M1130/01 ­ První zápočtová písemka
Příklad 1 (1 bod). Udejte příklad výroků A, B takových, aby výroky A  (B  A), B  A
byly nepravdivé.
Příklad 2 (1 bod). Označíme-li po řadě výroky
,,Číslo 1075926 má ciferný součet dělitelný 6",
,,Číslo 1075926 není druhou mocninou prvočísla",
,,Číslo 1075926 je dělitelné 33"
jako A, B, C, zapište pomocí symbolů A, B, C a logických spojek výrok ,,Číslo 1075926 nemá ciferný
součet dělitelný 6 tehdy a jenom tehdy, když je dělitelné 33 a je druhou mocninou prvočísla".
Příklad 3 (2 body). Zjistěte, zda je výrok
((A  B)  C)  (A  (B  C))
tautologií.
Příklad 4 (2 body). Utvořte negace výroků:
(a) Pokud vyhraji, tak to zaplatím ze svého.
(b) Pro libovolná kladná čísla x, y platí nerovnosti x  x + y  x + 3y.
Příklad 5 (2 body). Číslo 11k+1
+ 122k-1
je pro každé k  N dělitelné číslem 133. Dokažte to.
Příklad 6 (2 body). Dokažte, že pro libovolné přirozené číslo n  2 platí

n < 1 +
1

2
+    +
1

n
.
Příklad 7 (2 body). Nalezněte a, b  R, pro která je
(1 - 3i)(1 + ai) - (a + 3i)(4 - i) + 2a + bi = 0.
Příklad 8 (1 bod). Spočtěte
i
1 + i
100
.
Příklad 9 (3 body). Vyřešte v C rovnici (2 - i)z2
+ (4 + 3i)z = 3 + 11i.
Příklad 10 (2 body). Uveďte algebraický nebo goniometrický tvar čísla
cos  + i sin 
cos  - i sin 
.
Příklad 11 (1 bod). Stanovte 4

-1.
Příklad 12 (1 bod). Zakreslete v Gaussově rovině množinu z  C vyhovujících podmínce
| z - 1 | = | z + i | = | z |.