Příklady na třetí cvičení v počítačové učebně, SMI, PS 2009


Definice absorpčního stavu a absorpčního řetězce:

Stav  je absorpční stav, jestliže p[jj] = 1.

Homogenní markovský řetězec s konečnou množinou stavů se nazývá absorpční, jestliže každý jeho
trvalý stav je absorpční.


Definice fundamentální matice absorpčního řetězce:

Matice , kde I je jednotková matice řádu s a Q je matice řádu s obsahující pravděpodobnosti
přechodu mezi neabsorpčními stavy, se nazývá fundamentální matice absorpčního řetězce.


Věta o součtu prvků v řádcích fundamentální matice:

Střední hodnotu počtu kroků, které řetězec stráví v neabsorpčních stavech, když vychází
z neabsorpčního stavu i a skončí v absorpčním stavu, vypočítáme jako součet prvků v i-tém řádku
fundamentální matice M. Maticový zápis: t = Me, kde e je sloupcový vektor typu s x 1 ze samých
jedniček.


Definice matice přechodu do absorpčních stavů:

Matice B = MR, kde M je fundamentální matice a R je matice typu r x s obsahující pravděpodobnosti
přechodu z neabsorpčních do absorpčních stavů, se nazývá matice přechodu do absorpčních stavů.


Příklad 1.: (Soustruh v kovoobráběčské firmě)

Jistá malá kovoobráběčská firma vlastní soustruh. Soustruh se může nacházet v následujících
stavech, které jsou sledovány s časovým krokem jeden týden: stav 1 – bude v provozu, stav 2 – bude
v opravě, stav 3 – dá se k prodeji, stav 4 – dá se do šrotu.

Situace je vyjádřena pomocí homogenního markovského řetězce  s množinou stavů , přičemž  je–li
soustruh v n-tém týdnu ve stavu j.

Máme dánu matici přechodu:



a) Nakreslete přechodový diagram.

Řešení:

b) Klasifikujte stavy na absorpční a neabsorpční a najděte kanonický tvar matice přechodu.

Řešení:

Trvalé stavy jsou 3 a 4, oba jsou absorpční, řetězec je tedy absorpční. Stavy 1 a 2 jsou
neabsorpční.

Kanonický tvar matice přechodu:


              3        4         1       2


c) Vypočtěte fundamentální matici a interpretujte její prvky.

Řešení:

                               1    2

.

Interpretace prvků matice M: je-li v daném týdnu soustruh v provozu, pak můžeme očekávat, že než se
prodá nebo dá do šrotu, bude v průměru 16 týdnů v provozu a 2 týdny v opravě. Je-li soustruh
v daném týdnu v opravě, pak můžeme očekávat, že než se prodá nebo dá do šrotu, bude v průměru 14
týdnů v provozu a 3 týdny v opravě.


d) Vypočtěte matici přechodu do absorpčních stavů a interpretujte její prvky.

Řešení:

                         3        4

Interpretace prvků matice B: je-li soustruh v daném týdnu v provozu, pak s pravděpodobností 0,9
půjde do prodeje a s pravděpodobností 0,1 půjde do šrotu. Je-li soustruh v daném týdnu v opravě,
pak s pravděpodobností 0,85 půjde do prodeje a s pravděpodobností 0,15 půjde do šrotu.


e) Zjistěte vektor středních hodnot počtu kroků před absorpcí.

Řešení:

Znamená to, že když je soustruh v daném týdnu v provozu resp. v opravě, tak bude v průměru trvat 18
resp. 17 týdnů, než půjde do prodeje nebo do šrotu.


Příklad 2.: (Pracovníci ve firmě)

Jistá firma provedla dlouhodobý prùzkum pohybu pracovníkù v jednom odboru společnosti. V průzkumu
byly specifikovány 4 stavy, a to stav 1 -  propuštění ze zaměstnání, stav 2 - odchod z osobních
důvodů, stav 3 - práce ve funkci referenta a stav 4 - práce v řídici funkci. Jednotkovým časovým
obdobím bylo jedno čtvrtletí. Známe matici přechodu:

Řešte tytéž úkoly jako v příkladu 1.

Částečné výsledky:

Interpretace 2. řádku matice M: pracovník, který nastoupil do vedoucí funkce společnosti, bude pro
společnost pracovat asi 2 roky a 9 měsíců, z toho 2 roky a 4,5 měsíce v řídicí funkci a 4,5 měsíce
jako referent.


Interpretace 2. řádku matice B: pracovník, který pracuje ve vedoucí funkci společnosti,
s pravděpodobností 0,8 bude propuštěn a s pravděpodobností 0,2 odejde sám.


Příklad 3.: Myš je vložena do bludiště tvaru:

V každém okamžiku si myš vybere náhodně jedny z dveří přihrádky, v níž se právě nachází a přejde do
příslušné přihrádky. Předpokládáme, že v přihrádce 3 je potrava a myš tuto přihrádku neopustí,
jakmile do ní jednou vstoupí. Pohyb myši v bludišti lze modelovat pomocí HMŘ  s množinou stavů
stavů J = {0,1, 2, 3}, přičemž X[n] = j, když v okamžiku n je myš v j-té přihrádce.

Matice přechodu:

P =

Řešte tytéž úkoly jako v příkladu 1.

Částečné výsledky:

Interpretace 1. řádku matice M: Myš, která vychází z přihrádky 0, stráví v průměru 1,67 kroku
v přihrádce 0 resp. 2 kroky v přihrádce 1 resp. 0,67 kroku v přihrádce 2 než dospěje k potravě.


Znamená to, že když myš vychází z kterékoli přihrádky, tak s pravděpodobností 1 dospěje k potravě.