Obsah 1 Diferenciální rovnice 1. řádu rozřešená vzhledem k derivaci 2 1.1 Rovnice se separovanými proměnnými........................... 2 1.2 Homogenní rovnice...................................... 3 1.3 Lineární rovnice........................................ 4 1.4 Bernoulliova rovnice..................................... 5 1.5 Exaktní rovnice........................................ 6 2 Diferenciální rovnice 1. řádu nerozřešené vzledem k derivaci 7 2.1 Lagrangeova rovnice..................................... 7 2.2 Clairautova rovnice...................................... 8 3 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty 9 4 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstatními koeficienty 11 5 Systémy lineárních diferenciálních rovnic s konstaními koeficienty 14 6 Autonomní systémy 16 6.1 Lineární autonomní systémy v rovině............................ 16 6.2 Nelineární autonomní systémy v rovině........................... 17 1 Kapitola 1 Diferenciální rovnice 1. řádu rozřešená vzhledem k derivaci Obecný tvar: y' = F(x,y) 1.1 Rovnice se separovanými proměnnými v' = fix) ■ g(y) Obecný tvar řešení: _dy_ g{y) = / f(x) áx + C (1.1) (1.2) (1.3) Příklad 1.1. x2y' + y = 0 Příklad 1.2. 2y'^/x = y Příklad 1.3. y' = 2^/ylnx y(e) = = 1 Příklad 1.4. xy' + y = y2 y(i) = i 2 Příklad 1.5. (1 + y2)áx - xy(l + x2) áy = 0 2 Speciální tvar: y' = f {ax + by + c) Zavádíme substituci: z = ax + by + c => y' = — Řešíme rovnici: —t— = f (z) Příklad 1.6. y' + 1 = x + y Domáci úkol: y' = x + 2y [y = = \Ke2x - -1- -2a;] Příklad 1.7. y' = (x + y + 2)2 1.2 Homogenní rovnice l/' = /(f) Zavádíme substituci: u = | => y' = «'a; + u => u'x + u = f (x) Řešíme rovnici: u' = j(/(«) — «) Příklad 1.8. (x + 2y) da; — xdy = = 0 Příklad 1.9. y2 + x2y' = xyy' Příklad 1.10. xy1 — y = xtg- Speciální tvar: r, = ax + ßy + 7 aa; + 6y + c 1. 7 = c = 0 (a) a6 — aß = 0 => y' = honst. 3 (b) ab-aß^O 2. f + cVO (a) ab — aß ^ O y ~J [ a + bl homogenní rovnice am + ßn + 7 = 0 (bod [m; n] je průsečík dvou přímek) am + bn + c = 0 subs.: a; = u + m da; = du y = v + n dy = dv dv .(a.u + ßv\ , ., ,1/u ďí = ; ( ^ľ+^7 ) coz vede na P°Pad L(b) (b) ab-aß = 0, 6/0 = Dostáváme: y' = f a = j-a ä f(aa; + 6y)+7 aa; + by + c subs.: z = ax + 6y i/~/ (ť - a) \( j {z' -a) = f z + c rovnice se separovanými proměnnými Příklad 1.11. y' = x + 2y - 7 a; — 3 Příklad 1.12. y' = 2x + 3y -2a; + 3y - 1 5 Příklad 1.13. y' = 2a; - y + 1 " a; - 2y + 1 Příklad 1.14. y' = _ x — y + 1 ' x + y + 3 1.3 Lineární rovnice y' = a{x)y + b(x) 1. způsob řešení (a) homogenní část: y' = a{x)y - rovnice se separovanými proměnnými ig = a{x)y => y = C -eJa^áx (b) nehomogenní část: Rešní hledáme ve tvaru získaného z řešení hom. rovnice: y = C{x) -efa^dx, zderivujeme a dosadíme do zadání => C(x) = J b(x)e~ J a(x)dx (\x + K. 4 2. způsob řešení - celou rovnici vynásobíme výrazem e ■> a(x)áx y/e-fa(x)dx _ a(xjye-fa(x)dx = b^Q-J a{x) dx = b(x)e-fa(-x)áx ye ■ f a(x) dx y = e f a(x) dx b(x)e-fa{x)áxdx + C Příklad 1.15. y' = —2xy + xe Příklad 1.16. y' = x + 2y y(0) = 1 Příklad 1.17. y' = Axy + (2x + l)e2a;2 Příklad 1.18. y' cos x + 2y sin x = 2 sin x 1.4 Bernoulliova rovnice y' = a(x)y + b(x)yr Zavádíme substituci: z = yx~r => z' = (1 — r)y~ry' => y~ry' = -^ Původní rovnici vynásobíme y~r a dosadíme substituci: y~ry' = a(x)yl~r + b(x) = a{x)z + b{x) 1 — r z' = (1 — r)a{x)z + (1 — r)b(x) => lineární rovnice • pro r > 0 přidáme řešení y = 0 (1.8) Příklad 1.19. xy' — y = —xy2 Příklad 1.20. y' + y + yV = 0 5 Příklad 1.21. 3y2y' - AyA = x + 1 1.5 Exaktní rovnice M(x, y) áx + N(x, y) áy = 0 áF = Mix, y) áx + N(x, y) áy - totální diferenciál funkce F(x, y) => F(x, y) = C dF dx dF = M(x,y) — = N(x,y) (1.9) (1.10) Nutná podmínka: ^- = ^ Příklad 1.22. (3a;V + 7) da; + 2xáyáy = 0 Příklad 1.23. (ey + yex + 3) da; + (ex + xey -2)áy = 0 Pokud neplatí My = ^M- = ^ = Nx, pak lze celou rovnici vynásobit vhodným výrazem (integrační faktor), např.: lnro(i) = / —^——-da; nebo lnn(y) = / —3—^r—-áy N M (1.11) Příklad 1.24. (x2 - 3y2) da; + 2xy áy = 0 6 Kapitola 2 Diferenciální rovnice 1. řádu nerozřešene vzledem k derivaci x = f{y') y = g{y') x = f{y,y') y = g{x,y') (2.1) Zavádíme substituci: y' = -g| = p => x = x(p) => dostáváme parametrické vyjádření řešení. y = y (p) Pokud lze p osamostatnit => dosadíme a vyjádříme y = h{x). Příklad 2.1. 2y' + siny' - x = 0 Příklad 2.2. x = y + In y Příklad 2.3. (j/)^' - y = 0 Příklad 2.4. (y')3 - ^yy' + 8y2 = 0 Příklad 2.5. y = 2xy' + |a;2 + (y')2 2.1 Lagrangeova rovnice y = x f {y1) + 5 >0 => Ai,A2 eR, Ai / A2 (b) D = 0 =* A = -A (c) L> < 0 => Ai,2 = a ± /3i 2/i=eAi:c y2=ex*x 2/1 = eA:c 2/2 = xeXx 2/1 = ea:c cos ßx 2/2 = ea:c sin ßx (3.2) Příklad 3.1. y" + ôy' + 13y = 0 Příklad 3.2. y" - Ay' + Ay = 0 Příklad 3.3. 2/" - öy' + 6y = 0 9 2. ay" + by' + cy = f (x) Řešení je ve tvaru: y = yo + yp, kde yo je řešení příslušné homogenní rovnice a yp je jedno partikulární řešení. Metody hledání yp: (a) Metoda variace konstant yo = Cuyi + C122/2, Ch, C12 G R yP = C2i(x)yi + C22(x)y2: C2i(x) / -říida;, C22(x) = / i^da;, kde #iž/i + #22/2 = 0 Kiy[ + K2I/2 = /(z) C2i(a?) = f ^y dx, C22(x) = f ^y dx, kde W, W\, W2 jsou tzv. Wronckiány: W = 2/1 1/2 2/í 2/2 Wi = 0 1/2 /0*0 2/2 T^2 = 2/1 0 2/í /(») Příklad 3.4. y" - 3y' + 2y = x2 (b) Metoda neurčitých koeficientů i. f(x) = eaxQm(x) yp = xkeaxQm(x), kde k udává násobnost a jako kořene char, rovnice. ii. f(x) = eax(Pm(x) cos ßx + Qn(x) sin ßx) yp = xkeax(Pq(x) cos ßx + Qq{x) sin ßx), kde q = max{m,n}; k = 1, když a ± /3í je kořenem char, rovnice A; = 0, když a ± ßi není kořenem char, rovnice. iii. f(x) = fi(x) + J2{x) + • • • + fn(x), kde /i(a;) jsou funkce tvaru i. nebo ii. ay" + by' + cy = fi(x), i = l,...,n => ypi yP= 2/pi + 2/pi H---------f- 2/pn Příklad 3.5. y" -3y' + 2y = x2 Příklad 3.6. y" — 3y' + 2y = cos a; + siná; Příklad 3.7. y" - 3y' + 2y = x + f - e" -2x fO Kapitola 4 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstatními koeficienty y(n) + aiy(n-l) + a2y(n-2) + . . . + ^^ + ^ = f^ (4>1 1. Homogenní: Řešení hledáme ve tvaru y = C\y\ + C2J/2 + • • • + Cnyn. Příslušná charakteristická rovnice: \n + aiA™-1 + • • • + ara_iA + ara = 0 (a) A G M => y»: eAa:, a;eAa:,... xp~leXx, kde n(A) = p je násobnost kořene (b) \ = a±ßi => j/í: eaa: cos/3a;,... , a;p_1ea:i: cos/3a; ,n(A) = 2p e«a; gin /ga;). _ ; a;p_1ea:c sin ßx Příklad 4.1. y'" - 2y" - y' + 2y = 0 Příklad 4.2. yW - y(3) + y(2) - yW = 0 y(0) = ^(O) = 1; y(2)(0) = y(3)(0) = 0 Příklad 4.3. yW - 5y(3) + 6y(2) + 4?/1) - 8y = 0 2. Nehomogenní: y = yo + yP (a) Metoda variace konstant yo = CníJi + C122/2 H-------h Cirayra, CH G R, i = 1,..., n yP = C2\{x)yi + C22(x)y2 H-------h C2n(x)yn: C2i(x) = / Kidx, C22ÍX) = K2dx, ... C2n(x) = / Knáx, 11 kde Kiyi + K2y2 H-------h Knyn = O Kiy[ + K2y'2 +--- + Kny'n =0 KlV{r2) + K2yt2) + ■■■ + Knyt-2) = O Kiy{rl) + ^2yř_1) + • • • + Knyt~ x> = f(x) Příklad 4.4. y'" - y" = x2 (b) Metoda neurčitých koeficientů i. f(x) = eaxQm(x) yp = xkeaxQm(x), kde n(a) = k. ii. f(x) = eax(Pm(x) cos ßx + Qn(x) sin ßx) yp = xkeax(Pq(x) cos ßx + Qq{x) sin ßx), kde q = max{m, n} a n(a í ßi) = 2k. iii. f(x) = fi(x) + f2(x) + ■ ■ ■ + fm(x), kde fi(x) jsou funkce tvaru i. nebo ii. ay" + by' + cy = fi(x), i = l,...,m => ypi yP= yPi+ Vpi h-------i- yPm Příklad 4.5. 1/"' -y"- = x2 Příklad 4.6. v"' + 2y" + y' = - _2e-2x Příklad 4.7. yW -2y (3) +y(2) = ex + x3 Pokud je u + iv řešením rovnice: y{n) + any(ra_1) + • • • + ara_iy' + any = P(x)eax(cosßx + isinßx) = P(x)e{a+ßi)x (4.2) pak u je řešením y{n) + a^^-1) + • • • + an-iy' + aray = P(a;)era cos ßx (4.3) a f je řešením y{n) + Onj/^-1) + • • • + an.iy' + any = P(x)eax sin /3a; (4.4) 12 Příklad 4.8. y" — y = {x — 1) sin 2x Příklad 4.9. y^ + 8y^ + 16y = cos a? Příklad 4.10. y'" + y" + y' + y = 2 cos a? 13 Kapitola 5 Systémy lineárních diferenciálních rovnic s konstaními koeficienty ý = Ay+b y=(yi,V2,...,yn)', A = (oij)itj=1 i5-1 1. b = 0 - dostáváme n lineárně nezávislých řešení y\,y2, ■ ■ ■ ,yn> které tvoří fundamentální systém. Obecné řešní je tvaru: y = Ciyi + C2y2 + • • • + Cnyn, (5.2) kde Yi = teXx, (5-3) h / 0; A jsou vl. čísla matice A a h jsou příslušné vl. vektory. (a) Ai,..., Xm G R, n(Xi) = l,i = l,...,m yi = h1eXíX,y2 = h2ex*x, ...,yn = hmex™x (b) n(Xi) =p>l yn = hieXiX,yi2 = h2xeXiX, ...,yip = hpxp-leXiX (c) X = a±ßi => h je vlastní vektor a platí eXx h = /lí + vi y\ = m y\ = v Příklad 5.1. y[ = y\- 2y2 2/2 = -V\ + 22/2 Příklad 5.2. y[ = yx - y2 + y3 2/2 = 2/1+2/2- 2/3 2/3 = - 2/2 + 2y3 14 Příklad 5.3. y[ = y1 - y2 - 2/3 2/2 = 2/1 + 2/2 2/3 = 32/i + 2/3 Příklad 5.4. y^ = y1 — 3y2 2/2 = 32/i + 2/2 Příklad 5.5. yí = 2/1+2/2 2/2 = ~22/i + 32/2 2. Ä(aľ) ^ tf (a) b{x) = Pm(x), pokud 0 není vl. číslo yp = P^{x) y = yo + yP (5.4) Příklad 5.6. y[ = yi — y2 + x 2/2 = 22/1+2/2-1 (b) b(x) = eaxPm(x). Zavedeme substituci: y = eaxu, po dosazení převedeme na předchozí případ. Příklad 5.7. y[ = yi - 2y2 + ex 2/2 = 2/1+ 22/2 - xeř (c) 61 (a;) = ea:cPTO(a;)cos/3a; 62(0;) = eaxPm(x) sin/3a; Je-li y = u + iv řešením / = Ay + e^a+l^:2:Pm(a;), pak u je řešením j/ = Ay + 6i(a;) a v je řešením / = Ay + 62 (#) • Příklad 5.8. y[ = y2 + cos x 2/2 = 2/1-2/2+ a; 15 Kapitola 6 Autonomní systémy 6.1 Lineární autonomní systémy v rovině V = Ay yí),A=(a b. (6.1) Typy stacionárního bodu (0,0): 1. Ai,A2 G MA AiA2 > 0 => uzel 2. Ai,A2 GMAA1A2 <0 => sedlo 3. Ai;2 = ±ßi => střed 4. Ai;2 = a ± ßi, a / 0 => ohnisko Nulkliny: množiny, kde platí y\ = 0 Určení typu stacionárního bodu: detd < 0 => sedlo (6.2) det/l > 0 A trA2 - 4det/l > 0 => uzel (6.3) A tr/J2 - MetA < 0 => ohnisko (6.4) A tvA = 0 => střed (6.5) Příklad 6.1. a;' = 3x + 4y 2/' = 2x + y Příklad 6.2. x' = 2y - 3x y' = x — 4y Příklad 6.3. a;' = 6x — 5y 2/' = a; + 3y 16 Příklad 6.4. x' = 3x + y y' = y-x Příklad 6.5. x' = x — y y' = 2x-y Příklad 6.6. x' = 3x y' = 3y 6.2 Nelineární autonomní systémy v rovině y[ =/(í/i > í/2) í/2 =9(yi,V2) (6 Stacionárni bod y= (2/1,2/2) splňuje podmínku: /(2/i,2/2) = #(2/1,2/2) = 0 Variační matice: -/(í/i, í/2) = í Ai, A2 jsou vi. čísla matice J{2/1,2/2): 1. pokud je det(7(j/i, 2/2)) < 0 pak A1A2 < 0 2. pokud je det(V(j/i, 2/2)) > 0 a navíc platí: (a) 4det(V(2/i,2/2) < tr(V(2/i,2/2))2, pak tr(7(2/i, 2)2)) < Opak Ai;2 <0 => tr(J(2/i,2)2)) > 0 pak Ai)2 > 0 => (b) 4det(J(2/i,2/2) > tr(J(2/i,2/2))2, pak tr(7(2/i, 2)2)) < Opak Ai;2 <0 => tr(7(2/i, 2)2)) > Opak Ai;2 >0 => 'df(yi,V2) dyi 9g(yi,y2) 9yi df(yi,V2)* dy2 dgjyím) 9y2 (6 ý je sedlo; ý je stabilní uzel; y je nestabilní uzel; ý je stabilní ohnisko; ý je nestabilní ohnisko; (c) tr(7(2/i,2/2)) = 0 pak ý je bod rotace nebo ohnisko. 17 Příklad 6.7. x' = 3x + Ay - 5 y' = 2x + y Příklad 6.8. x' = -2x + y - 6x3 + 9y5 y1 = -x-2y + 2x3 - 3y5 Příklad 6.9. x' = x2 + y2 - 6x - 8y y' = x(2y — x + 5)