěvky pi přes všechny možné rychlosti (tj. provedeme-li l i=0) a označíme-li pravděpodobnost výskytu molekul s rychlostmi vi jako Pi = ni/n (kde n je celková koncentrace, tj. počet molekul v objemové jednotce a ni je koncentrace těch molekul, které mají rychlost vi), dostaneme vztah pro tlak ideálního plynu na stěnu p = 1 3 m l i=1 niv2 i = 1 3 m l i=1 (nPi)v2 i = 1 3 mn l i=1 v2 i Pi = 1 3 mnv2 k , tlak ideálního plynu (4.14){3.1-13} kde m je hmotnost jedné molekuly, n je koncentrace molekul a výraz v2 k = l i=1 v2 i Pi se nazývá střední kvadratická rychlost. Zavedeme-li výraz wk = 1 2 mv2 k , (4.15){Nova3.1.-13} tzv. střední kinetickou energii jedné molekuly - pak rovnice (4.14) nabude tvar p = 2 3 nwk (4.16){3.1-14} a dává nám do souvislosti tlak ideálního plynu se střední kinetickou energií molekuly. Rovnice (4.14) a (4.16) jsou odvozené pro dokonale hladkou stěnu, platí však i pro libovolnou reálnou stěnu s molekulovou strukturou. Důkaz v rámci molekulové fyziky by byl velmi složitý. KP 4.3-1{pr3.1-3} Nádoba ve tvaru krychle o hraně a = 0,1 m je naplněná O2 o teplotě T = 300 K a tlaku p = 105 Pa. Vypočtěte: a) počet N molekul v nádobě; b) střední kvadratickou rychlost molekuly vk, střední kvadratickou hodnotu její hybnosti p a impuls síly I , kterým působí molekula na stěnu při kolmém dopadu; c) střední počet nárazů jedné molekuly za sekundu (tj. frekvenci nárazů) na jednu stěnu; d) střední sílu F1 a střední tlak p1 na stěnu nádoby od jedné molekuly; e) počet molekul N , které při kolmém dopadu na stěnu vyvinou tlak 105 Pa. Řešení: a) Počet molekul N v nádobě je roven součinu Avogardova čísla NA (počet částic v jednom kilomolu) a látkového množství (tj. počtem kilomolů) nm v kilomolech. Ze stavové rovnice (4.4) plyne nm = pV RT pak N = nmNA = pV NA RT = 6,02 1026 kmol-1 105 Pa 10-3 m3 8 314 J kmol-1K-1 300 K = 2,41 1022 částic. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 204 4.3. TLAK IDEÁLNÍHO PLYNU b) K výpočtu střední kvadratické rychlosti vk užijeme vztahu (4.14), ve kterém p je tlak, n koncentrace a m hmotnost jedné molekuly vk = 3p nm = 3pV Nm = 3 105 Pa 10-3 m3 2,41 1022 32 1,66 10-27 kg = 484 m s-1 . Střední kvadratická hodnota hybnosti molekuly p = mvk = 32 1,66 10-27 kg 484 m s-1 = 2,57 10-23 kg m s-1 . Impuls I síly, kterým působí molekula při kolmém nárazu na stěnu I = 2mvk = 2 32 1,66 10-27 kg 484 m s-1 = 5,14 10-23 kg m s-1 . c) Střední doba t mezi dvěma nárazy jedné molekuly na tutéž stěnu je t = 2a vk a frekvence nárazů na stěnu f = 1 t = vk 2a = 484 m s-1 2 0,1 m = 2 420 s-1 . d) Střední síla F1 jedné molekuly je F1 = I t = I f = 5,14 10-23 kg m s-1 2 420 s-1 = 1,24 10-19 N . Jediná molekula přispívá celkovému tlaku příspěvkem p1 = F S = 1,24 10-19 N 0,12 m2 = 1,24 10-17 Pa . e) Tlak p = 105 Pa v nádobě tedy vyvine počet molekul N = p p1 = 105 Pa 1,24 10-17 Pa = 8,06 1021 . 4.3.3 Střední kvadratická rychlost molekul iKvadraticka} Střední kvadratickou rychlost můžeme určit také tak, že najdeme rychlost, kterou by se musely pohybovat všechny molekuly plynu, aby se jejich celková kinetická energie rovnala skutečné energii plynu. Kinetická energie všech molekul s rychlostí vk je N i=1 1 2 miv2 k = 1 2 v2 k N i=1 mi = 1 2 Nmv2 k , kde mi značí hmotnost i-té molekuly, a protože hmotnosti všech molekul jsou stejné (mi = m), je celková hmotnost N molekul N i=1 mi = Nm úhrnnou hmotností plynu. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 205 4.4. TEPLOTA A JEJÍ KINETICKÁ INTERPRETACE Rychlost vk je tedy určena podmínkou 1 2 Nmv2 k = N i=1 1 2 miv2 i = 1 2 m N i=1 v2 i , tedy vk = v2 i N . střední kvadratická rychlost (4.17){StrKvadr} {ram-105} Můžeme ji vypočíst z (4.14) vk = 3p nm, a protože3 nm = (kde n je koncentrace částic, m je hmotnost jedné molekuly a je hustota plynu), můžeme psát vk = 3p . Tato rovnice vyjadřuje vztah mezi makroskopickou veličinou tlakem p a mikroskopickou veličinou vk. 4.4 Teplota a její kinetická interpretace tickaenergie} Při kinetické interpretaci teploty je třeba najít souvislost mezi celkovou kinetickou energií molekul systému a teplotou plynu. Vyjdeme ze vztahu (4.14), který upravíme tak, že jej vynásobíme objemem plynu V , a za současné rovnosti n = N/V dostaneme p = 1 3 nmv2 k pV = 1 3 nV mv2 k = 1 3 Nmv2 k = konst., (4.18){3.1-15} kde N = nV je celkový počet molekul. Tím je odvozen experimentální Boylův-Mariottův zákon. Tento vztah můžeme dále upravit na tvar pV = 2 3 ( 1 2 Nmv2 k) . Zavedeme-li vztah Nm = (nmNA)(Mm/NA) = nmMm, kde nm je látkové množství v kilomolech a Mm je molární hmotnost, pak pV = 2 3 ( 1 2 nmMmv2 k) . (4.19){3.1-16} Srovnáním se stavovou rovnicí ideálního plynu pV = nmRT obdržíme 1 2 Mmv2 k = 3 2 RT . (4.20){3.1-17} Celková kinetická energie neuspořádaného pohybu molekul jednoho kilomolu ideálního plynu je úměrná teplotě. Tuto rovnici můžeme považovat za definici teploty plynu v kinetické teorii plynu nebo v mikroskopickém pohledu. Teplotu plynu vztahujeme k celkové kinetické energii molekul vzhledem k těžišti celého systému. Kinetická energie molekul, která by byla počítána i s rychlostí pohybu těžiště celého 3 Platí totiž nm = Nm V = M V = . Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 206 4.4. TEPLOTA A JEJÍ KINETICKÁ INTERPRETACE systému, se na teplotu nevztahuje. Jedná se jen o kinetickou energii postupného pohybu molekul v jejich dokonalé neuspořádanosti v souřadné soustavě klidné vzhledem k těžišti. Takto byla počítána i střední kvadratická rychlost vk. Vydělíme-li obě strany rovnice (4.20) Avogardovou konstantou NA, obdržíme 1 2 Mm NA v2 k = 3 2 R NA T , kde Mm NA = m je hmotnost molekuly a R NA = k je Boltzmannova konstanta. Pak můžeme psát 1 2 mv2 k = 3 2 kT . střední hodnota kinetické energie postupného pohybu molekul (4.21){3.1-18} {ram-106} Boltzmannova konstanta k = (1,380 54 0,000 18) 10-23 J K-1 má význam plynové konstanty vztažené na jednu molekulu. Střední hodnota kinetické energie postupného pohybu molekul závisí jen na absolutní teplotě a je jí přímo úměrná. Nezávisí na druhu plynu (hmotnosti molekul). Z rovnice (4.21) plyne, že při stejné teplotě T poměr středních kvadratických rychlostí dvou molekul je roven druhé odmocnině poměru převrácených hodnot hmotností molekul vk,1 vk,2 = m2 m1 . Tento vztah ukazuje, že molekuly lehčího plynu se pohybují rychleji než těžšího plynu. Lehčí plyn difunduje do nádoby s porézními stěnami rychleji, než plyn těžší. KP 4.4-1{pr3.1-4} Nádoba obsahující určité množství jednoatomového plynu se pohybuje rychlostí v. Nádoba se náhle zastaví. Jak se změní střední kvadratická rychlost molekul plynu a teplota plynu? Řešení: Celková kinetická energie neuspořádaného pohybu molekul plynu vůči těžišťové soustavě (pohybující) nádoby je Ek = 1 2 nmMmv2 k1 = 3 2 nmRT1 , (4.22){Nova4.19} kde vk1 je střední kvadratická rychlost a T1 je teplota plynu v nádobě před zastavením. Celková kinetická energie uspořádaného pohybu (tj. vůči soustavě, v níž se nádoba s plynem pohybuje) je 1 2 nmMmv2 . U jednoatomových plynů všechna dodaná energie zvyšuje kinetickou energii neuspořádaného pohybu. Po zastavení nádoby bude mít plyn teplotu T2, protože neuspořádaný pohyb molekul se bude dít s jinou v2 k2, pro kterou bude platit 1 2 nmMmv2 k2 = 1 2 nmMmv2 k1 + 1 2 nmMmv2 vk2 = v2 k1 + v2 . (4.23){Nova4.20} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 207 4.5. VNITŘNÍ ENERGIE A TEPELNÁ KAPACITA IDEÁLNÍHO PLYNU Předchozí rovnici 4.23 můžeme psát rovněř ve tvaru 3 2 nmRT2 = 3 2 nmRT1 + 1 2 nmMmv2 , odkud pro přírůstek teploty jednoatomového plynu po zastavení nádoby dostaneme T = T2 - T1 = Mm 3R v2 . (4.24){Nova4.21} Na straně 211 bude uveden výsledek obdobného příkladu, kdy se bude v nádobě nacházet dvouatomový plyn. Dospějeme tam k výsledku (4.35), který bude možná v této chvíli překvapivý, a sice, že teplota dvouatomového plynu (při stejném zastavení láhve) nevzroste o stejný díl. 4.5 Vnitřní energie a tepelná kapacita ideálního plynu itrniEnergie} V odst. 4.5.1 je proveden výklad veličiny vnitřní energie ideálního plynu. Zavedení veličiny tepelné kapacity, její souvislost s látkovým množstvím a závislost na podmínkách, při kterých probíhá ohřev látky, je vyšetřováno v odst. 4.5.2. Zákon rovnoměrného rozdělení energie je vysloven a diskutován v odst. 4.5.3. Cíl: I) Vyložit základní zákony a pojmy zvýrazněné v rámečcích, veličiny a výsledky zde v textu uvedené. II) Samostatně řešit příklady v tomto textu a řešení zdůvodnit. 4.5.1 Vnitřní energie ideálního plynu gieIdealniho} Experimenty ukazují, že vnitřní energie ideálního plynu závisí na teplotě U = KT ; (4.25){3.1-19} kde K je koeficient úměrnosti, který zůstává konstantní v širokém intervalu teplot. Jeho význam si osvětlíme v dalším textu. Z definice ideálního plynu vyplývá, že v něm neexistuje vnitřní potenciální energie. Tedy vnitřní energie plynu odpovídá jen kinetické energii postupného, dokonale neuspořádaného pohybu molekul. Střední kinetická energie postupného pohybu 1 molekuly ideálního plynu hmotnosti m je rovna (viz (4.15)) wk = 1 2 mv2 k. Tedy střední kinetická energie postupného pohybu molekul jednoho kilomolu ideálního plynu je NAwk = 1 2 NAmv2 k = 1 2 Mmv2 k . (4.26){Nova3.1-20} Z rovnice (4.20) plyne, že 1 2 Mmv2 k = 3 2 NAkT = 3 2 RT = U . (4.27){3.1-20} Veličina U se nazývá vnitřní energie ideálního plynu. Tento výsledek platí jen za předpokladu, že molekuly jsou koule, tj. jen pro plyny, které mají jednoatomové molekuly. Pro teplo molekuly nejsou možné energie kmitavého pohybu a rotační energie jsou zanedbatelné. Pouze v tomto případě se vnitřní energie plynu U rovná kinetické energii postupného, neuspořádaného pohybu. Z kinetické teorie vyplývá tvrzení, že vnitřní energie ideálního plynu závisí pouze na teplotě plynu a je jí úměrná. Nezávisí ani na tlaku, ani na objemu plynu. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 208 4.5. VNITŘNÍ ENERGIE A TEPELNÁ KAPACITA IDEÁLNÍHO PLYNU 4.5.2 Tepelná kapacita ideálního plynu elnaKapacita} Z předchozích úvah můžeme definovat pojem tepelné kapacity ideálního plynu. Tepelná kapacita libovolné látky je množství tepla, které dodáme látce, aby se její teplota zvýšila o jeden kelvin. Jestliže množství tepla Q dodané látce podělíme změnou jeho teploty dT, pak tepelná kapacita bude určena vztahem C = Q dT . tepelná kapacita (4.28){3.1-21} {ram-107} Tato veličina se měří v J K-1. Uvažujeme-li jednotkové množství látky jednoho molu, pak tepelná kapacita cm = C/nm se nazývá molová tepelná kapacita. Měří se v J K-1mol-1. Tepelná kapacita jednotkové hmotnosti látky se nazývá měrnou tepelnou kapacitou c. Měří se v J K-1kg-1. Mezi molovou cm a měrnou kapacitou c stejné látky platí vztah c = cm Mm = C nm M nm = C M , (4.29){Nova3.1-21} kde Mm je molová hmotnost látky a C je tepelná kapacita látky. Pro molové tepelné kapacity plynů jsou důležité dvě varianty ­ pokud ohřívání probíhá při konstantním objemu cV nebo při konstantním tlaku cp. V této kapitole se budeme zabývat molovou tepelnou kapacitou při konstantním objemu. Probíhá-li ohřívání (např. jednoho molu) látky při stálém objemu, látka nekoná práci a všechno teplo se spotřebuje na přírůstek vnitřní energie Q = dU . Potom můžeme psát cV = Q dT = dU dT = d dT 3 2 RT = 3 2 R . (4.30){3.1-22} Molární teplo cV plynu je tedy nezávislé na teplotě a pro všechny4 ideální plyny je stejné. Tento výsledek je v dobrém souladu s hodnotou molové tepelné kapacity jen pro plyn s jednoatomovými molekulami. Pro dvou a víceatomové molekuly musíme změnit model ideálního plynu. Použijeme-li rovnici (4.25) pro jeden mol a zdiferencujeme ji podle T a srovnáme s (4.30) dostaneme, že cV = K. Pak výraz pro vnitřní energii jednoho molu ideálního plynu můžeme napsat ve tvaru U = cV T . vnitřní energie jednoho molu ideálního plynu (4.31){Nova3.1-22} {ram-108} Vnitřní energie plynu o celkové hmotnosti M bude rovna vnitřní energii jednoho molu vynásobené látkovým množstvím obsažených v hmotnosti M nmU = nmcV T = M Mm cV T . (4.32){Nova3.1-23} 4 Jednoatomové ideální plyny. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 209 4.5. VNITŘNÍ ENERGIE A TEPELNÁ KAPACITA IDEÁLNÍHO PLYNU 4.5.3 Ekvipartiční teorém rticniTeorem} V modelu plynu pro jednoatomové molekuly vidíme jednoznačně, že průměrná kinetická energie molekul postupného neuspořádaného pohybu určuje teplotu plynu. Pokud bychom si zobrazovali molekuly jako částice s vnitřní strukturou, pak bychom ke zvýšení teploty víceatomového plynu (tedy k ,,navýšení jeho neuspořádaného translačního pohybu jednotlivých molekul) museli dodat více tepla, neboť takové molekuly mohou měnit (a mění) ještě svoji energii rotačního pohybu a energii kmitavého pohybu. Tyto energie přispívají k celkové vnitřní energii plynu. Nalezneme celkovou vnitřní energii ideálního plynu složeného z molekul s vnitřní strukturou. Energie se bude sestávat z kinetické energie postupného pohybu (její ,,složky mají tvar 1 2 mv2 x, 1 2 mv2 y, 1 2 mv2 z), z kinetické energie rotačního pohybu (se ,,složkami 1 2 I2 x, 1 2 I2 y, 1 2 I2 z), a z kinetické energie kmitavého pohybu atomů v molekule (ve tvaru 1 2 mrv2 + 1 2 kx2), kde prvý člen je kinetická energie těžiště molekuly, druhý člen pak potenciální energie kmitavého pohybu atomů kolem těžiště). Uvedené výrazy mají různý původ, ale všechny mají tentýž matematický tvar. Ze statistické fyziky se dá dokázat, že je-li počet částic veliký a platí-li Newtonova mechanika, pak všechny tyto výrazy mají stejnou průměrnou hodnotu, jež závisí na teplotě. Maxwellem byla vyslovena věta: Celková energie plynu závisí jen na teplotě a je rovnoměrně rozdělena na každý možný způsob, kterým molekuly mohou absorbovat energii.{ram-109} Tato věta se nazývá rovnoměrné rozdělení energie nebo krátce ekvipartiční teorém. Každý nezávislý způsob absorbování energie molekulou se nazývá stupeň volnosti. Kinetická energie postupného neuspořádaného pohybu molekul jednoho kilomolu ideálního jednoatomového plynu je U = 3 2 RT. Tato energie je součtem tří ,,složek 1 2 mv2 x, 1 2 mv2 y, 1 2 mv2 z. Věta o rovnoměrném rozdělení energie požaduje, aby každá část měla stejnou energii (tj. 1 2 RT) na stupeň volnosti. Vnitřní energie jednoho kilomolu ideálního plynu pro i stupňů volnosti je pak dána vztahem U = i 1 2 RT . vnitřní energie jednoho molu ideálního plynu pro i stupňů volnosti (4.33){3.1-23} Molová tepelná kapacita při stálém objemu pro i stupňů volnosti je cV = dU dT = i 1 2 R . molová tepelná kapacita jednoho molu ideálního plynu při stálém objemu pro i stupňů volnosti (4.34){3.1-24} Poznámka: Tepelná kapacita teoreticky nemá záviset na teplotě. Ve skutečnosti (jak ukazuje obr. 4.4) na teplotě závisí. Je zde uvedena závislost molové tepelné kapacity vodíku na teplotě. Jiné plyny vykazují podobné závislosti, ale při různých teplotách. Diskuse: 1. Jednoatomové plyny konají postupný pohyb a mají i = 3 stupně volnosti, takže vnitřní energie jednoho kilomolu plynu je podle (4.33), U = 3 2 RT. Z rovnice (4.34) plyne hodnota pro molovou tepelnou kapacitu cV = 3 2 R. Teoretická hodnota souhlasí s experimentální. 2. Pro plyny s dvouatomovými molekulami je nutné připojit další platné stupně volnosti v souvislosti s energií rotačního pohybu. Model dvouatomové molekuly představuje dvě koule spojené Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 210 4.5. VNITŘNÍ ENERGIE A TEPELNÁ KAPACITA IDEÁLNÍHO PLYNU cV 10 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 3 2R 5 2R 7 2R Obr. 4.4{obr3.1-4} pevnou tyčkou. Ke třem stupňům volnosti postupného pohybu přistoupí dva stupně volnosti spojené s výrazy 1 2 I2 y a 1 2 I2 z, když energie vzhledem k ose rotace, která je spojnicí obou atomů, je zanedbatelná5. Pak vnitřní energie dvouatomové molekuly 1 kilomolu plynu pro i = 5 stupňů volnosti je U = 5 2 RT a molová tepelná kapacita je cV = 5 2 R . 3. Pro plyny se třemi a víceatomovými molekulami je počet stupňů volnosti i = 6. Tedy člen 1 2 I2 x nelze zanedbat a platí U = 3RT a cV = 3R. 4. U dvou a více atomových molekul připustíme-li možnost vzniku kmitů atomů (v modelu molekuly nahradíme pevnou tyčkou a pružinou), přistoupí další stupně volnosti. Tento experimentální model sice zlepší výsledky, ale liší se od modelu zavedeného pro kinetickou teorii. KP 4.5-1{pr3.1-5} V příkladu KP 4.4-1 byla řešena úloha změna teploty u jednoatomového plynu. Zde budeme řešit stejný problém pro dvouatomový plyn za normálních teplot, jehož molekula má pět stupňů volností. Řešení: Většina úvah provedených v příkladu (3.1-4) zůstává v platnosti. Je třeba si uvědomit, že celková kinetická energie uspořádaného pohybu 1 2 nmMmv2 se po zastavení nádoby rozdělí rovnoměrně na všech pět stupňů volnosti. Na zvýšení energie neuspořádaného pohybu připadnou jen 3/5 této energie. Platí tedy 1 2 nmMmv2 k2 = 1 2 nmMmv2 k1 + 3 5 ( 1 2 nmMmv2 ) , vk2 = v2 k1 + 3 5 v2 . Podobně pro přírůstek teploty dostaneme T = T2 - T1 = Mm 5R v2 . (4.35){Nova3.1-24} 5 Rozměry molekuly vzhledem k této ose rotace jsou zpravidla velmi malé, proto moment setrvačnosti, ve kterém vystupuje kvadrát vzdálenosti od osy, je opravdu hodně malý ve srovnání s ostatními členy. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 211 4.6. STATISTICKÉ ZÁKONITOSTI IDEÁLNÍHO PLYNU Výsledná teplota dvouatomového plynu vzroste při náhlém zastavení nádoby méně (tj. T bude menší), než u jednoatomového plynu (srovnejme s výsledkem 4.24). 4.6 Statistické zákonitosti ideálního plynu eZakonitosti} V odst. 4.6.1 a 4.6.2 je provedena aplikace předchozích výsledků pro rozdělení energie v ideálním plynu na základě statistických zákonitostí (rozdělení rychlostí molekul a rozdělení počtu částic s výškou). Obraz o chování molekul s možností vzájemných srážek a jejich pohybu po určité dráze je vyšetřován v odst. 4.6.3. Cíl: I) Popsat, nakreslit náčrtky a výsledky zdůvodnit. II) Vysvětlit rozdíl mezi veličinami vp, v, vk. III) Odvodit vztah pro střední volnou dráhu molekul. IV) Samostatně řešit příklady uvedené v tomto textu. 4.6.1 Maxwellův zákon rozdělení rychlostí molekul ideálního plynu xwelluvZakon} V předchozích kapitolách se uvažovalo spojité rozdělení energie v ideálním plynu. Pro zjednodušení problému zanedbáme působení gravitačních, případně ostatních vnějších sil. Pak energie molekul je dána jejich kinetickou energií Ek = 1 2 mv2. Předpokládáme, že pohyb molekul se řídí zákony klasické mechaniky, takže spektrum energie je spojité. Ustavičnými srážkami se rychlost molekul neustále nepravidelně mění. Skutečné okamžité rychlosti molekul se nedají zjistit, a proto nelze ani určit počet molekul, které mají zcela určitou rychlost. Lze však předpokládat, že za rovnovážného stavu bude mít z celkového počtu N molekul plynu jejich část N rychlost, jejichž velikost leží v intervalu (v, v + v). Počet N závisí jak na celkovém počtu molekul N, tak na velikosti intervalu v a na rychlosti v. Při velkém počtu molekul zavedeme poměrný počet molekul N/N, který připadá na interval v jednotkové velikosti (,,kolem rychlosti v). Pak veličina N N 1 v nebude již závislá na celkovém počtu molekul N, závisí však ještě na velikosti intervalu v. (Pozor, tento interval již roven jedné být nemusí.) Zmenšujeme-li v bez omezení k nule, pak existuje limita lim v0 N N 1 v = dN N 1 dv = f(v) , která již na velikosti v nezávisí. Funkce f(v) se nazývá funkce rozdělení rychlosti molekul. Nejdříve budeme muset hledat počet dN molekul, jejichž složky rychlostí leží mezi vx a vx + dvx. Maxwell odvodil z počtu pravděpodobnosti pro jednu složku vx pravděpodobnostní rozdělení dN N exp - mv2 x 2kT dvx , kde m je hmotnost molekuly, k Boltzmannova konstanta a T absolutní teplota. Obr. 4.5 ukazuje závislost rozdělovací funkce f(vx) na složce rychlosti vx. Křivka je symetrická k vx = 0, tj. pro molekuly s rychlostmi ve stejných rychlostních intervalech platí, že počet molekul, které se pohybují vpravo a vlevo, je stejný. Nejčastěji je složka rychlosti rovna nule, ale mohou v plynu existovat i molekuly s větší rychlostí, ovšem s menší pravděpodobností výskytu. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 212 4.6. STATISTICKÉ ZÁKONITOSTI IDEÁLNÍHO PLYNU f(v )x -vx +vx0 Obr. 4.5{obr3.1-5} Zkoumejme nyní počet molekul, jejichž x-ová složka rychlosti v, tj. vx leží v intervalu (vx, vx + dvx), složka vy v intervalu (vy, vy + dvy) a vz v intervalu (vz, vz + dvz). Odchylky dvx, dvy, dvz složek vx , vy, vz určují jak interval, v němž leží velikost rychlosti v, tak i interval pro směr rychlosti. Takto vymezený prostor se nazývá rychlostní prostor. Zavedeme-li souřadný systém, v němž naneseme na osy hodnoty vx, vy, vz (obr. 4.6), pak výrok, že složky rychlosti molekul leží v intervalu (vx, vx +dvx) a zároveň (vy, vy +dvy) a zároveň (vz, vz +dvz) znamená, že se jedná o všechny molekuly s rychlostmi, které se zobrazují jako vektory s koncovými body ležícími uvnitř objemu dvxdvydvz. Počet molekul z tohoto intervalu je tedy dN N exp - m(v2 x + v2 y + v2 z) 2kT dvxdvydvz , což není nic jiného, než součin jednotlivých členů dN N exp - m(v2 x) 2kT dvx, dN N exp - m(v2 y) 2kT dvy, dN N exp - m(v2 z) 2kT dvz , a protože pro složky vx, vy, vz platí v2 x + v2 y + v2 z = v2, je dN N exp - mv2 2kT dvxdvydvz . (4.36){3.1-25} vy vz vx %vz vz vy vx %vx %vy `v Obr. 4.6{obr3.1-6} Omezíme-li vektor rychlosti molekuly jen touto podmínkou, tj. aby jeho velikost ležela v daném intervalu (v, v +dv), pak takové rychlosti se zobrazí v obr. 4.7 jako vektory všech možných směrů a takových délek, že jejich koncové body jsou uvnitř kulové vrstvy o poloměru v a tloušťky Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 213 4.6. STATISTICKÉ ZÁKONITOSTI IDEÁLNÍHO PLYNU vy vz vx %v v Obr. 4.7{obr3.1-7} dv. Nahradíme-li element dvxdvydvz objemem kulové vrstvy 4v2dv, pak z (4.36) obdržíme žádaný vztah pro dN/N. Přesná závislost6 zní dN N = 4 mv2 2kT exp - mv2 2kT m 2kT dv = 4v2 m 2kT exp - mv2 2kT m 2kT dv (4.37){3.1-26} neboli f(v) = m 2kT 3/2 exp - mv2 2kT 4v2 . Maxwellovo rozdělení rychlostí (4.38){MaxwRozd} f(v) vp vvkv Obr. 4.8{obr3.1-8} Na obr. 4.8 je znázorněno toto tzv. Maxwellovo rozdělení rychlostí molekul. Pro rychlost v = 0 a v má funkce rozdělení rychlostí molekul f(v) nulovou hodnotu. Maximum leží pro nejpravděpodobnější rychlosti vp, které dostaneme z podmínky7 d dv (f(v)) = 0 , tj. exp - mv2 p 2kT 2 - mv2 p kT vp = 0 . 6 Ve které je již započteno to, že počet částic je konstantní a roven N (tzv. normovací podmínka). 7 Derivace součinu. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 214 ? ? 4.6. STATISTICKÉ ZÁKONITOSTI IDEÁLNÍHO PLYNU Dalším řešením obdržíme 2 - mv2 p kT = 0 mv2 p = 2kT (4.39) a tak pro nejpravděpodobnější rychlost dostáváme vp = 2kT m . nejpravděpodobnější rychlost (4.40){3.1-27} {ram-110} Pomocí Maxwellova zákona určíme také průměrnou rychlost v molekul použitím vztahu ze statistické fyziky pro výpočet střední hodnoty veličiny v = 0 vf(v)dv = m 2kT 3/2 4 0 exp - mv2 2kT v2 dv . Integrací metodou per ­ partes obdržíme výsledek v = 8kT m . střední (průměrná) velikost rychlosti (4.41){3.1-28} {ram-111} K určení střední kvadratické rychlosti vk musíme nejprve vypočítat veličinu v2 podle vztahu statistické fyziky v2 = 0 v2 f(v)dv = m 2kT 3/2 4 0 exp - mv2 2kT v4 dv = = m 2kT 3/2 4 3 82 2kT m 5/2 = 3kT m a pak určíme vk = v2 = 3kT m . střední kvadratická rychlosti (4.42){3.1-29} {ram-112} Dosadíme-li vztah (4.40) do (4.37), najdeme maximální hodnotu funkce f(v)max f(v)max = f(vp) = 4 e m 2kT m T . (4.43){3.1-30} Z rovnic (4.40) a (4.43) vyplývá, že při zvýšení teploty (nebo zmenšením hmotnosti molekuly) se maximum křivky posouvá k vyšším rychlostem, současně se však křivka stává plošší a širší, ale plocha pod křivkou se nemění. Znamená to, že při vyšší teplotě stává se nejpravděpodobnější rychlost méně ,,ostrou a hodnota rozdělovací funkce rychlosti klesá. Na obr. 4.9 jsou znázorněny dvě křivky rozdělení, které můžeme vyložit buď jako vztahující se k různým teplotám T1 a T2 (při stejné hmotnosti) nebo jako vztahující se k různým hmotnostem m1 a m2 (při stejné teplotě). Zavedeme-li místo rychlosti kinetickou energii, vztah (4.37) nabude jinou formu. Diferencováním Ek = 1 2 mv2 obdržíme dEk = mvdv a po dosazení do (4.37) pak platí dN N = 2 Ek (kT)3/2 exp - Ek kT dEk . (4.44){3.1-31} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 215 4.6. STATISTICKÉ ZÁKONITOSTI IDEÁLNÍHO PLYNU f(v) 0 v T ,(m )1 1 T ,(m )2 2 T < T1 2 (m > m )1 2 Obr. 4.9{obr3.1-9} Tato rovnice vyjadřuje, kolik je těch molekul, jejichž energie náleží do daného intervalu kinetických energií. KP 4.6-1{pr3.1-6} Vypočtěte střední rychlost v molekul O2 a vodíku H2 při laboratorní teplotě T = 300 K, je-li molová hmotnost O2 Mm = 32 10-3 kg mol-1. Řešení: Vyjdeme ze vztahu pro střední rychlost molekul v = 8kT m . Provedeme úpravu k m = R Mm a dosadíme do předchozího vztahu. Tak dostaneme vO2 = 8RT Mm = 8 8,314 J mol-1K-1 300 K 3,14 32 10-3 kg mol-1 . = 500 m s-1 . Molekuly H2 mají hmotnost 16 krát menší, než molekuly O2. V důsledku toho bude jejich rychlost při stejné teplotě 4 krát větší vH2 = 8 8,314 J kmol-1K-1 300 K 3,14 2 10-3 kg mol-1 = 2 000 m s-1 . 4.6.2 Rozdělení počtu částic s výškou ­ Boltzmannovo rozdělení deleniCastic} Boltzmann zobecnil Maxwellův zákon rozdělení rychlosti (4.37) na případ, že se molekuly pohybují v tíhovém, eventuálně v jiném silovém poli. V rovnice (4.37) můžeme místo 1 2 mv2 psát Ek. Boltzmann nahradil tuto kinetickou energii celkovou energií molekuly E = Ek + Ep, kde Ep je energie potenciální. Protože potenciální energie je obecně závislá na souřadnicích polohy, může se jednat jen o molekuly, jejichž rychlosti jsou v intervalu (vx, vx + dvx), (vy, vy + dvy), (vz, vz + dvz) a jejichž souřadnice leží současně v intervalu (x, x + dx), (y, y + dy), (z, z + dz). Dostaneme tak Boltzmannův zákon Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 216 4.6. STATISTICKÉ ZÁKONITOSTI IDEÁLNÍHO PLYNU dN N exp - E kT dvxdvydvzdxdydz . Boltzmannův zákon rozdělení energií (4.45){3.1-32} h %h p p+%p n(h) n0 Obr. 4.10{obr3.1-10} Tento zákon užijeme k odvození rozložení molekul (jejich počtu) v závislosti na výšce v tíhovém poli. Uvažujme o svislém sloupci plynu o stálé teplotě - obr. 4.10. Rychlost molekul i jejich rozložení podle rychlostí je podle Maxwellova zákona všude stejná. Rozložení molekul podle energií se řídí zákonem Boltzmannovým, kde celkovou energii píšeme W = Ek +mgh, kde mgh je potenciální energie molekuly ve výšce h. Uvažujeme-li jen množství plynu v objemové jednotce, pak volíme dxdydz = 1 Počet molekul v jednotkovém objemu (tj. koncentraci částic) ve výšce h = 0 označíme n0, ve výšce h pak nh. Rozdělení počtu molekul podle Boltzmannova zákona je dn n0 exp - Ek kT exp - mgh kT dvxdvydvz . Podle Maxwellova zákona v libovolné výšce je dn n0 exp - Ek kT dvxdvydvz . Srovnáním obou vztahů, které musí být totožné, plyne, že počet molekul v objemové jednotce (koncentrace) ve výšce h je dán vztahem nh = n0 exp - mgh kT . (4.46){3.1-33} Z této rovnice vyplývá, že snížením teploty počet částic ve výškách různých od nuly ubývá a blíží se k nule při T = 0 (obr. 4.11). Při teplotě absolutní nuly by se všechny molekuly nacházely na povrchu Země. Při vysokých teplotách naproti tomu počet částic s výškou ubývá málo a jak se ukazuje, molekuly jsou rozloženy s výškou rovnoměrně. Diskuse: Tento fakt má prosté fyzikální objasnění. Každé skutečné rozdělení molekul s výškou se řídí působením dvou tendencí: 1. přitahování molekul k Zemi (charakterizované silou mg) ­ snaží se je rozložit na povrchu Země, 2. tepelný pohyb (charakterizovaný veličinou kT) ­ snaží se rozptýlit molekuly rovnoměrně ve všech výškách. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 217 4.6. STATISTICKÉ ZÁKONITOSTI IDEÁLNÍHO PLYNU n(h) h T1 T2 T > T2 1 Obr. 4.11{obr3.1-11} Čím větší m a menší T, tím více převládá první tendence. Naopak při vysokých T převládá tepelný pohyb a hustota molekul pomalu ubývá s výškou. Atmosférický tlak v libovolné výšce h je podmíněn tíhou výše položených vrstev plynu. Tlak ve výšce h je p a tlak ve výšce h + dh je p + dp. Jestliže dh > 0, pak dp < 0 a tedy tlak bude s výškou ubývat. Rozdíl tlaků p a p + dp je roven tíze plynu uzavřeno v objemu válce s plochou základny rovné jedné a výškou dh (obr. 4.10) p - (p + dp) = gdh , kde je hustota plynu ve výšce h. Odsud dp = -gdh . (4.47){3.1-34} Za podmínek blízkých normálním (teplota 0 C, tlak 105 Pa), se vzduch málo liší ve svém chování ideálního plynu. Potom hustotu vzduchu můžeme vypočítat z rovnice = Mmp RT . Dosazením do (4.47) dostaneme dp = - Mmpg RT dh . (4.48){3.1-35} Mm představuje číselnou hodnotu rovnou střední molekulové hmotnosti vzduchu ( 29). Provedeme v rovnici separaci proměnných dp p = - Mmg RT dh . (4.49){3.1-36} Teplota T je ale funkcí h. Je-li tvar této funkce T(h) znám, rovnice (4.49) můžeme zintegrovat a najít závislost p na h. V případě konstantní teploty, tj. pro izotermickou atmosféru T(h) = T konst., integrace vede ke vztahu ln p = Mmgh RT + ln C , kde C je konstanta, která závisí na počátečních podmínkách. Odlogaritmováním dostaneme p = C exp - Mmgh RT . Položíme-li h = 0, dostaneme, že C = p0, kde p0 je tlak ve výšce h = 0. Dosazením dostaneme rovnici, která vyjadřuje závislost tlaku na výšce (za podmínky T(h) = T konst.) p = p0 exp - Mmgh RT = p0 exp - mgh kT . (4.50){3.1-37} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 218 4.6. STATISTICKÉ ZÁKONITOSTI IDEÁLNÍHO PLYNU Tato rovnice se nazývá barometrická a užívá se k výpočtu atmosférického tlaku v různých výškách (za stálé teploty T(h) = T). 4.6.3 Střední volná dráha molekul StredniVolna} Správný obraz o chování molekul plynu si můžeme vytvořit jen tehdy, uvažujeme-li konečnou velikost molekul. Vzájemné srážky molekul (především jejich počet) silně ovlivňují chování plynu. Množství vzájemných srážek charakterizujeme počtem srážek jedné molekuly s ostatními za jednotku času a nazýváme srážkovou frekvencí. O velikost srážkové frekvence rozhoduje charakter silového působení mezi molekulami. Působení při přibližování molekul postupně narůstá, ale není možno určit začátek a konec srážky. V případě ideálního plynu se problém zjednoduší, protože molekuly můžeme považovat za tvrdé kuličky s průměrem d. Délka dráhy molekuly mezi dvěma srážkami se nazývá volnou dráhou molekuly a označujeme ji . Při velkém počtu srážek určujeme její střední hodnotu a nazýváme ji střední volnou dráhou molekuly. Předpokládejme, že všechny molekuly jsou v klidu a jen jedna z nich se pohybuje střední rychlostí v. Za jednotku času narazí tato molekula na všechny molekuly, jejichž středy leží uvnitř prostoru, který je tvořen válcem o poloměru R = d a výšce, která se rovná dráze, kterou molekula urazí rychlostí v za jednotku času (obr. 4.12). vt R = d d 2d Obr. 4.12{obr3.1-12} v1` -v1` v2` u` ç Obr. 4.13{obr3.1-13} Počet nárazů za jednotku času na povrch molekuly, což je hustota toku molekul z = d2vn, kde n je počet molekul v objemové jednotce (koncentrace). Střední volná dráha , kterou molekula urazí mezi dvěma srážkami8, je = v z = 1 d2n . Protože se však pohybují všechny molekuly, je třeba střední rychlost v molekuly, vztaženou ke stěnám nádoby, nahradit střední relativní rychlostí u = v2 -v1 vzhledem k ostatním moleku- 8 Srážky pohybující se molekuly s jinými ,,nepohyblivými molekulami. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 219 4.6. STATISTICKÉ ZÁKONITOSTI IDEÁLNÍHO PLYNU lám, tj. určíme střední relativní rychlost dvou molekul. (Tyto molekuly se vůči stěnám nádoby pohybují středními rychlostmi v1 a v2.) Velikost rychlosti u2 vypočteme dle obr. 4.13 ze vztahu u2 = v2 1 + v2 2 - 2v1v2 cos , přičemž v1 a v2 mají stejnou velikost, ale mohou mít všechny možné směry. Tedy cos má stejně často hodnoty kladné i záporné a jeho střední hodnota je tak rovna nule. Pak u2 = 2v2. Pohybují-li se tedy všechny molekuly rychlostí v, pak skutečný počet srážek za jednotku času bude z = d2un = 2d2vn = 2z a střední volná dráha9 molekul bude = v z = 2 = 1 2d2n . střední volná dráha (4.51){StrVolDrah} Podle (4.14) je tlak plynu úměrný hustotě molekul (p = nkT), takže střední volná dráha molekul je nepřímo úměrná tlaku plynu = 1 2d2n = kT 2d2p 1 p . Tento vztah představuje relaci mezi mikroskopickou veličinou a makroskopickou veličinou p. 4.6.4 Příklady z molekulárně kinetické teorie KP 4.6-2{pr3.1-7} Láhev obsahuje 4 kg kyslíku O2. 1. Jaké je látkové množství v kilomolech? 2. Kolik molekul obsahuje láhev? KP 4.6-3{pr3.1-8} Jedna láhev obsahuje kyslík O2, druhá vodík H2. 1. Jsou-li hmotnosti plynů v obou láhvích stejné, jaký je poměr jejich látkových množství? 2. Obsahují-li láhve stejná množství plynu, jaký je poměr hmotností plynů? KP 4.6-4{pr3.1-9} Dokažte, že součin číselných hodnot Avogardovy konstanty a atomové jednotky je roven jedné. Jaký rozměr má tento součin? KP 4.6-5{pr3.1-10} Stanovte objem kilomolu ideálního plynu při tlaku 105 N m-2 a teplotě 0 C. 9 Srážky pohybující se molekuly s jinými pohybujícími se molekulami. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 220 4.6. STATISTICKÉ ZÁKONITOSTI IDEÁLNÍHO PLYNU KP 4.6-6{pr3.1-11} Ideální plyn má objem 410-6 m3, tlak 2105 N m-2 a teplotu 300 K. Plyn nejdříve expanduje za konstantního tlaku na dvojnásobek původního objemu, potom je stlačen izotermicky na původní objem a nakonec ochlazen za konstantního objemu na původní tlak. 1. Znázorněte děj v p - V diagramu. 2. Vypočítejte teplotu během izotermické komprese. 3. Vypočítejte maximální tlak. KP 4.6-7{pr3.1-12} V úzké trubici délky l = 70 cm postavené zataveným koncem dolů je sloupec vzduchu uzavřený vt R = d d 2d Obr. 4.14.prik.3.1-12} shora sloupcem rtuti o výšce h = 20 cm. Rtuť dosahuje k hornímu okraji trubice. Trubici opatrně obrátíme a část rtuti vyteče. 1. Jak vysoký sloupec rtuti zůstane v kapiláře, je-li barometrický tlak 1,013 105 N m-2. 2. Při jakém barometrickém tlaku vyteče rtuť z kapiláry úplně? KP 4.6-8{pr3.1-13} Láhev o objemu 2 l (opatřena kohoutem) obsahuje kyslík O2 teploty 300 K a atmosférického tlaku 105 N m-2. Soustavu zahřejeme na teplotu 400 K při otevřeném kohoutu. Kohout pak zavřeme a láhev ochladíme na původní teplotu. 1. Jaký je konečný tlak kyslíku O2 v láhvi? 2. Kolik gramů kyslíku O2 unikne z láhve? KP 4.6-9{pr3.1-14} Předpokládejme, že molekuly ideálního plynu jsou rovnoměrně rozloženy v prostoru tak, že jsou umístěny ve středech shodných krychlí. Teplota plynu je 273 K, tlak 105 N m-2. 1. Vypočítejte délku hrany krychle a srovnejte ji s průměrem molekuly 3 10-10 m. 2. Proveďte tentýž výpočet pro vodu. Jeden kilomol vody má objem 18 litrů. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 221 4.6. STATISTICKÉ ZÁKONITOSTI IDEÁLNÍHO PLYNU KP 4.6-10{pr3.1-15} Jaký tlak na stěnu vyvíjí molekuly vodíku H2, dopadne-li za sekundu 1023 molekul na 2 cm2 plochy stěny? Úhel dopadu molekul je 45, rychlost molekul 103 m s-1 a hmotnost molekuly vodíku H2 je 3,32 10-27 kg. KP 4.6-11{pr3.1-16} Kyslík O2 teploty 273 K a tlaku 105 N m-2 je uzavřen v krychlové nádobě o straně 0,1 m. Za jak dlouho projde typická molekula nádobou od stěny ke stěně? KP 4.6-12{pr3.1-17} Je dána skupina částic (Ni je počet částic, jež mají rychlost vi). Ni 2 4 6 8 2 vi( cms-1) 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 1. Vypočítejte střední rychlost v. 2. Vypočítejte střední kvadratickou rychlost vk. 3. Mezi pěti rychlostmi nalezněte nejpravděpodobnější rychlost vp. KP 4.6-13{pr3.1-18} Vypočítejte střední kvadratickou rychlost atomu argonu Ar při pokojové teplotě 20 C. Při jaké teplotě bude mít střední kvadratická rychlost poloviční (dvojnásobnou) hodnotu? KP 4.6-14{pr3.1-19} Střední kvadratická rychlost molekul kyslíku O2 při 0 C je rovna 460 m s-1, molová hmotnost kyslíku je 32 kg kmol-1, argonu Ar 40 kg kmol-1 a hélia He 4 kg kmol-1. Lze z těchto údajů vypočítat střední kvadratickou rychlost hélia a argonu při 40 C bez použití jiných údajů nebo obecných konstant? KP 4.6-15{pr3.1-20} 1. Jaká je vnitřní energie v jednom kilomolu hélia He za teploty 300 K? 2. Jaký je přírůstek vnitřní energie jednoho kilomolu při zvýšení teploty o 1 K? 3. Srovnejte tento přírůstek s teplem potřebným ke zvýšení teploty jednoho kilomolu o 1 K při stálém objemu. KP 4.6-16{pr3.1-21} Molová tepelná kapacita argonu Ar při konstantním objemu je cV = 315 J kg-1 K-1. Vypočtěte z něho relativní molekulovou hmotnost argonu a hmotnost molekuly argonu. KP 4.6-17{pr3.1-22} Vypočítejte přírůstek střední hodnoty translační kinetické energie molekuly argonu (kyslíku), jestliže při zachování objemu dodáme 352 J tepla do 0,2 kg plynu. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 222 4.6. STATISTICKÉ ZÁKONITOSTI IDEÁLNÍHO PLYNU KP 4.6-18{pr3.1-23} Vypočítejte střední kvadratickou rychlost vk, střední rychlost v a nejpravděpodobnější rychlost vp molekul dusíku N2 při teplotě 273 K (Mm = 28 kg kmol-1). KP 4.6-19{pr3.1-24} Uvažte, jakým postupem lze z Maxwellovy křivky pro rozdělení rychlostí při teplotě T1 sestrojit graf rozdělení rychlostí při jiné teplotě T2. KP 4.6-20{pr3.1-25} V jaké výšce je hustota vzduchu rovna jedné polovině hustoty u hladiny moře? Teplota vzduchu je 0 C, za hmotnost kilomolu dosaďte 29 kg kmol-1. KP 4.6-21{pr3.1-26} Dopravní letoun letí ve výšce 8 300 m. Kompresory udržují v kabině stálý tlak odpovídající výšce 2 700 m. Vypočítejte rozdíl tlaků uvnitř a vně kabiny. Teplota vzduchu je 0 C, hmotnost kilomolu vzduchu je 29 kg kmol-1 a tlak vzduchu v nulové výšce je 105 N m-2. KP 4.6-22{pr3.1-27} V elektronce jsou zbytky dusíku N2 o tlaku 1,33 10-3 Pa a teploty 60 C. Vypočítejte: 1. Počet molekul v 1 m3. 2. Střední volnou dráhu molekul. Průměr molekuly dusíku je 3,78 10-10 m. KP 4.6-23{pr3.1-28} Při teplotě 20 C a tlaku 104 Pa je střední volná dráha molekul argonu Ar 9,9 10-6 m. 1. Jaká je střední volná dráha molekul argonu při 20 C a 2 104 Pa? 2. Jaká je střední volná dráha při -40 C a 104 Pa? KP 4.6-24{pr3.1-29} Střední volná dráha molekul vodíku H2 za normálních podmínek (1,013 105 Pa, 0 C) je 1,28 10-5 m. 1. Vypočítejte průměr vodíkové molekuly. 2. Jaká je střední volná dráha při tlaku 1,33 10-2 Pa a 0 C? KP 4.6-25{pr3.1-30} Plyn zaujímá při teplotě 0 C určitý objem V0. Vypočítejte, za jaké teploty zaujme plyn 2/3 původního objemu při konstantním tlaku. KP 4.6-26{pr3.1-31} Při jaké teplotě má plyn při nezměněném objemu n-krát větší tlak než při 0 C? Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 223 4.6. STATISTICKÉ ZÁKONITOSTI IDEÁLNÍHO PLYNU KP 4.6-27{pr3.1-32} Láhev obsahuje při teplotě 27 C a tlaku 4 106 N m-2 stlačený plyn. Jak se mění tlak plynu, vypustíme-li polovinu jeho množství a poklesne-li při tom jeho teplota o 15 C? KP 4.6-28{pr3.1-33} Příkon elektrického vařiče je 250 W. Vařič uvede do varu 1,5 kg H2O 15 C teplé za 1 hodinu. Jaká je účinnost vařiče? KP 4.6-29{pr3.1-34} Láhev obsahuje 1 kg kyslíku o tlaku 10 at a teplotě 47 C. Uzávěr láhve dobře netěsní, takže O2 uniká. Po určité době byl opět změřen tlak a teplota kyslíku a bylo zjištěno, že tlak klesl na 5/8 své původní hodnoty a teplota na 27 C. 1. Jaký je objem v láhvi? 2. Kolik gramů O2 zůstalo v láhvi? Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 224 5. Termodynamika ermodynamika} 5.1 Základní pojmy termodynamiky ojmyTermodyn} Tato část je úvodní kapitolou. V odst. 5.1.1 je uvedeno, co je předmětem zkoumání termodynamiky. Definice teploty a její měření a definice teplotní stupnice je provedeno v odst. 5.1.2. Dále jsou zde vyloženy základní pojmy termodynamiky jako teplo a práce (odst. 5.1.3). Cíl: I) Umět zpaměti veličiny a definice uvedené v rámečcích v této části. II) Samostatně řešit příklady uvedené v textu (odst. 5.1.3), řešení zdůvodnit a nakreslit náčrtky. Z dosavadních poznatků plyne, že neuspořádaný pohyb molekul se řídí jistými zákonitostmi. Tak např. z Maxwellova zákona o rozdělení rychlostí molekul plyne, že mezi rychlostmi, jež mají náhodné rozdělení, existuje nejpravděpodobnější rychlost taková, že rychlosti, které se od ní více odlišují, existují jen zřídka. Nebo to, že průměrná kinetická energie translačního pohybu připadající na jeden stupeň volnosti má zcela určitou hodnotu, ačkoliv jednotlivé molekuly mohou mít kinetické energie obecně různé. Střední hodnota těchto kinetických energií určuje pak teplotu látky. Makroskopické veličiny p, V a T charakterizující stav látky mají určitou hodnotu jen proto, že jsou to střední hodnoty velikého počtu jednotlivých elementárních dějů. Při studiu jevů v malých oblastech, kde je počet molekul malý, se musí objevovat odchylky od stanovených středních hodnot. Takové odchylky se skutečně pozorují a nazývají se fluktuace. 5.1.1 Předmět termodynamika ermodynamika} Obor fyziky, který se zabývá obecnými zákonitostmi, jimiž se řídí přeměna celkové energie makroskopických systémů v její různé formy, se nazývá termodynamika. Nepřihlíží-li se k vnitřní struktuře vyšetřovaných objektů, tj. nerozebírají-li se děje mikroskopicky, nazývá se termodynamika fenomenologická. Spočívá na několika experimentálně ověřených principech ­ termodynamických větách. Rozvoj molekulové a statistické fyziky umožnil přesnější formulaci některých principů termodynamiky a pomohl určit hranice jejich použitelnosti. Termodynamika může často mnohem jednodušeji popsat zkoumané jevy. To má velký význam nejen v mnoha oborech fyziky, ale i v chemii, biologii a v technologii přípravy různých materiálů s požadovanými vlastnostmi. Na druhé straně i když správně vysvětlujeme mnohé jevy, nepodává však obraz o jejich mechanizmu. Hlubší pohled na zákony termodynamiky podává až statistická fyzika. 5.1.2 Teplota a její měření plotaAMereni} Nejjednodušší způsob rozlišení teplých těles od studených je hmatem. Dotykem můžeme seřadit tělesa podle subjektivních pojmů ,,tepla a ,,chladu . Objektivní příčině našich subjektivních vjemů říkáme ,,teplota . Subjektivní určování teploty může být značně zkresleno a rozsah vnímání teploty je omezen. Potřebujeme objektivní, číselné měření teploty jako fyzikální veličiny. Pojem teploty se někdy definuje jako fyzikální veličina, která charakterizuje tepelný stav tělesa. Se změnou teploty se mění mnoho fyzikálních vlastností látek, jako např. objem plynu udržovaného při stálém tlaku, tlak plynu udržovaného při stálém objemu, objem kapaliny, elektrický Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 225 5.1. ZÁKLADNÍ POJMY TERMODYNAMIKY odpor, elektrické napětí (v termočlánku), rozměry tuhých těles apod. Kterákoliv z těchto vlastností může být užita k měření teploty, k zhotovení teploměru a stanovení samostatné teplotní stupnice. Teplotní stupnice závisí na užití termoelektrické látky. Teplotní stupnici definujeme předpokládanou monotónní stupnicí. K definici teploty se používá termometrické látky o zvláštní termometrické vlastnosti. Zvolme veličinu X za termometrickou vlastnost vybrané látky, kterou užijeme ke stanovení teplotní stupnice. Můžeme libovolně zvolit teplotu T jako lineární funkci vlastnosti X T(X) = aX , kde a je konstanta. Stejným teplotním rozdílům odpovídají stejné změny v X. Z toho plyne, že poměr teplot (měřených týmž teploměrem) je ve stálém poměru jako jejich odpovídající si X, tj. T(X1) T(X2) = X1 X2 . K určení konstanty a tím kalibraci teploměru zvolíme standardní pevný bod, při kterém všechny teploměry musí mít stejné čtení pro teplotu. Za tento bod byl vybrán bod, při kterém led, voda a vodní pára spolu existují v rovnováze a nazývá se trojný bod vody. Teplota v tomto bodě byla označena Ttr = 273,16 K . Jednotkový teplotní interval je označen 1 K (kelvin). Pak pro všechny teploměry platí T(X) T(Xtr) = X Xtr , kde hodnoty v trojném bodě jsou označeny indexem tr, T(X) = 273,16 K X Xtr . (5.1){3.2-1} Tuto rovnici můžeme použít pro různé teploměry. Nechť X je délka L sloupce rtuti ve skleněném teploměru, pak T(L) = 273,16 K L Ltr . Označíme-li za X tlak plynu při konstantním objemu, pak T(p) = 273,16 K p ptr (při konst.V ) (5.2){3.2-2} apod. Podle této definice souhlasí čtení teploty na všech druzích teploměrů ve standardním pevném bodě. Pro různé teploměry by však bylo čtení teploty daného systému různé. K odstranění této nejednotnosti vybereme určitý druh teploměru jako standard. Volba se provede tak, aby fyzikální zákony týkající se teploty měly co nejjednodušší tvar. Tomuto požadavku nejlépe vyhovuje plyn jako teploměrná látka za konstantního objemu a teploměrnou vlastností je tlak. Čím je menší tlak plynu teploměru, tím se dosáhne menšího rozdílu při čtení mezi různými plynovými teploměry. Podle (5.2) by měl tlak plynu klesnout na nulu při teplotě T = 0 K. V reálných plynech tlak plynu nemůže nikdy být nulový, proto se zavádí abstraktní pojem ideálního plynu (viz kap. 4.2). Definice teplotní stupnice ideálního plynu je dána vztahem T = 273,16 K lim ptr0 p ptr (při konst.V ) . definice teplotní stupnice ideálního plynu (5.3){3.2-3} {ram-113} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 226 5.1. ZÁKLADNÍ POJMY TERMODYNAMIKY Nejnižší teplota, která může být měřena plynovým teploměrem, je přibližně 1 K. Poznámka: Absolutní nulová teplota je odvozena extrapolací a nepodařilo se jí dosáhnout experimentálně. Spojení makroskopického pojmu teploty s mikroskopickým pojmem molekulového pohybu vede k názoru, že při přibližování se k absolutní nule kinetická energie molekul se blíží ke konečně minimální hodnotě, tzv. energii nulového bodu. Absolutní termodynamickou teplotní stupnici nebo také Kelvinovu stupnici, která je identická se stupnicí ideálního plynu, zavedeme v odst. 5.6.4. Existují systémy, které mají záporné Kelvinovy teploty. Takové teploty se dosáhnou postupováním přes nekonečné teploty a ne projitím přes 0 K. Záporné teploty tedy nejsou ,,chladnější než absolutní nula, ale ,,teplejší než nekonečné teploty. Absolutní nula zůstává experimentálně nedosažitelná. Při měření teploty se užívá za základní teplotní stav teplota tání ledu (tj. teplota rovnovážného stavu vody a ledu za normálního tlaku pn = 1,013 25 105 Pa), které je v absolutní termodynamické stupnici přiřazena číselná hodnota Tn = 273,15 K . Protože tento teplotní stav definuje nulu termodynamické stupnice Celsiovy a obě stupnice jsou určeny stejným způsobem, souvisí teplota ve stupních Celsiových, označená t (C), s teplotou T v kelvinech K jednoduchým vztahem t = T - Tn . Teplota trojného bodu H2O v Celsiově stupnici je tedy ttr = 0,01 C, teplota bodu varu vody za normálního tlaku t = 100,00 C. 5.1.3 Teplo a práce {TeploAPrace} Myšlenka, že teplo je nějaká ,,látka , odporovala mnoha experimentům. Kdyby teplo bylo ,,látkou nebo určitým druhem energie, která by neměnila podstatu, nebylo by možné odebírat neomezeně teplo ze systému, který se nemění. Podobně práce není něco, čeho nějaký systém obsahuje určité množství. Můžeme vložit nekonečné množství práce do systému, aniž bychom změnili jeho podmínky. Práce, právě tak jako množství dodaného tepla, má za následek změnu energie. V mechanice je prací charakterizován děj, jímž se mění energie soustavy, ale při kterém se teplota a skupenství látek nemění. Při procesu (např. tření povrchů dvou těles), kdy neexistuje žádná mez pro množství tepla, které může být systému odňato nebo pro množství práce, které může být do něj vloženo, pojem ,,teplo v systému nebo ,,práce v systému nemá význam. Jen během termodynamického procesu, při kterém systém mění rovnovážný stav a je ovlivňován okolím, dáváme význam teplu Q a práci W. Práce i teplo jsou mírou změny energie systému, nejsou však s energií totožné. Energie je jednodušší funkcí jejího stavu, protože charakterizuje systém. Systém má určitou energii, i když se s ní nedějí žádné změny, tj. neprobíhají žádné děje. Pojmy práce a teplo mají smysl jen tehdy, když jde o děj, jímž se stav systému mění. Tedy práce i teplo nejsou funkcemi stavu systému. Někdy se pod pojmem teplo obsažené v soustavě rozumí celková tepelná energie soustavy. Tato nejednoznačnost vede k nejasnostem. Teplem budeme rozumět veličinu ekvivalentní práce jako míru změny energie. Energii související s teplotou soustavy budeme nazývat vnitřní energií. Určíme nyní teplo Q a práci W pro specifický termodynamický proces. Mějme plyn ve válcové nádobě s pohyblivým pístem. Nechť plyn o tlaku p1 a objemu V1 je systémem v rovnováze Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 227 5.1. ZÁKLADNÍ POJMY TERMODYNAMIKY p ¤Q %s '¤W ¤W Obr. 5.1{obr3.2-1} s okolím, které je tvořeno pístem a tepelným zásobníkem (viz obr. 5.1). Teplo může přecházet dnem válce, práce může být konána okolím nebo systémem stlačením nebo rozpínáním plynu posouváním pístu. Uvažujme nyní o dějích, kterými plyn dosáhne konečného rovnovážného stavu charakterizovaného tlakem p2 a objemem V2. Nechť se plyn rozpíná a posouvá píst. Práce W vykonaná plynem při přemístění pístu (o ploše S) o malou vzdálenost ds je W = F ds = Fds cos 0 = Fds = pSds = pdV , (5.4){3.2-4} kde dV je diferenciální změna objemu plynu. '¤Q ¤Q > 0 V %V '-¤Q = ¤Q <0 '-¤W = ¤W >0 '¤W ¤W Obr. 5.2{obr3.2-2} Poznámka: V termodynamických úvahách byla zavedena znaménková konvence (obr. 5.2). Užívá se pro teplo systémem (tj. plynem) vydané a pro práci systémem (plynem) vykonanou užitím symbolů Q a W . Množství tepla, které odevzdalo okolí systému (plynu), případně práci, kterou okolí na systému (plynu) vykonalo, označujeme symboly nečárkovanými. Obecně tlak nebude během procesu konstantní. Celková práce vykonaná plynem ze stavu 1 do stavu 2 podél křivky a bude W12 = 2 1(a) W12 = V2 V1 pdV . práce vykonaná plynem (5.5){PracePlynem} {ram-114} Tento integrál se dá znázornit graficky jako plocha pod křivkou 1­a­2 v p­V diagramu (obr. 5.3). Systém se může z počátečního stavu 1 do konečného stavu 2 dostat různými způsoby. Práce vykonaná systémem při rozepnutí plynu podél křivky 1­b­2 (nebo 1­3­2, nebo 1­4­2) bude obecně jiná než v předchozím případě. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 228 5.2. PRVNÍ PRINCIP TERMODYNAMIKY p V 1 2 3 4 a b V1 V2 %V p 'W12 p1 p2 '¤W Obr. 5.3{obr3.2-3} Tedy práce konaná systémem nezávisí jen na počátečním a konečném stavu, ale také na středních stavech, tj. na cestě procesu. K podobnému výsledku dospějeme, určujeme-li teplo dodané během děje. Stav 1 je charakterizován teplotou T1 a konečný stav 2 teplotou T2. Teplo dodávané systému závisí na tom, jak je systém zahříván. Můžeme jej zahřívat při konstantním tlaku p1, až dosáhneme teploty T2 a pak změnit tlak při konstantní teplotě na konečnou hodnotu p2. Nebo můžeme nejdřív snížit tlak na p2 a pak systém zahřívat při konstantním tlaku až ke konečné hodnotě T2. Nebo můžeme sledovat mnoho různých cest, ale každá dává jiný výsledek pro teplo dodané systému okolím. Tedy teplo získané nebo odevzdané systémem závisí nejen na počátečním a konečném stavu, ale také na středních stavech, tj. na cestě děje. To je experimentálně ověřeno. V našem značení budeme nadále používat pro malé změny veličin, které obecně závisí na cestě změny, symbolu (např. W , Q). Naopak pro ty veličiny, jejichž integrál na integrační cestě nezávisí, budeme užívat symbolů pro tzv. úplný diferenciál, tj. např. dU. 5.2 První princip termodynamiky PrincipTermo} Je to nejdůležitější část termodynamiky. Je v ní vyložen základní princip termodynamiky, z fyzikálního hlediska představuje zákon zachování energie. Cíl: I) Zpaměti vyložit a definovat základní princip termodynamiky. II) Samostatně aplikovat a řešit příklady v tomto textu a příklady podobného typu. Nechť systém přechází z počátečního rovnovážného stavu 1 do konečného rovnovážného stavu 2 určitým způsobem. Teplo přijaté systémem (tj. plynem) označíme Q a práci, kterou koná okolí na plynu, označíme W. Vypočteme-li Q + W, tj. součet tepla dodaného okolím a práce vykonané okolím na plynu při přechodech ze stavu 1 do stavu 2 po různých cestách, je tento součet vždy stejný, tedy na cestě nezávislý. V termodynamice existuje veličina, která je funkcí termodynamických souřadnic, a jejíž rozdíl v konečném a počátečním stavu se rovná součtu Q + W v celém procesu. Tuto veličinu nazýváme vnitřní energií a značíme ji U. Na základě souvislostí mechanické a tepelné formy energie můžeme zobecnit zákon zachování energie, známý už z mechaniky, i pro obecné makroskopické systémy. Tento zákon je formulován v první termodynamické větě. Součet tepla dodaného plynu a práce vykonané na plynu okolím Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 229 5.2. PRVNÍ PRINCIP TERMODYNAMIKY reprezentuje podle definice změnu vnitřní energie systému U2 - U1 = U = Q + W . (5.6){3.2-5} Pro vnitřní energii můžeme volit ve standardním referenčním stavu libovolnou hodnotu. Rovnici (5.6) nazýváme první termodynamickou větou. Při výpočtu práce vykonanou na systému (tj. W) nebo tepla dodaného okolím systému (tj. Q) se obvykle pozorovaný proces rozloží na celou řadu elementárních procesů, z nichž každá odpovídá velmi malé změně (tj. změně konečné hodnoty) parametrů systému. Rovnice (5.6) pro tyto elementární procesy má pak tvar U = Q + W . (5.7){3.2-6} V uvažovaném systému probíhá jen infinitezimální (tj. nekonečně malá) změna stavu, je proto přijato jen infinitezimální množství tepla Q a vnější síly vykonají na systému jen infinitezimální práci W. Pak změna vnitřní energie je dU a první termodynamická věta v diferenciálním tvaru je zapsána dU = Q + W . (5.8){3.2-7} Zde se vyskytují dvě elementární veličiny Q a W, které nejsou úplnými diferenciály žádné stavové funkce (tedy závisí na dráze p­V diagramu), avšak jejich součet je úplným diferenciálem stavové funkce (nazvané vnitřní energie). Proto jsou elementární změny Q a W označeny jinak, než elementární změna dU. Z rovnice (5.8) při platnosti W = -W plyne Q = dU - W Q = dU + W (5.9){Nova3.2-77} a první termodynamická věta se dá vyslovit takto: Teplo dodané soustavě se spotřebuje na zvýšení její vnitřní energie a na práci systémem konanou. První termodynamickou větu lze užitím rovnice (5.4) psát ve tvaru Q = dU + pdV . první princip termodynamiky (5.10){Nova3.2-88} {ram-115} Při cyklickém ději, tj. takovém ději, při kterém se soustava vrací do původního stavu (změna vnitřní energie je nulová), je přivedené teplo rovno odevzdané práci. KP 5.2-1{kpr3.2-1} Ve válci s pohyblivým pístem je 36 g vodíku teploty 27 C pod tlakem 3,92 105 N m-2. Na jeho stlačení na třetinu původního objemu bylo zapotřebí vynaložit práci 1,50 105 J a současně se mu odňalo ochlazením 5,9 104 J tepla. Vypočtěte teplotu a tlak vodíku po stlačení. Řešení: Užijeme první termodynamickou větu ve tvaru U = Q + W po dosazení veličin Q = -5,9 104 J, W = 15,0 104 J vypočteme změnu vnitřní energie U = Q + W = -5,9 104 J + 15,0 104 J = 9,1 104 J. Užitím rovnic 4.31 (U = nmcV T), 4.32 (vyjadřující vztah mezi počtem molů nm, molární hmotností Mm a celkovou hmotností M plynu) a při znalosti 4.34 (cV pro dvouatomární plyn) lze dpovídající změnu teploty vyjádřit T = U nmcV = Mm U McV = 2 kg kmol-1 9,1 104 J 3,6 10-2 kg 2,1 104 J kmol-1 K-1 = 241 K . Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 230 5.3. VRATNÉ A NEVRATNÉ DĚJE Konečná teplota je T2 = T1 + T = 300 K + 241 K = 541 K , tedy t2 = T2 - T0 = 541 K - 273 K = 268 C . Tlak určíme ze stavové rovnice p1V1 T1 = p2V2 T2 . Z toho plyne p2 = p1 V1 V2 T2 T1 = 3,92 105 N m-2 3 541 K 300 K = 2,14 106 Pa . 5.3 Vratné a nevratné děje NevratneDeje} V odst. 5.3.1 je vyložen stav termodynamické rovnováhy. V dalším odst. 5.3.2 jsou vyšetřeny děje z hlediska vratnosti a nevratnosti. Cíl: I) Vyložit a definovat pojmy a veličiny uvedené v rámečcích v tomto odstavci. 5.3.1 Stav termodynamické rovnováhy ckeRovnovahy} Většina fyzikálních problémů spočívá v úloze zjistit, jaké vlastnosti bude mít systém za určitých vnějších podmínek. Parametry charakterizující vnější podmínky nazýváme vnější parametry. Po uplynutí určité doby (během níž probíhají v systému změny) se vlastnosti systému ustálí v souladu s novými vnějšími podmínkami, přičemž v systému přestanou probíhat všechny makroskopické děje. Takto dosažený stav se nazývá stavem termodynamické rovnováhy a čas potřebný na jeho dosažení relaxační dobou. Můžeme rovněž vnější parametry doplnit o další údaje o struktuře molekul a vnitřní systému, které rovněž odrážejí vlastnosti sytému ­ tyto označujeme jako vnitřní parametry. Z celkového počtu makroskopických parametrů systému (vnějších i vnitřních) můžeme vybrat určitý počet parametrů, které jsou navzájem nezávislé. Tyto parametry jednoznačně charakterizují stav systému, a proto je nazýváme stavové proměnné. Funkce stavových proměnných nazýváme stavové funkce. Dělení parametrů na vnitřní a vnější je možné si objasnit na příkladě ideálního plynu. Ideální plyn jako systém je reprezentovaný určitým pevně zvoleným počtem molekul. Protože objem V , tlak p a teplota T plynu jsou ve stavu termodynamické rovnováhy navzájem vázané stavovou rovnicí ideálního plynu, je počet nezávislých parametrů roven dvěma ­ pak kterákoliv z dvojic V ­T, V ­p, T­p může tvořit stavové proměnné. Při dalším dělení parametrů na vnější a vnitřní je třeba přihlížet ke konkrétním podmínkám, ve kterých se systém nachází. 5.3.2 Vratné a nevratné děje tneANevratne} Mějme plyn o hmotnosti M uzavřený pístem ve válci o objemu V ­ obr. 5.1. Plyn má teplotu T a tlak p. V termodynamické rovnováze zůstávají tyto termodynamické veličiny časově neměnné. Předpokládejme, že válec, jehož stěny jsou dokonalým tepelným izolátorem a dno naopak ideálním vodičem tepla, postavíme na těleso o velké tepelné kapacitě o téže teplotě. Převeďme systém do jiného rovnovážného stavu o téže teplotě T, pouze objem plynu zmenšíme na polovinu. Z mnoha způsobů, kterými toto můžeme provést, rozebereme dva extrémní případy. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 231 5.3. VRATNÉ A NEVRATNÉ DĚJE p T = T1 2 1 2 V Obr. 5.4{obr3.2-4} p 1 2 V W T = T1 2 Obr. 5.5{obr3.2-5} a) Stlačíme píst velmi prudce a počkáme, až nastane znovu rovnováha s ohřívačem o teplotě T. Během tohoto děje mění se tlak i teplota plynu různě v celém objemu. Při rychlé kompresi je tlak plynu v blízkosti pístu větší, než je střední tlak plynu ve válci. (Naopak při expanzi plynu by byl tlak u pístu menší, než je střední tlak plynu.) Děj nemůžeme znázornit spojitou křivkou v p­V diagramu, protože nevíme, jakou hodnotu tlaku (nebo teploty) máme přiřadit danému objemu. Systém přejde z jednoho rovnovážného stavu 1 do druhého rovnovážného stavu 2 přes množinu nerovnovážných stavů (obr. 5.4). b) Stlačíme píst velmi pomalu nepatrným zvyšováním působící síly na píst tak, aby tlak, objem a teplota plynu se daly v každém okamžiku dobře určit. Při nepatrném zvýšení tlaku se objem trochu zmenší a teplota se zvýší. Systém se bude odchylovat od rovnovážného stavu, ale jen nepatrně. Malé množství tepla se předá ohřívači a celý systém v krátkém čase opět bude v rovnováze. Během celého procesu až do dosažení polovičního objemu se systém vždy nacházel ve stavu velmi blízkém rovnovážném stavu. Při infinitezimálních změnách tlaku dostaneme se k ideálnímu procesu, při kterém systém prochází spojitou řadou rovnovážných stavů, které můžeme v p­V diagramu znázornit spojitou čarou na obr. 5.5. Během děje se jisté množství tepla předá ohřívači. Děj je vratný, jestliže při nekonečně malém snížení vnějšího tlaku probíhá děj opačným směrem a přitom soustava přijme totéž množství tepla od ohřívače. To lze přesně uskutečnit jen při velmi pomalých dějích. Pomalé děje jsou tedy nutnou podmínkou vratnosti, ale ne postačující. Objem plynu můžeme zmenšit též adiabaticky, tj. bez výměny tepla, odstraníme-li ohřívač a dno válce nahradíme tepelně nevodivou podložkou. Adiabatický děj může být vratný nebo nevratný, záleží na rychlosti komprese nebo expanze. Práce při stlačení plynu (tj. práce, kterou na Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 232 5.4. MOLOVÁ TEPELNÁ KAPACITA PLYNŮ PŘI KONSTANTNÍM TLAKU systému (na plynu) vykoná okolí) bude mít různé hodnoty pro různé průběhy stlačení. Tato práce je dána vztahem W = - V2 V1 pdV > 0 , tj. plochou pod křivkou v p­V diagramu. Odpovídá tedy pouze vratným změnám, při nichž je tlak definovatelnou veličinou (závislou na V ). Všechny skutečné děje probíhají konečnou rychlostí a jsou tedy nevratné. Vratné změny jsou takové, u kterých je možné pomalými změnami vnějších podmínek vrátit se po stejné cestě do původního stavu nejen soustavu, ale i okolí soustavy (např. tepelné lázně). 5.4 Molová tepelná kapacita plynů při konstantním tlaku {TepKapacita} U reálných plynů závisí jejich vnitřní energie na teplotě a objemu. U ideálního plynu závisí vnitřní energie jen na teplotě (viz odst. 4.5) a pro jeden kilomol plynu je U = cV T, takže dU = cV dT, kde cV je molová tepelná kapacita za konstantního objemu. Jestliže ohřev plynu probíhá za konstantního tlaku, pak plyn se bude rozpínat a na okolí vykoná kladnou práci W > 0. Ke zvýšení teploty plynu o jeden kelvin bude proto zapotřebí více tepla, než při ohřevu za konstantního objemu. Část tepla se totiž spotřebuje na práci vykonanou plynem. Molová tepelná kapacita za konstantního tlaku tedy musí být větší, než molová tepelná kapacita za konstantního objemu, tj. cp > cV . Napíšeme první termodynamickou větu Q = dU + W pro jeden mol plynu ve tvaru Q = cV dT + pdV . Obsahuje-li systém plyn o celkové hmotnosti M, tj. látkové množství nm = M Mm molů (kde Mm je molová hmotnost), má první termodynamická věta tvar Q = M Mm cV dT + pdV = nmcV dT + pdV . Podělíme-li tuto rovnici nmdT, dostaneme vztah pro molovou tepelnou kapacitu plynu za konstantního tlaku cp = Q nmdT = 1 nmdT (nmcV dT + pdV ) . (5.11){3.2-8} Použijeme-li stavovou rovnici pro stejné množství ideálního plynu pV = nmRT a zdiferencujemeli ji pro konstantní tlak, pak dostaneme pdV = nmRdT . (5.12){Nova3.2-8} Spojení rovnic 5.11 a 5.12 dává cp = cV + R . Mayerův vztah (5.13){3.2-9} {ram-116} Rovnice se nazývá Mayerův vztah a ukazuje, že molová tepelná kapacita za konstantního tlaku je vždy větší, než molová tepelná kapacita za konstantního objemu o hodnotu rovnou univerzální plynové konstantě R. Mayerův vztah platí přesně jen pro ideální plyn, ale je v dobré shodě pro reálné plyny o nízkých tlacích. Těchto výsledků jsme dosáhli bez užití vztahu1 U = 3 2 nmRT, ale 1 Platný striktně vzato jen pro ideální jednoatomové plyny - viz vztah 4.34. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 233 5.5. STAVOVÉ ZMĚNY IDEÁLNÍHO PLYNU jen ze znalosti, že vnitřní energie ideálního plynu závisí jen na teplotě. Poměr molových tepelných kapacit při stálém tlaku a stálém objemu se nazývá Poissonova konstanta = cp cV . Poissonova konstanta (5.14)sonKonstanta} {ram-117} Pro ideální plyn je = cV + R cV = 1 + R cV . Protože platí cV = i 2 R, kde i je počet stupňů volnosti, pak Poissonovu konstantu pro i počet stupňů volnosti můžeme vyjádřit ve tvaru = i + 2 i . Pro jednoatomový plyn je = 1,67 (i = 3), pro dvouatomový plyn je = 1,40 (i = 5), pro víceatomový plyn je = 1,33 (i = 6). 5.5 Stavové změny ideálního plynu {StavZmeny} Tato část je důležitá k pochopení termodynamických procesů. Jsou v ní vyloženy základní stavové změny: změna izochorická (odst. 5.5.1), změna izobarická (odst. 5.5.2) a změna izotermická (odst. 5.5.3). V odst. 5.5.4 je vyložena adiabatická a v odst. 5.5.5 změna polytropická. Cíl: I) Zpaměti vztahy a zákony stavových veličin. II) Definovat a vyložit pojmy, veličiny a zákony uvedené v části ,,Obsah . III) Samostatně řešit příklady, řešení zdůvodnit a nakreslit náčrtky. V termodynamice mají základní význam některé jednoduché děje, které probíhají v ideálním plynu za určitých podmínek, kdy některá ze stavových veličin zůstává konstantní. Všeobecně můžeme říci, že práce vykonaná systémem závisí na způsobu přechodu z jednoho stavu do druhého. Stav systému je jednoznačně určený souborem nezávislých vnějších parametrů a teplotou. Podle toho, které a v jakém vzájemném vztahu se mění tyto veličiny, dostáváme různé stavové změny. Budeme je posuzovat z hlediska práce, kterou systém vykoná po dobu příslušné stavové změny. Z tohoto důvodu je výhodné zobrazovat procesy v p­V diagramu, ve kterém má vykonaná práce názornou geometrickou interpretaci. 5.5.1 Změna za stálého objemu ­ izochorická, V = konst. talehoObjemu} V počátečním stavu 1 má plyn tlak p1 a objem V1. Teplotu T1 určíme ze stavové rovnice p1V1 = nmRT1. V konečném stavu 2 má plyn tlak p2, objem V2 = V1 a teplotu T2 určíme rovněž se stavové rovnice p2V1 = nmRT2. Z obou rovnic dostaneme p2 p1 = T2 T1 , Gay­Lussacův zákon (5.15){3.2-10} {ram-118} tj. vyjádření, že tlak ideálního plynu ze stálého objemu je úměrný absolutní teplotě2 (Gay Lussacův zákon). 2 Protože p = (nmR/V )T = konst. T při V =konst. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 234 5.5. STAVOVÉ ZMĚNY IDEÁLNÍHO PLYNU V pracovním diagramu je izochorická změna znázorněna úsečkou V = konst., která se nazývá izochora (obr. 5.6). Při izochorické změně objem plynu zůstává stálý, tj. V = konst., dV = 0, plyn tedy nekoná práci (W = pdV = 0) a podle první věty termodynamické (viz rovnice 5.10) se dodané teplo rovná přírůstku vnitřní energie Q12 = nm 2 1 dU = nm(U2 - U1) = nm T2 T1 cV dT = nmcV (T2 - T1) . Molová tepelná kapacita podle definice (viz rovnice 4.31) je cV = Q nmdT = dU nmdT . p p2 p1 V 2 1 V = V1 2 Obr. 5.6{obr3.2-6} p VV2V1 1 2 p = p1 2 'W12 Obr. 5.7{obr3.2-7} 5.5.2 Změna za stálého tlaku ­ izobarická, p =konst. StalehoTlaku} V počátečním stavu 1 má plyn tlak p1 a objem V1. V konečném stavu 2 bude tlak p2 = p1 a objem V2. Příslušné teploty určíme ze stavové rovnice p1V1 = nmRT1 a p1V2 = nmRT2. Podělením obou rovnic dostaneme V2 V1 = T2 T1 , (5.16){3.2-11} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 235 5.5. STAVOVÉ ZMĚNY IDEÁLNÍHO PLYNU tj. vyjádření, že objem ideálního plynu za konstantního tlaku je úměrný absolutní teplotě3 (Gay ­ Lussacův zákon). V pracovním diagramu je izobarická změna znázorněna úsečkou 1­2, rovnoběžnou s osou V a nazývá se izobara (obr. 5.7). Podle první termodynamické věty se dodaným teplem plynu zvýší jeho vnitřní energie a současně plyn vykoná práci zvětšením objemu. Práce W12 plynem vykonaná při přechodu ze stavu 1 do stavu 2 je rovna (při platnosti p1 = p2 = konst.) W12 = V2 V1 p1dV = p1(V2 - V1) . Přijatým teplem se plyn ohřeje a zvětší objem, tj. zvýší se jeho vnitřní energie a vykoná práci. Tato práce je v pracovním diagramu obr. 5.7 znázorněna plochou obdélníka pod izobarou 1­2. Práci W12 můžeme vyjádřit užitím stavové rovnice pV = nmRT W12 = p1(V2 - V1) = nmR(T2 - T1) a celkové dodané teplo Q12 ze vztahu Q = nmcV dT + pdV Q12 = nmcV T2 T1 dT + p1 V2 V1 dV . ve kterém jsme využili toho, že tlak plynu je konstantní, nezávisí tudíž na V a lze jej jako konstantu vytknout před integrál. Získáme tak vztah pro dodané teplo Q12 = nmcV (T2 - T1) + p1(V2 - V1) = nmcV (T2 - T1) + nmR(T2 - T1) = = nm(cV + R)(T2 - T1) = nmcp(T2 - T1) , kde cp = cV + R je molová tepelná kapacita za konstantního tlaku a nm je látkové množství plynu (pokud není řečeno jinak, pracujeme obvykle s jedním kilomolem plynu, tj. nm = 1). 5.5.3 Změna za stálé teploty ­ izotermická, T = konst. StaleTeploty} Teplota počátečního stavu T1 zůstává stejná a tedy i teploty konečného stavu T2 = T1, (dT = 0). Stav plynu popisujeme objemem a tlakem p1V1 = p2V2 = nmRT1 = nmRT2 = konst. Boyleův­Mariottův zákon (5.17){3.2-12} {ram-119} Součin objemu a tlaku je konstantní (Boyleův­Mariottův zákon). Izotermická změna je v pracovním diagramu (obr. 5.8) znázorněna čarou zvanou izoterma. Představuje ji část větve rovnoosé hyperboly, jejíž asymptoty jsou souřadnicové osy. Izotermy pro různé teploty mění tvar i polohu. Z první termodynamické věty (viz rovnice 5.10 za současné platnosti dU = 0) plyne, že vnitřní energie ideálního plynu při izotermické expanzi se spotřebuje na práci, kterou plyn vykoná proti vnějším silám, tj. Q = pdV = W (dU = 0). 3 Protože V = (nmR/p)T = konst. T při p =konst. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 236 5.5. STAVOVÉ ZMĚNY IDEÁLNÍHO PLYNU V p T1 T > T > T3 2 1 T 1 2 T2 'W12 Obr. 5.8{obr3.2-8} Práce W12 vykonaná plynem při změně z počátečního stavu 1 (o tlaku p1, objemu V1) do konečného stavu 2 (p2, V2) je rovna dodanému teplu Q12 (p vyjádříme ze stavové rovnice ve tvaru p = nmRT V ) Q12 = W12 = 2 1 pdV = nmRT1 V2 V1 dV V = nmRT1 ln V2 V1 . (5.18){3.2-13} Tato práce je znázorněna v p­V diagramu na obr. 5.8 plochou pod izotermou ze stavu 1 do 2. Při izotermické expanzi (V2 > V1) dodáváme teplo a plyn koná kladnou práci. Při izotermické kompresi (V1 > V2) se teplo plynu odnímá, ale teplota se nemění a kompresní práce okolí je stejná, jaká byla v předchozím případě práce vykonaná plynem při jeho rozpínání, tj. W12. Molovou tepelnou kapacitu při izotermické změně dostaneme formálně dle definice cT = Q nmdT . (5.19){Nova3.2-13} Nekonečně veliká molová tepelná kapacita znamená, že přiváděné teplo nezpůsobí růst teploty, ale plyn koná ekvivalentní práci. Při expanzi Q > 0 a cT +, při kompresi Q < 0 a cT -. 5.5.4 Změna adiabatická aAdiabaticka} Adiabatická změna probíhá v soustavě za dokonalé tepelné izolace od okolí. Podmínkou této změny je Q = 0. Mechanicky však soustava izolovaná není. Adiabatická změna je charakterizována změnou tlaku, objemu i teploty. Z první termodynamické věty (rovnice 5.10) dostaneme pro nm kilomolů ideálního plynu nmcV dT + pdV = 0 . (5.20){3.2-1313} Abychom tento děj graficky znázornili v pracovním diagramu, musíme změnu teploty vyjádřit pomocí změn tlaku a objemu. Použijeme-li stavové rovnice v diferenciálním tvaru pdV + V dp = nmRdT , (5.21)Nova3.2-1313} pak vyloučením dT z 5.20 a 5.21 a použitím Mayerova vztahu cp = cV + R dostaneme cp dV V + cV dp p = 0 (5.22){3.2-131313} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 237 5.5. STAVOVÉ ZMĚNY IDEÁLNÍHO PLYNU Po zavedení Poissonovy konstanty cp cV = a po provedení separace proměnných nabude rovnice 5.22 tvar dV V = dp p (5.23)oissRceKappa} a integrací pak pV = konst. Poissonova rovnice (5.24){3.2-14} {ram-120} Tato rovnice popisuje v pracovním diagramu stavy, kterými plyn při adiabatické změně prochází, a nazýváme ji Poissonovou rovnicí. Křivka v pracovním diagramu se nazývá adiabata (obr. 5.9). Adiabata je všude strmější než izoterma, neboť > 1. V p izoterma adiabata 1 2'W12 Obr. 5.9{obr3.2-9} adiabaty izotermy p V Obr. 5.10{obr3.2-10} Adiabaty se kvalitativně podobají izotermám (obr. 5.10), ale mezi stavovými změnami je zásadní rozdíl. Při adiabatické změně je dokonalá tepelná izolace systému, při izotermické změně je dokonalý přenos tepla. Při adiabatické změně plyn koná práci na úkor vnitřní energie, při izotermické změně zůstává vnitřní energie konstantní. Práci nm kilomolů plynu při adiabatické expanzi4 dostaneme z rovnice W = pdV = -nmcV dT 4 Platí Q = nmcV dT + pdV ; Q = 0 pdV = -nmcV dT. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 238 5.5. STAVOVÉ ZMĚNY IDEÁLNÍHO PLYNU integrací W12 = 2 1 pdV = -nmcV T2 T1 dT = nmcV (T1 - T2) , (5.25){3.2-15} nebo dosadíme-li za p z Poissonovy rovnice5 (5.24) , tj. p = konst./V : W12 = konst. V2 V1 dV V = konst. V2 V1 V dV = 1 - + 1 konst. V -+1 2 - V -+1 1 = = 1 - 1 konst. V1 V 1 - konst. V2 V 2 = 1 - 1 (p1V1 - p2V2) = nm - 1 R(T1 - T2) . Tento výsledek je shodný s (5.25), uvědomíme-li si, čemu se rovná výraz R/( - 1). Práce plynu je znázorněna v diagramu na obr. 5.9 plochou pod adiabatou ze stavu 1 do stavu 2. 5.5.5 Změna polytropická Polytropicka} Izotermická, ani adiabatická změna není přesně realizovatelná. Skutečně expanzní a kompresní děje můžeme zobrazit v p­V diagramu čarami typu pV n = konst., které se nazývají polytropy. Polytropická změna je děj, při kterém měrná tepelná kapacita systému zůstává konstantní c = konst. = Q nmT . Měrná tepelná kapacita v tomto případě představuje množství tepla potřebné ke zvýšení teploty o 1 K látkového množství 1 kilomolu při dané polytropické změně. Odvodíme rovnici polytropy pro ideální plyn z první termodynamické věty pro jeden kmol plynu ve tvaru Q = dU + pdV cdT = cV dT + pdV . (5.26){3.2-16} V získané rovnici vystupují všechny při parametry: p, V a T. Jeden z nich můžeme vyloučit použitím stavové rovnice. Abychom dostali rovnici polytropy hned v proměnných p a V , vyloučíme T. Zdiferencujeme stavovou rovnici pro jeden kilomol pV = RT: pdV + V dp = RdT . (5.27){3.2-17} Z rovnic (5.26) a (5.27) vyloučíme dT a uspořádáme stejné členy, dostaneme (c - cV - R)pdV + (c - cV )V dp = 0 . Využitím Mayerova vztahu (5.13) a podělením rovnice pV , dostaneme diferenciální rovnici (c - cp) dV V + (c - cV ) dp p = 0 , (5.28){3.2-18} jejíž řešení je (c - cp) ln V + (c - cV ) ln p = Konst. (5.29){3.2-Nova18} Tuto rovnici podělíme (c - cV ) (to je možné, jestliže platí c = cV ), (c - cp) (c - cV ) ln V + ln p = ln(konst.), 5 (pV = konst.) Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 239 5.5. STAVOVÉ ZMĚNY IDEÁLNÍHO PLYNU pak rovnici odlogaritmujeme a dostaneme pV n = konst. , rovnice polytropy (5.30){3.2-19} kde n = c - cp c - cV exponent polytropy (5.31){ExpPolytr} je exponent polytropy. K určení charakteru polytropické změny pro c = cV vyjdeme z rovnice (5.29). Tato rovnice nabude tvar (c-cp) ln V = Konst, odkud je vidět, že V je v průběhu procesu konstantní. Při c = cV se tedy jedná o izochorický děj. Pro reálné plyny polytropický exponent n má hodnotu 1 < n < . Pro n = 1 je polytropa izotermou a pro n = je adiabatou (obr. 5.11). p V nÍÉ n = -1 2 n = -1 n = 0 n = n = 1 n = 1 2 Obr. 5.11{obr3.2-11} Všechny vratné změny můžeme považovat za zvláštní případy polytropické změny. Je-li n = 0, pak pV 0 = konst., čili p = konst. a dostáváme izobaru. Pro n lim n pV n = konst., lim n p 1 n V n n = konst.1/n = K , lim n p 1 n V = 1, takže V = K a představuje změnu izochorickou. Pro výpočet práce pro polytropickou změnu ze stavu 1 do stavu 2 napíšeme rovnici polytropy ve tvaru pV n = p1V n 1 = p2V n 2 , kde p1, V1 a p2, V2 jsou hodnoty tlaku a objemu v počátečním a koncovém stavu. Vyjádříme tlak p pomocí objemu V v počátečním stavu p = p1V n 1 V -n . Dosadíme-li za tlak do rovnice pro práci vykonanou plynem při přechodu ze stavu 1 do stavu 2, dostaneme W12 = V2 V1 pdV = p1V n 1 V2 V1 dV V n . (5.32){3.2-20} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 240 5.5. STAVOVÉ ZMĚNY IDEÁLNÍHO PLYNU Pro n = 1 je integrál roven V2 V1 dV V n = 1 n - 1 1 V n-1 1 - 1 V n-1 2 , po dosazení do rovnice (5.32) vyjde W12 = p1V1 n - 1 1 - V1 V2 n-1 . (5.33){3.2-21} Použijeme-li stavové rovnice (viz (4.4)) pro nm = M/Mm kilomolů, lze počáteční stav plynu vyjádřit p1V1 = M Mm RT1 , a rovnice pro práci nabude tvaru W12 = M Mm RT1 (n - 1) 1 - V1 V2 n-1 . (5.34){3.2-22} Výrazy (5.33) a (5.34) popisují práci vykonanou ideálním plynem při libovolném polytropickém procesu, vyjma izotermického procesu, poněvadž jsme z našeho řešení vyloučili možnost n = 1. KP 5.5-1{pr3.2-2} Jak se změní vnitřní energie 0,003 kmol kyslíku O2 při ohřátí z 10 C na 60 C, probíhá-li proces a) při konstantním objemu, b) při konstantním tlaku, c) ohřeje-li se plyn následkem adiabatického stlačení? Vypočtěte, kolik tepla je zapotřebí k tomuto ohřátí při uvedených dějích. Řešení: Předpokládejme, že se kyslík chová jako ideální plyn. Pak změna jeho vnitřní energie je úměrná změně teploty a nezávislá na ostatních veličinách. Tedy při všech uvedených dějích je U = nmcV T = nm 5 2 RT = 3 10-3 kmol 5 2 8 314 J kmol-1 K-1 50 K = 3,12 103 J . * Při ději za konstantního objemu plyn práci nekoná (W12 = 0) a podle první termodynamické věty U = Q, tj. změna vnitřní energie je přímo rovna dodanému teplu. * Při ději za konstantního tlaku jen část dodaného tepla zvýší vnitřní energii, zbytek se přemění v práci, kterou plyn současně koná Q12 = U + W12 . Je tedy zapotřebí více tepla (cp = cV + R = 5 2 R + R = 7 2 R) Q12 = nmcpT = 3 10-3 kmol 7 2 8 314 J kmol-1 K-1 50 K = 4,37 103 J . * Při adiabatickém ději je teplo Q plynu dodané Q = 0 a změna vnitřní energie je tak rovna práci vnějších sil U = -pdV = -W12 = W12. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 241 5.6. TEPELNÉ STROJE A CARNOTŮV KRUHOVÝ DĚJ 5.6 Tepelné stroje a Carnotův kruhový děj trojeaCarnot} Tato část je pro termodynamiku důležitá. Jsou v ní vyloženy základní pojmy a veličiny: kruhový děj (odst. 5.6.1), Carnotův kruhový děj (odst. 5.6.2) a tepelné stroje (odst. 5.6.3). V odst. 5.6.4 je zavedena a vyšetřena absolutní termodynamická stupnice teploty. Účinností nevratných dějů se zabývá odst. 5.6.5, kde je vyslovena i Carnotova věta. Cíl: I) Definovat a vyložit pojmy, veličiny a zákonitosti uvedené v rámečcích. II) Samostatně řešit příklady uvedené v tomto textu a podobného typu, řešení zdůvodnit a nakreslit náčrtky. 5.6.1 Kruhové děje {KruhoveDeje} Z předchozích úvah plyne, že v kruhových dějích nelze všechno přijaté teplo zcela přeměnit na práci. K přeměně tepla v práci je třeba převést pracovní plyn po skončené expanzi opět do počátečního stavu, aby plyn mohl opět expandovat. Nechť soustava přechází expanzí z rovnovážného stavu 1 do stavu 2 (obr. 5.12) a pak kompresí ze stavu 2 do původního stavu 1. Předpokládejme, že zvětšení objemu se děje podél křivky 1a­2. Stlačování může probíhat podél téže křivky v opačném směru 2­a­1 za stejných teplot a tato práce, kterou nyní plyn při expanzi vykoná, se rovná práci, kterou vykonaly vnější síly při kompresi. Komprese však může probíhat jinak, např. podél křivky 2­b­1. Soustava pak prochází jinými teplotami než při expanzi. p V 1 2 34 b a 'W Obr. 5.12{obr3.2-12} Každý děj zobrazený v pracovním diagramu uzavřenou křivkou se nazývá kruhový děj nebo cyklus. Práce vykonaná systémem při přechodu ze stavu 1 do stavu 2 je vyznačena plochou obrazce 1­a­2­3­4­1. Tato práce W1 > 0. Práce při stlačování, tj. při přechodu systému ze stavu 2 po křivce b do stavu 1, je znázorněna plochou obrazce 1­b­2­3­4­1, tato práce W2 < 0. Úhrnná práce W > 0 vykonaná systémem je vyjádřena plochou uvnitř křivky. Vnitřní energie U systému je stavovou funkcí a její změna je určena jen počátečním a konečným stavem. Po průchodu cyklem je systém v původním stavu, změna vnitřní energie je proto rovna nule. Z první termodynamické věty dU = Q + W (viz např. (5.10)) plyne 0 = Q + W Q = - W . Integrál Q určuje celkové teplo dodané systému a W = W(= -W ) celkovou práci vnějších sil, tedy Q = -W(= W ). Podle obr. 5.12 je teplo přijaté při rozpínání plynu Q1 > 0 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 242 5.6. TEPELNÉ STROJE A CARNOTŮV KRUHOVÝ DĚJ a práce vykonaná plynem W1 > 0, při kompresi pak teplo přijaté Q2 < 0 a vykonaná práce W2 < 0. Tedy Q1 + Q2 = W1 + W2. Celková práce vykonaná plynem W = W1 + W2 je však kladná. Soustava, která přijala teplo Q1 > 0 a odevzdala teplo Q2 > 0, pak vykoná práci W = Q1 - Q2. Soustavu, která provádí takovýto cyklus, nazýváme tepelný stroj. Při konání práce na účet dodaného tepla soustavě je splněn zákon zachování energie. Pro praxi má význam ta část přijatého tepla Q1, která se přeměňuje v práci W . Zavádí se pojem účinnosti6 cyklu = W Q1 = Q1 - Q2 Q1 . účinnost cyklu (5.35){3.2-23} {ram-121} Obrácený cyklus probíhá při expanzi podél křivky 1­b­2 a přitom koná práci W2 > 0 a přijímá teplo Q2 > 0, při stlačování probíhá po dráze 2­a­1, přičemž odevzdá teplo Q1 > 0 a vnější síly vykonají práci W1 > 0 (W1 < 0). Úhrnná práce vykonaná plynem, tj. W = W2 + W1, je záporná, práce vnějších sil W = -W je kladná. Odevzdané teplo systémem Q1(> 0) je větší, než teplo přijaté Q2(> 0), a proto pro ně platí Q1 = Q2 + W . (5.36){Nova5.24} Stroj, který pracuje podle tohoto cyklu, je chladicí stroj. Expanze probíhá při nižších teplotách než komprese, stroj přijímá teplo při nižších teplotách a odevzdává je při teplotách vyšších. 5.6.2 Carnotův kruhový děj notuvKruhovy} V termodynamice má základní teoretický význam kruhový děj skládající se z izotermické a adiabatické expanze soustavy, po nichž následuje izotermická a adiabatická komprese do výchozího stavu. Tento cyklus se nazývá Carnotův kruhový děj (obr. 5.13). Při izotermických dějích je pracovní látka v tepelném styku se zdrojem nebo jímačem tepla. Při adiabatických změnách je tepelně dokonale izolována. Předpokládejme, že pracovní látkou je jeden kilomol ideálního plynu. Z počátečního stavu 1 charakterizovaného tlakem p1, objemem V1 a teplotou T1, přejde plyn izotermickou změnou do stavu 2 (p2, V2, T1), přičemž získá7 od tepelného zdroje (okolí) teplo Q1 > 0 a vykoná práci W1 > 0 danou vztahem8 0 < W1 = Q1 = V2 V1 pdV = RT1 ln V2 V1 . (5.37){Nova5.25} Přechod ze stavu 2 (p2, V2, T1) do stavu 3 (p3, V3, T2) probíhá adiabatickou expanzí, při níž teplota klesne z T1 na T2 a práci plynu (kladnou) určíme (viz např. (5.25)) ze vztahu 0 < W2 = cV (T1 - T2) . (5.38){Nova5.26} Ze stavu 3 (p3, V3, T2) do stavu 4 (p4, V4, T2) přechází plyn izotermickou kompresí a odevzdává teplo Q2 > 0. K uskutečnění komprese vykoná okolí kladnou práci 0 < W3 = Q2 = -RT2 ln V4 V3 (= -W3) . (5.39){Nova5.27} 6 Obsahuje v podílu to, co chceme získat (v tomto případě práci), s tím, čím musíme ,,zaplatit , tj. s dodaným teplem. 7 Tedy okolí plynu dodá teplo Q1 > 0. 8 Ze vztahu (5.18) Q = cV dT + pdV totiž pro dT = 0 (pro izotermický děj, tedy T = konst.) plyne např. rovnice (5.18). Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 243 5.6. TEPELNÉ STROJE A CARNOTŮV KRUHOVÝ DĚJ p V T2 T > T1 2 1 2 3 4 p4 p1 p2 p3 V1 Q1 T1 Q1 izotermická expanze adiabatická expanze izotermická komprese adiabatická komprese 'Q2 V2 V4 V3 T2 'Q2 'W Obr. 5.13{obr3.2-13} Do původního stavu 1 (p1, V1, T1) se plyn dostane adiabatickou kompresí, teplota se zvýší z T2 na T1, přitom plyn vykoná zápornou práci 0 > W4 = cV (T2 - T1) . (5.40){Nova5.28} Aby se plyn při adiabatické kompresi vrátil do původního stavu 1, musí být splněna podmínka V2 V1 = V3 V4 , (5.41){Nova5.29} která plyne z podmínky, že stavy 1 a 4 leží na stejné adiabatě, p1V 1 = p4V 4 a stavy 2 a 3 rovněž na adiabatě p2V 2 = p3V 3 . Dosadíme-li do uvedených vztahů ze stavové rovnice pro jeden kilomol plynu p1V1 = RT1, p2V2 = RT1, p3V3 = RT2, p4V4 = RT2 a rovnice upravíme, pak dostaneme V1 V4 -1 = T2 T1 a V2 V3 -1 = T2 T1 , z čehož ihned plyne žádaná podmínka. Práce, kterou vykonal plyn při jednom cyklu, je W = W1+W2+W3+W4 = RT1 ln V2 V1 +cV (T1-T2)+RT2 ln V4 V3 +cV (T2-T1) = RT1 ln V2 V1 +RT2 ln V4 V3 , (5.42){Nova5.30} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 244 5.6. TEPELNÉ STROJE A CARNOTŮV KRUHOVÝ DĚJ neboť práce W2 a W4 se při adiabatických změnách kompenzují. Z platnosti vztahu (5.41) pak plyne, že celková práce vykonaná plynem bude W = RT1 ln V2 V1 - RT2 ln V3 V4 = RT1 ln V2 V1 - RT2 ln V2 V1 = R ln V2 V1 (T1 - T2) > 0 . (5.43){Nova5.31} 5.6.3 Tepelné stroje epelneStroje} Pro účinnost tepelného Carnotova cyklu plyne z (5.35) = W Q1 = RT1 ln V2 V1 - RT2 ln V3 V4 RT1 ln V2 V1 = T1 - T2 T1 = Q1 - Q2 Q1 . účinnost tepelného Carnotova cyklu (5.44){3.2-24} {ram-122} Účinnost Carnotova kruhového děje závisí tedy jen na teplotě zdroje tepla T1 a na teplotě jímače T2. Čím větší je rozdíl mezi T1 a T2, tím je větší ­ tím větší část tepla přijímaného ze zdroje se přemění na práci a tím méně tepla odevzdá jímači tepla. Účinnost tepelného stroje by se rovnala jedné, jen kdyby T2 = 0, tj. teplota jímače by se rovnala absolutní nule. Protože Carnotův cyklus je děj vratný, lze jej vykonat i v obráceném směru. Stroj provádějící obrácený Carnotův cyklus je ideální chladicí stroj, při kterém plyn odebere chladnějšímu tělesu teplo Q2(> 0) (to ,,chceme ) a odevzdá teplejšímu tělesu teplo Q1(> 0) a vnější síly konají práci W(> 0) (tím ,,platíme ). Chladicí stroj tedy pracuje s účinností = Q2 W = Q2 Q1 - Q2 = T2 T1 - T2 , účinnost chladicího stroje (5.45){3.2-25} která udává množství tepla cyklem odejmuté ochlazovanému tělesu při dodání jednotkové mechanické práce. Schématicky je funkce tepelného a chladícího stroje konajícího vratný Carnotův děj v přímém i obráceném směru znázorněna na obr. 5.14 a obr. 5.15. Na obr. 5.14a a obr. 5.15a je znázorněn tepelný stroj a chladicí stroj. Q1 Q 'W = Q a) b) 'Q2 T1 T2 T1 'Q - Q1 2 'W Obr. 5.14{obr3.2-14} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 245 5.6. TEPELNÉ STROJE A CARNOTŮV KRUHOVÝ DĚJ Q QQ2 a) b) W Obr. 3.2-15 T2 T1 T1 'Q1 T2 Obr. 5.15{obr3.2-15} Účinnost těchto strojů je maximální, když splňují podmínku Q1 Q2 = Q1 Q2 T1 T2 , a je podle vztahu (5.44) vždy menší než jedna. Na obr. 5.14b a obr. 5.15b je znázorněn nerealizovatelný tepelný stroj a chladicí stroj mající účinnost rovnou jedné. 5.6.4 Absolutní termodynamická stupnice teploty pniceTeploty} Termodynamická teplotní stupnice je definována na základě vztahu (5.44) pro tepelnou účinnost vratného Carnotova děje, která nezávisí na použité látce. Tato rovnice byla odvozena pro ideální plyn, ale podle Carnotovy věty je ji možno zobecnit i na Carnotův vratný děj s libovolnou pracovní látkou. Pro danou látku při Carnotově vratném ději je důležité vybrat vhodné izotermy a adiabaty tak, aby byly přesně splněny definované požadavky, tj., aby děj proběhl mezi přesně definovanými teplotami. K definování absolutní termodynamické stupnice teploty se používá měrného systému realizovaného termostaty s tajícím ledem a vroucí vodou za normálních podmínek, jímž přísluší izotermy s teplotami 0 a 100 Celsiovy stupnice. Izoterma s teplotou T (leží v p­V diagramu mezi izotermami T0 a T100) reprezentuje termostat, jehož teplotu chceme změřit. Tento termostat je výhodné realizovat jako tající soustavu (nebo vařící se) chemicky čistou látkou jako při T0 a T100. Takové soustavy jsou vhodné protože; 1. automaticky si udržují konstantní teplotu; 2. dodané (odebrané) teplo v lázních můžeme změřit podle změny relativního obsahu fází, které jsou zde v rovnováze, přitom využít znalost měrného skupenského tepla tání (varu) látky. Přiřadíme-li teplotě T0 vhodnou číselnou hodnotu, např T0 = 273,16 K pro trojný bod vody, je teplota látky T, kterou chceme měřit, určena vztahem T = T0 Q Q0 , (5.46){3.2-26} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 246 5.6. TEPELNÉ STROJE A CARNOTŮV KRUHOVÝ DĚJ v němž Q je teplo, které látka pracující ve vratném Carnotově ději přijme při teplotě T, a Q0 je teplo, které látka odevzdá při teplotě T0. Tím je měření teploty převedeno na měření tepla, a to nezávisle na pracovní látce. Poznámka: Experimentálně byla určena hodnota pro bod tání ledu 273,15 K. Tento údaj přísluší absolutní plynové stupnici. Výsledek potvrzuje, že plynová absolutní stupnice a termodynamická absolutní stupnice jsou identické. Definici termodynamické stupnice vypracoval Kelvin (v roce 1848) a nazývá se také Kelvinova stupnice teploty. Tato stupnice nepřipouští záporné teploty. 5.6.5 Účinnost nevratných dějů stNevratnych} Ideální plyn konající vratný děj nahradíme libovolnou látkou a budeme hledat účinnost tohoto děje. Označme účinnost Carnotova děje s ideálním plynem i a jinou látkou r a předpokládejme, že r > i. Pro přímý směr kruhového děje (pro tepelný stroj) dostaneme pro práci vykonanou systémem z rovnice pro účinnost = W /Q1 vztah W = Q1 a nahradíme-li Q1 ze vztahu W = Q1 - Q2 Q1 = W + Q2, dostaneme W = (W + Q2) = W + Q2 W = 1 - Q2 . (5.47){3.2-Nova26} Pro obrácený směr (chladicí stroj) platí pro účinnost vztah (5.45) = Q2 W = -Q2 -W = Q2 W , do kterého můžeme dosadit z rovnice (5.47) např. za W , a dostaneme = 1 Q2 (1 - ) Q2 = 1 - . Tímto způsobem můžeme získat pro obrácený směr vztah pro práci W W = Q2 W = Q2 = 1 - Q2 . Kruhový děj s libovolnou látkou proběhne n­krát za sebou v přímém směru (tepelný stroj) mezi zdrojem tepla o teplotě T1 a jímačem teploty T2. Získáme tak práci nWr = r 1 - r nQ2,r . (5.48){3.2-27} Carnotův děj s ideálním plynem proběhne m­krát v obráceném směru (chladicí stroj) mezi stejnými teplotami. Vnější síly vykonají práci mWi = i 1 - i mQ2,i . (5.49){3.2-28} Čísla m a n volíme tak, aby nQ2,r = mQ2,i. Za předpokladu, že r > i plyne z (5.48) a (5.49) nWr mWi = r i (1 - i) (1 - r) > 1 , tj. proběhne-li přímý děj n­krát a obrácený m­krát, je celková vykonaná práce strojem nWr mWi kladná, tj. získá se práce a přitom jímači tepla je odvedeno právě tolik tepla, kolik od něho Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 247 5.6. TEPELNÉ STROJE A CARNOTŮV KRUHOVÝ DĚJ nQ1,r 'mQ1,i §i 'nWr 'nQ = mQ2,i2,r T1 'W = nW - mWr i T2 §r mWi Obr. 5.16{obr3.2-16} bylo přijato (obr. 5.16). Oba stroje jako celek tvoří perpetum mobile druhého druhu ­ získáváme práci z tepla přijatého z tepelného zdroje, jímači se však žádné teplo nepředává. Jak uvidíme v dalších kapitolách, podle druhé termodynamické věty perpetum mobile druhého druhu není možné. Tedy předpoklad r > i je chybný. Předpoklad r < i také není možný. Oba děje necháme proběhnout v opačném směru a opět dostaneme perpetum mobile druhého druhu. Zbývá závěr, že r = i, tzn., že účinnost Carnotova děje pro jakoukoliv látku je stejná. Dokažme nyní, že účinnost libovolného nevratného tepelného stroje je vždy menší než účinnost vratného stoje. Jeden tepelný stroj pracuje nevratně, druhý vratně. Je-li účinnost nevratného stroje n větší než účinnost vratného stroje v (n > v), bylo by možné získanou prací nevratného stroje pohánět stroj vratný, dalo by se tedy sestrojit opět perpetum mobile druhého druhu, což není možné. Tedy platí n v. Z těchto výsledků plyne Carnotova věta. Účinnost všech Carnotových vratných dějů pracujících mezi stejnými teplotami (T1 > T2) je stejná a závisí jen na obou teplotách. KP 5.6.3-1{pr3.2-3} Izotermická expanze v Carnotově cyklu probíhá při 400 K a izotermická komprese při 300 K. Během expanze přejde do plynu 500 J tepla. Určete: a) práci vykonanou plynem během izotermické expanze; b) teplo odevzdané plynem při izotermické kompresi; c) práci při izotermické kompresi; d) celkovou práci vykonanou strojem během jednoho cyklu. Řešení: a) Práce W1 vykonaná během izotermické expanze je rovna přijatému teplu Q1 W1 = Q1 = 500 J . Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 248 5.7. DRUHÝ PRINCIP TERMODYNAMIKY A ENTROPIE b) Ze vztahu (5.35) pro účinnost Carnotova děje plyne pro teplo odevzdané plynem při izotermické kompresi T2 T1 = Q2 Q1 Q2 = Q1 T2 T1 = 500 J 300 K 400 K = 375 J . c) Při izotermické kompresi vykoná okolí práci W3 = Q2 = 375 J . d) Celková práce vykonaná strojem během jednoho cyklu W = W1 + W3 = W1 - W3 = Q1 - Q2 = 125 J . 5.7 Druhý princip termodynamiky a entropie PrincipTermo} Tato část je důležitá pro posouzení termodynamických jevů. V odst. 5.7.1 je definována druhá termodynamická věta. Entropie vratných dějů je vyšetřována v odst. 5.7.2 a nevratných dějů v odst. 5.7.3. V odst. 5.7.6 je diskutována entropie a druhá věta termodynamiky a v odst. 5.7.7 entropie a pravděpodobnost. Třetí věta termodynamiky je uvedena v odst. 5.7.8. Cíl: I) Zpaměti vztahy a uvedené zákony uvedené v rámečcích. II) Definovat a vyložit pojmy, veličiny a zákony uvedené v části ,,Obsah . III) Samostatně řešit příklady, řešení zdůvodnit a nakreslit náčrtky. První termodynamická věta vyjadřuje zákon zachování energie. Můžeme uvažovat termodynamické procesy, které sice zachovávají energii, ale ve skutečnosti nikdy nebudou probíhat. Např. přiložíme-li k sobě chladné a horké těleso, nikdy nenastane případ, že by horké těleso se více ohřálo a chladné ochladilo, přesto, že to neodporuje první termodynamické větě. Plyn samovolně expanduje do vakua a přitom nekoná práci. Nikdy nenastane obrácený proces. 5.7.1 Druhý princip termodynamiky DruhyPrincip} První termodynamická věta neznemožňuje převod práce úplně v teplo a naopak, pouze vyžaduje zachování energie. Druhá termodynamická věta se zabývá otázkami, proč některé procesy neprobíhají v přírodě, i když neodporují první termodynamické větě. Otázku, jak velkou práci lze obdržet z tepla, které bylo odebráno z tepelného zdroje, řešil Carnot. Jeho závěry zobecnilt Clausius, Thompson a Planck v princip, který se nazývá druhou termodynamickou větou. Existují její různé formulace : Teplo nemůže samovolně přecházet z tělesa chladnějšího na teplejší (Clausius).{Clausius} V této formulaci je podstatné slovo ,,samovolně , protože dodáním práce může přejít teplo z tělesa chladnějšího na teplejší. Není možné sestrojit periodicky pracující stroj, který by jen ochlazoval tepelný zdroj a konal rovnocennou práci (Thompson, Planck).mpson,Planck} Takový stroj se nazývá perpetum mobile druhého druhu. V této formulaci je podstatné slovo Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 249 5.7. DRUHÝ PRINCIP TERMODYNAMIKY A ENTROPIE ,,periodicky , poněvadž vratnou izotermickou expanzí ideálního plynu je možné po omezenou dobu konat práci pouze z dodaného tepla. V okolí libovolného počátečního stavu termicky homogenního systému existují adiabaticky nedosažitelné stavy (Caratheodory). Není možné sestrojit perpetum mobile druhého druhu (Ostwald). 5.7.2 Entropie při vratných dějích ePriVratnych} První termodynamická věta se týká jen pojmu vnitřní energie U. Druhá termodynamická věta se týká termodynamické veličiny zvané entropie, označované S. Pomocí této veličiny můžeme kvalitativně formulovat druhou termodynamickou větu. Začneme analýzou Carnotova děje. Pro účinnost tohoto děje platí (5.35) = W Q1 = Q1 - Q2 Q1 = T1 - T2 T1 , kde Q1(> 0) je teplo dodané plynu teplým zdrojem (zásobníkem), který se nachází na teplotě T1, a Q2(> 0) je teplo plynem odevzdané jímači tepla, který se nachází na teplotě T2(< T1). Položíme-li Q2 = -Q2, pak úpravou9 dostaneme Clausiovu rovnici Q1 T1 + Q2 T2 = 0 . Clausiova rovnice pro Carnotův děj (5.50){3.2-29} {ram-123} Tato rovnice říká, že součet veličin Q T je pro Carnotův děj roven nule. Clausiovu rovnici můžeme zobecnit pro libovolný vratný kruhový děj. Obr. 5.17 ukazuje libovolný vratný děj překrytý množinou izoterem. Skutečný děj můžeme aproximovat tak, že izotermy spojíme vhodně vybranými adiabatami (obr. 5.18), čímž dostaneme soubor Carnotových dějů. Proběhnutí jednotlivých Carnotových dějů je přesně ekvivalentní proběhnutí původního děje (obr. 5.19). p V Obr. 5.17{obr3.2-17} Je to proto, že sousední Carnotovy děje mají společnou izotermu a dvě okrajové adiabaty ve směrech navzájem opačných se ruší. Zvolíme-li teplotní izotermami dostatečně malé, můžeme libovolný skutečný děj aproximovat přesně pomocí posloupností adiabat a izoterem. Každý elementární děj probíhá obecně mezi jinými teplotami. Pak můžeme pro izotermicko­adiabatickou soustavu čar psát Q T = 0 , 9 Q1+Q2 Q1 = T1-T2 T1 1 + Q2 Q1 = 1 - T2 T1 Q2 Q1 = -T2 T1 Q2 Q1 + T2 T1 = 0 Q2 T2 + Q1 T1 = 0. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 250 5.7. DRUHÝ PRINCIP TERMODYNAMIKY A ENTROPIE p V Ti Ti+1 Q > 0i 'Qi+1 > 0'Qi+1 Obr. 5.18{obr3.2-18} p V 1 Obr. 5.19{obr3.2-19} nebo v limitě pro infinitezimální teplotní diferenci mezi izotermami Q T = 0 , Clausiova rovnice pro vratný děj (5.51){3.2-30} {ram-124} kde znamená, že integrál je vyčíslován přes celou uzavřenou křivku, tj. začíná a končí v libovolně zvoleném bodě křivky. Tuto rovnici nazýváme Clausiovou rovnicí pro libovolný vratný kruhový děj. Je-li integrál nějaké veličiny po uzavřené křivce roven nule, pak veličinu nazýváme stavovou veličinou, tj. má hodnotu, která záleží pouze na stavu systému a ne na způsobu, jakým byl dosažen. V tomto případě veličinu S nazýváme entropií a platí dS = Q T definice změny entropie (5.52){3.2-31} {ram-125} a dS = 0 . (5.53) Hlavní jednotkou entropie sytému je J K-1. Vztahujeme-li entropii na jednotku látkového množCopyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 251 5.7. DRUHÝ PRINCIP TERMODYNAMIKY A ENTROPIE ství nebo hmotnosti, pak jednotka molové entropie je J K-1mol-1 a jednotka měrné entropie J K-1kg-1. Vlastnosti stavové veličiny dS = 0 můžeme vyjádřit tvrzením, že dS mezi dvěma rovnovážnými stavy má stejnou hodnotu pro všechny vratné10 cesty spojující tyto dva stavy. Rovnici (5.52) můžeme psát ve tvaru 2 1(a) dS + 1 2(b) dS = 0 , kde 1 a 2 jsou libovolně volné stavy a (a) a (b) popisují cesty spojující oba body vyjadřující stavy (obr. 5.20). Protože děj je vratný, můžeme psát 2 1(a) dS - 2 1(b) dS = 0 2 1(a) dS = 2 1(b) dS . Poslední rovnost říká, že veličina 2 1 dS mezi dvěma rovnovážnými stavy 1 a 2 systému nezávisí na cestě spojující tyto stavy. Cesty (a) i (b) jsou zcela libovolné. p V a b 1 2 Obr. 5.20{obr3.2-20} Změna entropie mezi dvěma stavy 1 a 2 je S2 - S1 = 2 1 dS = 2 1 Q T . změna entropie pro vratný děj (5.54){3.2-32} {ram-126} Hodnota tohoto integrálu nezávisí na integrační cestě ­ můžeme jej tedy vyčíslit pro libovolný vratný děj (tj. libovolnou křivku) spojující tyto stavy. KP 5.7-1{pr3.2-4} Odvoďte vztah pro změnu entropie nm kilomolů ideálního plynu, přejde-li plyn vratným způsobem ze stavu 1 (p1, V1, T1) do stavu 2 (p2, V2, T2). Řešení: Při elementární změně stavu plynu, která probíhá při teplotě T a při níž plyn přijme teplo Q, je změna entropie dS = Q T . 10 Tj. takové, u kterých známe stavové ,,souřadnice p, V , a T, kterými plyn prochází ze stavu 1 do 2. Jinak bychom totiž nemohli integrál spočítat. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 252 5.7. DRUHÝ PRINCIP TERMODYNAMIKY A ENTROPIE Podle první termodynamické věty je Q = dU + W , tedy dS = 1 T (dU + W ) = 1 T (nmcV dT + pdV ) = nm(cV dT T + R dV V .) Při úpravě jsme použili stavové rovnice (4.4) ideálního plynu11. Změna entropie při vratném přechodu systému ze stavu 1 do stavu 2 je S = S2 - S1 = 2 1 dS = nmcV T2 T1 1 T dT + nmR V2 V1 1 V dV = nm(cV ln T2 T1 + R ln V2 V1 ) . 5.7.3 Entropie při nevratných dějích riNevratnych} Velký význam má průběh entropie při nevratných dějích, neboť umožňuje kvantitativně formulovat druhou termodynamickou větu. Entropie, stejně jako ostatní stavové veličiny, závisí pouze na stavu systému ­ musíme být tedy schopni vypočítat změnu entropie i pro nevratné děje, s požadavkem, aby začínaly a končily v rovnovážném stavu. Určíme změnu entropie dvou důležitých druhů nevratných změn ­ volnou expanzi a vedení tepla. 5.7.4 Volná expanze Mějme v kalorimetru umístěny dvě nádoby spojené kohoutkem (obr. 5.21). Jedna je naplněna plynem, ve druhé je vakuum. Po otevření kohoutku vyplní plyn obě nádoby. Plyn se rozpínal do vakua, nekonal žádnou práci (neposouval žádné stěny, píst atd.), tj. W = 0. Protože plyn je uzavřen tepelně nevodivými stěnami, nenastala výměna tepla s okolím, tedy Q = 0. Jen objem plynu se změnil z hodnoty V1 na V2 (V2 > V1). Je-li Q = 0 a W = 0, pak z první termodynamické věty plyne U = 0, neboli U2 = U1, kde 1 a 2 odpovídají počátečnímu a konečnému rovnovážnému stavu. Jedná-li se o ideální plyn, pak U závisí pouze na teplotě a ne na tlaku a objemu T1 = T2 (viz odst. 4.5). 1 2 Obr. 5.21{obr3.2-21} Volná expanze je nevratný děj, protože ztrácíme kontrolu nad stavovými ,,souřadnicemi prostředí p, V a T hned po otevření kohoutku mezi oběma nádobami. Existuje rozdíl entropií mezi konečným a počátečním rovnovážným stavem, ale nemůžeme jej vypočítat ze vztahu (5.54), protože ten platí (jsme schopni jej určit) jen pro vratný děj. Výpočet rozdílu entropií provedeme tak, že najdeme vratnou cestu (libovolnou), která popisuje oba rovnovážné stavy 1 a 2 a výpočet provedeme pro tuto cestu. Vhodnou vratnou změnou 11 pV = nmRT p T = nmR V pdV T = nmRdV V . Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 253 5.7. DRUHÝ PRINCIP TERMODYNAMIKY A ENTROPIE je izotermická expanze z V1 na V2 (V2 = 2V1). Toto odpovídá izotermické expanzi provedené mezi body 1 a 2 Carnotova děje. Rozdíl entropií pak vypočteme S2 - S1 = 2 1 Q T = nmR ln V2 V1 = nmR ln 2 . Toto je kladná hodnota ­ entropie systému při nevratném adiabatickém ději roste. 5.7.5 Vedení tepla Uvažujme dvě stejná tělesa, jedno (teplé) má teplotu T1 a druhé (studené) T2 (T1 > T2). Obě tělesa vložíme do nádoby s tepelně nevodivými stěnami, takže po určité době dosáhnou společné teploty T . Proces je adiabaticky nevratný, protože teplo se během procesu s okolím nevyměňuje. Pro výpočet změny entropie systému během procesu musíme najít vhodný vratný děj, který začíná a končí ve stejných rovnovážných stavech. Výpočet provedeme takto: použijeme tepelný zásobník, jehož teplotu můžeme plynule měnit. Zásobník má nejdříve teplotu T1, tedy teplotu teplejšího tělesa. Jeho dno pak dáme do styku s tímto teplejším tělesem a začneme pomalu vratně snižovat teplotu zásobníku na teplotu T < T1. Teplé těleso tak ztrácí entropii S1(< 0) S1 = - T T1 Q T = T T1 Q T , kde Q > 0 je teplo, které teplejší těleso odevzdá při teplotách, které jsou vyšší než T . Nyní uvažujme, že má zásobník teplotu T2 a pomalu ji začneme zvyšovat (vratně) na výslednou teplotu T > T2 tentokrát v kontaktu s chladnějším tělesem. Chladnější těleso přijímá teplo Q > 0, zvyšuje se jeho entropie a její změna S2(> 0) se rovná S2 = T T2 Q T . Obě tělesa jsou na teplotě T a systém, který se skládá z těchto dvou těles, je v konečném rovnovážném stavu a platí samozřejmě, že teplo ,,vydané teplejším rovná se teplu ,,přijatému studenějším, tj Q = Q . Celková změna entropie S pro celý systém je pak rovna součtu jednotlivých změn S1 a S2 S2 - S1 = S1 + S2 = - T T1 Q T + T T2 Q T . (5.55){3.2-33} Platí sice Q = Q(> 0), ale prvý integrál T T1 Q T je prováděn při stále vyšší teplotě než integrál druhý (dělíme tedy větším číslem), proto T T1 Q T < T T2 Q T Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 254 5.7. DRUHÝ PRINCIP TERMODYNAMIKY A ENTROPIE a S2 - S1 > 0. Entropie systému tedy celkově při tomto nevratném adiabatickém ději vzrostla. Výpočet změny entropie při reálném ději soustavy bez okolí provedeme následovně. Vybereme libovolný vratný děj, který má stejný počáteční a konečný rovnovážný stav jako reálný děj. Všechny takto zvolené vratné děje povedou ke stejné změně entropie, protože tato závisí pouze na počátečním a konečném stavu a ne na cestě, kterou je systém převeden z jednoho stavu do druhého, ať je vratný nebo nevratný. Růst entropie při nevratných dějích v izolovaných soustavách lze dokázat obecně. Nechť účinnost nevratného Carnotova děje n je menší, než účinnost vratného Carnotova děje v n = Q1 - Q2 Q1 < T1 - T2 T1 = v . (5.56){3.2-34} Nahradíme-li teplo Q2 odevzdané strojem chladnější lázni teplem Q2 přijatým od chladnější lázně (Q2 = -Q2), lze předchozí rovnici přepsat (Q1 > 0, T1, T2 > 0) na tvar Q1 T1 + Q2 T2 < 0 . (5.57){3.2-35} Tento vztah se nazývá Clausiova nerovnost pro nevratný Carnotův děj. Pro libovolný nevratný děj platí Clausiova nerovnost nevrat Q T < 0 . Clausiova nerovnost pro nevratný děj (5.58){3.2-36} p V 1 2 nevratný vratný Obr. 5.22{obr3.2-22} Nechť soustava přejde ze stavu 1 do stavu 2 nevratnou cestou a do původního stavu se vrátí po vratné12 cestě (obr. 5.22). Pro tento kruhový děj rovněž platí Clausiova nerovnost (5.58) a lze tedy psát Snevrat + 1 2 vrat Q T < 0 , tj. Snevrat - 2 1 vrat Q T < 0 . Podle definice entropie (viz (5.54)) pro vratné změny je 2 1 vrat Q T = (S2 - S1)vrat 12 Platí tedy (5.51) a (5.54). Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 255 5.7. DRUHÝ PRINCIP TERMODYNAMIKY A ENTROPIE a tak dostáváme výsledek13 (S2 - S1)vrat - Snevrat > 0 . míra nevratnosti děje (5.59){3.2-37} Z této úvahy plyne důležitý závěr, že pro obecný vratný děj je rozdíl entropie v konečném a počátečním stavu větší než Snevrat, tj. že platí (S2 - S1)vrat > Snevrat. Rozdíl vyjádřený rovnicí (5.59) je mírou nevratnosti vyšetřovaného děje. KP 5.7-2{pr3.2-5} a) Jeden kilogram vody teploty 273 K je ohříván teplem, které do něj přechází ze zásobníku tepla s konstantní teplotou 373 K s velkou tepelnou kapacitou. Teplota vody se tak zvýší na 373 K. Jaká je změna entropie vody, zásobníku tepla a jaká je celková změna entropie všech částí, které se účastní děje? b) 1 kg H2O byl nejdříve zahřátý teplem ze zásobníku o teplotě 323 K a po dosažení této teploty pomocí dalšího zásobníku na 373 K. Jaká je celková změna entropie systému? c) Jakým způsobem může být zahřáta H2O z 323 K na 373 K, aniž by se změnila celková entropie? Řešení: Ohřívání vody pomocí zásobníku tepla o stále vyšší teplotě je nevratný děj. Musíme najít vratný děj, kterým se převede 1 kg H2O z počátečního stavu (273 K) do konečného rovnovážného stavu (373 K). Postup: H2O uvedeme do tepelného kontaktu se zásobníkem, jehož teplota je nepatrně vyšší než teplota H2O , a rozdíl stále udržujeme. Potom změna entropie H2O SH2O = 2 1 Q T = mc T2 T1 dT T = mc ln T2 T1 je v případech a) i b) stejná SH2O = 1 kg 4,19 103 J kg-1 K-1 ln 373 273 = 1 307 J K-1 . Změna entropie zásobníku se stálou teplotou T2 SZás = Q T2 = mc(T1 - T2) T2 < 0 pro T2 > T1. Zde Q = mc(T1 - T2) < 0 je teplo přijaté zásobníkem za stálé teploty T2 (tzn., že teplo vydané zásobníkem je kladné). Dosazením dostaneme a) SZás = mc(T1-T2) T2 = 1 kg4103 J kg-1 K-1(-100) K 373 K = -1 123 J K-1 b) SZás = mc(T1-T3) T3 - mc(T2-T3) T2 = -1 210 J K-1, kde T3 = 323 K; T1 - T3 = -50 K; T2 - T3 = 50 K. Celková změna entropie je součtem změn entropie vody a zásobníku: S = SH2O + SZás , 13 Snevrat - (S2 - S1)vrat < 0 (S2 - S1)vrat - Snevrat > 0. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 256 5.7. DRUHÝ PRINCIP TERMODYNAMIKY A ENTROPIE a) S = 1 307 J K-1 - 1 123 J K-1 = 184 J K-1 b) S = 1 307 J K-1 - 1 210 J K-1 = 67 J K-1. c) Celková entropie by se nezměnila, kdybychom postupně ohřívali H2O pomocí velkého počtu zásobníků s teplotami odstupňovanými od 273 K do 373 K anebo užitím jednoho zásobníku s proměnnou teplotou, což odpovídá provedení ohřívání H2O vratně. 5.7.6 Entropie a druhá termodynamická věta tropieADruha} Druhou termodynamickou větu můžeme formulovat pomocí entropie. Tato věta je zobecněním zkušenosti, nemůžeme ji dokázat, ale jen zapsat a ukázat, že naše tvrzení je v souhlase s experimentem a je ekvivalentní s formulací této věty. Druhá termodynamická věta se dá vyslovit: Přirozený děj, který začíná v jednom rovnovážném stavu a končí ve druhém rovnovážném stavu, bude probíhat tím směrem, který způsobuje, že součet entropie systému a okolí vzrůstá. Jádrem druhé termodynamické věty je existence užitečné termodynamické veličiny, zvané entropie. Druhá věta ukazuje, jak entropie užívat k určení, zda určitý děj v přírodě existuje. Tato forma druhé termodynamické věty je použitelná jen pro nevratné děje, protože jen tyto mají ,,přirozený směr , tj. ve směru zvětšování entropie. Vratné děje mohou probíhat v obou směrech a pro ně entropie systému a okolí zůstává nezměněna. 5.7.7 Entropie a pravděpodobnost vdepodobnost} Praxe potvrzuje existenci obecného principu, že se energie různého druhu mění v energii tepelnou, ztrácí-li probíhající děj uspořádanost. Např. vypálená střela má kinetickou energii a po nárazu na ocelovou desku se její kinetická energie přemění na neuspořádané pohyby molekul střely a desky. Zvýšení energie neuspořádaného pohybu se projeví zvýšením teploty a energie neuspořádaného pohybu nazýváme tepelnou energií. Abychom tepelnou energii mohli správně charakterizovat, musíme užít dvou hodnot. Jedna hodnota slouží k určení množství energie, druhá jako míra neuspořádanosti. Množství energie měříme v joulech, velikost neuspořádanosti je měřena pomocí entropie. Existence vztahu mezi neuspořádaností a entropií ukazuje, že neuspořádanost podobně jako entropie roste při přirozených dějích. Např. při volné expanzi molekuly původně uzavřené v jedné polovině nádoby se rychle rozmístí v celé nádobě. Systém se stal méně uspořádaným, protože jsem ztratili určitou možnost určení molekuly. Tvrzení: ,,Molekuly jsou v nádobě je slabší než ,,molekuly jsou v levé polovině nádoby . To potvrzuje, že existuje tendence dosáhnout při přirozených dějích stavů s vyšší neuspořádaností. Ve statistice dostává neuspořádanost přesný smysl a její souvislost s entropií lze vyjádřit vztahem S = kenP , entropie a pravděpodobnost (5.60){3.2-38} kde k je Boltzmannova konstanta, S entropie systému a P pravděpodobnost, že se systém bude nacházet v daném stavu ze všech možných, ve kterých se může nacházet. Tato pravděpodobnost se nazývá parametrem neuspořádanosti. Rovnice (5.60) spojuje termodynamickou (makroskopickou) veličinu entropii se statistickou (mikroskopickou) veličinou pravděpodobností. Statistická definice entropie spojuje termodynamické a statistické náhledy a umožňuje položit druhou termodynamickou větu na statistický Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 257 5.8. REÁLNÉ PLYNY základ. Směr, ve kterém probíhají přirozené děje, je určen zákony pravděpodobnosti. Rovnovážný stav je stavem s největší entropií a je nejpravděpodobnější. Nicméně kolem rovnovážných stavů se mohou vyskytovat fluktuace. Z tohoto hlediska není jisté, že entropie vzroste při každém samovolném ději. Entropie může někdy klesnout. Druhá termodynamická věta ukazuje nejpravděpodobnější průběh dějů, ne jedině možný. 5.7.8 Třetí princip termodynamiky TretiPrincip} Druhá termodynamická věta zavádí pouze změnu entropie. Entropie se dala určit až na jistou aditivní konstantu. K určení této konstanty je třeba určit entropie v určitém stavu látky. Taková hodnota se dá určit z věty formulované Nerstem. Tato věta se nazývá třetí termodynamickou větou a zní: Entropie každé krystalické chemicky čisté látky při absolutní nulové teplotě je rovna nule. Matematický zápis této věty je lim T0 S = 0 . třetí věta termodynamiky (5.61){3.2-39} Znamená to, že vratná nulová izoterma (T = 0) splývá s vratnou nulovou adiabatou (S = 0). 5.8 Reálné plyny {RealPlyny} V této části jsou probrány základní pojmy, veličiny a zákony. V odst. 5.8.1 jsou vyloženy fázové změny, stavová rovnice v odst. 5.8.2 a Van der Waalsova rovnice v odst. 5.8.3. V odst. 5.8.4 je vyšetřován kritický trojný bod. Cíl: I) Vyložit a definovat pojmy, veličiny a zákony uvedené v rámečcích v této ka- pitole. II) Samostatně řešit příklady, řešení zdůvodnit a nakreslit náčrtky. 5.8.1 Fázové změny {FazoveZmeny} Termodynamika vyšetřuje kromě homogenního systému také systémy, skládající se z několika homogenních částí. Takový systém nazýváme heterogenní. Jako příklad uvedeme kapalinu v rovnováze se svou parou. Hustota kapaliny je všude stejná, hustota páry rovněž, ale mezi kapalinou a parou je ostré rozhraní. Takové homogenní části, které jsou od ostatních částí odděleny ostrým rozhraním, nazýváme fázemi, jejich počet značíme f. Fázemi mohou být různé modifikace stejnorodé látky, jako pevný, kapalný, plynný stav, různé krystalické stavy (uhlík v šesterečné a krychlové soustavě), feromagnetický a paramagnetický stav apod. Navzájem nezávislé chemicky čisté látky obsažené v termodynamické soustavě nazýváme složky a jejich počet značíme s. Systém se tedy obecně skládá z s složek, které tvoří f fází. Rovnovážný stav heterogenního systému je charakterizován parametry, z nichž počet v se může nezávisle měnit, aniž se změní počet fází soustavy a pro něž platí f + v = s + 2 . Gibbsovo fázové pravidlo (5.62){3.2-40} Toto pravidlo, které určuje počet stupňů volnosti v, se nazývá Gibbsovo fázové pravidlo. V případě systému, který tvoří jedna fáze jediné složky14, má systém dva stupně volnosti a takovýto systém se nazývá bivariantní. Jeho stav je určen různým tlakem a různou teplotou. 14 f = 1, s = 1, v = 2. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 258 5.8. REÁLNÉ PLYNY Jestliže se systém vyskytuje ve dvou fázích jedné složky15, má jen jeden stupeň volnosti. Typickým příkladem je rovnováha vody a její nasycené páry. Rovnováha se dosáhne pro daný tlak při určité teplotě, pro jiný tlak bude rovnováhy dosaženo při teplotě jiné. Systém tří fází jedné složky16 nemá žádnou volnost a rovnováha se dosáhne jen při jediné určité hodnotě tlaku a jediné určité hodnotě teploty. Tento stav látky, ve kterém je plyn, kapalná a tuhá fáze v rovnováze, je určený trojným bodem. Např. trojný bod vody se dosáhne při teplotě 0,01 C (273,16 K) a tlaku 509,95 Pa. 5.8.2 Stavová rovnice avovaRovnice} Budeme se zabývat fázovými přechody u jednosložkového systému (s = 1), jehož parametry jsou teplota, tlak, objem a látkové množství. V jednosložkovém systému mohou být maximálně tři fáze a to již systém nemá žádný stupeň volnosti. Koexistence nastane jen při určité teplotě a tlaku a množstvím je dán objem. Při dvou fázích počet stupňů volnosti je v = 1 a můžeme libovolně měnit teplotu nebo tlak. Při jedné fázi můžeme měnit teplotu i tlak. Stavovou rovnici systému o jedné složce můžeme obecně zapsat ve tvaru f(nm, p, V, T) = 0 , stavová rovnice systému o jedné složce (5.63){StavRceSyst} kde V je objem zaujímaný látkou o látkovém množství nm, při teplotě T a tlaku p. Přesný tvar funkce je obvykle velmi složitý. Často chceme znát, jak se některá veličina mění v závislosti na jiné veličině, přičemž ostatní veličiny zůstávají konstantní. p V T Obr. 5.23{obr3.2-23} Stavová rovnice pro konstantní látkové množství (např. 1 kilomol) je relací mezi třemi proměnnými p, V a T. Znázorníme ji plochou v pravoúhlém souřadném systému, kde p, V a T jsou znázorněny na jednotlivé osy. Obr. 5.23 znázorňuje plochu, která představuje stavovou rovnici ideálního plynu pV = RT. Plné čáry na ploše znázorňují vztah mezi p a V při T = konst., čárkovaná vztah mezi V a T za p = konst. a tečkovaná čára vztah mezi p a T při V = konst. Kolmá projekce na rovinu p­V je znázorněna na obr. 5.24, kolmá projekce na rovinu p­T je na 15 f = 2, s = 1, v = 1. 16 f = 3, s = 1, v = 0. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 259 5.8. REÁLNÉ PLYNY obr. 5.25 a kolmá projekce na V ­T je na obr. 5.26. p V Obr. 5.24{obr3.2-24} p T Obr. 5.25{obr3.2-25} V T Obr. 5.26{obr3.2-26} Plyn nemůže existovat ve stavu, který není na ploše. Při kterémkoliv procesu, při kterém plyn prochází sledem rovnovážných stavů, bod reprezentující jeho stav se pohybuje po křivce ležící na ploše p­V ­T. Chování reálných látek se vzdaluje od chování ideálních plynů a to tím více, čím vyšší jsou tlaky a nižší teploty. Všechny látky při zvyšování tlaku a snižování teploty se mění z plynné fáze v kapalnou nebo pevnou. Obecná stavová rovnice je příliš komplikovaná pro matematické vyjádření. Graficky je znázorněna plochou p­V ­T. Na obr. 5.27 je schematický diagram pro látku, která se při snížení tlaku mění v kapalinu (nejobvyklejší případ). Látka může existovat v pevné, kapalné nebo plynné fázi nebo současně ve dvou fázích nebo ve třech fázích podél trojné čáry. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 260 5.8. REÁLNÉ PLYNY p a b c l k m d e pára plyn kritický bod Tk T g h j pev. - kap. V trojná ára pev. - pára Obr. 5.27{obr3.2-27} Nyní si uvedeme několik ukázek použití p­V ­T diagramu. Nechť látka je v pevné fázi a prochází rovnovážnými stavy za p = konst. Vyjdeme ze stavu znázorněného bodem a. Nechť látka koná izobarický děj a při zahřívání látky teplota stoupá a objem roste a­b. Látka v bodě b se začne měnit z pevné na kapalnou fázi. Na úseku b­c je rovnováha mezi pevnou a kapalnou fází. V bodě c je látka jen v kapalné fázi, teplota opět začne stoupat a objem roste. Po dosažení bodu d teplota opět zůstává konstantní, kapalina se mění v páru a objem znatelně narůstá. Na úseku d­e existuje rovnovážná směs kapaliny a její nasycené páry. V bodě e je látka zcela v plynné fázi. Dalším dodáváním tepla začne teplota stoupat a objem poroste, až plyn dosáhne bodu f. Teplota leží nad kritickou teplotou TK a plyn se nedá izotermickým stlačením zkapalnit. Mějme látku, jejíž počáteční stav se dán souřadnicemi bodu g (obr. 5.27). Látka je ve styku s tělesem o velké tepelné kapacitě, teplota se nemění - děj je izotermický. Účinkem zvětšení vnějšího tlaku se zvýší teplota. Teplo se předá zásobníku, teplota se vyrovná a objem se zmenší. Jak tlak roste, objem se zmenšuje podél čáry g­h. V bodě h plyn začne kapalnit a objem se zmenšuje, bez zvyšování tlaku. V bodě j je všechna látka v kapalné fázi. Při dalším zvyšování tlaku objem zmenšujeme a v bodě k dojde ke změně kapalné fáze v pevnou a objem se zmenšuje podél čáry k­l. V bodě l je látka zcela v pevné fázi, další tlak zmenšuje objem mírně podél čáry l­m. Sestrojit trojrozměrný diagram a odečíst z něho není vždy snadné, je proto obvyklé zobrazovat p­V ­T plochu jejími projekcemi do rovin p­T, p­V nebo V ­T. Na obr. 5.28 a obr. 5.29 jsou zobrazeny dvě projekce obr. 5.27. Na těchto diagramech se dají sledovat izochorické a izotermické děje popisované na obr. 5.27. Křivky z obr. 5.28 označené P­K, P­Pl a K­Pl jsou geometrická místa odpovídajících tlaků a teplot, při kterých mohou existovat dvě fáze. Trojný bod (je to průmět trojné čáry na rovinu p­T) je geometrické místo, ve kterém mohou existovat tři fáze. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 261 5.8. REÁLNÉ PLYNY trojný bod krit. bod P-Pl P-K K-Pl p T Obr. 5.28{obr3.2-28} p V plyn kritický bod K - pára trojná ára P-PL K P-K P Obr. 5.29{obr3.2-29} 5.8.3 Van der Waalsova rovnice nDerWaalsova} Matematické vyjádření stavové rovnice ideálního plynu pro 1 kilomol je pvk = RT. Reálné plyny splňují tuto rovnici jen přibližně a to tím lépe, čím vyšší je teplota plynu a čím nižší je tlak. U ideálního plynu jsem předpokládali, že molekuly mají zanedbatelný objem a že na sebe mimo srážek silově nepůsobí. K těmto nereálným okolnostem přihlédl Van der Waals a teoreticky odvodil stavovou rovnici pro reálné plyny. Molekuly mají vlastní rozměr a pohybují se v uzavřené nádobě o určitém objemu méně volně, než kdyby byly bodovými částicemi. Objem, který je volný pro pohyb molekul, je proti geometrickému objemu nádoby V menší o hodnotu b, která souvisí s vlastním objemem molekul. Ve stavové rovnici pro jeden kilomol plynu je tak třeba nahradit objem vk veličinou vk-b. Veličina b je objem, který zaujímají všechny molekuly jednoho kilomolu plynu nahuštěny těsně jedna na druhé. Přitažlivé síly mezi molekulami způsobují, že plyn zaujímá menší objem V , než by plynulo z Boylova­Mariottova zákona. Plyn zaujímá takový objem, jako kdyby byl pod tlakem p větším, než je vnější tlak p. Vnější tlak p ve stavové rovnici musí být nahrazen hodnotou p = p + pi, kde pi je tzv. kohezní tlak. Stavová rovnice pro jeden kilomol plynu má pak tvar (p + pi)(vk - b) = RT . stavová rovnice pro reálný plyn (5.64){3.2-41} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 262 5.8. REÁLNÉ PLYNY Účinek přitažlivých sil mezi molekulami se projevuje jinak na molekulách uvnitř plynu a na molekulách blízko stěn. Uvnitř plynu působí na každou molekulu síly ze všech stran, takže se navzájem kompenzují. Molekuly blízko stěny jsou přitahovány molekulami vnitřními. Vliv stěny lze zanedbat za předpokladu, že molekuly nelnou ke stěnám a že se molekuly odrážejí od stěn jako pružné koule. S ~F A ~F 'S B' Obr. 5.30{obr3.2-30} Pokud budou mezimolekulární síly rychle ubývat se zvětšováním vzdálenosti mezi molekulami, pak průměr sestrojené oblasti působením přitažlivých sil bude jen o málo větší, než průměr molekuly. Nedaleko od stěn nádoby budou síly, působící na molekulu A od různých molekul (které se nacházejí uvnitř oblasti působení přitažlivých sil), spolu v rovnováze, takže molekula A nebude vystavena působení výsledné síly v určitém směru. Jestliže oblast působení přitažlivých sil omezíme stěnou SS (jak je uvedeno na obr. 5.30), pak na molekulu A bude působit síla ve směru od stěny. Z obrázku je totiž zřejmé, že molekuly, působící na molekulu A z vyšrafované oblasti nemají svůj silový ,,protějšek , protože tyto molekuly by se nacházely již za stěnou. Výsledná síla je F a je přibližně úměrná objemu vyšrafovaného elementu na obr. 5.30 a počtu molekul v jednotkovém objemu tohoto elementu. Na všechny molekuly ležící v tzv. povrchové vrstvě17, která má tloušťku řádově průměru oblasti působení přitažlivých sil, působí nějaká síla F ve směru od stěny k plynu. V prvním přiblížení můžeme uvažovat, že počet molekul v jednotkovém objemovém elementu vyšrafované části N0 je roven počtu molekul n0 v jednotkovém objemu V , tj. platí N0 = n0, kde n0 je koncentrace částic v plynu. Pak střední síla působící na molekulu v povrchové vrstvě je úměrná n0. Tato přitažlivá síla míří dovnitř plynu a zmenšuje tlak, vyvolaný molekulami na stěnu. Abychom vypočetli opravu k tlaku, musíme určit obecnou sílu působící na všechny molekuly povrchové vrstvy jednotkové plochy stěny. V prvním přiblížení je tato veličina rovněž úměrná počtu molekul v objemové jednotce, tj. koncentraci částic n0. Pokud počet molekul v povrchové vrstvě je úměrný koncentraci a síla působící na všechny molekuly v této vrstvě je rovněž úměrná n0, pak oprava tlaku, tj. síla na jednotku plochy povrchové vrstvy, je úměrná n2 0. Oprava tlaku se nazývá kohezní tlak pi a vyjádříme jej vztahem 17 Zde je namístě připomenout si podobnou fyzikální situaci vody a povrchové vrstvy, která je obdobná situaci v plynu, kterou právě diskutujeme. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 263 5.8. REÁLNÉ PLYNY pi = a n2 0, kde a je konstanta závislá na druhu plynu. Protože n0 = N0 V = NAnm V = NA vk , kde NA je Avogardova konstanta a vk kilomolový objem, lze psát pi = a N2 A v2 k = a v2 k , kde a = a N2 A je jistá konstanta. Dosazením do (5.64) dostaneme stavovou rovnici Van der Waalsovu pro 1 kilomol reálného plynu p + a v2 k (vk - b) = RT . Van der Waalsova stavová rovnice reálného plynu (5.65){3.2-42} Pro množství plynu o celkové hmotnosti M a molekulové hmotnosti Mm, tj. pro látkové množství nm = M Mm molů, zaujímá plyn objem V = M Mm vk = nmvk a dosadíme-li do rovnice (5.65), obdržíme rovnici pro libovolný počet molů p + n2 ma V 2 (V - nmb) = nmRT . (5.66){3.2-43} Van der Waalsova rovnice vyhovuje velmi dobře pro plynnou fázi, pro kapalnou již méně. Např. pro dusík v rozsahu 105­108 Pa nepřesahují odchylky chování tohoto plynu od Van der Waalsovy rovnice 2 %, zatímco odchylka od stavové rovnice ideálního plynu při tlaku 108 Pa je větší než 100 %. Jednoduchou úpravou rovnice (5.66), tj. provedeme naznačené operace a rovnici vynásobíme V 2, dostaneme pV 3 - nm(pb + RT)V 2 + n2 maV - n3 mab = 0 . (5.67){3.2-44} Tato rovnice je vzhledem k objemu V rovnicí třetího stupně. Při libovolných hodnotách p a T dává 3 hodnoty pro objem. Protože řešení rovnice má tři kořeny reálné nebo jeden reálný a dva komplexní, a protože objem je vždy reálný, dostáváme pro V buď jedno nebo tři různá řešení. Fyzikální smysl mají jen kladné reálné kořeny. 5.8.4 Kritický a trojný bod tickyATrojny} Z obr. 5.27 vidíme, že kapalné a plynné fáze mohou společně existovat jen za teplot a tlaků menších, než odpovídají bodu ležícímu na vrcholu plochy označené kapalina­pára. Tento bod se nazývá kritický bod a odpovídající hodnoty Tkr, pkr, Vkr jsou kritická teplota, tlak a objem. Pro kritický bod má rovnice (5.67) tvar pkrV 3 - nm(pkrb + RTkr)V 2 + n2 maV - n3 mab = 0 . (5.68){3.2-45} Z matematického hlediska můžeme objem Vkr považovat za trojnásobný kořen rovnice (5.67) a můžeme ji napsat ve tvaru pkr(V - Vkr)3 pkrV 3 - 3pkrVkrV 2 + 3pkrV 2 krV - pkrV 3 kr = 0 . (5.69){3.2-46} Porovnáním koeficientů u rovnic (5.68) a (5.69) dostaneme nm(pkrb + RTkr) = 3pkrVkr ; n2 ma = 3pkrV 2 kr ; n3 mab = pkrV 3 kr . Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 264 5.8. REÁLNÉ PLYNY Z toho vyplývá souvislost kritických parametrů s veličinami a a b (viz (5.65)), které charakterizují síly mezi molekulami. Tedy Vkr = 3bnm ; pkr = a 27b2 ; Tkr = 8a 27 bR . Z těchto vztahů získáme z pkrVkr = nmRTkr výsledek nmRTkr pkrVkr = nmR 8a 27 bR a 27b2 3bnm = 8ab2 nm R 27 3a b2 nm 27 R = 8 3 = 2,67 , který je vhodný pro jednoduchou kvantitativní kontrolu přesnosti Van der Waalsovy rovnice. KP 5.8-1{pr3.2-6} Je-li systém ze stavu 1 do stavu 2 (viz obr. 5.31) převeden po cestě 1­3­2, přijme 80 J tepla p V 1 23 4 Obr. 5.31{obrp3.2-6} a vykoná 30 J práce. 1. Jaké teplo přijme systém na dráze 1­4­2, vykoná-li systém práci 10 J? 2. Vrátí-li se systém z 2 do 1 po křivce 2­1, vykonají vnější síly práci 20 J. Bude systém přijímat nebo vydávat teplo a jaké? 3. Nalezněte teplo absorbované při procesech 1­4 a 4­2, je-li U1 = 0 a U4 = 40 J. KP 5.8-2{pr3.2-7} Termodynamický systém vykoná uzavřený cyklus 1­2­3­1 podle obr. 5.32 Vypočítejte práci 0 1 2 3 4 3V (m ) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 -2p (10 Nm ) Obr. 5.32{obrp3.2-7} vykonanou systémem při úplném cyklu. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 265 5.8. REÁLNÉ PLYNY KP 5.8-3{pr3.2-8} Užitím Mayerova vztahu dokažte, že zvýší-li se při izobarické expanzi jednoho kilomolu ideálního plynu jeho teplota o 1 K, vykoná plyn práci číselně rovnou univerzální plynové konstantě R. KP 5.8-4{pr3.2-9} Jaké teplo se vybaví při izotermickém stlačení 0,003 m3 vzduchu s počátečním tlakem 105 N m-2 a objemem 0,000 5 m3? KP 5.8-5{pr3.2-10} Válec obsahuje 0,001 kilomolu kyslíku teploty 27 C. Válec je opatřen pístem, který se pohybuje bez tření a který udržuje ve válci konstantní tlak 105 N m-2. Plyn je zahřát na teplotu 127 C. 1. Jakou práci vykoná plyn při tomto ději? 2. Jaká je změna vnitřní energie plynu? 3. Jaké teplo bylo dodáno plynu? 4. Jaká práce by byla vykonána, kdyby byl tlak 5 10-4 N m-2? KP 5.8-6{pr3.2-11} Kompresor vyrobí za hodinu 50 m3 stlačeného vzduchu o tlaku 8 105 Pa. Je přitom ochlazen proudem vody, takže stlačování je možno pokládat za izotermické. Vnější tlak je 105 Pa. 1. Jaký výkon musí mít motor kompresoru, je-li účinnost kompresoru 0,6? 2. Kolik se spotřebuje chladící vody, mění-li se její teplota z 11 C na 17 C? KP 5.8-7{pr3.2-12} Počáteční tlak dvouatomového plynu je 1,2 106 Pa, počáteční objem je 10-3 m3. Jaký bude tlak plynu při objemu V1 = 2 10-3 m3 ; V2 = 3 10-3 m3 ; V3 = 4 10-3 m3 ; V4 = 5 10-3 m3 ; 1. expanduje-li plyn adiabaticky; 2. expanduje-li plyn izotermicky? Znázorněte změny tlaku v p­V diagramu. KP 5.8-8{pr3.2-13} Dieselův motor má objem válce 10-2 m3 a kompresní poměr 12. Počáteční tlak ve válci je 105 Pa, počáteční teplota 10 C. Předpokládejte, že komprese probíhá adiabaticky, a stanovte konečný tlak, teplotu a práci při stlačování. KP 5.8-9{pr3.2-14} 1 kg kyslíku počátečního tlaku 105 Pa a počáteční teploty 20 C je stlačen na tlak 106 Pa. Vypočítejte práci vykonanou při stlačení kyslíku, probíhá-li komprese 1. izotermicky 2. adiabaticky Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 266 5.8. REÁLNÉ PLYNY KP 5.8-10{pr3.2-15} Přechází-li systém ze stavu 1 do stavu 2 (viz obr. 5.33) po křivce 1­a­2, přijímá teplo Qa; p V a b 1 2 Obr. 5.33{obrp3.2-15} přechází-li po křivce 1­b­2, přijímá teplo Qb. Které z těchto tepel je větší? Čemu je roven jejich rozdíl? KP 5.8-11{pr3.2-16} Teplota páry z kotle vstupující do parního stoje je 210 C, teplota v kondenzoru je 40 C. Jakou maximální práci by bylo možno teoreticky získat z 4,19 kJ vynaložených na vytvoření páry? KP 5.8-12{pr3.2-17} Jaké maximální teplo může být odvedeno z chlazeného prostoru chladničky při vynaložené práci 1 kJ, je-li teplota uvnitř chladničky -10C a teplota okolí 11C? KP 5.8-13{pr3.2-18} Dva ideální Carnotovy stroje mají společný tepelný zdroj o teplotě T1 a společný jímač tepla o teplotě T2. Pracují se stejným množstvím pracovní látky, kterou je ideální plyn. Čím se liší pracovní cykly obou strojů, jestliže práce vykonaná jedním ze strojů během jednoho cyklu je n-násobkem práce druhého stroje během jednoho cyklu? KP 5.8-14{pr3.2-19} První stupeň vratného tepelného stroje přijme teplo Q1 při teplotě T1, vykoná práci W1 a vydá teplo Q2 při nižší teplotě T2. Druhý stupeň přijme teplo odevzdané prvním stupněm při teplotě T2, vykoná práci W2 a odevzdá teplo Q3 při nižší teplotě T3. 1. Znázorněte schematicky činnost popsaného zařízení podle vzoru na obr. 5.16. 2. Dokažte, že účinnost celého zařízení je dána vztahem = T1 - T2 T1 . KP 5.8-15{pr3.2-20} 1. Jaká by byla účinnost ideálního tepelného stroje, o němž se mluví v Thompsonově a Planckově formulaci (viz 5.7.1) druhé termodynamické věty? 2. Jaká by byla účinnost ideálního chladicího stroje, jehož existence je v rozporu s Clausiovou formulací (rovněž viz odst. 5.7.1) druhé termodynamické věty? Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 267 5.8. REÁLNÉ PLYNY KP 5.8-16{pr3.2-21} Stanovte změnu entropie dusíku při ochlazení 2 g tohoto plynu ze 40 C na 0 C 1. při stálém objemu, 2. při stálém tlaku. Molová tepelná kapacita dusíku při stálém objemu je cV = 742 J kg-1 K-1 mol-1 . KP 5.8-17{pr3.2-22} Stanovte změnu entropie vody při těchto vratných dějích: T T 1 2 S1 S S+%S S2 ¤Q = T%S S Obr. 5.34{obrp3.2-23} 1. kilogram ledu 0 C byl rozpuštěn a přeměněn na vodu téže teploty. 2. Kilogram vody teploty 0 C byl ohřátý na teplotu 100 C. KP 5.8-18{pr3.2-23} 1. Dokažte, že plocha pod křivkou znázorňující vratný děj v T­S diagramu je úměrná teplu, které systém při ději přijímá nebo vydává. 2. Vyslovte pravidlo, podle kterého určíte z diagramu znaménko tepla Q přijatého systémem. KP 5.8-19{pr3.2-24} 1 2 34 SS2S1 T T1 T2 Obr. 5.35{obrp3.2-24} 1. Jaký děj je znázorněn obdélníkem 1­2­3­4­1 v T­S diagramu na obrázku 5.35? 2. Čemu jsou úměrné plochy S1­1­2­S2, S1­4­3­S2 a 1­2­3­4? 3. Stanovte účinnost znázorněného cyklu. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 268 5.8. REÁLNÉ PLYNY KP 5.8-20{pr3.2-25} Stanovte účinnost cyklů podle obrázků 5.36a a 5.36b. T S T S T1 T2 T1 T2 S2S1 S2S1 Obr. 5.36{obrp3.2-25} KP 5.8-21{pr3.2-26} Dva různé chemicky spolu nereagující plyny, které mají stejnou teplotu T a tlak p, se nacházejí v oddělených nádobách s tepelně izolujícími stěnami o objemech V1 a V2 spojených trubicí s kohoutem. Otevřeme-li kohout, plyny se promísí. Určete změnu entropie při tomto ději. KP 5.8-22{pr3.2-27} Mosazná tyč spojuje dvě tepelné lázně o konstantní teplotě; jedna z nich má teplotu 127 C, druhá 27 C. Vypočtěte celkovou změnu entropie, projde-li tyčí 5 030 J tepla. KP 5.8-23{pr3.2-28} Do kalorimetru se zanedbatelnou tepelnou kapacitou, který obsahuje 250 g vody 23 C teplé, je vloženo 27 g ledu o teplotě 0 C. Po jisté době se teplota ustálí. Určete změnu entropie. KP 5.8-24{pr3.2-29} Jak se mění bod tání reálných látek v závislosti na tlaku? Vysvětlete pomocí p­V ­T diagramu reálných látek. KP 5.8-25{pr3.2-30} 1. Za jakých podmínek je možné převést izobaricky látku z pevné fáze přímo do plynné fáze? 2. Za jakých podmínek lze izotermickou kompresí zkapalnit plyn? Popište tyto děje a znázorněte je v p­V ­T diagramech reálných látek. KP 5.8-26{pr3.2-31} Ověřte platnost Gibbsova fázového pravidla pro systémy o jedné složce na fázových p­T diagramech reálných látek. KP 5.8-27{pr3.2-32} Pro kysličník uhličitý byly experimentálně určeny hodnoty konstant ve Van der Waalsově rovnici a = 3,64 105 Nm4 kmol-2 ; b = 4,26 10-2 m3 kmol-1 . 1. Přesvědčte se, zda je Van der Waalsova rovnice ((5.65)) splněna pro kritické stanové veli- činy Tkr = 304 K ; pkr = 7,4 106 Pa ; vkr = 0,127 8 m3 kmol-1 . Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 269 5.8. REÁLNÉ PLYNY 2. Jaká by vyšla kritická teplota, kdybychom CO2 pokládali za ideální plyn a použili stavové rovnice ideálního plynu (4.4)? KP 5.8-28{pr3.2-33} Jak velká relativní chyba vznikne, počítáme-li teplotu jednoho kilomolu CO2 ze stavové rovnice (4.4) ideálního plynu, 1. je-li jeho objem roven kritickému objemu a jeho tlak rovný dvojnásobku (čtyřnásobku) kritického tlaku; 2. je-li tlak rovný kritickému tlaku a jeho objem je rovný dvoj a (čtyř)násobku kritického objemu; 3. je-li jeho objem rovný čtyřnásobku kritického objemu a tlak rovný čtyřnásobku kritického tlaku? Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 270 6. Kmitání{Kmitani} 6.1 Hlavní vlastnosti kmitavých pohybů 6.1.1 Obecné kmity {ObecneKmity} Příklady kmitavých pohybů. V technické praxi i v běžném životě se vyskytuje velmi často kmitavý pohyb, tj. kmitání (neboli kmity, oscilace). Několik příkladů mechanických kmitavých pohybů je znázorněno na obr. 6.1. Tělesa nebo systémy těles se přitom pohybují kolem rovnovážných poloh. Kromě mechanických kmitů jsou důležité kmity elektrických systémů -- elektrické oscilace. Dva příklady jsou naznačeny v obr. 6.2. Oscilátory jsou tělesa nebo soustavy těles, která mohou vykonávat kmity, nebo v nichž mohou probíhat kmitavé pohyby. Nauka o kmitech tvoří rozsáhlé odvětví mechaniky a nauky o elektromagnetismu. Zde se omezíme na vyšetření jednoduchých oscilačních systémů a jejich základních zákonitostí, které se uplatňují nejen při kmitání makroskopických soustav -- strojních mechanizmů, elektrických obvodů, nýbrž i v jevech molekulárních, světelných atd. Cíl: I) Umět zpaměti veličiny a definice uvedené v rámečcích. II) Samostatně řešit příklady uvedené v textu, řešení zdůvodnit a nakreslit ná- črtky. Třídění kmitů: * periodické (obr. 6.1a, b, c, e, f, h, k) ­ harmonické, x(t) = xm sin(t+) obr. 6.1a, b, c, f, h - při malých výchylkách a malém tlumení (odst. 6.1.2), obr. 6.1e, při malém tlumení, ­ obecné (obr. 6.1k; při velkých výchylkách i kmity v obr. 6.1a, b, c), * neperiodické (obr. 6.1d, i, j; vznikají často složením několika kmitů, viz odst. 6.5). Z uvedených kmitavých pohybů budeme probírat pouze kmity harmonické a kmity vzniklé složením dvou nebo několika harmonických kmitavých pohybů. Takto vzniklé kmity mohou být opět harmonické nebo mohou mít složitější průběh. Harmonické kmity mají mezi kmitavými pohyby význačné postavení: 1. Pružné kmity soustav, které mají jeden stupeň volnosti (jejich poloha je zcela určena jedinou veličinou -- např. výchylkou (obr. 6.1a, f), úhlem (obr. 6.1h) atd.), mají v případě velmi malých kmitů téměř vždy přibližně sinusový průběh. Přibližně sinusový průběh mají většinou i malé kmity jiných soustav (obr. 6.1b, c, e). 2. Výchylku při libovolném periodickém kmitavém pohybu lze vyjádřit jako součet výchylek spočetného množství harmonických pohybů. (Viz Fourierova analýza v matematice). Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 271 ? ? 6.1. HLAVNÍ VLASTNOSTI KMITAVÝCH POHYBŮ tleso zavšené na pružin B 0 x A a) Zem fyzické kyvadlo b) o ç matematické kyvadlo c) spažené kmity d) kapalina v U-trubici e) T x tleso na pružin f) spažené kmity g) torzní kmity h) kmity atom H v molekule H O2 i) kmity vetknutého nosníku j) kmity pístu ve válci k) kmity elektronu v elektromagnetické vln l) kmity podloží úinkem nevyváženého rotoru m) kmity mostu úinkem periodických náraz n) kmity automobilu s vadnými tlumii o) c `v m k x(t) I ç(t) m ç(t) ç k1 m1 m2 k2 x (t)1 x (t)2 x (t)2 x (t)1 k k m1 m2 x (t)1 x (t)2 m x(t) ID ç(t) x(t) y(t) x(t) sx(t) x (t)1 x (t)2x(t)x(t) Obr. 6.1{obrkmit.1-1} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 272 6.1. HLAVNÍ VLASTNOSTI KMITAVÝCH POHYBŮ a) L C R I(t) b) L C R B A D E I(t) Obr. 6.2{obrkmit.1-2} 6.1.1.1 Perioda T a frekvence f (nebo ) periodických kmitů. Periodické jsou ty kmity, které se opakují po určitém časovém intervalu. Veličina, která popisuje periodický děj -- např. výchylka (obr. 6.1a) nebo úhlová dráha (obr. 6.1h) nebo proud (obr. 6.2), je periodickou funkcí času. Označíme-li tuto funkci obecně F, platí pro všechna t F(t + T) = F(t), kde T je perioda pohybu. Její jednotkou je 1 s. Frekvence kmitů f (nebo ) je definována takto: Vykoná-li periodicky se pohybující systém celistvý počet kmitů n za dobu t, je frekvence f (nebo ) definována vztahem f = n t . Číselně se f rovná počtu kmitů za jednotku doby. Jednotka frekvence f je 1 s-1 = 1 Hertz = 1 Hz. Za dobu t = T, tj. za jednu periodu, vykoná soustava jeden kmit, n = 1. Dosazením plyne f T = 1, tj. f = 1 T . vztah mezi frekvencí a periodou kmitů (6.1){kmit.1-1} {ram-127} Třídění harmonických kmitů: * vlastní (obr. 6.1a, b, c, e, f, h; 6.2a) ­ netlumené (zanedbatelně malé odpory, odst. 6.3.1, odst. 6.3.2) ­ tlumené (odpory nelze zanedbat, odst. 6.3.3) * nucené (obr. 6.1m, n, 6.2b -- nebudeme probírat) Vlastní harmonické kmity se vyznačují tím, že v oscilující soustavě působí buď jen vnitřní síly nebo i vnější síly, které se stávají periodické až při pohybu oscilátoru. Např. na obr. 6.1a působí těleso B v bodě A na pružinu při pohybu tělesa T periodickou silou. Tato síla nekoná práci, takže do oscilátoru se nepřivádí z okolí energie. Pro vlastní kmity je charakteristické to, že frekvenci pohybu (a tedy i frekvenci působící sily) si určuje oscilátor sám, tj. že frekvence závisí pouze na vlastnostech oscilátoru (na setrvačných a pružných vlastnostech v obr. 6.1a; na elektrických vlastnostech v obr. 6.2a). Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 273 6.1. HLAVNÍ VLASTNOSTI KMITAVÝCH POHYBŮ Nucené harmonické kmity se vyznačují tím, že na oscilátor působí (kromě jiných sil) vnější periodická síla (nebo otáčivý moment) s nějakou frekvencí, která je zcela nezávislá na vlastnostech oscilátoru. Tato síla se nazývá budící síla a koná (obecně) nenulovou práci. Oscilátor kmitá (po odeznění přechodového jevu) s frekvencí rovnou frekvenci budící síly. To je pro nucené harmonické kmity charakteristické. Nucené kmity jsou znázorněny v obr. 6.1k, m, n. Nebudeme je však probírat, jejich popis je např. v [1] . 6.1.2 Harmonické kmity (harmonický pohyb) monickeKmity} 6.1.2.1 Definice harmonických kmitů Harmonické kmity jsou takové periodické kmity, při nichž charakteristická veličina -- např. výchylka x(t) (obr. 6.1a), tj. souřadnice, nebo úhel (t) (obr. 6.1b) atd. -- je funkcí času, kterou lze vyjádřit ve tvaru x(t) = xm cos(t + ), výchylka při harmonickém pohybu (6.2){kmit.1-2} {ram-128} kde xm, , jsou konstanty. Význam veličin x(t), xm, , , t + : x(t) se nazývá výchylka. V případě obr. 6.1a je to souřadnice oscilujícího tělesa (hmotného bodu). V případě na obr. 6.1b je to orientovaný úhel (t) (tj. úhlová dráha). V případě na obr. 6.2a je to proud I(t), počítaný kladně v jednom (zvoleném) směru a záporně ve směru opačném. xm se nazývá amplituda nebo přesněji amplituda výchylky, což je veličina na čase nezávislá a nezáporná. Volí se tedy vždy xm > 0. Je to maximální hodnota výchylky. Značí se také A. se nazývává úhlová frekvence. Funkce x(t) = xm cos t má periodu T = 2. Funkce x(t) = xm cos t, a tedy i funkce (6.2), má periodu T danou vztahem T = 2. Odtud a ze vztahu (6.1) plyne = 2 T = 2f. úhlová frekvence kmitů (6.3){kmit.1-3} {ram-129} Jednotka : 1 rads-1. t + se nazývá fáze harmonického pohybu. S rostoucím časem fáze rovnoměrně roste. Označuje se někdy (t) = t + . Jednotka: 1 rad. se nazývá počáteční fáze nebo fázová konstanta. Je to hodnota fáze t + pro t = 0. Detailnější srovnání tzv. ,,k lasického oscilátoru, kterému je věnován tento text, a ,,k vantověmechanického oscilátoru najde pokročilý student na straně v textu Kvantová mechanika pomalu a těžce, ale radostně. KP 6-1kmit.5.1-119} Těleso vykonává podél osy Ox harmonický pohyb o výchylce x(t) = 0,02 cos(600t - 2) [SI]. Určete: 1. Největší a nejmenší hodnotu výchylky; 2. Úhlovou frekvenci; 3. Frekvenci; 4. Periodu; 5. Fázovou konstantu; 6. Fázi pohybu v okamžiku t1 = 0,01 s. Řešení: Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 274 6.1. HLAVNÍ VLASTNOSTI KMITAVÝCH POHYBŮ 1. xmax = xm = 0,02 m, xmin = -xm = -0,02 m; 2. = 600 rads-1; 3. f = /2 = 95,5 Hz; 4. T = f-1 = 0,01 s; 5. = -2 rad; 6. (t1) = 600t1 - 2 = 4 rad. Různá vyjádření harmonických kmitů: 1. Harmonický pohyb podle rovnice (6.2) lze vždy vyjádřit i ve tvaru x(t) = xm sin(t + ) možné vyjádření harmonického pohybu (6.4){kmit.1-4} {ram-130} a naopak, každý pohyb (6.4) lze vyjádřit ve tvaru (6.2). Stačí zvolit = + 2 . 2. Harmonický pohyb (6.2) lze rovněž vyjádřit ve tvaru x(t) = A1 cos t - A2 sin t možné vyjádření harmonického pohybu (6.5){kmit.1-5} {ram-131} a naopak. Stačí, aby byly splněny vztahy A1 = xm cos , A2 = xm sin . 3. Harmonický pohyb (6.2) lze také vyjádřit ve tvaru x(t) = C1eit + C2e-it , možné vyjádření harmonického pohybu (6.6){kmit.1-5a} {ram-132} kde C1 a C2 jsou komplexní konstanty1. KP 6-2{} Těleso vykonává podél osy Ox harmonický pohyb o výchylce x(t) = 0,005 cos(-5t + 1) [SI]. Úkoly: 1. Napište vztah pro výchylku ve tvaru (6.2) a určete a) xm, b) , c) f, d) , e) fázi v okamžiku t1 = 0,1 s; 2. Napište vztah pro výchylku ve tvaru (6.5) a určete hodnotu konstant A1, A2. 1 Vztah eit lze podle Moivrovy věty rozepsat na součet eit = cos(t)+i sin(t). Pokuste se úpravami dokázat, že všechny tři výše uvedené vztahy pro matematický popis harmonického pohybu jsou ekvivalentní. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 275 6.1. HLAVNÍ VLASTNOSTI KMITAVÝCH POHYBŮ Řešení: 1. x(t) = 0,005 cos(-5t + 1) = 0,005 cos(5t - 1) = 0,005 sin(5t - 1 + /2) [SI] a) xm = 0,005 m; b) = 5 rads-1; c) f = /2 = 0,796 Hz; d) = -1 rad; e) (t1) = (5t1 - 1) rad = -0,5 rad. 2. x(t) = 0,005 cos(-5t + 1) = 0,005 cos(5t - 1) = 0,005(cos(5t) cos 1 + sin(5t) sin 1) = A1 cos 5t + A2 sin 5t, kde A1 = 0,005 m cos 1 = 0,002 7 m, A2 = 0,005 m sin 1 = 0,004 2 m. Grafické znázornění harmonických kmitů v diagramu t, x. Grafem funkce x(t) = xm cos(t + ) v soustavě pravoúhlých os Otx je kosinusovka o amplitudě xm posunutá v závislosti na konstantě (obr. 6.3). Vyznačené body na ose t jsou P0, P1, P2 . . . (tj. x = 0), pro něž tak platí tn + = n + 1 2 tn = - + n + 1 2 , kde n = 0, 1, 2, . . . Na obr. 6.3 je rovněž znázorněn bod Q na ose x (tj. pro t = 0) xQ = x(t = 0) = xm cos . Obr. 6.3{obrkmit.1-3} Grafické znázornění harmonických kmitů fázovým vektorem nebo, což je totéž, pohybem po kružnici. Harmonické kmity o výchylce x(t) = xm cos(t + ) znázorníme vektorem A o velikosti |A| = xm, rotujícím kolem počátku O úhlovou rychlostí ve směru naznačeném na obr. 6.4. V okamžiku t = 0 je A v poloze 1, v okamžiku t > 0 je v poloze 2, neboť za dobu t opíše úhel t. Jeho koncový bod P se pohybuje rovnoměrně po kružnici k a má x-ovou souřadnici x(t) = xm cos(t + ). (6.7){kmit.1-6a} Výsledek: Výchylky harmonického pohybu dané rovnicí (6.7) jsou rovny průmětům vektoru A do osy Ox. Vektor A se nazývá fázový vektor, krátce ,,fázor . V diagramu na obr. 6.4 se obvykle zakresluje (kromě os) jen vektor A v poloze t = 0. Kružnice a další polohy vektoru A se nezakreslují. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 276 ? 6.2. LINEÁRNÍ HARMONICKY OSCILÁTOR y x k O 2 t= 0 1 t>0 P t+á x cos(t+ )m ~A xm-xm Obr. 6.4{obrkmit.1-4} 6.2 Lineární harmonicky oscilátor ckyOscilator} 6.2.0.2 Rychlost a zrychlení lineárního harmonického oscilátoru Lineární harmonický oscilátor je hmotný bod (těleso), který koná harmonické kmity na přímce (obr. 6.5). Zvolíme ji za osu Ox a budeme pro jednoduchost předpokládat, že výchylka je dána vztahem x(t) = xm sin t. (6.8){kmit.1-6} Polohový vektor r(t) oscilátoru leží v ose Ox, takže i jeho rychlost v(t) a zrychlení a(t) leží v ose Ox. Platí: polohový vektor r(t) = ixm sin t , polohový vektor harmonického oscilátoru (6.9) {ram-133} rychlost v(t) = dr(t) dt = iA cos t = ixm sin t + 2 , rychlost harmonického oscilátoru (6.10) {ram-134} zrychlení a(t) = dv(t) dt = -iA2 sin t = -2 r(t) = -iA2 sin t = iA2 sin(t+) . zrychlení harmonického oscilátoru (6.11) {ram-135} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 277 6.2. LINEÁRNÍ HARMONICKY OSCILÁTOR Průměty vektorů v(t), a(t) do osy Ox, tj. veličiny vx(t), ax(t), se obvykle nazývají (poněkud nepřesně) rovněž rychlost a zrychlení a označují se v(t), a(t). Při tomto označení platí pro harmonický pohyb (6.8): vx(t) = v(t) = A sin t + 2 , (6.12){kmit.1-7a} ax(t) = a(t) = -A2 sin t = -2 x. (6.13){kmit.1-7b} Vektory v(t), a(t) jsou v několika polohách oscilátoru vyznačeny v obr. 6.5. 6.2.0.3 Fázový posuv O dvou harmonických pohybech o stejných frekvencích říkáme, že jsou navzájem fázově posunuty, jestliže pro jejich fázové konstanty 1, 2 platí 2 = 1. Je-li 2 - 1 = k2, k = 0, 1, 2, . . ., říkáme, že oba pohyby jsou ve fázi. Je-li 2-1 = (2k+1), k = 0, 1, 2, . . ., říkáme, že pohyby mají opačné fáze. Veličina = 2 - 1 je fázový posuv druhého pohybu proti prvnímu. Je-li ve vztahu 2 = 1 + kladné, říkáme, že druhý pohyb fázové předbíhá před prvním o . Ze vztahů (6.12) a (6.13) respektive z předešlých vztahů pro rychlost a zrychlení plyne, že zrychlení ax(t) předbíhá před vx(t) o /2 a před x(t) o . 6.2.0.4 Diferenciální rovnice harmonického pohybu Nechť hmotný bod, konající harmonický pohyb znázorněný na obr. 6.5, má výchylku danou funkcí x(t) = xm sin(t + ). (6.14){kmit.1-8} Dvojím derivováním podle času t dostaneme d2x(t)/dt2 = -A2 sin2 (t + ) = -2x(t). Platí tedy d2x(t) dt2 + 2 x(t) = 0. diferenciální rovnice harmonického pohybu (6.15){kmit.1-9} {ram-136} Každá rovnice, vyjadřující vztah mezi derivacemi nějaké funkce F(t) (a většinou také onou funkcí samotnou), se nazývá diferenciální rovnice pro funkci F(t). Rovnice (6.15) je diferenciální rovnice pro funkci (6.14). Nazývá se diferenciální rovnice harmonického pohybu. Každá funkce, která vyhovuje identicky (tj. pro všechna t určitého oboru) rovnici (6.15), se nazývá jejím řešením. Je zřejmé, že funkce (6.14) je řešením rovnice (6.15), ať jsou xm a jakékoliv konstanty. Naopak lze dokázat, že každé řešení rovnice (6.15) lze napsat (při vhodné volbě konstant xm, ) ve tvaru (6.14). 6.2.0.5 Síly působící na lineární harmonický oscilátor . Na hmotný bod, který harmonicky kmitá na přímce, musí působit síly. Ať je tato síla jedna nebo ať jich je několik (obr. 6.6), pro jejich výslednici Fv platí vždy (viz odstavec 2.4.2 pojednávájící o druhém Newtonově pohybovém zákoně vyjádřeném rovnicí 2.36) Fv = m a, kde a je (zde proměnné) zrychlení hmotného bodu. Je-li polohový vektor r(t) = ixm sin(t + ) , (6.16){kmit.1-10} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 278 ? ? 6.2. LINEÁRNÍ HARMONICKY OSCILÁTOR -xm 0 x `v = x im `r =~ 0 `a =~ 0 2`a = - `r `r `v `r = x im `v =~ 0 2`a = - x im `r 2`a = - `r `v = -x im `r =~ 0 `a =~ 0 ` ` ` ` xm Obr. 6.5{obrkmit.1-5} je pak zrychlení dle rovnice 2.7 a(t) = d2r(t) dt2 = ¨r(t) = . . . = -2 r(t) výsledné zrychlení lineárního harmonického oscilátoru (6.17) {ram-137} (obr. 6.6), takže platí Fv(r) = -m2 r(t) Fv, x(x) = -m2 x. výslednice sil působící na lineární harmonický oscilátor (6.18){kmit.1-11} {ram-138} Vlastnosti síly Fv: 1. V rovnovážné poloze je Fv rovna nule, jinde vždy míří do rovnovážné polohy (plyne z rovnice (6.18)); 2. Velikost síly Fv je úměrná výchylce (rovnice (6.18)). KP 6-3{} Na obr. 6.6 je znázorněno těleso T o hmotnosti m na vodorovné desce D, která vykonává ve svislém směru harmonické kmity dané rovnicí (6.16). Na těleso působí dvě síly: tíha G a síla Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 279 6.3. VLASTNÍ KMITY MECHANICKÝCH OSCILÁTORŮ x ~G `a D 0 `r A -A ~Fv ~Fdes m T Obr. 6.6{obrkmit.1-6} Fdes od desky. Jejich výslednice Fv = G + Fdes splňuje vztahy (6.18). Klademe-li si otázku, jaká je síla Fdes od desky, dostaneme Fdes = Fv - G = -m2 r - mg, a odsud Fdes,x(t) = Fv,x(t) - Gx = -m2 x(t) + G = -m2 xm sin(t + ) + mg. Síla Fdes(t) se tedy periodicky mění v čase. Pokud platí 2xm < g, je vždy Fdes,x(t) > 0, tj. síla Fdes(t) míří stále (tj. pro všechna t) vzhůru. Těleso může na desce ležet, nemusí být připoutáno. Platí-li však 2xm > g, je v některých časových intervalech Fdes,x(t) < 0, tj. Fdes(t) v nich míří dolů. Těleso musí být k desce připevněno, jinak by odskakovalo a nekonalo by harmonický pohyb s deskou. Kdyby na těleso nepůsobila tíhová síla, byla by síla Fdes(t) dána vztahem Fdes(t) = ma(t) = -m2r(t). 6.3 Vlastní kmity mechanických oscilátorů 6.3.1 Netlumené kmity tělesa na pružině ityNetlumene} 6.3.1.1 Těleso na pružině Velmi jednoduchým příkladem lineárního harmonického oscilátoru, který koná vlastní kmity, je soustava skládající se z tělesa T a z pružiny P, k níž je těleso připevněno podle obr. 6.7. Je-li těleso vychýleno z rovnovážné polohy a puštěno, začne kmitat. Vodorovné uspořádání je uvažováno proto, aby se tíhová síla kompenzovala se silou od podložky a rozbor děje se zjednodušil. O soustavě na obr. 6.7 budeme předpokládat: Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 280 ? ? 6.3. VLASTNÍ KMITY MECHANICKÝCH OSCILÁTORŮ x0 m T ~N ~G P k ~Fp Obr. 6.7{obrkmit.1-7} 1. Pružina je ideální v tom smyslu, že splňuje Hookův zákon, tedy že její protažení a zkrácení je úměrné velikosti síly, která na ni působí -- platí F l. Dále, že pružina je dokonale pružná a že její hmotnost je zanedbatelně malá. 2. Podložka, na níž těleso leží, je dokonale hladká, tj. tření je nulové. Dále, že odpor vzduchu i vnitřní tření v pružině jsou zanedbatelně malé. Uvažovaná soustava je modelem skutečných oscilátorů -- oscilujících částic v pružných vlnách v látkách, elektronů v atomech, iontů v krystalech, atd. 6.3.1.2 Diferenciální rovnice kmitů Dokážeme, že uvažovaný systém může vykonávat harmonické kmity a to tak, že napíšeme pohybovou rovnici pro těleso T a upravíme ji do tvaru diferenciální rovnice (6.15). Zavedeme osu Ox podle obr. 6.7. Je-li m hmotnost tělesa T, zní jeho pohybová rovnice ma = Fv, (6.19){kmit.1-12} kde a je zrychlení tělesa, tj. a(t) = d2r(t)/dt2, přičemž r(t) je jeho polohový vektor, a kde Fv je výslednice všech sil, které na těleso působí. Platí Fv = Fp + G + R . Zde je Fp síla od pružiny, Fp = -kr, kde k je tuhost pružiny definovaná vztahem k = velikost síly působící na pružinu protažení (zkrácení) pružiny = F l , tuhost pružiny {ram-139} G je tíhová síla působící na těleso, R je síla od podložky. Podle předpokladu je tření zanedbatelné, takže R je svislá. Ježto svislá složka zrychlení tělesa je rovna nule, platí R = -G. Pohybovou rovnici (6.19) postupně upravíme: ma = Fp, ma = -kr, max(t) = -kx(t), m d2x(t) dt2 + kx(t) = 0. Zde x(t) je (zatím neznámá) funkce času, udávající souřadnici tělesa T, tj. jeho výchylku. Z předešlého vyplývá, že tato neznámá funkce vyhovuje diferenciální rovnici d2x(t)/dt2+(k/m)x(t) = 0, tj. rovnici d2x(t) dt2 + 2 x(t) = 0, což lze přepsat jako: ¨x(t) + 2 x(t) = 0, (6.20){kmit.1-13a} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 281 6.3. VLASTNÍ KMITY MECHANICKÝCH OSCILÁTORŮ kde = k m . úhlová frekvence kmitů tělesa na pružině (6.21){kmit.1-13b} {ram-140} Pohyb tělesa na pružině: Ze srovnání rovnic (6.20) a (6.15) plyne, že výchylka x(t) tělesa na pružině vyhovuje diferenciální rovnici harmonického pohybu. Těleso T tedy vykonává (pokud není v klidu) harmonické kmity o výchylce x(t) = xm sin k m t + , výchylka tělesa na pružině (6.22){kmit.1-14} {ram-141} kde xm a jsou libovolné konstanty, jejichž hodnota závisí v konkrétním případě na počátečních podmínkách, tj. na tom, jakou výchylku a jakou rychlost mělo těleso v okamžiku t = 0 s. Poznámky: 1. Frekvence kmitů nezávisí na amplitudě, závisí jen na pružných a setrvačných vlastnostech oscilátoru. Není-li však pružina ideálníní, např. neplatí-li pro ni Hookův zákon, frekvence kmitů na amplitudě závisí. 2. Lze dokázat, že kmitá-li těleso zavěšené na pružině v tíhovém poli, je opět dáno vztahem (6.21), tj. nezávisí na tíhovém zrychlení. KP 6-4kmit.5.1-123} Těleso o hmotnosti m = 3 kg, upevněné k ideální pružině podle obr. 6.7, bylo vnější vodorovnou silou o velikosti F = 45 N vychýleno z rovnovážné polohy o 40 mm a pak v okamžiku t = 0 s uvolněno s nulovou počáteční rychlostí, takže začalo kmitat. Zanedbejte tření a odpory a řešte úkoly: 1. Zdůvodněte, proč kmity tělesa jsou harmonické; 2. Určete tuhost pružiny; 3. Napište vztah pro výchylku ve tvaru x(t) = xm sin(t + ) a určete hodnoty veličin xm, , , f, T. Řešení: 1. Postupem uvedeným v předešlém odstavci lze odvodit rovnici (6.20). Každé její netriviální řešení lze napsat ve tvaru (6.22). Kmity tělesa jsou tedy harmonické. 2. Tuhost k je definována vztahem k = F/l, tedy k = 45 N/0,04 m = 1 125 N m-1. 3. x(t) = xm sin(t + ), kde xm = 0,04 m, = k/m = 19,4 rad s-1. Určení : pro t = 0 s je x(0) = xm, tedy xm sin(0 + ) = xm = 2 rad. f = 2 = 19,4 2 = 3,09 s-1 , T = f-1 = 0,32 s. 6.3.1.3 Energie harmonického oscilátoru Kmitající harmonický oscilátor, naznačený na obr. 6.7, má energii pohybovou (kinetickou) Ek, jejímž nositelem je těleso T, a pružnou (elastickou) Ep, jejíž nositelkou je pružina P. Při pohybu probíhají trvale přeměny Ek Ep. Je-li x(t) = xm sin(t + ), je Ek(t) = 1 2 mv2 (t) = 1 2 m ˙x2 (t) = 1 2 m2 x2 m cos2 (t + ), Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 282 ? 6.3. VLASTNÍ KMITY MECHANICKÝCH OSCILÁTORŮ Ep(t) = 1 2 kx2 (t) = 1 2 kx2 m sin2 (t + ) = 1 2 m2 x2 m sin2 (t + ). Celková mechanická energie oscilátoru Em = Ek(t) + Ep(t) zůstává stálá. Sečtením2 totiž dostaneme Em = Ek(t) + Ep(t) = 1 2 m2 x2 m cos2 (t + ) + 1 2 m2 x2 m sin2 (t + ) , (6.23){kmit.1-15a} což dává po dosazení Em = 1 2 kx2 m = 1 2 m2 x2 m . celková mechanická energie harmonického oscilátoru (6.24){kmit.1-15} {ram-142} Vidíme, že celková energie harmonického oscilátoru, jehož výchylka se mění podle rovnice 6.22, je v čase konstantní veličina. Poznámky: 1. Zcela analogické vztahy platí i pro energii jiných harmonických oscilátorů. Zejména je důležitý obecně platný vztah Em x2 m. 2. Kmitá-li na ideální pružině těleso tak, že je na ní zavěšeno v tíhovém poli, je energie tohoto oscilátoru rovna součtu Em = Ek + Ep + EG, kde EG = mgh je tíhová energie. Opět platí Ek + Ep + EG = konst. 3. Mechanická energie skutečných oscilátorů, kterým se nepřivádí energie, trvale klesá a mění se v energii neuspořádaného pohybu molekul (tj. ve vnitřní energii) oscilátoru a jeho okolí. 4. Uvedeného oscilátoru (tělesa na pružině) lze užít k určení hmotnosti m tělesa T dynamickou metodou: změříme-li k a , vypočítáme m = k/2. KP 6-5{} Těleso o hmotnosti m = 0,8 kg připevněné k pružině podle obr. 6.7, koná kmity o výchylce x(t) = 0,05 cos(40t-6) [SI]. Určete: 1. Kinetickou energii oscilátoru jako funkci času; 2. Celkovou energii oscilátoru. Řešení: 1. Ek = 1 2 mv2 = 1 2 m2A2[- sin(t + )]2. Dosazení Ek = 1 2 0,8 402 0,052 sin2 (40t - 6) = 1,6 sin2 (40t - 6) J; 2. Em = Ek,max = 1,6 J. 6.3.2 Fyzické a matematické kyvadlo: zickeKyvadlo} Co je fyzické kyvadlo? Fyzické kyvadlo je každé těleso, které volně kmitá v tíhovém poli kolem osy, jež neprochází jeho hmotným středem (obr. 6.8). Osa otáčení je ve většině příkladů vodorovná. Zde budeme předpokládat, že je vodorovná. Je-li těleso v klidu v rovnovážné poloze, je jeho hmotný střed C pod osou otáčení. Vychýlíme-li je z rovnovážné polohy a uvolníme s nulovou rychlostí, vrátí se vlivem otáčivého momentu tíhových sil, které působí v celém jeho objemu, do rovnovážné polohy3. Jeho počáteční polohová energie se postupně mění v kinetickou. Ta dosáhne maximální hodnoty při průchodu tělesa rovnovážnou polohou. Těleso projde setrvačností na opačnou stranu 2 A uvědomíme-li si, že 2 = k/m. 3 Pohybová rovnice tuhého tělesa rotujícího kolem pevné osy je popsán v odstavci 2.10.3 tohoto textu. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 283 ? 6.3. VLASTNÍ KMITY MECHANICKÝCH OSCILÁTORŮ rovnovážné polohy, kde je jeho pohyb bržděn otáčivým momentem tíhových sil. Těleso ztrácí kinetickou energii a získává potenciální, nakonec se na okamžik zastaví v nejvyšší poloze a pak se začne vracet. Opět přejde rovnovážnou polohu atd. -- těleso kmitá. 6.3.2.1 Diferenciální rovnice fyzického kyvadla: Dokážeme, že kmity fyzického kyvadla jsou harmonické, jsou-li splněny tyto předpoklady: 1. Tíhové pole je homogenní; 2. Amplituda úhlové výchylky m je tak malá, že platí sin (t) . = (t); 3. Síly tření a odpory jsou zanedbatelně malé. Diferenciální rovnici pro výchylku (t), která je funkcí času, odvodíme tak, že * napíšeme pohybovou rovnici kyvadla (pohyb je otáčivý!), * pohybovou rovnici upravíme do tvaru (6.15), tj. do tvaru diferenciální rovnice harmonického pohybu (tento příklad jsme již řešili viz KP 2.10-6). Označíme: I moment setrvačnosti (definován např. v odst. 2.9.6 a rovnice (2.149) tohoto hypertextu) kyvadla vzhledem k ose o (viz obr. 6.8). Definice: I = n i=1 mir2 i , Osu otáčení orientujeme směrem před nákresnu, tj. volíme kladný smysl otáčení podle obr. 6.8. Kmitavý pohyb kolem pevné osy o je otáčivý pohyb diskutovaný v odst. 2.10.3, pohybová rovnice (2.179) tedy zní I d2(t) dt2 = Mo , pohybová rovnice tuhého tělesa rotujícího kolem pevné osy (6.25){kmit.1-16} {ram-143} kde Mo je součet otáčivých momentů tíhových sil G působících na jednotlivé elementy vzhledem k orientované pevné ose o. Tento součet je, jak známo, roven momentu tíhové síly působící na celé těleso, tj. síly G, umístěné v těžišti (hmotném středu). Pokud se omezíme na tzv. malé výchylky, tj. sin . = , pak platí (viz obr. 6.8) Mo = -Gd = -mga sin . = -mga . Dosazením do rovnice (6.25) a úpravou dostaneme postupně I d2(t) dt2 = -mga , d2(t) dt2 + mga I (t) = 0, ¨(t) + mga I (t) = 0, tj. ¨(t) + 2 (t) = 0, (6.26){kmit.1-17a} kde = mga I . úhlová frekvence fyzického kyvadla konajícího malé kmity (6.27){kmit.1-17b} {ram-144} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 284 ? ? ? 6.3. VLASTNÍ KMITY MECHANICKÝCH OSCILÁTORŮ + ç(t) ~G C ~G m d a o Obr. 6.8{obrkmit.1-8} 6.3.2.2 Úhlová výchylka: Rovnice (6.26) je diferenciální rovnice harmonického pohybu (srovnejte rovnice (6.15)). Za uvedených předpokladů malých kmitů kolem pevné osy vykonává tedy fyzické kyvadlo harmonické kmity o úhlové frekvenci dané vztahem (6.27). Úhlová výchylka je dána vztahem (t) = m sin mga I t + , úhlová výchylka tuhého tělesa konajícího malé kmity (6.28) {ram-145} kde m je (nezáporná) amplituda úhlové výchylky, je počáteční fáze pohybu. Obě určíme z počátečních podmínek, tj. ze znalosti (0) = 0 a ˙(0) = ˙0. Poznámky: 1. Za uvedených podmínek je frekvence oscilátoru nezávislá na amplitudě m. Je-li m tak velké, že sin m . = m, diferenciální rovnice (6.26) obsahuje ve druhém členu namísto veličiny funkci sin . Vzniklá rovnice je složitější. Frekvence pak závisí i na m. 2. Odvozených zákonitostí lze užít k experimentálnímu určení libovolného (tj. i nepravidelného) tělesa vzhledem k libovolné přímce: z tělesa vytvoříme fyzické kyvadlo, změříme m, a, (g známe) a ze vztahu (6.27) určíme I. KP 6-6{} Fyzické kyvadlo je tvořeno tyčí se zanedbatelnou hmotností, na níž jsou podle obr. 6.9 upevněna dvě malá tělesa (hmotné body) o hmotnostech m1 = 2 kg, m2 = 0,4 kg, přičemž l1 = 0,6 m, l2 = 0,8 m. Tyč koná malé netlumené kmity v homogenním tíhovém poli (g = 10 ms-2) kolem vodorovné osy o; Určete: 1. Moment setrvačnosti soustavy vzhledem k ose o; 2. Polohu těžiště, tj. veličinu a; 3. Periodu malých kmitů. Řešení: 1. I = m1l2 1 + m2(l1 + l2)2 = . . . = 1,504 kg m2; 2. a(m1 + m2) = m1l1 + m2(l1 + l2) a = . . . = 0,733 m; Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 285 6.3. VLASTNÍ KMITY MECHANICKÝCH OSCILÁTORŮ l1 m1 o m2 l2 ç(t) ç Obr. 6.9{obrkmit.1-9} 3. = mga I , = 2 T T = 2 I mga = . . . = 1,84 s. Doporučení: Vypočtěte hodnotu výrazu (m1 + m2)a2 a srovnejte ji s I, Zjistíte, že I = (m1 + m2)a2. 6.3.2.3 Matematické kyvadlo: Matematické kyvadlo se skládá z malého tělíska (hmotného bodu) a z vlákna se zanedbatelnou hmotností, na kterém je tělísko zavěšeno a kmitá v tíhovém poli kolem rovnovážné polohy ve svislé rovině (obr. 6.10). Je zvláštním, jednoduchým případem fyzického kyvadla. Označímeli délku vlákna l a hmotnost tělíska m, je úhlová frekvence malých kmitů (tj. sin m . = m) matematického kyvadla dána vztahem (6.27), kde a = l, I = ml2. Dosazením vychází = g l = 2 T . úhlová frekvence malých kmitů matematického kyvadla (6.29){kmit.1-18} {ram-146} Poznámky: 1. Pro matematické kyvadlo platí obecné výsledky získaná pro obecné fyzické kyvadlo. 2. Matematickým kyvadlem, podobně jako fyzickým kyvadlem, lze určit experimentálně velikost tíhového zrychlení: Změří se l, a ze vztahu (6.29) se vypočte g. 3. Redukovaná délka L fyzického kyvadla je definována jako délka toho matematického kyvadla, které má stejnou dobu kmitu. Platí pro ni mga I = g L L = I ma . redukovaná délka fyzického kyvadla (6.30){RedDelka} {ram-147} KP 6-7{} Určete redukovanou délku fyzického kyvadla znázorněného na obr. 6.9. Řešení: Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 286 ? 6.3. VLASTNÍ KMITY MECHANICKÝCH OSCILÁTORŮ m l ç(t) ç Obr. 6.10obrkmit.1-10} Z definice L a z ní plynoucího vztahu plyne L = I ma = 1,504 kgm2 2,4 kg0,733m = 0,85 m. 6.3.3 Tlumené kmity mechanického oscilátoru: KmityTlumene} 6.3.3.1 Vznik tlumení Netlumený harmonický oscilátor, uvažovaný v předešlé části, je pouze přibližný model skutečných oscilátorů a představuje první přiblížení skutečnosti. Lepší aproximací skutečných oscilátorů je ideální tlumený oscilátor. U skutečných oscilátorů -- tělesa na pružině, fyzického kyvadla atd. -- závisí síly odporu na vlastnostech pružiny, vlastnostech okolního prostředí, tvaru oscilátoru atd., obecně složitým způsobem. Při malých rychlostech oscilátoru má síla odporu Fo velmi přibližné tyto vlastnosti: 1. Míří proti směru okamžité rychlosti; 2. Její velikost je úměrná velikostí rychlosti. Platí tedy Fo -v. Tento vztah lze napsat ve tvaru Fo = -Bv, (6.31){kmit.1-19} kde B je tzv. součinitel odporu, definovaný vztahem B = Fo/v. Oscilátor, pro který platí vztah (6.31), budeme nazývat ideální tlumený oscilátor (obr. 6.11). x0 m ~N ~G k `v ~Fp ~Fo Obr. 6.11obrkmit.1-11} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 287 6.3. VLASTNÍ KMITY MECHANICKÝCH OSCILÁTORŮ 6.3.3.2 Tlumené kmity tělesa na pružině Těleso vykonávající tlumené kmity na pružině podle obr. 6.11, přičemž síla odporu Fo je dána vztahem (6.31), je příkladem ideálního tlumeného oscilátoru. Při označení užitém dříve (viz obr. 6.7, rovnice (6.19) a další) dostaneme z pohybové rovnice (6.19) úpravou diferenciální rovnici pro výchylku x(t) takto ma = Fv, kde Fv = G + N + Fp + Fo = Fp + Fo, (G + N = 0) max = Fp,x + Fo,x , m d2x(t) dt2 = -kx(t) - Bvx(t), m d2x(t) dt2 + B dx(t) dt + kx(t) = 0 , pohybová rovnice harmonického oscilátoru s odporující silou (6.32) {ram-148} tj. d2x(t) dt2 + 2 dx(t) dt + 2 0x(t) = 0 , ¨x(t) + 2 ˙x(t) + 2 0x(t) , (6.33){kmit.1-20a} kde = B 2m , 2 0 = k m . (6.34){kmit.1-20b} Veličina = B/2m se nazývá konstanta útlumu, veličina 0 = k/m je tzv. vlastní úhlová frekvence, se kterou by oscilátor kmital, kdyby nebylo sil odporu. Diferenciální rovnice (6.33) se nazývá diferenciální rovnice tlumených kmitů. 6.3.3.3 Výchylka tlumeného oscilátoru Jsou-li síly odporu relativně malé, a to tak malé, že platí < 0, je řešením diferenciální rovnice (6.33) funkce x(t) = x0e-t sin (2 0 - 2) t + , výchylka tlumeného oscilátoru (6.35){kmit.1-21} {ram-149} kde x0, jsou libovolné konstanty. Graf funkce (6.35) je na obr. 6.12. Pohyb je v nepříliš dlouhém časovém intervalu přibližně harmonický. Má úhlovou frekvenci = 2 0 - 2 ( . = 0 pro 0) a okamžitou amplitudu xm(t) = x0e-t , která klesá exponenciálně s časem. Důkaz, že funkce (6.35) je řešením diferenciální rovnice (6.33), lze provést dosazením. Není-li splněn vztah < 0, tj. není-li tlumení dostatečně malé, systém neosciluje. Vychýlíme-li jej z rovnovážné polohy a uvolníme, vrací se do ní, ale dosáhne jí teoreticky až po nekonečně dlouhém čase. Systém je buď přetlumen ( > 0) anebo je kriticky tlumen ( = 0). Diferenciální rovnicí (6.33), (6.34) se řídí i pohyb jiných tlumených oscilátorů. Proto se nazývá diferenciální rovnice tlumených kmitů. Vyhovuje jí např. i úhlová výchylka (t) při tlumených kmitech fyzického kyvadla nebo torzního oscilátoru (obr. 6.1h) nebo proud v elektrickém oscilačním obvodu. Jejich časový průběh je dán funkcemi typu (6.35) a je znázorněn křivkami typu křivky na obr. 6.12. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 288 ? 6.4. NETLUMENÝ ELEKTRICKÝ OSCILAČNÍ OBVOD x(t) t0 -t x (t) = x em 0x0 T x(t) = x (t) sin(t+ )m Obr. 6.12obrkmit.1-12} 6.4 Netlumený elektrický oscilační obvod ktrickyObvod} Elektrický systém analogický mechanickému oscilátoru je elektrický obvod znázorněný na obr. 6.2a. Skládá se z kondenzátoru, cívky a vodiče s elektrickým odporem (neboli rezistoru) zařazených do série. Nazývá se obvykle sériový obvod RLC. Proud v obvodu může vzniknout např. tak, že se při rozpojeném klíči K nabije kondenzátor a poté se klíč sepne. Kondenzátor se začne vybíjet a v obvodu vznikne proud. Jiný způsob vytvoření proudu spočívá v tom, že umístíme do blízkosti cívky jinou cívku a necháme jí projít proudový impuls. V obvodě se tím indukuje elektromotorické napětí a začne jím procházet proud. Ukážeme, že tento proud má (při nepříliš velkém R) oscilační průběh. Fyzikální příčina vzniku oscilací je znázorněna na obr. 6.13e, v němž jsou vyznačeny jednotlivé fáze děje. V obr. 6.13b je vyznačena elektrická energie Eel a magnetická energie Emg obvodu a současně i potenciální energie Ep a kinetická energie Ek mechanických oscilátorů naznačených v obr. 6.13c, d. V obr. 6.13 je zřejmá analogie mezi elektrickými a mechanickými kmity: 1. fáze: (obr. 6.13a1) Kondenzátor je nabit, elektrické pole v něm je mohutné a má energii Eel = Eel,max. Obvodem neprochází proud, I = 0, magnetické pole není vytvořeno, tedy Emg = 0. 2. fáze: (obr. 6.13a2) Kondenzátor se vybíjí, v obvodu vzniká proud a magnetické pole v cívce. Eel klesá, Emg roste. Při vzrůstu magnetického pole se v cívce indukuje elektromotorické napětí i, které brzdí nárůst proudu. 3. fáze: (obr. 6.13a3) Kondenzátor je zcela vybit, Eel = 0. Magnetická energie je tedy maximální, Emg = Emg,max. Cívkou prochází maximální proud. V následujícím okamžiku začne (dosud narůstající) magnetický indukční tok cívkou klesat. Tedy je dB/dt = 0, tj. i = 0. 4. fáze: (obr. 6.13a4) Proud klesá. Je udržován elektrickými silami indukovaného elektrického pole v cívce, které (podle Lenzova pravidla) posiluje klesající proud. Kondenzátor se znovu nabíjí, tentokrát s opačnou polaritou. Eel roste, Emg klesá. 5. fáze: (obr. 6.13a5) Kondenzátor je maximálně nabit, Eel = Eel,max. Obvodem neprochází proud, Emg = 0. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 289 6.4. NETLUMENÝ ELEKTRICKÝ OSCILAČNÍ OBVOD a) obvod RLC b) energie c) tleso na pružin d) matematické kyvadlo 2. 1. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Q = Qm L D1 R I = 0 C+ + L R C I L R C I Q = 0 I = -Im L R I Q = -Qm L D1 R I = 0 L R I L R I Q = 0 R I E (E )el p x = xm k m 0 v = 0 x `v `v x = 0 v = -vm v = 0 `v `v `v x = 0 `v m l çm ç = çm ç = 0 . ç = 0 . ç = çm . ç = 0 . ç = 0 + + + - - - E (E )mg k + + - - C + + - - C+ + + + - - - x = -xm ç = -çm C + + - I = -Im v = vm L C + + - - . ç = çm . Obr. 6.13obrkmit.1-13} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 290 6.4. NETLUMENÝ ELEKTRICKÝ OSCILAČNÍ OBVOD Od tohoto okamžiku začne probíhat děj podobný předešlému -- kondenzátor se znovu vybíjí, roste proud v opačném směru atd. -- až se obvod vrátí do stavu 1. Děj se pak opakuje jako celek. Přitom se v rezistoru trvale vyvíjí teplo, energie elektromagnetického pole klesá, mění se trvale v energii neuspořádaného tepelného pohybu molekul. Je-li R = 0, nedochází k ohmickým ztrátám, celková elektromagnetická energie je (téměř) konstantní. Proč ,,téměř konstantní? Protože při oscilacích proudu a elektromagnetického pole vznikají elektromagnetické vlny, které se šíří z obvodu a odnášejí část elektromagnetické energie. Obvod vyzařuje. Ztráty vyzařováním jsou však při nízkých frekvencích oscilací (f < 105 Hz) zanedbatelně malé. Při vysokých frekvencích je však třeba s nimi počítat. 6.4.0.4 Diferenciální rovnice kmitů v sériovém obvodě RLC V této části budeme zkoumat průběh proudu v obvodě znázorněném na obr. 6.13a. Hlavní výsledky jsou: 1. Funkce času, udávající proud I(t) v obvodě RLC na obr. 6.13a, vyhovuje diferenciální rovnici (6.40), tj. diferenciální rovnici tlumených kmitů. 2. V obvodě na obr. 6.13a vznikají tlumené proudové kmity -- proud mění periodicky směr. Funkce udávající proud je dána vztahem (6.41). 3. V ideálním dokonale vodivém obvodě (R = 0) vznikají netlumené kmity o frekvenci f dané vztahem (6.44). K provedení důkazu platnosti uvedených výsledků stačí odvodit diferenciální rovnici (6.39). Další tvrzení z ní vyplývají. Orientujeme obvod podle obr. 6.13a a označíme I(t) (časově proměnný) proud v obvodě a Q(t) (časově proměnný) náboj na desce D1. Při průchodu proudu celková energie E elektromagnetického pole v obvodě trvale klesá a mění se v Jouleovo teplo s výkonem Pz = RI2, kde R je odpor celého obvodu. Je-li C kapacita kondenzátoru a L indukčnost cívky, je E = Eel + Emg, kde Eel = 1 2 Q2(t) C , Emg = 1 2 LI2 (t) . Jsou-li ztráty energie způsobené vyzařováním zanedbatelně malé (f < 105 Hz), plyne ze zákona zachování a přeměny energie vztah - d dt 1 2 Q2(t) C + 1 2 LI2 (t) = RI2 (t). (6.36){kmit.1-22} Provedeme-li derivaci na levé straně (derivujeme složené funkce!), dostaneme - Q(t) C dQ(t) dt - LI(t) dI(t) dt = RI2 (t). (6.37){kmit.1-23} Při orientaci obvodu podle obr. 6.13a platí dQ = Idt, tj. dQ/dt = I(t). Užijeme-li tohoto vztahu v rovnici (6.37), dostaneme pro netriviální řešení (I = 0) vztah L dI(t) dt + RI(t) + Q(t) C = 0. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 291 6.4. NETLUMENÝ ELEKTRICKÝ OSCILAČNÍ OBVOD Užijeme znovu vztah I(t) = dQ/dt a nahradíme I(t) veličinou Q(t). Dostaneme rovnici L d2Q(t) dt2 + R dQ(t) dt + 1 C Q(t) = 0 , L ¨Q(t) + R ˙Q(t) + 1 C Q(t) = 0 . (6.38){kmit.1-24a} Tuto rovnici znovu zderivujeme podle času a po dosazení I(t) = dQ/dt získáme diferenciální rovnici tlumených kmitů v obvodě RLC : L d2I(t) dt2 +R dI(t) dt + 1 C I(t) = 0 , L¨I(t)+R ˙I(t)+ 1 C I(t) = 0 . diferenciální rovnice tlumených kmitů v obvodě RLC (6.39){kmit.1-24b} Když tuto rovnici (6.39) vydělíme veličinou L, pak zavedením označení = R/2L, 2 0 = 1/(LC) dostaneme pro funkci I(t) diferenciální rovnici d2I(t) dt2 + 2 dI(t) dt + 2 0I(t) = 0 , ¨I(t) + 2 ˙I(t) + 2 0I(t) = 0 , (6.40){kmit.1-25} kde = R 2L , 2 0 = 1 LC . Stejnou rovnici dostaneme z rovnice (6.38) pro funkci Q(t). Rovnice (6.40) je shodná s rovnicí (6.33) pro tlumený kmitavý pohyb. Je-li < 0, je jejím řešením obdoba funkce (6.35), tj. funkce I(t) = I0e-t sin( 2 0 - 2 t + ), tlumené kmity proudu v obvodu RLC (6.41){kmit.1-26} (viz diskuze rovnice (6.35)). V obvodu RLC vznikají tlumené kmity (proudu), jejichž průběh je znázorněn v obr. 6.12. 6.4.0.5 Dokonale vodivý obvod LC (R = 0) Diferenciální rovnici pro funkci Q(t) udávající náboj a pro funkci I(t) udávající proud dostaneme z rovnic (6.38), (6.39) dosazením R = 0. Výslednou diferenciální rovnici uvedeme pro srovnání současně s rovnicemi pro pohyb tělesa na pružině a pro pohyb fyzického kyvadla, v níž označíme moment setrvačnosti J, aby nedocházelo v tomto případě k záměně s označením časové závislosti proudu I(t): diferenciální rovnice obecný tvar 0 odpovídá si L ¨Q(t) + 1 C Q(t) = 0 0 = 1/ LC L 1/C L¨I(t) + 1 C I(t) = 0 ¨y(t) + 2 0y(t) = 0 0 = 1/ LC L 1/C m¨x(t) + kx(t) = 0 0 = k/m m k J ¨(t) + mga(t) = 0 0 = mga/J J mga (6.42){kmit1.1-6} V ideálním oscilačním obvodě (R = 0) vznikají netlumené harmonické kmity náboje a proudu. Např. funkce I(t) je dána vztahem I(t) = Im sin(0t + ), (6.43){kmit.1-27a} kde Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 292 6.5. SKLÁDÁNÍ KMITŮ 0 = 1 LC . Thomsonův vztah (6.44){kmit.1-27b} Rovnice (6.44) se nazývá Thomsonův vztah. 6.5 Skládání kmitů kladaniKmitu}aniKmituUvod} V této části budeme vyšetřovat pohyb tělesa, které koná současně dva kmitavé pohyby. Co značí výrok ,,koná současně dva kmitavé pohyby , je znázorněno v obr. 6.14. Těleso T koná kmity ve svislém směru na pružině upevněné na desce, která sama koná kmitavý pohyb ve svislém směru. Je-li y1(t) funkce času, která udává výchylku desky ve vztažné soustavě S spojené se T `y (t)1 S' S `y (t)2m Obr. 6.14obrkmit.1-14} Zemí, a je-li y2(t) funkce udávající výchylku tělesa T ve vztažné soustavě S spojené s deskou, pak výchylka tělesa T v soustavě S je dána funkcí u(t), danou vztahem u(t) = y1(t) + y2(t) skládání kmitavých pohybů (6.45){kmit.1-28} {ram-150} a říkáme, že těleso T koná kmitavý pohyb složený ze dvou kmitavých pohybů o výchylkách y1(t), y2(t). V uvedeném příkladě měly oba skládané pohyby stejný směr. Na obr. 6.15 je znázorněno skládání kmitavých pohybů navzájem kolmých. Konec pružné tyče (bod A) koná současně dva kmitavá pohyby. Je-li x(t) funkce udávající jeho výchylku při kmitání ve směru osy Ox a y(t) funkce udávající jeho výchylku ve směru osy Oy, pak jeho výsledná výchylka je opět dána vztahem (6.45). Trajektorie bodu A je (přibližně) rovinná křivka. Na obr. 6.16 jsou znázorněny tzv. spřažené oscilátory. Nebudeme vyšetřovat jejich pohyb, uvádíme je jen pro ilustraci skládání kmitavých pohybů. Lze totiž dokázat, že výchylku každého z obou kmitajících těles lze vyjádřit ve tvaru (6.45), kde x1(t) a x2(t) jsou harmonické funkce o jistých frekvencích (které závisí na tuhostech pružin a hmotnostech těles). Každý z oscilátorů tedy vykonává pohyb složený ze dvou stejnosměrných harmonických pohybů. V technická praxi i v teoretických úvahách se nejčastěji vyskytuje skládání harmonických kmitavých pohybů. O skládání harmonických pohybů se hovoří i tehdy, když nějakou jinou veličinu než výchylku lze vyjádřit součtem harmonických funkcí. Např. napětí uAB na svorkách cívky a napětí uDE na svorkách odporu v obr. 6.2b jsou harmonické funkce času. Napětí Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 293 ? ? ? 6.5. SKLÁDÁNÍ KMITŮ `x y x A `u `y Obr. 6.15obrkmit.1-15} uAE je dáno vztahem uAE = uAB + uDE, tj. vzniklo složením dvou harmonických ,,pohybů . O významu teorie skládání harmonických pohybů svědčí i to, že každý periodický pohyb lze k'k k `x (t)1 `x (t)2 m1 m2 Obr. 6.16obrkmit.1-16} interpretovat jako pohyb vzniklý složením spočetného množství harmonických pohybů. Rozborem periodických (i neperiodických) dějů z hlediska jejich vyjádření harmonickými funkcemi se zabývá v matematice tzv. harmonická analýza. V tomto textu se budeme zabývat pouze nejjednoduššími případy skládání harmonických kmitavých pohybů uvedenými v následujícím přehledu, v němž 1 a 2 jsou úhlové frekvence skládaných pohybů: * skládané kmity ­ stejmosměrné: 1 = 2 opět harmonický pohyb, 1 . = 2 (1 = 2) zázněje, 1 = 2 obecný pohyb, někdy periodický, ­ navzájem kolmé: 1 = 2 pohyb po elipse, kružnici, případně přímce, 1 = 2 obecný pohyb v rovině, někdy periodický (Lissajousovy křivky). 6.5.1 Skládání stejnosměrných harmonických pohybů o stejných frekvencích (1 = 2 = ) Harmonickych}{cast515B} Budeme uvažovat o hmotném bodu, který vykonává současně dva harmonické pohyby o frekvenci f = 2 podél osy Ox. Jeho výchylka x(t) je dána vztahem Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 294 ? 6.5. SKLÁDÁNÍ KMITŮ x(t) = x1(t) + x2(t), skládání kmitavých pohybů podél osy Ox (6.46){kmit.1-29} {ram-151} kde x1(t) = xm,1 cos(t + 1) a x2(t) = xm,2 cos(t + 2). Konstanty xm,1, xm,2 a 1, 2 jsou amplitudy a fázové konstanty obou harmonických pohybů. Výsledný pohyb hmotného bodu je funkcí (6.46) plně popsán. V dalším provedeme pouze její rozbor a diskuzi. Ukážeme, že funkci (6.46) lze upravit do tvaru x(t) = xm cos(t + ), (6.47){kmit.1-30} kde xm a , jsou vhodné konstanty. To značí: Pohyb, vzniklý složením dvou stejnosměrných harmonických pohybů o stejných frekvencích, je opět harmonický a má stejnou frekvenci jako skládané pohyby. Důkaz lze provést tak, že se funkce (6.46) upraví do tvaru (6.47) s užitím trigonometrických vzorců. My zde však zvolíme postup, při němž užijeme grafického znázornění harmonických pohybů fázovými vektory. Grafické skládání harmonických pohybů (a s tím související užití komplexních funkcí) se totiž ve fyzice i v technické praxi objevuje velmi často, např. při výkladu interference vlnění, v elektrotechnice v teorii střídavých proudů, atd. Tedy osvojení si grafické metody skládání harmonických kmitů je právě tak důležité, jako znalost výsledku (6.47). Vedeme orientovanou osu Ox podle obr. 6.17. Funkci x1(t) ve vztahu (6.46) znázorníme fázovým vektorem A1, funkci x2(t) fázovým vektorem A2. Pro t = 0 s mají vektory A1, A2 polohy znázorněné v části označené 1 . Průmět vektoru A = A1 + A2 do osy Ox v okamžiku t = 0 s je dán vztahem Ax(0) = A1,x(0) + A2,x(0) = xm,1 cos 1 + xm,2 cos 2 = x1(0) + x2(0) = x(0), tj. je roven výchylce výsledného harmonického pohybu (6.46) v okamžiku t = 0 s. Ježto frekvence skládaných harmonických pohybů jsou stejné, otáčejí se vektory A1,A2 se stejnou úhlovou frekvencí. Trojúhelník daný vektory A1, A2, A(= A1 + A2) se tedy otáčí bez změny tvaru (obr. 6.17). V obecném okamžiku t > 0 je vektor A v poloze 2 . Jeho průmět do osy Ox je Ax(t) = A1 cos(t+1)+A2 cos(t+2) = xm,1 cos(t+1)+xm,2 cos(t+2) = x1(t)+x2(t) = x(t). Hodnota funkce x(t) dané vztahem (6.46) je tedy rovna průmětu rovnoměrně rotujícího vektoru O A sin 2 2 1 2 ~A1 ~A ~A (t)1 ~A (t)2 ~A(t) 2 1 t t Acos(t+ ) x A sin 1 1 A sin A cos 1 1 A cos 2 2 A cos ~A2 Obr. 6.17obrkmit.1-17} A do osy Ox. Proto lze funkci x(t) vyjádřit ve tvaru (6.47). Hodnoty veličin xm, plynou z obr. 6.17 s užitím kosinové věty a definice funkce tg : A = A2 1 + A2 2 + 2A1A2 cos(2 - 1) = x2 m,1 + x2 m,2 + 2xm,1xm,2 cos(2 - 1) = xm, (6.48) Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 295 6.5. SKLÁDÁNÍ KMITŮ tg = A1 sin 1 + A2 sin 2 A1 cos 1 + A2 cos 2 = xm,1 sin 1 + xm,2 sin 2 xm,1 cos 1 + xm,2 cos 2 . (6.49){kmit.1-31} Hlavní výsledky: 1. Kmitavý pohyb vzniklý složením dvou stejnosměrných harmonických pohybů o stejných frekvencích je opět harmonický a má stejnou frekvenci jako skládané harmonické pohyby. 2. Amplituda xm výsledného harmonického ohybu závisí jak na xm,1, xm,2, tak i na fázovém rozdílu 2 - 1. Platí |xm,2 - xm,1| xm xm,1 + xm,2 (obr. 6.18a). 3. Při skládání harmonických pohybů o amplitudách stálé velikosti xm,1, xm,2 a o různých hodnotách fázového rozdílu 2 - 1 nabude xm maximální hodnoty xm,max tehdy, když vektory A1, A2 mají stejnou orientaci. Platí xm,max = xm,1 + xm,2 pro 2 - 1 = 2n, kde n = 0, 1, 2, . . . . Skládané harmonické pohyby mají v tomto případě stejné fáze, tj. jsou ve fázi (obr. 6.18b). Vektor A má minimální velikost tehdy, když vektory A1, A2 míří proti sobě, tj. když skládané harmonické pohyby mají opačné fáze (obr. 6.18c): xm,min = |xm,2 - xm,1| pro 2 - 1 = (2n + 1), kde n = 0, 1, 2, . . . . Je-li v tomto případě navíc xm,1 = xm,2, je xm,min = 0. 6.5.2 Skládání stejnosměrných harmonických pohybů o různých frekvencích, 1 = 2. armonickychI}{cast515C} Nechť hmotný bod vykonává současně (ve smyslu dříve uvedeném) dva stejnosměrné harmonické pohyby o výchylkách x1(t) = xm,1 cos(1t + 1), x2(t) = xm,2 cos(2t + 2), (6.50){kmit.1-32a} takže jeho výchylka x(t) je dána vztahem x(t) = x1(t) + x2(t). (6.51){kmit.1-32b} Znázorníme-li harmonické pohyby (6.50) opět fázovými vektory A1(t), A2(t) (obr. 6.17), bude vektor A1(t) rotovat s úhlovou rychlostí 1 a vektor A2(t) s jinou úhlovou rychlostí 2. Vektor A(t) = A1(t) + A2(t) bude trvale měnit svoji velikost a bude se otáčet nerovnoměrně. Ježto jeho průmět do osy Ox je opět roven x(t), tj. platí x(t) = Ax(t), není funkce x(t) harmonická, tj. nelze ji vyjádřit ve tvaru (6.47). Výsledný pohyb není harmonický a obecně ani periodický. 6.5.2.1 Podmínka periodičnosti Kdy je pohyb o výchylce x(t), daný vztahy (6.50), (6.51), periodický? Tehdy, když oba vektory A1(t), A2(t) se v některých časech t1, t2, . . . > 0 dostanou současně do polohy, ve které byly v čase t = 0 s. Nejmenší z těchto časů, tedy t1, je perioda T složeného pohybu. Během periody Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 296 ? 6.5. SKLÁDÁNÍ KMITŮ b) a) c) t = + k22 1 x + xm,1 m,2 x(t) = x (t)+ x (t)1 2 x(t) t t 0 0 0 x(t) x(t) = + (2k + 1)22 1 xm xm,1 xm,2x (t)1 x (t)2 x(t) = x (t)+ x (t)1 2 x (t)1 x (t)2 x (t)1 x (t)2 x(t) = x (t)+ x (t)1 2 Obr. 6.18obrkmit.1-18} T musí každý z vektorů vykonat celistvý počet otáček -- vektor A1(t) p-otáček a vektor A2(t) q-otáček, kde p, q jsou jistá celá čísla. Platí tedy 1T = 2p, 2T = 2q 1 2 = p q , f1 f2 = p q , T1 T2 = q p . podmínka periodičnosti (6.52){kmit.1-33} {ram-152} Pohyb složený ze dvou harmonických (a obecně periodických) pohybů je periodický právě tehdy, Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 297 6.5. SKLÁDÁNÍ KMITŮ je-li splněna podmínka (6.52). Podobně lze dokázat, že složením většího počtu harmonických (a obecně periodických) pohybů vznikne periodický pohyb právě tehdy, jsou-li frekvence všech skládaných pohybů v poměru celých čísel, tj. platí-li f1 : f2 : f3 : . . . = p : q : r : . . .. 6.5.3 Skládání stejnosměrných harmonických pohybů o různých (blízkých) frekvencích, splňujících vztah 1 . = 2 rmonickychII}{cast515D} V obr. 6.19 jsou znázorněny dva děje, při nichž dochází ke skládání harmonických pohybů s frekvencemi mírně se lišícími. V obr. 6.19a jsou znázorněny dvě nepatrně rozladěné ladičky (mohou to být např. i struny). Element vzduchu v bodě P, kterým se šíří současně akustické vlny z obou ladiček, koná současně harmonické kmity s frekvencemi f1, f2 splňujícími vztah f1 . = f2. V obr. 6.19b vysílá zdroj Z elektromagnetické vlny o frekvenci f směrem k vozidlu. Jestliže se vozidlo pohybuje směrem ke zdroji nebo od zdroje, detekuje detektor D v odražené vlně frekvenci f = f. Složením elektrických kmitů o frekvencích f, f vzniká kmitání o frekvenci fD = |f - f|, z níž lze určit rychlost vozidla. Složené kmitání o rozdílové frekvenci |f - f| se nazývá často zázněje. b)a) f1 f2 P Z D f f f' `v Obr. 6.19obrkmit.1-19} Vznik záznějů vysvětlíme s užitím fázových vektorů. Budeme zkoumat pohyb o výchylce x(t) dané funkcí x(t) = x1(t) + x2(t), (6.53){kmit.1-34a} kde x1(t) = xm,1 cos(1t + ), x2(t) = xm,2 cos(2t + 2), |1 - 2| 1, 2 (6.54){kmit.1-34b} Harmonické pohyby (6.54) znázorníme vektory A1(t), A2(t), které rotují s úhlovými rychlostmi 1, 2 ve směru naznačeném v obr. 6.20. V části 1 jsou vektory A1(t), A2(t) (a jejich vektorový součet A(t) = A1(t)+A2(t)) zakresleny v okamžiku t = 0 s, kdy svírají úhel |1 -2|. Předpokládejme pro určitost, že platí 1 > 2. Vektor A1(t) se pak otáčí poněkud rychleji než vektor A2(t) a ,,dohání jej. Úhel (A1(t)A2(t)) se zmenšuje (poloha 2 ). V poloze 3 vektor A1(t) dostihl vektor A2(t). Velikost vektoru A(t) postupně vzrůstala a v poloze 3 nabyla největší hodnoty |A|max = A1 + A2 = xm,1 + xm,2. Pak se úhel (A1(t)A2(t)) zvětšuje a |A(t)| se zmenšuje. V některém pozdějším okamžiku budou vektory A1(t), A2(t) mířit proti sobě a |A(t)| bude mít nejmenší možnou hodnotu |A|min = |A1 - A2| (poloha 4). Poté bude |A(t)| znovu narůstat atd. Ježto platí |1 - 2| 1, 2 (tj. 1 . = 2), otáčí se vektor A(t) zřejmě téměř rovnoměrně, a to přibližně úhlovou rychlostí = (1 + 2)/2 ( . = 1 . = 2) Jeho velikost se pomalu mění tak, že platí |A1 - A2| A A1 + A2. Jeho průmět do osy Ox (obr. 6.20) je v každém okamžiku roven příslušné hodnotě funkce x(t), dané vztahy (6.53), (6.54). Výsledný pohyb, popsaný funkcemi (6.53), (6.54), je proto téměř harmonický. Má frekvenci f( . = f1 . = f2) a (relativně) pomalu se měnící amplitudu xm(t), která se mění s jistou frekvencí fz (a periodou Tz), nazývanou frekvence (perioda) záznějů. Frekvencí fz určíme takto: Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 298 ? 6.5. SKLÁDÁNÍ KMITŮ x ~A1 ~A2 1 2 1 4 > 1 2 ~A = ~A + ~A1 2 2 4 3 ~A = ~A + ~A1 2 ~A = ~A + ~A1 2 ~A1 ~A1 ~A1 ~A2 ~A2 ~A2 1 2 Obr. 6.20obrkmit.1-20} Perioda záznějů Tz je doba, která uplyne mezi jedním překrytím vektorů A1(t), A2(t) (obr. 6.20 poloha 3, A1(t) A2(t)) a nejbližším dalším překrytím. Za tuto dobu vykoná vektor A1 počet otáček f1Tz a vektor A2 počet f2Tz. Vektor A2 přitom vykonal buď o jednu otáčku méně (při 1 > 2) než vektor A1, nebo o jednu otáčku více (při 1 < 2). Odtud plyne |f1Tz - f2Tz| = 1 |f1 - f2| = 1 Tz fz = |f1 - f2|. frekvence záznějů (6.55){kmit.1-35} {ram-153} Hlavní výsledek Funkce daná vztahy (6.53), (6.54) popisuje (téměř) harmonický pohyb o frekvenci f . = f1 . = f2 a o amplitudě xm(t), která se mění relativně pomalu, a to periodicky, s frekvencí fz = |f1 -f2|. Kmitání tohoto typu se nazývá zázněje. Na obr. 6.21 je znázorněna funkce x(t) (rovnice 6.53) pro případ A1 = A2. Na obr. 6.22 je znázorněna tatáž funkce v případě, že platí A1 = A2. t u 0 A + A1 2 |A - A |1 2 Tz u = u + u , A A1 2 1 2 Obr. 6.21obrkmit.1-21} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 299 6.5. SKLÁDÁNÍ KMITŮ Důsledky a užití: Při poslechu dvou mírně rozladěných zvukových zdrojů (ladiček v obr. 6.19a) slyšíme tón o frekvenci přibližně rovné frekvenci obou ladiček. Amplituda kmitů, tj. i intenzita zvuku, kolísá periodicky s frekvencí fz danou vztahem (6.55). Proto se hovoří o ,,záznějích neboli ,,rázech . Zázněje vznikají vždy, když se skládají dva mechanické nebo i elektrické kmity o téměř stejných frekvencích. Záznějů se využívá při slaďování dvou oscilátorů tak, že měníme frekvenci jednoho z nich (nebo obou) a zkoumáme zázněje. Je-li fz velké, oscilátory jsou silně rozladěny. Pro fz 0 (tj. Tz , velmi pomalé zázněje) je f2 f1. u = u + u , A = A (= A)1 2 1 2 t u 0 Tz 2A Obr. 6.22obrkmit.1-22} 6.5.4 Skládání harmonických kmitů navzájem kolmých KmituKolmych}{cast515E} V technické praxi se někdy setkáváme s pohybem vzniklým složením dvou přímočarých různosměrných kmitavých pohybů. Trajektorie bodu, který vykonává takový pohyb, je rovinná křivka. Základním typem takových pohybů je pohyb vzniklý složením (superpozicí) dvou navzájem kolmých harmonických pohybů. Takovýto pohyb vykonává např. konec nosníku obdélníkového průřezu naznačeného v obr. 6.1. Vyšetříme uvedený pohyb v případech, že platí buď 1 = 2 (tj. frekvence skládaných pohybů jsou stejné) nebo 1 = 2 a současně 1 : 2 = p : q kde p, q jsou celá čísla. 1 = 2 = : Zavedeme pravoúhlý souřadnicový systém Oxy tak, že osy Ox, Oy míří ve směru skládaných pohybů (obr. 6.23). Vyšetříme pohyb bodu P(x, y), jehož souřadnice jsou dány vztahy x(t) = xm sin(t + ) , (6.56){kmit.1-36a} y(t) = ym sin(t + ). (6.57){kmit.1-36b} Oscilace mají stejné frekvence, ale mohou se lišit amplitudami a fázemi. Soustava (6.56), (6.57) udává trajektorii bodu P v parametrickém tvaru. Trajektorie leží v obdélníku o stranách délky 2xm, 2ym se středem v počátku souřadnic. Její tvar určíme z rovnice, kterou získáme vyloučením parametru t. Nejdříve přepíšeme (6.57) do tvaru y(t) = ym sin[t + - ( - )] = ym cos(t + ) sin( - ) - ym sin(t + ) cos( - ) . (6.58){kmit.1-3601} Zavedeme veličinu = - a po dosazení za sin(t + ) = x/xm do rovnice (6.58) dostaneme y(t) = ym cos(t + ) sin - ym x xm cos . Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 300 ? 6.5. SKLÁDÁNÍ KMITŮ y xm0 x C P(x,y) x y -xm ym -ym Obr. 6.23obrkmit.1-23} Pak už nezbývá, než si vzpomenout na vztah cos2(t + ) = 1 - sin2 (t + ) = 1 - x2 x2 m , pomocí kterého dále horní vztah upravíme na y(x) = ym 1 - x2 x2 m sin - ym x xm cos . Což po osamostatnění výrazu s odmocninou a následném umocnění přejde na tvary y ym + x xm cos = 1 - x2 x2 m sin , (6.59){kmit.1-3602} y2 y2 m + 2 y ym x xm cos + x2 x2 m cos2 = sin2 - x2 x2 m sin2 . Vynásobením celé rovnice výrazem x2 my2 m x2 my2 + 2xmymxy cos + y2 mx2 cos2 = x2 my2 m sin2 - y2 mx2 sin2 . Převedením členu y2 mx2 sin2 z pravé strany rovnice na levou získáme po vytknutí x2 my2 + 2xmymxy cos + y2 mx2 (cos2 + sin2 ) = x2 my2 m sin2 , což je rovnice x2 my2 + 2xmymxy cos + y2 mx2 = x2 my2 m sin2 . obecný vztah pro složky navzájem kolmých skládaných kmitů (6.60){kmit.1-3603} {ram-154} V dalším provedeme diskuzi této rovnice vzhledem k možným hodnotám fázového posuvu a poměru amplitud xm a ym (jednotlivé možné dále zmiňované případy jsou pro větší názornost uvedeny v obr. 6.24). Je-li = /2, pak cos(/2) = 0 a zároveň sin2 (/2) = 1 a (6.60) přejde v rovnici elipsy ve středovém tvaru x2 my2 + y2 mx2 = x2 my2 m y2 y2 m + x2 x2 m = 1, = /2 . (6.61){kmit.1-3604} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 301 6.5. SKLÁDÁNÍ KMITŮ Tvar elipsy -- délka os, excentricita, sklon i směr oběhu bodu P po ní jsou závislé na velikosti amplitud xm, ym a na hodnotě fázové konstanty . Uvedený pohyb se někdy nazývá eliptický harmonický pohyb. Jsou-li amplitudy obou kolmých pohybů stejné xm = ym, dostáváme z (6.61) speciální případ ­ rovnici kružnice ve středovém tvaru: x2 + y2 = x2 m, pro xm = ym a = /2 . (6.62)kmit.1-3604a} Snadno se lze přesvědčit, že v případě, kdy rozdíl jednotlivých počátečních fází bude = /2, bude bod P obíhat po kružnici po směru hodinových ručiček (pravotočivý systém oběhu), zatímco pro hodnotu = 270 se bude pohybovat proti směru chodu hodin (levotočivý systém). Jiný speciální případ výsledného složeného pohybu dostaneme pro nulový rozdíl fází, tedy případ = 0 cos = 1, sin = 0. Pak rovnice (6.60) nabude tvaru y2 mx2 - 2xmymxy + x2 my2 = 0 pro = 0 , (6.63){kmit.1-3605} ve kterém poznáváme (ymx - xmy)2 = 0 , (6.64){kmit.1-3606} což není nic jiného, než rovnice přímky (případně rovnice osy prvního a třetího kvadrantu, je-li xm = ym) ¤ = 0"= 360" ¤ = 30" ¤ = 60" ¤ = 90" ¤ = 120" ¤ = 150" ¤ = 180" ¤ = 210" ¤ = 240" ¤ = 270" ¤ = 300" ¤ = 330" Obr. 6.24obrkmit.1-24} y = ym xm x pro = 0 . (6.65){kmit.1-3607} Obdobným způsobem pro = obdržíme rovnici y = - ym xm x pro = , (6.66){kmit.1-3608} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 302 ? 6.6. PŘÍKLADY K ČÁSTI 6 což je opět rovnice přímky, tentokráte odpovídající ose kvadrantu druhého a třetího (za podmínky xm = ym). Poznamenejme, že informaci o fázovém rozdílu dvou harmonických pohybů (6.56) lze získat proměřením elipsy, která vznikne jejich složením ve dvou směrech navzájem kolmých (obr. 6.23). Např. bod C má souřadnici xC = xm| sin |. Změříme-li xm, xC, můžeme vypočítat | sin |. Takto se postupuje např. při určování fázového posuvu dvou střídavých napětí. 1 : 2 = p : q (p, q celá čísla) Rovinný pohyb bodu P(x, y) : x(t) = xm sin(1t + ), y(t) = ym sin(2t + ) je za uvedeného předpokladu periodický (srovnejte odst. 6.5.2). Trajektorie jsou uzavřené křivky, které se nazývají Lissajousovy křivky (čti lisažusovy). Jejich tvar závisí na poměru 1/2 a na fázovém posuvu = - skládaných pohybů. V obr. 6.25 je naznačeno několik takových křivek pro různé hodnoty . Neznáme-li poměr 1 : 2, lze jej z Lissajousovy křivky určit. 6.6 Příklady k části 6 kladyKmitani} KP 6-8{pr6.R-1} Těleso o hmotnosti m je zavěšeno na pružině o tuhosti k a kmitá na ní v homogenním tíhovém poli Země (obr. 6.26). Zanedbejte hmotnost pružiny a síly odporu a předpokládejte, že amplituda kmitů je malá. Dokažte, že těleso koná harmonický pohyb s úhlovou frekvencí = k/m, tj. s frekvencí stejnou jako v případě znázorněném v obr. 6.7. : = 1:21 2 : = 2:31 2 Obr. 6.25obrkmit.1-25} Řešení: Volme osu Ox orientovanou podle obr. 6.26 s počátkem v bodě, v němž by byl konec nezatížené pružiny. Při pohybu působí na těleso dvě síly: tíha G a síla Fp od pružiny. Výchylka x(t) tělesa je funkcí času, která vyhovuje diferenciální rovnici, kterou odvodíme stejným postupem jako rovnici (6.20): Vyjdeme z druhého Newtonova pohybového zákona pro těleso o hmotnosti m a postupně dostaneme ma = G + Fp, max = Gx + Fp,x m d2x(t) dt2 = mg - kx(t), d2x(t) dt2 + k m x(t) = g ¨x(t) + k m x(t) = g . Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 303 ? 6.6. PŘÍKLADY K ČÁSTI 6 Obecným řešením této nehomogenní4 diferenciální rovnice je funkce 0 k xrov m x(t) Obr. 6.26obrkmit.1-26} x(t) = mg k + xm sin k m t + , (6.67){rovpr6.R-1} kde xm > 0, jsou libovolné konstanty -- amplituda a fázová konstanta. Tím je důkaz proveden. Zopakujeme výsledek: Těleso koná harmonický pohyb s úhlovou frekvencí = k/m kolem bodu o souřadnici xrov = mg/k. To je však souřadnice rovnovážné polohy tělesa, tj. souřadnice tělesa zavěšeného v klidu na pružině. Amplituda xm a fázová konstanta závisí na počátečních podmínkách, tj. určíme je pomocí známých funkčních hodnot x(t0) = x(0) = x0 a ˙x(t0) = ˙x(0) = ˙x0, které známe. Je-li např. těleso v čase t = 0 upuštěno s nulovou počáteční rychlostí z místa, kde je pružina nenatažena (nedeformována), tj. x0 = 0 a ˙x0 = 0, pak fyzikální řešení (matematik je již uspokojen nalezením rovnice (6.67)), splňující zadané počáteční podmínky, lze získat z rovnic 0 = xm sin + mg k , 0 = xm cos = (2n + 1) 2 , kde n = 0, 1, 2, ... (6.68) Zvolme n = 0, pak xm = -mg k , tedy námi hledané řešení x(t) je v konečném tvaru x(t) = 2mg k (1 - cos t) , kde = k m . (6.69){rovpr6.R-2} O správnosti výsledku se můžeme přesvědčit například dosazením vhodných okamžiků t = t0 = 0, t = t1 = T/4 = 2 4 , t = t2 = T/2 = 2 2 , t = t3 = 3T/4 = ... a t = t4 = T/2, ve kterých výchylky x(ti) dokážeme stanovit jen na základě úvahy o jejich vztahu k úhlové frekvenci a době kmitu T. KP 6-9{pr6.P-1} Nakreslete graf funkce x(t) = 0,02 sin 4t v časovém intervalu od t0 = 0 s do t1 = 2,5 s. 4 S nenulovou pravou stranou. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 304 6.6. PŘÍKLADY K ČÁSTI 6 KP 6-10{pr6.P-2} Výchylka tělesa o hmotnosti m = 0,5 kg, které koná harmonický kmitavý pohyb podél osy Ox, je dána vztahem x(t) = 0,03 sin(15t + 2) [SI]. Nakreslete náčrtek a určete (a lze-li to, rovněž do náčrtku zakreslete) veličiny: 1. Fázi v okamžiku t1 = 2 s; 2. a) Periodu, b) frekvenci, c) amplitudu; 3. a) Polohový vektor, b) vektor rychlosti, c) vektor zrychlení v okamžiku t2 = 0 s; 4. Výslednou sílu působící na těleso a) jako funkci času, b) při průchodu rovnovážnou polohou, c) v krajních polohách; 5. Upravte vztah pro výchylku do tvaru a) x(t) = C1 cos(C2t + C3), b) x(t) = C4 sin t + C5 cos t (tj. určete hodnoty konstant C1, C2, C3, C4, C5 a ). KP 6-11{pr6.P-3} Zobrazte graficky časový průběh a) výchylky, b) rychlosti, c) zrychlení tělesa, které koná harmonický pohyb o výchylce y(t) = 0,02 sin 4t [SI]. KP 6-12{pr6.P-4} Těleso o hmotnosti m = 0,2 kg kmitá harmonicky podél osy Oy tak, že vykoná 5 kmitů za 3 s. V čase t = 0 s byla jeho výchylka maximální a měla hodnotu y0 = ym = 40 mm. Sestrojte náčrtek a řešte úkoly: 1. Napište vztah vyjadřující výchylku jako funkci času; 2. Určete a) frekvenci, b) periodu pohybu; 3. Určete a) maximální velikost hybnosti tělesa a b) jeho maximální kinetickou energii; 4. Určete největší velikost výslednice sil působících na těleso. Zakreslete. KP 6-13{pr6.P-5} Píst o hmotnosti m = 0,7 kg koná ve válci kmitavý pohyb s frekvencí f = 10 Hz. Zdvih pístu je 120 mm. Považujte pohyb za harmonický, nakreslete náčrtek, do kterého postupně zakreslujte uvažované veličiny, a určete: 1. Maximální rychlost pístu; 2. a) Maximální kinetickou energii, b) maximální velikost hybnosti pístu; 3. Vektor zrychlení v krajních polohách; 4. Maximální sílu, kterou působí píst na ojnici při běhu naprázdno za předpokladu, že tlak plynu na obou stranách pístu je stejný a že třeni je zanedbatelné. KP 6-14{pr6.P-6} Vodorovná deska koná harmonický pohyb o amplitudě 20 mm s periodou 0,1 s ve svislém směru. Na její horní straně je připevněno těleso o hmotnosti 3 kg. Sestrojte náčrtek a určete: 1. Směr a velikost maximálního zrychlení tělesa; 2. Směr a velikost maximální výsledné síly, působící na těleso; 3. Směr a velikost síly, kterou na těleso působí deska v nejvyšším a nejnižším bodě; 4. Rozhodněte, zda by těleso vykonávalo harmonický pohyb s deskou, kdyby k ní nebylo připevněno, nýbrž jen na ní bylo položeno. KP 6-15{pr6.P-7} Na pružině, která má v nezatíženém stavu délku l1 = 400 mm, visí v klidu těleso o hmotnosti m = 2 kg. Pružina je přitom protažena na délku l2 = 430 mm. Těleso vychýlíme z rovnovážné polohy směrem dolů o 20 mm a uvolníme s nulovou počáteční rychlostí. Zanedbejte hmotnost pružiny a síly odporu a počítejte s hodnotou g = 10 m s-2. Určete: 1. Tuhost pružiny; 2. Frekvenci kmitů.; 3. Počet kmitů, které vykoná těleso za 1 minutu; 4. Amplitudu kmitů; 5. Rychlost, se kterou bude těleso procházet rovnovážnou polohou; 6. Sílu, kterou bude působit pružina, na těleso a) v horní, b) v dolní krajní poloze. Uvažované veličiny zakreslete do náčrtku (viz příklad KP 6-8). KP 6-16{pr6.P-8} Těleso o hmotnosti m = 1,5 kg je zavěšeno na pružině P a kmitá s amplitudou 30 mm tak, že Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 305 6.6. PŘÍKLADY K ČÁSTI 6 rovnovážnou polohou prochází rychlostí o velikosti 120 mm s-1. Zanedbejte hmotnost pružiny a síly odporu a počítejte s hodnotou g = 10 m s-2. Určete: 1. a) Frekvenci a b) periodu pohybu; 2. Tuhost pružiny; 3. Sílu, kterou působí P na těleso při jeho průchodu a) rovnovážnou, b) horní krajní, c) dolní krajní polohou. Zakreslete do náčrtku. KP 6-17{pr6.P-9} Na konec volné zavěšené pružiny o tuhosti k = 50 N m-1 připevníme těleso o hmotnosti m = 0,5 kg a držíme je v ruce, takže pružina není deformována. V okamžiku t1 = 0 s těleso pustíme s nulovou počáteční rychlostí, takže začne kmitat ve svislém směru. Zanedbejte hmotnost pružiny a síly odporu a počítejte s hodnotou g = 10 m s-2. Sestrojte náčrtek a zakreslete do něho uvažované veličiny. Určete: 1. Sílu, kterou působí těleso na pružinu ihned po uvolnění, tj. např. v okamžiku t2 = 10-5 s; 2. Zrychlení, se kterým se začne těleso pohybovat; 3. Nejnižší bod trajektorie; 4. Sílu, kterou působí pružina na těleso a) v nejvyšším bodě trajektorie, b) v nejnižším bodě trajektorie, c) v rovnovážné poloze; 5. Zrychlení tělesa v nejnižší poloze; 6. a) Frekvenci a b) amplitudu kmitů. KP 6-18{pr6.P-10} Těleso o hmotnosti m = 0,6 kg, zavěšené na pružině, koná kmity s frekvencí f = 0,5 Hz. Poté oddělíme od pružiny její jednu čtvrtinu a na zbytek zavěsíme totéž těleso. Zanedbejte hmotnost pružiny a síly odporu. Určete: 1. Tuhost původní pružiny; 2. Tuhost zkrácené pružiny; 3. Frekvenci kmitů tělesa na zkrácené pružině. KP 6-19{pr6.P-11} Na pružině o tuhosti k = 120 N m-1 je připevněno těleso T1 o hmotnosti m1 = 1,5 kg. K němu přiléhá volně těleso T2 o hmotnosti m2 = 1,0 kg (obr. 6.27). Silou F působící na T2 zprava se tělesa posunou doleva a pružina se stlačí o délku d = 80 mm. Poté přestane síla F působit a tělesa se začnou z klidu pohybovat doprava. Zanedbejte hmotnost pružiny a podložku považujte za dokonale hladkou. Určete: 1. Energii stlačené pružiny; 2. Rychlost, se kterou se bude pohybovat těleso T2 po odpoutání. Zakreslete; 3. Frekvenci kmitů tělesa T1; 4. Amplitudu kmitů tělesa T1; 5. Sílu, kterou bude působit těleso T1 na těleso T2 na začátku pohybu. Zakreslete. k m1 T2 m2 T1 Obr. 6.27obrkmit.1-27} KP 6-20{pr6.P-12} Na jednom konci tuhé tyče délky l = 1 m je upevněno těleso T1 o hmotnosti m1 = 0,4 kg, na druhém konci malé těleso T2 o hmotnosti m2 = 0,6 kg. Tyč koná malé kmity kolem vodorovné osy, která je kolmá na osu tyče a která prochází bodem P na ose tyče ve vzdálenosti l = 0,3 m od tělesa T2. Zanedbejte hmotnost tyče a síly odporu, tělesa T1, T2 považujte za hmotné body a počítejte s g = 10 m s-2. Nakreslete náčrtek. Pro uvedenou soustavu určete: 1. Polohu hmotného středu; 2. Moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení; 3. a) Úhlovou frekvenci, b) frekvenci, c) periodu kmitů. KP 6-21{pr6.P-13} Řešte příklad KP 6-20 za předpokladu, že ve vzdálenosti d = 0,4 m od tělesa T1 bylo k tyči Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 306 6.6. PŘÍKLADY K ČÁSTI 6 připevněno další malé těleso (hmotný bod) T3 o hmotnosti m3 = 1 kg. KP 6-22{pr6.P-14} Soustava, sestávající ze tří malých těles T1, T2, T3 o hmotnostech m1 = m2 = m3 = 0,4 kg spojených tuhými tyčemi stejných délek d = 0,5 m, koná malé kmity kolem vodorovné osy o (obr. 6.28). Zanedbejte hmotnost tyčí a síly odporu, tělesa považujte za hmotné body a počítejte s g = 10 m s-2. Pro uvedenou soustavu určete: 1. Polohu hmotného středu. Zakreslete; 2. Moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení; 3. a) Úhlovou frekvenci, b) frekvenci, c) periodu malých kmitů. m1 o d d 2 m2 m3 Obr. 6.28obrkmit.1-28} KP 6-23{pr6.P-15} Řešte příklad KP 6-22 pro hodnoty m1 = m2 = 0,4 kg, m3 = 0,8 kg. KP 6-24{pr6.P-16} Těleso nepravidelného tvaru o hmotnosti m = 4 kg koná malé kmity kolem vodorovné osy o s periodou T = 2 s. Jeho hmotný střed je ve vzdálenosti a = 0,5 m od osy o. Zanedbejte síly odporu a počítejte s g = 10 m s-2. Určete: 1. Moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose o; 2. Moment setrvačnosti tělesa vzhledem k přímce jdoucí jeho hmotným středem rovnoběžně s osou o. KP 6-25{pr6.P-17} Homogenní kruhová deska o poloměru r = 0,4 m a o hmotnosti m = 2 kg koná malé kmity kolem vodorovné osy o (obr. 6.29). Zanedbejte síly odporu, počítejte s g = 10 m s-2 a užijte vztahu IC = 0,5mr2, kde IC je moment setrvačnosti desky vzhledem k přímce jdoucí kolmo na desku jejím hmotným středem5. Určete: 1. Moment setrvačnosti desky vzhledem k ose o; 2. Periodu malých kmitů. KP 6-26{pr6.P-18} Řešte příklad KP 6-25 za předpokladu, že v bodě A je k desce připevněno malé těleso (hmotný bod) o hmotnosti m1 = m = 2 kg. 5 Uvedený vztah se odvodí z definičního vztahu pro I užitím integrálního počtu. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 307 6.6. PŘÍKLADY K ČÁSTI 6 KP 6-27{pr6.P-19} Řešte příklad KP 6-25 za předpokladu, že v bodě B je k desce připevněno malé těleso (hmotný bod) o hmotnosti m2 = m = 2 kg. KP 6-28{pr6.P-20} Řešte příklad KP 6-25 za předpokladu, že v desce o původní hmotnosti m = 2 kg se vyřízne kruhový otvor o poloměru r1 = r/2 se středem v C, takže deska má tvar mezikruží o poloměrech r1, r. KP 6-29{pr6.P-21} Určete redukovanou délku fyzického kyvadla uvažovaného v příkladě KP 6-25. KP 6-30{pr6.P-22} Pro desku uvažovanou v příkladě KP 6-25 určete periodu malých kmitů kolem osy o rovnoběžné s přímkou o (obr. 6.29). o' r C B A r 2 o Obr. 6.29obrkmit.1-29} KP 6-31{pr6.P-23} Předpokládejte, že na obr. 6.29 je znázorněna obruč o poloměru r = 0,4 m a hmotnosti m = 2 kg. Zanedbejte síly odporu a počítejte s g = 10 m s-2. Určete: 1. Moment setrvačnosti vzhledem k ose o; 2. Periodu malých kmitů; 3. Redukovanou délku tohoto kyvadla. KP 6-32{pr6.P-24} Fyzické kyvadlo místěné v klidném výtahu koná malé kmity s periodou T0 = 2s. Zanedbejte síly odporu a počítejte s g = 10 m s-2. Odvoďte pohybovou rovnici pro toto kyvadlo a vypočtěte periodu kmitu ve výtahu, který právě: 1. Romnoměrně a) stoupá, b) klesá s rychlostí o velikostí v = 1,5 m s-1; 2. a) Klesá, b) stoupá se stálým zrychlením a1 o velikosti a1 = 2 m s-2 orientovaným dolů; 3. a) Klesá, b) stoupá se stálým zrychlením a2 o velikosti a2 = 2 m s-2 orientovaným vzhůru. Doporučení: Užijte vztažného systému spojeného s kabinou výtahu. KP 6-33{pr6.P-25} Ideální (bezztrátový) oscilační obvod LC, v němž je kondenzátor K a cívka o vlastní indukčnosti Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 308 6.6. PŘÍKLADY K ČÁSTI 6 L = 2mH (obr. 6.30), kmitá s frekvencí f = 1000 Hz. Maximální napětí na kondenzátoru přitom je Um = 100 V. Určete: 1. Kapacitu kondenzátoru; 2. Maximální náboj kondenzátoru; 3. Maximální elektrickou energii obvodu; 4. Celkovou elektromagnetickou energii obvodu; 5. Maximální magnetickou energii obvodu; 6. Maximální proud v obvodu. L C K Obr. 6.30obrkmit.1-30} KP 6-34{pr6.P-26} Určete frekvenci oscilačního obvodu, který vznikne z obvodu na obr. 6.30, jestliže do něho zapojíme další kondenzátor shodný s kondenzátorem K a) do serie, b) paralelně ke kondenzátoru K. KP 6-35{pr6.P-27} Určete s užitím grafického skládání amplitudu harmonického pohybu, který vznikne složením dvou stejnosměrných harmonických pohybů, z nichž jeden má výchylku dánu (v soustavě SI) vztahem x0 = 0,04 sin 200t a druhý vztahem 1. x1 = 0,03 cos 200t; 2. x2 = 0,02 sin 200t; 3. x3 = 0,04 sin(200t + /4); 4. x4 = 0,04 cos(200t - /4); 5. x5 = 0,05 sin(200t + 0,5). KP 6-36{pr6.P-28} Určete amplitudu harmonického pohybu, který vznikne složením tří stejnosměrných harmonických pohybů o výchylkách (v soustavě SI): x1 = 0,03 sin 100t, x2 = 0,04 cos 100t, x3 = 0,06 cos(100t + /4). KP 6-37{pr6.P-29} Složením dvou stejnosměrných harmonických pohybů o stejných frekvencích, z nichž první má výchylku danou vztahem x1 = 0,03 sin 500t [SI], vznikne harmonický pohyb o výchylce x = 0,05 cos 500t [SI]. Určete funkci udávající výchylku druhého pohybu. KP 6-38{pr6.P-30} Tři stejnosměrné harmonické pohyby mají frekvence v poměru f1 : f2 : f3 = 2 : 3 : 4. Druhý z nich má frekvenci f2 = 120 Hz. Určete periodu harmonického pohybu vzniklého složením 1. Pohybu 1 a 2; 2. Pohybu 2 a 3; 3. Pohybů 1, 2, 3. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 309 7. Vlnění{Vlneni} 7.1 Postupné mechanické vlnění anickeVlneni}keVlneniUvod}{cast521A}{cast521} 7.1.1 Co je to vlnění? Vlnění, neboli vlny, je děj, jehož příklady jsou znázorněny na obr. 7.1a-d. Obr. 7.1a znázorňuje `v zemina koleje vedení vzduch A B a) vzduch výbuch zemina b) elo vlny smr šíení vlny kámen smr pohybu element vody c) t > t2 1 t > t3 2 t1 smr pohybu elementu vlákna smr postupu vlny vlna d) voda Obr. 7.1{obrvln.2-1} děj, který vzniká při jízdě elektrické lokomotivy. Nárazy kol na kolejnice se mírně deformují kolejnice i kola v místě styku (body A, B). Odtud se deformace šíří konečnou rychlostí jak kolejnicemi, tak koly. Z nich se přenášejí do všech látek, s nimiž jsou kola a kolejnice ve styku. Z kol do ložisek, z nich postupně na hřídel, karoserii, do vzduchu atd. Z kolejnic do podloží, do vzduchu atd. Tento děj -- přenášení deformace, pohybu a energie mezi sousedními elementy látek -- se nazývá mechanické vlnění nebo mechanické vlny. 7.1.1.1 Co je charakteristické pro mechanické vlny? 1. Mechanické vlnění je formou (nebo ,,druhem ) pohybu látkového prostředí. Elementy látky se při průchodu vlny vychylují ze svých rovnovážných poloh a pohybují kolem nich většinou zcela nepatrně. Např. ve zvukové vlně ve vzduchu mají výchylky Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 310 ? ? 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ elementů vzduchu velikosti mnohdy pouhých 10-9 m, podobně i v kapalinách a pevných látkách. Proto je nelze prostým okem většinou pozorovat. 2. Změna deformace a napětí, tj. mechanický rozruch, postupuje od jednoho elementu k druhému. Proto se toto vlnění nazývá mnohdy postupné vlnění. Rychlost postupu rozruchu v prostředí se nazývá rychlost vlnění a značí se obvykle c (nebo v). Závisí na setrvačných vlastnostech látky (tj. na její hustotě) a na silách, kterými na sebe působí navzájem sousední elementy látky při deformaci (např. u vln, podmíněných pružností látky, závisí rychlost vlnění na jejích modulech pružnosti). Typické hodnoty rychlostí c: vzduch . . . 340 m/s, voda . . . 1 450 m/s, ocel. . . 5 000 m/s (viz tabulky 10). Mechanické vlnění současně přenáší i energii, hybnost. atd. 7.1.1.2 Různé druhy vlnění 1. Pružné (elastické) vlny jsou mechanické vlny podmíněné pružností látek (pevných, kapalných i plynů). Jsou znázorněny na obr. 7.1a, b. 2. Tíhové vlny na povrchu kapaliny jsou znázorněny na obr. 7.1c. Jsou podmíněny tíhovými silami působícími na elementy kapaliny. 3. Kapilární vlny se šíří na povrchu kapalin. Jsou podmíněny kapilárními jevy. 4. Příčné vlny na vlákně jsou podmíněny ohebností vlákna a silou, kterou je vlákno napínáno (obr. 7.1d). 5. Elektromagnetické vlny jsou znázorněny na obr. 7.2. Elektrický náboj Q, který byl až do okamžiku t = 0 s v klidu, začne kmitat. Tím se začne měnit pole, čelo vlny, které vytváří ve svém okolí: až do okamžiku t = 0 s bylo pole v celém prostoru elektrostatické. Při pohybu náboje se pole začne měnit, vzniká i složka magnetická. Tato změna pole se šíří do prostoru rychlostí c . = 3108 m/s-1 , takže v určitém okamžiku t > 0 je vně koule K o poloměru r = ct ještě pole elektrostatické a uvnitř již pole elektromagnetické. Tento děj, tj. šíření změny elektromagnetického pole, se nazývá elektromagnetické vlnění. Při šíření elektromagnetického pole se šíří a přenáší, podobně jako při šíření mechanických vln, i energie a hybnost. Kulovou vlnu, znázorněnou na obr. 7.2, lze vytvořit např. přeskokem jiskry. V praxi vznikají elektromagnetické vlny periodickým pohybem nábojů ve vodičích -- anténách nebo pohybem nábojů v atomech a molekulách. 6. Gravitační vlny vznikají šířením změn gravitačního pole, podobně jako vlny elektromag- netické. 7.1.2 Co se děje v pružné vlně? {CoSeDeje}{cast521B} Šíření pružné vlny v tyči. Na obr. 7.3 je znázorněno šíření pružné vlny v tyči. Tyč si myslíme rozdělenu na malé stejně velké elementy (obr. 7.3a) a předpokládáme, že na první element začne působit zleva proměnná síla F v naznačeném směru. Pak: 1. Element 1 se začne pohybovat doprava a současně se stlačí (obr. 7.3b). 2. S nepatrným zpožděním se začne pohybovat i element 2 vlivem síly F12 od elementu 1 a síly F32 od elementu 3. Současně se začne i deformovat (stlačovat) (obr. 7.3c). Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 311 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ Obr. 5.2-2 Q r = ct K elektromagnetické pole elo vlny elektrostatické pole smr šíení rozruchu a energie Obr. 7.2{obrvln.2-2} 3. Další pohyb elementů tyče je zřejmý z obr. 7.3d, e. Elementy si předávají deformaci. Deformace, tj. vlna, postupuje doprava rychlostí, která závisí na látce, v níž se vlna šíří, a nezáleží na tom, jak jsou elementy deformovány. ~F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a) ~F 1 2 3 4 b) ~F1Í2 ~F3Í2 ~F 1 2 3 4 c) ~F d) ~F e) c Obr. 7.3{obrvln.2-3} Poznámky: 1. Je zřejmé, že začne-li působit na tyč délky 1 síla F podle obr. 7.3 (uhodíme-li do ní nebo jejím koncem pohneme rukou), vznikne v tyči vlna, která dorazí na druhý konec tyče až po uplynutí doby t = l/c. Do té doby je druhý konec v klidu. Tyč se nepohne najednou jako celek. 2. Podobně jako vlny v tyči šíří se vlny i potrubím naplněném kapalinou nebo plynem (vodní potrubí, výfukové potrubí). Při vyšetrování neustáleného proudění v potrubí a při návrzích příslušných zařízení je nutno k existenci vln přihlédnout. KP 7-1{} Na obr. 7.4 je znázorněno vodní potrubí spojující vzdálené nádrže N1, N2. Ventil V je zpočátku uzavřen, pak jej v okamžiku t = 0 s otevřeme. Popište děj, který nestane v potrubí. Určete, Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 312 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ v kterém okamžiku se začne voda pohybovat v místě A1 vzdáleném o l1 = 2 km od ventilu a v místě A2 vzdáleném o l2 = 1,5 km od ventilu. N2 N1 A1 A2V vlny Obr. 7.4{obrvln.2-4} Řešení: Po otevření ventilu klesne tlak nalevo od ventilu a stoupne napravo od něj. Směrem k bodu A1 se šíří snížení tlaku, tj. dilatační vlna, směrem k bodu A2 kompresní vlna. Do bodu A1 dorazí vlna v okamžiku t1 = 11/c, kde c = 1 450 ms-1 je rychlost vln ve vodě (z tabulek). Tedy t1 = 2 000 m/(1 450ms-1) = 1,38 s. Do bodu A2 dorazí vlna v okamžiku t2 = l2/c = 1,03 s. Až do okamžiků t1, t2 je voda v bodech A1, A2 v klidu, teprve pak se začne pohybovat. 7.1.2.1 Podélné a příčné vlny Podélné (neboli longitudinální) vlny jsou takové vlny, při nichž se elementy prostředí pohybují (většinou kmitají) ve směru a proti směru postupu rozruchu. Příkladem podélné vlny je vlna v tyči znázorněná na obr. 7.3 nebo vlna v potrubí na obr. 7.4. Podélné vlny se mohou šířit v plynech, kapalinách i v pevných látkách. Příčné (neboli transversální) vlny jsou takové vlny, v nichž se elementy prostředí vychylují a pohybují kolmo na směr šíření vlny. Uhodíme-li např. do tyče ve směru kolmém na její osu (obr. 7.5), budou elementy tyče na sebe působit smykovými silami (síly F12, F23 atd). Všechny elementy tyče se budou pohybovat ve směru kolmém na osu tyče, tj. kolmém na směr šíření vlny. Přitom se budou deformovat smykovými silami, aniž by měnily objem. Takovéto vlny se nazývají příčné. Pružné příčné vlny jsou podmíněny existencí smykových sil. Mohou se tedy šířit pevnými látkami, nikoliv však kapalinami a plyny. Rychlosti příčné a podélné vlny v pevné látce jsou různé. Další typy příčných vln jsou příčné vlny na vlákně (obr. 7.1d) nebo ~F 1 2 3 ~F1Í2 ~F3Í2 Obr. 7.5{obrvln.2-5} elektromagnetické vlny šířící se ve volném prostoru v dosti velké vzdálenosti od zdrojů. Např. v rovinné elektromagnetické vlně jsou vektory E, B, které charakterizují elektromagnetické pole ve vlně, kolmé na směr šíření vlny (viz odstavec 8.1.1.1). Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 313 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ 7.1.3 Výchylka, rychlost částic, rychlost vlnění, čelo vlny, vlnoplocha chlostCastic}{cast521C} 1. Výchylka u je vektor, který udává směr a velikost posunutí elementu prostředí jako celku z rovnovážné polohy při průchodu vlny. Výchylka u je funkcí polohy a času, tj. u(P; t) nebo u(x, y, z; t), kde P je obecný bod o souřadnicích x, y, z. Šíří-li se vlna na vlákně nebo v jiném jednorozměrném prostředí, zavedeme osu Ox (nebo Oy atd.) ve směru vlákna. Výchylka u pak závisí jen na z a na t. Je-li vlna šířící se podél osy Ox příčná, tj. platí-li u Ox a leží-li výchylky všech bodů (elementů prostředí) v jedné rovině (jdoucí osou Ox), nazývá se vlna lineárně polarizovaná. Taková vlna je znázorněna na obr. 7.6. Obvykle se zavádí osa Ou a namísto o vektoru u se uvažuje o jeho průmětu do osy Ou, který se označuje u a který se nazývá rovněž výchylka. Platí u >=< 0. Křivka K udává výchylku u v určitém čase t jako funkci veličiny x. Podélnou vlnu znázorňujeme tak, že vektor u otočíme o 90, tak jak je zřejmé u (mm) x (m) 3 2 1 -1 0 1 2 3 4 5 6 D F K A `u (`u ) E G C `u - výchylka v podélné vln c Obr. 7.6{obrvln.2-6} z obr. 7.6, který znázorňuje i výchylku v podélné vlně postupující ve směru osy Ox. Body z intervalu (D, G) jsou vychýleny ve směru osy Ox, body z intervalu (G, C) ve směru opačném. Otočený vektor výchylky opět promítneme do osy Ou a průmět u opět nazýváme výchylka. Ve zvukové harmonické vlně se veličina u nazývá akustická výchylka. 2. Rychlost elementu v je dána (podle definice rychlosti) vztahem v = u/t. V podélné nebo příčné lineárně polarizované vlně leží vektory u, v v jedné přímce. V podélné vlně platí u v Ox, v příčné u v Ox. V obou případech pak rychlostí elementu nazýváme i skalární veličinu v = u t . Je-li např. v > 0, pohybuje se element v podélné vlně ve směru osy Ox a v příčné vlně ve směru osy Ou. Je-li v < 0, je směr pohybu opačný. Ve zvukové harmonické vlně se veličina v nazývá akustická rychlost. 3. Tlak ve vlně je veličina, která je důležitá při šíření vln v kapalinách a plynech. Při šíření harmonické zvukové vlny se nazývá přírůstek tlaku proti původnímu tlaku ve vlně akustický tlak. Značí se p a platí pro něj p >=< 0. 4. Rychlost vlnění c je název pro velikost rychlosti, se kterou postupuje rozruch. Závisí na vlastnostech prostředí. Pozor: nezaměňovat c s rychlostí pohybu elementu v! Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 314 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ 5. Čelo vlny je souhrn bodů, ohraničujících vlnu, tj. oddělujících ji od té části prostoru, do níž vlna ještě nepronikla. Šíří-li se rozruch v trojrozměrném prostředí všemi směry stejnou rychlostí, je čelo vlny z bodového zdroje koule (obr. 7.7a), z lineárního zdroje válcová plocha (obr. 7.7b). Ve velké vzdálenosti od zdroje je čelo vlny přibližně rovinné (obr. 7.7c). a) c paprsek Z FV b) Z V c F c) FV c Obr. 7.7{obrvln.2-7} 6. Vlnoplocha. Jestliže zdroj Z kmitá periodicky, zavádíme pojem vlnoplochy jako plochy, jejíž všechny body kmitají se stejnou fází (plochy V v obr. 7.7). Podle tvaru vlnoploch se vlny nazývají kulové, válcové, rovinné. Obecná vlna má vlnoplochy obecného tvaru. 7. Paprsek je křivka, podél níž se šíří ve vlně energie (mechanická, elektrická). V izotropním prostředí (např. ve vzduchu, ve vodě, v oceli, nikoliv však v krystalech) jsou paprsky kolmé na vlnoplochy. 7.1.4 Zákon superpozice vlnění OSuperpozici}{cast521D} Zákon superpozice vlnění zní: Nechť v pružném prostředí budí zdroj Z1 vlnu, v níž je výchylka dána funkcí u1(x, y, z; t) (obr. 7.8). Nechť zdroj Z2 budí vlnu o výchylce u2(x, y, z; t). Pak oba zdroje současně budí vlnu o výchylce u(x, y, z; t) = u1(x, y, z; t) + u2(x, y, z; t) . (7.1) Podobně výchylka ve vlnění vzbuzeném větším počtem zdrojů je rovna vektorovému součtu výchylek ve vlnách z jednotlivých zdrojů. Zákon superpozice vlnění platí v pružném prostředí za podmínky, že výchylky a deformace jsou tak malé, že platí Hookův zákon, tj. že deformace je lineárně závislá na napětí. Zákon superpozice lze považovat buď za přímý výsledek experimentů, nebo jej lze odvodit z diferenciální rovnice vlnění (rovnice (7.29)). Ta je ovšem rovněž odvozena na základě výsledků experimentů. Příklady a důsledky zákona superpozice. Pro šíření vln, znázorněné na obr. 7.8, v němž se vlny z (vhodných) zdrojů Z1, Z2 šíří pouze do určitých směrů, platí: V oblasti A, kde se vlny překrývají, platí u(x, y, z; t) = u1(x, y, z; t)+u2(x, y, z; t), kde u1(x, y, z; t) = 0, u2(x, y, z; t) = 0. V oblasti B, v níž je u2(x, y, z; t) = 0, je u(x, y, z; t) = u1(x, y, z; t), tj. výchylka u(x, y, z; t) je právě taková, jako kdyby zdroj Z2 nezářil. Setkání s vlnou 2 v oblasti A vlnu 1 vůbec neovlivnilo. Analogicky v oblasti C platí u(x, y, z; t) = u2(x, y, z; t). V důsledku platnosti zákona superpozice se přenášejí vzduchem zvukové signály (řeč, hudba) tak, že nejsou ovlivněny (deformovány) jinými zvukovými vlnami, se kterými se při šíření setkaly. Podobně jako pro elastické (tj. i zvukové) vlny platí zákon superpozice i pro vlny elektromagnetické. Rovněž elektromagnetické vlny se při šíření většinou neovlivňují. Z mnoha elektromagnetických vln, které se šíří prostorem a dopadají na anténu rozhlasového přijímače, lze oddělit selektivním přijímačem jednu. Signál, který tato vlna přenáší (řeč, hudba) není přitom jinými Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 315 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ Z2 Z1 A B C `u1 vlna 1 `u2 vlna 2 `u = `u + `u1 2 Obr. 7.8{obrvln.2-8} vlnami ovlivněn, tj. zkreslen. Jiný příklad superpozice je znázorněn na obr. 7.9. Dvě prostorově t1 t (>t )2 1 c c a) `u1 `u1 `u1 `u2 `u2 `u2 b) c) d) t (>t )3 2 t (>t )4 3 `u = `u + `u1 2 Obr. 7.9{obrvln.2-9} ohraničené lineárně polarizované příčné vlny na vlákně se šíří proti sobě beze změny tvaru (okamžiky t1, t2). V určitém časovém intervalu se obě vlny překrývají (např. okamžik t3) a výchylka ve výsledném vlnění je dána vztahem u(x, y, z; t) = u1(x, y, z; t) + u2(x, y, z; t). V pozdějším okamžiku (t4) jsou vlny opět odděleny a postupují dál, přičemž zachovaly svůj tvar. 7.1.5 Matematické vyjádření postupující vlny iPostupujici}{cast515F} Vlny na vlákně, v trubicích a tyčích i vlny rovinné se šíří ve většině případů téměř beze změny tvaru (obr. 7.9a, b). Zcela beze změny tvaru by se šířily v uvedených případech vlny jen tehdy, Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 316 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ kdyby v prostředí, jímž se vlna šíří, nebylo vnitřního tření. Jeho vlivem se mechanická energie vlny postupně mění v energii tepelného pohybu molekul, tj. ve vnitřní energii látky a vlna se tlumí. Šíření těchto vln bez změny tvaru lze považovat buď za experimentální fakt nebo za důsledek vlnové rovnice (7.28). V dalším odvodíme vztah pro výchylku u ve vlně obecného tvaru postupující beze změny tvaru rychlostí c podél osy Ox, a to pro dva případy: a) je znám tvar vlny, tj. výchylka u, v určitém okamžiku, např. v okamžiku t = 0 s, tj. je dáno u(x; t = 0) = f(x); b) je známa závislost výchylky na čase v určitém bodě, např. v bodě o souřadnici x = 0 m, tj. je dáno u(z = O; t) = F(t). V bodě x = 0 m může být např. umístěn zdroj vlnění. Je dáno u(x; t = 0) = f(x) Výchylka u ve vlně, postupující podél osy Ox buď v jejím směru nebo ve směru opačném, je funkcí veličin x, t. V okamžiku t = 0 s je tato funkce známa, je dána funkcí f(x), tj. platí u(x; t = 0) = f(x). V obr. 7.10 je tato funkce znázorněna křivkou K1. Obr. 5.2-11 x uc s3 u = f(x+ct) t > 0 O O'' § d = ct d = ct O' s1 s2u = f(x) t = 0 u = f(x-ct) c x s t s' t+t ct A A' B C' C c Obr. 7.10{obrvln.2-10} Vlna postupující ve směru osy Ox V okamžiku t > 0 je vlna znázorněna křivkou K2, která vznikne posunutím křivky K1 o úsek délky d = ct ve směru osy Ox. Výchylka u je dána vztahem u = f(), (7.2){kmit.2-1} kde význam veličiny je zřejmý z obr. 7.10. Platí x(t) = d+ = ct+ = x-ct. Dosadíme-li odsud do vztahu (1), dostaneme u(t) = f(x - ct). vlna ve směru osy Ox (7.3){kmit.2-2} {ram-155} Tímto vztahem je vyjádřena výchylka ve vlně jako funkce veličin x, t. Vlna postupující proti směru osy Ox V okamžiku t > 0 bude vlna znázorněna křivkou K3, která vznikne posunutím křivky K1 o úsek délky d = ct proti směru osy Ox. Vyjádříme-li výchylku v tomto okamžiku pomocí veličiny (obr.7.10), platí u = f(). Ježto platí = d+x = ct + x, dostaneme u = f(x + ct). vlna proti směru osy Ox (7.4){kmit.2-3} {ram-156} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 317 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ KP 7-2{} Vyjádřete výchylku ve vlně postupující rychlostí c ve směru osy Oy, jestliže v okamžiku t = 0 s je výchylka dána funkcí u(y, 0) = A sin ky, kde A a k jsou konstanty. Řešení: Podle předešlého nahradíme ve funkci A sin ky proměnnou y veličinou y - ct. Dostaneme u(y, t) = A sin k(y - ct) To je hledaný vztah pro výchylku. Pro výchylku ve vlně, postupující opačným směrem, dostaneme podobně u(y, t) = A sin k(y + ct) KP 7-3{} Křivka K v obr. 7.11 nechť znázorňuje tvar vlákna, kterým se šíří příčná lineárně polarizovaná vlna, v okamžiku t. Úkoly: 1. Nakreslete tvar vlákna v okamžiku o něco pozdějším, tj. v okamžiku t + t, kde 1. 2. Rozhodněte, kterým směrem se pohybují v okamžiku t body, které jsou v poloze A, B, C. x s t s' t+t ct A A' B C' C c Obr. 7.11{obrvln.2-11} Řešení: 1. V okamžiku t + t má vlákno tvar daný křivkou K , která vznikne posunutím křivky K o úsek délky ct ve směru osy Ox (obr. 7.11). 2. Vlna je podle předpokladu příčná. Všechny body, které se právě pohybují, pohybují se kolmo na osu Ox. Bod vlákna, který byl v okamžiku t v poloze A, bude v okamžiku t+t v poloze A , pohybuje se tedy směrem dolů. Bod v poloze B je právě v klidu, bod C se pohybuje svisle vzhůru. Je také zřejmé, že bod v A se pohybuje rychleji, než bod v C. Je dáno u(x = 0; t) = F(t) Předpokládáme, že ve vlně, která se šíří podél osy Ox, je dána výchylka v bodě O(x = 0) jako funkce času, tj. že je dáno u(x = 0; t) = F(t) (obr. 7.12). V bodě O může být např. zdroj vlnění. Jaká bude výchylka v bodě o obecné souřadnici x = 0? Vlna postupující ve směru Ox Do bodu P o souřadnici x > 0 dorazí vlna v čase t = x/c. Od tohoto okamžiku se bude bod P pohybovat tak, jak se pohy boval dříve bod 0. Pohyb bodu P bude vzhledem k pohybu bodu O zpožděn o dobu t. Jeho výchylka. bude tedy dána vztahem u(x; t) = F t - x c . vlna ve směru osy Ox (7.5){kmit.2-4} {ram-157} Tento vztah vyjadřuje výchylku v obecném bodě x jako funkci času t. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 318 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ u x u = F(t) x P x c |x| = -x Q x c Obr. 7.12{obrvln.2-12} Vlna postupující proti směru Ox Vlna postupující proti směru osy Ox dostihne bod Q o souřadnici x < 0 v okamžiku = |x|/c. Pohyb bodu Q bude vzhledem k pohybu bodu O zpožděn o , jeho výchylka tedy bude dána vztahem u = F(t - ) = F(t - |x|/c), tj. u(x; t) = F t + x c , vlna proti směru osy Ox (7.6){kmit.2-5} neboť |x| = -x. Diskuse: 1. Jestliže zdroj vlnění není umístěn v bodě O(x = 0), nýbrž v obecném bodě Z(x = x0) a jestliže výchylka ve vlně, kterou vysílá podél osy Ox, je v bodě Z dána funkcí u(x0; t) = F(t), pak výchylka v obecném bodě P o souřadnici x na jedné nebo druhé straně bodu Z je dána vztahem u(x; t) = F t |x - x0| c . 2. Podobnými vztahy jako vztahy (7.3)­(7.6) je dána i rychlost částic ve vlně, v, (tj. akustická rychlost ve zvukové vlně), jejich zrychlení a, akustický tlak p atd. 3. Vztahy (7.3)­(7.6) vyjadřují i výchylku v obecné rovinné vlně šířící se podél osy Ox. 7.1.5.1 Sinusové (neboli harmonické) vlny liHarmonicke} Sinusové neboli harmonické vlny jsou velmi častým typem vln užívaných v technické praxi. Vznikají tak, že zdroj vln -- pružných, zvukových, elektromagnetických -- koná harmonické kmity. Každý bod ve vlně, šířící se neohraničeným prostředím, pak koná rovněž harmonické kmity o stejné frekvenci jako zdroj. Sinusové vlny v akustice přenášejí (nebo vytvářejí) čisté tóny. Ve sdělovací technice se přenášejí sinusovými elektromagnetickými vlnami signály v rozhlase, televizi, v radarové a laserové technice. Harmonická elektromagnetická vlna o frekvenci f = (1014­1015) Hz představuje monochromatické světlo. Nadto lze každou vlnu obecného tvaru vyjádřit jako součet harmonických vln o vhodných amplitudách, frekvencích a fázích (Fourierova analýza v matematice). V této části budou studovány základní vlastnosti harmonických vln postupujících v jednorozměrném prostředí, tj. i vln rovinných. Tzv. stojaté harmonické vlny budou studovány v odstavci 8.1.2. 7.1.5.2 Matematické vyjádření postupující harmonické vlny {cast521E} Nechť na velmi dlouhé (teoreticky nekonečné) struně, nebo v trubici, nebo v jiném jednorozměrném prostředí, se šíří podél osy Ox oběma směry rychlostí c vlny ze zdroje Z, umístěného Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 319 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ v bodě x = 0 m, vykonávajícího sinusové kmity. Výchylka ve vlně nechť je v tom bodě dána vztahem u(0; t) = Um sin(t + ), kde Um je amplituda výchylky, úhlová frekvence kmitů, počáteční fáze (neboli fázová konstanta) a = t + je fáze. Vztah pro výchylku v obecném bodě o souřadnici x dostaneme užitím rovnic (7.5), (7.6): u(x; t) = Um sin t - x c + , vlna ve směru Ox (7.7){kmit.2-6} {ram-158} u(x; t) = Um sin t + x c + . vlna proti směru Ox (7.8){kmit.2-7} {ram-159} Vztah (7.7) vyjadřuje výchylku v harmonické vlně postupující ve směru osy Ox (tj. akustickou výchylku ve zvukové vlně) nejen pro x > 0, nýbrž pro všechna x. Podobné tvrzení platí i o vztahu (7.8). 7.1.5.3 Jak se pohybují částice v sinusové vlně? Uvažujme o vlně postupující ve směru osy Ox, dané vztahem (7.7). Bod P o souřadnici xP koná kmity o výchylce u(xP ; t) = Um sin t - xP c + , tj. koná harmonický pohyb o amplitudě Um (nezávislé na x), o úhlové frekvenci (nezávislé na x) a o fázové konstantě = -xP /c+, která závisí na xP , a která je tedy pro každý bod jiná. Bod Q ve vzdálenosti s od bodu P ve směru postupu vlny (obr. 7.13) kmitá s fázovou konstantou = -(x + s)/c + , která se od liší o = - = - s c = - 2s Tc . Délka vlny je definována pro harmonickou vlnu jako vzdálenost, do které dospěje vlna A B Q C x u P s c O ç(Q) = ç(P) - s c ç(P) = - x c + D Obr. 7.13{obrvln.2-13} (rychlostí c) za jednu periodu, tj. za dobu t = T. Platí tedy Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 320 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ = Tc. definice vlnové délky (7.9){kmit.2-8} {ram-160} Dosadíme-li odsud do předešlého vztahu, dostaneme = -2s/. Vyjádříme tento výsledek přehledně: Dráze s uražené vlnou odpovídá změna fáze = -2 s . (7.10){kmit.2-9} Je-li s = , je = 2. To značí: Vlnová délka je vzdálenost nejbližších dvou bodů, jejichž fáze se liší o 2, tj. které kmitají se stejnou fází (poznámka: tímto výrokem lze rovněž vlnovou délku definovat). KP 7-4{} Sinusovka v obr. 7.13 nechť znázorňuje výchylku v příčné vlně o vlnové délce = 0,5 m postupující rychlostí c = 20 ms-1 ve směru osy Ox a to v jistém okamžiku t. Určete: 1. Dva body, které kmitají se stejnou fází; 2. Dva body, které kmitají s opačnými fázemi; 3. Frekvenci, se kterou kmitají body ve vlně; 4. Fázi kmitů bodu D, který má souřadnici xD = xB + h, kde h = 0,3 m. Řešení: 1. Body B, C; 2. Body A, C; 3. f =? Platí f = 1 T , kde T je dáno vztahem (7.9). Tedy f = 1 T = c = 20 ms-1 0,5m = 40 Hz; 4. (D) =? Fáze kmitů bodu B, tj. veličina (B) = t - xB c + , má v uvažovaném okamžiku nulovou hodnotu, neboť bod B má nulovou výchylku a výchylka roste (do kladných hodnot). Podle vztahu (7.10) má bod D fázi (D) = (B) - 2h/, tj. (D) = -2 h = -2 0,3m 0,5m = -1,2 radiánů . 7.1.5.4 Různé vyjádření harmonických vln {cast521F} Vztahy (7.7), (7.8) lze upravit s užitím vztahu = 2/T a vztahu = Tc takto: u(x; t) = Um sin t x c + = Um sin 2 T t x c + , u(x; t) = Um sin 2 t T x + . - ve směru Ox, + proti směru Ox (7.11){5210} Jiný užitečný tvar je u(x; t) = Um sin (t kx + ) , - ve směru Ox, + proti směru Ox (7.12){5211} kde veličina k = /c = 2/ se nazývá vlnové číslo. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 321 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ Velmi často se vyjadřuje výchylka v harmonické vlně v komplexním tvaru s užitím známého vztahu ei = cos + i cos cos = Re ei , sin = Im ei . Zde i je imaginární jednotka. Symboly Re f a Im f označují reálnou a imaginární část komplexní funkce f. Funkci (7.12) pak lze napsat ve tvaru u(x; t) = Um sin (t kx + ) = Im Umei(t kx+) . V odborné literatuře pojednávající o šíření vlnění se obvykle symboly Im, Re vynechávají a píše se u(x; t) = Umei(t kx+) . KP 7-5{} Výchylka v lineárně polarizované příčné vlně na vlákně je dána vztahem u(y; t) = 210-2 cos(200t+ 4y-1)[SI]. Určete: 1. Amplitudu vlny; 2. Směr šíření vlny; 3. Frekvenci vlny f; 4. Rychlost šíření vlny c; 5. Vlnovou délku ; 6. Výchylku bodu P o souřadnici y = 7 m v okamžiku t = 1 s; 7. Velikost a směr rychlosti bodu Q o souřadnici y = 0 m v okamžiku t = 0 s. Řešení: 1. Um = 2 10-2m; 2. Vlna se šíří proti směro osy Oy; 3. f = /2 = 200/2 = 31,8 s-1; 4. c =? Upravíme: u(y; t) = 2 10-2 cos 200 t + y 50 - 1 [SI]. Srovnáme se vztahem (7.8). Vychází c = 50 ms-1; 5. =? = Tc = c f = 50m s-1 31,8s-1 = 1,57m; 6. u(y = 7; t = 1) = 2 10-2 cos(200 1 + 4 7 - 1) m = 2 10-2 cos(227) m = 1,39 10-2 m; 7. v =? v = u t = 2 10-2 200 [- sin(200t + 4y - 1)] ms-1. Dosadíme: y = 0, t = 0 . . . v = -2 10-2 200 sin(-1)m s-1 = 3,37 ms-1; Rychlost v má velikost |v| = 3,37 ms-1 a je orientována ve směru osy Ou. 7.1.5.5 Fázová rychlost Rychlost c ve vztahu (7.7) pro výchylku v harmonické vlně se nazývá fázová rychlost, a to z tohoto důvodu: Veličina = t - x c + se nazývá, jak známo, fáze kmitů. Položme si tuto otázku: Jakou rychlostí v se musíme pohybovat ve směru osy Ox, abychom byli stále v místech, v nichž má fáze ve vlně (7.7) určitou hodnotu, např. 1. Odpověď: Pohybujeme-li se rychlostí v, má naše souřadnice hodnotu x(t) = vt + K, kde K je nějaká konstanta. Fáze pak má hodnotu = t - x c + = t vt + K c + = t(c - v) + K c + . Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 322 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ Má-li být stálé, tj. na čase nezávislé, musí být v = c. Rychlost c je tedy rychlost, se kterou se musíme v harmonické vlně pohybovat, abychom zastihli každý bod ve stejné fázi kmitů. Proto se tato rychlost nazývá fázová. V analogii s tímto výsledkem nazývá se i veličina c ve vztazích (7.3) ­ (7.6), vyjadřujících výchylku ve vlně postupující bez změny tvaru, rychlost fázová. Argumenty, tj. výrazy x ct a t x c , se nazývají fáze pohybu. Poznamenejme, že v některých látkách se vlny nešíří beze změny tvaru, nýbrž tvar vlny se mění, vlna se ,,deformuje . Pak je nutno rozlišovat rychlost čela vlny, fázovou rychlost sinusových vln, rychlost šíření energie atd. Tyto rychlosti jsou obecně různé. Tento jev se nazývá disperze vlnění. 7.1.6 Dopplerův jev DopplerůvJev} Co je to Dopplerův jev? Jestliže zdroj Z periodických vln koná kmity s frekvencí fZ, pak detektor těchto vln, např. posluchač v případě vln akustických, přijímá vlny s frekvencí fD, která je rovna fZ jen tehdy, jestliže se vzdálenost detektoru od zdroje nemění. Jestliže se tato vzdálenost mění, tj. jestliže se zdroj a detektor vůči sobě pohybují, jsou frekvence fD, fZ různé, fD = fZ. Tento jev se nazývá Dopplerův jev a projevuje se jak u vln mechanických, tak u vln elektromagnetických. 7.1.6.1 Příklady Dopplerova jevu 1. Přijíždí-li motocykl, jehož výfukové plyny proudí z výfukového potrubí periodicky s frekvencí fZ, pak člověk, který stojí u silnice, slyší zvuk o frekvenci f1 > fZ. Jestliže se motocykl vzdaluje, slyší člověk zvuk o frekvenci f2 < fZ. 2. Vysílá-li elektromagnetické vlny o frekvenci fZ zdroj (radiový vysílač) umístěný v družici Země nebo v kosmické sondě, pak frekvence fD, kterou zaznamená přijímač na Zemi, není (obecně) rovna fZ. Je-li frekvence fZ známa a změří-li se fD, lze určit radiální složku rychlosti družice vzhledem k Zemi (měření rychlosti družic). 3. Jedoucí vozidlo, na které dopadá radarová vlna (tj. elektromagnetická vlna o vlnové délce řádu 10-2 m), se stává sekundárním zdrojem odražených elektromagnetických vln. Detektor odražených vln, umístěný obvykle poblíž zdroje, zaznamená jinou frekvenci než má zdroj (měření rychlosti vozidel -- viz příklad KP 7-7). 4. Vlnová délka světla, vysílaného atomy pohybujícími se v plynové výbojce, závisí (zcela nepatrně) na velikosti a směru jejich rychlosti (tzv. Dopplerova šířka spektrálních čar). 5. Frekvence světla, které k nám přichází ze vzdálených oblastí vesmíru, je menší než frekvence světla vysílaného atomy stejného druhu na Zemi (tzv. rudý posuv ve spektru hvězd -- světlo hvězd má nepatrně větší vlnovou délku a příslušné spektrální čáry jsou posunuty směrem k červenému okraji spektra ve srovnání se spektrem pozemských zdrojů). Svědčí to o expanzi vesmíru. 6. Jede-li po silnici stálou rychlostí kolona vozidel stejně od sebe vzdálených, je perioda, se kterou vozy míjí pozorovatele pohybujícího se proti ní, menší než perioda, se kterou míjí klidného pozorovatele. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 323 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ K1 A1 A2 A3 K2 K3 t= t0 c c c `vZ P'' Q'' O '' Q' P' ' D x `vD M M Z Obr. 7.14{obrvln.2-14} 7.1.6.2 Zdroj v pohybu -- vlnová délka Budeme uvažovat o mechanických vlnách, např. o vlnách akustických, vyzařovaných všemi směry bodovým zdrojem o frekvenci f, který se pohybuje stálou rychlostí u vzhledem ke vzduchu. Budeme předpokládat, že platí u < c, kde c je rychlost zvuku ve vzduchu. Šíření vln je naznačeno v obr. 7.14 pro určitý okamžik t0. Kulové vlnoplochy K1, K2, K3 byly vyslány zdrojem Z v okamžicích t1 = 0 s, t2 = T, t3 = 2T, kde T je perioda kmitů. V těchto okamžicích byl zdroj postupně v bodech A1, A2, A3, které jsou od sebe vzdáleny o uT. Kulové vlnoplochy expandují rychlostí c. Vzdálenost sousedních vlnoploch, měřená kolmo na vlnoplochu, je vlnová délka v příslušném místě ( , , M atd.). Nejmenší vlnová délka ( ) je před zdrojem, největší ( ) za zdrojem. Hodnoty veličin a určíme takto: Z bodu A1 se šířila vlna do bodu P po dobu t0, platí tedy A1P = ct0. Vlnoplochu K2 vyslal zdroj v bodě A2 v okamžiku t2 = T, platí tedy A2Q = c(t0 - T). Z obr. 7.14 je zřejmé, že platí = A1P - A1Q = A1P - (A1A2 + A2Q ) = ct0 - [uT + c(t0 - T)] = (c - u)T = 1 - u c , kde = cT je vlnová délka vln šířících se z klidného zdroje. Podobně dostaneme vztah = (c+u)T. Zavedeme-li osu Ox vždy tak, že ji orientujeme od zdroje Z do místa, kde vlnovou délku zjišťujeme, lze oba odvozené (respektive uvedené) vztahy vyjádřit ve tvaru ( ) = (c - ux)T. Zde ux je průmět rychlosti u do osy Ox (ux >=< 0). Frekvenci kmitů, kterou zaznamená detektor D, pohybující se vzhledem ke vzduchu rychlostí v (v < c) buď směrem ke zdroji Z, nebo směrem opačným, označíme f . Určíme ji: Zavedeme osu Ox orientovanou od Z k D. Relativní rychlost vlnění vzhledem k detektoru c je pak dána vztahem c = c - vx. Frekvence kmitů f , které zaznamená zdroj, je číselně rovna počtu vln (o délce ), které jej minou během 1 s. Označíme-li t délku libovolného časového intervalu, v němž zkoumaný děj probíhá, platí f = c t 1 t = c - vx (c - ux)T , tj. f = c - vx c - ux f . (7.13){5212} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 324 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ Význam užitých symbolů: f -- frekvence zdroje Z; f -- frekvence zachycená detektorem D; ux -- průmět rychlosti u zdroje Z do osy Ox, orientované od Z k D; vx -- průmět rychlosti v detektoru D do Ox (obr. 7.14). Pohybuje-li se navíc i vzduch vzhledem k Zemi stálou rychlostí V ležící ve spojnici (Z, D), jsou rychlosti zdroje a detektoru vzhledem k Zemi (u0 a v0), dány vztahy u0 = u + V , v0 = v + V . Pro průměty rychlostí do osy Ox odtud plyne ux = u0x - Vx, vx = v0x - Vx. Dosadíme-li do vztahu (7.13), dostaneme f = c + Vx - v0x c + Vx - u0x f . (7.14){5213} Význam užitých symbolů: c -- rychlost zvuku ve vzduchu, Vx -- průmět rychlosti vzduchu vzhledem k Zemi do osy Ox, orientované od Z k D, u0x -- průmět rychlosi zdroje vzhledem k Zemi do Ox, v0x -- průmět rychlosi detektoru vzhledem k Zemi do Ox. Diskuse vztahu (7.14): 1. Vztah (7.14) zahrnuje v sobě i vztah (7.13) (Vx = 0 - u0x = ux , v0x = vx). 2. Jestliže se zdroj a detektor k sobě přibližují, je u0x > v0x, tedy f > f. Jestliže se zdroj a detektor od sebe vzdalují, je f < f. 3. Je-li vzdálenost zdroje a detektoru stálá, je f = f pro jakékoliv Vx. Pouhý pohyb vzduchu -- vítr -- nemá tedy vliv na přijímanou frekvenci. Zjednodušený vztah pro frekvenci Mají-li zdroj a detektor tak malé rychlosti, že platí u c, v c, lze vztah (7.13) upravit: f = c - vx c - ux f = 1 - vx c 1 - ux c f = 1 - vx c 1 + ux c - . . . f , kde jsme užili rozvoje funkce (1 - ux/c)-1. Vynásobíme-li výrazy v závorkách a zanedbáme-li nevypsané členy i člen uxvx/c2, dostaneme přibližné vztahy f = 1 + vr c f, Z a D se k sobě přibližují (7.15){5214a} f = 1 + vr c f . Z a D se od sebe vzdalují (7.16){5214b} Zde je vr = ux - vx, respektive vr = vx - ux relativní rychlost, se kterou se zdroj a detektor k sobě přibližují, respektive od sebe vzdalují. Dopplerův jev pro elektromagnetické vlny Elektromagnetické vlny se šíří i vakuem, neboť na rozdíl od mechanických vln nemusejí mít nositele -- látková prostředí. K odvození vztahu pro přijímanou frekvenci při vzájemném pohybu zdroje a detektoru nelze užít úvahy provedené pro mechanická vlny. Relativistická teorie elektromagnetiekého pole vede ke vztahu f = (c vr)1/2 (c vr)-1/2f, kde vr je rychlost, se kterou se zdroj a detektor k sobě přibližují (horní znaménka) nebo od sebe vzdalují (dolní znaménka) a kde c je rychlost světla ve vakuu. Je-li vr c, je přijímaná frekvence dána přibližnými vztahy (7.15) a (7.16) shodnými se vztahy pro mechanické vlny. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 325 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ A1 A3 A4 c c Z v = cZ A2 c Z A Z = ut1ct A1 A2 A3 A4 vZ Obr. 7.15{obr5215} Balistická vlna Vzroste-li rychlost zdroje vzhledem ke vzduchu tak, že nabude rychlosti zvuku ve vzduchu, budou mít vlnoplochy vzájemnou polohu naznačenou na obr. 7.15a. Při dalším vzrůstu rychlosti zdroje předbíhá zdroj čelo zvukové vlny a vytvoří se tzv. Machův kužel. Je to obálka kulových čel vln, vyslaných v předchozích fázích pohybu. Tato vlna se obvykle nazývá balistická vlna. Pro úhel (obr. 7.15) platí tg = c/u, kde c je rychlost zvuku ve vzduchu a u rychlost zdroje. Termodynamické děje ve vzduchu -- změny tlaku, teploty atd. -- v balistické vlně, která vzniká při pohybu nadzvukových objektů, se podstatně liší od dějů v akustických vlnách. Tvar balistické vlny lze nejlépe pozorovat ve vlnění, které vzniká na vodní hladině za rychle jedoucí motorovou lodí. D Z O ~V `vD `vZ x Obr. 7.16{obr5216} KP 7-6{} Akustický zdroj, detektor a vzduch se pohybují rychlostmi o velikostech u = 10 ms-1, v = 6 ms-1, V = 15 ms-1 směrem naznačeným na obr. 7.16. Detektor registruje frekvenci 450 Hz. Jakou frekvenci má zdroj? Rychlost zvuku ve vzduchu je 331 ms-1. Řešení: Zavedeme osu Ox podle obr. 7.16. Závislost mezi frekvencí zdroje f a frekvencí f přijímanou detektorem je vyjádřena vztahem (7.14), kde c = 331 ms-1 , u0x = -10 ms-1 , v0x = 6 ms-1 , pak f = c + Vx - u0x c + Vx - v0x = 331 - 15 + 10 331 - 15 - 6 450 Hz = 473 Hz . Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 326 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ fz f'' f D Z `vZ' f' f f'' Obr. 7.17{obr5217} KP 7-7{radar} Klidný zdroj Z vyzařuje radarové vlny o vlnové délce = 30 mm proti osobnímu automobilu přijíždějícímu na dálnici (obr. 7.17). Od něj se vlny odrážejí a dopadají na detektor umístěný u zdroje. Složením elektrických kmitů o frekvenci f ze zdroje a kmitů o frekvenci f z detektoru vznikají zázněje o frekvenci fz = 2000 Hz. Řešte úkoly: 1. Vysvětlete vznik záznějů; 2. Určete frekvenci zdroje f; 3. Určete obecně frekvenci f , se kterou dopadá vlnění na automobil; 4. Určete obecně frekvenci f , kterou zaznamená detektor; 5. Rozhodněte, zda řidič porušil předpis o nejvyšší dovolené rychlosti. Doplňující úkol: Řešte příklad za předpokladu, že v zadání se změní pouze slovo ,,přijíždějící na ,,odjíždějící . Řešení: 1. Automobil přijíždí ke zdroji Z. Elektromagnetické vlny na něj dopadají s frekvencí f , která je větší než frekvence f zdroje. Vlny se od automobilu odrážejí. Tím se stává čelo automobilu sekundárním zdrojem Z , který vysílá (tj. odráží) vlny s frekvencí f a který se pohybuje k detektoru D. Detektor, který je v klidu, přijímá frekvenci f > f . Složením elektrických kmitů ze zdroje (frekvence f) a kmitů o frekvenci f z detektoru (elektrické impulsy z antény, zesílené v zesilovači) vznikají elektrické zázněje o rozdílové frekvenci fz = |f - f |. 2. f = c = 3 108 3 10-2 = 1 1010 Hz 3. Automobil se přibližuje ke zdroji Z rychlostí v c, kde c je rychlost světla ve vakuu. Podle vztahu (7.15) a odstavce, který po něm následuje, je frekvence f, se kterou na něj dopadají vlny, rovna f = 1 - v c f . 4. Automobil je současně sekundárním zdrojem Z o frekvenci f , který se pohybuje k detektoru. Opět podle vztahu (7.15) platí pro přijímanou frekvenci f f = 1 - v c f = 1 - v c 2 f . 5. Určíme rychlost automobilu. Známe frekvenci záznějů fz, pro kterou platí fz = |f - f | = f - f = 1 + v c 2 f - f . = 1 + 2 v c f - f = 2 v c f . Odtud plyne v = cfz 2f = 3 108 2000 2 1 1010 = 30 ms-1 = 108 kmh-1 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 327 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ Nejvyšší dovolená rychlost na dálnici je 130km/h. Nemělo-li vozidlo předepsánu menší maximální rychlost, řidič neporušil předpisy. Poznámka: Stupnice přístroje, ukazujícího rozdílovou frekvenci, je cejchována přímo v km/h. Doplňující úkol řešte samostatně. 7.1.7 Akustické vlnění {cast522}keVlneniUvod} Akustickým vlněním se nazývá vlnění šířící se v plynech a kapalinách (a někdy i podélné vlnění v pevných látkách), a sice to vlnění, které obsahuje (nebo které lze rozložit na) harmonické vlny o frekvencích z intervalu (16; 20 000) Hz. Toto vlnění vyvolává u člověka zvukové neboli akustické vjemy, člověk slyší zvuk. Kmity (nebo pohyb) elementů látky, jíž se šíří obecná akustická vlna, mají většinou obecný neperiodický průběh. Takovéto vlny jsou člověkem vnímány jako obecné zvuky. Zvuk s periodickým časovým průběhem se nazývá tón. Zvuk s harmonickým časovým průběhem se nazývá jednoduchý tón. Každou periodickou vlnu, tj. i každy tón (podobně jako každé periodické kmitání), lze rozložit na spočetné množství harmonických vln, tj. jednoduchých tónů. Nejnižší z frekvencí obsažených v tónu udává (tj. podmiňuje) jeho výšku a nazývá se základní frekvence. Jednoduché tóny ostatních (větších) frekvencí se nazývají vyšší harmonické tóny. Udávají barvu tónu. Mohutnost a kvalita zvukového počitku závisí na energii, kterou zvuková vlna přenáší a na frekvencích harmonických vln ve zvukové vlně obsažených. Soubor frekvencí ve zvukové vlně obsažených se nazývá frekvenční spektrum. Jeho rozborem se zabývá zvuková spektrální analýza. Zkoumáním vlastností zvuku z hlediska fyzikálních zákonitostí, které se uplatňují při jeho buzení, šíření a detekci, se zabývá fyzikální akustika. Zkoumáním účinku vlnění na lidský sluch se zabývá fyziologiká akustika. Vlnění, obsahující pouze harmonické složky o frekvencích nižších než 16 Hz, se nazývá infrazvuk. Vlnění, obsahující pouze harmonické složky o frekvencích vyšších než 20 000 Hz, se nazývá ultrazvuk. Zvuková vlna s obecným časovým průběhem obsahuje většinou i infrazvukové a ultrazvukové složky. Hlavní fyzikální zákonitosti dějů, které probíhají ve vlnách s různým časovým průběhem šířících se různými plyny a kapalinami, jsou většinou shodné, nebo jsou si velmi podobné. Jsou důležité jak z hlediska jejich zvukových účinků, tak i z hlediska jejich vlivu na děje, které probíhají v různých technických zařízeních. Proto budou předmětem našich dalších úvah. 7.1.7.1 Diferenciální rovnice vlnění ovniceVlneni}{cast522B} Pružné vlny v kapalinách a plynech V kapalinách a plynech se mohou šířit pouze podélné pružné vlny (viz odstavec 7.1.2). Z nich nejdůležitější jsou rovinné vlny. Mohou se šířit jednak v neohraničeném prostředí, jednak v trubicích (tj. v potrubí) tak, že všechny elementy látky se pohybují v přímkách rovnoběžným se směrem postupu vlny (v trubici je to směr její osy). Odvodíme současně dva důležité výsledky: 1. Diferenciální rovnici vlnění (7.28), tj. parciální diferenciální rovnici, které vyhovuje výchylka (nebo tlak) elementů; 2. Vztah pro výpočet rychlosti podélné vlny z parametrů, charakterizujících prostředí (rovnice (7.27)). Předpoklady o látce, kterou se šíří vlny. Budeme předpokládat, že tekutina (kapalina, plyn), kterou se šíří vlnění, je spojité a homogenní prostředí a že má zanedbatelné vnitřní tření, takže nedochází k disipaci energie (tj. k nevratné přeměně mechanické energie v energii tepelného Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 328 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ pohybu). Původní hustota prostředí nechť je 0, původní tlak nechť je p0 (např. barometrický tlak ve vzduvhu). p V p+p V+V Obr. 7.18{obr5218} Pružné vlastnosti kapalin a plynů jsou charakterizovány modulem objemové pružnosti K, definovaným takto (obr. 7.18): Nechť tlak p v tekutině se nepatrně změní na p + p. Pak element, který měl při tlaku p objem V , nabude objemu V + V (je-li p > 0, je V < 0). Definice modulu objemové pružnosti K zní: K = - p V/V . modul objemové pružnosti (7.17){5215} Jednotka: 1 Nm = 1 Pa. Látky málo stlačitelné mají V/V malé, tj. K velké. Definice stlačitelnosti zní: = 1 K . stlačitelnost Předpoklady o vlně. Budeme uvažovat o rovinné vlně, která může být buď neohraničená, anebo omezená na trubici. Všechny elementy prostředí se přitom pohybují v přímce dané směrem šíření vlny. Zavedeme osu Ox ve směru (nebo proti směru) šíření vlny. Pro průmět vektoru posunutí z rovnovážné polohy u do osy Ox, tj. pro výchylku u, platí u >=< 0. Připomeňme, že v harmonické zvukové vlně se veličina u nazývá akustická výchylka. Při průchodu vlny bude u funkcí veličin x, t: u = u(x; t). Budeme předpokládat, že |u| je velmi malá veličina a že funkce u(x; t) má spojité derivace třetího řádu. Každý element prostředí se při průchodu vlny posunuje jako celek (jeho výchylka z původní polohy je u) a současně se deformuje -- stlačuje nebo prodlužuje (viz obr. 7.19). Současně se mění i tlak v látce. Celkový tlak pc v látce při průchodu vlny napíšeme ve tvaru pc = p0 + p(x, t) . V harmonické zvukové vlně se veličina p nazývá akustický tlak. Platí p >=< 0. Ve slyšitelných akustických vlnách, tj. ve vlnách, jež je možno vnímat bez pocitu bolesti nebo bez poškození sluchových orgnánů, je |p| p0. Odvození diferenciální rovnice vlnění. Diferenciální rovnici vlnění pro výchylku u(x; t) v celé vlně, tj. v celém prostředí, odvodíme tak, že budeme uvažovat o ději probíhajícím v jediném malém elementu a v jeho nejbližším okolí. Tato metoda odvozování diferenciálních rovnic je běžná v teorii pružnosti, hydromechanice, elektromagnetismu atd. Na obr. 7.19 je naznačen v horní části libovolně vybraný malý element E látky v původní Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 329 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ xO xO x0 x0 síly p S0 v klidu pi prchodu vlny E (p +p)S0 (p +p +p)S0 x + u x + x+ u + u `u `u +`u x x +x x poloha a deformace p S0 Obr. 7.19{obr5219} poloze. Jeho průřez je S, jeho levá stěna má souřadnici x, pravá souřadnici x + x. Tloušťka elementu x je velmi malá ve srovnání s výchylkou u. Při průchodu vlny se element posunul jako celek a současně se deformoval (dolní část obr. 7.19, element je nakreslen prodloužen). Na levé straně má tlak velikost p0 + p a tlaková síla velikost (p0 + p)S. Na pravé straně mají tyto veličiny velikost p0 + p + p, (p0 + p + p)S. Tlakové síly působící na element E ve směrech kolmých na Ox mají výslednici nulovou, neboť element se pohybuje podél osy Ox. Pohybová rovnice elementu zní ma = F , (7.18){5216} kde F je výsledná síla působící na element, jehož hmotnost je m a kde a je jeho zrychlení. Hmotnost elementu se během pohybu nemění, je rovna m = 0xS. Z vektorové rovnice (7.18) dostaneme rovnici skalární promítnutím do osy Ox: max = Fx. Zde je ax = 2u(x;t) t2 (symbolu pro parciální derivaci jsme užili proto, že u je funkcí dvou proměnných). Dále zřejmě platí Fx = (p0 + p)S - (p0 + p + p)S. Dosazením dostaneme vztah 0xS 2u(x; t) t2 = (p0 + p)S - (p0 + p + p)S a z něho vztah 0 2u(x; t) t2 = - p x . (7.19){5217} Nyní provedeme limitní přechod x 0. Levá strana rovnice (7.19) se přitom nemění, pro pravou dostaneme (až na znaménko) lim x0 p x = lim x0 p(x + x, t) - p(x, t) x = p(x; t) x . (7.20){5218} Čas t je při tomto limitním procesu neměnný parametr. Rovnice (7.19) nabude tvaru 0 2u(x; t) t2 = p(x; t) x . (7.21){5219} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 330 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ V této rovnici jsou dvě neznámé veličiny: u(x, t), p(x, t). Jednu z nich, např. p(x; t), vyjádříme pomocí druhé takto: Napíšeme vztah (7.17) pro element E, který při změně tlaku z p0 na p0 + p změnil objem z Sx na S(x + u): K = - p V V = - p Su Sx p = -K u x . V limitě pro x 0 dostaneme p(x; t) = -K u(x; t) x . (7.22){5220} Dosadíme-li odsud do rovnice (7.21), dostaneme po úpravě rovnici 2u x2 - K 2u t2 = 0 . (7.23){5221a} To je hledaná parciální diferenciální rovnice pro výchylku u(x; t). Původní hustotu prostředí jsme zde označili namísto 0 symbolem . Shodnou rovnici pro akustický tlak dostaneme tak, že rovnici (7.23) derivujeme parciálně podle x, na pravé straně zaměníme pořadí derivování podle t a x (což je dovoleno podle předpokladu o spojitosti třetí derivace) a užijeme vztahu (7.21). Dostaneme 2p(x; t) x2 - K 2p(x; t) t2 = 0 . (7.24){5221b} Co plyne z rovnic (7.23), (7.24)? Řešením rovnice (7.23) jsou funkce u(x; t) = f x - K t , (7.25){5222a} u(x; t) = F x + K t , (7.26){5222b} kde f(y) a F(y) jsou libovolné funkce, které mají druhou derivaci (podle y). Nebudeme uvádět, jak se na to přijde, dokážeme však, že jsou řešením. Položíme y = x - K t a derivujeme: f t = df(y) dy y(x; t) t = df(y) dy - K ; 2f t2 = d2f(y) dy2 K ; f x = df(y) dy y(x; t) x = df(y) dy 1 ; 2f x2 = d2f(y) dy2 . Dosazením do (7.23) se přesvědčíme, že funkce (7.25) tuto rovnici splňuje identicky, tj. že je jejím řešením. Podobně to plyne pro funkci (7.26). Funkce (7.25), (7.26) však vyjadřují výchylky ve vlnách, které postupují beze změny tvaru ve směru a proti směru osy Ox rychlostí c, kde c = K rychlost podélné vlny (7.27){5223} (viz odstavec 7.1.5.2). Rovněž rovnice (7.24) pro akustický tlak má řešení dané vztahy (7.25), (7.26). Obě rovnice (7.23), (7.24) lze tedy napsat ve tvaru Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 331 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ 2f(x; t) x2 - 1 c2 2f(x; t) t2 = 0 . vlnová diferenciální rovnice (7.28){5224} Tato rovnice, jejímž řešením jsou funkce f(x-ct) a f(x+ct), se nazývá (jednorozměrná) vlnová diferenciální rovnice (nebo také D'Alembertova vlnová rovnice). Hlavní výsledek: V kapalině nebo v plynu se mohou šířit rovinné vlny beze změny tvaru. Jejich rychlost je dána vztahem (7.27). Poznámky: 1. Beze změny tvaru vlny se šíří výchylka i akustický tlak. 2. Při odvození rovnice (7.23) jsme vůbec nepoužili předpokladu, že pohyb prostředí je vlnění, tj. že se deformace šíří konečnou rychlostí beze změny tvaru. Možnost existence vlny vyplynula teprve z toho, že funkce (7.25), (7.26) jsou řešením rovnice (7.23). Diskuse: 1. Akustický tlak a akustická výchylka vyhovují stejné diferenciální rovnici. Je-li známa funkce, udávající výchylku ve vlně, určí se akustický tlak ze vztahu (7.22). 2. Rovnici (7.23) vyhovují nejen funkce (7.25), (7.26), nýbrž i jejich lineární kombinace, tj. funkce u(x; t) = C1f x - K t + C2F x + K t , kde C1, C2 jsou libovolné konstanty. Pro C1 = 1, C2 = 1 vyjadřuje tento vztah zákon superpozice (viz odstavec 7.1.4). 3. D'Alembertově vlnové rovnici (7.28) vyhovují i veličiny, které charakterizují i rovinné vlny příčné, vlny na vlákně, rovinné vlny elektromagnetické atd., neboť také tyto vlny se šíří beze změny tvaru. 4. Šíření vln lze užít k určování pružných vlastností látky. Změříme-li např. rychlost vlnění c ve vodě, můžeme určit její modul objemové pružnosti K ze vztahu (7.27). x y z `ss O s = x cos + y cos + z cos (x, y, z) x y z Obr. 7.20{obr5220} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 332 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ D'Alembertova vlnová rovnice Šíří-li se pružným prostředím beze změny tvaru obecným směrem Os (obr. 7.20) rovinná vlna rychlostí c, je výchylka u dána vektorovou funkcí u(x, y, z, t) = f(s - ct) , kde s = x cos + y cos + z cos . Derivováním funkce f a dosazením lze dokázat, že u vyhovuje rovnici 2u x2 + 2u y2 + 2u z2 - 1 c2 2u t2 = 0 , D'Alembertova vlnová rovnice (7.29){5225a} neboli u - 1 c2 2u t2 = 0 , (7.30){5225b} kde jsme zavedli Laplaceův diferenciální operátor = 2 x2 + 2 y2 + 2 z2 . Funkce ur(x, y, z; t), udávající průmět vektoru u do libovolného směru r, nebo tlak p(x, y, z; t) ve vlně šířící se v plynu nebo v kapalině, vyhovuje skalární diferenciální rovnici f - 1 c2 2f t2 = 0 . (7.31){5225c} Každá z rovnic (7.29)­(7.31) se nazývá (obecná) D'Alembertova vlnová rovnice. Rovnice (7.23), (7.24), (7.28) jsou jejím zvláštním případem. D'Alembertova rovnice má velmi rozsáhlé aplikace. Vyhovují jí nejen veličiny, charakterizující pružné vlny, nýbrž i veličiny, charakterizující vlny elektromagnetické atd., a to nejen vlny rovinné, nýbrž i vlny kulové, válcové i vlny obecného tvaru. 7.1.7.2 Vlnění v plynech, tyčích a vláknech neniVPlynech}{cast522C} Vlnění v plynech Při šíření vlnění v plynech, jež je důležité zejména z hlediska akustiky, platí všechny obecné zákonitosti a vztahy uvedené v předešlém odstavci. Hlavním cílem této části bude odvození vztahů (7.34), (7.35) pro výpočet rychlosti šíření zvuku v plynu. Rychlost šíření vlnění v plynu je dána obecným vztahem (7.27), kde modul objemové pružnosti K je definován vztahem (7.17). Tento vztah však nedefinuje veličinu K pro plyny jednoznačně. Na rozdíl od kapalin závisí totiž změna objemu plynu jak na změně jeho tlaku, tak (a to podstatně) na změně jeho teploty, neboť veličiny p, V , T jsou vázány stavovou rovnicí (4.4). Jestliže se např. při změně objemu plynu jeho teplota nemění, platí vztah pV = konst.. Avšak v akustických vlnách jsou změny objemu a tlaku relativně rychlé, takže během nich téměř nedochází k výměně tepla mezi sousedními elementy plynu. Nejsou to děje izotermické, nýbrž přibližně adiabatické. Mění se při nich jak objem a tlak, tak i teplota jednotlivých elementů, plynu. Při kompresi se zahřívají, při expanzi ochlazuji. Objem jednotlivých elementů souvisí s tlakem plynu podle vztahu pV = konst., kde = cp/cV je Poissonova konstanta (rovnice (5.14)). K určení veličiny K podle vztahu (7.17) je nutno znát vztah mezi změnou tlaku plynu dp při průchodu vlny a změnou objemu elementu dV . Dostaneme jej diferencováním vztahu pcV = konst. , (7.32){5226} kde pc = p0 + p je celkový tlak, p0 původní tlak a p akustický tlak, tj. přírůstek celkového tlaku. Nechť V0 značí původní objem plynu. Pak platí (pcV ) pc p0,V0 dpc + (pcV ) V p0,V0 dV = 0 , tj. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 333 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ V 0 dpc + p0V -1 0 dV = 0 , tj. dpc + p0V -1 0 dV = 0 . Z posledního vztahu a ze vztahu (7.17) plyne K = - dpc dV/V0 = p0 . Dosazením do vztahu (7.27) pro rychlost vlnění dostaneme c = p , (7.33){5227} kde jsme označili původní tlak plynu, dosud označený p0, symbolem p. Pro ideální plyn lze vztah (7.33) upravit s užitím stavové rovnice pV = (m/M)RT a vztahu = m/V do tvaru c = R M T . (7.34){5228} Zde je R molární plynová konstanta a M molární hmotnost plynu. Rychlost zvuku v ideálním plynu tedy závisí jen na teplotě. Užitečný vztah dostaneme, jestliže označíme rychlost zvuku při určité (libovolné) teplotě T0 symbolem c0. Ze vztahu (7.34) pak plyne, že rychlost zvuku c při libovolné teplotě T je dána vztahem c = c0 T T0 . (7.35){5229} Rychlost vlnění ve skutečných plynech, např. rychlost zvuku ve vzduchu, je dána přibližně vztahy, které platí pro ideální plyny. Hodnoty rychlosti zvuku ve vzduchu za různých podmínek (při různé vlhkosti atd.) v ostatních plynech i v pevných látkách je udána v tabulkách. Vlnění v tyči Působí-li na konci tyče tahová nebo tlaková síla, šíří se podél osy tyče vlna. Ježto při protahování nebo stlačování elementů tyče se mění i její průřez, deformují se jednotlivé body tyče nejen ve směru podélném, nýbrž i ve směru příčném. Rozhodujícím parametrem charakterizujícím pružné vlastnosti tyče při šíření těchto vln je modul pružnosti v tahu E, definovaný vztahem F S = E u x . Zde F je tahová nebo tlaková síla působící v průřezu tyče o plošném obsahu S a x je původní délka elementu tyče a u jeho prodloužení nebo zkrácení. Úvahami analogickými úvahám v odstavci B lze dokázat, že podélná výchylka v tyči vyhovuje opět rovnici (7.28). Přitom rychlost vlnění c je dána vztahem c = E . (7.36){5230} Zde je E modul pružnosti v tahu ([E] = Nm-2), hustota tyče. Vlnění na vlákně Podél vláken se mohou šířit vlny podélné i příčné. Podélné vlny nejsou příliš časté. Jejich rychlost je dána vztahem (7.36). Příčné vlny se vyskytují častěji, zejména na strunách, lanech atd. Jednotlivé elementy se po hybují kolmo na směr vlákna vlivem sil od sousedních elementů (síly F1, F2 v obr. 7.21). Lze dokázat, že výchylka u(x, t) vyhovuje opět diferenciální rovnici (7.28), při čemž rychlost vln je dána vztahem c = F . (7.37){5231} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 334 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ ~F1 `v ~F2 element vlákna smr pohybu elementu c smr šíení vlny Obr. 7.21{obr5221} Zde je F velikost síly, kterou je napínáno vlákno a je lineární hustota vlákna, definovaná vztahem = (hmotnost vlákna)/(délka vlákna). Všimněte si podobnosti vzorců (7.27), (7.36), (7.37). 7.1.7.3 Energie pružných vln ePruznychVln} Při průchodu pružné vlny látkovým prostředím (např. při šíření zvukové vlny vzduchem) se jeho elementy pohybují a deformují, mají tedy energii kinetickou a elastickou. Tuto energii dodává zdroj, který vlny budí, a to tak, že působí na přilehlé elementy prostředí silou, která koná práci. Podobně na sebe působí i dva sousedící obecně položené elementy prostředí, takže energie přechází z jednoho elementu na druhý ve směru šíření vlny. Energie akustických vln v plynech má poměrně malé hodnoty. Podstatně větší hodnoty má energie ultrazvukových vln v kapalinách a v pevných látkách. Vyplývá to z dále uvedených vztahů (7.42), (7.46) pro hlavní veličiny, charakterizující energetické poměry v harmonických vlnách -- hustotu energie a intenzitu vlnění. nergieVlneni} Hustota energie vlnění Budeme uvažovat o podélné harmonické vlně šířící se ve směru osy Ox, v níž je výchylka dána vztahem u(x; t) = Um sin t - x c . (7.38){5232} Hustota prostředí nechť je . S x +u `v , V, m `c x Obr. 7.22{obr5222} Element o původním objemu V = Sx (naznačený v obr. 7.22) má okamžitou rychlost v a délku x + u. Jeho kinetická energie je Ek = 1 2 mv2 = 1 2 V u t 2 = 1 2 V Um cos t - x c 2 . Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 335 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ Lze dokázat, že jeho potenciální energie pružnosti (elastická energie) Ep je v každém okamžiku stejná jako Ek, tj. že platí Ep = Ek. Celková energie elementu tedy je Em = Ek + Ep = 2Ek = V U2 m2 cos2 t - x c . (7.39){5233} Tato energie se s časem mění. Z tvaru výrazu na pravé straně vztahu (7.39) plyne, že energie postupuje ve vlně ve směru osy Ox rychlostí c. Střední časová hodnota energie v libovolném elementu Em je dána vztahem Em = 1 T T 0 Emdt = 1 2 V U2 0 2 . (7.40){5234} Zde jsme dosadili Em ze vztahu (7.39) a užili vztahu 1 T T 0 cos2 t - x c dt = 1 2 . Okamžitá objemová hustota energie je dána výrazem W/V . Její střední časová hodnota, jež se značí w, je definována vztahem w = Em V , hustota energie vlnění -- definice (7.41){5235} kde Em je střední časová hodnota energie v elementu o objemu V . Její jednotkou je 1 Jm-3. Nazývá se (objemová) hustota energie vlnění. V harmonické vlně o výchylce dané vztahem (7.38) platí podle (7.41) a (7.40) w = 1 2 2 U2 m . hustota energie vlnění (7.42){5236} Všimněme si, že platí w , 2, U2 m. Tok zářivé energie Tok zářivé energie, , je definován takto: Nechť nějakou plochou, kterou prochází vlnění, projde za dobu t energie E. Pak je definován vztahem = E t . tok zářivé energie -- definice (7.43){5237} Jednotkou je 1 watt. enzitaVlneni} Intenzita vlnění Intenzita vlnění I je definována takto: Vedeme malou plošku o plošném obsahu S kolmo na směr šíření vlny. Za dobu t přenese vlna touto ploškou energii E. Intenzita vlnění I je definována vztahem I = E t S . intenzita vlnění -- definice (7.44){5238} Její jednotkou je 1 wattmetr-2. Volíme-li ve vztazích (7.43), (7.44) veličinu t velmi malou (přesněji: t 0), pak těmito vztahy jsou definovány okamžité, s časem rychle proměnné, veličiny (t), I(t). Je-li naopak t dosti velké, nebo je-li t právě jedna perioda v případě vln harmonických, pak vztahy (7.43), (7.44) udávají střední časové hodnoty. Tyto veličiny jsou z praktického hlediska důležitější. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 336 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ Vztah mezi w a I Veličiny w a I jsou vázány vztahem I = cw , (7.45){5239} kde c je rychlost vlnění a I, w jsou střední časové hodnoty. Vztah (7.45) se odvodí takto: Malou ploškou o plošném obsahu S, kolmou na směr šíření periodického vlnění (obr. 7.23), projde za dobu t, dlouhou ve srovnání s periodou, energie E, pro kterou plyne ze vztahu (7.44): E = ISt. Prošlé vlnění vyplní hranol o objemu Sct s průměrnou objemovou hustotou energie w, takže celková energie vlnění v hranolu je E = wSct. Srovnáním obou výrazů pro E dostaneme vztah (7.45). c S ct Obr. 7.23{obr5223} Ze vztahů (7.45) a (7.42) dostaneme vztah pro intenzitu harmonické vlny, jež má výchylku danou vztahem (7.38): I = 1 2 c2 U2 m . intenzita harmonické vlny (7.46){5240} Diskuse: 1. Platí I c. Veličina Za = c se nazývá vlnová impedance nebo akustická impedance. Platí Za(kapalin) 103 Za (plynů). Proto intenzita vlnění v kapalině je řádově 103­krát větší než intenzita vlnění stejné frekvence a amplitudy v plynu. 2. Platí I 2. Zvětší-li se frekvence vlnění např. 100­krát, zvětší se intenzita (při stejné amplitudě) 10 000­krát. Ultrazvukové vlny v kapalinách mají intenzitu asi 106­krát větší než zvukové vlny ve vzduchu. K tomu je třeba při konstrukci jejich zdrojů přihlížet. 7.1.7.4 Přehled hlavních akustických veličin hAkustickych} 1. Akustická výchylka u v rovinné harmonické vlně šířící se ve směru osy Ox je veličina, daná vztahem (viz odstavec 7.1.3, 7.1.5.4) u(x; t) = Um sin t - x c . (7.47){5241} Veličina Um se nazývá amplituda akustické výchylky. 2. Akustická rychlost v ve vlně (7.47) je průmět rychlosti v, se kterou se pohybují elementy látky, do osy Ox (viz odstavec 7.1.3) v(x; t) = u(x; t) t = Vm cos t - x c . Veličina Vm = Um se nazývá amplituda akustické rychlosti. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 337 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ 3. Akustický tlak p ve vlně (7.47) je dán vztahem, který plyne ze vztahu (7.22) (viz odstavec 7.1.7.1) p(x; t) = -K u(x; t) x = -K - c Um cos t - x c . Odsud a ze vztahu c = K/ plyne p(x; t) = Pm cos t - x c , (7.48){5242} kde Pm = cUm je amplituda akustického tlaku. 4. Akustická impedance Za je definována vztahem Za = c. 5. Hustota energie vlnění w je definována v odstavci 7.1.7.3. Pro vlnu (7.47) je dána vztahem w = 1 2 2 U2 m . (7.49){5243} 6. Intenzita vlnění I je definována v odstavci 7.1.7.3. Pro vlnu (7.47) je dána vztahem (7.46): I = 1 2 c2 U2 m . (7.50){5244} Kromě uvedených veličin se zavádějí jejich efektivní hodnoty vztahy U = Um/ 2 , V = Vm/ 2 , P = Pm/ 2 . Z předešlých vztahů vyplývají tyto často užívané vztahy P = ZaV , I = ZaV 2 = P2 /Za . 7.1.8 Interference a ohyb vlnění ferenceAOhyb} 7.1.8.1 Superpozice a interference vlnění Interference} V této části budeme vyšetřovat vlnění, které vznikne tehdy, jestliže se prostředím šíří současně několik vln. V takovém případě platí téměř vždy zákon superpozice (odst. 7.1.4). Výchylka elementů prostředí u je dána vztahem u(r; t) = u1(r; t) + u2(r; t) + . . ., kde u1(r; t), u2(r; t), . . . jsou výchylky, které by element měl, kdyby procházela pouze první vlna nebo pouze druhá vlna atd. (obr. 7.8). Říkáme, že dochází ke skládání vlnění. Jestliže jednotlivé vlny mají obecný časový průběh, tj. jestliže křivky, jimiž jsou znázorněny výchylky, mají obecný (nepravidelný) tvar, má i výsledné vlnění složitý nepravidelný průběh (obr. 7.9). Jestliže však jsou všechny vlny, které se skládají, harmonické a mají stejnou frekvenci, pak výsledné vlnění má zvláštní průběh. Vyznačuje se tím, že a) všechny body prostředí kmitají harmonicky se stejnou frekvencí (a obecně s různými fázemi), b) amplituda kmitů je v různých místech různá. Ta místa, v nichž je amplituda největší, se nazývají kmitny. Ta místa, v nichž je amplituda nejmenší (někdy dokonce nulová), se nazývají uzly. Skládání (tj. superpozice) dvou (nebo většího počtu) harmonických vln se stejnými frekvencemi se nazývá interference. Tedy interference je zvláštní případ superpozice. O vlnách říkáme, že interferují. Mohou interferovat vlny mechanické, elektromagnetické, světlo atd. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 338 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ 7.1.8.2 Stojaté vlnění tojateVlneni} Velmi často dochází k interferenci vln, které se šíří stejným směrem nebo k interferenci dvou vln, které se šíří opačnými směry. V tomto druhém případě vzniká tzv. stojaté vlnění. A B II III I 1 3 2 4 V a) b) c) A l d o Obr. 7.24{obr5224} Příklady interference uvedeného typu jsou znázorněny v obr. 7.24a, b, c. V obr. 7.24a je znázorněna interference vln (1, 3) a vln (2, 4), které vzniknou při dopadu pružné rovinné harmonické vlny V , šířící se v tekutině I, na planparalelní vrstvu tekutiny II, pod níž je tekutina III. Vlna V se na rozhraní A částečně odráží (vlna 1) a částečně láme do vrstvy. Lomená vlna se na rozhraní B znovu částečně odráží a částečně láme do prostředí III, kde vytváří prošlou vlnu (2). Postupnými odrazy a lomy vznikají vlny od vrstvy odražené (1, 3, . . . ) a vlny vrstvou prošlé (2, 4, . . . ). Odražené vlny se šíří stejným směrem, částečně se překrývají a interferují. Totéž platí o vlnách prošlých. Na obr. 7.24b je znázorněn odraz a lom rovinné vlny d dopadající kolmo na rovinné rozhraní A. Dopadající vlna d a odražená vlna o se šíří proti sobě a interferují. K interferenci tohoto typu dochází neobyčejně často ve všech prostorově ohraničených prostředích -- v tyčích (obr. 7.24c), strunách, kapalinových a plynových sloupcích atd. (v případě vln mechanických) a v dutinových elektromagnetických rezonátorech a laserových trubicích (v případě vln elektromagnetických a světelných). Ve všech těchto objektech vzniká stojaté vlnění, vytvářejí se kmity a uzly. Interference dvou vln šířících se ve stejném směru Uvažujme o dvou rovinných harmonických vlnách V1, V2 o stejné frekvenci šířících se jedním směrem, a to buď o vlnách podélných, nebo o vlnách příčných, polarizovaných v jedné rovině. Zavedeme osu Ox ve směru šíření vln a budeme předpokládat, že výchylky u1, u2 ve vlnách V1, V2 jsou dány vztahy u1(x; t) = U1 sin t - x c , u2(x; t) = U2 sin t - x c + 0 . (7.51){5245} Zde jsou U1, U2 amplitudy, úhlová frekvence, c rychlost šíření vln a 0 fázová konstanta kmitů ve vlně V2 v bodě o souřadnici x = 0 m. Vztahy (7.51) mohou udávat i výchylky ve vlnách šířících se v jednorozměrném prostředí -- v tenkých tyčích, úzkých trubicích, strunách. V obr. 7.25 jsou znázorněny výchylky v obou vlnách V1, V2 v určitém okamžiku t0 jako funkce polohy x. Současně je znázorněna i výchylka u = u1 + u2 ve výsledné vlně V . Z teorie skládání harmonických funkcí plyne (odstavec 6.5.1), že výchylka u (v okamžiku t0) je opět harmonickou (tj. sinusovou) funkcí proměnné x o stejné periodě (tj. zde o stejné vlnové délce) jako obě interferující vlny. Ježto křivky, které znázorňují výchylky u1, u2 v časech t > t0, vzniknou z křivek V1, V2 jejich posouváním rychlostí c ve směru osy Ox, posouvá se i křivka V rychlostí c. To značí, že interferencí vln V1, V2 vznikne opět postupná harmonická vlna V Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 339 ? ? 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ um u + u1 2 u2 u x u1 V1 V2 V c um,1 um,2 Obr. 7.25{obr5225} o výchylce u(x; t) = U sin t - x c + , kde U (a také ) závisí na U1, U2 a 0. Je-li 0 = 0, 2, 4, . . . jsou vlny V1, V2 ve fázi. Křivky V1, V2 v obr. 7.25 pak nejsou navzájem posunuty, jejich maxima jsou nad sebou. Amplituda výsledné vlny má maximální možnou hodnotu U = U1 + U2. V obr. 7.26a je 0 . = 0. u x x u c ç é 0 ç é c b) a) u + u1 2 u + u1 2 u1 u1 u2 u2 Obr. 7.26{obr5226} Je-li 0 = , 3, . . . jsou křivky V1, V2 v obr. 7.25 zřejmě navzájem posunuty o /2. V místě, kde má výchylka u1 právě největší kladnou hodnotu, má výchylka u2 minimum. Výsledná vlna V má pak amplitudu U = |U1 - U2| (srovnejte obr. 6.18). Při obecné hodnotě konstanty 0 je amplituda vlny V dána vztahem (srovnejte (6.49)) U = U2 1 + U2 2 + 2U1U2 cos 0 . Změnou fázového rozdílu 0 obou interferujících vln lze tedy velmi výrazně ovlivnit amplitudu U výsledné vlny. Je-li 0 = a U1 = U2, pak vlny V1, V2 se interferencí zcela zruší. V obr. 7.26b je U1 = U2, 0 . = . O tomto jevu se někdy hovoří jako o destruktivní interferenci. Např. změnou úhlu dopadu vlny d v obr. 7.24a, nebo změnou tloušťky vrstvy lze měnit amplitudu vlny vzniklé interferencí vln 1, 3, . . . , tj. měnit odrazivost vrstvy. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 340 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ Interference dvou vln šířících se v opačných směrech -- stojaté vlnění Budeme uvažovat o interferenci dvou rovinných harmonických vln V1, V2 šířících se v opačných směrech. Vlny mohou být buď podélné nebo příčné, polarizované v jedné rovině. Směr šíření jedné z nich, např. V1, zvolíme za osu Ox. Budeme předpokládat, že výchylky u1, u2 ve vlnách V1, V2 jsou dány vztahy u1(x; t) = U sin t - x c , (7.52){5246a} u2(x; t) = U sin t + x c (7.53){5246b} Předpokládáme tedy (pro zjednodušení), že vlny mají stejné amplitudy a že fáze kmitů v obou vlnách v bodě x = 0 m jsou stejné. Poznamenejme, že vztahy (7.52) a (7.53) mohou i zde udávat výchylky ve vlnách šířících se v jednorozměrném prostředí -- na strunách atd. Výchylka ve výsledném vlnění je dána vztahem u = u1 + u2. Dosadíme-li sem ze vztahů (7.52) a (7.53) a součet sinusových funkcí upravíme s užitím vzorce sin + sin = 2 cos [( - ) /2] sin [( + ) /2] , dostaneme u(x; t) = 2U cos x c sin t 2 = 2U cos 2 x sin 2 t T . (7.54){5247} Toto je výsledný vztah pro výchylku ve výsledném vlnění, které se nazývá stojaté vlnění. Vyšetříme jeho vlastnosti. Vlastnosti stojatého vlnění. 1. Vztah (7.54) pro výchylku u(x; t) se liší od vztahů (7.52) a (7.53) zejména tím, že funkce u(x; t) je zde součinem dvou funkcí, z nichž jedna závisí jen na x, druhá jen na t. Vztah (7.54) lze napsat ve tvaru u(x; t) = Uv(x) sin 2 t T , (7.55){5248a} kde Uv = 2U cos 2 x . (7.56){5248b} Je zřejmé, že element o souřadnici x koná harmonické kmity o amplitudě |Uv(x)|, jejíž hodnota závisí na x, tj. na poloze elementu. u x 2um A1 2 O A2 A3 A4 B1 B2 B3 Obr. 7.27{obr5227} 2. Uzly a kmity. Amplituda |Uv(x)| nabývá minimální hodnoty rovné nule v místech o souřadnicích x = 4 , 3 4 , 5 4 , . . . Elementy v těchto místech vůbec nekmitají, jsou trvale Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 341 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ v klidu. Tato místa se nazývají uzly (body A1, A2, A3, . . . v obr. 7.27). Amplituda |Uv(x)| nabývá maximální hodnoty 2U v místech o souřadnicích x = 0, 2 , , . . . Tato místa, označené v obr. 7.27 symboly B1, B2, B3, . . . , se nazývají kmitny. Vzdálenost sousedních uzlů nebo sousedních kmiten je /2. 3. Mezi dvěma sousedními uzly má funkce (7.56) stálé znaménko. Po obou stranách uzlu jsou znaménka funkce (7.56) různá. Ze vztahu (7.55) pak plyne, že všechny elementy mezi sousedními uzly kmitají se stejnou fází, tj. ve fázi. Libovolné dva elementy, mezi nimiž je právě jeden uzel, kmitají s opačnými fázemi. 4. Na rozdíl od postupného vlnění, daného např. vztahem (7.52), v němž se energie (mechanická, elektromagnetická) přenáší rychlostí c, nepřenáší stojaté vlnění energii v jednom směru, nýbrž energie se trvale přesouvá z kmiten do sousedních uzlů a zpět. x f =1 c 2l f =2 c l f =3 3c 2l = 2l1 = l2 = l3 2 3 Obr. 7.28{obr5228} Stojaté vlnění na strunách, tyčích a sloupcích tekutiny Struny Vychýlíme-li z rovnovážné polohy jeden element struny uchycené pevně na koncích a pak jej uvolníme, nebo uvádíme-li jej trvale do pohybu v příčném směru, šíří se z něho na struně příčné vlnění. Toto vlnění se na pevných koncích odráží, znovu se odráží na opačném konci atd. Všechny takto vzniklé vlny se skládají a vytvářejí stojaté vlnění s uzly na koncích struny (obr. 7.28). Toto vlnění nemůže mít libovolnou vlnovou délku, protože na struně se musí vytvořit celistvý počet půlvln -- buď jedna nebo dvě atd. Označíme-li l délku struny, musí pro možné vlnové délky 1, 2, 3, . . . platit l = 1 2 , 2 2 2 , 3 3 2 , . . . . Každé vlnové délce odpovídá jedna frekvence f daná vztahem f = c, kde c je rychlost šíření příčného vlnění na struně, daná vztahem (7.37), tj. c = F/. Tyto frekvence f1, f2, f3, . . . se nazývají vlastní frekvence struny a jsou dány vztahy plynoucími z předešlých vztahů: f1 = c/1 atd., tj. platí fk = k c 2l , kde k = 1, 2, 3, . . . (7.57){5249} Soubor frekvencí (7.57) se nazývá frekvenční spektrum struny. Jednotlivé stojaté vlny s frekvencemi (7.57) se nazývají kmitové mody a funkce, které vyjadřují jejich výchylku, se nazývají vlastní funkce. Frekvence f1 se nazývá základní, ostatní jsou vyšší harmonické. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 342 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ Struna kmitá málokdy v jednom modu, většinou se vytvoří současně několik modů (závisí to na způsobu rozkmitávání). Soubor frekvencí těchto modů vytváří frekvenční spektrum konkrétního vlnivého pohybu struny, který se nazývá také ,,chvění nebo ,,kmity struny. Nejmenší frekvence obsažená ve frekvenčním spektru chvění určuje výšku tónu, který struna vydává, vyšší harmonické určují jeho barvu. Rozkmitáme-li strunu periodickou vnější silou o frekvenci f, vzniká na struně vlnění s velkými výchylkami, zejména tehdy, je-li frekvence f rovna nebo blízka některé z vlastních frekvencí struny. Tento jev se nazývá rezonance. Struna, nebo libovolné jiné těleso (nebo zařízení), které může kmitat s určitými vlastními frekvencemi a u něhož se může projevit rezonance, se nazývá rezonátor. Tyče, sloupce tekutin Podobně jako na strunách může vzniknout stojaté vlnění v tyčích, v sloupcích plynu (např. v píšťalách) nebo kapalin (např. v potrubí), nebo ve dvojrozměrných objektech -- v membránách, tenkých deskách nebo v trojrozměrných objektech libovolného tvaru. Všechny tyto objekty, jejichž chvění je obecně podstatně složitější než chvění strun, jsou charakterizovány vlastními frekvencemi, frekvenčním spektrem a všechny vykazují jev rezonance. Jsou to tedy, podobně jako struna, rovněž rezonátory -- rezonanční tyče, desky, dutiny atd. bu nebo ty sloupec tekutiny u L = (2n + 1) n 4 , n = 1,2,... f =n n c L = n n 4 , n = 1,2,... u L = (2n - 1) n 4 , n = 1,2,... u x x0 L 0 L f =n n c x0 L f =n n c Obr. 7.29{obr5229} Zde uvedeme stručně v obr. 7.29 pouze hlavní vlastnosti chvění tyčí a sloupců tekutin. Vznik jejich kmitavých modů a vlastních frekvencí je analogický vzniku chvění na strunách. Jejich frekvenční spektrum závisí, kromě jiného, na způsobu uchycení u tyčí a na způsobu ohraničení u sloupců tekutin. Zcela analogicky se vytváří stojaté elektromagnetické vlněni v dutinových rezonátorech. Např. v trubici He­Ne laseru mohou vzniknout, podobně jako v tyči, stojaté vlny, a to z jistého úzkého intervalu vlnových délek I = (0 - ; 0 + ), kde 0 = 632,8nm. Tento interval je udán vlastnostmi zářeni atomů neonu. Ježto trubice běžných laserů mají délky řádově desítky centimetrů až několik metrů, vzniká v nich řádově 106 vlnek. Má-li např. trubice takovou délku, že se v ní vytvoří právě 106 vlnek o jisté vlnové délce z intervalu I, může se v ní vytvořit i 106 +1 vlnek o vlnové délce 2 tak blízké k 1, že rovněž leží v intervalu I. Každý laser má tedy rovněž jisté (velmi úzké) frekvenční spektrum. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 343 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ 7.1.8.3 Interference vlnění ze dvou bodových zdrojů VlneniZeDvou} Velmi často interferuje vlnění ze zdrojů, které kmitají se stejnou frekvencí tak, že rozdíl fází jejich kmitů je stálý, tj. s časem neměnný. Takové zdroje se nazývají koherentní zdroje. V oblasti akustických vln lze dva koherentní zdroje realizovat např. dvěma reproduktory R1, R2, napájenými jedním zdrojem střídavého napětí akustických frekvencí (obr. 7.30a). Dvěma koherentními zdroji může být i jeden reproduktor R a jeho zrcadlový obraz R na rovinné ploše (např. na povrchu vody) odrážející zvuk (obr. 7.30b). Z R2 R1 interference a) b) interference R R' Obr. 7.30{obr5230} Pro elektromagnetické vlny lze realizovat koherentní zdroje např. elektrickými dipóly nebo trychtýřovými anténami, napájenými jedním zdrojem o dostatečně vysoké frekvenci (f 107­ 1010Hz). V oblasti optických vln mohou být dva koherentní zdroje realizovány např. dvěma štěrbinami v rovinném stínítku osvětleném z jedné strany světlem laseru. r -r2 1 Z2 Z1 r1 r2 P Obr. 7.31{obr5231} Vyšetříme jednoduchý idealizovaný případ interference vlnění z koherentních zdrojů a to interferenci vlnění ze dvou bodových koherentních zdrojů Z1, Z2 zářících v neohraničeném prostředí. Bodové zdroje jsou modelem takových skutečných zdrojů, jejichž rozměry a tvar nejsou pro průběh interference vlnění ve zkoumané oblasti podstatné. Pro zjednodušeni (které však neovlivní obecnost odvozených zákonitostí interference) budeme předpokládat, že zdroje kmitají harmonicky se stejnými fázemi. Jejich úhlovou frekvenci označíme . Z obou zdrojů se šíří kulové vlny (obr. 7.31). Označíme symbolem u1 funkci udávající výchylku v kulové vlně vyzařované zdrojem Z1 jako funkci času a prostorových souřadnic. Podobný význam má i u2. Vektory u1, u2 nechť mají stejný směr. Rychlost šíření uvažovaného vlnění (mechanického, elektromagnetického) v daném prostředí označíme v. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 344 ? 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ Při vhodné volbě začátku počítání času lze vyjádřit výchylky v obecném bodě P ve tvaru u1 = A1 r1 sin t - r1 v , u2 = A2 r2 sin t - r2 v , (7.58){5250} kde A1, A2 jsou veličiny, charakterizující vydatnost zdrojů a kde r1, r2 mají význam zřejmý z obr. 7.31. Výsledná výchylka u v bodě P je, podle zákona superpozice, jehož platnost předpokládáme, dána vztahem u = u1 + u2. V bodě P tedy dochází ke skládání stejnosměrných harmonických kmitů o stejné frekvenci. Podle výsledků odst. 6.5.1 je výsledný pohyb v bodě P opět harmonický a platí u(t) = U0 sin(t + ) , kde U0 = U2 1 + U2 2 + 2U1U2 cos(1 - 2) . (7.59){5251} Zde je zavedeno označení U1 = A1 r1 , U2 = A2 r2 , 1 = - r1 v , 2 = - r2 v . Na tomto výsledku je zvlášť důležité to, že fázový rozdíl 1 - 2, a tedy také U0, závisí i na r1, r2, tj. na vzdálenosti bodu P od zdrojů Z1, Z2. V různých místech interferenčního pole bude amplituda U0 výsledných kmitů různá. Největší hodnotu U0max = U1 + U2 bude mít v těch bodech, které mají takovou polohu, že platí 1 - 2 = 2k , k = 0, 1, 2, . . . , tj. - r1 v + r2 v = 2k , tj. (po úpravě) r2 - r1 = kp , k = 0, 1, 2, . . . . podmínka maxima (7.60){5252} Zde p = Tv je vlnová délka v uvažovaném prostředí. Nejmenší hodnotu U0min = |U1 - U2| bude mít U0 v těch bodech, v nichž platí r2 - r1 = (2k + 1) p 2 , k = 0, 1, 2, . . . . podmínka minima (7.61){5253} Hlavní výsledek: V interferenčním poli vln ze dvou bodových koherentních zdrojů je amplituda kmitů spojitou funkcí polohy. Existují maxima (kmity) a minima (uzly). Poloha maxim je dána vztahem (7.60), poloha minim vztahem (7.61). Detektor vlnění (např. mikrofon nebo ucho v případě vlnění akustického; fotografická deska nebo stínítko v případě světla) zaznamená v kmitnách amplitudu a intenzitu největší, v uzlech nejmenší (je-li U1 = U2, pak nulovou). Poznamenejme, že v optice se obvykle uvádí vlnová délka světla ve vakuu . Ze vztahů p = Tv, = Tc, kde c je rychlost šíření světla ve vakuu, plyne /p = c/v = n. Veličina n, definovaná vztahem n = c/v, je index lomu daného prostředí pro uvažované světlo. Je to veličina charakterizující optické vlastnosti prostředí. Zavedeme-li namísto p do vatahů (7.60),(7.61) dostaneme n(r2 - r1) = k n(r2 - r1) = (2k + 1) 2 k = 0, 1, 2, . . . , podmínka maxim podmínka minim (7.62){5254} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 345 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ Množina bodů, pro které platí vztah (7.60) pro zcela určité k = k0(= 0) pro něž tedy platí r2 - r1 = k0p, je jedna větev rotačního hyperboloidu, jehož osou rotační symetrie je přímka jdoucí body Z1, Z2. V obr. 7.32 jsou zakresleny plnými čarami hyperboly jež udávají řezy těchto hyperboloidů pro různá k (na nichž leží interferenění maxima) rovinou nákresny. Pro k0 = 0 je množinou maxim rovina, jíž odpovídá v obr. 7.32 osa úsečky Z1Z2. Hyperboloidům, na nichž leží interferenční minima daná vztahem (7.61), odpovídají v obr. 7.32 hyperboly vyznačené čárkovaně. r - r = 21 2 r - r = 1 2 r - r = 1 2 r - r =1 2 r - r = 01 2 r - r = -1 2 r - r = -1 2 3 2 2 2 2 r1 r2 Obr. 7.32{obr5232} Zcela analogicky vzniká interferenční vlnové pole s charakteristickými interferenčními maximy (kmitnami) a minimy (uzly) i při interferenci libovolného počtu koherentních zdrojů libovolného tvaru. Interferenční pole je pak ovšem většinou složitější než interferenční pole znázorněné na obr. 7.32. 7.1.8.4 Huygensův­Fresnelův princip neluvPrincip} Jestliže vlnění dopadá na nějakou překážku, např. na stínítko S nebo na těleso T v obr. 7.33, jednak se od ní částečně odráží, jednak postupuje dál, přičemž vniká i do oblasti geometrického stínu. Tento jev se nazývá ohyb vlnění. R hranice geometrického stínuohyb S T Obr. 7.33{obr5233} Z praxe je známo, a teorie to potvrzuje, že vlnění s velkými vlnovými délkami vykazuje větší ohyb než vlnění krátkovlnné tj. vniká více jeho energie i do oblastí vzdálených od hranice geometrického stínu R. Např. zvukové vlny vnikají ohybem snadno i za překážky, zatímco krátkovlnné ultrazvukové vlny nikoliv. Podobně se ohýbá i elektromagnetické záření. Např. dlouhovlnné rozhlasové vlny ( 103 m vnikají ohybem snadno i do hlubokých horských údolí, zatímco televizní Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 346 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ vlny ( 100m) se ohýbají podstatně méně -- televizní anténa se může dostat do ,,stínu . Radarové vlny ( 10-2m) se šíří téměř přímočaře a na velkých překážkách se téměř neohýbají. Ohyb světelných vln ( 10-7m) je tak nepatrný, že jej lze pozorovat jen za zvláštních podmínek. Elementární výklad ohybu mechanického vlnění spočívá na jednoduché představě: Každý element prostředí, kterým se šíří vlnění, se pohybuje, kmitá. Přitom působí na sousední elementy a ovlivňuje jejich pohyb -- chová se tedy jako jakýsi druhotný (neboli sekundární) zdroj, z něhož se šíří sekundární vlny. Tyto tzv. elementární vlny mají v homogenním izotropním prostředí (tj. v prostředí, v němž se šíří vlnění všude stejnou rychlostí nezávislou na směru šíření) kulový tvar. Sekundární vlny ze všech elementů prostředí se v každém bodě skládají a vytvářejí výslednou vlnu. Tato jednoduchá představa, která vznikla již v době, kdy ještě nebyla vypracována teorie šíření a ohybu vlnění spočívající na vlnové rovnici (7.29), byla vyslovena a dodnes se vyslovuje pod názvem Huygensův­Fresnelův princip Každý bod prostředí, kterým se šíří vlnění, se chová jako zdroj elementárních vln, které se z něho šíří všemi směry. Výsledné vlnění v libovolném bodě je dáno superpozicí všech těchto elementárních vln. Je-li Č1 čelo vlny v okamžiku t1, pak čelo Č2 vlny v pozdějším okamžiku t2 = t1 + t je dáno obálkou elementárních vln, vyšlých v okamžiku t1 z bodů čela Č1. a) t t+t F2 ct b) ct t t+t c) c S odražená vlna dopadající vlna d) F1 F1 F2 F2 F1 Obr. 7.34{obr5234} Užitím uvedeného principu lze vysvětlit postupné vytváření čel vln (respektive vlnoploch) při šíření kulové nebo válcové vlny (obr. 7.34a) nebo rovinné vlny (obr. 7.34b) nebo např. vznik a tvar čela vlny 2 vzniklé při odrazu rovinné vlny na oblé ploše S (obr. 7.34c), při němž se sekundárními zdroji stávají body plochy S. Podobně lze vysvětlit i ohyb světla na štěrbině ve stínítku, osvětleném z jedné strany (obr. 7.34d), jako šíření elementárních vln ze sekundárních bodových zdrojů umístěných v prostoru štěrbiny. Instruktivní je zejména vysvětlení zákonitostí lomu a odrazu rovinné vlny na rovinném rozhraní (obr. 7.35). Odraz a lom rovinné vlny. Snellův zákon. Homogenním izotropním prostředím, které označíme symbolem 1, nechť se šíří rychlostí v1 rovinná vlna. Nechť dopadá na rovinné rozhraní R, které odděluje prostředí 1 od jiného homogenního izotropního prostředí 2, v němž se vlnění může šířit rychlostí v2 (obr. 7.35). Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 347 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ v1 1 2 1 `n (t - t )v2 1 1 F(t )1 n1 V2 E F (t )o 2 B D R n2 F(t )2 v1 v2 V1 v1 3 2 1 3 F(t )2 A F (t - t )v2 1 2 Obr. 7.35{obr5235} Čelo dopadající vlny, , postupuje směrem k rozhraní a dostihuje je postupně. Např. v okamžiku t1 je v poloze Č1, takže jsou již zasaženy ty body rozhraní, které leží nalevo od bodu A, zatímco do bodů napravo od A vlna ještě nedospěla. Bod A se v tomto okamžiku stává zdrojem sekundárních vln, které postupují jednak dál do prostředí 2 rychlostí v2 (vlna V2), jednak zpět do prostředí 1 rychlostí v1 (vlna V1). V pozdějším okamžiku, např. v čase t2 (> t1), bylo čelo dopadající vlny již v poloze Č2 a sekundárními zdroji se v časovém intervalu (t1, t2) staly postupně všechny body rozhraní na úsečce AB. Čela sekundárních vln V1, V2 v čase t2 jsou zřejmá v obr. 7.35. Obálka vln V1 je rovina a je to čelo Č0 odražené vlny. Rovinná obálka vln V2 je čelo Č1 lomené vlny. Označení: Rovina dopadu je rovina určená normálou n k rozhraní R a směrem šíření dopadající vlny. Rovina odrazu je rovina určená normálou n a směrem šíření odražené vlny. Rovina lomu je rovina určená normálou n a směrem šíření lomené vlny. Směr šíření vlny je kolmý na čelo vlny. Význam úhlu dopadu 1, úhlu lomu 2 a úhlu odrazu 3 je zřejmý z obr. 7.35. Sekundární vlny V1 i sekundární vlny V2 mají polokulová čela, neboť sekundární vlny se šíří (podle předpokladu) v každém z obou prostředí rychlostí nezávislou na směru. Proto čelo Č0 odražené vlny i čelo Č1 lomené vlny je kolmé na rovinu dopadu. Rovina odrazu i rovina lomu tedy splývá s rovinou dopadu. Úvaha o úhlech 1, 2, 3: a) Trojúhelníky ABD a ABE jsou zrcadlově souměrné. Platí tedy 3 = 1; b) Pravoúhlé trojúhelníky ABD a ABF, mají společnou přeponu AB, jejíž délku označíme d . Platí: v1(t2-t1) = d sin 3, vv(t2-t1) = d sin 2. Odtud plyne v1/v2 = sin 3/ sin 2. Ježto 3 = 1, platí sin 1/ sin 2 = v1/v2. Získané zákonitosti se vyslovují pod názvem Snellův zákon: 1. Roviny dopadu, odrazu a lomu jsou totožné Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 348 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ 2. Pro úhel dopadu 1, odrazu 3 a lomu 2 platí 3 = 1 , sin 1 sin 2 = v1 v2 Diskuse: 1. Je-li v1 > v2, je sin 1 > sin 2, tj. 1 > 2 -- lom ke kolmici; je-li v1 < v2, je sin 1 < sin 2, tj. 1 < 2 -- lom od kolmice. 2. Je-li v1 < v2 a úhel 1 je tak velký, že platí sin 1 > v1/v2, pak pro úhel 2 platí sin 2(= v2/v1sin1) > 1. Neexistuje však reálný úhel 2, který by splňoval tento vztah (pro každé reálné , je sin 1). Lomená vlna pak nevzniká, všechno vlnění se od rozhraní odráží. Tento jev se nazývá úplný (neboli totální) odraz. Úhel 1m, splňující vztah sin 1m = (v1/v2) se nazývá mezní úhel. Poznámka: Ukazuje se, že i při úplném odrazu vnikne vlnění do druhého prostředí, ale pouze do nepatrné vrstvičky o tloušťce d pod rozhraním. Z ní se energie vrací zpět do prvního prostředí. Je-li v této vrstvičce pod rozhraním R nějaký objekt, úplný odraz se poruší. 3. V optice se vyslovuje Snellův zákon s užitím indexů lomu obou prostředí, n1, n2, definovaných vztahy n1 = c/v1, n2 = c/v2, kde c je rychlost světla ve vakuu. Pak sin 1 sin 2 = v1 v2 = n1 sin 1 = n2 sin 2 V této formě se Snellův zákon pro lom pamatuje pravděpodobně nejsnáze. 7.1.9 Příklady ­ Vlnění KP 7-8{pr7.P-1} Na vlákně se šíří ve směru osy Ox příčná lineárně polarizovaná vlna rychlostí c = 4 m s-1. V okamžiku t1 = 0 s má vlákno tvar naznačený v obr. 7.6. Úkoly: 1. Nakreslete tvar vlákna, v čase t2 = 0,2 s; 2. Rozhodněte, zda a kterým směrem se v čase t1 pohybují body A, B, C, D, E, F, G. Zakreslete; 3. Rozhodněte, který z uvedených bodů má v čase t1 největší rychlost. Pokuste se tuto rychlost odhadnout. KP 7-9{pr7.P-2} V pryžové tyči se šíří podélná vlna ve směru osy Ox rychlostí c = 4 m s-1. Výchylka v čase t = 0 je dána křivkou v obr. 7.6. Úkoly. 1. Rozhodněte, které elementy tyče jsou v čase t1 vychýleny a) ve směru postupu vlny, b) proti směru postupu vlny; 2. Rozhodněte, zda a kterým směrem se v čase t1 pohybují ty elementy tyče, které jsou znázorněny body A, E, F, G; 3. Rozhodněte, které části tyče jsou v okamžiku t1 namáhány a) na tlak, b) na tah; 4. Zjistěte, od kterého okamžiku bude element v bodě C trvale v klidu. KP 7-10{pr7.P-3} Bod Z napjatého vlákna, které bylo v klidu pro všechna t < 0, je od okamžiku t1 = 0 s periodicky vychylován ve směru kolmém na směr vlákna tak, že koná přímočaré kmity o výchylce u(t) = 0,02 sin 50t [SI]. Z tohoto bodu se šíří na vlákně oběma směry netlumené příčné vlny rychlostí c = 8 m s-1. Zaveďte osu Ox ležící na vlákně a počátek volte v bodě Z. Sestrojte náčrtek a řešte úkoly: 1. Napište vztah pro výchylku ve vlně, která se šíří a) ve směru Ox, b) proti směru Ox; 2. Určete čas, v němž začne kmitat bod P vlákna, jenž je ve vzdálenosti d = 4 m Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 349 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ od bodu Z; 3. Pro bod P určete a) periodu kmitů, b) fázovou konstantu kmitů, c) maximální výchylku, d) maximální rychlost, e) maximální zrychlení; 4. Určete vlnovou délku. KP 7-11{pr7.P-4} Na napjatém vlákně se šíří příčná lineárně polarizovaná harmonická vlna. Tvar vlákna v čase t1 = 0 s a směr šíření vlny je znázorněn v obr. 7.13. Výchylka elementů vlákna je dána vztahem u(t) = 0,01 sin(20t - 10x) [SI]. Určete: 1. Frekvenci kmitů elementů vlákna; 2. Rychlost šíření vlny; 3. Vlnovou délku; 4. Směr a velikost rychlosti bodu a) A, b) B v čase t1; 5. Směr zrychlení bodu D. Určete přibližně velikost tohoto zrychlení. u (mm) x (mm) 3 2 1 -1 0 1 2 3 4 5 6 c -2 7 8 9 10 A B C Obr. 7.36{obr5236} KP 7-12{pr7.P-5} V obr. 7.36 je znázorněno v určitém okamžiku t0 vlákno, jímž se šíří příčná sinusová vlna, v naznačeném směru rychlostí c = 40 m s-1. Určete: 1. Směr, ve kterém se právě pohybují body A, B, C vlákna; 2. Vlnovou délku vlnění; 3. Frekvenci kmitů jednotlivých bodů vlákna; 4. Amplitudu kmitů; 5. Jeden bod, který kmitá se stejnou fází jako bod A; 6. Jeden bod, který má právě nulovou rychlost. KP 7-13{pr7.P-6} Svislá výchylka bodu P o souřadnici xP = 0 na vlákně, na kterém se šíří ve směru osy Ox příčná sinusová vlna rychlostí c = 50 m s-1, je znázorněna křivkou v obr. 7.37. Určete: 1. Frekvenci kmitů bodu P a bodu P o souřadnici xP = 0,8 m; 2. Vlnovou délku vlnění; 3. Směr, kterým se pohybuje bod P v okamžiku t1 = 0, 3 s. KP 7-14{pr7.P-7} Výchylka v netlumené harmonické rovinné vlně je dána vztahem u(y, t) = 810-6 sin(170t+0,5y) [SI]. Určete: 1. Směr šíření; 2. Amplitudu a frekvenci kmitů v bodě Q1 o souřadnici y1 = 120 mm; 3. Rychlost vlnění a vlnovou délku; 4. Fázovou konstantu kmitů v bodech Q2, Q3, Q4, Q5 o souřadnicích y2 = 0, y3 = +, y4 = -, y5 = 2 ; 5. Fázový rozdíl kmitů v bodech, vzdálených od sebe o 5. KP 7-15{pr7.P-8} Na hladinu jezera dopadá ze vzduchu zvuková vlna o vlnové délce 1 = 0,8 m, částečně se odráží Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 350 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ u (mm) t(s) 30 20 10 -10 0 0,1 0,2 0,3 0,4 -20 0,5 0,6 0,7 Obr. 7.37{obr5237} a částečně (zcela nepatrně) se láme do vody. Rychlost zvuku ve vzduchu je v1 = 340 m s-1, rychlost zvuku v jezerní vodě je (podle tabulek] asi v2 = 1450 m s-1. Určete: 1. Frekvenci zvuku ve vzduchu; 2. Frekvenci zvuku ve vodě; 3. Vlnovou délku vlnění ve vodě; 4. Modul objemové pružnosti vody; 5. Stlačitelnost vody. KP 7-16{pr7.P-9} Na vodní hladině jezera, uvedeného v příkladě KP 7-15, vybuchla v okamžiku t0 = 0 s v místě P1 nálož. Do místa P2 na hladině jezera dorazily vlny, šířící se přímo z místa výbuchu vzduchem a vodou, s časovým rozdílem t = 2 s. Určete: 1. Čas, v němž dorazila do P2 vlna, šířící se a) vodou, b) vzduchem; 2. Vzdálenost míst P1, P2. KP 7-17{pr7.P-10} Vzduchem o teplotě t1 = 0 C se šíří rychlostí v1 = 331,6 m s-1 zvukové vlny o frekvenci f = 600 Hz. Určete: 1. Vlnovou délku; 2. Změnu a) rychlosti šíření, b) vlnové délky při vzrůstu teploty o 1 C (užijte diferenciálů); 3. Rychlost šíření při teplotě t2 = 40 C. KP 7-18{pr7.P-11} Jednoduchý tón o frekvenci f = 1 000 Hz a o intenzitě I = 0,01 W m-2 se šíří a) ve vzduchu, b) v jezerní vodě. Určete: 1. Maximální výchylku; 2. Maximální rychlost; 3. Maximální zrychlení elementů prostředí v obou případech. KP 7-19{pr7.P-12} Vlnění o frekvenci f = 1 000 Hz vnímá lidské ucho jako zvuk, jestliže jeho intenzita I leží v intervalu (10-12; 100) W m-2. Určete příslušný interval; 1. Amplitud akustických výchylek; 2. Amplitud akustických tlaků ve vzduchu. KP 7-20{pr7.P-13} Zvuk o frekvenci f = 440 Hz se šíří a) ve vodíku, b) v kyslíku při teplotě t = 0 C. Považujte oba plyny za ideální a určete pro ně: 1. Rychlost šíření vlnění; 2. Vlnovou délku. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 351 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ KP 7-21{pr7.P-14} V ocelové tyči délky l = 1,2 m, pevně uchycené v jejím středu (konce jsou volné) vzniká podélné stojaté vlnění. Modul pružnosti oceli v tahu je E = 2,1 1011 N m-2, její měrná hmotnost = 7,8 103 kg m-3. Nakreslete náčrtek a určete: 1. Rychlost šíření vlnění v tyči; 2. a) Vlnové délky, b) frekvence stojatých vln, které mohou v tyči vzniknout. Zakreslete. KP 7-22{pr7.P-15} Řešte příklad KP 7-21 pro: 1. Mosaz (E = 9,0 1010 N m-2, = 8,5 103 kg m-3); 2. Hliník (E = 7,4 1010 N m-2, = 2,6 103 kg m-3). KP 7-23{pr7.P-16} Struna délky l = 500 mm o hmotnosti m = 2 g má základní tón o frekvenci f1 = 200 Hz. Nakreslete náčrtek a určete: 1. a) Vlnové délky, b) frekvence stojatého vlnění, které může na struně vzniknout. Zakreslete; 2. Rychlost šíření příčného vlnění na struně; 3. Sílu, kterou je struna napínána; 4. Jak (o kolik procent) je nutno takovou sílu změnit, aby se základní frekvence struny zvýšila na f = 201 Hz. Doporučení: k výpočtu užijte diferenciálů. KP 7-24{pr7.P-17} Řešte příklad KP 7-23 pro l = 800 mm, m = 6 g, f1 = 60 Hz, f = 61 Hz. KP 7-25{pr7.P-18} Houslová struna A má délku l = 330 mm a hmotnost m = 1 g. Její základní frekvence je f1 = 440 Hz. Určete: 1. Rychlost příčného vlnění na struně; 2. Sílu, kterou je struna napínána; 3. Kam je nutno položit prst, aby struna vydávala tón C o frekvenci f = 528 Hz; 4. Řešte úkoly 1, 2, 3 za podmínky, že v zadání se změní hmotnost na m = 2 g. KP 7-26{pr7.P-19} Dva velmi malé koherentní zdroje zvuku Z1, Z2 ve vzduchu (c = 340 m s-1), vzdálené od sebe o a = 800 mm, kmitají se stejnými amplitudami ve fázi s frekvencí f = 1 000 Hz. Nakreslete náčrtek a určete: 1. Rozdíl fází kmitů ve vlnách z obou zdrojů v bodech P1, P2, které leží na jejich spojnici ve vzdálenosti l = 20 m od Z1; 2. Všechny směry, v nichž vznikne ve velké vzdálenosti od obou zdrojů (např. l = 200 m) interferenční maximum; 3. Všechny směry, v nichž nebude ve vzdálenosti l zvuk slyšet. KP 7-27{pr7.P-20} Řešte příklad KP 7-26 pro a = 500 mm, f = 1020 Hz za předpokladu, že zdroje kmitají s opačnými fázemi (2 - 1 = ). KP 7-28{pr7.P-21} Ve výšce a = 2 m nad klidnou vodní hladinou vysílá malá radarová anténa elektromagnetické vlny o vlnové délce = 50 mm. Do prostoru nad vodní hladinou se šíří vlny jednak přímo ze zdroje, jednak vlny odražené od vodní hladiny. Při odrazu na vodní hladině se mění fáze odražených vln o . Uvažujte o části prostoru nad vodní hladinou ve vzdálenosti l = 3 km od zdroje, nakreslete náčrtek a řešte úkoly: 1. Vyšetřete tvar vlnoploch odraženého vlnění; 2. Popište a vyložte jev, ke kterému dochází; 3. Určete polohu interferenčních maxim a minim; 4. Zjistěte, v jaké výšce nad hladinou musí letět letadlo, aby uvedeným radarem nebylo zjistitelné. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 352 7.1. POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ KP 7-29{pr7.P-22} Tramvajové vozy vyjíždějí z konečné stanice vždy po pěti minutách a jedou průměrnou rychlostí 25 km h-1. Chodec jde podél kolejí rychlostí 5 km h-1 a to: 1. Proti směru jízdy; 2. Ve směru jízdy. Určete, v jakých časových intervalech jej vozy míjejí. Poznámka: užijte výsledku teorie Dopplerova jevu. KP 7-30{pr7.P-23} Na palubě kosmické lodi vzdalující se v radiálním směru od Země vysílá zdroj Z1 elektromagnetické vlny s frekvencí f1 = 50 MHz. V přijímači na Zemi se skládá přijatý signál (napěťové kmity) s kmity místního zdroje Z2, který má rovněž frekvenci f1. Diferenční frekvence vzniklých záznějů je fz = 1 000 Hz. Určete rychlost kosmické lodi vzhledem k Zemi. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 353 8. Optika {Optika} 8.1 Vlnová optika VlnovaOptika} 8.1.1 Fyzikální podstata světla dstataSvetla} 8.1.1.1 Rovinná elektromagnetická vlna innaElmgVlna} Vznik a podstata elektromagnetických vln byly stručně popsány v odstavci 7.1, obr. 7.2. Přečtěte si tuto část znovu. Objev elektromagnetických vln v druhé polovině devatenáctého století znamenal mezník v rozvoji sdělovací techniky. Na základě relativně jednoduchého teoretického výsledku, který v té době získal J. C. Maxwell, vzniklo jedno z nejvýznamnějších odvětví fyziky a techniky -- teorie a praxe šíření elektromagnetických vln. Je zajímavé, že u kolébky nauky o elektromagnetických vlnách byla teorie, nikoliv experiment. Existenci elektromagnetických vln předpověděl Maxwell na základě rozboru rovnic vyjadřujících vztahy mezi vektorovými funkcemi E, D, H, B charakterizujícími elektromagnetické pole, jež jsou dnes označovány jeho jménem -- Maxwellovy rovnice (viz 1.5.2.2). Důkaz, že z Maxwellových rovnic plyne možnost existence elektromagnetických vln, nebudeme provádět, naznačíme jen postup: Rovnice (1.159)­(1.163) se převedou (s užitím výsledků vektorové analýzy) do diferenciálního tvaru, který zní: divD = , divB = 0 , rotE = - B t , rotH = E + D t , D = E , B = H (8.1){611} Elektromagnetické pole v homogenním lineárním dielektriku, v němž nejsou ani náboje, ani proudy, dostaneme dosazením = 0, = 0. V tomto případě lze z rovnic (8.1), napsaných v inerciálním vztažném systému Oxyz, odvodit vztah 2E x2 + 2E y2 + 2E z2 - 00 2E t2 = 0 (8.2){612} (odvození není pro toho, kdo ovládá vektorovou analýzu, obtížné). Zcela stejným rovnicím vyhovují i vektory D, H, B. Rovnice (8.2) však je D'Alembertova vlnová rovnice (7.29), v níž je c = (00)- 1 2 . Rovnice (8.2) a analogické rovnice pro D, H, B mají obrovské množství řešení. Ta z jejich řešení, která současně splňují i rovnice (8.1), vyjadřují různá možná elektromagnetická pole, která mohou existovat v uvažovaném prostředí. Rovinná lineárně polarizovaná harmonická vlna Jedno z možných řešení uvedených rovnic v nevodivém prostředí o permitivitě , a permeabilitě jsou v souřadnicovém systému Oxyz funkce E = iE0 sin t - z v , H = H0 sin t - z v , D = E , B = H . (8.3){613} Zde jsou iE0, H0 amplitudy intenzity elektrického a magnetického pole, vázané vztahem E0 = H0, jinak libovolné. Dále: je (libovolná) úhlová frekvence a v = 1 = c rr , c = 1 00 , (8.4){614} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 354 ? 8.1. VLNOVÁ OPTIKA kde c je rychlost světla ve vakuu. Z tvaru funkcí (8.3) je zřejmé, že vyjadřují harmonické elektromagnetické pole, které se šíří rychlostí v ve směru osy Oz, tj. rovinnou elektromagnetickou vlnu. Průběh funkcí E, H na ose Oz v některém pevném okamžiku t je znázorněn na obr. 8.1. Vektor E v libovolném bodě prostoru kmitá s úhlovou frekvencí rovnoběžně s osou Ox -- míří střídavě ve směru a proti směru osy Ox. Vektor H kmitá podobně rovnoběžně s osou Oy. x y z ~H ~E v , 0 0 ~P ~E ~H i j H j0 E i0 ` ` ` ` Obr. 8.1{obr611} Dopadne-li toto elektromagnetické pole na vodivé prostředí, působí na libovolný náboj q tohoto prostředí periodická elektrická síla FE = qE. Je-li náboj q volný, koná nucený kmitavý pohyb, sám začne vysílat magnetické vlny a odnímá část energie dopadající vlně. Tyto sekundární vlny vytvoří vlnu odraženou a lomenou. Ježto elektromagnetické pole má energii (odstavce 1.2.4.6, 1.5.1 v textu Fyzika2), přenáší vlna (8.3) energii rychlostí v. Proudění energie v každé vlně je charakterizováno intenzitou vlnění I (odstavec 7.1.7). Proudění energie v elektromagnetické vlně je charakterizováno tzv. Poyntingovým vektorem P, definovaným vztahem P = E × H . (8.5){615} Takto definovaný vektor má tento fyzikální význam: 1. Směr Poyntingova vektoru P je totožný se směrem proudění energie ve vlně (obr. 8.1); 2. Velikost střední časové hodnoty Pstř vektoru P, kde Pstř = 1 2 (E0 × H0) = 1 2 (E0i × H0), je rovna intenzitě vlnění, tj. platí I = |Pstř| = 1 2 E0H0 . (8.6){616} Důležité výsledky: 1. Podle této teorie se šíří libovolné elektromagnetické signály bez změny tvaru rychlostí v = c/ rr závislou na prostředí. Přesnější teorie uvažující pohyb volných i vázaných nábojů v látkách vede k závěru, že rychlost harmonického elektromagnetického vlnění v látce závisí i na jeho frekvenci. Tento jev se nazývá disperze. Vede např. k tomu, že úhly lomu pro světla různých frekvencí jsou různé (vznik spektra lomem na hranolu), neboť index lomu látky n = c/v je závislý na frekvenci procházejícího světla. 2. Zdrojem rovinného lineárně polarizovaného vlnění (8.3) je např. dipólová anténa (obr. 8.2) připojená ke zdroji vysokofrekvenčního střídavého napětí. Ve velké vzdálenosti od dipólu jsou vlnoplochy přibližně rovinné a elektromagnetické pole je popsáno rovnicemi (8.3). Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 355 8.1. VLNOVÁ OPTIKA vlnoplocha ~P ~E ~H Obr. 8.2{obr612} 410 (m) rozhlasové vlny metrové vlny (televize) centimetrové vlny (radar) mikrovlny tepelné záení infraervené záení svtlo ultrafialové záení rentgenové záení záení gama -310 -77,6*10 -74*10 -8 10 -1010 Obr. 8.3{obr613} 3. Vlastnosti elektromagnetických vln i jejich buzení, detekce a účinky závisí velmi podstatně na jejich vlnové délce. Přehled je uveden v obr. 8.3. Poznamenejme, že rychlost elektromagnetického vlnění ve vakuu, určená ze vztahu (8.4), v němž veličiny 0 a 0 byly již dříve změřeny, se shodovala s naměřenou rychlostí světla. Takto se ihned v začátku teorie elektromagnetického vlnění zjistilo, že světlo je (s největší pravděpodobností) elektromagnetické vlnění. 8.1.1.2 Viditelné světlo Viditelné světlo je elektromagnetické vlnění o velmi vysokých frekvencích f (4 1014 ; 7, 5 1014) Hz, tj. o velmi malých vlnových délkách (400 ; 760) nm . Zdrojem světla jsou většinou atomy a molekuly. Světlo vzniká v jejich elektronových obalech (tj. nikoliv v jádrech). Zdrojem světla však mohou být i nabité částice, např. protony, pohybující se s velkým zrychlením. V makroskopických zdrojích světla (žárovkách, výbojkách, zářivkách, plamenech atd.) se podílejí na záření obrovská množství atomů, molekul i volných částic. Vyložíme stručně fyzikální děje v látkách, které vydávají vlastní světlo a v látkách, které světlo, vyšlé z jiných zdrojů, odrážejí. Zdroje vlastního světla Elektrony v atomových obalech mohou být pouze ve stavech, v nichž mají docela určité pro atom daného druhu charakteristické energie. Označíme je E1, (<)E2, (< )E3, . . . a budeme je nazývat energie atomu. Trvale izolovaný atom je vždy ve stavu s nejmenší energií E1, v tzv. základním stavu. Účinkem jiných objektů -- např. srážkou s jiným atomem, částicí nebo působením elektromagnetického záření -- se může dostat do stavu s vyšší energií. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 356 8.1. VLNOVÁ OPTIKA To se děje ve žhnoucích látkách (vzájemné srážky vlivem tepelného pohybu), ve výbojkách (vzájemné srážky vlivem pohybu způsobeného elektrickými silami) atd. Ze stavu s vyšší energií, např. Ei, může přejít do stavu s nižší energií, např. Ef tak, že vyzáří elektromagnetické záření o energii E = Ef - Ei. Toto záření je lineárně polarizovaná harmonická vlna o frekvenci f dané vztahem hf = Ef - Ei, tj. o frekvenci f = (Ef - Ei)/h, kde h = 6, 626 10-34 J s je tzv. Planckova konstanta.Podle velikosti rozdílu Ef - Ei leží f buď v oboru infračerveného záření nebo viditelného nebo ultrafialového nebo dokonce rentgenového záření. Proces vyzáření trvá velmi krátce, řádově 10-8 s. Vyzářená vlna je tedy prostorově ohraničena. Nazývá se foton. Energie fotonu je velmi malá a nestačí např. k tomu, aby jeden foton vyvolal světelný počitek. Podrobnější informace o stavbě a energetických stavech atomu i o záření jsou uvedeny v části 1.2 textu Kvantová mechanika. Ve zdrojích světla se podílí na záření obrovské množství atomů a molekul. V běžných zdrojích (nikoliv v laserech) emitují atomy fotony samovolně, nezávisle na sobě. Pokud se záření zúčastní jen atomy stejného druhu, např. jen atomy He nebo jen atomy Na atd., a pokud dochází pouze k přechodům mezi dvěma zcela určitými energetickými stavy, mají všechny fotony téměř stejnou frekvenci a světlo je jednobarevné (monochromatické). Tento případ je výjimečný, většinou je ve světle zdrojů obsaženo více frekvencí a ve světle ze žhnoucích zdrojů dokonce všechny frekvence ze širokého intervalu frekvencí. Toto světlo se nazývá polychromatické. Monochromatické i polychromatické světlo sestává z fotonů, které mají a) různé fáze, b) různé roviny polarizace, c) různé směry, neboť byly emitovány v různých okamžicích samovolně navzájem nezávislými atomy. Světelné pole v paprsku takového světla sestává z obrovského množství částečně se překrývajících přibližně sinusových vln konečné délky s náhodnou fází a s náhodnou rovinou polarizace (obr. 8.4). Vektor E (,,světelný vektor ) v libovolném bodě P kmitá postupně v různých směrech kolmých na směr šíření, přičemž směr i fáze kmitu se velmi rychle náhodně mění. Takovéto světlo se nazývá ,,přirozené světlo . Poznamenejme ihned, že na rozdíl od přirozeného světla je světlo z laseru složeno z fotonů, které mají (téměř) stejnou frekvenci, fázi i rovinu polarizace. c ~E P Obr. 8.4{obr614} Zdroje odraženého světla Většina předmětů kolem nás nevyzařuje vlastní světlo. Předměty vidíme proto, že se od nich světlo odráží. Odraz světla je dosti složitý fyzikální děj. Světlo dopadající na látku vniká dovnitř a působí na její nabité částice -- atomová jádra, ionty, volné elektrony i elektrony v orbitech atomů a molekul -- periodickými elektrickými a magnetickými silami (FE = qE, FB = q(v × B)). Účinkem těchto sil (z nichž magnetické jsou většinou zanedbatelné) náboje oscilují s frekvencí dopadajícího světla. Pohyb těžkých částic -- jader -- je zanedbatelně malý, pohyb elektronů nikoliv. Volné oscilující elektrony (např. v kovech) i oscilující elektrony v orbitech atomů a molekul Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 357 8.1. VLNOVÁ OPTIKA jsou zdrojem sekundárního elektromagnetického vlnění -- světla -- o frekvenci rovné frekvenci světla dopadajícího. Sekundární vlny ze všech ozářených částic se skládají. Vně látky vytvářejí vlnění, které nazýváme odražené světlo. Uvnitř látky se sekundární vlnění skládá s dopadajícím světlem a vytváří světlo, které nazýváme lomené nebo prošlé světlo. Část energie dopadajícího světla přechází v energii neuspořádaného tepelného pohybu molekul -- látka světlo absorbuje. Je zřejmé, že na vlastnosti a na "kvalitu" odraženého světla má vliv jak dopadající světlo, tak i látka sama. Elektrony v látce kmitají v rytmu kmitu dopadajícího elektromagnetického (světelného) pole. Vyzařují tedy světlo, které má stejnou frekvenci jako světlo dopadající. Fáze a polarizační rovina tohoto světla se mění v rytmu změn v dopadajícím světle. Avšak amplituda kmitů elektronu, a tedy i amplituda vektorů E, H v odraženém světle, závisí velmi podstatně i na tom, jak jsou elektrony vázány k jádrům a jaká je frekvence jejich vlastních kmitů, dále pak na jejich počtu atd. V důsledku toho se odrážejí světla různých frekvencí od látky různě. Spektrální složení (tj. rozložení energie na různé frekvence) odraženého a dopadajícího světla je různé. Tento jev se nazývá selektivní odraz. Jeho důsledkem je to, že světlo, které odráží předmět osvětlený bílým světlem, je zbarveno. Proto mají předměty "barvu". Předměty ozářené monochromatickým světlem mají pouze "barvu" tohoto světla. 8.1.1.3 Koherentní a nekoherentní světlo V poslední době se v technické praxi užívá k nejrůznějším účelům světla laserů. Monochromatické světlo laseru se liší od monochromatického záření běžného zdroje světla zejména tím, že se chová v jistém smyslu (který v dalším vysvětlíme) podobně jako elektromagnetické záření buzené anténami napájenými vysokofrekvenčními oscilátory, např. jako radarové vlny; nemění v relativně dlouhém časovém intervalu fázi kmitu. Tuto vlastnost světla vyjadřujeme označením ,,koherentní světlo . V koherentním světle vznikají výrazné interferenční a ohybové jevy, jichž se využívá ve strojírenské praxi ke zjišťování a měření malých deformací, posuvu, nehomogenit průhledných látek, rychlosti proudění tekutin, vytváření hologramu atd. Část optiky spočívající na využití koherence světla se nazývá koherentní optika. Cílem tohoto odstavce je výklad vlastností koherentních a nekoherentních zdrojů a vlastností koherentního a nekoherentního světla. Koherentní a nekoherentní zdroje záření. V odstavci 7.1.7.2 bylo uvedeno, že vlny ze dvou zdrojů akustického vlnění (např. ze dvou ladiček) nebo ze dvou makroskopických zdrojů elektromagnetického vlnění (např. ze dvou malých antén napájených jedním oscilátorem), které kmitají harmonicky se stejnými frekvencemi, interferuje. V oblasti, kde se vlny z obou zdrojů překrývají, skládají se kmity o stejných frekvencích. V každém bodě vznikají tedy harmonické kmity. Fázový rozdíl těchto kmitů je v každém bodě interferenční oblasti jiný, ale s časem se nemění. Amplitudy kmitů jsou tedy v různých bodech různé a s časem neměnné. V některých bodech vznikají trvalá interferenení maxima, v jiných trvalá interferenení minima. To je pro interferenci charakteristické. Připomeňme, že složením kmitů o různých frekvencích nevzniká harmonický pohyb. Při superpozici vlnění ze dvou zdrojů různých frekvencí k interferenci nedochází. Světla ze dvou různých světelných zdrojů Z1 , Z2 -- např. ze dvou shodných sodíkových výbojek -- však neinterferují ani tehdy, když jsou monochromatická a když mají stejnou frekvenci. Důvod je v tom, že v obou světelných vlnách se mění s velkou rychlostí zcela nepravidelně, náhodně, fáze kmitu, a to v každém z obou světel jinak. Proto i rozdíl fází kmitů vektorů E1, E2 v obecném bodě P světelného pole se mění velmi rychle a nepravidelně. Totéž platí i o amplitudě výsledných kmitů. Střední časová hodnota hustoty světelné energie je ve všech bodech osvětlené oblasti přibližně stejná, trvalá maxima a minima se nevytvářejí, tj. světla neinterferují. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 358 8.1. VLNOVÁ OPTIKA Z hlediska interference dělíme dvojice (nebo skupiny většího počtu) zdrojů vlnění na koherentní a nekoherentní. Koherentní zdroje jsou zdroje, které mají tyto vlastnosti: a) kmitají se stejnými frekvencemi, b) rozdíl fází kmitů jednotlivých zdrojů se nemění (poznámka: fáze kmitů se přitom může náhodně měnit, ale ve všech zdrojích stejně tak, aby rozdíl fází byl stejný). Nekoherentní zdroje jsou ty, které nejsou koherentní. Světla z koherentních zdrojů interferují. Světla z nekoherentních zdrojů neinterferují. Z0 o Z1 Z2 Obr. 8.5{obr615} Dva (fyzicky) různé zdroje světla, s výjimkou laseru, jsou vždy nekoherentní. Koherentní zdroje světla se získají tím, že se užije pouze jednoho zdroje a jeho světlo se rozdělí vhodným způsobem tak, že vzniknou dva sekundární (nebo zdánlivé) zdroje světla. Např. na obr. 8.5 jsou znázorněny dvě úzké blízko sebe ležící štěrbiny Z1, Z2 ve stínítku S, osvětelné zdrojem Z0 monochromatického světla umístěným na ose souměrnosti o úsečky Z1Z2. Fáze kmitu ve štěrbinách Z1, Z2 se velmi rychle, ale současně, mění. Pro oblast napravo od stínítka představují štirbiny Z1, Z2 dva koherentní zdroje. V oblasti nepříliš vzdálené od osy o světla interferují. 1 2 3 d Z1 Z2 Z3 Z Obr. 8.6{obr616} Na obr. 8.6 je znázorněna velmi tenká vrstva tloušťky d, na kterou dopadá z bodového zdroje Z monochromatické světlo o vlnové délce . Paprsky 1, 2, 3, . . . vzniklé postupnými odrazy a lomy mají vlastnosti shodné se světlem, které by vycházelo z bodů Z1, Z2, Z3, . . ., tj. ze zdánlivých zdrojů. Jeli vrstva velmi tenká (d ), jsou tyto zdánlivé zdroje téměř koherentní a světla 1, 2, 3, . . . interferují. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 359 8.1. VLNOVÁ OPTIKA Existuje řada dalších způsobů a zařízení, jimiž lze získat dva nebo větší počet zdánlivých nebo sekundárních koherentních (nebo téměř koherentních) zdrojů s užitím jediného skutečného zdroje světla. Koherentní a nekoherentní světlo Uspořádejme pokus podle obr. 8.7. Světlo z běžného monochromatického zdroje Z0 dopadne na polopropustné zrcadlo R, na něm se částečně odrazí, částečně projde. Odražené světlo je nasměrováno zrcadlem Z1 do oblasti O (vlna V1), prošlé světlo se odráží na zrcadle Z2 tak, že vzniklá vlna V2 se setkává s V1 v oblasti O. Ukazuje se, ze při obecné volbě polohy zrcadel Z1, Z2 k interferenci nedojde. Proč? Proto, že ve světle z běžného zdroje se nesmírně rychle mění fáze kmitů. Dráha Z0RZ1P, kterou urazila vlna V1 ze zdroje Z0 do obecného bodu P, je delší než dráha Z0RZ2P, kterou urazila vlna V2. Vlna V1 se tedy v bodě P nesetkává s tou částí vlny V2, která byla vyzářena zdrojem Z0 současně s V1, nýbrž s částí, která byla vyzářena později. Proto se fáze kmitů v každé z vln V1, V2 v bodě P mění jinak a tedy i rozdíl fází se mění velmi rychle a náhodně. V oblasti O tudíž vlny V1, V2 neinterferují. Je zřejmé, že vlny V1, V2 by v bodě P interferovaly tehdy, kdyby pokus byl uspořádán tak, že by obě vlny urazily ze zdroje Z0 do bodu P stejné dráhy, tj. že by rozdíl těchto drah r byl nulový (nebo téměř nulový). R V1 O P Z0 Z1 Z2 V2 Obr. 8.7{obr617} Z hlediska interferenčních vlastností při pokuse znázorněném na obr. 8.7 dělíme světla různých zdrojů takto: * Koherentní světlo je světlo, které interferuje při libovolné hodnotě rozdílu drah r. * Nekoherentní světlo je světlo, které interferuje jen tehdy, je-li r = 0. * Částečně koherentní světlo je světlo, které interferuje i při nenulové, ne příliš velké hodnotě rozdílu drah r. Jestliže pokus znázorněný na obr. 8.7 uspořádáme tak, že nejprve je r = 0 a pak se r zvětšuje (např. vhodným posunutím zrcadel Z1, Z2), je interference nejprve velmi výrazná (velký rozdíl mezi intenzitou světla v maximech a minimech) a s rostoucím r se zmenšuje (téměř stejná intenzita v maximech a minimech). Největší hodnota dráhového rozdílu r, při níž ještě dojde k interferenci, se nazývá koherenční délka světla. (Poznámka: tato poněkud neurčitá definice koherenční délky se v teorii koherence upřesňuje.) Koherenční délka světla z běžných monochromatických zdrojů je rovna několik , tj. řádu 10-6 m. Koherenční délka světla laseru je řádově 1 mm až 103 m. Světlo laseru je téměř koherentní. Poznamenejme, že světlo vzniklé odrazem nekoherentního (koherentního) světla je opět nekoherentní (koherentní). Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 360 8.1. VLNOVÁ OPTIKA 8.1.1.4 Polarizace světla Světlo, v němž vektor E kmitá pouze v jednom směru, se nazývá lineárně polarizované. Rovina určená směrem šíření světla a vektorem E se nazývá rovina polarizace. (Poznámka: ve starší literatuře se považuje za rovinu polarizace rovina, která je na uvedenou rovinu kolmá.) Přirozené světlo je nepolarizované (obr. 8.4). Lineárně polarizované světlo má některé vlastnosti odlišné od přirozeného světla: odrazivost povrchu všech látek pro polarizované světlo závisí na poloze roviny polarizace, podobně i propustnost některých látek. Těchto vlastností se využívá v technické praxi pro konstrukci polarizačních filtrů (které propouštějí pouze tu složku vektoru E dopadajícího světla, která leží v jisté rovině), dále ke zkoumání průběhu mechanického napětí v průhledných modelech strojních a stavebních dílu atd. Lineárně polarizované nekoherentní světlo lze znázornit soustavou překrývajících se sinusových vln konečné délky, lineárně polarizovaných v jedné rovině (rovina Oxz v obr. 8.1). Lze je získat z přirozeného světla buď odrazem pod vhodným úhlem, nebo průchodem vhodným (tzv. dvojlomným) prostředím. 8.1.2 Interference a ohyb světla {5.2.3} V této části vyložíme základní jevy interference a ohybu světla a sice ty jevy, které jsou důležité z hlediska aplikací v technické praxi a přitom jsou celkem jednoduché. Jsou to: 1. Interference světla na tenké vrstvě (HV (hlavní výsledek): odrazivost tenké vrstvy pro určité světlo závisí velmi podstatně na tloušťce vrstvy a na úhlu dopadu); 2. Ohyb světla na štěrbině (HV: světlo procházející štěrbinou ve stínítku se za ní šíří do všech směrů, a to do různých směrů s různou intenzitou); 3. Ohyb světla na mřížce (HV: světlo prošlé optickou mřížkou, nebo na ní odražené, se šíří pouze do určitých směrů, jež jsou pro různé vlnové délky různé. Světla různých vlnových délek se takto od sebe oddělí a vznikne spektrum); 4. Holografie (HV: zkoumaný předmět se osvětlí koherentním světlem laseru. Do oblasti odraženého světla se přivede přímé světlo z laseru, obě světla interferují. Do interferenčního pole se vloží fotografická deska a na ní se zachytí interferenční obrazec. Tato deska se po vyvolání nazývá hologram. Osvětlí-li se hologram koherentním světlem laseru, vznikne ohybem světelné pole, které je shodné s původním polem světla odraženého od předmětu, tj. pole se rekonstruuje). 8.1.2.1 Interference světla na tenké vrstvě Kolmý dopad světla na tenkou planparalelní dielektrickou (tj. nevodivou) vrstvu. a) Dopad monochromatického světla (). Dielektrická vrstva tloušťky d nechť má index lomu n2; přiléhající neohraničená dielektrika (obr. 8.8) nechť mají indexy lomu n1, n3. Tloušťka d nechť splňuje podmínku md < lkoh, kde m je řádu 100, např. m = 5 a kde lkoh je koherenční délka dopadajícího světla. Je-li dopadající světlo přirozené (nekoherentní), má koherenční délku lkoh m, takže pak platí d . Taková vrstva se nazývá opticky tenká. Je-li však dopadající světlo koherentní, může být vrstva i tlustá. Poznamenejme, že opticky tenké vrstvy (i kovové) jsou vždy průhledné. Z prostředí 1 nechť dopadá kolmo na vrstvu nepříliš úzký svazek paprsků světla, tj. rovinná vlna. Na rozhraní 1 se světlo odráží a láme (obr. 8.8), lomený paprsek se dále odráží a láme na rozhraní 2 atd. Do prvního prostředí se vracejí paprsky 1, 2, 3, . . . , překrývají se a interferují, takže z nich vzniká jediná vlna -- odražené světlo. Do třetího prostředí vnikají paprsky 1 ,2 ,3 , . . . , rovněž interferují a vytvářejí vlnu prošlou. Amplituda odražené vlny závisí na fázovém rozdílu vln 1, 2, . . . a ten opět závisí na rozdílu jejich optických drah. Je zřejmé, že rozdíl optických drah paprsků 1, 2 je stejný, jako Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 361 8.1. VLNOVÁ OPTIKA d ´1 ´2 n1 1 2 3 1 432 A 12 3' ' ' n2 n3 Obr. 8.8{obr618} rozdíly optických drah dvojic paprsků (2, 3), (3, 4) atd. Určíme rozdíl optických drah paprsků 1, 2: Paprsky vznikají v bodě A dělením dopadajícího paprsku odrazem a lomem. Paprsek 1 se vrací do prvního prostředí přímo, paprsek 2 urazí navíc ve vrstvě dráhu délky 2d; rozdíl jejich skutečných optických drah je tedy = 2n2d. To však ještě není hledaný rozdíl optických drah, neboť při odraze na rozhraní dvou prostředí nj|nk světlo buď změní fázi o (je-li nj < nk), nebo ji nezmění (je-li nj > nk). Tento výsledek plyne z teorie a je experimentálně ověřen. Změní-li světlo fázi o , má fázi takovou, jako kdyby urazilo navíc ve vakuu dráhu délky /2. Při odrazech na rozhraních 1, 2 paprsky 1, 7 tedy buď mění nebo nemění fázi, podle toho, které ze vztahů n1 < >n2, n2 < >n3 platí. Celkový rozdíl optických drah paprsků 1, 2 je roven = 2n2d + 2 , kde je buď rovno jedné, tj. = 1 (je-li buď n1 > n2, n2 < n3, nebo n1 < n2, n2 > n3), nebo platí = 0 (ve zbývajících případech). Je-li splněna podmínka 2n2d + 2 = k , kde k = 1, 2, . . . , podmínka maxima pro odraz (8.7){617} liší se fázové konstanty vln (paprsků) 1, 2, 3, . . . o celistvé násobky 2 a jejich interferencí vzniká vlna o maximální amplitudě, tj. světlo se od vrstvy odráží s maximální intenzitou. Vztah (8.7) tedy vyjadřuje podmínku, za níž nastává maximální odraz na vrstvě, tj. podmínku maximálního odrazu. Je-li ve vztahu (8.7) např. předepsáno a n2, pak podmínka (8.7) je splněna pro d1 = ( - /2)/2n2 . . . (k = 1), d2 = . . . (k = 2) atd. Analogicky se odvodí podmínka pro minimální odraz 2n2d + 2 = (2k - 1) 2 , kde k = 1, 2, . . . podmínka minima pro odraz (8.8){618} Užití: Zvýšení (nebo snížení) odrazivosti povrchu látky jeho pokrytím vhodnou tenkou vrstvou -- reflexní (nebo antireflexní) vrstva. Reflexními vrstvami (nebo častěji reflexními soustavami vrstev) se pokrývá povrch zrcadel (např. zrcadel laserů), reflexních brýlí Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 362 8.1. VLNOVÁ OPTIKA atd. Antireflexními vrstvami se pokrývá povrch čoček objektivů fotoaparátů, dalekohledů, prvků slunečních kolektorů atd. b) Dopad bílého světla. Dopadá-li na tenkou vrstvu znázorněnou v obr. 8.8 kolmo bílé světlo, jehož vlnové délky pokrývají spojitě interval I (400; 760) nm, je podmínka maxima (8.7) splněna pro vlnové délky 1, 2, 3, . . ., splňující vztahy 2n2d + k 2 = kk , k = 1, 2, . . . . (8.9) Některé z vlnových délek 1, 2, . . . mohou ležet v intervalu I. Světlo těchto vlnových délek se odráží více než světlo ostatních vlnových délek. Nejméně se odráží světlo vlnových délek 1, 2, . . . , které splňují podmínku minima (8.8). Spektrální složení odraženého světla je tedy jiné než spektrální složení dopadajícího bílého světla -- odražené světlo je zbarveno. V prošlém světle jsou naopak relativně posíleny (zeslabeny) ty vlnové délky, které byly při odraze zeslabeny (posíleny). Prošlé světlo má doplňkovou barvu k barvě odraženého světla. Šikmý dopad světla na tenkou planparalelní dielektrickou vrstvu Na tenkou planparalelní vrstvu znázorněnou na obr. 8.8 nechť dopadá rovinná monochromatická světelná vlna (tj. svazek rovnoběžných paprsků) pod úhlem (obr. 8.9. d vlnoplocha A E . . F D vlnoplocha 1 2 3 B n1 n2 n3 ´2 ´1 Obr. 8.9{obr619} Předpokládejme, že při odraze na rozhraních 1, 2 nedochází k úplnému odrazu, takže paprsky se na nich částečně odrážejí a částečně lámou. Paprsky 1, 2, 3, . . . , vzniklé postupnými odrazy a lomy z dopadajícího paprsku, interferují jako dříve. Rozdíl skutečných optických drah paprsků 1, 2 nyní je = n2|AB|+n2|BC|-n1|AD|, kde jsme označili |AB| délku úsečky AB atd. Úpravou uvedeného výrazu, při níž užijeme vztahu n1|AF| = n2|AE| plynoucího z obr. 7.35, dále vztahu |AB| = |BC| a vztahu n1 sin = n2 sin (Snellův zákon), dostaneme = 2n2|EB| = 2n2d cos = 2n2d 1 - sin2 = 2d n2 2 - n2 2 sin2 = 2d n2 2 - n2 1 sin2 . Přihlédnemeli opět k možné změně fáze při odraze na rozhraních 1, 2, dostaneme podmínku maxima pro odraz ve tvaru 2d n2 2 - n2 1 sin2 + 2 = k , k = 1, 2, . . . , ( = 0, 1). podmínka maxima pro odraz (8.10){619} Analogicky se odvodí podmínka minima Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 363 8.1. VLNOVÁ OPTIKA 2d n2 2 - n2 1 sin2 + 2 = (2k - 1) 2 . podmínka minima pro odraz (8.11){6110} Při náhodně zvoleném úhlu dopadu není (obecně) splněna žádná z obou podmínek. Intenzita odraženého světla závisí na hodnotě levé strany ve vztazích (8.10), (8.11). Mění-li se plynule úhel dopadu od 0 do 90, intenzita odraženého světla se spojitě mění mezi extrémními hodnotami ­ střídavě narůstá a klesá. Dopadá-li na vrstvu svazek rovnoběžných paprsků bílého světla, pak podobně jako při kolmém dopadu se světlo určitých vlnových délek 1, 2, . . . zesílí a světlo jiných vlnových délek 1, 2, . . . zeslabí. Odražené světlo je tedy zbarveno. Hodnoty vlnových délek zesíleného světla (1, 2, . . . ), dané vztahy (8.10) pro k = 1, 2, . . ., i hodnoty vlnových délek málo odraženého světla (1, 2, . . . ), dané vztahy (8.11) pro k = 1, 2, . . ., jsou závislé na úhlu dopadu . Barva odraženého světla závisí tedy na . Mění-li se úhel dopadu , mění se barva světla odraženého od vrstvy. Tento jev vzniká např. při odrazu světla na tenkých olejových filmech (vrstvách), na mýdlových blánách, slídových vrstvách atd. Užití: barevné interferenční filtry (získávání barevného světla z bílého), regulace světelné odrazivosti povrchů atd. Interferenční proužky Velmi častým a v měřicí technice využívaným jevem je vznik interferenčních proužků. Vyložíme základní jev tohoto typu, a to vznik interferenčních proužků na tenké vrstvě. ´1 B B dB A A 2' 1' 12 P zdroj ´2 Obr. 8.10{obr6110} Uvažujme o tenké vrstvě, která má v různých místech různou tloušťku (obr. 8.10). Vrstva nechť je osvětlena plošným zdrojem světla, o němž budeme pro jednoduchost nejprve předpokládat, že je jednobarevné (). Vrstvu pozorujeme okem nebo fotografujeme přístrojem zaostřeným na její povrch. Pozorujme např. bod A vrstvy. Do oka z něho přichází paprsek 1 , vzniklý odrazem paprsku 1 na rozhraní 1. Paprsek 1 vyšel z nějakého bodu P zdroje. Z bodu A vniká do oka kromě toho i paprsek 2 , který vznikl rovněž v bodě P (paprsek označený 2), vnikl do vrstvy a odrazil se na ploše 2 právě do bodu A. Paprsky 1 , 2 vznikly v jediném bodě, rozdíl jejich optických drah je podle předpokladu (tenká vrstva) menší než koherenční délka, takže v oku interferují. Osvětlení toho místa sítnice oka, do kterého dopadají, závisí na rozdílu jejich optických drah, tj. na tloušťce dA a na indexu lomu nA vrstvy v místě A a na úhlu dopadu A (viz levá strana rovnice (8.10) a (8.11)). Podle toho, jaký je tento rozdíl optických drah, jeví se pozorovateli bod A více nebo méně jasný. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 364 8.1. VLNOVÁ OPTIKA Stejný jev nastane ve všech osvětlených místech vrstvy, které pozorovatel pozoruje např. v bodě B. Avšak rozdíl optických drah paprsků analogických paprskům 1 , 2 je (obecně) jiný. Bod B se tedy pozorovateli jeví (obecně) jinak jasný. Nejjasnější se mu jeví ta místa, v nichž je splněna podmínka maxima (8.10), nejméně jasná ta místa, v nichž je splněna podmínka (8.11). Stejně jasná místa vytvoří na vrstvě křivky. Pozorovatel tedy vidí na vrstvě tzv. interferenční proužky v barvě odpovídající vlnové délce , v nichž jas se spojitě mění při postupu od maxima do minima ve směru kolmém na interferenční proužek. Vzdálenost sousedních maxim v tomto směru udává šířku interferenčního proužku. Čím tenčí je vrstva, tím větší je šířka interferenčních proužků. Při osvětlení vrstvy na obr. 8.10 plošným zdrojem bílého světla vytvoří se pro každou barvu jiná soustava interferenčních proužků, neboť poloha maxim a minim závisí na vlnové délce (rovnice (8.10), (8.11)). Pozorovateli se tedy jeví různá místa vrstvy v různých barvách -- interferenční proužky jsou barevné. Při změně polohy oka se polohy maxim na vrstvě mění, tj. interferenční proužky se posouvají a mění tvar. Tento jev vzniká např. na mýdlových blánách, olejových filmech, slídových vrstvách, vzduchových vrstvách mezi filmem a přítlačným sklíčkem v projekčním nebo zvětšovacím přístroji atd. Interference světla na tenké vrstvě je základním jevem využívaném v optických interferometrických měřeních. Interferometrická měření Interference světla na tenké vrstvě nestejné tloušťky se užívá ke zjišťování tvaru obrobených ploch (tj. jejich reliefu), zejména ke zjišťování jeho odchylky od předepsaného tvaru, dále k měření malých deformací, malých posuvů, malých úhlů atd. Základní uspořádání interferometrického měření je znázorněno na obr. 8.11a. Ke zkoumané vyleštěné ploše S, jež by měla být např. rovinná, se přiloží dokonale rovinná plocha skleněné destičky. Mezi plochami S a vznikne tenká vzduchová interferenční vrstva proměnné tloušťky. Ta se osvětlí (nejlépe) svazkem rovnoběžných paprsků monochromatického světla odraženým od polopropustného zrcadla R. Světlo odražené od vrstvy projde (částečně) zrcadlem R a pozoruje se (nebo fotografuje, nebo jinak detekuje a dále zpracovává) v oblasti P. Proměřením interferenčního obrazce (obr. 8.11b) se zjistí tvar plochy S. p vrstva AS' B S ´ RP dd dd s pohled shora (interferenní obrazec) b) a) Obr. 8.11{obr6111} Poznámka: Z tvaru interferenčních křivek (uzavřené křivky na obr. 8.11b) nelze poznat, zda odpovídají výstupkům (místo A) nebo prohlubním (B) na ploše S. Uvažte však, jak se interCopyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 365 8.1. VLNOVÁ OPTIKA ferenční křivky mění, jestliže plocha, S se nepatrně posouvá směrem k ploše (tj. ve směru p). Jestliže je zkoumaná plocha rovinná a není rovnoběžná se (v obr. 8.11a je zakreslena čárkovaně a označena S ), jsou interferenční proužky přímočaré a mají stejnou šířku d (v obr. 8.11b jsou zakresleny čárkovaně). Změřením této šířky, tj. vzdálenosti maxim, lze určit s velkou přesností úhel , sevřený plochami S , (2d tg = ). Jestliže se rovinná plocha S posouvá ve směru p, přímočaré interferenční proužky (obr. 8.11) se posouvají ve směru s. Změřením jejich posuvu lze zjistit velikost posuvu ve směru p s přesností až 10-2, tj. řádově 10-8 m. Užijeme-li jako zdroje koherentního světla laseru, není interferometrické měření omezeno pouze na tenké vrstvy. Je-li plocha S spojena s pohybující se součástí strojního zařízení, lze její posuv zjistit (a případně ovládat) s velkou přesností, např. optoelektronickou registrací počtu maxim, které projdou v interferenčním obrazci ve směru s. Přístroje určené k interferometrickým měřením se nazývají interferometry. Je jich celá řada typů. Velmi účinným moderním zařízením tohoto typu je např. laserinterferometr. 8.1.2.2 Ohyb světla na štěrbině Ohyb vlnění byl popsán a jeho fyzikální podstata byla vysvětlena v odstavci v souvislosti s výkladem Huygensova­Fresnelova principu. V této části se budeme zabývat ohybem světla na otvoru ve stínítku. Budeme uvažovat o rovinném stínítku (zhotoveném např. z tenkého plechu), v němž je velmi úzká a velmi dlouhá (teoreticky nekonečně dlouhá) štěrbina s rovnoběžnými hranami (obr. 8.12a). Na stínítko nechť dopadá z jedné strany v kolmém směru rovinná světelná monochromatická vlna (tj. svazek rovnoběžných paprsků). Šířku štěrbiny označíme a, vlnová délka a frekvence dopadajícího světla nechť je a f. a a) P b) Obr. 8.12{obr6112} Ohybové světelné pole na druhé straně štěrbiny lze podle Huygensova­Fresnelova principu interpretovat jako pole vytvořené sekundárními zdroji rozloženými spojitě v prostoru štěrbiny, kmitajícími s frekvencí f, a při kolmém dopadu světla i se stejnými fázemi. Světelné pole v obecném bodě P (obr. 8.12b) vzniká interferencí nekonečně mnoha vln (paprsků) vyšlých ze všech bodů štěrbiny. Výsledná amplituda a intenzita světla v bodě P závisí na fázových rozdílech kmitů všech paprsků v bodě P a bude tedy v různých bodech ohybového pole různá. Je-li bod P blízko štěrbiny, počítá se výsledná amplituda velmi obtížně. Z hlediska aplikací má větší význam ohybový jev, který vzniká ve větší vzdálenosti (která se v teorii blíže specifikuje), Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 366 ? 8.1. VLNOVÁ OPTIKA tzv. Fresnelův ohybový jev. Nejdůležitější však je ohybový jev, který vznikne v takové vzdálenosti od štěrbiny, že paprsky ze všech bodů štěrbiny, jdoucí do příslušného bodu P, jsou rovnoběžné (tj. P ). Tento ohybový jev se nazývá ,,Fraunhoferův ohyb . Má značný význam při optickém zobrazení. V dalším se budeme zabývat pouze Fraunhoferovými ohybovými jevy. Vzhledem k tomu, že vznikají při zobrazování předmětů čočkami, uvedeme nejprve některé zákonitosti průchodu světla čočkami. Průchod světla čočkou Dopadá-li na ideální čočku kulová světelná vlna, a to buď vlna rozbíhavá (tj. divergentní), vycházející z jednoho bodu, nebo sbíhavá (tj. konvergentní), jdoucí do jednoho bodu, transformuje ji čočka opět v (přibližně) kulovou vlnu. Přitom rovinnou vlnu považujeme za kulovou vlnu se středem v nekonečnu. V obr. 8.13a je znázorněna transformace divergentní kulové vlny K1 se středem P1 v konvergentní kulovou vlnu K2 se středem P2 spojnou čočkou. Každý bod roviny R1, kolmé na optickou osu, se takto ideální čočkou zobrazí do jednoho bodu roviny R2. Rovina R1 se nazývá předmětová, rovina R2 obrazová. Obraz P2 bodu P1 lze zkonstruovat s užitím centrálního paprsku c, který jde po průchodu čočkou původním směrem. V terminologii geometrické optiky ideální čočka mění svazek paprsků procházejících bodem P1 ve svazek paprsků jdoucích bodem P2. Kmity v bodech A, B, ležících na jedné vlnoploše, mají stejnou fázi. Totéž platí např. i o kmitech v bodech A3, B3. Proto jsou optické dráhy úseků AA1A2P2, BB1B2P2 na paprscích p, q stejné. R2 P1 q p A B c K1 A1 A2 R1 P2 A3 B3 F' P2 É P1 Bq p A B1 B2 A1 A2 ohnisková rovina a) b) K2 B1 B2 Obr. 8.13{obr6113} Jestliže se bod P1 a tedy i rovina R1 vzdálí od čočky doleva do nekonečna, nazývá se příslušná rovina R2 ohnisková. Bod F je obrazové ohnisko (obr. 8.13b). Vlna dopadající na čočku z bodu P1 je nyní rovinná, její vlnoplochy jsou rovinné, takže optické dráhy úseků AA1A2P2, BB1B2P2 (obr. 8.13b) jsou stejné. Jestliže na čočku dopadají dva obecné koherentní rovnoběžné světelné paprsky p, q, je rozdíl fází jejich kmitů v bodě P2 stejný jako rozdíl fází jejich kmitů v bodech A, B. Fraunhoferův ohyb na štěrbině Vložme za štěrbinu (tj. na pravou stranu stínítka při dopadu světla zleva) válcovou spojnou čočku rovnoběžnou se štěrbinou. Čočka soustředí všechny paprsky, které vyšly ze štěrbiny rovnoběžně, např. pod úhlem (obr. 8.14), do jedné přímky kolmé k nákresně, která se v obr. 8.14 jeví jako bod P. Předpokládejme, že rozdíl optických Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 367 8.1. VLNOVÁ OPTIKA drah krajních paprsků, tj. veličina a sin , je menší než koherenční délka světla. Pak všechny uvažované paprsky v bodě P interferují. Fázové rozdíly jejich kmitů v tomto bodě jsou právě takové, jako kdyby tyto paprsky neprocházely čočkou, nýbrž se šířily ve směru dál a interferovaly až v nekonečnu. a F' a sin P Obr. 8.14{obr6114} Zkoumejme nejprve paprsky, které leží v nákresně a jdou ve směru optické osy čočky, tj. pod úhlem = 0. Tyto paprsky se protínají v ohnisku F a kmitají v něm se stejnými fázemi. V ohnisku F tedy vznikne maximum, kterému říkáme hlavní (nebo centrální) ohybové maximum. Amplituda kmitů a intenzita světla v bodě F je maximální. Nechť úhel se nepatrně zvětší. Kmity v tom bodě ohniskové roviny, v němž se tyto paprsky protínají, jsou poněkud rozfázovány, takže amplituda kmitů v tomto bodě je menší než v bodě F . Zvětší-li se úhel dále tak, že nabude hodnoty, při níž dráhový rozdíl krajních paprsků p, q, tj. veličina r = a sin , splňuje vztah a sin 1 = podmínka pro úhel minima prvního řádu (8.12){6111} (obr. 8.15a), jsou kmity krajních paprsků p, q v bodě P1 fázově posunuty o 2. Kdyby v něm tyto paprsky interferovaly samy, vzniklo by v něm interferenční maximum. Avšak v bodě P1 interferují všechny paprsky, které vyšly pod úhlem 1 ze všech bodů štěrbiny. Libovolné dvojice paprsků, které vyšly ze dvou bodů vzdálených o a/2, např. dvojice r, s v obr. 8.15a, má rozdíl drah roven /2. Tyto dva paprsky v bodě P1 interferují s opačnými fázemi a zruší se. Zřejmě lze takto do dvojic uspořádat všechny paprsky ze všech sekundárních zdrojů v prostoru štěrbiny. Kmity těchto dvojic se v bodě P1 zruší, takže v bodě P1 vznikne nulové minimum. Paprsky vycházející ze štěrbiny pod úhlem poněkud větším než 1 se v příslušném bodě Q již neruší, neboť při tomto úhlu paprsky ze štěrbiny uvedeným způsobem do dvojic uspořádat nelze. V bodě Q je tedy intenzita světla nenulová. Avšak tehdy, když úhel má hodnotu 2, pro niž platí a sin 2 = 2, lze štěrbinu rozdělit na čtvrtiny a všechny paprsky jdoucí ze štěrbiny uspořádat do dvojic, které mají rozdíl drah /2 a které se tedy v bodě P2 interferencí zruší. V bodě P2 vznikne tedy opět nulové minimum. Další nulové minimum vznikne při úhlu 3 splňujícím vztah a sin 3 = 3 atd. Mezi sousedními minimy vznikají maxima řádu 0, 1, 2 atd., jejichž přesnou polohu nelze, s výjimkou centrálního maxima, uvedenou jednoduchou úvahou určit. Ohybový obrazec je v řezu souměrný podle optické osy čočky (nikoliv podle osy štěrbiny). Rozložení intenzity v ohybovém obrazci je znázorněno v obr. 8.15b. Ohybový obrazec v ohniskové rovině čočky je tvořen světlými a tmavými proužky kolmými na rovinu nákresny v barvě dané vlnovou délkou užitého světla. Proužek obsahující maximum Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 368 8.1. VLNOVÁ OPTIKA a a 2 1 q s r p F' f r = a sin 1 a) 1 P1 Q P2 d1 2 I P1 P2 P-1 P-2 d1 k b) Obr. 8.15{obr6115} nultého řádu je nejsvětlejší. Jeho úhlová šířka je rovna 21, jeho šířka je rovna d1. Pro tyto veličiny platí a sin 1 = , d1 = 2f tg 1 , (8.13){6112} kde f je ohnisková vzdálenost čočky. Je-li a, je 1 1, takže vztahy (8.13) lze psát v přibližném tvaru 1 . = a , d1 . = 2f d . Fraunhoferův ohyb na kruhovém otvoru Je-li otvor ve stínítku kruhový o průměru d (obr. 8.16), pak Fraunhoferův ohybový obrazec v ohniskové rovině čočky má tvar soustředných kroužků. Rozložení intenzity světla v něm lze vyšetřit s užitím poněkud složitější teorie. Výsledek zní: Rozložení světelné energie v ohybovém obrazci je (v řezu) znázorněno křivkou k na obr. 8.16 velmi podobnou křivce k v obr. 8.15b. Střední část ohybového pole, tzv. ,,centrální ohybový kruh neboli ,,Airyho disk má úhlový rozměr 21 a poloměr r, pro něž platí 1 = 1,22 d , r = f tg 1 . = f1 = f 1,22 d . Druhý ze vztahů jsme upravili s užitím vztahu tg 1 . = 1 platného v případě, že platí d, kdy 1 1. Ohybový obrazec se někdy nazývá ,,Airyho ohybový obrazec . d C oka 1 f k' F' Obr. 8.16{obr6116} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 369 8.1. VLNOVÁ OPTIKA Diskuse: 1. Při ohybu světla platí vždy d, takže platí 1 1. Ohybový obrazec je tedy velmi malý. 2. r , tj. ohybový obrazec se s rostoucí vlnovou délkou zvětšuje -- dlouhovlnné záření vykazuje větší ohyb. Známé jevy: r 1/d, tj. s klesajícím průměrem ohybového otvoru se centrální ohybový kužel rozšiřuje; průchodem světla malým otvorem nelze získat úzký paprsek; r f, tj. s rostoucí ohniskovou dálkou čočky se úhel 1 nemění, ale r se zvětšuje. 3. Do Airyho disku dopadá asi 84% světelné energie prošlé otvorem ve stínítku. a) ´ C P Z ´ C1 P Z b) C2 Obr. 8.17{obr6117} Rozlišovací schopnost optických přístrojů K ohybu na kruhovém otvoru dochází téměř vždy při zobrazování čočkami. Difrakční otvor je realizován obrubou čočky. Na obr. 8.17a je znázorněno zobrazení bodového zdroje Z spojnou čočkou C, při němž dochází k ohybu kulové vlny. Abychom převedli tento ohyb na případ ohybu rovinné vlny, rozdělíme čočku C na čočky dvě, C1, C2 tak, aby mezi nimi vznikla rovinná vlna (obr. 8.17b). Ta se pak ohýbá na obrubě . V ohniskové rovině čočky C2, tj. v obrazové rovině čočky C, vznikne ohybový obrazec, takže bod Z se nikdy nezobrazí jako bod, nýbrž v optimálním případě, kdy čočka nemá optických vad, jako Airyho ohybový obrazec. Zobrazují-li se optickým zařízením (např. čočkou) dva body Z1, Z2, vznikají v obrazové rovině dva ohybové obrazce, které se částečně překrývají (obr. 8.18). Je-li úhel dosti velký, obrazce se prakticky nepřekrývají a z průběhu osvětlení roviny poznáme, že jde o zobrazení dvou bodů. Je-li úhel velmi malý, ohybové obrazce se překrývají natolik, že nepoznáme, zda je zobrazen jeden nebo více bodů. Mezní případ mezi oběma předešlými je ten, při němž centrální maximum jednoho ohybového obrazce padne do prvního ohybového minima obrazce druhého. Příslušný kritický úhel, který označíme c, je dán vztahem c = 1,22 d . Platí-li pro úhel v obr. 8.18, vztah > c, pak body Z1, Z2 přístrojem rozlišíme; platíli < c, pak body Z1, Z2 přístrojem nerozlišíme. Tento výsledek se nazývá Rayleighovo rozlišovací kriterium. Zvýšení rozlišovací schopnosti, tj. zmenšení úhlu c, se dosáhne zmenšením (přechod na ultrafialové záření a na elektronové vlny) a zvětšením průměru čoček a zrcadel. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 370 8.1. VLNOVÁ OPTIKA a) b) Z2 P1 c P2 P1 P2 Z2 Z1 Z1 c Obr. 8.18{obr6118} 8.1.2.3 Ohyb světla na optické mřížce Optická mřížka je zařízení sestávající z velkého počtu stejných a stejně od sebe vzdálených uspořádaných objektů, na nichž dochází k ohybu světla. Např. optická mřížka na průchod je tvořena nejčastěji z velkého počtu stejně širokých a stejně vzdálených štěrbin, realizovaných nejčastěji systémem rovnoběžných vrypů ve skle (vrypy představují neprůchodná místa) ­ viz obr. 8.19. F' f P1 d sin -2(d 10 mm) d F' k2 n = 1 n = 0 n = -1 n = -2 n = 2 k1 Obr. 8.19{obr6119} Vzdálenost sousedních štěrbin d se nazývá mřížková konstanta a její převrácená hodnota udává počet vrypů na jednotku délky. U dobrých mřížek bývá štěrbin několik set, maximálně 2 000 na 1 mm. Celkový počet štěrbin nechť je N. Celková velikost mřížky je obvykle řádu centimetrů. Optická mřížka na odraz sestává nejčastěji z velkého počtu vrypů vyrytých do lesklého povrchu kovu, na němž se světlo odráží. Mřížek se užívá k vytváření a analýze spekter. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 371 8.1. VLNOVÁ OPTIKA Funkci a užití mřížky ukážeme na mřížce na průchod. Osvětlíme-li ji kolmo světlem o vlnové délce , pak: a) na každé štěrbině dojde k ohybu, b) záření ze všech N štěrbin interferuje. Ve Fraunhoferově oblasti, tj. buď ve velké vzdálenosti od mřížky nebo v ohnisková rovině válcové čočky za mřížkou, budou interferovat rovnoběžné paprsky. Obrazec vzniklý v ohnisková rovině čočky ohybem světla na jedné (libovolné) štěrbině má tvar znázorněný na obr. 8.15. Ježto štěrbiny mřížky jsou velmi úzké, je ohybový obrazec (znázorněný křivkou k1 v obr. 8.19) velmi široký. Má střed v ohnisku F . Ohybová pole stejně širokých štěrbin v počtu N v ohniskové rovině čočky jsou shodná, překrývají se a interferují. Fázový rozdíl, který mají v bodě P interferující paprsky, závisí na úhlu . Má-li některou z hodnot k daných vztahem d sin k = k , k = 0, 1, 2, . . . , mřížková rovnice (8.14){6113} jsou kmity všech paprsků v bodě P ve fázi a interferencí v něm vznikne výrazné maximum. Vztah (8.14) se nazývá mřížková rovnice. Nesplňuje-li úhel žádnou z rovnic (8.14), kmity všech N paprsků v bodě P se téměř úplně zruší. Přesnější teorie vede k výsledku, že intenzita světla v ohnisková rovině čočky je rozložena tak, jak je znázorněno křivkou k2 v obr. 8.19. Ve směrech daných úhly k splňujícími rovnici (8.14) vznikají výrazná maxima, jejichž šířka klesá a výška roste s rostoucím počtem štěrbin mřížky. Tato maxima se nazývají hlavní. Mezi hlavními maximy je velký počet maxim vedlejších, jež jsou při velkém počtu štěrbin zanedbatelně nízká. Ohybový obrazec v ohnisková rovině čočky tedy prakticky sestává z ostrých (úzkých) čar -- hlavních maxim -- ve směrech daných úhly k, splňujícími vztahy (8.14). Číslo k udává řád maxima. Skutečnost, že maxima jsou úzká, umožňuje měřit úhly k s velkou přesností. ,1 2 F' 1 1 1 2 n = 2 n = 1 n = -1 n = -2 n = 0 (1) (1) 2 2 2 1 1 1 Obr. 8.20{obr6120} Osvětlí-li se mřížka světlem obsahujícím vlnové délky 1, 2, . . ., vytvoří se ohybový obrazec (tj. systém maxim) pro každou vlnovou délku zvlášť. Maxima řádu k = 0 splývají, maxima ostatních řádů jsou však oddělena (obr. 8.20). Maxima řádu k vytvoří spektrum k­tého řádu. Hlavní užití mřížek je vytváření spekter. Na obr. 8.21 je naznačeno schéma mřížkového spektroskopu. Zdroj světla Z osvětluje lineární štěrbinu S. Spojná čočka C1 vytváří kolimovaný svazek paprsků, který dopadá kolmo na mřížku M. Spektrum -- Fraunhoferův ohybový obrazec, který se vytvoří v ohnisková rovině objektivu C2 dalekohledu otočného kolem osy o, pozorujme okulárem C3 dalekohledu jako lupou. 8.1.2.4 Holografie Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 372 8.1. VLNOVÁ OPTIKA Z S C1 M C2 ' C3 Obr. 8.21{obr6121} Hologram Holografie je moderní optická zobrazovací metoda, při níž je nutno, na rozdíl od ostatních zobrazovacích metod, užít koherentního světla, obvykle světla laseru. Její teoretický základ vypracoval roku 1948 D. Gabor. Rozvinula se až po objevení laserů roku 1958, a to do takové šíře a hloubky, že dnes tvoří relativně samostatné odvětví koherentní optiky, tj. optiky využívající koherenčních vlastností světla. Má široké uplatnění ve vědě i v technice. Ve strojírenství se užívá k měření malých deformací, posuvů, nehomogenit průhledných látek, rychlostí proudění atd. Vyložíme její podstatu. Koherentním monochromatickým světlem laseru osvětlíme zkoumaný předmět P (obr. 8.22a), který má ,,normální , tj. drsný, difúzně odrážející povrch. Světlo, které se odráží od předmětu, se v holografii nazývá buď ,,signální nebo ,,předmětová vlna. V obr. 8.22a je označena PV . Obsahuje totiž (tj. ,,nese ) optickou informaci o předmětu P: Dopadne-li do oka nebo do objektivu fotografického přístroje, transformuje se v obraz předmětu. a) laser difúzn odražené svtlo (pedmtová vlna) P b) laser P Z FD snímání hologramu c) laser Z rekonstrukce rekonstrukní vlna hologram P' rekonstruované pole referenní vlna pedmtová vlna obraz A1 A Obr. 8.22{obr6122} Kdybychom do předmětové vlny vložili fotografickou desku, byl by každý její bod ozářen vlnami vyšlými ze všech viditelných bodů předmětu P, tj. deska by byla osvětlena ve všech místech téměř stejně. Po vyvolání by byla téměř rovnoměrně šedá. Do oblasti předmětové vlny se však zavede ještě světlo, které se oddělí z laserového svazku polopropustným zrcadlem Z (obr. 8.22b). Toto světlo se v holografii nazývá ,,referenční vlna . V obr. 8.22b je označena symbolem RV . Předmětová vlna a referenční vlna interferují, v prostoru Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 373 8.1. VLNOVÁ OPTIKA se vytvářejí trvalá maxima a minima. Vzdálenost sousedních maxim je řádově rovna , tj. je velmi malá. Do tohoto interferenčního pole se vloží jemnozrnná fotografická deska FD, exponuje se a vyvolá. Po vyvolání je pokryta nesmírně jemnou sítí interferenčních proužků tak úzkých, že jsou prostým okem neviditelné. Tato deska, obsahující záznam interferenčního pole, se nazývá hologram. V názvu hologramu je skryto řecké slovo ,,holos -- celý, užité proto, že v interferenčním záznamu je zachycena informace jak o amplitudě, tak o fázi předmětové vlny. Rekonstrukce Hologram má jednu velmi důležitou, zdánlivě sice jednoduchou, ale přímo zázračnou vlastnost, totiž že může rekonstruovat světelné pole předmětu. Vyložíme, oč se jedná. Osvětlíme hologram vlnou shodnou s referenční vlnou, označenou v obr. 8.22b jako RV . Tuto osvětlující vlnu nazveme ,,rekonstrukční vlna (obr. 8.22c). Velmi jemné tmavé (pro světlo málo propustné) a světlé (pro světlo lépe propustné) interferenční proužky hologramu se chovají jako složitá optická mřížka. Světlo se na nich ohýbá, tzn. prochází hologramem a v oblasti A vytvoří ohybové pole. Toto ohybové pole je složité, obsahuje však jednu složku, která je -- a to je právě udivující -- shodná s předmětovou vlnou PV při snímání hologramu (obr. 8.22b). O tomto jevu hovoříme jako o rekonstrukci předmětové vlny. Pozorujeme-li hologram z místa A1 (obr. 8.22c), máme vjem zcela shodný s vjemem, který bychom měli, kdyby v místě P byl předmět P. Tedy P je zdánlivý obraz předmětu P, s předmětem P shodný. Dvěma očima ,,vidíme předmět plasticky, pozorujeme-li z jiného místa ,,vidíme předmět ze strany atd. To je zcela nový jev, z něhož se mohou vyvinout nové formy zobrazovací techniky, filmu atd. Pro strojního inženýra je však zatím nejzajímavější část holografie tzv. holografická interfero- metrie. Holografická interferometrie Holografická interferometrie je optická metoda k interferenčnímu zjišťování velmi malých deformací s užitím hologramu. Popíšeme a vyložíme základní jev. Do místa zdánlivého obrazu P (obr. 8.22c) vložíme i předmět P tak, aby P a P byly v koincidenci a předmět P osvětlíme laserem přesně tak, jak byl osvětlen při snímání hologramu (obr. 8.22b). Do oblasti A (obr. 8.22c) vnikají nyní dvě vlny: a) rekonstruovaná, vzniklá ohybem rekonstrukční vlny na hologramu, b) přímá vlna z osvětleného předmětu P, která prošla hologramem. Tyto dvě vlny v oblasti A jsou shodné a interferují. Výsledné pole je téměř shodné s předmětovou vlnou, změnily se nejvýš všude ve stejném poměru amplitudy. Při pozorování okem z místa A vidíme opět zdánlivý obraz P. Jestliže však předmět P zcela nepatrně posuneme nebo deformujeme, předmětová vlna se změní. Interferencí s rekonstruovanou vlnou vznikne pozměněné pole. Pozorujeme-li nyní v místě A1, vidíme obraz tvarově shodný s předešlým, avšak pokrytý světlými a tmavými interferenčními pruhy. Proměřením jejich tvaru a polohy lze zjistit posunutí nebo deformaci předmětu P. Jiný způsob získání holografického interferogramu je: Exponujeme fotografickou desku v uspořádání na obr. 8.22b, nevyvoláme ji však. Poté předmět nepatrně deformujeme a desku exponujeme na stejném místě znovu. Teprve potom ji vyvoláme. Osvětlíme-li tento hologram tak, jak je naznačeno na obr. 8.22c, objeví se obraz P pokrytý interferenčními pruhy, z nichž lze opět zjistit deformaci předmětu. Teorie základních holografických jevů není příliš složitá. Jejich realizace je mnohem obtížnější, neboť klade vysoké nároky na přesnost a stabilitu. Proto se holografických metod zatím užívá většinou jen v laboratorních podmínkách. Příklady -- OPTIKA ((8.1) až (8.14)) Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 374 8.1. VLNOVÁ OPTIKA KP 8-1{pr8.P-1} Na tenkou antireflexní vrstvu z MgF2 (n1 = 1,38) tloušťky d = 300 nm, napařenou na povrchu čočky (n2 = 1,60) dopadá ze vzduchu kolmo světlo vlnové délky = 600 nm. Určete: 1. Vlnovou délku světla ve vrstvě; 2. Vlnovou délku světla ve skle; 3. Dobu, za kterou světlo projde ve směru kolmém na vrstvu z bodu P1 vzdáleného o d1 = 5 mm od vrstvy do bodu P2 ve skle, vzdáleného o d2 = 3 mm od jeho povrchu; 4. Vlnové délky světla, pro něž má vrstva minimální odrazivost a) při kolmém dopadu, b) při dopadu pod úhlem = 60. KP 8-2{pr8.P-2} Objektiv čočky (n = 1,52) je opatřen antireflexní vrstvou z MgF2 (n = 1,38), která má při kolmém dopadu maximální odrazivost pro světlo žlutozelené barvy. Určete tloušťku vrstvy ( = 555 nm). KP 8-3{pr8.P-3} Na planparalelní mýdlovou blánu (n = 1,33) tloušťky d = 320 nm dopadá kolmo elektromagnetické záření. Určete: 1. Několik vlnových délek splňujících podmínku minima pro odraz; 2. Několik vlnových délek splňujících podmínku maxima pro odraz; 3. Které z uvedených vlnových délek leží v oboru viditelného záření; 4. Jaké bude zbarvení odraženého světla při osvětlení vrstvy bílým světlem; 5. Fázový rozdíl kmitů dvou interferujících paprsků v odraženém světle, z nichž první se odrazil na bližším a druhý na vzdálenějším povrchu vrstvy. KP 8-4{pr8.P-4} Řešte úkoly 1, 2, 3 příkladu KP 8-3 za předpokladu, že světlo dopadá na vrstvu pod úhlem = 30. KP 8-5{pr8.P-5} Klínová vzduchová vrstva vytvořená mezi skleněnými destičkami délky l = 60 mm vložením tenkého papírku na okraji je osvětlena kolmo světlem laseru vlnové délky = 632,8 nm. Vytvoří se na ní 20 interferenčních proužků. Úkoly: 1. Dokažte, že pro šířku d interferenčních proužků platí vztah 2dn tg = , kde n je index lomu vzduchu a úhel sevřený destičkami. Určete: 2. Úhel sevřený destičkami; 3. Tloušťku papírku; 4. Počet interferenčních proužků, který se vytvoří, vyplní-li se klínová vrstva vodou (n = 1,33). KP 8-6{pr8.P-6} Žlutozelené světlo vlnové délky = 555 nm dopadá kolmo na stínítko se štěrbinou šířky a = 0,4 mm. Vypočtěte: 1. Úhlovou šířku centrální ohybové oblasti; 2. Úhel odpovídající ohybovému minimu řádu k = 5. KP 8-7{pr8.P-7} Na štěrbinu šířky 3 cm dopadá ultrazvuková vlna vlnové délky 2 cm. Zjistěte polohu prvních dvou ohybových minim. Proveďte diskusi. KP 8-8{pr8.P-8} Vyšetřete, za jakých podmínek vznikne při ohybu na štěrbině jen centrální ohybové maximum a část centrální ohybové oblasti a nevznikne ohybové minimum. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 375 8.2. ZOBRAZENÍ ČOČKOU KP 8-9{pr8.P-9} Spojnou čočkou o ohniskové vzdálenosti f = 1500 mm a o průměru 40 mm se zobrazuje světlem vlnové délky = 500nm bod ležící na optické ose ve vzdálenosti 2 500 mm od čočky. Vypočtěte úhlové rozměry a průměr Airyho disku. KP 8-10{pr8.P-10} V trubici plynového He­Ne laseru vzniká koherentní rovinná monochromatická vlna o vlnové délce = 632, 8 nm a vystupuje kolmo čelním okénkem, jež má tvar kruhu o průměru 8 mm. Vypočtěte: 1. Úhel kužele vymezujícího centrální ohybovou oblast ve vystupujícím světelném svazku; 2. Průměr stopy tohoto kužele a) ve vzdálenosti 10 km, b) na Měsíci. KP 8-11{pr8.P-11} Největší zrcadlový dalekohled má kruhové zrcadlo o průměru 6 m, největší refrakční dalekohled má čočku o průměru 1 m. Vyšetřete, jak velké předměty jimi lze rozlišit na Měsíci. KP 8-12{pr8.P-12} Při osvětlení mřížky zelenou složkou rtuťového světla ( = 546,07 nm) vzniklo maximum 2. řádu ve směru daném úhlem 2 = 2034 . Určete: 1. Mřížkovou konstantu; 2. Směr maxima 1. řádu; 3. Směr maxima 1. řádu pro sodíkové světlo vlnové délky = 588,99 nm. KP 8-13{pr8.P-13} Mřížka o mřížkové konstantě d = 0, 005 mm je osvětlena kolmo bílým svělem [ (400; 760)nm]. Úkoly 1. Určete úhlový rozsah spektra 1. řádu; 2. Zjistěte, zda se budou překrývat spektra a) 1. a 2. řádu, b) 2. a 3. řádu. KP 8-14{pr8.P-14} Vyšetřete, jakou hodnotu musí mít mřížková konstanta mřížky, mají-li se při osvětlení světlem vlnové délky = 555 nm (žlutozelené světlo) vytvořit pouze maxima řádu k = 0, 1, 2. 8.2 Zobrazení čočkou 8.2.1 Zobrazovací rovnice Zobrazení čočkou se řídí zobrazovací rovnicí 1 f = 1 p + 1 i , (8.15){zobrrov} kde f je ohnisková vzdálenost, p předmětová vzdálenost a i obrazová vzdálenost. Pohlédněme na obrázek 8.23, na kterém jsou znázorněny předmětové a obrazové vzdálenosti spolu se znaménkovou konvencí. 8.2.2 Zvětšení Obraz vytvořený čočkou nemá vždy stejnou velikost jako předmět, je zvětšený nebo zmenšený. Zavádíme pojem zvětšení m jako poměr velikosti obrazu iy a předmětu py m = iy py . (8.16){zvetseni} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 376 ? 8.2. ZOBRAZENÍ ČOČKOU F F předmět py obraziy p > 0 p < 0 i < 0 i > 0 p i Obr. 8.23: Zobrazení čočkou.{zobrobr} Z obrázku 8.23 můžeme z podobnosti trojúhelníků odvodit py p = -iy i , (8.17) kde je použito -iy, protože výška obrazu je záporná. Z této rovnice již odvodíme vztah pro zvětšení (8.16) m = iy py = - i p . (8.18){zvetseni2} 8.2.3 Chod paprsků čočkou -- paprskový obrazec Určit polohu a velikost obrazu můžeme u tenké čočky pomocí paprskového obrazce 8.24, jako průsečík ,,speciálních paprsků vyslaných z předmětového bodu (konec červené šipky). Speciální paprsky jsou: 1. paprsek jdoucí z předmětu rovnoběžně s optickou osou se po průchodu čočkou láme tak, že prochází obrazovým ohniskem F , 2. paprsek jdoucí z předmětu do předmětového ohniska F se po průchodu čočkou láme tak, že jde rovnoběžně s optickou osou, 3. paprsek mířící z předmětu do středu čočky se neláme. . Připoměňme ještě speciální případy zobrazení, kdy předmět leží v nekonečnu. Obraz se potom nachází v rovině obrazového ohniska F . V opačném případě, kdy předmět leží v předmětovém ohnisku, se obraz nachází v neko- nečnu. 8.2.3.1 Zobrazení spojnou čočkou Konstrukce paprskového obrazce ­ skutečný obraz Ukažme si konstrukci paprskového obrazce. Nejprve vytvoříme první paprsek jdoucí z rovnoběžně s osou (obr. 1). Najdeme průsečík s čočkou (bod 1) a z něj vedeme paprsek do obrazového ohniska F (obr. 2). Zatím ještě o poloze a velikosti obrazu nemůžeme nic říci, musíme sestrojit ještě jeden paprsek. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 377 8.2. ZOBRAZENÍ ČOČKOU F F 1 2 3 Obr. 8.24: Paprskový obrazec.skovyobrazec} F F 1 F F 1 Obr. 8.25{obr1} Sestrojíme paprsek číslo 2, jdoucí z předmětu do předmětového ohniska F (obr. 8.26 vlevo). Z průsečíku s čočkou (bod 2) pokračuje paprsek vodorovně s optickou osou (obr. 8.26 vpravo). V průsečíku prvního a druhého paprsku I je obraz předmětového bodu. F F 1 2 F F I 1 2 Obr. 8.26{obr2} Sestrojíme ještě třetí paprsek, jdoucí středem čočky, který se neláme (obr. 8.27 vlevo). Na závěr ještě vyznačíme chod paprsků (obr. 8.27 vpravo). Paprsky světla vycházející z předmětu (plné čáry) se po průchodu čočky lámou, takže našemu oku se jeví tak, jako by vycházely z obrazu I. F F I 1 2 3 F F I 1 2 3 Obr. 8.27{obr3} Pro úplnost vyřešme ještě zobrazení pomocí zobrazovací rovnice. Předvedené zobrazení bylo pro hodnoty f = 3 cm, p = 6 cm a py = 1 cm. Úpravou rovnice získáme vztah pro obrazovou vzdálenost i i = fp p - f = 3 6 6 - 3 = 6 cm . Hodnoty i mají kladné znaménko za čočkou, obraz se tedy musí nacházet za čočkou. Pohlédněme ještě na zvětšení m (viz rovnice (8.18)) m = - i p = - 6 6 = -1 . Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 378 8.2. ZOBRAZENÍ ČOČKOU Velikost obrazu iy potom bude iy = mpy = -1 1 = -1 cm . Obraz tedy bude stejně velký jako předmět, ale převrácený. Tomu odpovídá i paprskový obrazec. Na závěr ještě připomeňme, že obraz je skutečný, protože leží na opačné straně čočky než předmět. Kdybychom do místa obrazu vložili například papír, uvidíme obraz promítnutý na tento papír. Konstrukce paprskového obrazce ­ virtuální obraz Někdy není situace s konstrukcí obrazu tak jednoduchá, jako v předchozí části. Podívejme se na případ, kdy předmětová vzdálenost p je menší než ohnisková vzdálenost f. Tato situace nastává například při použití spojné čočky jako lupy. Vycházíme ze situace naznačené na obrázku. Předmět je tentokrát uméstěn mezi předmětovým ohniskem F a čočkou. F F Nejprve vytvoříme první paprsek jdoucí z rovnoběžně s osou (obr. 8.28 vlevo). Najdeme průsečík s čočkou (bod 1), a z něj vedeme paprsek do obrazového ohniska F (obr. 8.28 vpravo). Protože nevíme, jestli obraz bude skutečný (na opačné straně čočky než předmět) nebo virtuální (na stejné straně jako předmět), vedeme paprsek jak do předmětového tak do obrazového prostoru. Zatím ještě o poloze a velikosti obrazu nemůžeme nic říci, musíme sestrojit ještě jeden paprsek. F F 1 F F 1 Obr. 8.28{obr4} Sestrojíme paprsek číslo 2, jdoucí z předmětu do předmětového ohniska F (obr. 8.29 vlevo). Z průsečíku s čočkou (bod 2) pokračuje paprsek vodorovně s optickou osou (obr. 8.29 vpravo). V průsečíku prvního a druhého paprsku I je obraz předmětového bodu. F F 1 2 F F I 1 2 Obr. 8.29{obr5} Sestrojíme ještě třetí paprsek, jdoucí středem čočky, který se neláme (obr. 8.30 vlevo). Na závěr ještě vyznačíme chod paprsků (obr. 8.30 vpravo). Paprsky světla vycházející z předmětu Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 379 8.2. ZOBRAZENÍ ČOČKOU (plné čáry) se po průchodu čočky lámou, takže našemu oku se jeví tak, jako by vycházely z obrazu I. F F I 1 2 3 F F I 1 2 3 Obr. 8.30{obr6} Pro úplnost vyřešme ještě zobrazení pomocí zobrazovací rovnice. Předvedené zobrazení bylo pro hodnoty f = 4 cm, p = 2,2 cm a py = 1 cm. Úpravou rovnice získáme vztah pro obrazovou vzdálenost i i = fp p - f = 4 2,2 2,2 - 4 = -4,9 cm . Hodnoty i mají kladné znaménko za čočkou, obraz se tedy musí nacházet před čočkou. Pohlédněme ještě na zvětšení m (viz rovnice (8.18)) m = - i p = - -4,9 2,2 = 2,22 . Velikost obrazu iy potom bude iy = mpy = 2,22 1 = 2,22 cm . Obraz tedy bude přibližně dvakrát tak velký jako předmět a nepřevrácený. Tomu odpovídá i paprskový obrazec. Na závěr ještě připomeňme, že obraz je virtuální, protože leží na stejné straně čočky jako předmět. Kdybychom do místa obrazu vložili papír, obraz na tomto papíru neuvidíme, protože ve skutečnosti neexistuje. 8.2.3.2 Zobrazení rozptylnou čočkou Rozptylná čočka má zápornou ohniskovou vzdálenost, znamená to, že předmětové ohnisko F leží za čočkou a obrazoé ohnisko F leží před čočkou. Ohniska si vyměnila místa. Konstrukce paprskového obrazce -- předmět před ohniskem Vycházíme ze situace naznačené na obrázku. Předmět je tentokrát uméstěn mezi předmětovým ohniskem F a čočkou. FF Nejprve vytvoříme první paprsek jdoucí z rovnoběžně s osou (obr. 8.31 vlevo). Najdeme průsečík s čočkou (bod 1), a z něj vedeme paprsek do obrazového ohniska F (obr. 8.31 vpravo). Protože nevíme, jestli obraz bude skutečný (na opačné straně čočky než předmět) nebo virtuální (na stejné straně jako předmět), vedeme paprsek jak do předmětového tak do obrazového Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 380 8.2. ZOBRAZENÍ ČOČKOU FF 1 FF 1 Obr. 8.31{obrr1} prostoru. Zatím ještě o poloze a velikosti obrazu nemůžeme nic říci, musíme sestrojit ještě jeden paprsek. Sestrojíme paprsek číslo 2, jdoucí z předmětu do předmětového ohniska F (obr. 8.32 vlevo). Z průsečíku s čočkou (bod 2) pokračuje paprsek vodorovně s optickou osou (obr. 8.31 vpravo). V průsečíku prvního a druhého paprsku I je obraz předmětového bodu. FF 1 2 FF I 1 2 Obr. 8.32{obrr2} Sestrojíme ještě třetí paprsek, jdoucí středem čočky, který se neláme (obr. 8.33 vlevo). Na závěr ještě vyznačíme chod paprsků (obr. 8.33 vpravo). Paprsky světla vycházející z předmětu (plné čáry) se po průchodu čočky lámou, takže našemu oku se jeví tak, jako by vycházely z obrazu I. FF I 1 2 FF I 1 2 3 Obr. 8.33{obrr3} Pro úplnost vyřešme ještě zobrazení pomocí zobrazovací rovnice. Předvedené zobrazení bylo pro hodnoty f = -4 cm, p = 4,5 cm a py = 2 cm. Úpravou rovnice získáme vztah pro obrazovou vzdálenost i i = fp p - f = -4 4,5 4,5 - (-4) = -2,11 cm . Hodnoty i mají kladné znaménko za čočkou, obraz se tedy musí nacházet před čočkou. Pohlédněme ještě na zvětšení m (viz rovnice (8.18)) m = - i p = - -2,11 4,5 = 0,47 . Velikost obrazu iy potom bude iy = mpy = 0,47 2 = 0,94 cm . Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 381 8.2. ZOBRAZENÍ ČOČKOU Obraz tedy bude přibližně poloviční než předmět a nepřevrácený. Tomu odpovídá i paprskový obrazec. Na závěr ještě připomeňme, že obraz je virtuální, protože leží na opačné straně čočky než předmět. Kdybychom do místa obrazu vložili papír, obraz na tomto papíru neuvidíme, protože ve skutečnosti neexistuje. Konstrukce paprskového obrazce -- předmět mezi ohniskem a čočkou Vycházíme ze situace naznačené na obrázku. Předmět je tentokrát uméstěn mezi předmětovým ohniskem F a čočkou. FF Nejprve vytvoříme první paprsek jdoucí z rovnoběžně s osou (obr. 8.34 vlevo). Najdeme průsečík s čočkou (bod 1), a z něj vedeme paprsek do obrazového ohniska F (obr. 8.34 vpravo). Protože nevíme, jestli obraz bude skutečný (na opačné straně čočky než předmět) nebo virtuální (na stejné straně jako předmět), vedeme paprsek jak do předmětového tak do obrazového prostoru. Zatím ještě o poloze a velikosti obrazu nemůžeme nic říci, musíme sestrojit ještě jeden paprsek. FF 1 FF 1 Obr. 8.34{obrr4} Sestrojíme paprsek číslo 2, jdoucí z předmětu do předmětového ohniska F (obr. 8.35 vlevo). Z průsečíku s čočkou (bod 2) pokračuje paprsek vodorovně s optickou osou (obr. 8.35 vpravo). V průsečíku prvního a druhého paprsku I je obraz předmětového bodu. FF 1 2 FF I 1 2 Obr. 8.35{obrr5} Sestrojíme ještě třetí paprsek, jdoucí středem čočky, který se neláme (obr. 8.36 vlevo). Na závěr ještě vyznačíme chod paprsků (obr. 8.36 vpravo). Paprsky světla vycházející z předmětu (plné čáry) se po průchodu čočky lámou, takže našemu oku se jeví tak, jako by vycházely z obrazu I. Pro úplnost vyřešme ještě zobrazení pomocí zobrazovací rovnice. Předvedené zobrazení bylo pro hodnoty f = -4 cm, p = 3,5 cm a py = 2 cm. Úpravou rovnice získáme vztah pro obrazovou Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 382 8.2. ZOBRAZENÍ ČOČKOU FF I 1 2 FF I 1 2 3 Obr. 8.36{obrr6} vzdálenost i i = fp p - f = -4 3,5 3,5 - (-4) = -1,86 cm . Hodnoty i mají kladné znaménko za čočkou, obraz se tedy musí nacházet před čočkou. Pohlédněme ještě na zvětšení m (viz rovnice (8.18)) m = - i p = - -1,86 3,5 = 0,53 . Velikost obrazu iy potom bude iy = mpy = 0,53 2 = 1,06 cm . Obraz tedy bude přibližně poloviční než předmět a nepřevrácený. Tomu odpovídá i paprskový obrazec. Na závěr ještě připomeňme, že obraz je virtuální, protože leží na opačné straně čočky než předmět. Kdybychom do místa obrazu vložili papír, obraz na tomto papíru neuvidíme, protože ve skutečnosti neexistuje. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 383 9. Výsledky Vysl-pr1.1-7} KP 1.3-5 sin 30 = 1/2, cos 30 = 3/2, sin 60 = 3/2; a = (5 cos 30; 0; 0) = (5 3/2; 0; 0) a = 5 3/2; b = (0; 5 sin 30; 0; 0) = (2, 5; 0; 0) b = 2, 5; c = (-5 cos 30; -5 sin 30; 0; 0) = (-5 3/2; -2, 5; 0) c = 5; 1. a) a+b = -c = 5(cos 30; sin 30; 0) = 5( 3/2; 1/2; 0); b) a-b = -5(cos 30; - sin 30; 0) = -5( 3/2; -1/2; 0); c) a + c = (0; -5 sin 30; 0) = (0; -2, 5; 0); d) a - c = (10 cos 30; 5 sin 30; 0) 2. a) a b = 0; b) a c = -75/4; c) b c = -25/4; d) 0 3. a) a × b = (0; 0; 25 cos 30 sin 30) = (0; 0; 25 3/4); b) b × a = -a × b = -(0; 0; 25 3/4); c) b × 3 = (0; 0; 25 sin 30 sin(90 + 30)) = (0; 0; 25 3/4); d) a × c = (0; 0; -25 cos 30 sin(90 + 60)) = (0; 0; -25 3/4); 4. a) 0; b) 0; c) (b × c) × a = (0; 25 sin 30 sin 605 cos 30; 0) = (0; 375/2; 0); 5. a) a cos = 5 3/2 3/2 = 15/4; b) a cos = cos 30(5 cos 30; 0; 0); c) bc = 2, 55 = 12, 5; d) bc = 5(0; 5 sin 30; d) b + c = 7, 5. Kinematikaysl-pr1.2-40} KP 2.2-4 1. -1 0 1 2 -1 0 1 2 3 x(t) y(t) z(t) t (s) x(t), y(t), z(t) (m) Obr. 9.1: K výsledku KP 2.2-4.{obr1.1-24V} 2. r(0) = 2i - k; 3. a) vx = 0,5 m/s, vy = 2 cos 2t m/s, vz = 2t m/s, b) vx = vxi atd., c) v = (0,5i+2 cos 2t+ 2tk) m/s, v = 0,52 + (2 cos 2t)2 + (2t)2 m/s, = arccos(vx/v) =...; 4. vx(0) = 0,5 m/s, vy = 2 m/s, vz = 0 m/s.ysl-pr1.2-41} KP 2.2-5 1. a) ax = 0; m/s2 , ay = -4 sin 2t m/s2 , az = 2 m/s2 , b) ax = axi, atd., c) a = (-4 sin 2t + 2k) m/s2 , a = (-4 sin 2t)2 + 4 1/2 m/s2 , = arccos(ax/a) =...; 2. ax(0) = 0 m/s2 , ay(0) = 0 m/s2 , atd.ysl-pr1.2-42} KP 2.2-6 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 384 1. a) at = R = 0,3 m/s2 , b) an = (t)2 /R = 0,42t2 m/s2 , c) a = 0,3 + 0,42t2n m/s2 , d) a = 0,09 + (0,42t2)2 1/2 m/s2 ; 2. a) 2 = 1 rad, b) v2 = 1 m/s, c) a2 = (0,3 + 1,67n) m/s2 .ysl-pr1.2-43} KP 2.2-7 1. = /4 s-2; 2. = ( - t/4) s-1; 3. = (t - t2/8) rad; 4. v = (0,5 - t/8) m/s; 5. a = /8 + 0,5( - t/4)2n m/s2 ; 6. N = 1 otočka.ysl-pr1.2-44} KP 2.2-8 aA svisle dolů, aA = g = 10 m/s2 ; aB svisle vzhůru, aB = 20 m/s2 ; aC = aA. Pohybové zákony ysl-pr1.2-45} KP 2.4-4 1. at = -at, at = 5 m/s2 ; 2. an = ann, an = (T - G cos /m) = 3 m/s2 ; 3. a = 5,83 m/s2 , = 59, (a, n); 4. v = (lan)1/2 = 1,55 m/s.ysl-pr1.2-46} KP 2.4-5 V soustavě S: 1. G, F1- síla, která působí na vlákno; 2. aS = a; 3. G = mg, G = 0,2 N; F1 = G2 + (ma)2 1/2 = 0,204 N, = 11,3. V soustavě S : 1. G, F1, F a; 2. a = 0; 3. G, F1 = F1, F = -ma, F = 0,04 N.ysl-pr1.2-47} KP 2.4-6 I. a) 1) Fs - svisle dolů, Fs = 400 N; 2) F1 = Fs = 40 N; b) 1) Fs - svisle dolů, Fs = 400 N; 2) F1 = Fs = 40 N; II. a) 1) Fs - svisle dolů, Fs = 400 N; 2) F1 = Fs = 40 N; b) 1) Fs - svisle dolů, Fs = 400 N; 2) F1 = Fs = 40 N; III. a) 1) Fs = 320 N, 2) F1 = 32 N; 3. b) 1) Fs = 480 N, 2) F1 = 48 N.ysl-pr1.2-48} KP 2.4-7 Při urychlování láhve směrem doprava se míček pohybuje vzhledem k láhvi doprava, tj. směrem k zátce. Při zastavování láhve se vzhledem k ní pohybuje doleva.ysl-pr1.2-49} KP 2.4-8 1. G, F1 - síla od vlákna ve směru vlákna; 2. Fvt = 0; 3. Je, neboť Fvt = 0; 4. FV míří do C, Fv = G tg = 0,46 N; 5. a = Fv/m, a = 5,8 m/s2 ; 6. v = 1,32 m/s. Časový a dráhový účinek síly ysl-pr1.2-50} KP 2.4-9 1. p1 = mv1, p1 v1, p1 = 2,5 104 kg m s-1; Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 385 2. I F, I = 2 104 kg m s-1; 3. p2 p1, p2 = 4,5 104 kg m s-1; 4. v2 p2, v2 = 90 m/s.ysl-pr1.2-51} KP 2.4-10 1. p1 v1, p1 = v1tS v1 = 0,025 kg m s-1; 2. p2 p1, p2 = p1; 3. p = p2 - p1, |p| = 0,035 4 kg m s-1, (p, p2) = 45; 4. I = p; 5. F I, F = I/t = 35,4 N.ysl-pr1.2-52} KP 2.4-11 1. I F, I = t2 t1 F(t) dt, I = 6 250 kg m s-1 2. p1 v1, p1 = 5000 kg m s-1; 3. p2 p1, p2 = p1 + I = 11250 kg m s-1; 4. v2 p1, v2 = 22,5 m/s.ysl-pr1.2-53} KP 2.4-12 1. W12 = (P1 + P2 - P3) = 10500 J, kde Pi jsou plošné obsahy pod úseky lomené křivky; 2. Ek,2 = Ek,1 + W12 = 265000 J; 3. v2 = 25,7 m/s.ysl-pr1.2-54} KP 2.4-13 1. Ek = 12,5 J; 2. a) Wv = 12,5 J; b) WG = 30 J; c) Wo = -17,5 J; 3. v2 = 20 m/s.ysl-pr1.2-55} KP 2.4-14 1. F1 F1n = 173 N; F1t v, F1t = 17,3 N; 2. a) EG = 500 J; b) Etř = -86,5 J ; c) Ev = 413,5 J; 3. Ek,2 = 413,5 J.ysl-pr1.2-56} KP 2.4-15 a) P1 = 18 kW; b) P2 = 36 kW. Gravitační pole ysl-pr1.2-57} KP 2.6-4ysl-pr1.2-58} KP 2.6-5 1. Fg míří do středu Země, Fg = 1,62 104 N; 2. ag Fg, ag = 4,1 m/s2 ; 3. Fg = -Fg; 4. ag = 2,2 10-19 m/s2 ; 5. a) Wg = Eg,1 = -1,62 1011 J; b) Wg = Eg,1 - Eg,2 = 9,23 1010 J.ysl-pr1.2-59} KP 2.6-6 1. Fg = 1,98 1020 N; 2. aM = 0,002 7 m/s2 ; 3. v = 1 020 m/s; 4. Kg = aM ; 5. KgA = 0,010 7 m/s2 ; 6. g = -1,04.106 J/kg; 7. gA = -2,1 106 J/kg; 8. Eg = -4,2 108 J.ysl-pr1.2-60} KP 2.6-7 1. Fg = 132,8 N (ag = 1,66 m/s2 ); Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 386 2. h = 12 m.ysl-pr1.2-61} KP 2.6-8 1. Fg = 2,043 10-8 N; 2. ar = 5,84 10-10 m/s2 ; 3. |r| > 0,5art2 = 2,18 m.ysl-pr1.2-62} KP 2.6-9 Eg = 5,36 1010 J. Mechanická energie, pohyb v gravitačním poli ysl-pr1.2-63} KP 2.6-10 1. E1 = -6,07 107 J; 2. Emot = E2 - E1 = 1,01 1010 J; 3. Eg = -7,66 109 J.ysl-pr1.2-64} KP 2.6-11 1. E1 = -2,12 1011 J; 2. (Ek,2 = 1,126 1011 J ) v2 = 5,3 km/s.ysl-pr1.2-65} KP 2.6-12 1. a) Em = -1,10 109 J; b) Ek,2 = 1,73 108 J; c) v = 4,16 km/s. 2. a) Em = 0 J; b) Ek,2 = 1,27 109 J; c) v = 11,2 km/s.ysl-pr1.2-66} KP 2.6-13 1. v2 = 2,59 km/s; 2. hmax = 915 km.ysl-pr1.2-67} KP 2.6-14 1. Rychlost v1 družice, pohybující se po kruhové trajektorii o poloměru r1 = RZ, lze určit ze vztahu Fv = ma mMZ R2 Z = m v2 1 RZ (= mg) MZ R2 Z = g. Tedy gR2 Z = MZ. Pro velikost rychlosti družice, pohybující se po kruhové dráze ve větších výškách nad povrchem Země (tj. pro r > RZ) pak platí m v2 r = mMZ r2 = mgR2 Z r2 v2 = gR2 Z r . Tedy pro rychlost dostáváme po umocnění výraz v = C1 r , kde C1 = RZ g, což je hledaný vztah; 2. Oběžnou dobu T družice, pohybující se po kruhové dráze lze určit ze vztahu an = v2 r = 2r, kde = 2 T . Dosazením do rovnice 1 obdržíme m2 r = mMZ r2 42 T2 = MZ r3 = gR2 Z r3 . Po úravě dostáváme T = C2 r3, kde C2 = 2/(RZ g), což je hledaný vztah. ysl-pr1.2-68} KP 2.6-15 1. a) v1 = 7,98 km/s; b) T = 83,6 min; Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 387 2. a) 42 400 km (H = 36 000 km); b) v = 3,06 km/s.ysl-pr1.2-69} KP 2.6-16 1. h = 1 740 km; 2. v = 7,07 km/s; 3. ag = 6,06 m/s2 ; 4. E = -5,0 109 J.ysl-pr1.2-70} KP 2.6-17 E < 0, pohyb je finitníysl-pr1.2-71} KP 2.6-18 a) Emin = 6,25 109 J; b) Emin = 4,71 108 J.ysl-pr1.2-72} KP 2.6-19 1. v1 = 1,68 km/s; 2. v2 = 2v1 = 2,38 km/s.ysl-pr1.2-73} KP 2.6-20 1. Elipsa, poloosy a = 1,72 108 km, b = 1,70 108 km; 2. T = 448,5 dní. Energie hmotných soustav ysl-pr1.2-74} KP 2.6-21 a) C je na spojnici C1C2, xC = C1C2/3; b) C je nad S, xC = r/6; c) C je pod S, xC = r/6; d) C je na spojnici ZM; xC = 4,67 103 km (tj. uvnitř Země)ysl-pr1.2-75} KP 2.6-22 1. x1 = 5 cm; 2. v1 = 0,707 m/s; 3. E = -0,125 J.ysl-pr1.2-76} KP 2.6-23 1. a) Et = 1,5 J; b) Ek = 2,4 J; c) Eelast = 0 J; d) Ec = 3,9 J; 2. a) Et = 1,26 J; b) Ek = 1,04 J; c) Eelast = 1,6 J; d) Ec = 3,9 J.ysl-pr1.2-77} KP 2.6-24 1. Eelast = 0,384 J; 2. a směr doprava, a = 3,84 m/s2 ; 3. F1 směr doleva, F1 = 3,84 N; 4. v = 0,554 m/s; 5. A = 0,062 m.ysl-pr1.2-78} KP 2.6-25 1. b) I = 13 mr2/24 = 0,086 7 kg m2; c) I = 0,028 kg m2; 2. b) Ek = 0,39 J; c) Ek = 0,126 J.ysl-pr1.2-79} KP 2.6-26 1. Iq = 1,44 kg m2; 2. Et1 - Et2 = -Et = 24 J; 3. a) Ek,2 = 24 J; b) = 5,77 s-1.ysl-pr1.2-80} KP 2.6-27 Ek = (0,25m1 + 0,5m2)v2 1.2.8 Pohybové rovnice soustavy částicysl-pr1.2-81} KP 2.6-28 aC = konst., aC = 2 m/s2 .ysl-pr1.2-82} KP 2.6-29 p = konst. = 0, těžiště C je trvale v klidu; 1. xC = 1,6 m od zádi; Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 388 2. Soustava je v klidu; 3. Posune se doleva o 1,6 m; 4. Výslednice vnějších sil (síla odporu vody) míří doprava, tedy soustava se bude pohybovat doprava.ysl-pr1.2-83} KP 2.6-30 1. p v, p = 5 kg m s-1, p = p; 2. Ek = 625 J; Ek = 3,11 J; 3. h = 0,077 4 m; 4. = 16.ysl-pr1.2-84} KP 2.6-31 1. I = 1,25 kg m2; 2. M = 10 N m; 3. = 8 s-2; 4. 2 = 85 s-1.ysl-pr1.2-85} KP 2.6-32 1. b1 = 6,25 kg m2 s-1; 2. L = M, L = 100 kg m2 s-1; 3. b2 = 106 kg m2 s-1; 4. 2 = 85 s-1.ysl-pr1.2-86} KP 2.6-33 1. M = 24 N m; 2. = 16,7 s-2; 3. b = 8,31 kg m2 s-1.ysl-pr1.2-87} KP 2.6-34 1. 2 = 6,56 s-1; 2. Ek,1 = 5,9 J, Ek,2 = 1,76 J.ysl-pr1.2-88} KP 2.6-35 1. I2 = 5 kg m2; 2. a) Ek,1 = 197 J; b) Ek,2 = 394 J; 3. W = 197 J.ysl-pr1.2-89} KP 2.6-36 1. C je v tyči ve vzdálenosti xC = 30 cm od K2; 2. I = 0,216 kg m2; 3. Ek = 17,1 J; 4. p = 0; 5. F = 0; 6. F = 0; 7. b , b = 2,71 kg m2 s-1.ysl-pr1.2-90} KP 2.6-37 1. I = 0,125 kg m2; 2. C je v tyči ve vzdálenosti d = 10 cm od o směrem k m2; 3. a) 1 = 4 s-2, b) 2 = 3,46 s-2; 4. a) Ek = 0,5 J, b) = 2,83 s-1.ysl-pr1.2-91} KP 2.6-38 a) 1. Ekpost/Ekrot = 1; 2. Wt = 30 J; 3. v = 3,16 m s-1; b) . . . Speciální teorie relativity Vysl-pr2.1-1} KP 3.1.4-2 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 389 1. = 11 h 2,18 min; 2. = 1 h 33,4 min.Vysl-pr2.1-2} KP 3.1.4-3 v = 0,866c.Vysl-pr2.1-3} KP 3.1.4-4 1. m = 1,061me = 9,661 6 10-31 kg; 2. p = 9,661 6 10-23 kg m s-1; 3. a) E = 8,695 4 10-14 J, b) E0 = 8,198 2 10-14 J, c) Ek = 4,972 10-15 J; 4. U = 31 kV; 5. l = 28,29 cm.Vysl-pr2.1-4} KP 3.1.4-5 1. E0 = 931 MeV; 2. Eel = 0,51 MeV.Vysl-pr2.1-5} KP 3.1.4-6 1. E = 8,427 1 10-14 J; 2. m = 9,376 4 10-31 kg; 3. v = 0,237 1c = 7,107 2 107 m/s; 4. v = 7,264 107 m/s.Vysl-pr2.1-6} KP 3.1.4-7 U = 2 570 V.Vysl-pr2.1-7} KP 3.1.4-8 1. E = E0 + Ek = 9,468 5 10-14 J; 2. m = 1,053 5 10-30 kg; 3. v = 0,502 4c = 1,507 108 m/s; 4. l/l0 = 0,865.Vysl-pr2.1-8} KP 3.1.4-9 1. P = 3,85 1026 W; 2. m/t = 4,28 109 kg/s; 3. m = 3,697 1014 kg, V = 3,697 105 km3 Vysl-pr2.1-9} KP 3.1.4-10 1. a) mD = 3,085 10-30 kg, b) WvazD = 2,772 6 10-13 J = 1,730 5 106 eV 2. a) m = 4,867 7 10-29 kg, b) Wvaz = 27,3 MeV.ysl-pr2.1-10} KP 3.1.4-11 Užijte vztah c2 - v2 = (c + v)(c - v).ysl-pr2.1-11} KP 3.1.4-12 1. = 1,28 s; 2. = 181 s; 3. d = 54,3 km.ysl-pr2.1-12} KP 3.1.4-13 vr = 0,846c.ysl-pr2.1-13} KP 3.1.4-14 vr = 0,345c.ysl-pr2.1-15} KP 3.1.4-16 v1 = 0,4c, v2 = 0,909c, v3 = 0,588c.ysl-pr2.1-16} KP 3.1.4-17 U = 4,73 MV (srovnejte příklad KP 3.1.4-7).ysl-pr2.1-17} KP 3.1.4-18 1. 1 = 4,33 10-8 s; 2. l1 = 10,4 m; Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 390 3. l1 = 6,24 m; 4. m = 455me; 5. Ek = 155 MeV.ysl-pr2.1-18} KP 3.1.4-19 = 8,1 hodin. Molekulová fyzika a termodynamika MOLEKULÁRNĚ KINETICKÁ TEORIEVysl-pr3.1-7} KP 4.6-2 a) hm = 0,125 kmol, b) n0 = 7,528 1025 molekul.Vysl-pr3.1-8} KP 4.6-3 a) nO2 /nH2 = 1/8, b) mO2 /mH2 = 8/1.ysl-pr3.1-10} KP 4.6-5 V = 22,7 m3.ysl-pr3.1-11} KP 4.6-6 b) T1 = 600 K, c) p1 = 4 105 N m-2.ysl-pr3.1-12} KP 4.6-7 a) x = 3,5 cm, l = h L, kde L je délka sloupce rtuti, který vyvine barometrický tlak b.ysl-pr3.1-13} KP 4.6-8 a) p1 = 7,5 104 N m-2, b) m1 - m2 = 0,641 g.ysl-pr3.1-14} KP 4.6-9 a) 3,4 10-9 m, a/d = 11,2, b) a = 3,1 10-10 m, a/d = 1,04.ysl-pr3.1-15} KP 4.6-10 p = 2,35 103 N m-2.ysl-pr3.1-16} KP 4.6-11 = 3,75 10-4 s.ysl-pr3.1-17} KP 4.6-12 a) v = 3,18 10-2 m s-1, b) vk = 3,37 10-2 m s-1, c) vp = 4,0 10-2 m s-1.ysl-pr3.1-18} KP 4.6-13 a) vk = 427 m s-1, b) T = 73,2 K, T = 1172 K.ysl-pr3.1-19} KP 4.6-14 vk,Ar = 441 m s-1, vk,He = 1 393 m s-1.ysl-pr3.1-20} KP 4.6-15 a) UHe = 3,741 106 J kmol-1 , b) UHe = 1,247 104 J kmol-1 , c) Q/nm = nmcvT, Q/nm = cvT = 3/2RT.ysl-pr3.1-21} KP 4.6-16 MAr = 39,6 kg kmol-1 , mAr = 6,58 10-26 kg.ysl-pr3.1-22} KP 4.6-17 Argon: WK = 1,17 10-22 J, Kyslík: WK = 0,56 10-22 J.ysl-pr3.1-23} KP 4.6-18 vk = 493,1 m s-1, v = 452,3 m s-1, vp = 402,6 m s-1.ysl-pr3.1-25} KP 4.6-20 h = 5,5 103 m.ysl-pr3.1-26} KP 4.6-21 p = 0,360 105 Pa.ysl-pr3.1-27} KP 4.6-22 a) no = 2,9 1017 m-3, b) = 3,85 m.ysl-pr3.1-28} KP 4.6-23 a) = 4,95 10-7 m, b) = 7,9 10-8 m.ysl-pr3.1-29} KP 4.6-24 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 391 a) d = 2,56 10-10 m, b) = 0,973 m.ysl-pr3.1-30} KP 4.6-25 T = 128 K, t = -91 C.ysl-pr3.1-31} KP 4.6-26 T = nT0, t = 273(n - 1)C.ysl-pr3.1-32} KP 4.6-27 p2 = 1,88 106 N m-2.ysl-pr3.1-33} KP 4.6-28 = 0,59.ysl-pr3.1-34} KP 4.6-29 a) V = 8,48 10-2 m3, b) m1 = 0,667 kg. Termodynamika Vysl-pr3.2-6} KP 5.8-1 a) Q142 = 60 J, b) Q21 = -70 J, soustava teplo vydává, c) Q14 = 50 J, Q42 = 10 J.Vysl-pr3.2-7} KP 5.8-2 W = 2 104 J.Vysl-pr3.2-8} KP 5.8-3 W = Q - U = nmcpT - nmcV T = nmRT, pro nm = 1 kmol, T = 1 K je číselná hodnota {W } = {R}.Vysl-pr3.2-9} KP 5.8-4 Q = W = -537 J.ysl-pr3.2-10} KP 5.8-5 a) W = -0,83 103 J, b) U = 2,11 103 J, c) Q = 2,953 103 J, d) W = -0,83 103 J.ysl-pr3.2-11} KP 5.8-6 a) P = 38,5 kW, b) m = 3,31 103 kg.ysl-pr3.2-12} KP 5.8-7 a) p1 = 4,54 106 N m-2, p2 = 2,58 106 N m-2, p3 = 1,72 106 N m-2, p4 = 1,26 106 N m-2, b) p1 = 6 106 N m-2, p2 = 4 106 N m-2, p3 = 3 106 N m-2, p4 = 2,4 106 N m-2.ysl-pr3.2-13} KP 5.8-8 p = 3,24 106 N m-2, T = 764 K = 491 C, A = 4,25 103 J.ysl-pr3.2-14} KP 5.8-9 a) W = 1,75 105 J, b) W = 1,77 105 J.ysl-pr3.2-15} KP 5.8-10 Qa > Qb, Qa -Qb = W , W je práce vykonaná systémem při kruhovém ději 1-a-2-b-1.ysl-pr3.2-16} KP 5.8-11 Wmax = 1,47 103 J.ysl-pr3.2-17} KP 5.8-12 Q2max = 12,6 103 J.ysl-pr3.2-18} KP 5.8-13 Poměry objemů - v2/v1 při izotermické expanzi jsou různé; platí (v2/v1) = (v2/v1)n 2 .ysl-pr3.2-19} KP 5.8-14 b) = (T1 - T3)/T1.ysl-pr3.2-20} KP 5.8-15 a) = 1, b) .ysl-pr3.2-21} KP 5.8-16 a) S1 = -0,205 J K-1, b) S2 = -0,287 J K-1.ysl-pr3.2-22} KP 5.8-17 a) S = 1,22 103 J K-1, b) S = 1,31 103 J K-1,ysl-pr3.2-23} KP 5.8-18 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 392 a) Q = TdS, Q je teplo přijaté při malé změně teploty, plocha celého obrazce S1-1-2-S2 je S2 S1 TdS = 2 1 Q = Q, b) Znaménko se určí z definice entropie dS = Q/T, T > 0, Q > 0, dS > 0, děj probíhá od 1 2, Q12 > 0, Q21 < 0.ysl-pr3.2-24} KP 5.8-19 a) Carnotův kruhový děj, b) Plocha S1-1-2-S2 je uměrná teplu Q1 přijatém při izotemické expanzi, plocha S1-4-3-S2 teplu Q2 vydaném při izotermické kompresi, c) = (Q1-Q2)/Q1 = (T1 - T2)/T1.ysl-pr3.2-25} KP 5.8-20 a) 1 = (T1 - T2)/2T1; b) 2 = (T1 - T2)/(T1 + T2), 1 < 2.ysl-pr3.2-26} KP 5.8-21 S = (p/T){V1 ln[(V1 + V2)/V1] + V2 ln[(V1 + V2)/V2]}ysl-pr3.2-27} KP 5.8-22 S = 4,19 J K-1.ysl-pr3.2-28} KP 5.8-23 S = 2,22 J K-1, T = 286 K.ysl-pr3.2-30} KP 5.8-25 a) Je-li p < ptr, b) Je-li T > Tkr.ysl-pr3.2-32} KP 5.8-27 b) Tk = 114 K.ysl-pr3.2-33} KP 5.8-28 T /T = pvk/[(p + a/v2 k)(vk - b)] a) -4O%, (-14,5%), b) -32%, (-8%), c) 4%. Kmitání Vysl-pr6.P-1} KP 6-9 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 -0,02 -0,01 0,00 0,01 0,02 t x(t) Obr. 9.2: K výsledku KP 6-9.{obr5.1-31V} Vysl-pr6.P-2} KP 6-10 1. = 32 rad; 2. a) T = 0,419 s, b) f = 2,39 Hz, c) W = 0,003 m; 3. a) r = 0,027i m, b) v = -0,187i m s-1, c) a = -6,14i m s-2; 4. a) Fv = 3,375i sin(15t + 5,14) N, b) Fv(x = 0) = 0, c) Fv(x = A) = 3,375 N; 5. a) C1 = 0,03 m, C2 = 15 rad s-1, C3 = 0,429 rad, b) C4 = -0,125 m, C5 = 0,032 7 m.Vysl-pr6.P-3} KP 6-11Vysl-pr6.P-4} KP 6-12 1. y(t) = 0,04 sin(10,47t + 1,57) m; Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 393 2. a) f = 1,67 Hz, b) T = 0,6 s; 3. a) p = 0,083 8 kg m s-1, b) Ek = 0,017 5 J; 4. Fv = 0,877 N.Vysl-pr6.P-5} KP 6-13 1. v = 3,77 m s-1 2. a) Ek = 4,97 J, b) p = 2,64 kg m s-1; 3. a) a = 236,9 m s-2 b) F = 165,8 N (a, F míří do rovnovážné polohy)Vysl-pr6.P-6} KP 6-14 1. a = 78,96 m s-2; 2. F = 236,9 N; 3. Nahoře: F1 dolů, F1 = 206,9 N; dole: F2 nahoru, F2 = 266,9 N; 4. Odskakovalo by.Vysl-pr6.P-7} KP 6-15 1. k = 667jN m-1; 2. f = 2,91 Hz; 3. N = 174; 4. A = 0,02 m; 5. v = 0,365 m s-1; 6. a) F1 = 6,67 N; b) F2 = 3,35 N; (F1 , F2 nahoru).Vysl-pr6.P-8} KP 6-16 1. a) f = 0,637 Hz, b) T = 1,57 s; 2. k = 24jN m-1; 3. a) F1 = 15 N; F2 = 14,18 N; F3 = 15,72 N.Vysl-pr6.P-9} KP 6-17 1. F1 = 0 N; 2. a = g; 3. d = 0,2 m od bodu uvolnění; 4. a) F2 = 0 N; b) F4 = 5 N (F3 F4 nahoru); 5. a = -g; 6. a) f = 1,59 Hz; b) A = 0,1 m.ysl-pr6.P-10} KP 6-18 1. k = 5,92jN m-1; 2. k = 4k/3; 3. f = 2f 3.ysl-pr6.P-11} KP 6-19 1. Ep = 0,384 J 2. v = 0,554 m s-1 3. f = 0,637 Hz, 4. A = 62 mm; 5. F = 3,84 N.ysl-pr6.P-12} KP 6-20 1. xc = 0,6 m od T1; 2. I = 0,25 kg m2; 3. a) = 2 rad s-1; b) f = 0,318 Hz; c) T = 3,14 s.ysl-pr6.P-13} KP 6-21 1. xc = 0,5 m od T1; 2. I = 0,34 kg m2; 3. a) = 1,53 rad s-1; b) f = 0,244 Hz; c) T = 4,10 s.ysl-pr6.P-14} KP 6-22 1. a = 0,144 m; Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 394 2. I = 0,125 kg m2; 3. a) = 3,72 rad s-1; b) f = 0,592 Hz; c) T = 1,69 s.ysl-pr6.P-15} KP 6-23 1. a = 0,216 m; 2. I = 0,200 kg m2; 3. a) = 4,16 rad s-1; b) f = 0,662 Hz; c) T = 1,51 s.ysl-pr6.P-16} KP 6-24 1. I = 2,03 kg m2; 2. Ic = 1,03 kg m2.ysl-pr6.P-17} KP 6-25 1. I = 0,48 kg m2; 2. T = 1,54 s.ysl-pr6.P-18} KP 6-26 1. I = 1,76 kg m2; 2. T = 1,70 s.ysl-pr6.P-19} KP 6-27 1. I = 1,12 kg m2; 2. T = 1,572 s.ysl-pr6.P-20} KP 6-28 1. I = 0,39 kg m2; 2. T = 2,53 s.ysl-pr6.P-21} KP 6-29 L = 0,6 m.ysl-pr6.P-22} KP 6-30 T = 1,54 s.ysl-pr6.P-23} KP 6-31 1. I = 0,64 kg m2; 2. T = 1,78 s; 3. L = 0,8 m.ysl-pr6.P-24} KP 6-32 1. T1 = T0; 2. T2 = 2,236 s; 3. T3 = 1,826 s.ysl-pr6.P-25} KP 6-33 1. C = 1,7F; 2. Q = 1,27 mC; 3., 4., 5. Ee = E = Em6,34 10 - 2 J; 6. I = 7,96 A.ysl-pr6.P-26} KP 6-34 a) f1 = 1,414 103 Hz; b) f1 = 7,07 102 Hz.ysl-pr6.P-27} KP 6-35 1. A1 = 0,05 m; 2. A2 = 0,06 m; 3. A3 = 0,073 9 m; 4. A4 = 0,073 9 m; 5. A5 = 0,087 2 m.ysl-pr6.P-28} KP 6-36 A = 0,083 4 m.ysl-pr6.P-29} KP 6-37 x2 = 0,058 3 sin(500t + 2,111) [SI].ysl-pr6.P-30} KP 6-38 1., 2., 3., T1 = T2 = T3 = 0,025 s. Vlnění Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 395 Vysl-pr7.P-1} KP 7-8 2. A, B, C, D právě v klidu; E, G nahoru, F dolů; 3. E; 4. v = 15 mm s-1.Vysl-pr7.P-2} KP 7-9 1. a) ve směru c . . . x (xD, xG), b) proti směru c . . . x (xG, xC); 2. a) A právě v klidu, E, G ve směru c, F proti směru c; 3. a) na tlak x (xA, xB), b) na tah x (xD, xA), x (xB, xC), 4. Od t2 = 1,25 s.Vysl-pr7.P-3} KP 7-10 1. u(x, t) = 0,02 sin [50(t x/8)] [SI]; 2. t1 = 0,5 s, 3. a) T = 0,126 s, b) = 25 rad, c) u = 0,02 m, d) v = 1,00 m s-1, e) a = 50 m s-2; 4. = 1 m.Vysl-pr7.P-4} KP 7-11 1. f = 10 Hz; 2. c = 6,28 m s-1; 3. = 0,628 m; 4. a) A dolů, vA = 0,628 m s-1, b) B dolů, vB = 0,628 m s-1; 5. aD nahoru, aD = 18 m s-2, amax = 39,5 m s-2.Vysl-pr7.P-5} KP 7-12 1. A, C dolů, B nahoru; 2. = 6 m; 3. f = 10 Hz; 4. U0 = 2 mm; 5. x = 7,5 m; 6. x = 2,5 m.Vysl-pr7.P-6} KP 7-13 1. f = f = 2,5 Hz; 2. = 20 m; 3. dolů.Vysl-pr7.P-7} KP 7-14 1. proti Oy; 2. U0 = 8 10-6 m, f = 27,06 Hz; 3. c = 340 m s-1, = 12,57 m; 4. = 0 pro Q2, 2 pro Q3, -2 pro Q4, pro Q5 rad; 5. = 10 rad.Vysl-pr7.P-8} KP 7-15 1. f1 = 425 Hz; 2. f1 = f2; 3. 2 = 3,41 m; 4. K = 2,1 109 N m-2; 5. = 4,76 10-10 m2 N-1.Vysl-pr7.P-9} KP 7-16 1. a) t1 = 0,613 s, b) t2 = 2,613 s; 2. l = 880 m.ysl-pr7.P-10} KP 7-17 1. 1 = 0,553 m; Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 396 2. a) dv = 0,607 m s-1 b) d = 0,001 m; 3. v2 = 355,1 m s-1.ysl-pr7.P-11} KP 7-18 a) 1. Um = 1,09 10-6 m, 2. Vm = 6,84 10-3 m s-1, 3. Am = 43,0 m s-2. b) 1. Um = 1,87 10-8 m, 2. Vm = 1,17 10-4 m s-1, 3. Am = 0,738 m s-2.ysl-pr7.P-12} KP 7-19 1. Um (1,09 10-11; 1,09 10-5) m; 2. Pm (2,93 10-5; 2,93 101) Pa.ysl-pr7.P-13} KP 7-20 a) 1. c = 1261 m s-1; 2. = 2,87 m; b) 1. c = 315,2 m s-1; 2. = 0,846 m.ysl-pr7.P-14} KP 7-21 1. c = 5,19 103 m s-1; 2. a) k = 2,4/(2k - 1) m; b) f = (2k - 1) 2,16 103 Hz, k = 1, 2, 3, . . ..ysl-pr7.P-15} KP 7-22 Mosaz: 1. c = 3,25 103 m s-1 2. a) k = 2,4/(2k - 1) m; b) f = (2k - 1) 1,36 103 Hz, k = 1, 2, 3, . . . Hliník: 1. c = 5,33 103 m s-1 2. a) k = 2,4/(2k - 1) m; b) f = (2k - 1) 2,22 103 Hz, k = 1, 2, 3, . . .ysl-pr7.P-16} KP 7-23 1. a) k = (1 m)/k, b) fk = k 200 Hz, k = 1, 2, . . .; 2. c = 200 m s-1; 3. F = 160 N; 4. dF/F = 1%.ysl-pr7.P-17} KP 7-24 1. a) k = (1,6 m)/k, b) fk = k 60 Hz, k = 1, 2, . . .; 2. c = 96 m s-1; 3. F = 69,1 N; 4. dF/F = 3,33%.ysl-pr7.P-18} KP 7-25 1. c = 290,4 m s-1; 2. F = 255 N; 3. l = 0,242 m.ysl-pr7.P-19} KP 7-26 1. = 14,8 rad; 2. = 0, 25,15, 58,21; 3. = 12,27, 39,61.ysl-pr7.P-20} KP 7-27 1. = 12,58 rad - 6,283 rad; 2. = 19,47, 90; 3. = 0, 41,81.ysl-pr7.P-21} KP 7-28 1. sem namalovat obrázek?? 2. sem namalovat obrázek?? 3. Maximum: h = 18,75 m, 56,25 m, atd.; minimum: h = 0 m, 37,5 m atd.; 4. ve výšce h .ysl-pr7.P-22} KP 7-29 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 397 1. T = 4,16 m; 2. T = 6,25 m.ysl-pr7.P-23} KP 7-30 v = 6000 m s-1. Optika Vysl-pr8.P-1} KP 8-1 1. 2 = 434,8 nm; 2. 3 = 375 nm; 3. t = 3,27 10-11 s; 4. a) k = 1 656 nm/(2k - 1), b) k = 1 289,3 nm/(2k - 1).Vysl-pr8.P-2} KP 8-2 dk = (2k - 1) . 100,5 nm.Vysl-pr8.P-3} KP 8-3 1. k = 851,2 nm/k; 2. k = 1 702,4 nm/(2k - 1); 3. 2 = 425,6 nm, 2 = 567,5 nm.; 4. Žlutozelená; 5. = 4,18 rad.Vysl-pr8.P-4} KP 8-4 1. k = 788,8 nm/k; 2. k = 1 577,6 nm/(2k - 1); 3. 2 = 394,4 nm, k = 525,9 nm.Vysl-pr8.P-5} KP 8-5 2. = 0,006 043 3. h = 6,328 10-6 m; 4. N = 26,6.Vysl-pr8.P-6} KP 8-6 1. = 21, kde 1 = 0,079 50; 2. 5 = 0,397 5.Vysl-pr8.P-7} KP 8-7 1 = 19,47, 2 = 90.Vysl-pr8.P-8} KP 8-8 Za podmínky a < .Vysl-pr8.P-9} KP 8-9 1. = 21, kde 1 = 1,525 10-5 rad; 2. d = 0,114 4 mm.ysl-pr8.P-10} KP 8-10 1. = 21, kde 1 = 9,65 10-5 rad; 2. a) d1 = 1,93 m, b) d2 = 7,41 104 m.ysl-pr8.P-11} KP 8-11 1. Pro = 555 nm je s1 = 43,3 m, s2 = 260,0 m.ysl-pr8.P-12} KP 8-12 1. d = 3,11 10-6 m. 2. 1 = 10,21; 3. 1 = 10,92;ysl-pr8.P-13} KP 8-13 1. (4,589; 8,743); Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 398 2. a) nepřekrývají se, b) překrývají se.ysl-pr8.P-14} KP 8-14 1,110 m < d > 1 665 m. Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 399 10. Fyzikální a astronomické konstanty {tabulky} rychlost světla ve vakuu c = 2,997 925 108 m s-1 klidová hmotnost elektronu me = 9,109 1 10-31 kg elementární náboj e = 1,602 2 10-19 C elektronvolt eV = 1,662 25 10-19 J atomová hmotnostní jednotka u(= mu) = 1,660 44 10-27 kg klidová hmotnost protonu mp = 1,672 5 10-27 kg klidová hmotnost neutronu mn = 1,674 8 10-27 kg hmotnost částice alfa m = 4,002 76 u hmotnost deutronu mD = 2,014 18 u Avogadrova konstanta NA = 6,022 52 1023 mol-1 Planckova konstanta h = 6,625 6 10-34 J s konstanta Stefanova-Boltzmannova zákona = 5,669 7 10-8 W m-2 K-4 konstanta Wienova zákona b = 2,8978 10-3 m K permitivita vakua 0 = 107/(4c2) = 8,854 10-12 F m-1 permeabilita vakua 0 = 410-7 H m-1 konstanta Wienova zákona b = 2,897 8 10-3 m K molární plynová konstanta R = 8,314 3 J K-1 mol-1 Boltzmanova konstanta k = 1,380 54 10-23 J K-1 Rydbergova konstanta RH = 1,097 107 m-1 Bohrův poloměr a0 = 5,291 7 10-11 m = 0,529 17°A Bohrův magneton B = 9,273 2 10-24 J T-1 normální tlak bn = 1,013 25 10-5 Pa teplota trojného bodu vody Ttr = 273,16 K rychlost zvuku ve vzduchu, 0 C c = 331,6 m s-1 rychlost zvuku ve vodě, 0 C c = 1 450 m s-1 hustota vzduchu (0 C, pn) = 1,293 0 kg m-3 oceli = 7,8 103 kg m-3 mosazi = 8,5 103 kg m-3 hliníku = 2,6 103 kg m-3 modul pružnosti oceli E = 2,1 1011 N m-2 mosazi E = 9,0 1010 N m-2 hliníku E = 7,4 1010 N m-2 teplota trojného bodu vody Ttr = 273,16 K {TabKonst} Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 400 gravitační konstanta = 6,67 10-11 kg-1 m3 s-2 normální tíhové zrychlení g = 9,806 65 m s-2 (g = 10 m s-2 v příkladech) hmotnost Země MZ = 5,97 10-24 kg střední poloměr Země RZ = 6,37 106 m střední rychlost oběhu Země vZ = 2,98 104 m s-1 perioda oběhu Země TZ = 365,26dní hmotnost Slunce MS = 1,99 1030 kg střední poloměr Slunce RS = 6,960 108 m střední vzdálenost středů Země a Slunce RZS = 1,496 1011 m hmotnost Měsíce MM = 7,35 1022 kg poloměr Měsíce RM = 1,73 106 m perioda oběhu Měsíce TM = 27,32dní střední vzdálenost středů Země a Měsíce RZM = 3,844 108 m střední vzdálenost středů Pluta a Slunce RPS = 5,9 1012 m Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 401 Literatura [1] Halliday, D., Resnik, R., Walkrer, J.: Fyzika, VUTIUM a PROMETHEUS, 2000. [2] Šindelář, V. a kol.: Metrologie a zavedení soustavy jednotek SI, sv. 1, SNTL, Praha 1975 [3] Norma: ČSN 01 1300 [4] Škrášek, J.-Tichý, Z.: Základy aplikované matematiky I, SNTL, Praha 1983 [5] Suchomel, J.-Plačková, J.-Kříž, J.: Diferenciální počet, VUT, Brno 1978 [6] Šantavý, I. a kol.: Vybrané kapitoly z fyziky, VUT, Brno 1984 (skriptum) [7] Urgošík, B.: Fyzika, SNTL, Praha 1981 [8] Boček, L.: Tenzorový počet, SNTL, Praha 1976 [9] Požadavky z matematiky pro příjimací řízená na VŠT, SPN, Praha 1983 [10] Liška, M.-Šantavý, I.: Fyzika II, SNTL Praha 1981, VUT, Brno 1985 (skriptum) [11] Einstein, A.: Elektrodynamika pohybujících se těles (německy v Annalen der Physik 1905, sv. 17, str. 891) [12] Schwarz, J. a kol.: Fyzika I, SNTL, Praha 1981 [13] Beiser, A.: Úvod do moderní fyziky, Academica, Praha 1978 [14] Binko, J.: Fyzikální a technické veličiny, SNTL, Praha 1968 [15] Hajko, V.: Fyzika v příkladoch, SNTL, Bratislava 1970 [16] Halliday, D.-Resnik, R.: Physics, New York 1967 [17] Saveljev, I. V.: Kurs obščej fiziki I, Nauka, Moskva 1982 [18] Veis, Š. a kol.: Všeobcená fyzika 1, SNTL/ALFA, Bratislava 1981 [19] Putilkov, K. A.: Termodinamika, Nauka, Moskva 1971 [20] Fermi, E.: Termodinamika, Izdat. Universit., Charkov 1973 [21] Ja. de Bur: Vvedeije v molekuljarnuju fiziku i termodinamiku, Izdat. inostran. lit., Moskva 1962 [22] Binko, J.-Kašpar, J.: Fyzika stavebního inženýra, SNTL/ALFA, Praha 1983 [23] Ford, K.: Classical and modern physics I­III, XEROX, Lexington 1976 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 402 LITERATURA [24] Alonso, M.-Finn, E.: Fundamental university physics I­III, Addison - Wesley, Reading, Mass., 1976 [25] Horák, Z.-Krupka, F.: Fyzika, SNTL/SVTL, Praha 1966 [26] Marion, J. B.-Thorton, T. S.: Classical dynamics of particles and systems, Harcourt Brace and Company, Orlando 1995 Copyright c 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 403