M1130/01 ­ První zápočtová písemka
Příklad 1 (1 bod). Udejte příklad výroků A, B takových, aby výroky A  (B  A), B  A
byly nepravdivé.
Výsledek. Nechť např. oba výroky A a B jsou ,,1 + 1 = 3".
Příklad 2 (1 bod). Označíme-li po řadě výroky
,,Číslo 1075926 má ciferný součet dělitelný 6",
,,Číslo 1075926 není druhou mocninou prvočísla",
,,Číslo 1075926 je dělitelné 33"
jako A, B, C, zapište pomocí symbolů A, B, C a logických spojek výrok ,,Číslo 1075926 nemá ciferný
součet dělitelný 6 tehdy a jenom tehdy, když je dělitelné 33 a je druhou mocninou prvočísla".
Výsledek. Stačilo uvést
A  (B  C) .
Příklad 3 (2 body). Zjistěte, zda je výrok
((A  B)  C)  (A  (B  C))
tautologií.
Výsledek. Ano, je. Oba výroky (A  B)  C a A(B  C) jsou nepravdivé, právě když A, B jsou
pravdivé a C nepravdivý.
Příklad 4 (2 body). Utvořte negace výroků:
(a) Pokud vyhraji, tak to zaplatím ze svého.
(b) Pro libovolná kladná čísla x, y platí nerovnosti x  x + y  x + 3y.
Výsledek. Správné odpovědi jsou:
(a) Vyhraji a nezaplatím to (ze svého).
(b) Existují kladná čísla x, y taková, že x > x + y nebo x + y > x + 3y.
Příklad 5 (2 body). Číslo 11k+1
+ 122k-1
je pro každé k  N dělitelné číslem 133. Dokažte to.
Výsledek. Tvrzení lze dokázat matematickou indukcí.
Příklad 6 (2 body). Dokažte, že pro libovolné přirozené číslo n  2 platí

n < 1 +
1

2
+    +
1

n
.
Výsledek. Tvrzení lze dokázat mj. matematickou indukcí.
Příklad 7 (2 body). Nalezněte a, b  R, pro která je
(1 - 3i)(1 + ai) - (a + 3i)(4 - i) + 2a + bi = 0.
Výsledek. Úloha má jediné řešení, a to a = 2, b = 11.
Příklad 8 (1 bod). Spočtěte
i
1 + i
100
.
Výsledek. Neboť
i
1 + i
100
=
i
1 + i
100
=
| i |
| 1 + i |
100
=
1

2
100
,
výsledek je 2-50
.
Příklad 9 (3 body). Vyřešte v C rovnici
(2 - i)z2
+ (4 + 3i)z = 3 + 11i.
Výsledek. Pomocí vzorce pro kvadratickou rovnici lze obdržet výsledky 1 + i, -2 - 3i.
Příklad 10 (2 body). Uveďte algebraický nebo goniometrický tvar čísla
cos  + i sin 
cos  - i sin 
.
Výsledek. Platí
cos  + i sin 
cos  - i sin 
= cos( + ) + i sin( + ).
Příklad 11 (1 bod). Stanovte
4

-1.
Výsledek. Očividně je
4

-1 =

2
2
(1  i)
pro všechny 4 kombinace znamének.
Příklad 12 (1 bod). Zakreslete v Gaussově rovině množinu z  C vyhovujících podmínce
| z - 1 | = | z + i | = | z |.
Výsledek. Jedná se o bod 1/2 - i/2.