2. Funkcionální charakteristiky stochastických procesů



2.1. Definice: Definice střední hodnoty a rozptylu SP, definice centrovaného a standardizovaného SP


2.2. Příklad: Nechť náhodná veličina X má střední hodnotu E(X) = 2 a rozptyl D(X) = 9. Zavedeme SP
, kde X[t] = X.cos ωt, ω > 0 je konstanta. Najděte střední hodnotu a rozptyl tohoto SP.

Řešení:


2.3. Poznámka: Další funkcionální charakteristiky stochastického procesu


2.4. Definice: Definice autokovarianční a autokorelační funkce SP


2.5. Věta: Věta o vlastnostech autokovarianční funkce SP


2.6. Příklad: Najděte autokovarianční a autokorelační funkci SP z příkladu 2.2.

Řešení:


2.7. Věta: Věta o střední hodnotě a autokovarianční funkci transformovaného SP


2.8. Definice: Definice slabě stacionárního SP


2.9. Poznámka: Vztah mezi striktní a slabou stacionaritou SP, zavedení autokovarianční funkce slabě
stacionárního SP


2.10. Věta: Věta o vlastnostech autokovarianční funkce slabě stacionárního SP


2.11. Příklad: Nechť Y, Z jsou standardizované náhodné veličiny (tj. E(Y) = 0, E(Z) = 0, D(Y) = 1,
D(Z) = 1), které jsou stochasticky nezávislé.

Zavedeme SP , kde X[t] = Y.cos ωt + Z.sin ωt, ω > 0 je konstanta. Najděte střední hodnotu a rozptyl
tohoto SP a ukažte, že je slabě stacionární.

Řešení:

Aby byl SP slabě stacionární, musí mít konstatntní střední hodnotu, konečný rozptyl a pro jeho
autokovarianční funkci musí platit γ(h) = γ(t, t+h). První dvě podmínky jsou splněny, ověříme
třetí:


2.12. Věta: Věta o vlastnostech autokorelační funkce slabě stacionárního SP


2.13. Příklad: Nechť je dán SP , kde náhodné veličiny  jsou stochasticky nezávislé a mají všechny
stejnou distribuční funkci Φ(x). Určete střední hodnotu, rozptyl a autokorelační funkci tohoto SP.

Řešení: Protože náhodné veličiny X[t], t T mají všechny stejnou distribuční funkci Φ(x), mají i
stejnou střední hodnotu  a stejný rozptyl . Dále opočítáme autokovarianční funkci . Jedná se tedy o
slabě stacionární SP. Nyní spočteme autokorelační funkci . Znamená to, že neexistuje žádná
závislost mezi realizacemi SP ve dvou různých okamžicích.