Písemná zkouška ze Základů matematiky 22. 1. 2009
Jméno a příjmení 1 2 3 4 5 Součet
Každý příklad je hodnocen 8 body. Pro odpovědi využijte volného prostoru
mezi příklady, případně druhé strany papíru. Test trvá 90 minut.
1. Nechť X = {0, 1, 2} je množina a f : X  X zobrazení. Pro každou
z následujících formulí nalezněte nějaké zobrazení, které formuli splňuje, a
nějaké zobrazení (to označte jako g), které ji nesplňuje. Pokud takové f nebo
g neexistuje, dokažte to.
a) (x  X)(y  X)((f  f)(y) = x  f(x) = x).
b) f(x) = y  x = f(y).
c) (f(x) = y  f(y) = z)  f(z) = x.
d) (x, y  X)(n  N)(fn
(x) = y).
2. Uvažujme množiny
X = {A  P(N) | 1  A},
Y = {A  P(N) | 1  A},
Najděte nějakou bijekci f : X  Y , její inverzi f-1
: Y  X a ověřte, že
jsou vzájemně inverzní.
3. Nechť X, Y, Z, Yi, i  I jsou množiny. Dokažte, že platí:
a) (X - Y ) × Z = (X × Z) - (Y × Z),
b) X  iI Yi = iI(X  Yi).
4. Načrtněte hasseovské diagramy všech vzájemně neizomorfních uspořádání
na pětiprvkové množině, která mají:
a) právě jednu dvojici nesrovnatelných prvků,
b) největší a nejmenší prvek.
5. Popište multiplikativními tabulkami grupy (Z4, +) a (Z×
5 , ) a dokažte, že
jsou izomorfní.