SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA 1
MARTIN KOLÁŘ
Obsah
1 Fourierovy řady 3
1.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Motivační příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Trigonometrické polynomy a řady . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Komplexní tvar trigonometrických polynomů a řad . . . . . . 6
1.1.4 Výpočet koeficientů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Dirichletova věta o bodové konvergenci . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 L2
-teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Úplnost a Parsevalova rovnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Úplnost a uzavřenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Symetrické operátory a ortogonální systémy . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1 Sturmův-Liouvilleův operátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.2 Legendreovy polynomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Fejérova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6.1 Cesárovy součty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6.2 Fejérova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Gibbsův jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Fourierova transformace 26
2.1 Definice a základní vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1 Základní vlastnosti Fourierovy transformace . . . . . . . . . . 27
2.2 Věta o inverzní transformaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Aproximace identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Věta o inverzní transformaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Korelace a autokorelace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Fourierova transformace funkcí z L2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.1 Parsevalova rovnost a Plancherelova věta . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Centrální limitní věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6 Princip neurčitosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Fourierova transformace v Rn
40
3.1 Definice a základní vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.1 Základní vlastnosti Fourierovy transformace . . . . . . . . . . 40
3.2 Věta o inverzní transformaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1
3.2.1 Věta o inverzní transformaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Řešení rovnice vedení tepla na přímce . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Zobecněná Fourierova transformace 44
4.1 Testovací funkce a distribuce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Operace na distribucích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Fourierova transformace distribucí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2
Kapitola 1
Fourierovy řady
1.1 Úvod
1.1.1 Motivační příklad
Z hlediska historie vznikla teorie Fourierových řad v matematické fyzice, při snaze
najít řešení rovnice vedení tepla.
Uvažujme šíření tepla v tenké tyči z homogenního materiálu, kterou modelujeme
jako jednorozměrné těleso. Budeme předpokládat, že délka tyče je rovna  (toho
můžeme vždy dosáhnout volbou jednotek délky). Modelem tyče bude úsečka na
reálné ose s hraničními body 0 a .
Teplotu tyče v počátečním čase t = 0 popisuje funkce u0(x) pro x  0,  .
Předpokládejme, že ji známe. Zajímá nás, jak se bude teplo v tyči šířit pro t > 0.
Teplotu v bodě x a čase t bude popisovat funkce u(x, t).
Z fyzikálních zákonu plyne, že funkce popisující teplotu splňuje diferenciální rov-
nici
ut(x, t) = uxx(x, t) (1.1)
pro všechna x  (0, ) a t > 0.
K tomu, abychom mohli určit funkci u(x, t), musíme ješte vědět, co se děje na
koncích tyče. Budeme uvažovat nejjednodušší situaci (z matematického hlediska),
kdy na koncích tyče udržujeme stále nulovou teplotu.
Celkem tedy chceme řešit rovnici (1.1), s počáteční podmínkou
u(x, 0) = u0(x)
pro x  0,  a okrajovými podmínkami
u(0, t) = u(, t) = 0
pro t  0. Pro některé speciální počáteční podmínky není těžké řešení najít. Je-li
u0(x) = sin x, (1.2)
3
pak dvojnásobným derivováním podle x dostaneme
d2
dx2
u0(x) = - sin x,
tedy původní funkci s opačným znaménkem. Pokud najdeme funkci f proměnné t,
která při jednonásobném derivováním podle t změní znaménko, bude součin f(t) sin x
zřejmě řešením rovnice. Pokud navíc bude hodnota f v bodě t = 0 rovna jedné, bude
splňena i počáteční podmínka. Řešení úlohy
f (t) = -f(t), f(0) = 1
najdeme snadno, je to funkce
f(t) = e-t
.
Tak jsme našli jedno řešení naší úlohy se speciální počáteční hodnotou (1.2),
u(x, t) = sin xe-t
.
Stejnou úvahu můžeme udělat i pro další počáteční hodnoty tvaru
u0(x) = sin nx,
pro libovolné přirozené číslo n. Máme
d2
dx2
u0(x) = -n2
sin x,
potřebujeme tedy najít funkci splňující
f (t) = -n2
f(t), f(0) = 1,
t.j.
f(t) = e-n2t
.
Celkem dostaneme řešení
u(x, t) = sin nxe-n2t
.
Zdá se, že jsme se příliš daleko nedostali, máme několik příkladů řešení pro velmi
speciální počáteční hodnoty teploty. Teď ale můžeme využít toho, že jak rovnice vedení
tepla, tak počáteční podmínka, jsou lineární. Když tedy bude počáteční teplota
konečnou lineární kombinací funkcí sin nx,
u0(x) =
N
n=1
bn sin nx,
bude řešení odpovídající kombinací speciálních řešení,
u(x, t) =
N
n=1
bn sin nxe-n2t
.
4
Zůstává otázka, jaké funkce je možné vyjádřit jako konečnou lineární kombinaci
funkcí sin nx.
Všechno, co jsme zatím řekli, bylo známo před Fourierovou prací. Fourier uvažoval
předchozí argument pro nekonečné lineární kombinace a vyslovil ve své době
velmi odvážnou doměnku, že každou funkci splňující f(0) = f() = 0 lze napsat
jako nekonečnou lineární kombinaci funkcí sin nx a obecnou funkci pak jako nekonečnou
lineární kombinaci funkcí sin nx a cos nx. Tak by bylo možné najít obecné
řešení rovnice vedení tepla.
Fourierova hypotéza: Každou "rozumnou" funkci na omezeném intervalu lze
napsat jako nekonečnou lineární kombinaci funkcí sin nx a cos nx.
1.1.2 Trigonometrické polynomy a řady
Definice 1.1.1. Trigonomotrický polynom je výraz tvaru
a0
2
+
N
n=1
an cos nx + bn sin nx,
kde an, bn jsou reálné, případně komplexní konstanty. Trigonometrický polynom
představuje poměrně jednoduše analyzovatelnou funkci zadanou konečným počtem
konstant. Pomocí těchto funkcí bychom rádi aproximovali libovolně složité funkce.
Částečná analogie této situace je známá ze základů matematické analýzy. Podle
Taylorovy věty můžeme každou funkci n-krát diferencovatelnou v bodě x0 aproximovat
v okolí tohoto bodu pomocí Taylorova polynomu stupně n.
Z praktického hlediska má Taylorův polynom dvě nevýhody. Předpoklad nnásobné
diferencovatelnosti je značně omezující a často není splňen. Druhým nedostatkem
je to, že dává pouze lokální aproximaci na okolí daného bodu, o jehož
velikosti nemáme apriori žádnou informaci.
Oba tyto nedostatky odstraňuje tzv. Weierstrassova věta, která dává globální
stejnoměrnou aproximaci polynomy pro libovolnou spojitou funkci. Tuto větu dokážeme
jako důsledek tvrzení o aproximaci trigonometrickými polynomy.
Vedle trigometrických polynomů nás budou zajímat jejich nekonečné analogie trigonometrické
řady.
Definice 1.1.2. Trigonometrická řada je nekonečná funkční řada tvaru
a0
2
+

n=1
an cos nx + bn sin nx.
Tuto řadu uvažujeme jako formální řadu a budeme se mimo jiné zajímat otázkami
její konvergence. Částečným součtem trigonometrické řady je trigonometrický poly-
nom
sn(x) =
a0
2
+
n
k=1
ak cos kx + bk sin kx.
5
1.1.3 Komplexní tvar trigonometrických polynomů a řad
V řadě případů je jednodušší pracovat s komplexním tvarem trigonometrických polynomů
a řad. Klíčem pro převod mezi reálným a komplexním tvarem je Eulerův
vzorec pro komplexní exponenciálu
eiy
= cos y + i sin y,
pro libovolné y  R. Existuje řada různých důkazů tohoto vztahu, jedním z nich je
důkaz pomocí mocninných řad, který předpokládá znalost Taylorova rozvoje exponenciály.
Pro komplexní exponenciálu platí stejný rozvoj do mocninné řady jako pro
reálnou, tedy
ez
=

n=0
zn
n!
pro libovolné z  C. Pro z = iy tedy máme
eiy
=

i=0
(iy)n
n!
= 1 -
y2
2!
+
y4
4!
+ . . . + i(
y
1!
-
y3
3!
+ . . .) = cos y + i sin y.
Dosazením do reálného tvaru trigonometrického polynomu
cos nx =
enx
+ e-nx
2
, sin nx =
enx
- e-nx
2i
dostaneme komplexní tvar trigonometrického polynomu
f(x) =
N
n=-N
cneinx
,
kde vztahy mezi koeficienty an, bn a cn jsou následující. Pro n > 0 je
cn =
1
2
(an - ibn),
pro n < 0 je
cn =
1
2
(a-n - ib-n),
a
c0 =
a0
2
.
Stejné vztahy platí pro komplexní tvar trigonometrické řady

n=-
cneinx
.
6
1.1.4 Výpočet koeficientů
Nejdříve budeme uvažovat situaci, kdy trigonometrická řada konverguje a jejím součtem
je f(x). Na prostoru spojitých (reálných nebo komplexních) funkcí na intervalu
-,  definujeme skalární součin vztahem
(f, g) =

-
f(x)g(x)dx,
který je přímou analogií Euklidovského skalárního součinu v Rn
.
Věta 1.1.3. Nechť f je součtem trigonometrické řady
f(x) =
a0
2
+

n=1
an cos nx + bn sin nx, (1.3)
a předpokládejme, že řada konverguje stejnoměrně na intervalu -,  . Pak pro její
koeficienty platí
an =
1


f(x)
cos nxdx (1.4)
a
bn =
1


f(x)
sin nxdx. (1.5)
Důkaz je založen na ortogonálních vlastnostech systému funkcí {1, cos nx, sin nx},
které shrnuje následující lemma.
Lemma 1.1.4. Systém funkcí {1, cos nx, sin nx} je ortogonální systém, t.j. pro libovolné
dvě navzájem různé funkce 1, 2 z tohoto systému platí
(1, 2) = 0.
Navíc platí následující vztahy
(cos mx, cos mx) = (sin mx, sin mx) = 
a (1, 1) = 2.
Důkaz: Zřejmě platí

sin
nxdx =

cos
nxdx = 0.
Odtud máme například

cos
mx cos nxdx =

cos(n
+ m)x + cos(m - n)xdx = 0.
Podobně dostaneme ostatní vztahy.
7
Důkaz Věty 1.1.2. Vztah 1.3 vynásobíme cos mx a zintegrujeme:

f(x)
cos nxdx =

-
a0
2
+

n=1
an cos nx + bn sin nx cos mxdx =
=

-
a0
2
cos mxdx +

n=1
an

cos
mx cos nx + bn

cos
mx sin nxdx =
= am.
Záměna sumy a integrálu je možná díky stejnoměrné konvergenci. Tedy
an =
1


f(x)
cos nxdx
a analogicky pro bn a a0.
1.2 Dirichletova věta o bodové konvergenci
Viděli jsme, že za předpokladu stejnoměrné konvergence je vztah mezi součtem
trigonometrické řady (1.3) a jejími koeficienty dán vztahy (1.4), (1.5). Z hlediska
aplikací taková věta zdaleka nestačí, často chceme analyzovat funkce, u kterých
víme, že konvergence být stejnoměrná nemůže (například u funkcí s jednoduchými
nespojitostmi - součtem řady při stejnoměrné konvergenci musí být spojitá funkce).
Teď náš pohled obrátíme. Budeme definovat Fourierovy koeficienty pro co nejširší
třídu funkcí, pro než maji integrály (1.4), (1.5) smysl. Pak se budeme zajímat o to, za
jakých podmínek výsledná řada konverguje a jaký je vztah jejího součtu a původní
funkce.
Přirozenou třídou funkcí, pro které je (1.4) a (1.5) dobře definováno, jsou funkce
absolutně integrovatelné. Označíme
L1
( -,  )
prostor všech funkcí f(x) takových, že

|f(x)|dx
< .
Je-li f  L1
( -,  ), pak automaticky
|f(x) sin nx|  |f(x)|,
a analogicky pro f(x) cos nx a f(x)einx
. Integrály jsou tedy konečné a Fourierovy
koeficienty dobře definované.
8
Definice 1.2.1. Nechť f  L1
( -,  ). Reálné Fourierovy koeficienty funkce f
definujeme vztahy (1.4) a (1.5). Komplexní Fourierovy koeficienty jsou definovány
vztahem
ck =
1
2

-
f(x)e-ikx
dx.
Píšeme f  (ak, bk) a f  (ck). Formální mocninné řady vzniklé z těchto koeficientů
se nazývají (reálná, resp. komplexní) Fourierova řada funkce f.
Definice 1.2.2. Funkce f je po částech hladká na intervalu -,  , jestliže existuje
dělení tohoto intervalu na konečně mnoho podintervalů tak, že na každém z podintervalů
lze f a f spojitě rozšířit na uzávěr tohoto intervalu.
Pro po částech hladkou funkci jsou dobře definovány jednostranné limity
f(x+) = lim
u0+
f(x + u)
a
f(x-) = lim
u0f(x
+ u)
pro libovolné x  -,  a analogicky pro f .
Věta 1.2.3. (Dirichletova) Nechť f je po částech hladká na -,  . Pak Fourierova
řada funkce f konverguje v každém bodě tohoto intervalu k
1
2
[f(x+) + f(x-)].
Speciálně, je-li f spojitá v bodě x, pak řada konverguje k f(x).
Důkaz: Nechť (ak, bk) jsou Fourierovy koeficienty funkce f. Chceme dokázat, že
lim
n
sn(x) = lim
n
(
a0
2
+
n
k=1
ak cos kx + bk sin kx) =
1
2
[f(x+) + f(x-)].
Nejdříve dosadíme za ak a bk,
sn(x) =
1
2

f(t)dt
+
n
k=1
1


f(t)(cos
kt cos kx + sin kt sin kx)dt.
Použitím trigonometrické identity
cos( - ) = cos  cos  + sin  sin 
dostaneme
sn(x) =
1


-
f(t)
1
2
+
n
k=1
cos k(t - x) dt.
Ukážeme, že pro součet na pravé straně platí
1
2
+
n
k=1
cos ku =
sin(n + 1
2
)u
2 sin(u
2
)
.
9
Opravdu, z trigonometricke identity
2 sin
u
2
cos ku = sin(k +
1
2
)u - sin(k -
1
2
)u
sečtením přes k dostaneme
2
n
k=1
sin
u
2
cos ku = sin(n +
1
2
)u - sin
1
2
u,
odkud po vydělení 2 sin u
2
plyne tvrzení. Je tedy
sn(x) =
1


-
f(t)
sin(n + 1
2
)(x - t)
2 sin(x-t
2
)
dt.
Rozšíříme f na 2-periodickou funkci na R a položíme u = t - x. Tím se integrál
převede na interval - - x,  - x . Protože ale integrovaná funkce má periodu 2,
bude jeho hodnota stejná, když budeme opět integrovat přes interval -,  . Tedy
sn(x) =
1


f(x
+ u)
sin(n + 1
2
)u
2 sin(u
2
)
du.
Označíme
s+
n (x) =
1


0
f(x + u)
sin(n + 1
2
)u
2 sin(u
2
)
du
a dokážeme, že
lim
n
s+
n (x) =
1
2
f(x+).
Zcela analogicky se dokáže
lim
n
sn
(x) =
1
2
f(x-),
kde
sn
(x) =
1

0
f(x
+ u)
sin(n + 1
2
)u
2 sin(u
2
)
du.
Víme, že
1


f(x
+ u)
sin(n + 1
2
)u
2 sin(u
2
)
du =
1
2
,
neboť v uvažovaném součtu dají všechny členy při integrování nulu, s výjimkou
konstantního členu 1
2
. Vynásobíme obě strany rovnice f(x+) a odečteme od vztahu
pro s+
n (x). Dostaneme
s+
n (x) -
1
2
f(x+) =
1


0
sin(n + 1
2
)(u)
2 sin(u
2
)
[f(x + u) - f(x+)]du.
Ale funkce
g(u) =
[f(x + u) - f(x+)]
2 sin(u
2
)
je po částech spojitá (limita pro u  0 existuje podle L'Hospitalova pravidla).
Tvrzení tedy plyne z Riemann-Lebesgueova lemmatu, které dokážeme později.
10
1.3 L2
-teorie
V této části budeme uvažovat funkce na obecném intervalu a, b s hodnotami v C
a prostor
L2
( a, b )
obsahující funkce, pro které
b
a
|f(x)|2
dx < .
L2
( a, b ) je Hilbertův prostor (nekonečněrozměrná analogie Euklidovského prostoru)
se skalárním součinem
(f, g) =
b
a
f(x)g(x)dx.
Skalární součin indukuje, stejně jako v Euklidovském prostoru, na L2
( a, b ) normu
f =
b
a
|f(x)|2
dx
1
2
a také metriku. Vzdálenost dvou funkcí je číslo
(f, g) = f - g =
b
a
|f(x) - g(x)|2
dx
1
2
.
Definice 1.3.1. Systém funkcí {k}
k=0 se nazývá ortogonální systém, jestliže
(n, m) = 0
pro každé n = m. Nazývá se ortonormální systém, jestliže navíc platí
(n, n) = 1
pro všechna n  N.
Definice 1.3.2. Nechť {k}
k=0 je ortonormální systém. Čísla
ck =
b
a
f(x)k(x)dx
se nazývají Fourierovy koeficienty funkce f vzhledem k systému {k}
k=0. Formální
funkční řada 
k=0
ckk
se nazývá Fourierova řada.
11
Základními příklady ortonormálních systémů jsou pro nás reálný systém (T) tvořený
normalizovanými siny a kosiny, a komplexní systém (E) tvořený komplexními
exponenciálami.
Pomocí Fourierových koeficientů definujeme funkce
fN =
N
k=0
ckk
Našim cílem je zjistit, za jakých podmínek konverguje fN pro N   k funkci f.
Konvergencí v tomto případě rozumíme konvergenci v normě prostoru L2
. Následující
lemma ukazuje, že fN je nejlepší aproximací f mezi všemi lineárními kombinacemi
funkcí 1, 2, . . . N .
Lemma 1.3.3. Nechť {k}
k=0 je ortonormální systém a f  L2
. Pak pro libovolná
komplexní čísla d1, . . . , dN platí
f -
N
j=0
djj  f - fN .
Rovnost přitom nastane pouze tehdy, je-li dj = cj pro všechna j = 0, . . . , N.
Důkaz: Máme
f -
N
j=0
djj
2
= (f -
N
j=0
djj, f -
N
j=0
djj) =
= (f, f) - (f,
N
j=0
djj) - (
N
j=0
djj, f) + (
N
j=0
djj,
N
j=0
djj) =
= f 2
-
N
j=0
cj
dj -
N
j=0
cjdj +
N
j=0
dj
dj =
= f 2
+
N
j=0
|cj - dj|2
-
N
j=0
|cj|2
.
První a poslední člen nezávisí na koefientech dj, prostřední člen je nezáporný a
minimalizuje se právě tehdy, když dj = cj pro j = 0, . . . , N.
Pro dk = ck dostaneme z výpočtu v předchozím lemmatu jako důsledek Besselovu
identitu
f 2
=
N
j=0
|cj|2
+ f -
N
j=0
cjj
2
.
Protože druhý člen na pravé straně je nezáporný, dostáváme pro N   jako další
důsledek nerovnost
N
j=0
|cj|2
 f 2
.
12
Tedy řada

j=0
|cj|2
má omezenou posloupnost částečných součtů, která je zřejmě neklesající. Je tedy
konvergentní a platí Besselova nerovnost

j=0
|cj|2
 f 2
.
Besselova identita dává důležitou ekvivalentní podmínku pro konvergenci Fourierovy
řady k funkci f.
Lemma 1.3.4. Fourierova řada 
k=0
ckk
konverguje v normě L2
k funkci f právě tehdy, když platí Parsevalova rovnost

j=0
|cj|2
= f 2
.
Důkaz: fN konvergují k funkci f v normě L2
právě tehdy, když čísla
f -
N
j=0
cjj
2
konvergují k nule pro N  . Podle Besselovy identity je to ekvivalentí tomu, že
platí

j=0
|cj|2
= f 2
.
Připomeňme si, že v každém prostoru se skalárním součinem platí CauchySchwartzova
nerovnost. Pro každé dvě funkce f, g  L2
( a, b ) je
|(f, g)|  f g .
Důsledkem Cauchy-Schwartzovy nerovnosti je následující lemma o spojitosti skalárního
součinu (v metrice, kterou indukuje).
Lemma 1.3.5. Nechť fn  f a gn  g pro n   v L2
. Pak
(fn, gn)  (f, g).
13
Důkaz: Máme
(fn, gn) = (f + fn - f, g + gn - g) =
= (f, g) + (fn - f, g) + (f, gn - g) + (fn - f, gn - g)  (f, g)
pro n  , protože
|(fn - f, g)|  fn - f g  0
pro n   podle Cauchy-Schwartzovy nerovnosti. Analogicky pro další dva členy.
Věta 1.3.6. (Rieszova-Fischerova) Nechť {ck}
k=0 je posloupnost taková, že

n=0
|ck|2
konverguje. Pak existuje funkce, jejíž Fourierovy koeficienty jsou rovny ck, a řada

k=0
ckk
konverguje k f v normě L2
.
Důkaz: L2
je úplný metrický prostor, platí v něm tedy Bolzano - Cauchyho podmínka:
posloupnost fn konverguje právě tehdy, když platí
b
a
|fn - fm|2
dx  0
pro n, m  . V našem případě je
fn =
n
k=0
ckk,
tedy pro n > m je
b
a
|fn - fm|2
dx =
m
n+1
|ck|2
 0
pro n, m  , protože číselná řada 
0 |ck|2
konverguje a splňuje tak BolzanoCauchyho
podmínku pro posloupnosti reálných čísel. Existuje tedy funkce f  L2
tak, že fn  f v L2
. Zbývá dokázat, že (ck) jsou Fourierovy koeicienty funkce f. To
je obsahem následujícího lemmatu.
Lemma 1.3.7. Nechť
fn =
n
k=1
ckk  f
pro n   v L2
. Pak 
k=0 ckk je Fourierova řada funkce f, t.j. cn jsou Fourierovy
koeficienty f.
Důkaz: Je
(f, m) =
b
a
f mdx = lim
n
b
a
fn
mdx = lim
n
cm = cm,
podle lemmatu 1.3.5
14
1.4 Úplnost a Parsevalova rovnost
Definice 1.4.1. Ornonormální systém {k}
k=0 se nazývá úplný, jestliže platí: pokud
je pro nějakou funkci (f, n) = 0 pro všechna n, pak f = 0. Neexistuje tedy nenulová
funkce kolmá na všechny n.
Věta 1.4.2. Nechť {k}
k=0 je úplný ortonormální systém a (ck) jsou Fourierovy
koeficienty funkce f. Pak

k=0
ckk
konverguje v normě L2
k funkci fa platí tedy Parsevalova rovnost

j=0
|cj|2
= f 2
.
Důkaz: Víme, že

j=0
|cj|2
< ,
podle Besselovy nerovnosti. Funkce f je tedy rovna funkci z Riesz-Fischerovy věty.
Z úplnosti systému totiž plyne, že koeficienty (ck) určují f jednoznačně. Je-li také
g  (ck), pak (f - g)  (0), a tedy f = g.
Věta 1.4.3. Nechť f a g jsou funkce z L2
, kde f  (ck), g  (dk). Pak platí
b
a
fgdx =

j=0
cj
dj.
Tedy zobrazení f  (ck) z L2
do l2
je izomorfismus (zachovává skalární součin).
Důkaz: Je
b
a
fngdx =
n
j=0
cm
b
a
mgdx =
n
j=0
cj
dj.
Ale pro n   je fn  f v L2
a pravá strana konverguje k 
j=0 cj
dj. Celkem tedy
b
a
fgdx =

j=0
cj
dj.
15
1.4.1 Úplnost a uzavřenost
Nechť {k}
k=0 je systém funkcí z L2
. Označme k prostor všech konečných lineárních
kombinací funkcí z {k}
k=0, t.j.
g  k  g =
n
k=0
dkk
pro nějaké n  N a dk  C.
Definice 1.4.4. Systém {k}
k=0 se nazývá uzavřený, jestliže prostor k je hustý
podprostor L2
.
Věta 1.4.5. {k}
k=0 je úplný právě tehdy, když je uzavřený.
Důkaz: Tvrzení stačí dokázat pro ortonormální systém, neboť každý systém lze
ortonormalizovat. Nechť {k}
k=0 je úplný systém a f  L2
. Podle Věty 1.4.2 je
fn  f v L2
, ale fn  k , tedy k je hustý.
Naopak, nechť {k}n
k=0 je hustý a f  L2
má všechny Fourierovy koeficienty
rovny nule, t.j. (f, n) = 0 pro všechna n. Z hustoty plyne existence posloupnosti
funkcí n  k tak, že n  f v L2
, t.j. n - f  0 pro n  . Ale fn jsou
nejlepší aproximací, tedy i fn  f. Ale fn = 0, tedy i f = 0. Odtud plyne, že
{k}
k=0 je úplný systém.
Uzavřenost, a tedy i úplnost systémů (T) a (E), dokážeme později, jako aplikaci
Fejérovy věty.
1.5 Symetrické operátory a ortogonální systémy
V této části ukážeme nejčastější původ ortogonálních systémů funkcí, jako systému
vlastních funkcí nějakého symerického diferenciálního operátoru.
Funkce cos kx a sin kx z trigonometrického systému (T) řeší diferenciální rovnici
y = -k2
y,
jsou to tedy vlastní funkce diferenciálního operátoru d2
dx2 příslušné vlastnímu číslu
-k2
.
Obecněji, nechť V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem ( , ) a
L : V  V je lineární zobrazení. Přitom definiční obor L nemusí být celé V .
Nenulová funkce f  V je vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu , pokud
Lf = f.
L je symetrický operátor, je-li
(Lf, g) = (f, Lg)
pro každé f, g  V , pro než je L definován.
16
Příklad 1.5.1. Nechť L = d2
dx2 . Jako definiční obor L uvažujme C2
( -,  ).
Chceme zjistit, zda je L symetrický operátor. L bude symetrický, je-li (Lf, g) =
(f, Lg), tedy

f
(x)g(x)dx =

f(x)g
(x)dx.
Po dvojnásobné integraci per partes dostaneme

f
(x)g(x) =

f(x)g
(x)dx+
+f ()g() - f (-)g(-) - f()g () + f()g ().
L tedy bude symetrický, pokud omezíme definiční obor na podprostor, na kterém
jsou zintegrované členy na posledním řádku rovny nule. Můžeme tedy například
požadovat splnění Dirichletovy podmínky v koncových bodech intervalu
h() = h(-) = 0.
kterou splňují také funkce sin kx, nebo splnění Neumannovy podmínky
h () = h (-) = 0,
kterou splňují funkce cos kx.
Následující věta popisuje souvislost symetrických operátorů s ortogonálními sys-
témy.
Věta 1.5.2. Nechť L je symetrický lineární operátor definovaný na vektorovém prostoru
V se skalárním součinem. Jsou-li f1, f2 vlastní vektory odpovídající různým
vlastním číslům 1, 2, pak f1, f2 jsou ortogonální.
Důkaz: Nechť Lf1 = 1f1 a Lf2 = 2f2. Je
(Lf1, f2) = (1f1, f2) = 1(f1, f2)
a
(f1, Lf2) = (f1, 2f2) = 2(f1, f2).
Ze symetričnosti jsou si obě hodnoty rovny. Ale 1 = 2, tedy (f1, f2) = 0.
1.5.1 Sturmův-Liouvilleův operátor
Uvažujme teď Sturmův-Liouvilleův operátor
Lf = (pf ) + qf,
kde p je jednou spojitě diferencovatelná a q je spojitá na intervalu a, b . Jako
speciální případ pro p  1 a q  0 dostaneme L = d2
dx2 .
17
Zajímá nás opět, kdy bude L symetrický. Po dvojnásobném integrování per partes
dostaneme
(Lf, g) =
b
a
((pf ) + qf)gdx =
b
a
((pg ) + qg)fdx + pf g|b
a - pg f|b
a.
Musíme se tedy omezit na funkce splňující
p(f g - g f)|b
a = 0.
Na rozdíl od předchozího operátoru může být podmínka splněna vždy, pokud je
p(a) = p(b) = 0. Tak tomu bude v následujícím příkladu.
1.5.2 Legendreovy polynomy
Uvažujme speciální případ Sturmova-Liouvilleova operátoru
Lf(x) = (1 - x2
)f (x) - 2xf (x),
který dostaneme pro p(x) = 1 - x2
a q(x) = 0. Tedy L je symetrický operátor na
intervalu -1, 1 bez hraničních podmínek, neboť p(1) = p(-1) = 0.
Hledání vlastních funkcí vede na řešení Legendreovy rovnice indexu n
(1 - x2
)y - 2xy + n(n + 1)y = 0.
Přímým výpočtem lze ověřit, že jejím řešením jsou Legendreovy polynomy
Pn(x) =
1
2nn!
dn
dxn
(x2
- 1)n
, n = 0, 1, 2, . . . .
Pn je tedy vlastní funkce operátoru L odpovídající vlastnímu číslu -n(n + 1).
Tedy podle Věty 1.5.2 tvoří Legendreovy polynomy ortogonální systém.
Opět přímým výpočtem dostaneme
1
-1
P2
n (x)dx =
2
2n + 1
, n = 0, 1, 2, . . . ,
tedy funkce
n(x) =
2n + 1
2
Pn(x)
tvoří ortonormální systém.
Nejlepší aproximací funkce f mezi všemi polynomy stupně n v prostoru L2
je
tedy polynom
n
k=0
ckPk(x),
kde
ck =
2k + 1
2
1
-1
f(x)Pk(x)dx.
18
1.6 Fejérova věta
Od obecné teorie se vrátíme zpět ke konkrétní situaci trigonometrických řad na
intervalu -,  . Je-li f  (ck), označíme
sn(x) =
n
k=-n
ckeikx
částečný součet Fourierovy řady.
Víme, že sn je nejlepší aproximací f v L2
, ale nemusí bodově konvergovat k f.
Ukážeme, že existuje lepší volba trigonometrického polynomu, pro kterou dostaneme
konvergenci (dokonce stejnoměrnou) pro libovolnou spojitou funkci.
1.6.1 Cesárovy součty
Lemma 1.6.1. (i) Je-li {Sn}
n=0 posloupnost komplexních čísel a Sn  S pro n 
, pak také posloupnost aritmetických průměrů
An =
1
n + 1
n
j=0
Sj
konverguje k S.
(ii) Existuje posloupnost {Sn}
n=0, která nemá limitu, taková, že posloupnost An
limitu má.
Důkaz: (i) Nechť je dáno  > 0. Odhadneme
|(
1
n + 1
n
j=0
Sj) - S| =
1
n + 1
|
n
j=0
(Sj - S)| 
1
n + 1
n
j=0
|Sj - S|.
Víme, že existuje N() tak, že |Sn - S| < 
2
pro n > N(). Označme
A =
N()
j=0
|Sj - S|.
Existuje M()  N() tak, že
2A

< M().
Pro n > M()je
1
n + 1


N()
j=0
|Sj - S| +
n
j=N()+1
|Sj - S|

 <
A
n + 1
+

2
<

2
+

2
< .
19
(ii) Příkladem posloupnosti, která nekonverguje, ale má konvergentní posloupnost
aritmetických průměrů, je
Sn = (-1)n
.
Posloupnost aritmetických průměrů je totiž rovna buď 0 nebo 1
n+1
, tedy
An = |
1
n + 1
n
j=0
Sj| 
1
n + 1
 0
pro n  .
1.6.2 Fejérova věta
Vrátíme se zpět k trigonometrické řadě a po inspiraci z Lemmatu 1.6.1 označíme
n =
1
n + 1
(s0(x) + . . . + sn(x)) =
1
n + 1
n
k=0
sk(x).
Po dosazení za sn je vidět, že n je vlastně vážený průměr funkcí eikx
, kde větší
hodnoty frekvence k mají menší váhu než nižší frekvence.
Věta 1.6.2. (Fejérova)Nechť f je spojitá funkce na -,  . Pak n(x) konvergují
k f(x) stejnoměrně na intervalu -,  .
Důkaz: Postupujeme podobně jako v důkazu Dirichletovy věty, nejdříve dosadíme
za ck,
n(x) =
1
n + 1
n
k=0
sk(x) =
n
k=-n
n + 1 - |k|
n + 1
ckeikx
=
=
n
k=-n
n + 1 - |k|
n + 1
1
2

-
f(t)e-ikt
dt eikx
=
=
1
2

-
f(t)
n
k=-n
n + 1 - |k|
n + 1
e-ik(x-t)
dt =
1
2

f(t)Kn(x
- t) dt,
kde
Kn(s) =
n
k=-n
n + 1 - |k|
n + 1
e-iks
je tzv. Fejérovo jádro.
Vlastnosti Fejérova jádra odvodíme ve dvou pomocných lemmatech.
Lemma 1.6.3. Platí
Kn(s) =
1
n + 1
sin(n+1
2
)s
sin s
2
2
20
pro s = 0 a
Kn(0) = n + 1.
Důkaz: Pro s = 0 máme
n
k=-n
(n + 1 - |k|)eiks
=
n
k=0
ei(k-n
2
)s
2
,
neboť pro   C platí
(-n
+ -n+1
+ . . . + -1
+ 1 +  + . . . n
)2
=
= 2n
+ 2-2n+1
+ . . . + (2n + 1)1 + . . . + 2n
,
kde v našem případě je  = e
is
2 . Dále máme (součtem geometrické řady)
n
k=0
ei(k-n
2
)s
2
= e
-ins
2
n
k=0
eiks
2
= e
-ins
2
1 - ei(n+1)s
1 - eis
2
.
Po rozšíření výrazem e
-is
2 dostaneme
e
-i(n+1)s
2 - e
i(n+1)s
2
e
-is
2 - e
is
2
2
=
sin(n+1
2
)s
sin s
2
2
.
Druhá vlastnost plyne přímo z definice.
Lemma 1.6.4. Kn má následující vlastnosti:
(i) Kn(s)  0
(ii) Kn(s)  0 pro n   stejnoměrně na doplňku -,  pro každé  > 0
(iii)

Kn(s)ds
= 2
Důkaz: První tvrzení je zřejmé.
Pro důkaz druhého odhadneme
Kn(s) 
1
n + 1
1
sin s
2
2

1
n + 1
1
sin 
2
2
 0
pro n  .
Třetí tvrzení plyne ze vztahu
Kn(s) =
1
n + 1
((n + 1)1 + n(cos x + i sin x) + . . .).
21
Všechny členy s výjimkou prvního dávají nulový integrál, tedy

Kn(s)ds
=

-
1dx = 2.
Dokončení důkazu Fejérovy věty: Nechť > 0 je dáno. f je spojitá na
kompaktním intervalu, je tedy omezená, t.j. existuje M > 0 tak, že |f(s)|  M
pro každé s  -,  . Dále ze spojitosti na kompaktní množině plyne stejnoměrná
spojitost, t.j. existuje  > 0 tak, že
|f(s) - f(t)| 

2
pro |s - t| < . Vezměme takové . Podle (ii) existuje N tak, že
|Kn(s)| 

4M
pro s / -,  a n  N. Máme
|n(x) - f(x)| = |
1
2

f(x
- s)Kn(s)ds -
1
2

f(x)Kn(s)ds|
=
= |
1
2

[f(x
- s) - f(x)]Kn(s)ds|  |
1
2 s -,
[f(x - s) - f(x)]Kn(s)ds|+
+|
1
2 s/ -,
[f(x - s) - f(x)]Kn(s)ds| 


2
1
2 -,
|Kn(s)|ds +
2M
2 s/ -,
|Kn(s)|ds 


2
1
2

Kn(s)ds
+
2M
2 s/ -,

4M
ds 

2
+

2
= .
Tím je dokázáno tvrzení o konvergenci. Stejnoměrná konvergence plyne z nezávislosti
předchozího odhadu na x.
Prvním důsledkem Fejérovy věty je existence libovolně přesné aproximace spojitých
funkcí trigonometrickými polynomy.
Věta 1.6.5. Nechť f(x) je spojitá funkce na intervalu -,  a nechť  > 0. Pak
existuje trigonometrický polynom P tak, že
sup
x -,
|P(x) - f(x)|  .
Důkaz: Za P(x) vezmeme n(x) pro dostatečně velké n.
22
Jinak řečeno, trigonometrické polynomy jsou husté v prostoru spojitých funkcí
v supremové normě.
Dalším důležitým důsledkem je Weierstrassova věta.
Věta 1.6.6. (Weierstrassova) Nechť f : a, b  C je spojitá funkce a  > 0. Pak
existuje polynom P takový, že
sup
a,b
|P(x) - f(x)| < .
Větu zřejmě stačí dokázat pro interval 0, 1 , protože lze transformovat na a, b
pomocí lineární transformace, která zachovává polynomy. Nejdříve odvodíme dvě
pomocná lemmata.
Lemma 1.6.7. Nechť f je spojitá funkce na -,  a nechť je f sudá. Pak pro
každé  > 0 existuje n  1 a čísla a0, a1, . . . , an  C tak, že
sup
-,
|f(x) -
n
k=0
ak cos kx| < .
Důkaz: f je sudá, tedy bk = 0 a n obsahuje jen kosiny. Lemma tedy plyne z
Fejérovy věty.
Lemma 1.6.8. Pro každé n  N existuje reálný polynom Tn tak, že
cos nx = Tn(cos x), x  -,  .
Důkaz: Indukcí. Tvrzení platí pro n = 0 a n = 1, kdy vezmeme T0(t) = 1, T1(t) = t.
Předpokládejme, že platí pro každé n < m, kde m  2. Pak
cos mx = cos mx - cos(m - 2)x + cos(m - 2)x =
= cos ((m - 1)x + x) + cos ((m - 1)x - x) - cos(m - 2)x =
= 2 cos x cos(m - 1)x - cos(m - 2)x = Tm(cos x),
kde
Tm(t) = 2tTm-1(t) - Tm-2(t).
Odtud plyne, že Tm má požadovaný tvar.
Důkaz Weierstrassovy věty: Nechť f : 0, 1  C je spojitá a  > 0 je dáno.
Definujme g : -,   C předpisem
g(t) = f(| cos t|)
23
pro t  -,  . Funkce g je spojitá a g(t) = g(-t). Víme, že existuje n  1 a
a0, . . . , an  C tak, že
sup
t -,
|g(t) -
n
k=0
ak cos kt| < .
Ale
g(t) -
n
k=0
ak cos kt = f(| cos t|) -
n
k=0
akTk(cos t)
pro t  -,  , tedy
sup
x 0,1
|f(x) -
n
k=0
akTk(x)|  sup
0t
|f(| cos t|) -
n
k=0
akTk(cos t)| < .
Hledaný polynom je tedy P(x) = n
k=0 akTk(x), neboť
sup
x 0,1
|f(x) - P(x)| < .
1.7 Gibbsův jev
Uvažujme funkci
h(x) = x pro x  (-, ),
h() = h(-) = 0
rozšířenou na 2-periodickou funkci na R. Její rozvoj do Fourierovy řady má tvar
h(x) =

k=1
(-1)k+1 2
k
sin kx.
V bodech nespojitosti této funkce dochází k překmitu částečného součtu Fourierovy
řady o hodnotu, která se pro zvětšující se n nezmenšuje. Přesně tento jev popisuje
následující věta.
Věta 1.7.1. Nechť sn jsou částečné součty Fourierovy řady funkce h(x). Pak
sn( -

n
)  A
a
sn(- +

n
)  -A
pro n  , kde
A =
2


0
sin x
x
dx > 1.17.
24
Důkaz: Máme
sn(x) =
n
k=1
(-1)k+1 2
k
sin kx.
Tedy
sn( -

n
) =
n
k=1
(-1)k+1 2
k
sin k( -

n
) =
n
k=1
2
k
sin k

n
= 2
n
k=1

n
(
n
k
sin
k
n
).
Poslední výraz je přibližným součtem z definice Riemannova integrálu pro funkci
sin x
x
na intervalu 0,  příslušnou rovnoměrnému rozdělení na intervaly délky 
n
.
Tedy pro n   konverguje k
2

0
sin x
x
dx.
Podobně se dokáže, že
sn(- +

n
)  -2

0
sin x
x
dx.
Přímým výpočtem ověříme nerovnost
2


0
sin x
x
dx > 1.17.
25
Kapitola 2
Fourierova transformace
2.1 Definice a základní vlastnosti
Nechť f : R  C je funkce z L1
(R). Pro   R definujeme
^f() =

-
f(x)e-ix
dx.
Pro každé  je integrál konečný, protože |f(x)e-ix
| = |f(x)|, a tedy f(x)e-ix

L1
(R).
Definice 2.1.1. Funkce ^f() : R  C se nazývá Fourierova transformace funkce
f(x).
Lemma 2.1.2. Nechť f  L1
(R) je omezená funkce. Pak ^f je spojitá.
Důkaz: Nechť  > 0 je dáno. |f| je integrovatelná, tedy existuje R() dostatečně
velké tak, že
|t|R()
|f(x)|dx 

4
.
Na druhé straně, f je omezená, tedy existuje K tak, že |f(x)|  K pro každé x  R.
Tedy
| ^f() - ^f()| = |

-
f(t)(e-it
- e-it
)|dt 
 |
|t|R()
f(t)(e-it
- e-it
)dt| + |
R()
-R()
f(t)(e-it
- e-it
)dt|
 2
|t|R()
|f(t)|dt + 2R() sup
t -R(),R()
f(t)(e-it
- e-it
)dt


2
+ 2R()K sup
t -R(),R()
|e-it
- e-it
| 

2
+ 2R()K sup
t -R(),R()
|t - t|


2
+ 4R()2
K| - |  ,
26
je-li
| - | 

8R()2K + 1
.
Na druhé straně, Fourierova transformace nemusí být integrovatelná.
Lemma 2.1.3. Nechť f(x) = 1 pro x  -1, 1 a f = 0 jinak. Pak
^f() =
2 sin 

a ^f / L1
(R), t.j.

|
^f()|d diverguje.
Důkaz: Z definice
^f() =
1
-1
e-itdt
=
e-it
-i
1
-1
=
ei
- e-i
i
= 2
sin 

.
Integrál z této funkce diverguje.
2.1.1 Základní vlastnosti Fourierovy transformace
Z linearity integrálu plyne, že Fourierova transformace je lineární operace. Pro každé
dvě funkce f, g a konstanty a, b platí
(af + bg) = a ^f + b^g.
Lemma 2.1.4. (O změně měřítka) Pro f  L1
 C a R > 0 označme fR(x) =
f(Rx). Pak
fR() =
1
R
^f(

R
).
Důkaz: Z definice
fR() =

-
fR(x)e-ix
dx =

-
f(Rx)e-ix
dx.
Substitucí y = Rx dostaneme

f(y)e-i

R
y 1
R
dy =
1
R

f(y)e-i

R
y
dy =
1
R
^f(

R
).
Lemma 2.1.5. (O Fourierově transformaci derivace). Nechť f  L1
 C, f 
L1
 C a limx f(x) = 0. Pak
(f )() = i ^f().
27
Tedy derivování se převádí na násobení.
Důkaz: Integrováním per partes dostaneme
(f )() =

f
(x)e-ix
dx = [e-ix
f(x)]
- - (-i)

-
f(x)e-ix
dx = i ^f().
Obecně, je-li f, f , . . . , f(k)
 L1
 C a limx fj
(x) = 0 pro j = 0, 1, . . . , k -1,
pak k-násobným integrováním per partes dostaneme
(f(k))() = (i)k ^f().
Lemma 2.1.6. (O derivaci Fourierovy transformace) Nechť f  L1
 C a g(x) =
xf(x)  L1
 C. Pak ^f() je diferencovatelná a platí
d ^f
d
= -i^g().
Důkaz: Derivováním vztahu
^f() =

-
f(x)e-ix
dx
podle parametru  dostaneme
d ^f
d
() =

-
f(x)(-ix)e-ix
dx = -i

[f(x)x]
e-ix
dx = -i^g().
Další důležitou a často používanou operací je konvoluce. Pro f, g  L1
je jejich
konvoluce definována vztahem
f  g(x) =

f(x
- y)g(y)dy.
Substitucí y = x - y dostaneme alternativní vyjádření
f  g(x) =

f(y)g(x
- y)dy = g  f(x).
Konvoluce je tedy komutativní operace.
Lemma 2.1.7. (O Fourierově transformaci konvoluce) Nechť f, g  L1
(R). Pak
f  g() = ^f()^g().
28
Důkaz: S použitím Fubiniho věty dostaneme
f  g() =

-
(

f(x
- y)g(y)dy)e-ix
dx =
=
R2
e-ix
f(x - y)g(y)dydx =
R2
e-i(x-y)
f(x - y)e-iy
g(y)dydx =
=

-

-
e-i(x-y)
f(x - y)dx e-iy
g(y)dy = ^f()

-
e-iy
g(y)dy = ^f()^g().
Lemma 2.1.8. (O transformaci posunutí a o posunutí transformace) Nechť f 
L1
 C. Pro a > 0 označme fa(x) = f(x - a). Pak
^fa() = ^f()e-ia
.
Naopak,
feiax() = ^f( - a).
Důkaz: Na jedné straně substitucí y = x - a dostaneme
^fa() =

f(x
- a)e-ix
dx =

-
f(y)e-i(y+a)
dy = e-ia

-
f(y)e-iy
dy =
= e-ia ^f().
Naopak,
feiax() =

-
f(x)eiax
e-ix
dx =

-
f(x)e-i(-a)x
dx = ^f( - a).
Důsledek 2.1.9. (Modulační identity) Nechť Fourierova transformace funkce f(x)
je F(). Pak Fourierova transformace funkce f(x) sin x je rovna
i
2
[F( + ) - F( - )].
Důkaz: Víme, že
sin x =
eix
- e-ix
2i
a
f(x)eix() = ^F( - ).
Tedy
f(x) sin x() =
1
2i
[F( - ) - F( + )] =
i
2
[F( + ) - F( - )].
29
Lemma 2.1.10. (Fourierova transformace Gaussovy funkce) Je-li
f(x) =
1

2
e
-x2
2 ,
pak
^f() = e
-2
2 .
Důkaz: Označme opět F() = ^f(). Máme
f (x) = -
1

2
xe
-x2
2 = -xf(x).
Na jedné straně je
(-xf(x)) = f () = iF(),
podle lemmatu o transformaci derivace, na druhé straně, z lemmatu o derivaci transformace,
je
(-ixf)() = F ().
Celkem F splňuje rovnici
F () = -F().
Separací proměnných dostaneme řešení
F() = Ce
-2
2 .
Konstanta C je rovna hodnotě ^f v bodě nula, tedy Laplaceovu integrálu
^f(0) =
1

2

-
e
-x2
2 dx = 1.
Příklad 2.1.11. Označme jako H(x) Heavisideovu funkci, t.j. H(x) = 1 pro
x  0 a H(x) = 0 pro x < 0. Je-li
f(x) = e-ax
H(x)
pro nějaké a > 0, pak
^f() =
1
a + i
.
Opravdu,
^f() =

0
e-ax
e-ix
dx =

0
e-(a+i)x
dx =
= -
1
a + i
[e-(a+i)x
]
0 =
1
a + i
.
30
Dále uvažujme funkci
f(x) = e-a|x|
.
Pomocí Heavisideovy funkce ji můžeme napsat jako
f(x) = H(x)e-ax
+ H(-x)eax
.
Její Fourierova transformace je rovna
^f() =
1
a + i
+
1
a - i
=
2a
a2 + x2
.
Věta 2.1.12. (Základní identita pro Fourierovu transformaci) Nechť f, g  L1
 C.
Pak platí

f^g
=

-
^fg.
Důkaz: Z Fubiniho věty dostaneme

f(x)^g(x)dx
=

-
f(x)

-
g(y)e-ixy
dydx =
R2
f(x)g(y)e-ixy
dydx =

-
g(y)

-
f(x)e-ixy
dxdy =

g(y)
^f(y)dy.
2.2 Věta o inverzní transformaci
K důkazu Věty o inverzní transformaci budeme potřebovat aproximaci identity.
2.2.1 Aproximace identity
Definice 2.2.1. Nechť   L1
(R), (x)  0 a

(x)dx
= 1. Pak systém funkcí
(x) =
1

(
x

)
pro > 1 se nazývá aproximací identity příslušnou funkci .
Z definice ihned plyne, že pro všechna  platí

(x)dx
= 1.
V našem případě vezmeme za  Gaussovu funkci
(x) =
1

2
e-x2
2 ,
31
tedy
(x) =
1

2
e- x2
22
.
Následující lemma odůvodňuje termín aproximace identity.
Lemma 2.2.2. Nechť  je aproximace identity a f je spojitá omezená funkce na
R. Pak f  (x) konverguje (stejnoměrně na kompaktních intervalech ) k f(x) pro
  0.
Důkaz: Nechť |f(x)|  M pro x  R. Máme
|f (x)-f(x)| = |

[f(x-y)-f(x)](y)dy|
= |

[f(x-y
)-f(x)](y )dy ,
kde jsme použili substituci y = y . Nechť  > 0 je dáno. Vezměme R tak velké, že
y / -R,R
(y)dy < , a dále  > 0 tak, aby
|f(x - y) - f(x)| < 
pro y  -R, R . Máme tedy
|

[f(x
- y ) - f(x)](y )dy  |
-R,R
[f(x - y ) - f(x)]|(y )dy +
+|
y / -R,R
[f(x - y ) - f(x)](x)dy|   + (2M + 1) = 2M.
Tedy f  (x)  f(x) pro   0. Z nezávislosti odhadu na x plyne stejnoměrná
konvergence na kompaktních intervalech.
2.2.2 Věta o inverzní transformaci
Věta 2.2.3. Nechť f  L1
 C, f je stejnoměrne spojitá a ^f  L1
 C. Pak
f(x) =
1
2

-
^f()eix
d.
Důkaz: Nechť x  R je libovolný pevně zvolený bod a  > 0 je dáno. Označme
() =
1

2
eix-2 2
2 .
Víme, že
^(y) =
1

e-
(y-x)2
22
,
tedy
^(y) =
1


2g(
x - y

),
32
kde
g(u) =
1

2
e-u2
2 .
Budeme uvažovat aproximaci identity příslušnou této funkci a použijeme základní
identitu pro Fourierovu transformaci na funkce f a . Na jedné straně je

^f
=
1

2

-
e-22
2 eix ^f()d.
Na druhé straně

f
^ =

2

f(y)g(x
- y)dy =

2f  g(x).
Víme, že f  g(x)  f(x) stejnoměrně na kompaktech. Ale pro x pevné je

-
e-22
2 eix ^f()d 

eix
^f()
pro   0, neboť první člen pod integrálem konverguje k jedné. Celkem tedy pro
  0 dostaneme
f(x) =
1
2

-
^f()eix
d.
Definice 2.2.4. Inverzní Fourierova transformace je definována vztahem
ˇf() =
1
2

-
f(x)eix
d.
Podle předchozí věty je inverzní Fourierova transformace opravdu inverzní operací
k Fourierově transformaci, platí tedy
ˇ
( ^f) = f.
2.3 Korelace a autokorelace
Definice 2.3.1. Nechť f, g patří do L1
 C. Definujeme korelaci funkcí f a g
vztahem
f  g(x) =

f(y)g(y
+ x)dy =

f(y
- x)g(y)dy.
Z definice je zřejmé, že korelace má velmi blízký vztak ke konvoluci, definované
jako
f  g(x) =

f(y)g(x
- y)dy =

f(-y)g(x
+ y)dy.
33
Z druhého vyjadření je vidět, že platí vztah
f(x)  g(x) = f(-x)  g(x).
Víme, že
(f  g) = ^f^g
a dále f() = ^f(-) a f(-x)() = ^f(-), tedy
f(-x)() =
^f().
Celkem platí
(f  g) = ^f^g.
Dokázali jsme tak následující tvrzení.
Lemma 2.3.2. Je-li F = ^f a G = ^g, pak
(f  g) = FG.
Definice 2.3.3. f  f se nazývá autokorelace funkce f.
Důsledkem předchozího lemmatu je následující
Lemma 2.3.4. (Autokorelační identita) Nechť f  L1
 C a ^f = F. Pak platí
(f  f) = |F|2
.
2.4 Fourierova transformace funkcí z L2
2.4.1 Parsevalova rovnost a Plancherelova věta
V této části dokážeme Parsevalovu rovnost.
||f|| lze napsat dvěma způsoby. Na jedné straně máme
f  f(0) =

-
|f(x)|2
dx = ||f||2
.
Na druhé straně
(|f|2)(0) =

-
|f|2
e-i0x
dx = ||f||2
.
Z autokorelační identity dostaneme vztah mezi f a ^f
f  f() = | ^f|2
().
34
Na tuto rovnici aplikujeme inverzní Fourierovu transformaci a dostaneme
f  f(x) =
ˇ
(| ^f|2)(x).
Do rovnice dosadíme nulu. Levá strana dává
f  f(0) =

-
|f(x)|2
dx
a pravá
ˇ
(| ^f|2)(0) =
1
2

|
^f|2
eix0
dx =
1
2

|
^f|2
.
Celkem jsme dokázali následující tvrzení.
Věta 2.4.1. (Parsevalova rovnost) Nechť f, ^f  L1
 C. Pak

-
|f(x)|2
dx =
1
2

|
^f|2
dx.
Tedy zobrazení P, které f přiřadí 1
2
^f, je izometrie.
2.5 Centrální limitní věta
Jednou z důležitých aplikací Fourierovy transformace je odvození centrální limitní
věty.
Věta 2.5.1. (Lindebergova) Nechť Xi, i = 1, 2, . . ., je posloupnost nezávislých stejně
rozdělených náhodných veličin s hustotou pravděpodobnosti f, kde ^f  C2
(R). Nechť
E(Xi) = 0 a E(X2
i ) = 1. Pak hustota pravděpodobnosti X1+...+Xn
n
se blíží k hustotě
standartizovaného normálního rozdělení, t.j.
Pr{a 
X1 + . . . + Xn

n
 b} 
1

2
b
a
e-x2
2 dx
pro n  .
K důkazu budeme potřebovat dvě pomocná lemmata.
Lemma 2.5.2. Nechť f je hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X. Pak ^f(k)
(0)
existuje právě tehdy, když existuje k-tý obecný moment a platí
^f(k)
(0) = (-i)k

-
xk
f(x)dx = (-i)k
Mk,
kde Mk je k-tý obecný moment nahodné veličiny X.
Důkaz: k-násobným derivováním rovnice
^f() =

-
f(x)e-ix
dx
35
podle parametru dostaneme
^f(k)
() = (-i)k

-
f(x)e-ix
xk
dx
a dosazením  = 0
^f(k)
(0) = (-i)k

-
xk
f(x)dx = (-i)k
Mk.
Lemma 2.5.3. Nechť f je hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X, kde EX =
0, EX2
i = 2
a ^f  C2
(R). Pak pro Taylorův rozvoj funkce ^f v bodě 0 platí
^f() = 1 - 2 2
2
+ o(||2
).
Důkaz: Plyne z předchozího lemmatu, neboť M1 = 0 a M2 = 2
. Podle Taylorovy
věty je tedy
^f() = ^f(0) + ^f (0) +
1
2
^f (0)2
+ o(2
),
odkud po dosazení plyne tvrzení.
Důkaz centrální limitní věty. Víme, že M2 = 1, tedy podle předchozího
lemmatu je
^f() = 1 -
2
2
+ R(),
kde
R()
2
 0 pro   .
Uvažujme teď náhodnou veličinu Xi
n
, pro kterou je M1 = E( Xi
n
) = 0 a
M2 = E(
X2
i
n
) =
1
n
.
Označme fn hustotu pravděpodobnosti Xi
n
. Taylorův rozvoj její Fourierovy transformace
je
^fn() = ^f(


n
) = 1 -
2
2n
+ R(


n
),
kde
R( 
n
)
2
n
 0 pro   .
Víme, že X1+...+Xn
n
má hustotu pravděpodobnosti
gn = fn  fn  . . .  fn
n×
,
36
jejíž Fourierova transformace je
^gn = ( ^fn)n
.
Dosazením dostaneme
^gn = (1 -
2
2n
+ R(


n
))n
.
Pro každé pevné  výraz R( 
n
) je o(1
n
) a víme, že
(1 -
2
2n
)n
 e-2
2 .
Tedy
^gn()  e-2
2 .
Ze spojitosti Fourierovy transformace plyne
gn(x) 
1

2
e-x2
2
pro n  .
2.6 Princip neurčitosti
V aplikacích se vztah pro inverzní transformaci
f(x) =
1
2

-
^f()eix
d
často nazývá spektrální rozklad funkce (signálu) f(x). Hodnota | ^f()| je amplituda
komponenty eix
ve spektrálním rozkladu funkce f. Druhá mocnina amplitudy má fyzikální
interpretaci výkonu. Hodnota | ^f()|2
se nazývá výkonová spektrální hustota.
Pro f  L2
označíme
E = ||f||2
=

-
|f(x)|2
dx.
V aplikacích představuje E zpravidla nějakou formu energie. Dále označíme
x =
1
E

-
x2
|f(x)|2
dx
1
2
.
Je-li E = 1, pak (x)2
je druhý centrální moment náhodné veličiny s hustotou
pravděpodobnosti |f(x)|2
. V každém případě je x mírou rozptylu hodnot funkce
f(x).
Následující tvrzení uvedeme bez důkazu.
37
Lemma 2.6.1. Nechť f  L2
(R). Pak pro každé  > 1 platí
x
-x
|f(x)|2
dx 
2
- 1
2
E,
tedy
-x
-x
|f(x)|2
dx +

x
|f(x)|2
dx 
1
2
E.
Například, je-li E = 1 a chceme-li lokalizovat energii s přesností 99%, stačí vzít
1
2 = 0, 01, pak  = 10.
Věta 2.6.2. (Princip neurčitosti) Nechť f, ^f  S a nechť
x = [
1
E

-
x2
|f(x)|2
dx]
1
2
a
 = [
1
2E

-
2
| ^f()|2
dx]
1
2 ,
kde
E =

-
|f(x)|2
dx =
1
2

|
^f()|2
d.
Pak
x 
1
2
.
Rovnost přitom platí právě tehdy, když
f(x) = Ae-cx2
pro nějaké konstanty A  R a c > 0.
Důkaz: Vyjdeme z identity
(f2
(x)) = 2f(x)f (x).
Dále
(xff )(0) =

-
2f(x)f (x)xdx = xf2
(x)|
- -

-
f2
(x)dx = -E.
Z Cauchy-Schwartzovy nerovnosti dostaneme
E = |

-
2xf(x)f (x)dx|  2(

-
x2
f2
(x)dx)
1
2 (

f
(x)2
dx)
1
2 =
= 2x

E(

f
(x)2
dx)
1
2 .
38
Na druhé straně, z Parsevalovy rovnosti

f
(x)2
=
1
2

|
^f |2
=
1
2

|i
^f|2
=
1
2

-
2
| ^f|2
= E()2
.
Tedy
(

f
(x)2
)
1
2 =

E.
Celkem dostáváme
E  2x

E

E,
t.j.
x 
1
2
.
Rovnost nastane právě tehdy, když nastane rovnost v Cauchy-Schwartzově nerovnosti,
t.j. když
2f(x)x = kf (x),
tedy
f(x) = Ae-cx2
pro nějaké konstanty A a c.
39
Kapitola 3
Fourierova transformace v Rn
3.1 Definice a základní vlastnosti
Nechť f : Rn
 C je absolutně integrovatelná funkce. Proměnnou v Rn
budeme
značit
x = (x1, x2, . . . , xn),
proměnnou Fourierovy transformace  = (1, . . . n). Dále označíme
  x =
n
j=1
xii.
Budeme používat standartní multiindexové označení.
Definice 3.1.1. Pro  = (1, . . . , n)  Rn
definujeme
^f() =
Rn
f(x)e-ix
dx.
Funkce ^f() : Rn
 C se nazývá (n-rozměrná) Fourierova transformace funkce f.
3.1.1 Základní vlastnosti Fourierovy transformace
Většina základních vlastností n-rozměrné Fourierovy transformace je zcela analogická
odpovídajícím vlastnostem jednorozměrné transformace. Pro jednoduchost budeme
všechny vlastnosti dokazovat pro funkce rychle kllesající v nekonečnu.
Definice 3.1.2. f je funkce rychle klesající v nekonečnu, neboli funkce Schwartzovy
třídy, jestliže pro každé dva multiindexy ,  platí
lim
|x|
|x
f()
| = 0.
Prostor funkcí Schwartzovy třídy označujeme S.
40
Vícerozměrná Fourierova transformace je lineární, t.j.
(af + bg) = a ^f + b^g.
Lemma 3.1.3. (O změně měřítka) Pro f  S a R > 0 označme fR(x) = f(Rx).
Pak
fR() =
1
Rn
^f(

R
).
Důkaz: Substitucí y = Rx dostaneme
fR() =
Rn
fR(x)e-ix
dx =
Rn
f(Rx)e-ix
dx =
=
Rn
f(y)e-i 
R
y 1
Rn
dy =
1
Rn
Rn
f(y)e-i 
R
y
dy =
1
Rn
^f(

R
).
Lemma 3.1.4. (O Fourierově transformaci parciální derivace). Nechť f  S. Pak
(
f
xj
)() = ij
^f().
Tedy parciální derivace se při transformaci převádí na násobení odpovídající komponentou
vektoru .
Důkaz:
(
f
xj
)() =
Rn
(
f
xj
)(x)e-ix
dx = (-ij)
Rn
f(x)e-ix
dx =
= ij
^f(),
kde druhá rovnost plyne z Greenovy věty a toho, že f je rychle klesající funkce.
Obecně, je-li f  S a  je multiindex, pak
(f())() = (i)||
 ^f().
Zvlášť jednoduchý tvar má Fourierova transformace Laplaceova operátoru f =
f
x2
1
+ . . . + f
x2
n
:
(f)() = ||2 ^f().
Věta 3.1.5. (Základní identita pro Fourierovu transformaci) Nechť f, g  L1
 C.
Pak platí
Rn
f^g =
Rn
^fg.
Důkaz: Z Fubiniho věty, analogicky jako v jednorozměrném případě.
41
3.2 Věta o inverzní transformaci
3.2.1 Věta o inverzní transformaci
Věta 3.2.1. Nechť f  S, pak
f(x) =
1
(2)n
Rn
^f()eix
d.
Důkaz je analogický jako v R1
.
Definice 3.2.2. Inverzní Fourierova transformace je definována vztahem
ˇf() =
1
(2)n
Rn
f(x)eix
d.
Stejně jako v jednorozměrném případě je inverzní Fourierova transformace opravdu
inverzní operací k Fourierově transformaci, platí tedy
ˇ
( ^f) = f.
3.3 Řešení rovnice vedení tepla na přímce
Jak jsme se zmínili v úvodu, jednou z důležitých aplikací Fourierovy analýzy je řešení
diferenciálních rovnic.
Chceme řešit rovnici vedení tepla na přímce, t.j.
ut(x, t) = uxx(x, t)
pro x  R a t  0. u(x, t) je teplota v bodě x a čase t. Teplota tyče v počátečním
čase je známa, daná počáteční podmínkou
u(x, 0) = (x).
Pro každé pevné t > 0 budeme uvažovat Fourierovu transformaci funkce u v proměnné
x. Na jedné straně máme
(
2u
x2
)(, t) = (i)2
^u(, t),
na druhé straně t hraje při integraci roli parametru, tedy je
(
u
t
)(, t) =
^u
t
(, t).
Transformovaná rovnice má tedy tvar
^u
t
(, t) = -2
^u(, t).
42
Pro pevné  je to obyčejná diferenciální rovnice v proměnné t, kterou umíme vyřešit,
^u(, t) = Ce-2t
,
kde C = ^u(, 0), tedy
C = ^().
Celkem
^u(, t) = ^()e-2t
.
Zpětnou transformací, podle pravidla o transformaci konvoluce dostaneme
u(x, t) = (  Gt)(x, t),
kde Gt(x) je zpětná transformace funkce e-t
. Tu najdeme ze znalosti transformace
Gaussovy funkce a lemmatu o transformaci po změně měřítka, kde vezmeme R =
4t. Tak dostaneme tzv. Gaussovo jádro
Gt(x) =
1

4t
e-x2
4t .
Řešení počáteční úlohy pro rovnici vedení tepla má tedy tvar
u(x, t) =
1

4t

-
e-
(x-y)2
4t (y)dy.
43
Kapitola 4
Zobecněná Fourierova
transformace
V této kapitole ukážeme, jak je možné přirozeným způsobem rozšířit Fourierovu
transformaci na velmi širokou třídu funkci a navíc i na zobecněné funkce, tzv. dis-
tribuce.
4.1 Testovací funkce a distribuce
Definice 4.1.1. Prostor C
0 (R) hladkých funkcí s kompaktním nosičem nazýváme
prostor testovacích funkcí.
Definice 4.1.2. Spojitý lineární funkcionál na prostoru testovacích funkcí se nazývá
distribuce.
Je-li g distribuce, pak její hodnotu na testovací funkci  označujeme
g() = g,  .
Nechť f je spojitá funkce na R. Přiřadíme jí jednoznačně určenou distribuci,
kterou budeme označovat stejným písmenem, předpisem
f,  =

-
f(x)(x)dx.
Hodnota na testovací funkci je tedy obyčejný skalární součin těchto dvou funkcí.
Naopak, jsou-li f, g dvě různé funkce, pak se snadno dokáže, že jim odpovídající
distribuce musí být také různé. Můžeme tedy spojité funkce ztotožňovat s příslušnou
distribucí.
4.2 Operace na distribucích
Ukážeme, jak je možné operace definované na prostoru testovacích funkcí rozšířit na
distribuce. Uvažujme operátor T : C
0 (R)  C
0 (R) a předpokládejme, že k němu
44
existuje adjungovaný operátor T
takový, že
(Tf, g) = (f, T
g)
pro každé dvě funkce f, g z C
0 (R). Pak můžeme definovat rozšíření operátoru T na
prostor distribucí. Je-li f distribuce, definujeme distribuci Tf vztahem
Tf,  = f, T
g .
Například, je-li operátor derivování, t.j. T = d
dx
, máme integrováním per partes
(
df
dx
, g) =

-
df
dx
gdx = -

-
dg
dx
gdx = (f, T
g),
neboť zintegrovaný člen fg|
- je roven nule, protože funkce mají kompaktní nosič.
Je tedy T
= -T. Derivace distribuce je tedy definována vztahem
f ,  = f,  .
4.3 Fourierova transformace distribucí
Je-li T operátor Fourierovy transformace, t.j. Tf = ^f, víme ze základní identity, že
pro f, g  C
0 (R) je

f^g
=

-
^fg,
a tedy T
= T. Můžeme tedy definovat Fourierovu transformaci pro libovolnou
distribuci.
Definice 4.3.1. Nechť f je distribuce. Definujeme její Fourierovu transformaci vzta-
hem
^f,  = f, ^ .
Odvodíme teď zobecnnou Fourierovu transformaci některých důležitých funkcí.
Je-li f = 1, dostaneme z definice
^1,  = 1, ^ =

^
=
^^(0) = 2(0) = 20,
kde 0 je Diracova delta funkce v nule. Podobně odvodíme Fourierovu transformaci
mocninné funkce, a tím libovolného polynomu.
45
Literatura
[1] L. Arnold:Stochastic Differential Equations: Theory and Applications, John Wiley
& Sons, 1974.
[2] J. Anděl: Matematická statistika, SNTL, Praha, 1985
[3] S. Cyganowski, P. Kloeden, J. Ombach: From Elementary Probability to Stochastic
Differential Equations with Maple, Springer-Verlag, 2002
[4] L. Evans: An introduction to stochastic differential equations, notes for Mathematics
195 at UC Berkley, 2001
[5] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker: Fyzika, Část 3.- Elektřina a magnetizmus,
VUT Brno, VUTIUM, 2000
[6] Y. Kamarianakis, N. Frangos: Deterministic and stochastic differential equation
modelling for electrical networks, HERCMA (Hellenic and European Research
in Computational Mathematics) Conference, Athens University of Economics
& Business, 2001
[7] P. Kloeden, E. Platen, H. Schurz: Numerical Solution Of SDE Through Computer
Experiments, Springer-Verlag, 1997
[8] P. Mandl: Stochastické integrály a jejich aplikace, Praha, 1976
[9] S. M. Steele: Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer-Verlag
New York Inc., 2001
[10] B. ksendal: Stochastic Differential Equations, An Introduction with Applications,
Springer-Verlag, 1995
[11] Cs. Török: Visualization and Data Analysis in the MS .NET Framework, Communication
of JINR, Dubna, 2004, E10-2004-136
[12] Cs. Török et al.: Professional Windows GUI Programming: Using C#, Chicago:
Wrox Press Inc, 2002, ISBN 1-861007-66-3
46