Vzorová písemná zkouška z předmětu Stochastické modely I


Příklad 1.: (15 bodů) Nechť Y, Z jsou stochasticky nezávislé standardizované náhodné veličiny.

Zavedeme SP , kde X[t] = Y.cos ωt + Z.sin ωt, ω > 0 je konstanta. Najděte střední hodnotu a rozptyl
tohoto SP a ukažte, že je slabě stacionární.


Řešení:

Aby byl SP slabě stacionární, musí mít konstatntní střední hodnotu, konečný rozptyl a pro jeho
autokovarianční funkci musí platit γ(h) = γ(t, t+h). První dvě podmínky jsou splněny, ověříme
třetí:


Příklad 2.: (25 bodů) Máme černou a bílou urnu a pět koulí. Na počátku pokusu jsou všechny koule
v černé urně. V každém kroku pokusu náhodně vybereme jednu kouli, přičemž výběr každé koule je
stejně pravděpodobný a přemístíme ji do druhé urny. Zavedeme homogenní markovský řetězec
s množinou stavů J = {0,1, ..., 5}, kde X[n] = j, když po n-tém kroku bude v černé urně právě j
koulí.

a) Najděte matici přechodu a nakreslete přechodový diagram.

b) Najděte stacionární rozložení tohoto řetězce.

c) Vypočtěte střední hodnotu počtu koulí v černé urně po stabilizaci pokusu.


Řešení:

ad a)


ad b) (a[0], a[1], a[2], a[3], a[4], a[5]) = (a[0], a[1], a[2], a[3], a[4], a[5])

, , , , ,


a[1] = 5a[0], a[2] = 10a[0], a[3] = 10a[0], a[4] = 5a[0], a[5] = a[0]

Protože a[0] + a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + a[5] = 1, dostáváme a[0] + 5a[0] + 10a[0] + 10a[0] +
5a[0] + a[0] = 1

Stacionární rozložení: a =

ad c)


Příklad 3.: (30 bodů) Máme populaci diploidní cizosprašné rostliny, ve které sledujeme gen se dvěma
alelami a,A. Z populace náhodně vybereme jedince, sprášíme ho homozygotním jedincem typu AA a v
příštím kroku vybíráme z populace tvořené jejich potomky. Postup lze popsat pomocí homogenního
markovského řetězce   s množinou stavů J = {0,1,2}, kde stav 0 = aa, stav 1 = Aa = aA, stav 2 = AA.

a) Najděte matici přechodu P.

b) Ukažte, že řetězec je absorpční.

c) Najděte fundamentální matici M a interpretujte její prvky.

d) Vypočtěte matici přechodu do absorpčních stavů B a interpretujte její prvky.

e) Zjistěte vektor středních hodnot počtu kroků před absorpcí.


Řešení:

ad a)

ad b) Řetězec má jediný trvalý stav AA, který je absorpční, proto je řetězec absorpční.


ad c) Nejprve je nutné najít kanonický tvar matice přechodu.

. Vidíme, že , . Dále .

Interpretace: Řetězec vycházející ze stavu aa (tj. od recesivního homozygota) v něm v průměru
setrvá 1 krok než bude absorbován. Řetězec vycházející ze stavu aa setrvá ve stavu aA v průměru  2
kroky než bude absorbován. Řetězec vycházející ze stavu aA v něm v průměru setrvá 2 kroky než bude
absorbován.


ad d) .

Interpretace: Ať řetězec vychází ze stavu aa nebo aA, tak s pravděpodobností 1 bude absorbován ve
stavu AA.


ad e) .

Interpretace: Řetězec vycházející ze stavu aa bude v průměru za 3 kroky absorbován. Řetězec
vycházející ze stavu aA bude v průměru za 2 kroky absorbován.


Příklad 4.: (30 bodů) Nechť homogenní markovský řetězec  s množinou stavů
J = {1,2}  popisuje chování výrobní linky, která se v n-tém období nachází buď v provozu (stav 1)
nebo v opravě (stav 2). Dlouhodobým sledováním byla zjištěna matice přechodu: . Pomocí
vytvořujících funkcí najděte matici přechodu po n krocích P^n.

Řešení: .

det(I-zP) =

.

(Upozornění: Prvky matice  byly získány rozkladem na parciální zlomky. Např. prvek a[11 ]= .
Podobně získáme další prvky.)

 je vytvořující funkce posloupnosti a[n] = 1, n = 0, 1, 2, ...

 je vytvořující funkce posloupnosti a[n] = , n = 0, 1, 2, ...

Matici P^n lze tedy psát ve tvaru: P^n = .



Hodnocení:

(90, 100] … A, (80, 90] … B, (70, 80] … C, (60, 70] … D, (50, 60] … E, [0, 50] … F