MATEMATICKÁ ANALÝZA I, učitelské studium
6.1.2010
I. část
1. Nakreslete grafy následujících funkcí (do samostatných obrázků)
f : y = log1
3
|x|, g : y = 3 arcsin x.
Mají funkce f, g vlastní či nevlastní limity v bodě x = 0?
2. Zjistěte, zda je funkce y = 1 + x sin x lichá nebo sudá, či nikoliv.
3. Načrtněte příklad grafu funkce s definičním oborem D = 1, 5 , která je na D
shora ohraničená, v bodě x = 2 má odstranitelnou nespojitost, v bodě x = 3 je
zprava spojitá a přímka o rovnici x = 3 je její asymptota. Pokud takový příklad
neexistuje, napište, které vlastnosti jsou v rozporu.
4. Výrokem s kvantifikátory a nerovnostmi zapište, co znamená lim
x3
f(x) = 2. Pak
udejte příklad vyhovující funkce f tvaru f(x) = k|x-5| s vhodnou konstantou k.
5. Vypočtěte limitu posloupnosti

n2 + 3n - n

n=1
.
6. Přímo z definice derivace vypočtěte f
(2) pro funkci f : y = x3
.
7. Zadejte vzorcem příklad funkce f : R  R, která má v bodě x = 1 různé jednostranné
vlastní derivace. Vzorec může být ,,rozvětven : f(x) = . . .
8. Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = xx
s dotykem v bodě [1, ?].
9. Rozhodněte, zda má funkce y =
sin x
x
asymptoty a) bez směrnice, b) se směrnicí.
II. část
1. Rozložte obvyklým způsobem racionální funkci
y =
x4
+ 1
x4 - 1
.
2. Vypočtěte (pokud existuje)
lim
x1
tg
x
4
1
x-1
.
3. Vyšetřete průběh funkce
y =
ln (x2
)
x
.
Typeset by AMS-TEX