MATEMATICKÁ ANALÝZA 1, učitelské studium
27. ledna 2010
I. část
1. Načrtněte grafy následujících funkcí (do samostatných obrázků)
f : y =

2
2
x
, g : y =

2
+ arcsin 2x.
2. Rozhodněte, zda je funkce f : y = e
1
x na intervalu (-, 0) ohraničená
a) shora, b) zdola.
3. Udejte příklad posloupností {an}
n=1 a {bn}
n=1, jež splňují rovnosti lim
n
an = 0,
lim
n
bn = 0 a lim
n
an
bn
= 3. Pokud takový příklad neexistuje, vysvětlete proč.
4. K funkci f : y =
3x + 4
2x + 3
určete inverzní funkci g (předpis y = g(x), definiční obor
D(g) a obor hodnot H(g)).
5. Výrokem s kvantifikátory a nerovnostmi zapište, co znamená lim
xf(x)
= 5.
6. Přímo z definice vypočtěte derivaci funkce f : y =
1
x2
v libovolném bodě x0 = 0.
7. Rozhodněte, zda v bodě x = 1 má funkce y = f(x) daná předpisem
y =
|x - 1|, je-li x = 1
1, je-li x = 1
a) vlastní limitu, b) vlastní derivaci, c) lokální extrém.
8. Načrtněte příklad grafu funkce s definičním oborem D = (-1, 5), která má na D
absolutní maximum, ne však absolutní minimum, která je spojitá v každém
bodě D s výjimkou bodů x = 0, x = 1 a x = 2, ve kterých má odstranitelnou
nespojitost (x = 0), jednostranné limity různých hodnot (x = 1), jednu vlastní
a jednu nevlastní jednostrannou limitu (x = 2), a která má v bodě x = 3 jednu
kladnou a jednu zápornou jednostrannou derivaci.
9. Napište tvar rozkladu na parciální zlomky (s neurčitými koeficienty, které nepočítejte)
pro funkci
f : y =
x + 1
x4 + 5x2 + 6
.
II. část
1. Derivujte funkce a výsledky pokud možno upravte
a) y =
tg2
x
2
+ ln cos x , b) y = xln x
.
2. Vypočtěte limity
a) lim
x0+
1
x
tg x
, b) lim
x0
arcsin x - x
x3
.
3. Vyšetřete průběh funkce
y =
x
2
- arctg x.
Typeset by AMS-TEX