(Velmi) podrobný návod pro kinematický popis šikmého vrhu
yA
V                 = v po*? a
v nejvyssi bod vrhu          vo ^^J ^
-~T
vncosa
vncosa
xd/2
X
-vnsina
Na šikmý vrh lze pohlížet jako na součet dvou přímočarých pohybů, a to rovnoměrného přímočarého pohybu podél přímky kolmé na směr tíhového zrychlení g (na obr. osa x) a svislého vrhu vzhůru podél přímky rovnoběžné se směrem tíhového zrychlení g (na obr. osa y). O tom, že tomu tak skutečně je, mohou přesvědčit následující simulace šikmého vrhu a vodorovného vrhu z internetu.
Při popisu tohoto pohybu vystačíme se znalostí závislosti dráhy na čase s{t) a rychlosti na čase v(t) pro rovnoměrný zrychlený pohyb
S(t)       :
v(t)   =   Vq + a ■ t,
1              2
s0 + v0-t + --a-t ,
(1) (2)
kde Sq je počáteční dráha, Vq je počáteční rychlost a a je zrychlení, které je konstantní.
Abychom šikmý vrh správně popsali, je třeba nejprve zapsat průněty počáteční rychlosti Vo a tíhového zrychlení g do souřadných os x a y námi zvolené vztažné soustavy. Předpokládejme, že počáteční rychlost svírá s osou x úhel a. Rozklad do souřadných os je následující
x-ová souřadnice    y-ová souřadnice
9
vo - cos a 0
^o • sin a
Rychlost Vo jsme rozložili pomocí goniometrických funkcí z pravoúhlého trojúhelníku na obrázku výše. Tíhové zrychlení má nenulovou souřadnici pouze v ose y, neboť jsme tak si osu y tak zvolili, a zápornou hodnotu, protože vektor tíhového zrychlení směřuje v
1
opačném směru než osa y. V předešlé tabulce značí v0 velikost vektoru rychlosti v0 a g velikost vektoru tíhového zrychlení g.
Nyní tedy šikmý vrh popíšeme, jako dva nezávislé pohyby podél os x a y. Postup bude takový, že budeme pouze dosazovat za so, vo a a do soustavy rovnic (1) a (2).
Osa x
V ose x máme po dosazení x-ových souřadnic z tabulky výše za so, vo a a následující hodnoty:
s0   =   0,
Vo     =     Vo ■ COSCü,
a   =   0.
Dosazením těchto hodnot do rovnic (1) a (2) dostaneme
1 s(t)   =   0 + Vo • cos a ■ t + - • 0 •
v (ť)   =   Vq ■ cos a + 0 • t.
Po označení s(t) a v{ť) jako x (t) a vx(t), které značí x-ovou souřadnici dráhy a rychlosti a po úpravě dostaneme
x{ť)   =   vo ■ cos a ■ t,                                                     (3)
vx(t)   =   wo-COSCü,                                                                     (4)
což jsou rovnice popisující dráhu a rychlost rovnoměrného přímočarého pohybu.
Osa y
Nyní dosadíme y-ové souřadnice z tabulky výše za s0, v0 a a
so   =   0, Vo   =   Vo ■ srna, a   =   -g.
2
Dosadíme do rovnic (1) a (2)
s (ť)   =   0 + v0 ■ siná • t + - • (—g) ■ t2, v (ť)   =   v0 ■ sin a + (—g) • t,
a po úpravě a zápisu s (t) a v (t) jako y (t) a vy(t), tj. y-ovou souřadnici dráhy a rychlosti máme
y(ŕ)   =   v0 -siná-t- - -g -t2,                                        (5)
Vy (t)   =   Vo ■ siná — g ■ t,                                                       (6)
což jsou rovnice pro svislý vrh vzhůru.
Rovnice (3), (4), (5) a (6) zcela popisují šikmý vrh. Říkají, jak se v čase mění x-ová a y-ová souřadnice polohy a rychlosti pohybujícího se tělesa.
Pokud chceme spočítat x-ovou a y-ovou souřadnici polohy a rychlosti tělesa v určitém konkréním bodě jeho pohybu, je třeba tento bod specifikovat nějakou podmínkou. Např. pokud nás zajímá vzdálenost, jakou těleso uletělo, označme ji Xd, je touto podmínkou, že těleso prostě narazí do země, neboli y = 0. Tuto hodnotu dosadíme do rovnice (5) a pro celou soustavu dostaneme
%d   =   vo • cos a ■ td-,
Vfx     =     Wo-COSCü,
1         2
0   =   vo ■ sma-td- - -g ■ td, v fy   =   Vo ■ sin a — g ■ td-
Tyto rovnice už nepopisují, jak se mění dráha a rychlost v čase, ale pouze jeden konkrétní bod trajektorie o souřadnicích (xd,0) v čase td, kde má těleso rychlost se souřadnicemi (v fx,vfy).
Při řešení této soustavy nejprve vyjdeme z třetí z rovnic, kde vytkneme td
td- i vo-sina- -■ g-td j =0. Tato rovnice má dvě řešení, a to
td   =   0,
2 • vo ■ sin a
td   =   -----------------•
9
3
Obě řešení jsou fyzikální. První odpovídá počátku pohybu, kdy je těleso na zemi, a tedy pro něj platí y = 0, a druhé dopadu tělesa ve vzdálenosti xa- Druhou z rovnic dosadíme do rovnice pro Xd v předešlé soustavě a dostaneme
2 • Vq ■ sin a ■ cos a      v% ■ sin(2 • a)
Xd                                                                                       •
9                           9
V poslední úpravě jsme použili goniometrický vzorec sin(2 -a) = 2 • sin a • cos a. Po dosazení času t d do vztahu pro y-ovou složku rychlosti dostaneme
2 • v0 ■ sin a
Vfi, = Vo ■ srn a — q ■--------------= — Vo ■ sin a.
9
y-ová složka dopadové rychlosti je tedy záporně vzatá y-ová složka počáteční rychlosti. x-ová složka rychlosti je po celou dobu pohybu konstantní, a tedy Vfx = wcrcos a. Není těžké se přesvědčit, že velikost dopadové rychlosti v f je stejná jako velikost počáteční rychlosti vo.
Druhým zajímavým bodem trajektorie šikmo vrženého tělesa je nejvyšší bod jeho dráhy. Podmínka pro tento bod, vy = 0, popisuje bod obratu svislého vrhu vzhůru, kdy se nahoru vržené těleso na okamžik zastaví, a pak začne padat dolů (dobře je to vidět např. v první animaci šikmého vrhu). Opět, toto nastane jen v určitém čase th, poloze (xh,h) a těleso má rychlost (vhx,Vhy)- Opět dosadíme do rovnic (3), (4), (5) a (6) a dostaneme
Xh     =	= v0	■ cos a	• th,		
Vhx     =	=     Vo	■ cos a,			
h     =	=     Vo	■ sin a ■	th-	1 " 2	■ g-tl,
0 =	=     Vo	■ sin a ■	- 9	■th.	
Pokud z poslední rovnice vyjádříme th
Vo ■ sin a
th =-------------,
9
a dosadíme do rovnice předposlední, dostaneme výšku výstupu tělesa h
,             .        vo ■ sin a      1        / vo ■ sin a \        v% • sin2 a
h = v0-sma-----------------ö " 0 "    ------------      =—Ö--------•
9              2          V       9      J               2-9
y-ová složka rychlosti v tomto bodě je nulová (podmínka) a x-ová je stejně jako ve všech bodech pohybu Vhx = Vo • cos a. Velikost okamžité rychlosti tělesa od výstřelu až po dopad dosahuje v tomto bodě minima.
4