Příklady na druhé cvičení v počítačové učebně, SMI, PS 2009


Definice stacionárního vektoru stochastické matice: Nechť a je stochastický vektor a P stochastická
matice odpovídající dimenze. Jestliže platí a = aP, pak vektor a se nazývá stacionární vektor
matice P.


Definice stacionárního rozložení HMŘ: Nechť  je homogenní markovský řetězec s maticí přechodu P.
Stochastický vektor a, který je stacionárním vektorem matice P, se nazývá stacionární rozložení
daného řetězce.


Definice limitního rozložení HMŘ: Nechť  je homogenní markovský řetězec s vektorem počátečních
pravděpodobností p(0). Jestliže existuje , pak vektor  se nazývá limitní rozložení daného řetězce.
Jestliže vektor  nezávisí na vektoru počátečních pravděpodobností p(0), pak řekneme, že daný
řetězec je ergodický (regulární).


Věta o vztahu mezi stacionárním a limitním rozložením HMŘ: Jestliže  je ergodický homogenní
markovský řetězec a existuje jeho stacionární rozložení a, pak limitní rozložení  je rovno
stacionárnímu rozložení a.


Markovova věta: Nechť  je homogenní markovský řetězec s maticí přechodu P. Jestliže existuje takové
číslo , že matice P^n má všechny prvky kladné, pak

a) existuje stacionární rozložení daného řetězce a je jediné,

b) řetězec  je ergodický,

c) posloupnost matic P^n konverguje k limitní matici A, jejíž řádky jsou stejné a jsou rovny
stacionárnímu vektoru a.


Návod na hledání stacionárního vektoru stochastické matice pomocí MATLABu

a) Zadáme matici přechodu P. Její řád zjistíme příkazem n = size(P,1).

b) Vytvoříme jednotkovou matici I = eye(n).

c) Získáme matici soustavy A = [[I-P]’;ones(1,n)].

d) Vytvoříme vektor pravých stran f = [zeros(n,1);1].

e) Vypočteme stacionární vektor a = (A\f)’.


Příklad 1.: Předpokládejme, že v nějaké oblasti může být počasí pouze ve třech stavech, a to déšť,
jasno, sníh. Dlouhodobým pozorováním bylo zjištěno, že nikdy nebývají dva jasné dny za sebou.
Jestliže je v jistém dni jasno, pak další den bude buď déšť nebo sníh, a to se stejnou
pravděpodobností. Jestliže je v jistém dni sníh nebo déšť, pak následující den se počasí buď
nezmění, a to s pravděpodobností 0,5 nebo se změní, a pak v polovině případů bude jasno. Popište
stav počasí homogenním markovským řetězcem a vypočtěte jeho stacionární rozložení.


Řešení: Homogenní markovský řetězec  má množinu stavů , kde stav 1 znamená déšť, stav 2 jasno a
stav 3 sníh. Matice přechodu P má tvar:

.

Vektor stacionárních pravděpodobností a = (a[1], a[2], a[3]), kde  a[1] + a[2] + a[3 ]= 1 vyhovuje
rovnici

a = aP, tedy

a[1] = 0,5a[1] + 0,5a[2] + 0,25a[3],

a[2] = 0,25a[1] + 0a[2] + 0,25a[3],

a[3] = 0,25a[1] + 0,5a[2] + 0,5a[3],

a[1] + a[2] + a[3 ]= 1.

Po úpravě:

0,5a[1] – 0,5a[2] - 0,25a[3] = 0,

-0,25a[1] + a[2] - 0,25a[3] = 0,

-0,25a[1] – 0,5a[2] + 0,5a[3] = 0,

a[1] + a[2] + a[3 ]= 1

Řešením tohoto systému je vektor a = (0,4  0,2  0,4)


Matice soustavy: A , vektor pravých stran: f . Řešení soustavy Ax = f dostaneme ve tvaru x = A\f,
tedy v našem případě x . Vektor stacionárních pravděpodobností je roven transponovanému řešení x,
tj. a = (0,4  0,2,  0,4).


Příklad 2.: Letka má při zahájení akcí tři letadla. Při akci je letadlo zničeno s pravděpodobností
0,2. Letka se do akce vydá v případě, že má aspoň jedno letadlo. Pokud jsou všechna letadla
zničena, pak s akcemi končí. Určete vektor absolutních pravděpodobností pro počty letadel v letce
po třetí akci a vektor stacionárních pravděpodobností.


Řešení: Homogenní markovský řetězec  má množinu stavů , kde stav j znamená, že po n-té akci má
letka právě j letadel.

Vektor počátečních pravděpodobností: p(0) = (0,0,0,1).

Pro stanovení pravděpodobností přechodu použijeme binomické rozložení. Pravděpodobnostní funkce
náhodné veličuny X ~ Bi(n, )  je  pro x = 0, 1, …, n.

V našem případě n = 3,  = 0,2.

Matice přechodu:

Vektor absolutních pravděpodobností po třech akcích:

p(3) = p(0)P^3 = (0,1162 0,3658 0,3838 0,1342)

Vektor stacionárních pravděpodobností:

(a[0],a[1],a[2],a[3]) = (a[0],a[1],a[2],a[3])P, přičemž a[0 ]+ a[1] + a[2] + a[3] = 1. Odtud
dostaneme a = (1,0,0,0). Znamená to, že po dostatečně velkém počtu akcí s pravděpodobností jedna
nezbude letce žádné letadlo.


Příklad 3.: Na malém městě jsou dva obchody, označme je A a B. Zajímáme se o nákupy zákazníků
v těchto obchodech. Uvažujeme přitom týdenní období a sledujeme, kde zákazníci v jednotlivých
týdnech nakupovali a jak tyto obchody střídali. Pro jednoduchost předpokládejme, že v průběhu
jednoho týdne navštěvovali buď pouze obchod A nebo obchod B. Jako součást marketingového výzkumu
byla shromážděna data od 1000 zákazníku v časovém horizontu 10 týdnů. Na základě tohoto výzkumu
bylo zjištěno, že 90% zákazníků nakupujících v obchodě A tam bude nakupovat i v následujícím týdnu
a 10% přejde do obchodu B. Dále 80% zákazníků nakupujících v obchodě B tam bude nakupovat i
v následujícím týdnu a 20% přejde do obchodu A. Pro modelování této situace zavedeme homogenní
markovský řetězec  s množinou stavů J = {1, 2}, přičemž X[n] = 1, když zákazník v n-tém týdnu
nakupuje v obchodě A a X[n] = 2, když zákazník v n-tém týdnu nakupuje v obchodě B.

a) Jestliže na začátku nakupovalo 1000 zákazníků v obchodě A, kolik jich bude po šesti týdnech?
(706 zákazníků)

b) Jestliže na začátku nakupovalo 1000 zákazníků v obchodě B, kolik jich bude po šesti týdnech?
(412 zákazníků)

c) Jak velký je tržní podíl těchto dvou obchodů za předpokladu dostatečně velkého počtu období?
(Tržní podíl obchodu A činí 66,7%, obchodu B 33,3%.)

d) Obchod B provede reklamní kampaň, aby přilákal zákazníky nakupující v obchodě A. Došlo
k určitému přesunu zájmu nakupovat v obchodě B. Dle nového průzkumu byla stanovena matice přechodu
. Jak se nyní změnil tržní podíl obchodů A a B za předpokladu dostatečně velkého počtu období?
(Tržní podíl obchodu A činí 57,1%, obchodu B 42,9%.)


Příklad 4.: Obchodník prodává tři druhy pracích prášků, které označíme A, B, C. Aby zjistil, jak se
vyvíjí poptávka po těchto prášcích, provedl v 1. měsíci prodeje průzkum, v němž se zjišťovalo,
který druh prášku zákazníci kupují. Při tomto průzkumu bylo zjištěno, že prášek A kupuje 50%
zákazníků, prášek B 20% a prášek C 30% zákazníků. Za měsíc byl proveden další průzkum, který
zjišťoval, ke kterému druhu prášků zákazníci přešli. Výsledky průzkumu zachycuje matice přechodu: .

a) Určete absolutní pravděpodobnosti po dvou měsících a interpretujte je. (Po dvou měsících bude
prášek A nakupovat 80,6% zákazníků, prášek B 12,8% a C 6,6% zákazníků.

b) Najděte vektor limitních pravděpodobností a limitní matici přechodu.

( , )