Písemná zkouška ze Základů matematiky 22. 1. 2009
Jméno a příjmení 1 2 3 4 5 Součet
Každý příklad je hodnocen 8 body. Pro odpovědi využijte volného prostoru
mezi příklady, případně druhé strany papíru. Test trvá 90 minut.
1. Nechť A = {0, 1, 2} je množina a B  P(A) systém jejích podmnožin. Pro
každou z následujících formulí nalezněte nějaký systém, který formuli splňuje,
a nějaký systém (ten označte jako C), který ji nesplňuje. Pokud takové B nebo
C neexistuje, dokažte to.
a) (X  B)(Y  B)(X  Y =   X  Y = A).
b) (X, Y  B)(X  Y  B).
c) (X  B)(X = A  (Y  X  Y  B)).
d) (x, y  A)(x = y  (X  B)(x  X  y  X)).
2. Uvažujme množiny
X = {  N × N | xy  x  y},
Y = {  N × N | xy  y  x}.
Najděte nějakou bijekci f : X  Y , její inverzi f-1
: Y  X a ověřte, že
jsou vzájemně inverzní.
3. Nechť X, Y, Z, Yi, i  I jsou množiny. Dokažte, že platí:
a) (X  Y ) × Z = (X × Z)  (Y × Z),
b) X  iI Yi = iI(X  Yi).
4. Načrtněte hasseovské diagramy všech vzájemně neizomorfních uspořádání
na čtyřprvkové množině, kde každý minimální prvek je menší nebo roven
každému maximálnímu prvku.
5. Popište multiplikativní tabulkou monoid ({0, 1}{0,1}
, ), rozhodněte, zda
je komutativní, a vysvětlete, proč se nejedná o grupu.