Príklady ku cvičeniu z matemetickej analýzy I
i
1    Nerovnice, absolútna hodnota
x — 1
1.1------- >0.
x-A -
1.2   ?^>3.
x — 1
1.3     (z + 2)(2z-5)(z-4) > 0.
(x-l)(x + 2)(x-3) (x + 4:)(x-5)(x + 6) -
(x + l)(x - l)(x - 2)2(x - 3)
1.5     ------------------------—-------->0.
x
x — 1
1.6      -------< 1.
x + 1 -
- ~      x -2  ^ x + \
1.7------- <-------.
x + 4      :r — 3
1.8     x + l<x2 + lx + Q.
x — 1      :r + 3
1.9    ------- +-------<2.
aľ + 2     z-4
1.10     |z-2| -2aľ + 3<0.
1.11  |z + 2| + 3|z-l| - 2|z - 3| > 0.
1.12  x + 1 + \x — 5| > \x — 1| + \x — 3|.
(^ + l)(3; + 2)3(rr-5) ^ (z-l)2(:c + 4)   -
1.14  |z + l| + \x-2\ < 5.
1.15     |aľ-3||aľ-2||aľ + 4| > 0.
\x + 21      la: — 11
1.16     -------- > -------j.
\x + 6|      |aľ — 4|
1.17     — < |x + 21.
x
2
1.18
x
x
1
<\x + II.
1.19    x <
x + 2
x — 3
1.20     \xz -2x-?>\ < 5-x.
1.21     1 < \x + 3\ < 3-x.
1.22     \x- \x + 1|| < 2x.
1.23     2x < \x2 - 51 < 4z.
Riešenia: l.l:(-oo, 1)U(4, oo); 1.2:(-2,1); 1.3:(-2, |)U(4, oo); 1.4:(-oo, -6)U(-4, -2)U (1, 3) U (5, oo); 1.5:(-oo, -1) U (0,1) U {2} U (3, oo); 1.6:(-1, oo); 1.7:(-4, |) U (3, oo) 1.8:(-oo,-5)U(-l,oo); 1.9:(-oo,-f) U (-2, 4); 1.10:(f,oo); l.ll:(-oo,-f) U (|, oo) 1.12:(-1,1) U (1,5); 1.13:(-4,-2) U (-1,1) U (1, 5);  1.14:(-2,3); 1.15:E \ {-4, 2, 3} 1.16:(-oo, -6) U (-6, -|) U (-f, 2); 1.17:(-oo, 0) U (y/2 - 1, oo); 1.18:(-oo, -\ - ^f) U (l,oo); 1.19:(-oo,3)U(3,2 + V/6); 1.20:(^^, 1) U (2, ^±^); 1.21:(-oo,-4) U (-2, 0); 1.22:(|,oo); 1.23:(1, x/Š - 1) U (V6 + 1, 5) .
2    Komplexné čísla a binomické rovnice
2.1     Určte všetky reálne x,y, ktoré vyhovujú rovniciam:
a)   (3 + i)x + (-2 + 2i)y = 5 + 7i ,
b)  x(l + 11i) + y(17 - i) = 0 .
2.2     Určte reálne a, b tak, aby bolo komplexné číslo a(2 — Si) + 6(1 + 4i) a) reálne b) rýdzo imaginárne.
2.3     Vypočítajte:
,   2 + i a) t,----:  >
b)
'l + 2i
3
1+i     1-i
c)  1^7 " TT7 '
d)         ^-^     .
;   (2 + i)(l-2i)
2.4    Vyjadrite v goniometrickom tvare:
a) —1 + z i/3 ,
b» m2 ■
2.5     Nájdite absolutnu hodnotu a argument komplexného čísla:
a)   — 1 — i ,
b)   2-2i ,
c)  —VŠ + z ,
d)   —y/3-i  .
2.6     Určte mocniny:
a)   (1 - z)4 ,
b)  ("f+ |*)\
2.7     Riešte binomické rovnice:
a)  z3 + 1 = 0 ,
b)  z3 - 1 = 0 ,
c)  z3 - 8 = 0 ,
d)   (zz)4 + V3 - i = 0 .
Riešenia: 2.1: a) x = 3,y = 2; b) x = 0,y = 0; 2.2: a) a/b = 4/3; b) a/b = -1/2; 2.3: a) 2 + 2*5 b) ~4iro14i; c) 2«; d) ^|^; 2-4: a) 2(cos§7r + zsznfvr); b) 2(cos§7r + zsznfvr); 2.5:
4
a) VŽ, fvr + 2kn; b) 2^2, \it + 2kn; c) 2, fvr + 2/ctt; d) 2, |vr + 2/ctt; 2.6: a) -4; b) -1; c)
-\ + i% 2.7: a) | + pf, -1, \ - pf; b) -\ + pf, -\ - pf, 1; c) -1 + ^,-1-^,2; d) odmocniny čísla 2(cos|7t + isin^ir) .
3    Aritmetická a geometrická posloupnost
3.1     Určte S20 aritmetickej posloupnosti, ak as = —2, ag = 0.
3.2     Koľko po sebe idúcich členov —7, —5, —3 dáva súčet 0?
3.3     Vypočítajte súčet prvých n a) lichých, b) sudých čísel.
3.4     Určte aritm. posloupnost, ak 8<2i — 04 = 7, 4a 1 + 2a2 + 03 = 8.
3.5     Platí ö2+ö4 = 24, 03 : 07 = 3 : 8. Určte diferenciu, a\, 015.
3.6     Súčet n členov aritm. posloupnosti je n + ríz. Určte diferenciu a vztah pre n-tý člen.
3.7     Mezi čísla 15 a 27 vložte 5 čísel, aby vznikla aritm. posloupnost.
3.8     Teplota Zeme pribúda do hĺbky o 1 stupeň na 33 metrov. Aká
je teplota na dne hlbokom 1015m, ak v hĺbke 25m je teplota
9 stupňov?
4 1 n   + n
3.9     Upravte -------------------- .
1 + 2 + ...+n
3.10     Zistite, ktorá posloupnost je aritmetická, resp. geometrická:
1    Lra+lJra=i   '
b) {2™32-nľ=i ,
c)
d)   {23X=i
e)   4,7,10,13,16,...
f)   23,25,27,29,2n,.
n2-\-n—6 ra+2
00

5
3.11     Pre geom. posloupnost platí 8a\ — 04 = 7, 4<2i + 2ö2 + «3 = 8. Určte öi, kvocient.
3.12     Nájdite podmienku konvergencie,  alebo zistite,  zda rada konverguje:
a)   (x - 1) + (x - l)2 + (x - l)3 + ... = 1  ,
b)   (x + 2)2 + (x + 2)4 + (x + 2)6 + ... = - ,
ó
c)   — + 4 - 3x + (4 - 3x)2 + (4 - 3xf + ... = 0 , 2x
d)-l + --- + --...,
,  v^+1          1          1
3.13    V M riešte:
a)   —- = 1 — x + x  — x  + ... ,
5
b)   - = x + 3x2 + x3 + 3x4 + ...  ,
8          _,      3       9      27
x + 10            x     xz      xó
Riešenia: 3.1:60; 3.2:0, 8; 3.3: a) n2; b) n(n + 1); 3.4:d = ±,«i = §; 3.5:d = 5,«i = 2, ai5 = 72; 3.6:d = 2, ai = 2, ara = 2n; 3.7:d = 2; 15,17,19, 21, 23, 25, 27; 3.8:39 stupňov; 3.9:2(n2 — n+1); 3.10: a) ani ani; b) geom; c) ani ani; d) geom; e) aritm; f) geom; 3.11:g = |,ai = §f; 3.12: a)x E (0,2); b) x e (-3,-1); c) x e (1, f); d) q < 1, s = -2 + V2; e) g < l,s = 3^ + 4; 2.13: a)x = 1/2 - 1; b) x= \,x= -f; c) x = -6,x = 4 .
4    Reálne čísla a mnohočleny
4.1     Určte supremum, infimum, maximum a minimum, ak existujú:
a) M ={0,-1, 2,5,6,8,} ,
6
M = ■{- :neN n
c)   M = {n2 -2n+l:neZ} ,
d)   M= (0,1)  ,
e)  M= j^-1)" :n£N}   , M = {cosx simc : x G E} .
2    Dokažte:
a) supxeM(-/(a;)) = -iníxeMf{x) ,
infxeAf(-/(a;)) = -supxeM/(:z)  , min{a, b} = - (a + b — \a — b\) ,
max{a, b} = - (a + b + \a — b\)  ,
max
{x:x = ^-1}n^-l,neZ} = 2 .
3     Určte P (x) : Q (x):
a) P (x) = x5 + 2x4 + 3x3 + x - 1,   Q (x) = x3 + x2 - x - 1  , Pf» = 4x4 + 2x3 - x2 + 4x - 2,   Q (x) = x3 + 3x2 - 5x + 4 ,
c)   P(x) = x5 — x,   Q (x) = x2 + 2 ,
d)   P(a;) = x4 + 7x2 + 10,   Q(a;) = x2 + 5 .
4     Pomocou Homérovej schémy zistite hodnotu polynomu:
a) 2x5 — x4 — 3x3 + x — 3   v bode 3 nad Q ,
3ix4 — 2x3 + (i + l)x + 2i   v bode (1 + i) nad C .
5     Pomocou Homérovej schémy zistite násobnost'
a) koreňa " 1" polynomu x4 — x3 — 3x2 + 5x — 2 ,
koreňa 2" polynomu x5 + 10x4 + 40x3 + 80x2 + 80x + 32 , koreňa z" polynomu x5 + ix4 + 2x3 + 2ix2 + x + i .
7
4.6     Určte mnohočlen s reálnymi koeficientmi, ktorého korene sú
d\ = 1, a,2 = —l — i, kde cl\ je dvojnásobný.
4.7     Napište mnohočlen najmenšieho stupňa s celočíselnými koeficientmi, aby platilo:
a)  koreň "3" dvojnásobný, koreň "2" trojnásobný,
b)  koreň "1 + i" jednoduchý, koreň "1 + 2i" dvojnásobný.
4.8     Rozložte na súčin koreňových činiteľov:
a\       ry^    ___    f-y»*-*    ___     -í O"         I       R/y   ___      )
J     >Áj                  >Áj                   O.ÁJ      ~\     i~f<A~>              ^     j
b) 6x3 - 5x2 - 2x + 1 ,
c) x4 + 1 ,
d) x3 - 2x2 - 5x + 10 ,
e) xA — 2x2 — 3, ak jeden koreň je i"  .
4.9     Urobte rozklad na parciálne zlomky:
a)
b) c) d) e) f)
g)
h)
x4 — x3 + 2x2
x3 + l '
1
x3(x + 1)
x2-2
x4 - 2x3 + 2x2  '
x3 + 3x2 + 4
x3 + x — 2
2x4 - x3 + x2 + 3x + 3
x2 — 1
x+ 1
x5 + 3x3 + 2x
x- i
x4 + 8x  '
-5x + 2
8
9x3 -Ax + 1
Riešenia: 4.1: a) maxM = supM = 8,minM = infM = — 1; b) maxM = supM = l,infM = 0; c) minM = infM = 0; d) minM = infM = 0,supM = 1; e) infM = 0; f) supM= lmfM= -i; 4.3: a) x2 + x + 3 + ^C-ii b) 4x - 10 + %;26^5g84; c) x3-2x + í|^;d)x2 + 2;4.4: a) 324; b) -12Ž + 4; 4.5: a) 3; b) 5; c) 2; 4.6: (x-l)2(x + l + i)(x+l -i);4.7: a) (x - 3)2(x - 2)3; b) (x - 1 - i) (z - 1 + i)(x - 1 - 2i)2(x - 1 + 2i)2; 4.8: a) (x — l)3(x + 2); b) (x — l)(x + |)(x — |); c) nemá korene; d) (x — 2)(x + -\/5)(x — -\/5);
e) (x - i)(x + i)[x - y/Ž)(x + V3); 4.9: a) -^ + ^f^Jy; b) ^ - 4, + \ - ^; c)
ii:2-2ii:+2 ~~ x ~ ~x* '  "J   H~ í^T + ii:2+ii:+2' e)  ^X    ~ ^ + 3 — ^pj + —[5 r)   2Í + í^l + 2^2^' §)
_J_    ,    l^L___i    1       x          y\      2x-i     _  2    |    J_    -\   _3___|    4___L _|_ _JL_
2x    '    Ax+2    '    4íe2-2íe+4>      >   x2-x+2        x    '    x2 '    >   x-1    'x        x2    '    x+1   "
9
5     Limity posloupností
5.1	Z definície limity dokažte: limn^oo - = 0.		
5.2	Z definície limity dokažte: limn^oo ^-j- = 1.		
5.3	Z definície limity dokažte: limn^oon = oo.		
5.4	Uveďte príklad posloupností an, bn, že liman = zároveň lim ^ = 1 nebo lim ^ = 0. »n                                                               »n	= 0, lim bn =	= 0 a
V nasledujúcich príkladoch spočítajte limity:
sinín2 + 1)
5.5     lim
n
5.6     lim
5.7     lim
n2 + l '
on __ on
3n
5.8     lim -\/(n + a)(n + b) — n .
,     3n2 + 1
5.9     lim---------- .
3n + n1
5.10     lim yn + v^ — v7^--^ .
^ ^^           2n + sinn
5.11     lim------------- .
3n-l
5.12     lim A/oň .
5.13      lim 2-ý/ň .
5.14     lim ý2n + 3n .
5.15     lim(n2 — 5n — 1) .
K .,„    ,.    -8n2 + 6n + 7
5.16     lim------------------- .
2n + 5
5.17     lim \/9n2 - 4 - 2n .
10
\/n2 + 1 — Von
5.18     lim     Q/        =^-
^n4 + 18n
5.19     lim n ( Ja + ^ —
,      /   2n   \2n
5.21     limíl--)    .
5.22     lim(l + — )    .
\       5nJ
5.23     lim U cos
5.24     lim
5.25     lim
5.26     lim
2n-lJ
(n + 2)! + (n + l)! (n + 2)!-(n + 1)!
(n + 2)!-3n!
(n + 2)! + l    '
1 + 2 + 3 + .. , + n n2
,      /lil                      1
5.27    hm    — + — + — + ... +
v1.2     2.3     3.4     '"     (n-l)nj
n
5.28     lim -^-2^
n+1
5.29     Ukažte, že lim(—l)n neexistuje.
5.30     Určte hromadné body posloupností:
a)  tC0S-)„rf   '
b)   ^1 + (-1)'
n      .  2 nir
n=l
oo
c)   <------- sin
Wl      4   Jn=1
11
Riešenia: 5A:an = bn = ±; an = ±,bn = 4,; 5.5:0; 5.6:0; 5.7:-l; 5.8:^; 5.9:3; 5.10:-oo; 5.11:| stupňov; 5.12:1; 5.13 1; 5.14:3; 5.15:oo; 5.16:oo; 5.Í7:oo; 5.18:0 (skrátením rá); 5.19:^; 5.20:oo; o^líe"1; 5.22:^; 5.23:0; 5.24:1; 5.25:1; 5.26:|; 5.27:1 užitím vzťahu (k^k = jrzi ~ \\ 2.28:1; 2.29:Pre limitu musí platiť, že každá vybraná posloupnost' konverguje k tej samej limite.Ak však zvolíme vybranú posloupnost čísel sudých, máme lim 02™ = hnil = 1. Ak zvolíme posloupnost len čísel lichých, máme lima2ra+i = lim(—1) = —1. Teda 1 ^ —1; 5.39: a) 1, -|, — \\ b) 0,1; c) 0, |, 1 .
6    Elementárne funkcie
sinhx =	e   — e
	2
	ex + e~x
cosh x =	
	2
sec x -	1
	
	cos x
	1
smi arcsinx je inverzná fee sin x na intervale (—f, f) arecosx je inverzná fee cos x na intervale (0,7r) aretanx je inverzná fee tan x na intervale (—f, f) x je inverzná fee x na intervale (0, tt)
6.1     Určte definičný obor funkcií:
a)   ln(l — ex)  ,
b)   arecos 1~2x
c) -d)
4
OÍE+1
sin x + cos x x — COS x
2 sin2 x + 3 cos x e) 3 + arcsin(2x — 1)  ,
f)  ^/aretan |±4-
IE+1           7T
4
12
g) V5 - 3x +
arcsm
ix-2 5
h) arcsin(sinx)  , i) sin(arcsinx)  .
2     Načrtnite grafy funkcií —f (x), f (—x), f (x) + 6, f (x —a), kf(x), f(mx).
3     Znázornite log x a pomocou neho log x2, 31og2aľ, log(2—x), log-.
4     Načrtnite grafy funkcií:
arctan(tanx) , tan(arctanx) , \x2 — 4x + 5 , arcsin ^-  ,
■     x-tt/2 Sln       2
1 +X
1   — X
Rozhodnite o parite funkcií:
2   , x2
1 + x2
fx  ,
In —
111 1+x    '
xcoshx , ax + 1
ax -1   ' sin x
x
,       o i QX___Q —X
I x I —^— arcsm —
x2 + l    •
13
6.6     Zistite, či je fee 3 + arcsin(2aľ — 1) monotónna a nájdite k nej inverznú.
6.7     Určte intervaly, kde je fee ex +4x+4 prostá.
6.8     Určte inverzné fcie k funkciám:
a)   3 + 4arccos(2x — 1)  ,
b)   21+ln^2  }
c)   4sinx ,
d)   aresin ^- ,
\      ■     x—7r/2
e)   srn —j1— .
Riešenia: 6.1: a) (-oo, 0); b) (^, f); c) E \ Ufcez{37r/4 + M; d) x ^ vr - vr/3 + 2kiv, x ^ vr + vr/3 + 2kir; e) (0,1); f) (-1/2,0); g) (-1,5/3); h) E; i) (-1,1); 6.5: a) S; b) S; c) ani, ani; d) L; e) L; f) L; g) S; h) S; 6.6: rastúca; inverz| + \ sin(x — 3); 6.7: prostá na (-2,oo), nebo (-oo,-2); 6.8: a) (1 + cos(x - 3)/4)/2; b) 2 + e2Xo^x'2- c) arcsin(log4x); d) 3 sin x + 1; e) 2 aresin x + 7r/2;
5 31  25	1
0/                         -7 5         /                 -5                    /      -2 5                            íŕ -2 5 -5	2 5//                           5            /                7 5                    /     *íi y/            X                                /                                                /
6.4: a)
14
6.4: b)
6.4: c)
6.4: d)
15
6.4: e)
10 y 5 ................./	)		
	k                         in                        i'c;                        p'n		
			
-b-			^
6.4: f)
16