10. Pravděpodobnostní vytvořující funkce


10.1. Definice: Nechť X je celočíselná nezáporná náhodná veličina s pravděpodobnostní funkcí .
Pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné veličiny X je dána vztahem: , kde . (Je zřejmé, že
pravděpodobnostní vytvořující funkce je speciálním případem vytvořující funkce posloupnosti .
V tomto případě totiž posloupnost  splňuje podmínku . Dále je okamžitě vidět, že
g[X](z) = E(z^X).)


10.2. Příklad: Najděte pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny X, která má rozložení:
a) Po(λ), b) Bi(n, ), c) G( ).


Řešení:

ad a) ,

ad b) ,

ad c) ,

.


10.3. Věta: Nechť g[X](z) je pravděpodobnostní vytvořující funkce celočíselné nezáporné náhodné
veličiny X s pravděpodobnostní funkcí . Pak pro k = 0, 1, 2, ... platí: .

Důkaz: Plyne z věty 9.4., protože pravděpodobnostní vytvořující funkce  je speciálním případem
vytvořující funkce.


10.4. Věta: Pro střední hodnotu a rozptyl celočíselné nezáporné náhodné veličiny X
s pravděpodobnostní vytvořující funkcí g[X](z) platí: , .

Důkaz:

Znamená to, že .


10.5. Příklad: Pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce najděte střední hodnotu a rozptyl
náhodné veličiny X ~ Po(λ).


Řešení: Podle příkladu 10.2. (a) g[X](z) = e^λ(z-1).

.

.


10.6. Věta: Nechť X[1], ..., X[n] jsou stochasticky nezávislé celočíselné nezáporné náhodné
veličiny. Pak pro pravděpodobnostní vytvořující funkci transformované náhodné veličiny  platí: .

Důkaz: .


10.7 Příklad: Nechť X[1], ..., X[n] jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, X[i] ~ A( ), i =
1, 2, .., n. Najděte pro pravděpodobnostní vytvořující funkci transformované náhodné veličiny .

Řešení: X[i] ~ A( ) , . Podle věty 10.7. ~ Bi(n, )


10.8. Věta: Nechť X[1], ..., X[n] jsou stochasticky nezávislé celočíselné nezáporné náhodné
veličiny, které mají všechny stejnou pravděpodobnostní funkci , i = 1, 2, ..., n. Pak
transformovaná náhodná veličina  má pravděpodobnostní funkci .

Důkaz: Nechť g[X](z) je pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné veličiny X[i], i = 1, 2, ...,
n. Pak podle věty 10.6. , tedy posloupnost  n-tou konvoluční mocninou posloupnosti .


10.9. Příklad: Nechť X[1], X[2] jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, přičemž X[i] ~ Bi(n,
), i = 1, 2. Pomocí věty 10.8. určete rozložení transformované náhodné veličiny Y = X[1] + X[2].

Řešení: ,

k = 0, 1, ..., 2n. Znamená to, Y  ~ Bi(2n, ).


10.10. Věta: Nechť X[1], X[2], ... je posloupnost stochasticky nezávislých celočíselných
nezáporných náhodných veličin, které mají všechny stejnou pravděpodobnostní funkci , i = 1, 2, ...
Nechť N je celočíselná nezáporná náhodná veličina nezávislá na X[1], X[2], ... s pravděpodobnostní
funkcí . Pak náhodná veličina S = X[1] + ... + X[N] (tj. součet náhodného počtu náhodných veličin)
má pravděpodobnostní funkci .

Důkaz: Použijeme vzorec pro výpočet úplné pravděpodobnosti. Označme A = {S = k}, H[n] = {N = n}.
Pak P(H[n]) = q[n], P(A/H[n]) = P(S = k/N = n) = P(X[1] + ... + X[N] = k/N = n) =
= P(X[1] + ... + X[n] = k) = {p[k]}^n*. Dále .


10.11. Definice: Rozložení náhodné veličiny S se nazývá složené rozložení.


10.12. Příklad: Nechť X[1], X[2], ... jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, přičemž X[i] ~
A( ), i = 1, 2, ... Nechť N je na nich nezávislá náhodná veličina, N ~ Po(λ). Najděte rozložení
náhodné veličiny S = X[1] + ... + X[N].


Řešení:


S ~ Po(λ ).


10.13. Věta: Pro pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny S = X[1] + ... + X[N] platí:
g[S](z) = g[N](g[X](z)).

Důkaz: .


10.14. Příklad: Pro náhodnou veličinu S z příkladu 10.12. odvoďte pravděpodobnostní vytvořující
funkci.

Řešení: X[i] ~ A( ) ,

N ~ Po(λ) , g[S](z) = g[N](g[X](z)) =  S ~ Po(λ ).


10.15. Věta: Nechť X[1], X[2], … jsou stochasticky nezávislé celočíselné nezáporné náhodné
veličiny, které mají všechny totéž rozložení se střední hodnotou  a rozptylem .Nechť N je
celočíselná nezáporná náhodná veličiny, která je nezávislá na veličinách X[1], X[2], … Pak náhodná
veličina  má střední hodnotu E(S) = E(N)  a rozptyl .

Důkaz: .

Ovšem . Analogicky

Celkem: