Jméno:
Hodnocení: 1.     2.     3.     4.     Teorie Celkem
B. Písemka z lineární algebry I, leden 2005 — početní část
Max. počet bodů 12
1. Je dáno lineární zobrazení <p :'.
»10
předpisem
X2 + X3 + X4 + X5 + • • • + Xio
ip((x1,X2, • • • , Xlo)J )  =   (   Xl + X3 + X4 + X5 H---------h X10
^ Xl + X2 + X4 + X5 + • • • + Xio ;
Najděte bázi Ker <p a bázi Imy. Výpočet doprovoďte slovním komentářem.
(3 body)
2. Je dána dolní trojúhelníková matice A =
řádek součinu A ■ A.
/I    0    0 110
1   1   1 Ví  i  i
o
tvaru 2005 x 2005. Vypočtěte A-1 a 1805.
1
/
{3 body)
3.  V R5 jsou dány podprostory U a V. Najděte bázi U n V, jestliže Č7 = [(1,0,1, 2, -1)T, (2, -1, 2,1, -1)T, (1,0, 0,1, — 1)T] a V = {(xi,X2, X3, x4,X5)T G R5, xi +2x2 + X3 = 0, xi +X4 + X5 = 0}. Výpočet doprovoďte slovním komentářem.                                                                                                                          (3 body)
4.  V R2[x] uvažujme bázi e = (1, x, x2) a bázi a = (1 + 2x + x2,1 + x + x2, —1 — x + 3x2). Vypočtěte matici přechodu {id)a,e °d báze e k bázi aas její pomocí vypočtěte souřadnice polynomu 2 + 3x + 6x2 v bázi a.
(3 body)
Teoretická část
Max. počet bodů 10
1.  Napište definici determinantu s vysvětlením použitého označení.
2.  Napište jeden axiom vektorového prostoru, který není splněn pro množinu V = (0, 00), pole x © y = x ■ y (standardní součin) a násobení skalárem aQ x = a ■ x. Ukažte, proč není splněn.
3.  Napište přesnou formulaci věty o dimenzích jádra a obrazu lineárního zobrazení.
4.  C2[x] - prostor polynomů stupně nejvýše 2 s koeficienty v C je vektorový prostor nad '. jeho bázi, která obsahuje polynom 1 + ix.
(1 bod,)
:, součet (1 bod,)
(1 bod,)
Napište nějakou (1 bod,)
5. V prostoru reálných matic 2x2 napište souřadnice matice
0     1
1    0
1
-1    1
v bázi
1    0 0    1
1    -1 0     0
6. Napište jedním předpisem <p(xi, x2)
7. Napište matici lineárního zobrazení ip : ^[x ß= ((1,0), (1,1)).
všechna lineární zobrazení z R2 do
2
0    1 0    0
(1 bod) (1 bod,)
, ip(p) = (L xp(x)dx,p(0)) v bázích a = (l,x,x2) a
(1 bod,)
8. Z definice lineární nezávislosti dokažte: Jestliže, wi,W2,«3 jsou lineárně nezávislé v U, pak u\ — u2 + «3, u\ + «2, u\ + W3 jsou rovněž lineárně nezávislé.                                                                                (1 bod)
9. Zformulujte přesně větu o dimenzi řešení homogenní soustavy lineárních rovnic.
(1 bod,)
10. Předpisem <p(a + ib, c + id) = ...  definujte nějaký lineární izomorfismus z C2 do R4 jako vektorových prostorů nad R s vlastností ip(i, 1) = (2,0, 0, 5).                                                                                    (1 bod)