Příklady na absorpční řetězce Příklad 1.: Jistá firma třídí svoje pohledávky po termínu splatnosti do 30 denních intervalů. Pohledávky, které jsou nad 90 dnů po době splatnosti, jsou považovány za nedobytné. K popisu situace zavedeme homogenní markovský řetězec s množinou stavů J = {1, 2, 3, 4, 5}, kde stav 1 znamená pohledávky 0 – 30 dní po době splatnosti, stav 2 pohledávky 31 – 60 dní po době splatnosti, stav 3 pohledávky 61 – 90 dní po době splatnosti, stav 4 splacené pohledávky a stav 5 nedobytné pohledávky. Dlouhodobou analýzou doby splatnosti jednotlivých pohledávek bylo zjištěno, že pravděpodobnosti přechodu jsou: p[12] = 0,77, p[14] = 0,23, p[23] = 0,34, p[24] = 0,66, p[34] = 0,73 a p[35] = 0,27. Úkoly: a) Sestavte matici přechodu. b) Klasifikujte stavy na absorpční a neabsorpční a najděte kanonický tvar matice přechodu. c) Vypočtěte fundamentální matici a interpretujte její prvky. d) Vypočtěte matici přechodu do absorpčních stavů a interpretujte její prvky. e) Zjistěte vektor středních hodnot počtu kroků před absorpcí. f) Předpokládejme, že objem pohledávek po termínu splatnosti v jednotlivých 30 denních intervalech je (4 030 000 Kč, 9 097 000 Kč, 3 377 000 Kč). Jaká je průměrná hodnota splacených a nedobytných pohledávek? Řešení: ad a) 1 2 3 4 5 Přechodový diagram: ad b) Řetězec má tři přechodné stavy, a to 1, 2, 3 a dva trvalé stavy, a to 4 a 5. Oba jsou absorpční, tedy řetězec je absorpční. Kanonický tvar matice přechodu: 4 5 1 2 3 , , . ad c) Vypočteme fundamentální matici absorpčního řetězce: 1 2 3 Interpretace 1. řádku: pohledávka zařazená do stavu 1 v něm v průměru stráví 1 x 30 = 30 dnů než bude splacena nebo zařazena mezi nedobytné pohledávky. Pohledávka zařazená do stavu 1 stráví v průměru 0,77 x 30 = 23,1 dne ve stavu 2 než bude splacena nebo zařazena mezi nedobytné pohledávky. Pohledávka zařazená do stavu 1 stráví v průměru 0,26 x 30 = 7,8 dne ve stavu 3 než bude splacena nebo zařazena mezi nedobytné pohledávky. ad d) Vypočteme matici přechodu do absopčních stavů: 4 5 . Interpretace 1. řádku: pohledávka zařazená do stavu 1 bude s pravděpodobností 0,9293 splacena a s pravděpodobností 0,0707 se stane nedobytnou. ad e) Vypočteme vektor středních hodnot počtu kroků před absorpcí: Interpretace: 2,03 x 30 = 60,9 – pohledávce zařazené do stavu 1 bude v průměru trvat 60,9 dne než bude splacena nebo zařazena mezi nedobytné pohledávky. 1,34 x 30 = 40,2 – pohledávce zařazené do stavu 2 bude v průměru trvat 40,2 dne než bude splacena nebo zařazena mezi nedobytné pohledávky. 1 x 30 = 30 – pohledávce zařazené do stavu 3 bude v průměru trvat 30 dnů než bude splacena nebo zařazena mezi nedobytné pohledávky. ad f) Průměrná hodnota splacených a nedobytných pohledávek: Průměrná hodnota splacených pohledávek je tedy 14 472 184 Kč a nedobytných pohledávek je 2 031 816 Kč. Příklad 2.: Máme populaci diploidní cizosprašné rostliny, ve které sledujeme gen se dvěma alelami a, A. Z populace náhodně vybereme jedince, sprášíme ho homozygotním jedincem typu AA a v příštím kroku vybíráme z populace tvořené jejich potomky. Postup lze popsat pomocí homogenního markovského řetězce s množinou stavů J = {0,1,2}, kde stav 0 = aa, stav 1 = Aa = aA, stav 2 = AA. Úkoly: a) Najděte matici přechodu P. b) Ukažte, že řetězec je absorpční. c) Najděte fundamentální matici M a interpretujte její prvky. d) Vypočtěte matici přechodu do absorpčních stavů B a interpretujte její prvky. e) Zjistěte vektor středních hodnot počtu kroků před absorpcí. Řešení: aa, AA → aA, aA, aA, aA aA, AA → aA, aA, AA, AA AA, AA → AA, AA, AA, AA ad a) aa aA AA Přechodový diagram: ad b) Řetězec má jediný trvalý stav AA, který je absorpční, proto je řetězec absorpční. ad c) Nejprve je nutné najít kanonický tvar matice přechodu. AA aa aA . Vidíme, že , . Dále aa aA . Interpretace: Řetězec vycházející ze stavu aa (tj. od recesivního homozygota) v něm v průměru setrvá 1 krok než bude absorbován. Řetězec vycházející ze stavu aa setrvá ve stavu aA v průměru 2 kroky než bude absorbován. Řetězec vycházející ze stavu aA v něm v průměru setrvá 2 kroky než bude absorbován. AA ad d) . Interpretace: Ať řetězec vychází ze stavu aa nebo aA, tak s pravděpodobností 1 bude absorbován ve stavu AA. ad e) . Interpretace: Řetězec vycházející ze stavu aa bude v průměru za 3 kroky absorbován. Řetězec vycházející ze stavu aA bude v průměru za 2 kroky absorbován. Příklad 3.: Máme populaci diploidní samosprašné rostliny, ve které sledujeme gen se dvěma alelami a,A. Z populace náhodně vybereme jedince, samosprášíme ho a v příštím kroku vybíráme z populace tvořené jeho potomky. Postup lze popsat pomocí homogenního markovského řetězce s množinou stavů J = {0,1,2}, kde stav 0 = aa, stav 1 = Aa = aA, stav 2 = AA. a) Najděte matici přechodu P. b) Ukažte, že řetězec je absorpční. c) Najděte fundamentální matici M a interpretujte její prvky. d) Vypočtěte matici přechodu do absorpčních stavů B a interpretujte její prvky. e) Zjistěte vektor středních hodnot počtu kroků před absorpcí. Řešení: ad a) ad b) Řetězec má dva trvalé stavy aa a AA, oba jsou absorpční, proto je řetězec absorpční. ad c) Nejprve je nutné najít kanonický tvar matice přechodu. . Vidíme, že , . Dále . Interpretace: Řetězec vycházející ze stavu aA v něm v průměru setrvá 2 kroky než bude absorbován. ad d) . Interpretace: Řetězec vycházející ze stavu aA bude s pravděpodobností 1/2 absorbován ve stavu aa a s pravděpodobností 1/2 bude absorbován ve stavu AA. ad e) . Interpretace: Řetězec vycházející ze stavu aA bude v průměru za 2 kroky absorbován.