Interaktivní osnova

Okruhy :) otázek ke zkoušce:

1. okruhy [Dummit, Foote - Abstract Algebra, kap. 7]
   
   • dělitelé nuly, okruhy s dělením (division rings), tělesa
   • kvaterniony
   • grupa jednotek
   • okruhy polynomů, formálních mocninných řad, grupové okruhy
   • booleovský okruh
     
2. homomorfismy a ideály okruhů, faktorookruhy [DF]
   
   • věty o isomorfismu
   • maximální ideál, prvoideál, lokální okruhy, radikály, Jacobsonův radikál, nilradikál
   • noetherovské okruhy
3. okruhy zlomků (rings of fractions) [DF]
   
   • podílové okruhy, podílová tělesa
4. přímé (direktní) a inverzní limity[DF]
   
   • p-adická čísla
   • prokonečné grupy ([H. Lenstra - Profinite groups, websites.math.leidenuniv.nl/algebra/Lenstra-Profinite.pdf)
5. hierarchie oborů integrity ([DF, kap. 8])
   
   • euklidovské okruhy, univerzální postranní dělitelé
   • okruhy hlavních ideálů, dedekindovsko-hasseovská norma
   • okruhy s jednoznačným rozkladem
6. Groebnerovy báze ([Geddes, Czapor, Labahn - Algorithms for Computer Algebra - u mne], [Slovák - Geometrické algoritmy II, www.math.muni.cz/~slovak/ftp/lectures/geometricke.algoritmy/galgii.ps])
   
   • monomiální uspořádání
   • Hilbertova věta o bázi (rovněž viz [DF, kap. 15], R noetherovský => R[x] noetherovský)
   • kritéria pro Groebnerovy báze, redukované báze

Domácí úkoly:

1. Dokažte, že v Booleovském okruhu je každý konečně generovaný ideál hlavní.
2. Dokažte, že v Booleovském okruhu je každý prvoideál maximální.
3. [DF, cv.8/269 a),b),d),e)] přímé limity
4. [DF, 11e)/270] Dokažte, že v okruhu p-adických čísel existuje (p-1) různých (p-1)-níchodmocnin z 1.
5. Dokažte, že okruh je PID právě tehdy, je-li UFD a zároveň Bezoutův (tj. každý konečně generovaný ideál je hlavní)