Příklady na první cvičení v počítačové učebně, SMI, PS 2009


Věta o vlastnostech homogenního markovského řetězce: Nechť  je markovský řetězec s vektorem
počátečních pravděpodobností p(0) a maticí přechodu P. Pak pro  platí:

a) P(n,n+m) = P(m) = P^m.

b) p(n,n+m) = p(m) = p(0)P^m.


Příklad 1.: Je dán homogenní markovský řetězec  s množinou stavů J = {0,1,2}, vektorem počátečních
pravděpodobností p(0) = a maticí přechodu . Určete vektor absolutních pravděpodobností po jednom
až  po čtyřech krocích.

Řešení:


Návod na řešení v MATLABu:

P=[0.5 0.5 0;0 0 1;0.5 0.5 0];

p0=[1/3 1/3 1/3];

p1=p0*P

p2= p0*P^2

p3= p0*P^3

p4= p0*P^4


Nebo:

p2=p1*P

p3=p2*P

p4=p3*P


Příklad 2.: (Model mužských zaměstnání) Předpokládáme rozdělení mužských zaměstnání do tří tříd:
vědečtí pracovníci, kvalifikovaní pracovníci, nekvalifikovaní pracovníci. Je známo, že 80% synů
vědeckých pracovníků se stane vědeckými pracovníky, 10% kvalifikovanými a 10% nekvalifikovanými
pracovníky. Ze synů kvalifikovaných pracovníků 60% bude kvalifikovanými pracovníky, 20% vědeckými a
20% nekvalifikovanými pracovníky. Konečně v případě nekvalifikovaných pracovníků 50% synů bude
nekvalifikovanými pracovníky, 25% kvalifikovanými a 25% vědeckými pracovníky. Předpokládejme, že
každý muž má syna. Jaká je pravděpodobnost, že vnuk nekvalifikovaného pracovníka se stane vědeckým
pracovníkem?


Řešení: Zavedeme homogenní markovský řetězec  s množinou stavů J = {0,1,2}, kde stav 0 znamená
„vědecký pracovník“, stav 1 – „kvalifikovaný pracovník“, stav 2 – „nekvalifikovaný pracovník“.
Náhodná veličina X[n] nabývá hodnoty j, když muž v n-té generaci má zaměstnání typu j. Nejprve
sestavíme matici přechodu:

. Zajímá nás pravděpodobnost, že vnuk nekvalifikovaného pracovníka se stane vědeckým pracovníkem.
Hledáme tedy prvek p[20](2) matice P^2.

p[20](2) = p[20]p[00] + p[21]p[10] + p[22]p[020] = 0,25.0,8 + 0,25.0,2 + 0,5.0,25 = 0,375.


Návod na řešení v MATLABu:

P=[0.8 0.1 0.1;0.2 0.6 0.2; 0.25 0.25 0.5];

P^2

Dostaneme


0.6850    0.1650    0.1500

0.3300    0.4300    0.2400

0.3750    0.3000    0.3250


Hledaná pravděpodobnost je tedy 0,375.


Příklad 3.: V příkladu 2 nyní předpokládejme, že muž má syna jen s pravděpodobností 0,8. Zaveďte
nyní homogenní markovský řetězec se čtyřmi stavy – první tři jsou stejné jako v předešlé úloze a
čtvrtý odpovídá případu, kdy muž nemá syna a proces končí. Jaká je pravděpodobnost, že vnuk
nekvalifikovaného pracovníka se stane vědeckým pracovníkem?


Řešení: Matice přechodu bude nyní řádu 4.

.

Opět nás zajímá prvek p[20](2) = 0,2.0,64 + 0,2.0,16 + 0,4.0,2 + 0,2.0 = 0,24


Příklad 4.: (Klasifikace roků podle úrody jablek) V severní Nové Anglii můžeme klasifikovat roky
podle úrody jablek jako úrodné, průměrné a neúrodné. Pravděpodobnost, že po úrodném roce bude
následovat rok úrodný, průměrný, neúrodný, je postupně 0,4; 0,4; 0,2. Pravděpodobnost, že po
průměrném roce bude následovat rok úrodný, průměrný, neúrodný, je postupně 0,2; 0,6; 0,2.
Pravděpodobnost, že po neúrodném roce bude následovat rok úrodný, průměrný, neúrodný, je postupně
0,2; 0,4; 0,4. Rok 1965 byl úrodný. Vypočtěte vektor absolutních pravděpodobností pro rok 1967.


Řešení: Zavedeme homogenní markovský řetězec  s množinou stavů J = {0,1,2}, kde stav 0 znamená
úrodný rok, stav 1 průměrný rok a stav 2 neúrodný rok. Náhodná veličina X[n] nabývá hodnoty j, když
n-tý rok odpovídá stavu j. Sestavíme matici přechodu

. Vektor počátečních pravděpodobností je p(0) = (1, 0, 0). Hledáme vektor p(2) = p(0)P^2 = (0,28,
0,48,  0,24).


Příklad 5.: V příkladu 4 předpokládejme, že pravděpodobnost, že rok bude úrodný, je ¼, průměrný ½ a
neúrodný ¼. Jaký je vektor absolutních pravděpodobností pro příští rok?


Řešení: Vektor počátečních pravděpodobností nyní bude p(0) = . Vypočteme vektor absolutních
pravděpodobností p(1) = p(0)P = .


Příklad 6.: Homogenní markovský řetězec  má množinu stavů  a matici přechodu .

Je-li vektor počátečních pravděpodobností p(0) = (0,0,0,1), najděte vektor absolutních
pravděpodobností po třech krocích.


Řešení: Vektor absolutních pravděpodobností po třech krocích:

p(3) = p(0)P^3 = (0,1162 0,3658 0,3838 0,1342)