1
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WRt4*t*t
THE LIBRARY
OF
THE UNIVERSITY
OF CALIFORNIA
GIFT OF
Prof. G. C. Evans
MBMNftHM
GEOMETRIE DESCRIPTIVE
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE
HUYGENS (Christian). Traite de la lumiere. Un vol. de x-155 pages
et 74 figures ; broche, net 3 fr. 50
LAVOISIER (A.-L.). Memoires sur la respiration el la transpira
tion des animaux. Un vol. de vin-G8 pages ; broche, net. . . 3 fr.
SPALLANZANI (Lazare). Observations et Experiences \aites sur les
Animalcules des Infusions. Deux vol. de vin-106 et 122 pages;
chaque
vol. broche, net 3 fr.
CLAIRAUT (A.-C.). Elements de Geometric. Deux vol. de xiv-95 et
103 pages avec 69 et 77 figures; chaque vol. broche, net. 3 fr. 50
LAVOISIER et LAPLACE. Memoire sur la chaleur. Un vol. de 78 pages
avec 2 planches; broche, net 3 fr.
CARNOT (Lazare). Reflexions sur la metaphysique du Calcul infini
tesimal. Deux vol. de vin-117 et 105 pages avec 5 figures; chaque
vol. broche, net 3 fr.
D ALEMBERT (Jean). Trails, de Dynamique. Deux vol. de XL-102 et
187 pages avec 81 figures ; chaque vol. broche, net 3 fr.
DUTROCHET (Rene). Les mouvemenls des vegelaux. Du reveil et du
sommeil des plantes. Un vol. de vin-121 pages et 25 figures; broche,
net 3 fr.
AMPERE (A.-M.). Memoires sur I electromagnetisme et Velectrodynamique.
Un vol. de xiv-1 10 pages et 17 figures ; broche, net 3 fr.
LAPLACE (P.-S.). Essai philosophique sur les probabililcs. Deux
vol. de xn-103 et 108 pages; chaque vol. broche, net. ... 3 fr.
BOUGUER (Pierre). Essai d optique sur la gradation de la lumiere.
Un vol. de xx-130 pages et 17 figures ; broche, net. . . 3 fr.
PAINLEVE (Paul). Les axiomes de la Mecanique. Examen critique.
Rote sur la propagation de la lumiere. Un vol. de xni-112 pages et
4 figures; broche, net 4 fr.
Sous presse :
MARIOTTE (Edme).
:
Discours de la nature de I air. De la vegetation
des planles. Nouvelle decouvcrte touchant la vue. Un vol. de
oo pages ; broche, net
MONGE (Gaspard). Geometric descriptive. Deux vol. de xvi-144
et 138 pages avec 53 figures; chaque vol. broche, net. . . .
II est tire de chaque volume 10 exemplaires sur papier
de Hollande, au prix uniforme et net de 6 francs.
LES MAITHKS DE LA PENSEE SCIENTlFlQUE
COLLECTION DE MEMOIRKS ET OUVRAGES
Publice par les soins de MAruiCE SOLOVINE
I .EOMETRIE DESCRIPTIVE
I All
Gaspard MONGE
AIGME.WEE IJTNt TIIEOKIE DES (IMBUES El DE LA PiiUSI ECTIVE
EXTRAITK DKS PAPIERS DE L AUTEUR
Par Barnabe BRISSON
PARIS
GAUTHIER-VILLAKS ET Cu
, EDITEUKS
LIBHAIRES DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L ECOLE POLYTECJINIQUE
Quai des Grands-Augustins, 55.
19-22
Tous droits de traduction, de reproduction et d adaptation reserves
pour tous pays.
AVERTISSEMENT.
SDf
Tfss
V-/-2L?accroissement
rapide des decouvertes scientifiques
engendre fatalement Voubli des decouvertes passees et
de leurs auteurs oubli encore favorise par le fait
regrettable que la plupart des memoires et des ouvrages,
ou ces decouvertes se trouvent exposees, sont completement
epuises et introuvables.
La collection des Maitres de la Pensee scientifique
comprend les memoires et les outrages les plus importants
de tous les temps et de tons les pays. Elle est
destinee a rendre accessibles aux savants et au public
cultive les travaux originaux, qui marquent les etapes
successives dans la construction lente et laborieuse de
Vedifice scientifique. Tous les domaines de la Science
y sont representes : les mathematiques, fastronomie, la
physique, la chimie, la geologie, les sciences naturelles
et biologiques, la methodologie et la philosophie des
sciences. Etant la plus complete, elle fournira les docu
ments indispensables aux historiens de la science et
de la civilisation, qui voudront etudier devolution de
Vesprit humain sous sa forme la plus elevee. Elle permettra
aux savants de connaitre plus intimement les
decouvertes de leurs devanciers et d y trouver nombre
316
VI LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIF1QUE.
cTidees originates. Les philosophes y trouveront une
mine inepuisable pour Vetude epistemologique des
theories, des hypotheses et des concepts, au rnoyen desquels
se construit la connaissance de Vunivers. Elle
ofjre enfin a la jeunesse studieuse un moyen facile et
peu couteux de prendre contact a leur source meme
avec les methodes experimental et les procedes ingenieux
que les grands chercheurs ont du inventer pour
resoudre les difficultes methodes concretes, infiniment
plus suggestives et plus fecondes que ne le sont
les regies schematiques des Manuels.
On trouve encore dans les memoires classiques, ou la
profondeur de la pensee et la justesse du raisonnement
se manifestent sous une forme remarquablement
lucide et elegante, le secret d exposer les decouvertes
et "les
conceptions scientifiques tfune facon claire et
precise, comme Vont demande a plusieurs reprises les
savants les plus illustres de notre temps.
Les memoires et les outrages francais sont reimprimes
avec grande exactitude d apres les textes originaux
les mieux etablis, et ceux des savants etrangers
sont traduits integralement et avec une rigoureuse
fidelite.
NOTICE BIOGRAPIIIQUE.
Gaspard Monge, fils d un pauvre niarcliand ambu
lant, naquit a Beaune (Cote-d Or) le 10 mai 17/16. II
fut place dans le college de cette ville, dirige par les
Oratoriens, ou il se distingua par son ardeur aux
etudes et sa penetrante intelligence. A peine age de
i/l ans, il excita 1 admiration des notables de Beaune
par la construction d une pompe a incendie tres perfectionnee.
Deux ans plus tard, il
provoqua 1 admiration
generale pour le plan dctaille qu il traca de sa
ville natale. Ce travail lui valut d etre nomme, a 1
age
de 1 6 ans, professeur de physique an celebre college
de 1 Oratoire de Lyon. Les superieurs de cette insti
tution desiraient se 1 attacher pour loujours et lui
proposerent d entrer dans les ordres. Mais le pere de
Monge etait peu favorable a ce projet et lui conseilla
d accepter plutot la proposition d un ofTicier superieur
de le faire entrer a 1 Ecole militaire de Mezieres, qui
formait les officiers du genie. Gaspard Monge acquiesca
a ce projet. II entra a 1 Ecole en 1766, mais n etant
pas noble, il n avait de droit d acces qu a la section
pratique, qui avait pour but de former des appareilleurs
et des conducteurs. Monge ne se contenta pas
seulement d executer les travaux obligatoires, il s em-
VIII NOTICE BIOGRAPHIQUE.
ploya a rechercher les fondements mathematiques des
constructions de stereotomie, et reussit a donner des
demonstrations simples et elegantes des precedes
empiriques employes jusqu alors. Et ayant ete charge
d executer un plan de defilement, il s acquitta de cette
tache delicate en modifiant radicalement les piocedes
habituels et en etablissant une methode toute nouvelle
pour traiter ce genre de travaux. Cette methode
rencoiitra, a cause de sa nouveaute meme, une vive
resistance, mais finit cependant par s imposer.
C est a ce moment que Monge qui n avait que
19 ans fut nomme suppleant de Bossut, qui professait
les mathematiques, et de 1 abbe Nollet, qui
professait la physique. En 1780, Monge fut adjoint
a Bossut, qui professait 1
hydrodynamique. La meme
annee, il fut nomme, grace surtout a 1 intervention de
D Alembert, membre de 1 Academie des Sciences. En
1788, il
quitta defmitivement 1 Ecole de Mezieres pour
remplacer Bezout, qui venait de mourir, comme examinateur
a 1 Ecole de la marine.
Embrassant avec enthousiasme les idees de la
grande revolution, il
deploya une activite prodigieuse
dans les circonstances les plus difficiles. II fit partie
de la deuxieme Commission cornprenant Borda,
Lagrange, Laplace et Condorcet qui fut chargee
d etudier le nouveau systeme de mesures et qui presenta
son Rapport le 19 mars 1791. Le 10 aout 1792,
il fut nomme ministre de la marine, poste qu il
occupa
jusqu au 10 mai 1798. Apres sa demission, Monge se
consacra avec un zele infatigable aux problemes de la
NOTICE BIOGRAPHIQUE. IX
defense du territoire, menace par les armees ennemies.
II surveillait les travaux dans les manufactures
d armes, dans les fonderies, dans les poudrieres et prodigua
ses coriseils aux directeurs des arsenaux et aux
ouvriers (Description de Vart de fabriquer les canons.
Paris an II. Avis aux ouvriers en fer sur la fabrication
de Vacierj en collaboration avec Vandermonde et Berthollet.
Paris, 1794).
II fut un des principaux fondateurs de 1 Ecole Normale
et de 1 Ecole Polytechnique, dans lesquelles il
exerca comme professeur une influence considerable
et des plus bienfaisantes. Tres admire de Napoleon, il
fut charge par ce dernier de fonctions tres impor-
tantes.
II
figura parmi les savants et les artistes, qui firent
partie de 1
expedition d Egypte, et fut nomine presi
dent de 1 Institut que 1
empereur y fonda. De tant de
travaux importants qu il
y effectua, il convient de
mentionner tout particulierement 1
explication si juste
du mirage, qu il etudia d une fagon attentive pendant
le trajet d Alexandrie au Caire par le desert. De retour
en France, il fut nomme senateur en 1799 et peu apres
comte de Peluse.
Monge, par la superiorite de son genie, 1 affabilite
de ses rnanieres et 1 elevation de ses sentiments, sut
acquerir 1 admiration et la sympathie de tous ceux qui
1
approchaient. Mais les dernieres annees de sa vie
furentassombries par des tristesses et des chagrins sans
nombre. La chute de Napoleon 1
affligea profondement.
La Restauration le persecuta d une fagon indigne.
NOTICE BIOGRAPHIQUE.
Par le decret du 21 mars 1816, lui et Lazare Carnot
furent rayes de I Academie des Sciences. Cette injus
tice et d autres vexations le plongerent dans un etat
de prostration profonde qui dura jusqu a la fin de sa
vie, le 28 juillet 1818.
Le genie inventif de Monge s est manifeste avec un
eclat particulier dans sa Geometric descriptive, ceuvre
remarquable non seulement par sa portee scientifique,
mais encore par le champ illimite qu elle offre aux
applications pratiques. C est une espece de langue
necessaire a tous les artistes (*). Ce qui semblait etre
voue pour toujours a la routine, aux tatonnements et
aux precedes ernpiriques plus ou moins habiles, s y
trouve reuni en un corps de doctrine d une logique
impeccable et reduit a des regies rigoureuses, qui permettent
de representer d une facon precise, a 1 aide
du dessin, les formes des corps et, inversement, de les
reconnaitre d apres la description exacte une fois realisee.
En outre des parties achevees, ce Livre contient
en germe presque tout ce qui a etc ulterieurement
ajoute a cette nouvelle branche des Mathematiques.
Monge en concut les idees fondamentales vers 1776 ("),
il les elabora lentement et les exposa pour la premiere
(
T
) MONGE, Journal de I Ecole Polytechnique, t. I, p. I.
(
2
)
Voir Memoire sur les proprietes de plusieurs genres
de surfaces courbes, particulierement sur celles des surfaces
developpables, avec une application a la Theorie des ombres
et des penombres. (Prescnte a 1 Academie des Sciences, le
ii Janvier 1775.)
NOTICE BIOGRAPHIQUE. XI
fois d une fagon systematique a 1 Ecole Normale, an 1 1 1
de ia Republique. Mais il ne fut autorise a publier ses
importantes decouvertes que 1 an VII, a cause de la
crainte eprouvee par le Gouvernement que les etrangers
n en tirent profit pour leurs ouvrages de defense
militaires.
Par sa puissante originaliteet les horizons nouveaux
qu elle ouvrit, cette oeuvre raviva 1 interet pour les recherches
geometriques, qui etaient par trop delaissees
au profit de 1
Analyse. La facon dont il a expose les
nouvelles verites est un modele de simplicite et d exac-
titude.
Non moins remarquables sont ses travaux sur la
geometric analytique (*) et ses contributions au probleme
ardu de 1
integration des equations aux diiTcrentielles
partielles.
Le texte que nous reproduisons est celui de la
quatrieme edition de 1820, qui contient en outre de
la Geometric descriptive la Theorie des ombres et de la
perspective, que Barnabe Brisson, et eleve de Monge, a
publiee d apres les rnanuscrits laisses par ce dernier.
La premiere edition parut sous le litre de Geometrle
descriptive. Lecons donnees aux Ecolcs normales, Ian 3
de la Republique. (An VII, Paris.)
^r. s.
(
x
)
FeuiUes d analyse appliquee a la Geometrie, an III,
reeditees plus tard sous le titre de Application de I
analyse
u la geometric des surfaces du premier et du deuxieme degre.
Paris, 1807.
PROGRAMME.
Pour tirer la nation franchise de la dependance ou
elle a ete jusqu a present de 1 industrie etrangere, il
faut, premierement, diriger 1 education nationale vers
la connaissance des objets qui exigent de 1
exactitude,
ce qui a ete totalement neglige jusqu a ce jour, et
accoutumer les mains de nos artistes au maniement
des instruments de tous les genres, qui servent a porter
la precision dans les travaux et a mesurer ses differents
degres : alors les consommateurs, devenus sensibles
a 1
exactitude, pourront 1
exiger dans les divers
ouvrages, y mettre le prix necessaire; et nos artistes,
familiarises avec elle des 1
age le plus tendre, seront en
etat de 1 atteindre.
II faut, en second lieu, rendre populaire la con
naissance d un grand nombre de phenomenes naturels,
indispensable aux progres de 1
industrie, et profiter,
pour 1 avancement de [ instruction generate de la
nation, de cette circonstance heureuse dans laquelle
elle se trouve, d avoir a sa disposition les principales
ressources qui lui sont necessaires.
II faut enfm repandre, parmi nos artistes, la con
naissance des procedes des arts et celle des machines
qui ont pour objet, ou de diminuer la main-d ceuvre,
ou de donner aux resultats des travaux plus d unifor-
XIV LES MAITRES EE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
mite et plus de precision ; et, a cet egard, il faut 1
avouer,
nous avoris beaucoup a puiser chez les nations etran-
geres.
On ne peut rernplir toutes ces vues qu en donnant
a ^education nationale une direction nouvelle.
G est, d abord, en familiarisant avec 1
usage de la
Geometric descriptive tous les jeunes gens qui ont de
^intelligence, tant ceux qui ont une fortune acquise,
a fin qu un jour ils soient en etat de faire de leurs capitaux
uri ernploi plus utile, et pour eux et pour 1
etat,
que ceux memes qui n ont d autre fortune que leur
education, afm qu ils puissent un jour donner un plus
grand prix a leur travail.
Cet art a deux objets principaux.
Le premier est de representer avec exactitude, sur
des dessins qui n ont que deux dimensions, les objets
qui en ont trois, et qui sont susceptibles de definition
rigoureuse.
Sous ce point de vue, c est une langue necessaire a
1 homme de genie qui cone.oit un projet, a ceux qui
doivent en diriger 1
execution, et enfin aux artistes
qui doivent eux-memes en executer les differentes
parties.
Le second objet de la Geometric descriptive est de
deduire de la description exacte des corps tout ce qui
suit necessairement de leurs formes et de leurs posi
tions respectives. Dans ce sens, c est un moyen de
rechercher la verite; elle ofTre des exemples perpetuels
du passage du connu a 1 inconnu; et parce qu elle
est toujours appliquee a des objets susceptibles de la
plus grande evidence, il est necessaire de la faire entrer
dans le plan d une education nationale. Elle est non
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. XV
seulemcnt propre a exercer les facultes intellectuelles
d un grand peuple, et a contribuer par la au perfectionnement
de 1
espece humaine, mais encore elle est
indispensable a tous les ouvriers dont le but est de
donner aux corps certaines formes determinees; et
c est principalement parce que les methodes de cet art
ont etc jusqu ici trop peu repanducs, ou meme presque
entirrenu iit
negligees, que les progres de noire Indus
trie ont etesilents.
On contribuera done a donner a 1 education nalionale
une direction avantageuse, en familiarisant nos
jeunes artistes avec [
application de la Geometric
descriptive aux constructions graphiques qui sont
necessaires au plus grand noinbre des arts, et en faisant
usage de cette Geometric pour la representation et la
determination des elements des machines, au moyen
desquelles 1
hoinme, mettant a contribution les forces
de la nature, ne se reserve, pour ainsi dire, dans ses
operations, d autre travail que celui de son intelli
gence.
II n est pas moins avantageux de repandre la connaissance
des phenomenes de la nature, qu on peut
toiirner au profit des arts.
Le charme qui les accompagne pourra vaincre la
repugnance que les hommes ont en general pour la
contention d esprit, et leur faire trouver du plaisir
dans 1 exercice de leur intelligence, que presque tous
regardent com me penible et fastidieux.
Ainsi, il doit y avoir a 1 Ecole normale un cours de
Geometric descriptive.
Mais comme nous n avons sur cet art aucun ouvrage
elernentaire bien fait, soit parce que jusqu ici les
XVI LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
savants y ont mis trop peu d interet, soit parce qu il
n a etc pratique que d une maniere obscure par des
personnes dont ^education n avait pas ete assez
soignee, et qui ne savaient pas communiquer les
resultats de leurs meditations, un cours simpleinent
oral serait absolument sans effet.
II est necessaire pour le cours de Geometric descrip
tive, que la pratique et 1 execution soient jointes a
1 audition des methodes.
Ainsi les eleves doivent s exercer aux constructions
graphiques de la Geometrie descriptive. Les arts graphiques
ont des methodes generales, avec lesquelles
on ne peut se familiariser que par 1
usage de la regie et
du compas.
Parmi les difTerentes applications que Ton pent faire
de la Geometrie descriptive, il y en a deux qui sont
remarquables, et par leur generalite, et par ce qu elles
ont d ingenieux : ce sont les constructions de la pers
pective et la determination rigoureuse des ombres
dans les dessins. Ces deux parties peuvent etre considerees
comme le complement de 1 art de decrire les
objets.
GEOMimilE DESCRIPTIVE
i.
1. La Geometric descriptive a deux objets : le pre
mier, de donner Its metliodrs pour represcnter sur
une feuille de dessin <|iii
n a <|tie
deux dimensions,
savoir, longueur et largeur, tous les corps de la nature
qui en out trois, longueur, Jar^eur et profondeur,
pourvu neanmoins que ces corps ]>uissent etre definis
rigoureiisrtnent.
Le second objet esl de donntr la mar.im d" I -eonnailre,
d apres une description exacte, les formes des
corps, et d en deduire toutes les verites qui resultent
et de leur forme et de leurs positions respectives.
Nous allons d abord indiquer les procedes qu une
longue experience a fait decouvrir, pour remplir le
premier de ces deux objets: nous donnerons ensuite la
maniere de remplir le second.
2. Les surfaces de tous les corps de la nature pouvant
etre considerees comme composees de points, le
premier pas que nous allons faire dans cette matiere,
doit etre d indiqucr la maniere dont on exprime la
position d un point dans l*espace.
L espace est sans limites; toutes ses parties sont
parfaitement semblables, elles n ont rien qui les caracMONQE.
I. I
9. LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
Irriso, et aucune d dles nc pent servir de lermc dc
.ruison pour indiquer la position d un point.
Ainsi, pour definir la position d un point dans
1
espace, il faut necessairemcnt rapporter cette posi
tion a quelques autrcs objets distincts des parties de
Tespace qui les renferme, et qui soient eux-memes
connus dc position, tant de celui qui definit, que de
celui qui vent entendre la definition; et pour que le
pi-ooY-di puisse dcvenir lui-memc d un usage facile ct
journalier, il faut que ccs objets soient aussi simples
qu il est possible, et que leur position soit la plus facile
a concevoir.
3. Parmi tons les objets simples, nous allons recherclicr
quels sont ceux qui preseritent plus de facilite
pour la determination de la position d un point;
et parce que la Geometric n oftre rien de plus simple
qu un point, nous examinerons dans quel genre de
considerations on serait entrainer si, pour determiner
la position d un point, on le rapportait a un certain
nombre d autres points dont la position serait connue;
enfin, pour mettre plus de clarte dans cette exposi
tion, nous desigrierons ces points connus par les lettres
successives A, B, C, etc.
Supposons d abord que la definition dc la position
du point comporte qu il soit a i
m de distance du
point connu A.
Tout le monde sait que la propricte dc la surface de
la sphere est d avoir tous ses points a egale distance
de son centre. Ainsi, cette partic de la definition
cxprime que le point que Ton veut determiner a la
meme propriete que tous ceux de la surface d unc
GEOMETRIE DESCRIPTIVE.
s|>lirndont
le centre serait au point A, t dont Ir
ray DII serait i
m. Mais les points do la surface de la
sphere sont les seuls dans tout 1
espace qui aient cette
}>ro|.
;ir!, ; mr lous les points de 1
cspace qui sont
au del,;
i dr crtlr surface, par rapport an centre, s.>nt
phis eloipies du centre que dr i"\ ct tons eeux qui
sont enti !r o nhv s<>nt,
au contraire,
moins eloiomes du centre que de i
m : done Lous les
points de la surface de la sphere non seulemenl.
jouissent de la propriete enoncee dans la proposition,
mais encore ils sont les seuls qui en jouissent; d..n-,
enfin, cette proposition exprime que le point cherche
est im de ceux de [a surface d une sphere dont Je
(nitre serait au point A, et dont le rayon serait i
m.
Par la, ce point est actuellement distinct d une infi
nite d autres places dans Tespace; mais il est encore
confondu avec tons ceux de la surface de ia s|>h<V-;
i! l;< ut d autres conditions pour le reconnaitre parrni
Supposons ensuite que, d apres la definition de la
position du point, il doivc etre a ?.
m de distance du
second point connu B; il est evideni cpi en raisonnant
pour cette seconde condition comme pour la premiere,
le point doit encore etre un de ceux de la surface d une
seconde sphere, dont le centre serait au point B, ct
dont le rayon scrait 2 m. Ce point, devant se trouver en
meme temps et sur la surface de la premiere sphere
et sur celle de la deuxieme, ne peut plus etre confondu
qu avec ceux qui sont communs aux deux surfaces, ,
qui sont dans leur commune intersection :
or, pomqu
on soil familiarise avec les consideration
tn<{u
t
>s,
on suit que I intcrsretion drs surfaces de deux
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
spheres est la circonference d un cercle dont le centre
est sur la droite qui joint ceux des deux spheres, et
dorit le plan est perpendiculaire a cette droite; done,
en vertu des deux conditions reunies, le point cherche
est actuellement distinct de ceux qui sont sur les sur
faces des deux spheres, et il ne peut plus etre confondu
qu avec ceux de la circonference du cercle, qui jouissent
tous des deux conditions enoncees et qui en jouissent
seuls. II faut done encore une troisieme condition pour
le distinguer.
Supposons enfin que le point doive se trouver a 3m
de distance d un troisieme point C, connu. Cette troi
sieme condition le place parmi tous ceux de la surface
d une troisieme sphere, dont le centre serait au point C,
et dont le rayon serait 3 m. Et parce que nous avons
vu qu il doit etre sur la circonference d un cercle conriu
de position, pour satisfaire en mcme temps aux trois
conditions, il faut qu il soit un des points communs,
et a la surface de la troisieme sphere, et a la circonfe
rence du cercle :
or, on sait qu urie circonference de
cercle et la surface d une sphere ne peuvent se couper
qu en deux points; done, en vertu des trois conditions,
le point se trouve distingue de tous ceux de Fespace,
et ne peut plus etre que 1 un dc deux points deter
mines; en sorte qu en indiquant, de plus, de quel cote
il est place par rapport au plan qui passe par les trois
centres, ce point est absolument determine, et ne peut
plus etre confondu avec aucun autre.
On voit qu en cmployant, pour determiner la posi
tion d un point dans Fespace, ses distances a d autres
points conrms, et dont le nombre est necessairement
trois, Fon est entraine dans des considerations qui ne
CEOMETRIE DESCRIPTIVE.
sont pas assez simples pour servir do base a dps profi
drs d un usage habituel.
4. Rocherchons actuellement qurllrs srraimt Irs
considerations auxquelles on serait conduit si, au lieu
de rapporter la position d un point a Irois an I ITS
points connus, on le rapportait a des droites donnees
de position.
Nous ferons observer auparavant qu une ligne
droile ne doit jamais etre considered comme termimV,
et qu elle peut toujours etre indefmiment prolongee
dans 1 un ct dans 1 autre sens.
Pour simplifHT, nous nommerons successivement A,
H, C, etc., les droites que nous serons obliges d em-
ployor.
Si de la definition de la position du point il result e
(ju il doive se trouver, par exemple, a i
m de distance
de la premiere droite connue A, on enonce que ce
point cst 1 un de ceux de la surface d un cylindrc a
base circulaire, dont 1 axe serait la droite A, donl le
rayon serait i
m,
et qui serait indefmiment prolonge*
dans les deux sens de sa longueur; car tous les points
dt> cette surface jouissent de la propriete enoncee dans
la definition, et sont les seuls qui en jouissent. Par
la, lc%
point est distingue de tous les points de 1
espace
qui sont on dehors de la surface cylindrique; il est
pareillemenl distingue de tous ceux qui sont dans
1 interieur du cylindre, et il ne peut etre confondu
qu avec ceux de la surface cylindrique, parmi lesquels
on ne peut le distinguer qu au moyen de conditions
nouvelles.
Supposons done que le point cberche doive, en
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
outre, etre place a 2 m de distance de la seconde ligne
droite B : on voit de meme que par la on place ce
point sur la surface d un second cylindre a base circulaire,
dont 1 axe serait la ligne droite B, et dont le
rayon serait 2m,
mais avec tous les points de laquelle
il est corifondu, si Ton ne considere que la seconde
condition sculc. En reunissant ces deux conditions,
il doit done se trouver en meme temps et sur la pre
miere surface cyliridrique et sur la seconde : done il
ne pent etre que Pun des points communs a ces deux
surfaces, c est-a-dire Pun de leur commune intersec
tion. Cette ligne, sur laquelle doit se trouver le point,
participe de la courbure de la surface du premier
cylindre et de la courbure de celle du second, et est, en
general, du genre de celles qu on appelle courbes a
double courbure.
Pour distinguer le point de tous ceux de cette ligne,
il faut une troisieme condition.
Supposons, enfin, que la definition enonce que le
point demande doive encore etre a 3 m de distance
d une troisieme ligne droite C.
Cette. nouvelle condition exprime qu il est un de
ceux de la surface d un troisieme cylindre a base circulaire,
dont la troisieme ligne droite C serait Paxe, et
qui aurait 3 m de rayon :
done, en reunissant les trois
conditions, le point cherche ne peut plus etre qu un
de ceux qui sont communs, et a la troisieme surface
cylindrique, et a la courbe a double courbure, inter
section dcs deux premieres. Or, cette courbe peut, en
general, etre coupee par la troisieme surface cylin
drique en huit points; done les trois conditions reduisent
le point cherche a etre Pun des huit points
CEOMETRIE DESCRIPTIVE.
iiM *, (I parmi lesqus-ls on nc prul, ]<
|uv par quelquea conditions particulieres, d;i
dc cellos dont nous avons donne un rx<
-mplr dans ]<>
ras des poinls.
On voit que les considerations auxqueiles on cst
ror.dnit pour determiner la position d un point dans
l (
-space, par la connaissancc dc ses distances a I mis
Jignes droites connues, sont encore bien nioins simples
que cellcs auxqueiles donnent lieu ses distances a
trois points, et qu ainsi elles peuvent encore moins
servir de base a dcs methodes qui doivent etre d un
service frequent.
5. Parmi les objets simples que la Geometric consi
der?, il faut remarquer principalement : i Ic point
qui n a aucune dimension; 2 ]a ligne droite qui n en
a qu une ;
3 le plan qui en a deux. Recherchons s il ne
serait pas plus simple de determiner la position d un
point, par la connaissance de ses distances a des pians
connus, qu il nc i tst d employer ses distances a des
points ou a des lignes droites.
Supposons done qu il
y ait dans 1
espace des plans
non paralleles, connus de position, et que nous designerons
successivement par les lettres A, B, C, D, etc.
Si, d apres la definition de la position du point, ii
doit etre, par exemple, a i
m de distance du premier
plan A, sans- qu il soit exprime de quel cote il doit etre
place par rapport a ce plan, on enonce qu il est un de
ceux de deux plans paralleles au plan A, places Tun
d un cote de ce plan, 1 autre de 1
autre, et tous deux a
i
m de distance du premier : car tous les points de ces
deux plans paralleles satisfont a la condition exprimce,
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
et sont, de tous ccux de i
cspace, les seuls qui y satis -
fassent.
Pour distinguer, parmi tous les points de ccs deux
plans, celui dont on veut definir la position, il faut
done encore avoir recours a d autres conditions.
Supposons, en second lieu, que le point cherche
doive etre a 2 m de distance du second plan B :
par la,
on le place sur deux plans paralleles au plan B, Ions
deux a 2 m de distance de ce plan, 1 un d un cote,
J aulre de 1 autre. Pour satisfaire eri meme temps aux
deux conditions, il faut done qu il se trouve, et sur
1 un des plans paralleles au plan A, et sur 1 un des
deux plans paraiJeles au plan B; et, par consequent,
qu il soit 1 un des points de la commune intersection
de ces quatre plans. Or, la commune intersection de
quatre plans paralleles deux a deux, et de la position
connue, est 1
assemblage de quatre lignes droites egalement
connues de position; done, en consideranl en
meme temps ces deux conditions, le point n est plus
confondu avec tous ceux de 1
espace, ni meme avec
tous ceux de quatre plans, mais seulement avec ceux
de quatre lignes droites. Enfin, si le point doit elre
aussi a 3 m de distance du troisieme plan C, on exprime
qu ii doit etre Fun de ceux de deux autres plans paral
leles au plan C, et places de part et d autre, par rap
port a lui, a 3 m de distance. Ainsi, en vertu des trois
conditions, >1 doit etre en meme temps, et sur 1 un des
deux derniers plans, ft sur 1 une des quatre lignes
droites, intersections des quatre premiers plans : il ne
peut done etre que 1 un des points" communs, et a Pun
de ces deux plans et a 1 une des quatre droites. Or,
chacun des deux plans ayant un point commun avec
GEOMETRIE DESCRIPTIVE.
clmcunc des iiuatrc ligncs droilcs, i!
y a Iniil points
dans I
espaCC, |iii salisfont a la fois aux Irois eondilions
: done, pur ces I mis conditions reunies, le point
demande inpout
plus etre que Tun des huit points
determines, <!
panni lesquels on n- prut le
distinguer
qu au moyrn dr qnelqiies conditions part iculiere*.
Par example, si, en indiquanl la dislance an pre
mier plan A, Ton cxprime aussi dans quel sens, par
rapport a ce plan, la distance doit etre prise; au lien
de deux plans paralleles au plan A, il n y en a plus
qu un qu il faille eonsiderer, c esl celui"
qui cst pl;,< ,
par rapporl a lui, du cole vcrs k-quel la distance doit,
etre mesuree. De meme, si i on indiquo dans <pi
I s.
MS,
par rapport au second plan, la distant-. doii eire prise,
!n! la consideration d un des deux plans paral..u
second; cl il n y en a plus qii iin doni Ions !<-s
points satisfassent a la scconde condition; ct en reunissant
ces conditions, le point ne pent plus etre sur
Ics quatre droites d interscction de quatre plans paral
lels denx a deux, mais seulement sur Tin Id-section
de deux plans, c est-a -dire sur unc ligne droite connue
d. position. En fin, si Ton iridique aussi d<tpu-j
cote
point doit etre place par rapport au troisieme plan,
de deux plans paralleles au troisieme il n y en aura
plus qu un dont tous les poin Is salisfasserit a la derniere
condition; et pour satisfaire en memo temps a
ces trois conditions, le point devra Be Iroiivcr a I intersection
de ce troisieme plan a\\ c la droitc unique,
Jnl >(
ct i. MI d. s tl< ILX premiers. II n<
poiirra done })lii
-,
clrc CO,I| UM!I! avrc aucun autre dans 1
espace, ct il
sera par consequent enlierenn-n!. deh rmine.
On voit don<>
(pie, quoiqn,-, par rappc.rl an noml.iv
10 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
de ses dimensions, le plan soit un objet moins simple
<[ue
la ligne droile qui n en a qu une, et que le point,
(jiii
n en a pas, il
presente cependarit plus dc faciiite
que le point et la ligne droite pour la determination
tl im point dans 1
espace : c est ce precede que Ton
emploie ordinairement dans 1
application de 1
Algebre
a ia Geometric, ou, pour cherchcr la position d un
point, on a coutume de cliercher ses distances a trois
plans connus de position.
Mais dans la Geometric descriptive, qui a etc pratiquee
depuis Leaucoup plus longtemps, par un beaucoup
plus grand nombre d hommes, et par des hommes
dont le temps etait precieux, les precedes se sont
-encore simplifies; et au lieu de la consideration de
trois plans, on est parvenu, au moyen des projections,
a n avoir plus besoin explicitement que de celle de
deux.
6. On appelle projection d un point sur un plan, le
pied de la perpendiculaire abaissee du point sur le
plan.
Cela pose, si I on a deux plans connus de position
dans 1
espace, et si I on donne, sur chacun de ces plans,
la projection du point dont on veut definir la position,
ce point sera parfaitement determine.
En ciTet, si, par la projection sur le premier plan,
Ton concoit une perpendiculaire a ce plan, il est evi
dent qu elle passera par le point defini; de meme si,
par sa projection sur le second plan, Ton congoit une
perpendiculaire sur ce plan, elle passera de memo par
le point defini : done ce point sera en rnerne temps sur
deux lignes droites conmies dc position dans 1
espace;
CEOMETRIE DESCRIPTIVE.
done il sera le point unique de leur intersrriion; done
enfin, il sera parfaitenit>nt d<
terming.
Dans les paragrapbes suivants, on indiquera IPS
moyens de rendre ce precede d un usage facile, et de
nalnrr a etrc employe sur une seule feuillc de dessin.
7. Si (fig. i), de tons les points d unr li
droitr mdrlinir AH, place. d une maniere quelcnnqiir.
dans 1
espaee, 1 on eoneoit des perpendieulaires
abaissees sur un plan LMNO, donne de position, tous
les points de rencontre de ces perpendiculaircs avec
le plan seront dans une autre ligne droite indefinie ab\
car ellcs seront toutes comprises dans le plan mene
par AB perpendiculairemcnt an plan LMNO, et ellcs
nc pourront rencontrer cc dernier que dans 1 inierscction
commune des deux plans, qui, comme on sait,
est une ligne droite.
La droite a6, qui passe ainsi par les projections
de tous MS points d une autrc droite AB sur un
plan LMNO, est ce qu on appelle la projection dc la
droite AB sur ce plan.
Comme deux points suflisent pour determiner la
p>itin d une lijrnr droite; pour const ruire la projerlion
d linr. dnile, il snllil, dr. const ruin- (tcJIc, dc
deux de ses points, et la droite rnenee par les projec
tions de ces points sera la projection demanclee.
II suit de la que, si la droite proposee est elle-meme
perpendiculaire au plan de projection, sa projection
sc reduira a un seul point, qui sera celui de sa rencontre
avec le plan.
Etant donnees (fig. 2) sur deux plans non paralleles
LMNO, LMPQ les projections at, a b
f
d une meme
1-2 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
droitc indefinie AB, cette droite est determinee : car
si, par Tune des projections a&, Ton congoit un plan
perpendiculaire a LMNO, ce plan, connu de position,
passcra necessairemeiit par la droite AB; de memo
si, par Tan t, re projection a h
1
,
Ton concoit un plan
perpendiculaire a tiMPQ, ce plan, connu de position,
pussera par la droitc AB. La position de eel I.e
droile,
(jui se trouve en nieme temps sur deux plans coiinus,
et par consequent a leur commune intersection, esL
done absolumeiit determinee.
8. Ge que nous venons de dire est independaiit de
la position des plans de projection, et a lieu egalemeiit,
quel que soit Tangle que ces deux plans fassent entre
eux. Mais si Tangle que forrnent les deux plans de pro
jection est tres obtus, Tangle que forment entre eux
ceux qui leur sont perpendiculaires est tres aigu; et
dans la pratique, de petites erreurs pourraient en
apporter de tres grandes dans la determination de la
position de la droite. Pour eviter cette cause d inexactilude,
a moins qu on n eii soil detourne par quelques
considerations qui presenteiit de plus grandes facilites,
on fait toujours en sorte que les plans de pro
jection soient perpendiculaires entre eux. De plus,
comme la plupart des artistes qui font usage de la
methode des projections sont tres familiarises avec
la position d un plan horizontal el la direction du fil a
plomb, ils out continue de suppostr que, des deux
plans de projection, Tun soit horizontal et I autre
vertical.
La iieet.:ssite de i aire en sorte que dans les dessiris les
deux projections soient sur une meme feuille, et que
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 13
I<{
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
dans les operations en grand elles soient sur une memo
aire, a encore determine les artistes a concevoir que le
pian vertical ait tourne autour de son intersection avec
le plan horizontal, comme charniere, pour s abattre
sur le plan horizontal, et ne former avec lui qu un seul
et merne plan, et a construire leurs projections dans
cet etat.
Ainsi, la projection verticale est toujours tracec de
fait sur un plan horizontal, et il faut perpetuellement
concevoir qu elle soit dressec et remise en place, au
moyen d un quart de revolution autour de 1 interscction
du plan horizontal avec le plan vertical. Pour
cela, il faut que cette intersection soit tracee d une
maniere tres visible sur le dessin.
Ainsi, dans la figure 2, la projection a! b
r
de la
droite AB ne s execute pas sur un plan qui soit reellement
vertical : on concoit que ce plan ait tourne
autour de la droite LM pour s appliquer en LMP Q ;
et
c est dans cette position du plan qu on execute la pro
jection verticale a b .
Iridependamment des facilites d execution que presente
cette disposition, elle a encore 1
avantage
d abreger le travail des projections. En efTct, supposons
que les points a, a soierit les projections horizontale
et verlicalc du point A, le plan mene par les
droites A#, A.a sera en ineme temps perpendiculaire
aux deux plans de projection, puisqu il
passe par
des droites qui leur sont perpendiculaircs ;
il sera done
aussi perperidiculaire a leur commune intersection LM ;
et les droites aC, a C, suivant lesquellcs il
coupe ces
deux plans, seront elles-meincs pcrpcndieulaires a LM.
Or, lorsque le plan vertical tourne autour de L\l
CEOMETRIE DESCRIPTIVE. i ~>
" (: n<>
l
mouvement, dV-ir
ill;
,
:
n perpendiculi
ttu, ellea m-is !a position Co*. Done lea dom.
el 6tan1 touted dew :<l LM >
sont :
I,,
pro]
;it Time do ! .
It-oiUiS &D, Dfc", par rapport a tout -uint
comme B. Koii i! suif quc, si I ou a la
pr
homontalc dSin polnt,la projcetion poim
<ur le plan vertical, suppose aballu, s la
droitc menee par la projection
horizontal p< rpendiculaircment
a I inl i des deux
j.n. j.-rl iu, ot. rr<-i[)i (>-jr,fii,
Ceresultatrsl d <-" ! dans la Pra "
tiuiu .
9. Jusqu a present,
nous avons regardc la hgnc
droite AB (fig. i) coin; 0! s !!1>
"
n avions a nou er -ju^ d. sa direction; mi
p.-u! se fairc quc cctK droite
:
n1111
ti i-niinee par deux de scs points A, B; e1
d- plus avoir l.osoin do co.n.ailre sa K r
alions voir roiunicnt on pout la dcduire do la coi
sauce de M s d u\ l
;
n-jv c lions.
Lorsqu une droite cst parallel
. a un d , deux
sur !
Me c-st projetee,
sa lc ale a
sur ce plan; car !. ct sa
projection, 6tan1 touus d ux unumees a d^ux per-
pendiculaircs
au plan d .projection,
soul parallele
entre elles et comprises c litre parallels. Ainsi, da
cc cas particular,
!a
pnj cli^n el ant donnee, la ion-
iC LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
gueur de la droite qui lui est egale est aussi donnee.
On est assure qu unc droite est parallelc a un des
deux plans de projection, lorsque sa projection sur
Tautre est parallele a 1 intersection de ces plans.
Si la droite est en meme temps oblique aux deux
plans, sa longueur est plus grande que celle de chacune
de ses projections; rnais elle pent en etre deduite par
une construction tres simple.
Soil AB (fig. 2) la ligne droite, dont les deux pro
jections ab, a b soient donnees, et dont il faille trouvcr
la longueur; si, par une de ses extrcmit.es A, et dans
le plan vertical qui passe par la droile, on coneoit
une horizontale AE, prolongee jusqu a ce qu elle ren
contre en E la vertical? abaissee par I autre extremite,
on formera un triangle rectangle AEB, qu il s
agit de
construire pour avoir la longueur de la droite AB, qui
en est Thypotenuse. Or, dans ce triangle, independamment
dc Tangle droit, on connait le cote AE, qui
est egal a la projection donnee ab. De plus, si dans le
plan vertical on mene par le point a une horizontale
a e., qui sera la projection de AE, elle coupera
la verticale I D en un point e, qui sera la projection
du point E. Ainsi, b e sera la projection verticale
de BE, et sera par consequent de meme longueur
qu elle. Done, connaissant les deux cotes de Tangle
droit, il sera facile de construire le triangle, dont
Thypotenuse donncra la longueur de AB.
La figure 2, etant en perspective, n a aucun rapport
avec les constructions de la methods des projections :
nous aliens donner ici la construction de cettc pre
miere question dans toute sa simplicite.
La droite LM (fig. 3) etant supposee 1 intersection
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. I;
des deux plans de projection, ct les droitcs at, a" b"
elant les projections donnees (ruin- li^nr. droile; pour
ln>nviT !a longueur de cette droite, par Ic ])oint a"
MM menera 1 horizontale indeiinie lie, qui coupcra
la droite bb" en un point <>,
et sur laqnellr, a pad ir di
ce point, on portera ah de c en II. On menera 1
hypoIt
imsr 11// , el ia longueur de cdh- hypotenuse sera
celle d ia
droilr d -mandee.
Commc les deux plans de
projection
soul roctangulaires,
Toperation que Ton vient de faire sur un de ces
plans pnuvait etre faite sur 1
autre, et aui-ail dn:in le
int iii:- re>u!lal.
I >\i
p.vs ce qui precede, on voit que si Ton a les deux
projections d un corps termine par des faces planes,
par des aretes rectilignes, et par des ^muiiets d angles
lid.-s,
pr.ij ( iit)us qui se reduisent an\ systeines de
celles d s arrh s n elili^nrs, il sera facile dVn rondure
la longueur tie t<
lie dc ses diniensioifs qu on voudra :
car, on celle diim ii>i<n sera parallele a un des deux
plans de projection, on elle sera en meme temps
oblique aux deux; dans le premier cas, la longueur
demandee de la dimension sera egale a sa projection :
dans le second, on la deduira de ces deux projections
par !;
proei -d;
(|iic
nous venons dc cleerir^.
10. Ce serait ici le lieu d imliqu.-r la inanien- dont s--
construisent les projections des solidcs tormiues par
d :l
plans et des aretes rectilignes; mais il n y a jiour
cette operation aucune regie generale : on sent en
efTet que, selon la maniere dont la position des sonimets
des angles d un solide est defmie, la construction
de leurs projections peut etre plus ou moins facile, et
MONGK. I.
l8 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
que la nature de 1
operation doit dependro d, cello de
la definition. II en est precisemcnt de cct objet comme
de 1
Algebre, dans laquelle il n y a aucuii precede
general pour mettre un probleme en equations. Dans
chaque cas particulier, la marche depend de la maniere
dont la relation entre les quantites donnees et
celles qui sont inconnues est exprimee; et ce n est que
par des excmplcs varies que 1 on peut accoutumer les
commeneants a saisir ces relations et a les ecrire par
des equations. II en est de memo pour la Geometric
descriptive. G est par des excmples noinbrcux et par
1
usage de la regie et du compas dans des salles d exercice,
que 1 on peut acquerir 1 habitude des construc
tions, et que Ton s accoutumc au choix des methodes
les plus simples et les plus elegantes, dans chaque cas
particulier. Mais aussi, de memo qu en Analyse,
lorsqu un probleme est mis en equations, il existe d-s
precedes pour traiter ces equations, et pour en deduire
les valeurs de cliaque inconnue; dc meme aussi, dans
la Geometric descriptive, lorsque les projections soul
faites, il existe des methodes generales pour construire
tout ce (|ui resuile de la forme ct de la position
respective des corps.
Ce n est pas saris objet que nous comparons ici la
Geometric descriptive a 1
Algebre; ces deux sciences
ont les rapports les plus in times. II n y a aucune cons
truction de Geometric descriptive, qui ne puisse etrc
traduite en Analyse; et lorsque les questions ne cornportent
pas plus de trois inconnues, chaque operation
analytique peut etre rogardee comme 1 ecriture d un
spectacle en Geometric.
II serait a desirer que ces deux sciences fussent
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. I)
cultivees ensemble : la Geometric descriptive port<
rait
dans les operations analytiques les plus compliquees
1 evidence qui est son caractere, et, a BOH tour, 1 Analyse
porterait dans la Geometric la generalite qui lui
est propre.
11. La convention, qui sert de base a la methode des
projections, est propre a exprimer la position d un
point dans 1
espace, a exprimer celle d une Hgne droile
indefinie ou terminee, ct par consequent a representer
la forme et la position d un corps termine par des faces
planes, par des aretes rectilignes, et par des sommets
d angles solides; parce que, dans ce cas, le corps est
entierement connu, quand on connait la position de
toutes ses aretes et celle des sommets de tous ses
angles. Mais si le corps etait termine, ou par une sur
face courbe unique, et dont tous les points fussent
assujetis a une meme loi, comme dans le cas de la
sphere, ou par 1
assemblage disconlinu de plusieurs
parties de surfaces courbes differentes, comme dans
le cas d un corps faconne sur le tour; cette convention
non seulement serait incommode, impraticable, et
n aurait pas 1
avantage de faire image, mais encore
elle manquerait de fecondite et elle serait insuffi-
santo.
D abord, il est facile de voir quo la convention que
nous avons faite serait incommode, et meme impra
ticable, si elle etait seule; car, pour exprimer la posi
tion de tous les points d une surface courbe, il faudrait
non seulement que chacun d eux fut indique par sa
projection horizontale et par sa projection verticale,
mais encore que les deux projections d un meme point
20 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
fussent liees entre elles, afin qu on ne fut pas expose
a combiner la projection horizon tale d*un certain
point avec la projection verticale d un autre; et la
maniere la plus simple de Her entre elles ces deux
projections etant de les joindrc par une merne droitc
perpendiculaire a la ligne d intersection des deux
plans de projections, 011 surchargerait les dessins d un
nombre prodigieux dc iignes, qui y jetteraient une con
fusion d autant plus grande qu on voudrait approcher
davantage dc ^exactitude. Nous allons faire voir
ensuite que cette rnethode serait insuifisante, et
qu elle manquerait de la fecondite necessaire.
Parmi le nombre infini de surfaces courbes differentes,
il en existe quelques-unes qui ne s etendent
que dans une partie finie et circonscrite de Pespace, et
dorit les projections ont une etendue limitee dans
toutes les directions; celle de la sphere, par exemplc,
cst dans ce cas. L etendue de sa projection sur un plan
se reduit a celle d un cercle de meme rayon que la
sphere; et Foil peut concevoir que le plan sur lequel
on doit en faire la projection ait des dimensions assez
grandes pour la recevoir. Mais toutes les surfaces
cylindriques sont indefmies dans une certaine direc
tion, comme la droite qui leur sert de generatrice. Le
plan lui-meme, qui est la plus simple des surfaces, est
indefini dans deux sens. Enfin, il existe un grand
nombre de surfaces dont les nappes multipliers
s elendeiil- en meme temps dans toules les regions
de 1
espace. Or, les plans sur lesquels on execute les
projections ont necessairement une etendue limitee.
Si done on n avait d autre moyen pour faire connaitre
la nature d une surface courbe que les deux projec-
GEOMETRIE DESCRIPTIVE.
lions do chacun des points par lesquels clle passe, cc
nioyen ne serait applicable qu a ceux des points de la
surface, qui correspondraient a 1 etendue des plans
!
projections; tous ceux qui seraimt ;MI drl-i inpourraienl
Hn- ni <
\primes ni connus :
ainsi, Ja melliode
strait iiisullisantc. Enlin, die inumjiu rail ilr
ItVonclilr, parce qu on ne pourrait en deduirr rim <!<
(
<|ui
serait relalif aux plans tangents de la surface, a
ses norniales, a ses deux courbures en chaque point,
a ses lignes d intlexion, a ses aretes de rebroussemenl,
a ses lignes multiples, a ses points multiples, a toules
les affections enfin qu il est necessaire de considerer,
dfcs qu on vcut opi i-rr Mir une surface courbe.
II a done fallu avoir recours a une convention nouvelle
qui fut compatible avec la premiere, et qui put
la suppleer partout ou elle aurait ete insuffisante. G est
cette convention nouvelle que nous allons exposer.
12. II n y a aucuiie surface courbe qui ne puisse
HI. rt gardcr coiiime cngendree par le mouvemenl
d une lignc eourbe, ou constante de forme ioncpi elle
change de position, ou variable en iiieme temps et dc
forme et de position dans 1
espace. Comme cette pro
position pourrait etre difficile a comprendre a cause
de sa generalite, nous allons 1
expliquer sur quelques-uns
des exemples avec lesquels nous sommes
deja familiarises.
!.< ,<
surfaces cylindriqu< }.
t ii\nil elre engendrees
dt deux manieres principals ;
ou par le mouvement
d une ligne droite qui reste toujours parallele a une
droite doimec p;iidaiit qu elle se meut, m s
appuyant
toujours sur une courbe donnee, ou par le mouvement
22 LES MAITRES DE LA PENSEE SC1ENTIFIQUE.
de la courbe qui servait de conductrice dans le pre
mier cas, ct qui se ineut de maniere quc, s appuyant
toujours par le meme point sur une droite donnee,
tous ses autres points decrivent des lignes paralleles
a cette droite. Dans 1 une et 1 autre de ces deux gene
rations, la ligne generatrice, qui est une droite dans le
premier cas, et une courbe quelconque dans le second,
est constante de forme : elle ne fait que changer de
position dans 1
espace.
Les surfaces coniqucs ont de meme deux genera
tions principales.
On peut d abord les regarder comme engendrces
par une droite indefinie qui, etant assujetie a passer
toujours par un point donne, se meut de maniere
qu elle s appuie constamment sur une courbe donnee
qui la dirige dans son mouvement. Le point unique,
par lequel passe toujours la droite, est le centre de la
surface ;
c est iinproprement qu on lui a donne le nom
de sommet. Dans cette generation, la ligne generatrice
est encore constante de forme; elle ne cesse jamais
d etre une ligne droite.
On peut ensuite engendrer les surfaces coniqucs
d une autre maniere, que, pour plus de simplicite,
nous n appliquerons ici qu au cas de celles qui sont
a bases circulaires. Ces surfaces peuvent etre regardees
comme parcourues par la circonference d un cercle
qui se meut de maniere que son plan restant toujours
parallele a lui-meme, et son centre se trouvant toujours
sur la droite dirigee au sommet, son rayon, dans
cliaque instant du mouvement, soit proportionnel a la
distance de son centre au sommet. On voit que si,
dans son mouvement, le plan du cercle tend a s appro-
CEOMETRIE DESCRIPTIVE.
clii r dii Minum I dr la surface, le rayon du c< Tele dreroil
pour devenir niii lorsque le plan p:ise
par !<
sonimel,
et <pit
.....
rayon cli;:ii|H de sms p<-ar
eroiliv eiisuile
indeiiniim nl, lor.^pie Itplai-.
a;.iY- avoif pa->e par le
M.mm -t, I en rt-arh- dt>
phis t n ]dus. Dans ccttc -<((Hide
i:i -!irr:;!ioM, lion sculriiicn I la ( irr.ni I rrcncc du
rrrrli , (jiii
rsl !a . fiirlic jirin ral rit-r, change dr position,
rllr change cncor:- dr fi.riiM- a cliaipic instant ilu son
mouvemenl. piiis(|ii cllc clian^c d<ra\nn,c!,
par ronscquent,
de courbure rl d^tendue.
Citons tnfin un Iroisirinc c\i !ii|)lc.
Une surface do rcvolulion p.-ul i-irr IMIL" -ndnV. par
le mouvement d une courbc plane, (pii tourne autour
d une ligne droite placee d une maniere quelconque
dans son plan. Dans cettc ni.ii.i* iv de la considrivr,
sa conrbe generatrice est conslanU- d;- forme ;
rlic csl
seulement variable de position. Mais aussi on pi-ul la
rrgardcr comme eiiLi< iidrrc ]ar la ciroonference d un
cercle tpii sc nieul dc inanirrc (pic, son ccnln- riant
toujours sur Taxe, et son plai. rlanl loiijonrs pi-rp-ndiculaii
e a cut axe, son rayon soil a chaque instant
egal a la distance du point, ou le plan du circle coupe,
1 a \e, a celui ou il
coupe une courbe quelconque donnee
dans 1
espaee. Alors la conrl*.- j.
/n -ralrie. 4
ciioi.
inein. u nip.s ct de forme et de position*
Ces trois excinplrs doivcnt snllire [MHIT i aire comptendre
([ue toutes les surfaces cimrb -s
peuvent etrc
engcndrees par K jnouveinenl d-- e< rianus lign^s
courbes, et qu il n y en a uucune. don! !a forme et la
position ne puissent etre entitlement determinecs par
la definition exacte et complete de sa generation. C est
cette nouvelle consideration cpii forme le
comple-
24 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
merit de la methode des projections. Nous aurons
souvent occasion, par la suite, de nous assurer et de
sa simplicity et de sa recondite.
Ge n est done pas en donnant les projections des
points individuels, par lesquels passe une surface
courbe, que Ton en determine la forme et la position,
mais en mettant a portee de construire pour un point
quelconque la courbe generatrice, suivant la forme
et la position qu elle doit avoir en passant par ce
point. Sur quoi il faut observer : i
que chaque sur-
1 ace courbe pouvarit etre engendree d un nombre
infini de manieres different t-s,
il cst de i adresse et de
la sagacite de celui qui opere de choisir, parmi toutes
ies generations possibles, celle qui emploie la courbe
la plus simple et qui exige les considerations les moins
penibles; 2 qu un long usage a appris qu au lieu de ne
considerer pour chaque surface courbe qu une seule
de ses generations, ce qui exigerait 1 etude de la loi du
mouvernent et de celle du changement de forme de
sa generation, il est souvent plus simple de considerer
en meme temps deux generatrices dillerentes, et d iridi(jiicr
pour chaque point la construction des deux
courbes generatrices.
Ainsi, dans la Geometric descriptive, pour cxpriirier
la forme et la position d une surface courbe, il sulli!,
pour un point quelconque de cette surface, et dont une
des projections peut elre prise a volontc, do donntr
la inaniere de constrains les projections horizontale el
verticale de deux generatrices dillerentes qui passent
par ce point.
13. Appliquons actuellement ces generaliies au
GEOMETRIC DESCRIPTIVE. a5
plan, tpii, d. loules It s surlacf., e.-t l;i
plus
ctcelledoni L
emploiesl le plus frequent,
I .f
plan <
.-I
entendre par une premiere droite dnnnee
d almrd de pnMiiun, <t
jiii
se nu nl <!.- maniere (pic
tons ses point- diVrmnl di - droi,<s
p;;ra!!.".
; i up<seconds
droite domice. Si la s? rr.<lr (iroih- rst cllrniriiii
dans !
plan (pir 1 dii cdnsidcri1
,
on prut, dire
aussi <pic
cr plan cst engoiidr*
par
la secondc lr il
i
,
ipii sc nuMit d<- manierc -pic Inns srs points drcrivcnt
des droites parallMes a la JJIH
inirrc.
On a done 1 idee dc la position d un plan par la <
>HMderation
d< deux ligties droites, dnnt chacune ]>cui
f i
Hregardee
c oininc sa ^oneratrico. La position d c
deux dn.ihs dan-; If
plan qn cllcs pfiivcnl rngci,*] ,-fiest
absolumenl indiff&rente : il nr s a<j,ii
donf, pour la
nii thodc drs projections, (juo dc choisir colics cpii
"iislrurtJDns Ics plus simples. C.Yst ])onr
cela (pic, dans la Geometric descriptive, <n
indique
la position d un plan, en donnaut les deux di
sni\,uil lrs[nellfs i!
coujn- les plans de projection. II
est facile de reconnaitre cpie ccs deux droites doiv< ni
reneontrer en un meme point 1 intersection des deux
plans.de projections, et que, par consequent, ce point
cst celui ou ellcs se rencontrent elles-memes.
Comme il arrivera tres frequemment que nous
ayons des plans a considercr, pour abreger le langage,
nous donnerons le nom de traces aux droites selon
lesquelles chacun d eux coupera les plans de projec
tions, et qui serviront a indiquer sa position.
14. Ces preliminaires etant poses, nous allons passer
aux solutions de plusieurs questions successives, qui
26 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
rernpliront le double objet de nous exercer a la nicthode
des projections, et de nous procurer les rnoyens
de faire cnsuite de nouveaux progres dans la Geo
metric descriptive.
PREMIERE QUESTION. - - Etant donnes (fig. 4) UJ1
]>oint
dont ies projections soient 1), d, et une droite
dont les projections soient AB et ab, construire les
projections d une seconde droite menee par le point
donne parallelemciit a la premiere ?
Solution. Les deux projections horizontales de
la droite donnee et de la droite cherchec doivcnt
etre paralleles entre clles; car elles sont les intersec
tions de deux plans verticaux paralleles, par 1111 meme
plan. II en cst de meme des projections verticales des
rnemes droites. De plus, la droite demandee devant
passer par le point donne, ses projections doivent
passer respectivement par celles du meme point. Done,
si par le point D on mene EF parallele a AB, et si par
le point d on mene cf parallele a ab, les droites EF
et cf scront les projections demandees.
15. SECONDE QUESTION. Etant donnes (fig. 5)
un plan dont les deux traces soient AB, BC, et un point
dont les projections soient G, g, construire les traces
d un second plan mene par le point donne parallelement
au premier ?
Solution. -- Les traces du plan demande doivent
etre paralleles aux traces respectives du plan donne,
puisque ces traces, considerees deux a deux, sont. les
intersections de deux plans paralleles, par un meme
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. -27
plan. II in- reste done plus ; i
irouvfr, pour chacune
d clies, qu iin -ml .Irs points par lesquels flic doit
passer. Pour ccla, par le point donne, conccvons une
droitc horizontalc qui soil dans le plan cherche; eelle
droite sera parallele a la trace AB, et elle eonpera lo
plan vertical en un point, qui sera un de ceux d< la
trace ln plan cheirlie sur le vertical, et i "ii am:
di-u\ projections en nieiuint par le.
poin! ^ i htiri/.onlal;-
ii:delinie #F, et par le point G la droile (11, paral
lele a AB. Si Ton jirohmp
1
(si ji;. (|ii
a ee (ju ellt: ren
contre rinttrsection LM des deux plans de projection
en un point I, ce point sera la projection horizon I ale
de 1 intersection de la droite horizontal^ avec le plan
vertical. Done ce point d intersection se trouvera
sur la verticale IF, menee par le point I. Mais il doit
se trouver aussi sur gF; done il se 1rou\r
rra an point F
d intersection de ces deux dernieres droites. Done
enfin, si par le point F on menc une parallele a BG,
elle sera, sur le plan vertical, la trace du plan cherche;
et si, apres avoir prolonge cette trace jusqu a ce qu elle
rencontre LM en un point E, on mene ED parallele
a AB, on aura la trace du meme plan sur le plan
horizontal.
Au lieu de concevoir sur le plan cherche une droite
horizontal, on aurait pu concevoir une parallele au
plan vertical, ce qui, par un raisonnement absolument
semblablc, aurait donne la construction suivante :
On menera par le point G et parallelement a LM
la droite indefinie GD ; par le point g on menera gH
parallele a CB, et on la prolongera jusqu a ce qu elle
coupe LM en un point H, par lequel on mene HD perpendiculaire
a LM : cette derniere coupcru 111) en un
28 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
point D, par lequel, si 1 on mene une parallele a AB,
on aura une des traces du plan demande; et si, apres
aAr
oir prolonge cette trace jusqu a ce qu ellc ren
contre LM en un point E, on mene EF parallele a BC,
on aura la trace sur le plan vertical.
16. TKOISIEME QUESTION. Etant donnes (fig. 6)
un plan dont les deux traces soient AB, BC, et un
point dont les deux projections soient D, t/,
construire
: i les projections de la droite abaissee perpendiculairement
du point sur le plan; 2 celle du point
de rencontre de la droite ct du plan ?
Solution. Les perpendiculaires DG, eZg, abaissees
des points D et d sur les traces respectives du plan,
seront les projections indefinies de la droite demandee;
car si par la perpendiculaire on congoit un plan vor
tical, cc plan coupera le plan horizontal et Je plan
donne en deux droitcs, qui seront, Tune et 1
autre,
perpendiculaires a la commune intersection AB de ces
deux plans :
or, la premiere de ces droites etant la
projection du plan vertical, est aussi celle de la per
pendiculaire qu il renfcrnie ;
done la projection de
cette perpendiculaire doit passer par le point D, et
etre perpendiculaire a AB.
La memo demonstration a lieu pour la projection
vertical e.
Quant au point de rencontre de la perpendiculaire
et du plan, il est evident qu il doit se trouver sur
I intersection de ce plan avec le plan vertical mene
par la perpendiculaire, intersection qui est projetee
indefmiment sur EF. Si 1 on avait la projection ver-
GEOMETRIC DESCRIPTIVE.
!>0 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
ticale fe de cette intersection, elle contiendrait celle
du point demande; et parce que ce point doit aussi
etre projete sur la droite dg, il se trouverait a 1 intersection
g des deux droites fe ct dg. II ne restc done
plus a trouver que la droite fe :
or, 1 iiiterseclion du
plan donne avec le plan vertical qui lui est perpendiculaire
rencontre le plan horizontal an point E, dont
on aura la projection verticale e, en abaissant Ee
perpendiculairement sur LM; et elle rencontre le plan
vertical de projection en un point dont la projection
horizontale est I mtersection F de la droite LM avecDG,
prolongee s il est necessaire, et dont la projection
verticale doit etre sur la verticale F/ et sur la trace CB ;
elle sera done au point / de leur intersection.
La projection verticale g du pied de la perpendiculaire
etant trouvee, il est facile de construire sa pro
jection horizontale, car si Ton abaisse sur LM la perpendiculaire
indefinie gG, cette droite contiendra le
point demande :
or, la droite DF doit aussi le contenir;
done il sera au point G de I mtersection de ces
deux droites.
17. QUATRIEME QUESTION. Etant donnes (fig. ~)
une droite dont les deux projections soient AB, ab, et
un point dont les deux projections soient D, J, cons
truire les traces du plan mene par le point perpendi
culairement a la droite ?
Solution. - - On sait deja, par la question precedente,
que les deux traces doivent etre perpeiidiculaires
aux projections respectives des deux droites;
il reste a trouver, pour chacune d elles, un des points
CEOMETRIE DESCRIPTIVE. 3 I
par l.-sqiH ls rile doil pa^t r. IVnr rr!;i, .
i,
j>:ir
If
donne,. on cone,oit, dans !<
plan rlinvlir, nnr horizon
tal,- jro!<m^,
f jusqu a la ivnronlrc du plan vertical
(If
projection, on aura sa projection v.rliralr rn
nii-nant par le point d urn* hori/ontalc indefinie dG,
ct sa projection horizontals en mcnanl par !o
point D
nnr perpendiculaire DII a AB, prolonged jusqu a <
qu elle coupe LM on un point If, (iui sora la
projection
horizon! ale du point dc rencontre de 1 horizontalc
avec le jilan vertical do projection. Ce point de ren
contre, qui doit se trouver dans la verticale HG et
dans Thorizontale rfG, et par consequent an point G
d intersection dc ces deux droites, sera done un des
points de la trace sur le plan vertical; done on aura
cette trace, en menant par le point G la droitc FC
perpendiculaire a ab; done enfin, si par le point C,
ou la premiere trace rencontre LM, on mene CE pcrpendiculaire
a AB, on aura la seconde trace demandee.
S il etait question de trouver le point de rencontre
du plan avcc la droile, on opererait exactement comme
dans la question precedente.
Enfin, s il fallait abaisscr une pcrpcndiculaire du
point donne sur la droite, on construiraif, coranie
nous venons de le dire, la rencontre dc la droite avcc
le plan mene par le point donne, et qui Iui serait perpcndiculairc;
et Ton aurait, pour chacune des deux
projections de la perpendiculaire demandee, deux
points par lesquels elle doit passer.
18. CINQUIEME QUESTION. Deux plans etant
donnes de position (fig. 8), an moyen de leurs
traces AB et A.b pour Tun, CD et Cd pour 1
autre,
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
CEOMETRIE DESCRIPTIVE.
eon-lruire les pn.jr.-l ions de la droite suivant !a<pi
He
ils sc coupcnt. ?
Solution. Tous les points de la trace A]*>
ironvant sur Ic premier d<
^ dvux plans d"imes,
<t
tOUS erux do la trace CD sc Inuivan! MM- !
secomj,
!c
point K d intersection de ces deux traces csl e\i.1.
miuent sur les deux plans; il est, p;.r consequent,
un des poinls de la droite demandee. On ivconnui! r;;
de meme quo le [mini 1
;
d intersection des deux trac s
Bur le plan vertical est encore un autrc point d e- lie
droite. 1, iiitcrscclion des deux: ]>lans
est done placee
de inaniere ju ( lie rencontre le.
plan horizontal en K et
le jhi!i \ ert ie;il t-u l \
1 >(ne,si ! on projette le p- int Fsur le plan horizontal,
ce iju on fera en aliaissant sur LM la perpendiculaire
I
/,
rt si i on III. -IM- !a droite /\-\,
elle sera la proj. elinri
liori/onlale de riiitcrseelion des deux, plans. I >e
nuMn \ M i on projrllr le ])oin! V. sur le plan vertical,
. n :i!>;u>s;n! MIT LM la perpendiculaire Ee, ct si Ton
IIU MI,. |a droite eV, elle sera la projection verticale dr
!a :neme intersection.
10. SixirMK (nr:sTi()N. Deux plans (fig. 9) etant
d-M-ni s, au inoyen des traces AH, Al> du premier,
et di-s traces CD, Cd du second, construive ]
<HI^!C
(pi ils forment entre eux ?
Solution. - Apres
avoir construit, coinmc dans
la question precedents, la projection horizoritalc F7
de ^intersection des deux plans, si Ton congoit un
Iri.isieme plan qui leur sc>iL
perpendiculaire, -{.
<[ui
soil
par consequent perpendiculaire a leur comniune ir.IcrM
)NGE. I. 3
34 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
section, ce troisieme plan coupera les deux plans
donnes en deux.droites, qui comprendront entre elles
un angle egal a Tangle demande.
De plus, la trace horizontale de ce troisieme plan
sera perpendiculaire a la projection E/ de Tintersection
dcs deux plans donnes, et clle forrnera avec les
deux aiitres droll es un triangle dont. Tangle oppose
an cole horizontal sera Tangle demande. 11 nc s agit
done plus que de construire ce triangle.
Or, il est indifferent par quel point de Tiritersectiori
des deux premiers plans passe le troisieme; on peut
done prendre sa trace a volonte sur le plan horizontal,
pourvu qu clle soit perpendieulaire a E/. Soil done
menee une droite quelcorique Gil, perpendieulaire
a E/, terminee en G et en H aux traces des deux plans
donnes, et qui rencontre E/ en UR point I; cette droite
sera la base du triangle qu il faut construire. Actuellement,
concevons que le plan de ce triangle tourne
autour de sa base GH comme charniere, pour s appliqucr
sur le plan horizontal; dans ce mouvement, son
sommet, qui est d abord place sur Tintersection des
deux plans, ne sort pas du plan vertical mene par cette
intersection, parce que cc plan vertical est perpendi
culaire a GH; et lorsque le plan du triangle est abattu,
ce sommet se trouve sur un des points de la droite E/.
Ainsi il ne reste plus a trouver que la hauteur du
triangle ou la grandeur de la perpendiculaire abaissee
du point I sur Tintersection de deux plans.
Mais cette perpendiculaire est comprise dans le
plan vertical mene par E/. Si done on congoit que ce
plan tourne autour de la verticale /F pour s appliquer
sur le
plan vertical de projection, et si Ton porte /E
GEOMETRIE DESCRIPTIVE.
<!e
/ en r\ / I de / en /,
!;i I
.roile r I sera .
up dc
la part io de I inlrr -ce| \n\\ <-.-. iitro
1
It s deux
plans de project ion ; r! si dii jioin! / I on ;iliais-;e snr
celle .Iroile i,i
i.frprndiciilMii c //,-,
clh- SM-;I la hauteur
dii frian jjlr diMiinndr.
Done rnliii, p)i-tant. ik de I rn 1\ rl arlirvaut lc
triatlgH) dKIl, I
anidr IMI K sera r^ra! a i
anjjli; forme
]>aiIcs
d-.Mix plans.
20. Si i- 1 MM i
QtJfigttbN.
Dcnx
droilos (|iii sc
coupcnl dans iYspare (ft*;. 10) ofant domn-.-s
par !. nrs
projections horizontales AH, A(], c! ]>ar
leiirs projec
tions Verticales ^//.-, //r, ( tnslruirc Tangle, rni dles
formenl enire <!
Avan( de proei ti ,
-querons
(pic, ]n:i.-{iio les deux droiles donru es son! suj)posr( s
B6 iip r, le
])oini. A de, ivnomhv dc i I -
s
proj; ci i-ns
horizontalefc, et le point a de rencontre dc letirs pro:
-us Vi-rlicalcs, scront les projections dn point dans
lequd ellcs se coupent, ct seronl. par cons( (jucn! dans
la myrtle dnu ln aGA perpendieidaire a Tj.M. Si les deux
poifitfl
A ei ri Q etaiefll jas d-n;-- Utt6 I teine perpendicuiain-
a LM, h .; droites donnees ne sc couperaicnt pas,
el par consequent ne SI-KU* nl pflS
da:s un memo plan.
Solution. On concevra les deux droites donnees
prolongees jiisqu a cc qn eiles rejieoii! mil. 1.;
plan
horizontal, chacune en un point, et Ton construira ces
deux points de rencontre. Pour ccla, on prolongera
les droites ab, ac, jusqu a ce qu elles coupent LM en
dmix poitlt* d, 0, qtti seronl, Ics projections verlicales
de ccs deux ]oints dc rencontre :
par les points d, e
36 LES MAITRES DE LA PENSi-E SCIENTIFIQUE.
on menera dans le plan horizontal et perpendiculairement
a LM deux droilcs indefinies dD, eE, qui, devant
passer chacunc par un de ces points, determineront
leurs positions par leurs intersections D, E avec les
projections horizontals respectives AB, AC, prolongecs
s il cst necessaire.
Cela fail, si Ton mene la droite DE, celle droitc et
les deux parties des droites donnees, comprises entre
leur point d intcrsection et les points D, E, formeront
un triangle, dont 1
angle oppose a DE sera I
anglc
demande; ainsi il ne s agira plus que de construire ce
triangle. Pour cela, apres avoir abaisse du, point A
sur DE la perpendiculaire indefinic AE, si Ton conceit
que le plan du triangle touriie autour de sa base1
DE
coinme charniere, jusqu a ce qu il soil aba Liu sur le
plan horizontal ;
le soinmet de cc triangle, peiidanl. son
mouvemenl, ne sorlira pas du plan vertical mene
par AF, et viendra s
appliquer quelque part sur le
prolorigement de FA en un point II, dont il ne restera
plus a trouvcr que la distance a la base DE.
Or, la projection horizontale de cette distance est la
droite AF, el la hauteur verticale d une de ses extreinites
au-dcssus de 1 autre est egale a aG; done,
en vertu dc la figure 3, si sur LM on porte AF
de G en /, et si 1 on mene 1
hypotenuse a/, cette hypo
tenuse sera la distance demandee. Done enfin, si Ton
porte af de F en H, et si par le point H on mene les
deux droites HD, HE, le triangle sera construit, et
Tangle DHE sera Tangle demande.
21. HUITIKME. QUESTION. - Etant
donnees les
projections d urie droite et les traces d un plan, cons-
GEOMETRIC DESCRIPTIVE. 87
truirc Tangle qur la droile el le
plan forim nl nlreux
?
Solution. -- Si, par un point pris sur la droitc
donnee, on con^oit une perpendiculaire au plan donne,
Tangle que cette perpendiculairc fonncra avec la
droite donnee sera le complement de Tangle dernande,
et il suflira de construire cot angle pour resoudre la
question.
Or si, sur les deux projections de la droile, on pn ml
deux points qni soienl dans la menu- perpendiculaire
a Tintersection des deux plans de projection, et si,
par ces deux points, on niene des perpeiidiculaires aux
traces respect ivrs du plan donne, on aura les projec
tions horizontale et verticale de la seconde droite. La
question sera done rcdnite a construire Tangle forme
par deux droites qui se coupent, et rentrera dans le
cas de la precede nte.
22. Lors(|n on se. propose de lever la carte d un pays,
on conc.oit ordinain inenl que les jioints remarqual>l(
s
soient lies eiitr.- u\ |>ar
des ligries droites qui forin-nt
des triangles, et il s
agit ensuitc de rapporter ccs
triangles sur la carte, an moyrn <l uno, echelle plus
petite, et de les placer entre ( ux dans Je meme ordre
que ceux qu ils
represrntenl. Les operations qu il
faut faire sur le terrain consistent principalement dans
la mesure des angles et de ces triangles; et, pour que
ces angles puissent etre rapport es directement sur la
carte, ils doivent etre chacun dans un plan horizontal,
parallele a celui de la carte. Si le plan de Tangle <
st
oblique a Thorizon, ce n est plus Tangle lui-meme
, >S LES MA1TRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
qu il faut rapporter, c est sa projection horizon tale;
et il est toujours possible de trouver cette projection
lorsque, apres avoir mesure Tangle lui-meme, on a
de plus mesure ceux que ses deux cotes forment avec
Thorizon, ce qui donne lieu a Toperation suivante, qui
cst connue sous le nom de reduction d un angle a
1 horizon.
NEUVIEME QUESTION. Etant donnes Tangle
forme par deux droites, et ceux qu elles forment 1 une
et Tautre avcc le plan horizontal, construire la projec
tion horizonlalc du premier de ccs angles ?
Solution. Solent A (fig. n) la projection horizontale
du sommet de Tangle demande, et AB celle d un
de ses cotes, de maniere qu il faille construire Tautre
cote AE. On concevra que le plan de projection verticaJe
passe par AB; et ayant mene par le point A une
verticale indefmie Aa, on prendra sur cllo, a volonte,
un point d, que Ton rcgardera commc la projection
verticale du sommet de Tangle observe. Gela fait, si
par le point d on mene la droite cfB, qui fasse avec
Thorizontale un angle dBA egal a cclui que le premier
cote fait avec Thorizon, le point B sera la rencontre
de ce cote avec le plan horizontal. De meme, si par le
point d on mene la droite dC, qui fasse avec Thorizon
tale un angle dCA. egal a celui que le deuxicme cote
fait avec Thorizon, et si du point A comme centre, avec
le rayon AC, on decrit un arc de cercle indefini CEF,
le deuxieme cote ne pourra rencontrer le plan horizontal
que dans un des points de Tare CEF. II ne s agira done
plus que de trouver la distance de ce point a quelque
autre point, commc B.
CEOMETRIE DESCRIPTIVE.
Or, cette dernierc distance esl dans !
plan !
Tangle, observe. Si done on mem- !a droiie //I), ! nutnierc
<pie Tangle D//H soil e<_>al
, i
Tangle observe, el,
si Ton porlr d(] de // en h, la dn>il<- I >H srra egalr a
celte distance.
Done, si du point li, ((inline cnilre, ! d iin iutcr\-all.
:-l ),
I ll dt cril mi arc (!
cerrl*-, !
(H.iiil K,
ou il
coiijti ca lc
jn-ciiih-i ai-c (II 1
, l
;
,
sera le
poinl d<- renci.nlre
dn deuxienie eole aver lc
plan li inzoii tal ;
done
la droite AE sera la projection horizontals dc ce cote,
et I
angle BAE ccllc dc I
anglc observe.
Les neuf questions <pii precedent, snllivrnl a p impom-
donner line id( -e dc la inrlimdc des pFOjections ;
elles ne peuvenl en inoiitrer tuiih s les rt ssources. Mais
a niesure <[tie
nous nous eleverons a des considerations
pli^ yi-iH fall >,
IKUIS aiii ii
-.in de faire les op<3ralions
qui seronl If- plus propres a remplir ret objet.
DES PLANS TANGENTS ET DES NORMALES
AUX SURFACES COURBES.
23. Comme il n y a aneune surface conrbe <pii
IK V
plUMfl elre (MijreiMlr-e de j-iusieiirs nianien s
]iar lo
rnouvenient de li<j;nes courbes, si par un ])oin! <pielconque
il nne surface on considere deux generations
dill ercntes dans la position qu elles doisinl avoir,
lorsqu eiies pa-sent 1 une et 1 autre par ce point, et
si Tori concoit les tangcntes en cc point a chacuix
deux generatrices, le plan mene par ces deux tangent es
40 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
est le plan tangent. Le point de la surface, dans Icquel
les deux generatrices se coupent, et qui est en merne
temps commun aux deux tangentes et an plan tan
gent, est le point de contact de la surface et du plan.
La droite menee par le point de contact perperidiculairement
an plan tangent s appelle normale a la
surface. Elle est perpendiculaire a 1 element de la sur
face, parce que la direction de cet element coincide,
dans tons les sens, avec celle du plan tangent, qui pent
en etre regarde coinme le prolongemerit.
24. La consideration des plans tangents et des normales
aux surfaces courbes est tres utile a un grand
nombre d arts; et, pour plusieurs d entre eux, elle est
absolument indispensable. Nous n apporterons ici
qu un seul excmple de chacun de ces deux cas, et nous
les prendrons dans 1 Architecture et dans la Peiriture.
Les diflerentes parties dont sont composees les
voutes en pkrres de taille, se nommcnt voussoirs ; et
1 on appelle joints les faces par lesquelles deux voussoirs
contigus se toucherit, soit que ces voussoirs
fassent partie d une memo assise, soit qu ils soient
compris dans deux assises consecutives.
La position des joints dans les voutes est assujetie
a plusieurs conditions qui doivent etre necessairement
remplies. Nous ferons connaitre successivement toutes
ces conditions dans la suite du cours; mais, dans ce
moment, nous ne nous occuperons que de celle qui a
rapport a notre objet.
Une des conditions auxquelles la position des joints
doit satisfaire, c est qu ils soient perpendiculaires
entrc eux, et que les uns et les autres rencontrent per-
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 4 I
pt luliculaircment la surface de la voul.e. Si 1 on s ecarl;iil
sciisiblcinciil de cette loi, non seiilrmrnt on hicssi-rail
Irs convenances genera li
-s, sans lesqurlles ricn
ne peut avoir de la grace, inais encore on s exposerait
;i rcndre la voute inoins Bolide cl inoins durable :
car,
si Tun des joints elail oblique a la surface de la vofilr,
drs deux voussoirs contigus a ce joint, 1 un aurail
tin angle oblus, I autreun anje aigu;et dans la reac
tion que les deux voussoirs exercent 1 un sur Pan Ire,
ces deux angles ne seraient pas capables de la menu;
resistance ;
a cause de la fragilite des materiaux, Pangle
aigu serait expose a eclater; ce qui altererait la forme
de la voute, et compromettrait la duree de 1 edifice.
Ainsi la decomposition d une voute en voussoirs exige
done absolument la consideration des plans tangents
et des nonnales a la surface courbe de la voute.
25. Passons a un autre exemple pris dans un gein<
qui, au premier coup d oeil, ne parait pas susceptible
d une aussi grande severite.
On a coutume de regarder la Peinturc comme composee
de deux parties distinctes. L une est Part proprement
dit : elle a pour objet d exciter dans le spectateur
une emotion determinee, de faire naitre en lui un
sentiment donne, ou de le mettre dans la situation qui
le disposera le mieux a recevoir une certaine impres
sion; elle suppose dans Partiste une grande habitude
de la philosophic ;
elle exige de sa part les connaissances
les plus exactes sur la nature des choses, sur la maniere
dont elles agissent sur nous, et sur les signes, meine
involontaires, par lesquels cette action se manifeste;
elle ne peut etre que le resultat d une education tres
4** LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
distiriguee, que 1 on ne donne a personne, et que nous
sommes bien eloignes de dormer a nos jeunes artistes ;
elle n est soumise a aucuiie regie generale; elle ne supporte
que des conseils.
L autre partie de la peinture en est, a proprement
parler, le metier : son but est 1 execution exacte des
conceptions de la premiere. Ici rien n est arbitraire;
tout pent etre prevu par un raisomiemeiit rigoureux,
parce que tout est le rcsultat neecssaire d objcts convenus
et de circonstarices donnees. Lorsqu un objet
est determine de forme et de position, lorsque Ton coiinait
la nature, le nombre et la position de tous les
corps qui peuvent 1
eclairer, soit par une lumiere
dircct.c, soit par des rayons reflechis; lorsque la posi
tion de 1 oeil elu spectateur est fixe; lorsque enfin
toutes les circonstances qui peuvent influer sur la
vision sont bien etablies et connues, la teinte de
chacun des points de la surface visible de cct objet
est absolument determiriec. Tout ce qui a rapport a la
couleur de cette teinte et a son eclat depend de la
position du plan tangent en ce point a 1
egard des
corps eelairaiits et de 1 oeil du spectateur : elle peut
etre trouvee par le seul raisonnement; et lorsqu elle
est ainsi dcterminee, elle doit etre appliquee avec
exactitude. Tout affaiblissemerit, toutc exageration
changeraient les apparences, altereraient Jes formes
et produiraient un autre efFet que celui qu attend
1 artiste.
.((^ sais bien que la rapidite de 1
execution, (|ui est
souvcut necessaire, ne permettrait que bien rareinenl
I
emploi d une methode qui priverait 1
esprit de tout
secours materiel, et 1 abandonnerait a 1 exercice de ses
CEOMETRIE DESCRIPTIVE. ,1
si-ides facultcs, et qu il est beaucoup plus facile au
pcinlrc d<po^er
Ics objets, d observer !< ur- Irinhs H
It- Irs imihT : niais > il l;ul accoul umc a c oh>idri . r
les positions lfs plans tangents ct Irs d< u\ rum-burrs
des surfaces i-n clianiu dr Icurs jxiints, cuiirbitrcs qui
IVmnl Tohjrt df Icrnns nil rricurcs, il lirrrail df ce
ninVfii niah ri* I 1111
parti |iius a\anlageii\; il scrail en
flat (If ivlajjlir Ics cll cts <|uc
roiuission dc (jiicl<|u<>s
i it; .iiislanct s a cinpcche dc jiailrc, (I tic.
snpprinu r
ci-ux au\(jiifJs domiciil Jicu dcs circon-! arcrs clran-
geres.
Enfin, les expressions vagues, cominc ccllcs de
jm plat, clair-obscur, (juc Ics jx-intrcs cnij)lii nt a
chaque instant, sont un Iciii-ii^na^c conslant du
besoin |u ils out. de connairaancei plus cxach s ci dc
rauonnementfl plus rigourcux.
26. Inclcpcndainiiicnl dc sou ulilite dans Ic* avis,
la Consideration dcs plan-- tangents et des nonnalcs
mix surfaces courbcs, est un des moyens les plus fcc.iids
que la Geometric descriptive emploie pour la
resolution de questions qu il serait tres dillicilc df
resoudre par d autres proccdes, ct nous en donnerons
qudques cxcmples.
27. La methode generalc, jiour dctcrininrr le plan
tangent a une surface courbe, consist c (23) a concc\oir
par le point de contact les tangent cs a deux courbes
generatrices differcntes qui passeraicnt par ce point,
et a construire le plan qui passcrait par ces deux
droites. Dans quelques cas particulars, pour abreger
les constructions, on s ccarte un pcu de cctte methode
/,4 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
prise a la lettre, mais on fait toujours 1
equiva-
lent.
Quant a la construction de la normale, nous ne nous
en occuperons pas en particulier, parce qu elle se
reduit a cellc d une droite perpendiculaire au plan
tangent, re quo nous savons fa ire.
28. PREMIERE QUESTION. Par un point considere
sur une surface cylindrique, et dont la projection
horizontale est donnee, mener un plan tangent a cette
surface ?
Solution. Soi;nt AB, al (fig- 12) Ics projec
tions horizontale et verticale de la droite donnee,
a laquelle la ger.eratrice de la surface cylindrique
doive etre parallele; soit EPD la courbe donnee dans
1(3
plan horizontal, sur laquelle la generatrice doive
constamment s appuyer, ct que Ton pout regarder
comme la trace de ia surface cylindrique; en fin soit G
la projection horizontale donnee du point considere
sur la surface cylindrique, par lequel doive elre mene
lr ])!an tange.nl.
Ola pose, par le point considere sur la surface, et
dont la projection horizontale est en C, coricevons
la droile generatrice dans la position qu elle doit avoir
lorsqu elle passe par ce point : cette generatrice etant
une ligne droite, elle sera elle-meme sa propre tangente ;
elle sera done une des deux droites qui determineront
la position du plan tangent; de plus, elle sera parallele
a la droite donnee : done ses deux projections seront
respeclivement paralleles a AB et ah-, done si par le
point C on mene a AB une parallele indefmie EF, on
GEOMETRIC DESCRIPTIVE. !
">
aura l;i
projrrlMMi litiri/iuitalr <le In ji
;
riiTa I rin-. Pour
&Voif u |.ioj.vih.u >rr i iralr. ..,,,,, \uns !a
g6nralrice
prolongee sur la surface cylindrique jusqu a ce qu e)le
rencontre le plan horizontal; clle ne Ic pourra faire
que dans un point qui sera en meine temps sur la pro
jection EF et sur la courbe EPD, et qui sera, par con
sequent, I mtenection de ces deux lignes : ain>i I on
determine ce point, en prolongeant EF jusqu 4 re
qu elle coupe quelque part la courbe EPD.
lei il se presente deux cas : ou la droite EF ne coupera
la trace du cylindre qu en un seul point, on elle
le coupe ra en plusicurs points. Nous allons examiner
ces dtux cas separement, et supposer d abord que
quelque prolongee que soit la droite EF, elle nc ren
contre la courbe EPD qu en un seul point D.
Le point D etant la trace de la generatriee, si on le
projette sur le plan vertical an moycn de la perpend ieiilaire
Dd, et si par le point d on nieiie df parallele a a6,
on aura la projection verticale* de la generatriee. Ainsi
on aura Ics deux projections d une des droites par
Irsqm-II.-s doit passer le plan tangent demande. De
])!u:-,
!:i
projection verticale du point de contact doit,
se trouver sur la droite Cc inenee du point donne C
perpendiculairciiK nl a LM; elle doit aussi se trouver
sur df; done elle sera an point c d intersection de ces
drux lignes.
Si la droite EF coupe la trace EPD de la surface
cyHndi-iqur en plusieurs points D, E, on operera pour
chacun de ces points de la meme manierc que nous
verions de le deerire pour le point D, regarde comine
seul; il rn rt -sulh -ra M-ulnnent qu on aura les projec
tions verlicales df, ef d autant de droites
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
CEOMETRIE DESCRIPTIVE.
ituis vrrlirales c, c d anlanl de points
de contact qu il
y aura de points d interseotion eniiv
la droite EF et la trace EPD.
Dans le cas de la figure ia, la trace de la surface
cylindrique est une circonfeivnee de cercle <(ui
a !a
propriete d etre coupee par une droile en dmx points :
ainsi la vrlieale elcvcc par le point donne (] doit renouilr.
r d< UN fois la surface, d abord dans un premier
point, doiit la projection verlicale est c, ct par JaqneJlc
passe in generatricc, lorsquYlle I appuia sur le point!),
ct ensuite dans un second poinl, dont la projection
\irlicalc est c ,
et par laquelle passe la g iM ralricc,
lorsqu clle s appuie sur le point E de la trace. Ces dmx
j>inl<, qnoi |u ils aient la nu-inc projection horizontalr,
sont ncaninoins trus dislincls, et a chacun d eux
doit repondrc un plan tangent parliculier. Actucllement,
pour chacun dcs deux points de contact, il faut
trouver la deuxieme d oite qui doit determiner la posi
tion du plan tangent. Si 1 on suivait strictcment la
methode generale, en regardant la trace comme une
scconde generatrice, il faudrail la concevoir passant
surcessivement par chacun des points dc cnnlacl, <
t
construire dans chacun dc ces points une l.angc.nl.c;
mais, dans le cas partimii<
r s surfaces cyjindi i
Mic;;,
on pent employer une consideration plus simple* KM
<
IVt,
le plan tangent an pdini (
., r. louche la surface
dans toute 1 etendue de la droite geiu-ratrice qui passe
par ce point; il la touchc done en I), <|iii
est un point
de cette generatrice ;
il doit done passer par la tangentc
a la trace au point D. Par un seniblable raisonnement
on trouvera que le plan tangent en C, c doit passer
par la tangente a la trace en E. Done, si par les deux
48 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
points D, E on inenc a la trace les deux tangentes DK,
EG, prolongees jusqu a ce qu eiles coupent la droileLM
en deux poinls K, G, on aura sur le plan horizontal
I -s I races des deux plans langcrits.
II lie resle done plus a Irouver quc les traces des
memcs plans sur le plan vertical; ct parcc que nous
avons deja pour 1 une dc ces traces le point K, et pour
1 autre le point G, il ne reste plus a determiner qu un
seul point pour chacune d ellcs.
Pour ceia, et en operant pour le premier des deux
plans tangents, concevons que le point a construire
soit celui dans lequel uric horizontale nienee dans le
plan par le point de contact rencontre le plan vertical;
on aura la projection horizontale de cette droite en
menant par le point C une parallele a la trace DK,
qii on prolongera jusqu a ce qu elle rencontre la
droite LM en un point 1; el Ton aura sa projection
verticale, en menant par le point c une horizontale
mdefmie. Le point de rencontre du plan vertical avec
Thorizontale se trouvera done en memo temps el sur
la verticale It et sur 1 horizontale ci; i! sera au point i
de leur intersection; done, si par les points i et K on
meiie une droite, on aura la trace du premier plan
tangent sur le plan vertical. En raisonnant de memo
pour le second plan tangent, on trouvera sa trace sur
le plan vertical en menant par le point C une droite CH
parallele a la trace horizontale EG, et on la proloiigera
jusqu a ce qu clle coupe LM en un point H, par
lequel on elevera la verticale Hh; par le point c
f
on
meriera une horizontale qui coupera la verticale H h
rn un point //, par lequel et par le point G si Ton mene
une droite G//, on auia la trace demandee.
GEOMETRIC DESCRIPTIVE. 4|)
_!). Di i XM..MK OIKSTION. Par un point consider
sur une surface eonicpie, H doni la
projection horizontale
i .-I
donnee, men r u\\ plan tangent a cetle surlaer
.
I ,a siilulion de eel !
question in- dilVere de ccllr d<-
!,i
prvredente <piYii
ee <pie
la ilroilr jr<MHM
a I
rice, an
lit ii d rlrc loujours parallMc a rilc-ineinc, ]>assc
toujoun par Ir sdininct dont l(
%
s deux projections
sont donuees. Nous pensons qu il >t eouvenable di
ne pas I cuoncer ici, et de conseiller au lecteur dc la
(iu reluT lui-meme, en lui oirrant Jc secours dc la
liguro 10, si loutefois cela etait neccssaire.
. ! ). I noi.siKME QUESTION. - - Par un point cpnsidt
-re MIT une surface de revolution autour d un axe
Vi riical, et donne sur la projection horizontale, mcner
un plan tangent a la surface ?
Solution. Soient
A (fig. i/j)
la projection
horizontale donnee de 1
axe, aa sa projection verticale,
BCDEF la courbe generatrice donnee, consideree
dans un plan inene ]>ar
1
axe, et G la projection
horizontale donnee du point de contact.
Cela pose, si par le point dc contact ct par 1 axe on
congoit un plan vertical dont la projection sTa
1 horizontale indefinie AG, ce plan coupera la surface
de revolution dans une courbe qui sera la generatrix ,
])assant par le point de contact; si par le point G on
congoit une verticale, elle rencontrera la generatricc
et par consequent la surface en un ou plusieurs points
qui seront autant de points de contact, dont G sera
la projection horizontals cuiuuiunc. Uji trouvcra tous
MOXGK. I.
4
5o LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
GEOMETR1F. DESCRIPTIVE. ">
I
CCS points (! contact con>i.luvs dans Itplan
de !a
ratriee en portant AG sur LM, de a <
n <?,
et on
menant. par le
point c, line parallel^ a <///; Ions Irs
p.tinK I
1
., (!. dans lrs<|iiels
e-tle droile i-uupi i
courJt III! I )! .!
,
sen ml ies intersections de la <
ourlxgneratrice
a\c(t ia \irticale iiu>
iie(;
j>ar
i
point O, et
indiqiici Diil Irs lian!( urs d autant de points <K- contact
aii-dfSMis du plan horizontal. I onr ax iiii
1
Ics projec
tion V -rtieales de ers points de contael, on men* ra
par tous les points K, C des horizontal* s indeiiiii.-s,
<pii
contiendPOnl ces projections : nuns elU-s doixcnl
aussi se trouver sur la perpendicnlaire a LM, me nee
]>ar
le point G; done les intersections g, g dc cctlc
di-oite avcc les horizontals scront les projections dcs
ciill eiviils p-iinls de contact.
Actnelleinent, si, }>ar chaque point de con I
acl, -u
coneoit line section faite par un plan hori/oi.lal, e<!i.
section, <pii ponrra etre regardee cornme une seconde
ratrice, sera la circonference d nn ccrcic don I
le centre sera dans 1
axe, et donl la tangente, qui doit
etre p< rpondiculaire a 1 exl r -init dn rayon, sera aussi
pt rpendicuiaire an plan vertical mene par AG, ct dans
leqnel s ironve le rayon : done le plan tangent, qui
doit passer par cette tangente, sera aussi perptndiculaire
a ce meme plan vertical, ct aura, sur le plan
horizontal, sa trace perpendiculairc a AG. II nc reste
done phis, pom- avoir la trace de cluicnn d-s J>!JMIS
tangents, que de trouv< r i
a di^larce au point .V :
or,
si par les points E, C on mene a la premiere generatrice
les tangentes El, CH, prolongees jusqu a ee
qu elles rencontrent LM en des points I, H, les
droites a I, all seront egales a ccs distances; done, si
52 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
1 on porte ces droites de A en i et de A en h, et si par
les points i et h on mene a AG des perpendiculaires iQ,
/iP, prolongees jusqu a la rencontre de la droite LM,
on aura, sur le plan horizontal, les traces de tons les
plans tangents.
Pour trouver sur le plan vertical les traces des
memcs plans, il faut concevoir, par chaque point de
contact, et dans le plan tangent correspondant, unc
horizontale prolongee jusqu au plan vertical de pro
jection; cette droite, qui n est autre chose que la tangente
au cercle, determinera sur ce plan un point qui
appartiendra a la trace. Or, pour tons les points du
contact, ces droites orit la iriemc projection horizontale;
c est la droite GK, menee par le point G perpeiidiculairement
a AG, ct terminee a la droite LM. Done,
si par le point K on mene a LM une perpendiculaire
indefmic KAA ,
elle eontiendra tous les points de ren
contre des horizontales avec le plan vertical de pro
jection. Mais ces points de rencontre doivent aussi se
trouver sur les horizontales respectives menees par
les points E, C; done les intersections Ar,
A de ces
horizontals avc c la verticale KA seront chacune un
point dc la trace d un des plans tangents. Ainsi la
droite QA sera, sur ]e plan verlieal, la trace d un des
plans tangents; la droite PA sera la trace de Fautre;
et ainsi de suite, s il
y en avait un plus grand nombre.
Nous nous bornerons, dans ce moment, aux trois
exemples precedents, parce qu ils suffisent pour toutes
les surfaces dont nous avons defini la generation. Dans
la suite de cet ecrit, nous aurons occasion de considerer
les generations de families de surfaces infiniment plus
nombreuses; et a mesure qu elles se presenteront, nous
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 53
;i|i|ilii|iicr.in>
la inenitt metliodr ; i la dHrrminal ion <ir
Icurs plans tangents et de Irurs QOrmaleS. Maintenant
nous allons proposer une question, dans la solution de
laqn-llr on pent, employrr d unr maniere ntile la consi
deration d tui plan I
ailment.
. !l. ()i \TUIKMI: nri.snoN. -- Deux droih-s lanl
ilcniiccs (fig. i5), par leurs projections horizonta!(
s \\>.
(!l>,
et par leurs projections vcrticales ctb, cd,
construire les projections PN, pii de Icur plus couple
distance, cYsl-a-din ,
de la droitc qui est en nionn
temps perpendiculaire a I nne et a 1
uulre, el lr(ui\ ila
grandeur dr erth- ilistanee ?
Solution. P.;,
!a ])rciniere des drux droitt-s
ihuiiii -s,
mnr< \niis un ]lan ])arallele a la seconde, re
cjni rsl toujuurs ])ossible, puisque si par un point.
quelconque dc la premiere on niene une droilt- parall(
-l- a la seconde, H si Ton -nn:iil cpn ccllc Iroisirinr
droite se JIK-IIN-C
parailelement a elle-nienic !e lonj; dv
la j)r. miere, ellc en^-ndrera le plan dont il s aoit. (lon(i
x. iiv d- ]liis une surface cylindrique a base circu-
laii
i
<-, (|ui ail pour axe la seconde droile donnee, ct,
rayon la distance cherchee ;
cette surfac<ur
le plan en une droite qui sera parallrle
a I axc. rl c]ni cnupera la premiere droitc en un point.
Si par ce point on incne une perpendiculaire au }>lan,
ei!f sera la droite d<
niandee; car elle passera dc fail
]>ar
un point de la premiere droite donnee, et elle Ini
sera perpendiculaire, puisqu elle sera perpendiculaiia
un plan qui passe par cette droite : elle cotipera di-
1
Itis la seconde droite perpendiculairement, puis(jn
1
cil(>
54 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
sera un rayon du cylindre dont cette scconde droite
est 1 axc.
11 ne s agit done plus quc dc conslruire sueeessivomcnl
ionics Ics parties de cette solution.
i Pour conslruire Ics traces du plan parallele aux
deux droites donnees, on nienera par un point quelconque
de la premiere, une parallele a la seconde; les
projections de cette parallele seronl paralleles aux
droites- CD, cd. La droite cd coupant la droite ab an
point />,
si I oii abaisse de ce point la perpendieulaire
bb
f
B siir I inlersection conunune LM des plans de
projection, et si 1 on mene par le point de la premiere
droite, dont les projections sont B et &, la parallele
a la seconde droite, cette parallele aura pour projec
tions horizontals et verticale les droites BE, cd ,
el!e
rencontrera le plan horizontal au point E, qu on
obtient en inenant la droite cE perpendiculairemcnt
a 1 intersection commune LM. Done, si Ton joint les
points A et E par une droite, cette droite sera la trace
du plan parallele aux deux droites donnees.
2 Pour construire la ligne de contact du plan paral
lele aux deux droites donnees avec la surface cylindrique,
il faut observer quc cette ligne de contact est
parallele a la seconde droite donnce, et qu un seul
point de cette ligne determine sa position. Pour trouver
ce point, on mene par un point queleonque de la secoride
droite qui est i axe du cylindre (par cxemple,
par le point C, ou elle renconlre le plan horizontal),
un plan perpendieulaire a cet axe; 1 inttrsection de ce
plan avec le plan parailele aux deux droites, est la
ligne de contact de ce dernier plan avec la base circulaire
dc la surface cylindrique.
GEOMETRIE DESCRIPTIVE.
Le, jilan vertical CD ayanl lourne aulnur d<
tr;ic> (II) pour i appliquef sur le plan horizontal, on
construira 1
angli
1
P C(3 que la second droll--
dunncc
fait avcc le plan horizontal, en prcnant unc verticals
P (3 egalc a b b. Le menu- ]>!an
vertical CD coupe Jc
])!an parallclc aux deux droilcs, ijiiivant la droitc FK
parall&e a CD. D ou il suit quc le plan perpmdiculairr
a Tax- 1
du eylindrc incur par le.
point (1, coupe Ic
])lan vertical (J) snivanl la druilr CK jn-rjHMidicidjiin
a C P ou a I i\, cl ]
plan horizontal sui\aiti, la dnilr
(ill |)<Tpendiculairc
a CD.
C.c
j>lan p -rpendiculairc a 1 axr du c\ iiudi c, luiii-nai,!
aulour de sa trace horizontal!^ CII jjoiir venir s a})j>iiquer
sur le plan horizontal, le point K s abaisse en K ;
le point H de la trace AE i
ie, et la droite HK
est 1 intcrsection du plan I;:i:<j,tn1 a la surface cylindriquo,
ct du plan ]; rprndit ulaire a 1 axe de ccllc
surface. Done, si du point C on abaisse la perpcndJcnlaire
CI sur cette droile HK ,
le cercle decrit du
point C comme centre, avcc le rayon CI, est la I>as"
de la surface cylindrique, et la droitc IN, paraliclc
a CD, est la projection horizontale de 1 arete de con
tact. Cette arete coupe la premiere droite en im point
dont les projections sont N et r, et par li-quel |
la perpendiculaire aux deux droites donn-
3 Connaissanl Irs projections N, n d un des points
! la perpendicnh.ii f commune deinandee, pour avoir
ecllcs de et-tlr pi rju-ndicidairr, il sufiira de mener par
Ic
point N la drc.ite MJ
(
v
)
p(
i-ji-ndiculaire a la trace AE.
C-ite droite coupe la projection horizontale CD de la
seconde droite donnee au point P, extremite de la
projection horizontale Ml* de la p< rp<
ndiculairc de-
56 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
mandee. La projection verticale do cclte perpendiculaire
etant up, on en construira la grandeur par le procede
de la figure 3.
. La consideration d uiie surface cylindrique touehee
par un plan n etait point necessaire pour la solution
de la question precederite. Apres avoir imagine un plan
parallele aux deux droites donnees, on aurait pu, par
chacune de ces droites, mener a ce plan un plan perpeiidiculaire
;
etl intersection de ces deux derniers plans
aurait etc la direction de la plus courte distance
demandee. Nous nous contenterons d enoncer celte
seconde maniere, en conseillant au lecteur d en chcrcher
la construction pour s exercer.
32. Dans les differentes questions que nous avons
resolues sur les plans tangents aux surfaces courbes,
nous avons toujours suppose que le point par lequel
il fallait mener le plan tangent etait pris sur la sur
face, et qu il etait lui-rnemc le point de contact : celte
condition seule suffisait pour determiner la position
du plan. Mais il n en est pas de meme lorsque le point
par lequel le plan doit passer est pris hors de la sur
face.
Pour que la position d un plan soit determinee, il
faut qu il satisfasse a trois conditions diflerentes, equi
valent es chacune a celle de passer par un point donne :
or, (ii general, la propriete d etre tangent a une sur
face courbe donnee, lorsque le point de contact n est
pas indique, n equivaut qu a une seule de ces condi
tions. Si done c est par des conditions de cette nature
que Ton se propose de determiner la position d un
plan, il en iaut, en general, trois. En eifet, supposons
GEOiMETRIE DESCRIPTIVE.
qn."
nons ayons lni> -nrlae.-s e.nrl>, -s <!onn<
s,
rl
qu iiii
pl;n soil lan<M in a Pune d entre riles, .-fi MII
}>oin! (pieleoiKjiH : nous ponvons conccvoir quc ce plan
s< iueuve anionr de la surface, sans cesscr dc la toucher:
il
jMiurra ! I anv dans loutes sorl <
dr sens: si n!< inent
If
p<>inl
de mnlacl se uiouvra sur la surface a inesuiv
<pie
le
plan tangent changrra dr ]Kilion, cl !a direc
tion dn iiiiMivemcnt du point de contact s ra dans le,
incinr s<
us tjue celle du mouvcmi iit dn plan. Conce\ons
<|iic
ce inouvciii -ni sr fassc dans un certain s ns
jusqu a ce quo, le plan rencontre la st comic surface
ct la touchc en un certain point; alors Ic
jilan s ra en
incinc tcinjis tangent aux deux premieres surfaces, et
sa posilinn iic st ra pas encore arrett -i . Nus p>ii\(nen
fli cl com-cAoir (jue le
plan tourne auiour des d nx
sni laces, sans c< SS-T de l-s lonelier Time el i anhv. II
ne sera plus libre, comnu; aupara\ a;,! , de se iiK.iivnir
dans ioules sorh-s de sens, el il ne ponrra pins ! I aire
(jne dansun senl. A ni ^ nre <pie
le
plan ch; iii:< i-a de po
sition, les deux points de contact se mouvroiil chaenn
-nr la surface a la<pieile
il
ajtpaj lienl ;
de maniere <jn<si
Ton coneoit nne droite ni"ii( e
par c< s deux points,
leiirs niouv, inents seront dans le rneme srns par rap
port a eetle dr<ile, ipiand ie
p
!
,in loiicliri a Jes deux
surfaces dn nieine cote; (>l iis siront dans des sens
contraires, <[nand
le plan tniielura Ics deux surfaces,
IDC d un cote, 1 autre de 1 autre. Enfin concevons
que ce mouvenh nl, <pii
est le seul cpii puisse avoir
encore lieu, continue jusqu a ce que le plan louche
la troisieme surface en un certain point : alors la po
sition du plan sera arretee; <
I i! ne ponrra plus se nion\i-ir
sans cesser d etre tangent a 1 une des trois surfaces.
J8 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
On voit done que pour determiner la position d un
plan, au rnoyen de contacts indetcrmines avec des
surfaces courbes donnees, il en faut en general trois.
/Vinsi, si Ton se proposait de mener un plan tangent
a une surface courbe donnee, cette condition ri
equivaudrait
qu a nne seule des trois auxquelles le plan
pent, satisfaire : on ponrrait done encore en prendro
deux aulres a volonle, el, par excmple, faire passer
le plan par deux points doimes, ou, ce qui revient au
meme, par une droite donnee. S il fallait que le plan
fut tangent en me"me
temps a deux surfaces, il
y aurait
deux conditions employees; il n y en aurait plus qu unc
disponible, et Ton ne pourrait assujetir de plus le plan
qu a passer par un point donne. Eiifm, si le plan devait
toucher eri merne temps trois surfaces donnees, on ne
pourrait plus disposer d aucune condition, et sa posi
tion serait determinec.
Ge quc nous venons de dire regarde les surfaces
courbes en general: il faut neanmoins en excepter ce
qui a rapport a toutes les surfaces cylindriques, a
toutes les surfaces coniques, et a toutes les surfaces
developpables; car, pour ce genre de surfaces, le con
tact avec un plan n est pas reduit a un point unique;
il s etend tout le long d une droite indefmie qui se
confond avec la generatrice dans une de ses positions.
La propriete qu aurait un plan de toucher une seule
de ces surfaces, equivaudrait a deux conditions,
puisnu elle Tassujetirait a passer par une droite; et il
ne resterait plus qu une seule condition disponible,
comme, par exemple, de passer par un point donne.
On ne pourrait done pas proposer de mener un plan
qui fut en merne temps tangent a deux de ces surfaces,
CEOMETRIE DESCRIPTIVE. .<,
t l a plus ftrlr rau- on a In is, a moins qu i! n y rul
tjin l
jiics oiroonatacoet particulitoea qui n mlis>nit tei
conditions omipali
. II n rsl prul-rire pas inutile, avaiil que d u!! r
pins loin, ,|r dnmirr qiielqut-s cvmpirs <!< la inVrssilr
(>u Ton piMif rfrr dc incncr dcs plans tnti^mls
surfaces courbcs par des points pris au ddiors dYlli .
NMUS prendrons le premier de ces exemplcs dans la
construction des fortifications.
Lortqu oD expose les principcs generaux de la fortiliralion,
on suppose d abord (pic, dans tons les sens,
le terrain qui environnc la place forte a la porter dn
canon soit horizontal, et ne prescntc aucunr rniinence
qui puisse donncr quelque avantage a 1 assirgeant
:
puis, dans cette hypo these, on determine le
trace du corps de place, des demi-lunes, des chemins
converts, et des ouvrages avances; ct Ton indique les
commandements que les difFercntcs parties de la for
tification doivent avoir les lines sur les autres, a fin
qu ellcs contribuent toutes, de la manierc la plus cilicace,
a leur defense reciproque. Ensuite, pour faire
1
application de ces principes au cas .fi ! i. naiii (pii
environne la place presenterait quchpu: Km!- ur dont
1
assiegeant pourrait profiler, et de laquelle il faudrait
que la fortification flit defilce, il ne reste plus qu unc
consideration nouvelle. S il n y a qu ime seule hauteur,
on choisit dans la place deux points par lesqucls on
con^oit un plan tangent a la hauteur de laquellt
veut sc defilcr : ce plan tangent se nomine plcin de
defilement; et Ton donne a toutes les parties dc la for
tification le meme relief au-dessus du plan de dt -iiK -
6<> LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
ment, qu elles auraient eu au-dessus du plan horizontal,
si le terrain eu1 etc de nivcau :
par la elles ont les unes
sur les autrcs, et toutes ensemble sur la hauteur voisine,
le meme commandcment que sur un terrain
horizontal; et ia fortification a les memes avantages
que clans le premier cas. Quant au choix des deux
points par lesqucls doit passer le plan de defilement,
i! doit satisfaire aux deux conditions suivarites :
1
que Tangle forme par le plan avec 1 horizon soit
le plus petit, possible, afin que les terre-plems ayarit
moins de pente, le service de la defense rencontre
moins de difficult es; 2 que le relief de la fortification
au-dcssus du terrain iiaturel soit aussi le plus petit
possible, afin que sa construction entraine moins de
travail et moins de depense.
Si, dans les environs de la place, il
y a deux hauteurs
desquelles la fortification cloivc etre en meme temps
defilee, le plan de defilement doit etre en meme temps
I an gent aux surfaces de ces deux eminences : il ne
rnste plus, pour fixer sa position, qu une seule condi
tion disponible, et 1 on en dispose; c est-a-dire, on
ehoisit dans la place le point par Icquel ce plan doit
passer, de maniere que 1 on satisfasse le mieux pos
sible aux conditions enoncees dans le premier cas.
o4. Le second exemple que nous rapporterons sera
encore pris dans la peinture.
Les surfaces des corps, surtout lorsqu elles sont
polies, presentent des points brillants, d un eclat com
parable a celui du corps lumineux qui les eclaire. La
vivacite de ces points est d autant plus grande, et leur
etendue cst d autant plus petite, que les surfaces sont
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. <il
plus poliei. Lnrsque les surfaces son! mates, les points
brillants out beaueiiip iiioins dY-elat ,
et ils OOCVpent
une partie plus grande dc la surface.
Pour chaque surface, la position du point briilant
csl <i>
>!crminee
par la condition suivaiile :
(pic le
ravi.n dc Intuit iv inridcnt, ct le ray.n reflechi dirijjr
a I uMl du spectalcur, M>i ill dans 11:1 meme pla::
pendiculaire an plan tangent en cc point, ct. falser!
ftVCC M plan des angles c^aux, |>arce que Ic point
bnllant di la sui-facc fail, fonclion vlo iniroir, ct rcnvoic
a I ceil line pai tic dc [
image dc I
objel lumineux. La
delcrinination de ce point exigc niu- txtrcnie preci
sion; ct quand ineine le dessin scrait dc la plus grande
ctiun, quand ineine les contours apparcnls
si-raii-nt traces avec line r\a-l il mir inai lu-nialiquc,
la inoindrc crrcur connuisc dans la ])osilion du point
briilant en app<,rlcrait
dc Ires $/randcs dans 1
apparcnce
des formes. Nous n eji aj pi ricrons qu unc seule
]rcuvc, niais bicn frappante.
La surface du globe dc 1 u i! es( |
<
i ; eile esl !:
plus
endnilc d une legere couchc d liuniidilc (pii en ivnd
le poli plus parfait : aussi lorsqu on obs T\< nn ceil
onvert, on voit sur sa surface un point briilant (Tun
grand eclat, d une Ires petite ctcnduc, ct dont la posi
tion dep nd de eclle de 1
objet eclairant et dc 1 observateur.
Si la surface de I ceil etait parfailenient spherique,
I ceil pourrait tpurner autour de son axe ver
tical, sans que la position du point brillant eprouvat
le moindre changement : mais ccttc surface est allongee
dans Ic sens de, 1 axe dc la vision: et lorsqu cllc tourne
autour de 1 axe vertical, la position du point brillant
change. Un long exercice nous ayant rcndus tres sen-
Cr>. LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
sibles a ce changement, ii cntre pour beaucoup dans le
jugement quo nous portons sur la direction du globe
de Pceil. C est principalement par la difference des
positions des points brillants sur les globes des deux
yeux d une personne, que nous jugeons si elle louche
ou si elle lie louche pas; que nous reconnaissons qu elle
nous regarde, et, lorsqu elle ne nous regarde pas, de
quel cote elle porle la vue.
En rapportant cet cxemple, nous ne pretendons pas
que, dans un tableau, il faille determiner gcometriqucment
la position du point briilant sur le globe de
1
ceil; nous avons seulernent I intenlion de faire voir
comment de legeres crreurs dans la position de cc point
en apportent dc considerables dans la forme apparente
do 1
objet, quoiquc d aiilcurs le trace de son contour
apparent reste le meme.
35. Passons actuellemcnt a la determination des
plans tangents aux surfaces courbcs menes par des
points pris au dehors d clies.
La surface de la sphere est une des plus simples que
Ton puissc considerer; elle a des generations communes
avec un grand nombre de surfaces differentes : on pourrnit,
par exemple, la ranger parini les surfaces dc revo
lution, et ne rien dire de particulier pour elle. Mais sa
regularite donne lieu a des resuhats rcmarquables,
dont quelques-uns sont piquants par leur nouveaute,
et dont nous allons nous occuper d abord, moins
pour eux-memes, que pour acquerir, dans 1 observation
des trois dimensions, une habitude dont nous
aurons bcsoin pour des objets plus generaux el plus
utilcs.
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. <> >
36. PREMIERE QUESTION. Par une droite domic.mcner
un plan tangent a la surface d unc sphere donmV .
Solution. - /Y<////Vvr
nutnif re. Solent A cl a
(fig. 16) les deux projections du centre de la sphere;
!><
M, la
projection du grand cercle hori/onlal; EF
cl /, Irs deux projections imlelinii s di- l:i dn.ile
donnee. Soil coririi, par Ic centre de la sphere, uu plan
perpendiculaire a la droite, et soient construites, par
la methode que nous avons donnee (fig. 6), les pro
jections (i d du point do rencontre de la droile aveo
Ic
]>
;m.
(leia pose, il est evident <|ii-, par la droile donmV,
on peut niener a la sphere deux plans t:mr-nls don I
!
|r. !:ii,-r la touchera d un cote, le second la tourlu-ra
(] r:nili .-,
! riiii-i- Irhiiiu-U <!! sera j.lacr.-: ce qui
drii i-iiiin.-i-a d-ux points de contact dillerenls, doi.t
Jl s agit d abord de construirc les projections.
Pour cela, si, du centre de la sphere, on congoit unc
perpendiculaire abaissee sur chacun des drux plans
tangents, chacune d cllcs aboutira au point de contact
dc la surface de la sphere avec le plan correspondanl ;
! riles seront toutes deux dans le plan perpendicu
laire a la droitc donnee : done les deux points de con
tact seroni dans la section de la sphere par le plan
perpendiculaire; section qui sera la circonference d nn
des grands cercles de la sphere, et a laquelle seront
tangentes les deux sections faites dans les plans tan
gents par le meme plan.
Si, dans le plan perpc.uliculairc, et par le centre de
la sphere, on conroit unc horizon tale, dont on aura
la
projection verticale en mcnant 1 horizontale a/i, et
64 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. i\ t
dont on aura 1 autre projection en abaissant sur EF
la perpendiculaire AH; et si Ton conc,oit que le plan
perpendiculaire tourne autour de cette horizontal
commc charniere, jusqu a ce qu il devienne lui-meine
horizontal; il est evident que sa section avec la sur
face de la sphere viendra se confondre avec la circonference
BCD, que les deux points de contact seroni
alors sur cette circonference, et que si Ton construisait
le point J, ou la rencontre du plan perpendiculaire
avec la droite donnee vient s appliquer par ce mouvement,
les tangentes JC, JD, menees au cercle BCD,
determineraient ces deux points de contact dans la
position ou on les considere alors. Or, il est facile de
construire le point J, ou, ce qui revient au meme, de
trouver sa distance au point H : car la projection
horizontale de cette distance est GH, et la difference
dcs hauteurs verticales de ses cxtremites est gg
f
; done,
si Ton porte GH sur 1 horizontale ah de g en /t,
1
hypotenuse
hg sera la grandeur de cette distance; done,
portant gh sur EF de H en J, et menant les deux tarigentes
JC, JD, les deux points de contacts C, D seront
determines dans la position qu ils ont prise, lorsque le
plan perpendiculaire a etc abattu sur le plan horizontal,
Actuellement, pour trouver leurs projections dans
la position qu ils doivent avoir naturellement, il faut
concevoir que le plan perpendiculaire retourne a sa
position primitive, en tournant encore autour de
Phorizontale AH comme charniere }
et qu il entraine
avec lui le point J, les deux tangentes JC, JD, prolongees
jusqu a ce qu elles coupent AH en des points K,
K ,
et la corde CD qui coupera aussi la meme droite
AH en un point N. II est evident que, dans ce mouveMU.NGK.
I. 5
66 LES MAITRES DE LA PENSEE
merit, les points K, K ct N, qui sont sur la charniere,
seront fixes, et que les deux points de contact C, D
decriront des arcs de cercle qui seront dans des plans
perpendiculaires a la charniere, et dont on aura les
projections horizontals, en abaissant des points C,
D, sur AH, les perpendiculaires iridefinies CP, DQ.
Done les projections horizontals des deux points dc
contact se trouveront sur les deux droites CP, DQ.
Mais dans le mouvement retrograde du plan perpendiculaire,
les deux tangentes JCK ,
JKD ne cessent
pas de passer par les points de contact respectifs; et
lorsque ce plan est parvenu dans sa position primi
tive, le point J se trouve de nouveau projete en G,
et les deux tangentes sont projetees suivant les
droites GK ,
GK. Done ces deux dernieres droites
doivent aussi contenir chacune la projection horizontale
d un des points de contact, done enfm les inter
sections dc ces deux droites, avec les droites respectives
CP, DQ, determineront les projections horizontales D
et S des deux points de contact qui se trouveront
avec le point N sur une meme ligne droile.
Pour trouver les projections vertical es des memes
points, on mencra d abord sur LM les perpendiculaires
indefmies Rr, Ss; puis si 1 on projette les points K,
K ,
en A, A ,
et si, par le point g, on mene les droites
gA, gA ,
on aura les projections verticales des deux
memes tangentes. Ces droites contiendront done les
projections des points de contact respectifs; done les
points r, s de leurs intersections avec les verticales Rr,
Ss seront les projections demandees.
Les projections horizontales et verticales des deux
points de contact etant trouvees, pour construire sur
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. (,;
10 plan horizontal les traces dos deux plans tangent-,
on concevra, par chacun dos points de contact, une
parallele a la droite donnee. Ces droites seront dans les
plans tangents respectifs, et Ton aura leurs projections
horizontale et verticale en menant RU, SV paraU
leles a EF, et rw, sv parallels a <>f.
On construira, sur
le plan horizontal, la trace T de la droite donnee, et les
traces U, V des deux dernieres droites; et les droites
TU, TV seront les traces des deux plans I an gen Is.
Au lieu de concevoir, par les points de con I
act, de
nouvelles lignes droites, on pourrait trouver les traces
des deux tang^ntes GR, GS, qui rempHraient le inenie
but. Quant aux traces des deux memes plans avcc le
plan vertical, on les trouvera par la methode que nous
avons deja souvent employer.
liette solution pourrait etre rendne beaucoup plus
elegante, en faisant passer les deux plans de projection
par le centre merae de la sphere. Par la les deux pro
jections de la sphere se confondraient dans le meme
cercle, et les prolongements des lignes droites seraient
moins longs. Nous n avons separe les deux projec
tions que pour metIre plus de clarte dans 1
exposilion.
11 est facile actuellement de donner a la construction
Ion!-- la ("iicision dont elle ost susceptible.
37. Seconde maniere. Soient A et a (fig. 17) les
deux projections du centre de la sphere, AB ou ab son
rayon, BCD la projection de son grand cercle hori
zontal, et EF, ef les projections de la droite donnee.
Si Ton congoit le plan du grand cercle horizontal prolonge
jusqu a ce qu il
coupe la droite donnee en un
certain point, on aura la projection verticale de ce
plan
68 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
en menant par le point a 1 horizontale indefinie lag;
le point g, ou cette horizontale coupera e/, sera la pro
jection verticale du point de rencontre du plan avec
la droite donnee, et 1 on aura la projection horizontale
G de ce point, en projetant g sur EF.
Cela pose, si, en prenant ce meme point pour sommet,
on conQoit une surface conique qui enveloppe la sphere,
et dont toutes les droites generatrices la touchent
chacune en un point, on aura les projections des deux
droites generatrices horizontales de cette surface
conique en menant par le point G les deux droites GC,
GD, tangentes au cercle BCD, et qui le toucheront en
deux points C, D, qu il sera facile de determiner. La
surface conique touchera celle de la sphere dans la cir
conference d un cercle, dont la droite CD sera le diametre,
dont le plan sera perpendiculaire a 1 axe du
cone, et par consequent vertical, et dont la projection
horizontale sera la droite CD.
Si, par la droite donnee, on congoit deux plans tan
gents a la surface conique, chacun d eux la touchera
suivant une de ces droites generatrices, qui sera en
meme temps sur la surface conique et sur le plan;
et parce que cette droite generatrice touche aussi la
surface de la sphere en un de ses points qui se trouve
sur la circonference du cercle projete en CD, il s ensuit
que ce point est en meme temps sur la surface conique,
sur le plan qui la touche, sur la surface de la sphere,
et sur la circonference du cercle projete en CD, et qu il
est un point de contact commun a tous ces ohjets.
Done: iles deux plans tangents a la surface conique
sont aussi tangents a la surface de la sphere, et sont
ceux dont il faut determiner la position; 2 leurs
GEOMTRIE DESCRIPTIVE. (.i
points de contact avec la sphere, etant dans la circonference
du cercle projete en CD, seront eux-memcs
projetes quelque part sur cette droite; 3 la droite qui
passe par les deux points de contact, etant comprise
dans le plan du meme cercle, sera projetee elle-meme
indefmiment sur CD.
Actuellement, faisons pour le plan d un grand cercle,
parallele a celui de la projection verticale, la memo
operation que nous venons de faire pour le plan du
grand cercle horizontal. La projection horizontale de
ce plan sera la droite BAH, indefmiment parallele
a LM; le point ou il rencontre la droite donnee sera
projete horizontalement a 1 intersection H des deux
droites EF, BAH; et Ton aura sa projection verticale
en projetant le point H sur ef en h. Si 1 on conc,oit une
nouvelle surface conique dont le soinmet soit en ce
point de rencontre, et qui enveloppe la sphere comme
la premiere, on aura les projections verticales des deux
droites generatrices extremes de cette surface, en
rnenant parle point A, au cercle 6KI, les tangentes /iK,
h I, qui le toucheront en des points K, I, que Ton determinera.
Cette seconde surface conique touchera celle
de la sphere dans la circonference d un nouveau cercle
dont KI sera le diametre, et dont le plan, qui sera
perpendiculaire a celui de la projection verticale, sera
par consequent projete indefmiment sur KI. La cir
conference de ce cercle passera aussi par les deux
points de contact de la sphere avec les plans tangents
demandes; done les projections verticales de ces deux
points de contact seront quelque part sur KI; done
aussi la droite qui joint ces deux points sera projetee
sur la meme droite KI.
70 LES MA1TRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
Ainsi la droite menee par les deux points de contact
cst projetee horizontalement sur CD, et verticalement
sur K I; elle rencontre le plan du grand cercle horizontal
en nn point, dont la projection verlicale est a Pintersection
n de KI, avcc bag, et dorit on aura la projec
tion horizontale N en piojetant le point n sur (ID.
Cola fait, concevons que le plan du circle vertical,
projete en CD ,
tourne autour de son diametre
horizontal comme charniere, pour devenir lui-meme
horizontal, et qu il entraine avec lui, dans son mouvement,
les deux points de contact par lesquels passe
sa circonference, et la droite qui joint ces deux points.
On construira ce cercle dans cette nouvelle position,
en decrivant sur CD, comme diametre, le cercle CPDQ;
et si Ton construisait la position que prend la droite
des deux points de contact, elle couperait la circonfe
rence CPDQ en deux points, qui les determineraient
sur cette circonference consideree dans sa position
horizontale.
Or, le point N de la droite des deux contacts, etant
sur la charniere CD, ne change pas de position dans le
mouvement. Cette droite doit done encore passer par ce
point, lorsqu elle est devenue horizontale. De plus, le
point ou elle rencontre le plan du grand cercle parallele
a la projection verticale, point dont la projection
horizontale est a la rencontre des deux droites CD
BAH, et dont on aura la projection verticale t en projetant
le point sur KI; ce point, dis-je, dans son
mouvement autour de la charniere CD, decrit un quart
de cercle vertical perpendiculaire a CD, et dont le
rayon est la verticale ot\ done, si Ton mene, par le
point 0, une perpendiculaire a CD, et si,
sur cette per-
CEOMETRIE DESCRIPTIVE.
pendiculaire, on portc ot de en T, !<
]>oini
T sera un
de ceux de la droite dcs con lads, lonqu elle est devenue
horizontale. Done, si, par les points N et T, on
mene une droite, ses deux points de rencontre P, O,
avec la circonference CPDQ, seront les deux points de
contact consideres dans le plan vertical abattu.
Pour avoir les projections horizontals des deux
inemes points dans leurs positions naturelles, il faul
concevoir que le cercle CPDQ retourne dans sa posi
tion primitive en tournant sur la meme charniere CD.
Dans ce mouvemeiit, les deux points P, Q decriront
des quarts de cercle dans des plans vertiraux, ptTpendiculaires
a CD, et dont les projections horizontals
seront les perpendiciilairvs PR et QS, abaissees sur CD.
Done, les projections horizontals dcs dMix points de
contact seront respectivement sur les droites PR
et QS :
or, nous avons vu qu elles devaient etre aussi
sur CD; done elles seront aux deux points de ren
contre R et S.
On aura les projections verticales r, s des deux
menies points, en projetant les points R et S sur KI;
ou, ce qui rcvient au meme, en portant sur les verticales
Rr, Ss, a partir de 1 horizontale bag, r r cgale
a PR, et s s egalc a QS.
Les projections horizontajes et verticales des deux
points de contact etant construites, on determinera
les traces des deux plans tangents, comme dans la pre
miere solution.
Cette seconde solution pent aussi etre rendue beaucoup
plus concise en faisant passer les plans de projec
tion par le centre de la sphere; ce qui reduit les deux
projections a une meme figure.
72 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
38. Ces dernieres considerations vont nous conduire
a la decouverte de quelques proprietes remarquables
du cercle, de la sphere, des sections coniques et des
surfaces courbes du second degre.
Nous venons de voir que les deux surfaces coniques
circoiiscrites a la sphere la touchaient chacunc dans la
circonference d un cercle, et que ces circonferences
passaient toutes deux par les deux points de contact
de la sphere avec les plans tangents. Cette propriete
ri est point particuliere aux deux surfaces coniques
que nous avons considerees ;
elle convieiit a toutes
celles qui auraient leur sommet dans la droite donnee,
et qui seraient de meme circonscrites a la sphere. Done,
si Ton conQoit une premiere surface conique qui, ayant
son somrnet sur la droite donnee, soit circonscrite
a la sphere, et si 1 on suppose que cette surface se
meuve de maniere que son sommet parcoure la droite,
sans qu elle cesse d etre circonscrite et tangente a la
sphere; dans chacune de ses positions, elle touchera
la sphere dans la circonference d un cercle; toutes ces
circonferences passeront par deux memes points, qui
seront les contacts de la sphere avec les deux plans
tangents; et les plans de ces cercles se couperont tous
suivant une meme ligne droite, qui sera celle des deux
contacts. Enfin, si 1 on congoit le plan mene par la
droite donnee et par le centre de la sphere, ce plan, qui
passera par les axes de toutes les surfaces coniques,
sera perpendiculaire aux plans de tous les cercles de
contact, et par consequent a la droite qui est leur com
mune intersection; et il
coupera tous ces plans dans des
lignes droites qui passeront par un meme point.
Reciproquement, etant donnees une sphere et une
GEOMTRIE DESCRIPTIVE. 7!
ligne droite, si Ton congoit par la droite tant de plans
qu on voudra, qui couperont la sphere chacun suivant
un cercle, et si, pour chacun de ces cercles, on conc.oil,
la surface conique dioite dont il serait la base, et qui
s;-rait circonscrite a la sphere, les sommets de toutes
ces surfaces coniques seront dans une autre memo
ligne droite.
39. En considerant seulement ce qui se passe dans
le plan mene par la droite donnee et par le centre de
la sphere, on est conduit aux deux propositions suivantcs,
qui son I des corollaires immediats de ce qui
Etant donnes dans un plan (fig. 18 et 19) un
cercle dont le centre soit en A, et une droite quelconque
BC; si, apres avoir mene par un point quelconquc
D de la droite deux tangentes an cercle, et la
droite EF qui passe par les deux points de contact, on
congoit que le point D se mcuve le long de la droite,
et entraine avec lui les deux tangentes, sans qu elles
cessent de toucher le cercle : les deux points de con
tact changeront de position, de meme que la droitc I J
qui les joint; mais cette droilc passera toujours par
un meme point N qui se Irouve sur la perpendiculaire
AG, abaissee du centre du cercle sur la droilc.
Reciproquement, si, par un point N pris dans le
plan d un cercle, on mene tant de droites EF qu on
voudra, qui couperont chacune la circonference du
cercle en deux points, et si, par ces deux points, on
mene au cercle deux tangentes ED, FD, qui se cou
peront quelque part en un point D, la suite de tons les
points d intersection trouves de la meme maniere sera
74 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFJQUE.
CEOMETRIE DESCRIPTIVE.
sur une meme ligne droite BG perpendiculaire a AN.
Ce n est pas parce que tous les points de la circonference
sont egalement eloignes du centre, que le cercle
jouit de la propriety que nous venons d enoncer, c est
parce qu il est une courbe du second degre; et toutes
les sections coniques sont dans le meme cas.
En effet, soient AEBF (fig. 20) une section conique
quelconque, et CD une droite quelconque donnec dans
son plan : concevons que la courbe tourne autour d un
de ses axes AB pour engendrer une surface de revolu
tion, et concevons les deux plans tangents a cette sur
face menes par la droite CD; les deux plans auront
chacun leur point de contact particulier. Cela pose, si,
en prenant pour sommet un point quelconque H de
la droite CD, on congoit la surface conique circonscrite
et tangente a la surface de revolution, elle touchera
cette derniere surface dans une courbe qui passera
necessairement par les deux points de contact
avec les plans tangents. Cette courbe sera plane; son
plan, qui sera perpendiculaire a celui de la section
conique donnee, sera projete sur ce dernier, suivant
une droite EF; et cette droite passera par les points
de contact des tangentes a la section conique, menees
par le point H. Actuellement, si 1 on suppose que le
sommet H de la suiface conique se meuve sur la
droite CD, sans que cette surface cesse d etre circonscrite
et tangente a la surface de revolution; dans chacune
de ses positions, sa courbe de contact aura les
memes proprietes de passer par les deux points de
contact avec les plans tangents, d etre plane et d avoir
son plan perpendiculaire a la section conique. Done
les plans de toutes les courbes de contact passeront par
76 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
la droite qui joint les deux points de contact, et qui
est elle-meme perpendiculaire au plan de la section
conique ; done enfm les projections de tous les plans
seront des lignes droites qui passeiont toutes par la
projection N de la droite qui joint les deux points
de contact.
40. Enfin, cette proposition n est elle-meme qu un
cas particulier d une autre plus generale qui a lieu
dans les trois dimensions, et que nous nous contenterons
d enoncer ici.
Etant donnees dans 1
espace une surface courbe
quelconque du second degre, et une surface conique
circonscrite qui la touche, et dont le sommet soit en
un point quelconque; si la surface conique se meut
sans cesser d etre circonscrite a la premiere surface
et de la toucher, de maniere cependant que son sommet
parcoure une droite quelconque, le plan de la courbe
de contact des deux surfaces passera toujours par une
memo ligne droite (qui sera determinee par les contacts
de la surface du second degre avec les deux plans tan
gents qui passent par la droite des sommets) ;
et si la
surface conique se meut de maniere que son sommet
soit toujours dans un rneme plan, le plan de la courbe
de contact passera toujours par un meme point.
41. SECONDE QUESTION. Par un point donne,
mener un plan tangent a la fois aux surfaces de deux
spheres donnees ?
Solution. Soient A, a (fig. 21) les deux pro
jections du centre de la premiere sphere} B, by
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 77
78 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFiQUI- .
celles du centre de la seconde ;
et G, c, celles du point
donne. Apres avoir mene les droites indefmies AB
ab, projections de celle qui passerait par les deux
centres, et apres avoir construit les projections GEF,
gef, HIK, hik des grands cercles des deux spheres
paralleles aux plans de projection, on concevra une
surface conique circonscrite a la fois aux deux spheres,
et qui les touche toutes deux. Cette surface aura son
sommet dans la droite qui passe par les deux centres.
On menera aux deux cercles GEF, HIK les deux tangentes
communes EH, FK, qui se couperont en un
point D de la droite AB ;
et ce point sera la projection
horizontale du sommet du cone : on aura la projection
verticale du meme point, en projetant le point D en d
sur le prolongement de ab. Enfin, on menera les pro
jections CD, cd de la droite menee par le sommet du
cone et par le point donne. Cela pose, si par cette derniere
droite on congoit deux plans tangents a la sur
face conique, ils la toucheront chacun en une de ses
droites generatrices; et, par consequent, ils seront tous
deux tangents en meme temps aux deux spheres. La
question est done reduite a mener, par la droite qui
passe par le sommet du cone et par le point donne, deux
plans tangents a la surface d une des spheres, ce qui
s executera comme dans la question precedente, et les
deux plans seront en meme temps tangents a la seconde
sphere.
II faut observer que 1 on peut concevoir deux sur
faces coniques circonscrites aux deux memes spheres.
La premiere les enveloppe toutes deux en dehors, et a
son sommet au dela d une des spheres par rapport a
1 autre : les plans tangents a cette surface conique
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 79
touchent chacun les deux spheres du mSine cote. La
second*- surface conique enveloppe les spheres, 1 une
en dedans, 1 autre en dehors, et a son sommet enttv
les deux o ;iin I. ( >n trouve la projection horizontal D
de ce sommet en menant aiix cercles EFG et HIK les
deux, tangentes interieures qui se coupent en un point
de, la droite AB; et Ton a sa projection verticale en
projetant le point D en d sur ab. Les deux plans tan
gents mcncs a crtte surface conique touelu nt aussi
cnacun les deux sphrres; mais ils touchent la premiere
d un role, el la seconde de 1 autre. Ainsi quatre plans
dili erents pcuvent satisfaire a la question :
pour deux
d entre eux, les deux spheres sont du meme cote du
plan; pour les deux autres, elles sont de cotes dift e-
rents.
42. TROISIEME QUESTION. Mener un plan tangent
en meme temps a trois spheres donnees de grandeur
et de position ?
Solution. Goncevoiis le plan tangent en meme
temps aux trois spheres, et imaginons d abord une sur
face conique circonscrite aux deux premieres spheres,
et qui les touchc toutcs deux; le plan tangent touchera
ce.tte surface conique le long d une de ses droites
generatrices, et passera par le sommet du cone. Si 1 on
imagine une seconde surface conique circonscrite a la
premiere sphere et a la troisieme, le meme plan tangent
la touchera de meme le long d une de ses droites gene
ratrices, et passera, par consequent, par son sommet.
Enfin, si 1 on conc,oit une troisieme surface conique qui
embrasse et touche la seconde sphere et la troisieme,
8o LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
le plan tangent la touchera encore le long d ime de ses
droites generatrices, et passera par son sommet. Ainsi
les sonlmets des trois surfaces coniques seront dans le
plan tangent; mais ils seront aussi dans le plan qui
passe par les centres des spheres, et qui contient les
trois axes : done ils seront en meme temps dans deux
plans diflerents ;
done ils seront en ligne droite. II suit
de la que si Ton construit, comme nous 1 avons indique
dans la question precedente, les projections horizontales
et verticales de ces sommets, dont deux suffisent,
on pourra faire passer par ces projections celles d urie
droite qui se trouve sur le plan tangent. La question se
reduit done a mener par une droite donnee un plan
tangent a celle des trois spheres qu on voudra ;
ce qui
s executera par les methodes precedentes, et ce plan
sera tangent aux deux autres.
43. II faut observer que, puisqu on peut toujours
concevoir pour deux spheres quelconques deux sur
faces coniques qui les enveloppent et les touchent
toutes deux, la premiere ayant son sommet au dela
d un des centres par rapport a 1
autre, la seconde ayant
son sommet entre les deux centres, il est evident que,
dans la question precedente, il
y aura six surfaces
coniques, dont trois seront circonscrites en dehors aux
trois spheres prises deux a deux, et dont trois auront
leurs sommets entre les spheres. Les sommets de ces
six cones seront distribues trois par trois sur quatre
droites, par chacune desquelles on pourra mener deux
plans tangents en meme temps aux trois spheres.
Ainsi huit plans diflerents satisfont a cette troisieme
question : deux d entre eux touchent les trois spheres
GEOMETRIE DESCRIPTIVE.
du meme cote par rapport a eux; les six autres sont
tellement places, qu ils touchent deux des spheres
d un cote, et la troisieme de 1 autre.
44. Ces considerations nous conduisent a la propo
sition suivante :
Trois cercles quelconques etant donnes de grandeur
<! ile position sur un plan (fig. 22), si, en les considerant
deux a deux, on leur mene les tangentes extericurcs
prolongecs jusqu a ce qu elles se coupent, les
trois points d intersection D, E, F, qu on obtiendra
de cette maniere, seront en ligne droite.
Car si 1 on congoit les trois spheres dont ces cercles
sont les grands cercles, et un plan qui les touche toutes
les trois exterieurement, ce plan touchera aussi les
trois surfaces coniques circonscrites aux spheres considerees
deux a deux, et passera par leurs trois sommets
D, E, F. Mais ces trois sommets sont aussi sur le
plan des trois centres : done ils sont sur deux plans
dillY rents, et par consequent en ligne droite. Si aux
niemes cercles, considered deux a deux, on mene les
tangentes interieures qui se croiseront, les trois nouveaux
points d intersection G, II, I seront deux a
deux en ligne droite avec un jdes trois premiers, en
sorte que les six points D, E, F, G, II, I seront les
intersections des quatre droites.
Enfin, cette proposition n est qu un cas particular
de la suivante, qui a lieu dans les trois dimensions.
Quatre spheres quelconques etant donnees de
grandeur et de position dans 1
espace, si Ton conceit
les six surfaces coniques qui sont circonscrites exte
rieurement a ces spheres considerees deux a deux, les
MONGK. I. 6
8?. LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
sornmets des six cones seront dans un meine plan et
aux intersections de quatre droites ;
et si Ton concoit
les six autres surfaces coniques circonscrites interieurement,
c est-a-dire, qui ont leurs sommets entre les
centres de deux spheres, les sommets de ces six nouveaux
cones seront trois par trois dans un meme plan
avec trois des premiers.
45. QUATRIEME QUESTION. Par un point pris
arbitrairement, mener un plan tangent a une surface
cylindrique donnee ?
Solution. Soil EIFK (fig. 28) la trace de la sur
face cylindrique sur le plan horizontal, trace que
nous supposons donnee. Soient AB, ab les deux pro
jections donnees de la droite a laquelle la generatrice
doit toujours etre parallele, et C, c celles du point
donne. Si par ce point on conc.oit une parallele a la
droite generatrice, cette droite sera dans le plan tan
gent demande; et les points dans lesquels elle coupera
les plans de projection scront sur les traces du plan
tangent. Done, si par ce point C on mene CD paral
lele a AB et, par le point c, cd parallele a ab, on aura
les deux projections de cette droite ;
et si, apres avoir
prolonge cd jusqu a ce qu elle rencontre LM en un
point d, on projette le point d en D sur CD, le point D
sera la rencontre de cette droite avec le plan horizontal,
et par consequent un point de la trace du plan tangent.
Or, la trace horizontale du plan tangent doit etre tangente
a la courbe EIFK; done, si par le point D on
mene a cette courbe toutes les tangentes possibles,
DE, DF, etc., on aura les traces horizontales de tous
GEOMETRIE DESCRIPTIVE.
B4 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
les plans tangents qui peuvent passer par le point
doime. Si par les points de contact E, F, etc., on mene
a AB les paralleles indefmies EG, FH. etc., on aura
les projections horizon tales des droites generatrices,
dans lesquelles les difl erents plans tangents touchent
la surface cylindrique; enfin on aura les projections
verticales eg, //&, etc. de ces generatrices ou de ces
droites de contact, en projetant les points E, F, etc.
sur le plan vertical en e, /, etc., et en menaiit par ces
derniers points des paralleles indefmies a ab. Quant
aux traces des plans tangents sur le plan vertical, on
les trouvera par le procede de la figure 12.
46. CINQUIEME QUESTION. Par un point pris
arbitrairement, mener un plan tangent a une surface
conique donnee ?
Gomrne la solution de cette question differe tres peu
de, celle de la precedente, nous nous contenterons d en
indiquer la construction dans la figure 2/j.,
ou la courbe
EGFH est la trace donnee de la surface conique, ou A
et a sont les projections donnees du sommet, et ou C
et c sont celles du point donne par lequel le plan tan
gent doit passer.
47. SIXIEME QUESTION. Par une droite donnee,
mener un plan tangent a une surface de revolution
donnee ?
Solution. Nous supposeroris que 1 axe de la sur
face de revolution soit perpendiculaire a 1 un des deux
plans de projection, ce qui n alterera pas la generalite
de la solution, parce qu on est toujours le maitre de
GEOMETRIC DESCRIPTIVE. 85
disposer de la position de ces plans, de maniere que
cette condition soit remplie.
Soient done A (fig. 25) la projection horizontale
donnee de 1 axe de la surface, aa
f
sa projection
verticale, apia la courbe generatrice de la surface,
ft BC, be les deux projections donnees de la droite
par laquelle le plan tangent doit passer. Du point A
soit abaissee sur BC la perpendiculaire AD, qui sera
la projection horizontale de la plus courte distance
entre 1 axe et la droite donnee, et soit projete le point
D en d sur be.
Cela pose, concevons d abord que le plan tangent
soit mene; puis supposons que la droite donnee tourne
autour de 1 axe de revolution, sans changer de dis
tance a cet axe, sans changer d inclinaison sur le plan
horizontal, et qu elle entraine avec elle le plan tangent,
de maniere qu il touche toujours la surface : il est evi
dent qu en vertu de ce mouvement, le point de contact
de la surface et du plan changera de position :
mais,
parce que le plan tangent garde toujours la meme
inclinaison, ce point de contact ne changera pas de
hauteur sur la surface, et il se mouvra dans la circonference
d un cercle horizontal, dont le centre sera
dans 1 axe. De plus, la droite donnee engendrera par
son mouvement une seconde surface de revolution
autour du meme axe, a laquelle le plan tangent sera
lui-meme tangent dans toutes ses positions.
En effet, concevons uii plan par 1 axe et par le point
de contact du plan tangent avec la premiere surface :
ce plan coupera la droite generatrice en un point qui
sera celui du contact du meme plan tangent avec la
seconde j
car independainment de la droite generatrice
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQlJE.
-25=731
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 87
par laqucllc il
passe en (
point, il
passe encore par la
tanpvnto du crrclo horizontal au iiu-mr point, puisqu il
passe aussi par la langente du cercle horizon la! .HI
point de contact avec la premiere surface, et quc, par
la propriete drs surfaces de revolution, ces deux langentrs
sont paralleles.
Comme c est an moyen de la seconde surface de
revolution que nous devons resoudre la question, il est
necessaire de construire la courbe suivant laquelle
elle est coupee par un plan mene par 1
axe; et nous
supposerons que ce plan soit parallele au plan vertical
de projection, et par consequent projete sur le plan
horizontal dans une droite AF parallele a LM.
Soit pris sur la droite donnee un point quelconque,
dont les projections soient E et e, et cherchons Itpoint
dans lequel il rencontre le plan de la section dans
s<m numvement. D abord ce point decrira autour de
Paxe de revolution un arc de cercle horizontal, dont
on aura la projection horizontale en decrivant du
point A comme centre, et de 1 intervalle AE, 1 arc EF,
jusqu a ce qu il rencontre la droite AF quelque part
en un point F; et Ton aura la projection verticale de
cet arc en menant par le point e 1 horizontalc indefinie
ef. Le point F sera done la projection horizontale
de la rencontre du point decrivant avec le plan de
la section :
done, si Ton projette le point F en / sur ef,
le point / sera la projection verticale de cette rencontr<>,
et par consequent un point de la section. Si Ton fait
les memes operations pour tant d autres points qu on
voudra, pris sur la droite donnee, on aura autant de
points g, /, r, n, par lesquels on fera passer la courbe
demandee.
88 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
Cela fait, supposons que la droite donnee et le plan
tangent, par leur rotation simultanee autour de 1
axe,
soient parvenus dans une position telle, que le plan
tangent soit perpendiculaire au plan vertical de pro
jection. Dans cette position, sa projection sur ce plan
sera une ligne droite, et cette droite sera tangente en
meme temps aux deux courbes apia , grnf. Si done on
mene a ccs deux courbes toutes les tangentes com
munes, telles que gi, Tip, on aura les projections de
tous les plans tangents qui satisfont a la question, et
consideres dans la position qu ils ont prise, lorsque
par la rotation ils sont devenus successivement perpendiculaires
au plan vertical. Les points de con
tact i, p de ces tangentes avec la generatrice de la
premiere surface determineront les hauteurs de ceux
de cette surface avec tous les plans tangents :
par con
sequent, si par ces points on mene les horizontales
indefinies it, ps, elles contiendront les projections verticales
des points de contact de la surface avec les
plans; et si du point A comme centre, et avec des
rayons egaux respectivemeiit a it et a ps, on decrit
des arcs de cercle IK, PQ, ces arcs contiendront les
projections horizontales des memes points. II ne reste
done plus, pour achever de les determiner, qu a trouver
sur quels meridiens de la surface de revolution ils
doivent se trouver : c est ce a quoi doivent servir les
points de contact g, n.
Pour cela, apres avoir projete les points g, n
sur AG, en G et N, si du point A comme centre, et avec
des intervalles successivement egaux a AG et AN, on
decrit les arcs de cercle GH, NO, jusqu a ce qu ils
coupent la droite BG en des points H et 0, ces arcs
GEOMETRIC DESCRIPTIVE.
expriment la quantite de rotation que, pour chaquc
plan tangent, la droite qui passe par ses contacts avec
les deux surfaces a ete obligee de faire pour se trans
porter dans le plan vertical parallclc a ceiui de projec
tion. Done on aura les projections horizontals de ces
memes droites, considerees dans leurs positions naturelles,
en menant par le point A les droites AH, AO;
done enfin les points K, Q, ou les dernieres droites coupri
oiit les arcs correspondanls IK, PQ, seront les pro
jections horizontals des points de contact de la pre
miere surface avec les plans tangents menes par la
druito donnee.
Quant aux projections verticales des memes points,
on les aura en projetant les points K, Q, en k, </,
sur
les horizontals respectives it, ps.
Les projections horizontals et verticales des points
de contact etant determinees, on construira les traces
de tous les plans tangents paries memes methodes que
nous avons deja employees.
Cette methode peut facilement se generaliser eL
s appliquer aux surfaces erigendrees par des courbes
quelconques, constantes de formes et variables de
positions dans 1
espace.
III.
DES INTERSECTIONS DES SURFACES COURBES.
48. Lorsque les generations de deux surfaces courbes
sont entierement determinees et connues; lorsque,
pour chacune d elles, la suite de tous les points de
<j<>
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
1
espace par lesquels elle passe n a plus ricn d arbitraire;
lorsque pour chacun de ces points, une des deux
projections etant prise a volonte, 1 autre projection
peut toujours etre construite; si CPS deux surfaces ont
quelques points communs dans 1
espace, la position
de tous ces points communs est absolument determinee;
elle depend et de la forme des deux surfaces
courbes, et de leurs positions respcctives; et elle est
de nature a pouvoir toujours etre deduite de la defi
nition des generations des surfaces, dont elle est une
consequence neccssaire.
La suite de tons les points cumnmns a deux surfaces
courbes determinees forme en general dans 1
espace
une certaine ligne courbe qui, pour des cas tres parti
culiers, peut se trouver dans un certain plan et n avoir
qu une seule courbure; qui, pour des cas infmiment
plus particuliers, peut devenir une ligne droite et
n avoir aucune courbure; eiifm qui, pour des cas infmi
ment plus particuliers encore, peut se reduire a un
point unique; mais qui, dans le cas general, est ce
qu oii iiomme courbe a double courbure, parce qu elle
participe ordinairement des courbures des deux sur
faces courbes, sur chacune desquelles elle se trouve
en meme temps, et dont elle est 1 intersection commune.
49. II existe entre les operations de 1
Analyse et les
methodes de la Geometric descriptive une correspondance
dont il est necessaire de donner ici une idee.
Dans 1
Algebra, lorsqu un probleme est mis en equa
tions, et qu on a autant d equations que d inconnues,
on peut toujours obteiiir le meme nombre d equations,
dans chacune desquelles il n entre qu une des in-
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. <)I
connues; ce qui met a portee de connaltre les valeurs
dc chacunc d elles. I
/operation par laquellc on parvient
a ce but, et qui s appelle elimination, consist e,
au moyen d une des equations, a chasser une des inconnues
de toutes les autres equations; et en chassnni
ninsi surcessivement les difTerentes inconnues, on
arrive a une equation finale qui n en contient plus
qu une seule dont elle doit produire la valeur.
L objet de I
elimination, dans 1
Algebre, a la plus
grande analogic avec les operations par lesquelles, dans
la Geometric descriptive, on determine les in!ersn--
tions des surfaces courbes.
En effet, supposons que, considerant un point dans
1
espacc, et representant par a;, t/,
z les distances de
ce point a trois plans rectangulaires entre eux, on etablisse
une relation entre ces trois distances, et que
cctte relation soit exprimee par une equation, dans
laquelle entrent les trois quantites x, ?/, z, et des constantes.
En vertu de cette relation, la position du point
ne sera pas determinee : car les quantites #, t/,
z pourront
changer de valeur, et par consequent le point
pourra changer de position dans 1
espace, sans que la
relation exprimee par 1
equation cesse d avoir lieu;
et la surface courbe, qui passe par toutes les positions
que le point peut occuper ainsi, sans que la relation
entre ces trois coordonnees soit alteree, est celle a
laquelle appartient 1
equation.
Par exemple, supposons qu une sphere dont le
rayon soit exprime par A ait son centre au point d intersection
commune des trois plans rectangulaires, et
qu rn considerant un certain point sur la surface de la
sphere, on imagine des perpendiculaires abaissees de
<)2
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
ce point sur les trois plans et representees par les
lettres x,y,z\ il est evident que le rayon de la sphere,
dirige au point que Ton considere, sera la diagonale
d un parallelepipede rectangle, dont les trois aretes
seront x, y, z; que son carre sera egal a la somme des
earres des trois aretes ;
et qu ainsi 1 on aura 1
equat ion
.?;
2
-f- y- -f- z2 ~ A2
. Cela pose, si le point change de
position sur la surface de la sphere, ses distances x,
?/,
z aux trois plans rectangulaires changeront; mais
sa distance au centre ne changera pas, et la somme des
carres de ces trois coordonnees, qui est toujours egale
au carre du rayon, aura toujours la meme valeur : on
aura done encore entre les coordonnees de ce point la
relation exprimee par 1
equation x~ -\- y^ -\- z~ = A2
.
Cette equation, qui a lieu pour tous les points de la sur
face de la sphere, et qui a lieu pour eux seuls, est celle
de cette surface. Toutes les surfaces courbes ont ainsi
chacune leur equation; et s il n est pas toujours facile
d avoir cette equation exprimee en quantites aussi
simples que les distances x, y, z, il est toujours possible
de Tobtemr en quantites plus compliquees, telles que
les inciinaisons des plans tangents, les rayons des courbures
: il suffit a notre objet d en avoir fait connaitre
une pour exemple.
Actuellement, si, ayant en #, y, z les equations de
deux surfaces courbes differentes, et en supposant que
pour les points des deux surfaces les distances soient
prises par rapport aux memes plans rectangulaires, on
elimine une des trois quantites rr, ?/, z, par exemple z,
cntre les deux equations; par la simultaneite de ces
deux equations, on etablit d abord que ce n est pas de
tous les points de la premiere surface indistinctement,
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. <j3
ni de tous ceux de la seconde, que Ton s occupe, mais
seulement de ceux de leur intersection, pour chacun
desquels les equations doivent avoir lieu, puisqu ils
sont en meme temps sur les deux surfaces. Ensuite
1
equation en or, t/, qui resulte de 1 elimination de z,
exprime la relation qui existe entre ces doux distances
pour tous les points de 1
intersection, quelle que soil
la distance z qui a disparu, et dont il n est plus ques
tion dans 1
equation; elle est done 1
equation de la
projection de Tintersection des deux surfaces sur le
plan pcrpendiculaire aux. z.
On voit done qu en Algebre 1
objet de 1 elimination
entre plusieurs equations a trois inconnues est de
determiner, sur les trois plans auxquels tout 1
espace
est rapporte, les projections des intersections des sur
faces auxquelles les equations appartiennent.
50. La correspondance entre les operations de 1 Analyse
et les methodes de la Geometric descriptive ne se
borne pas a ce que nous venons de rapporter; elle
existe partout. Si dans 1
espace, pour operer des gene
rations quelconques, on fait mouvoir des points, des
lignes courbes, des surfaces, ces mouvements peuvent
toujours etre dictes par des operations analytiques; et
les objets nouveaux auxquels ils donnent lieu sont
exprimes par les resultats memes des operations. Reciproquement,
il n y a aucune operation d Analyse en
trois dimensions, qui ne soit 1 ecriture d un mouvement
opere dans 1
espace et dicte par elle. Pour
apprcndre les Mathematiques de la maniere la plus
avantageuse, il faut done que 1 eleve s accoutume de
bonne heure a sentir la correspondance qu ont entre
9-i LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
elles les operations de 1
Analyse et celles de la Geometrie
;
il faut qu il se mette en etat, d une part, de
pouvoir ecrire en Analyse tous les mouvements qu il
pent concevoir dans 1
espace, et, de 1
autre, de se representer
perpetuellement dans 1
espace le spectacle mouvant
dont chacune des operations analytiques est
1 ecriture.
51. Re venous actuellement a notre objet, qui est
la methode de determiner les projections des intersec
tions des surfaces courbes.
Pour mettre plus de clarte dans 1
exposition de cette
methode, nous ne la presenterons pas d abord avec
toute 1
elegance dont elle est susceptible; nous y arriverons
par degres. De plus, 1 enonce sera general et
applicable a deux surfaces quelconques; et quoique les
lettres que nous emploierons se rapportent a la
figure 26, qui prescnte le cas particulier de deux
surfaces coniques, a bases circulaires et a axes verticaux,
il faut neanmoins toujours concevoir que
les surfaces dont il s agit peuvent etre, chacune en
particulier, tout autre qu une surface conique.
52. PREMIER PROBLEME GENERAL. Les generations
de deux surfaces courbes etant connues, et toutes les
donnees qui fixent ces generations etant deteraiinees
sur les plans de projection, construire les projections
de la courbe a double courbure, suivant laquelle les
deux surfaces se coupent ?
Solution. On concevra une suite de plans indefmis,
places d une manjere couvenue dans 1
espace; ces
ClbMETRIE DESCRIPTIVE. cp
plans pourront, par exemple, etre tous horizontaux, et
c est en eilet cc quc nous supposerons d abord. Dans
cc cas, la projection verticale de chacun d eux lew
une droite horizonlale imlefmie; et parcc qu on cst
inailre de les incnor a distances arbitrages, nous supposerons
qui. dans la projection vertical on ait mcne
lant de droites horizontales (fig. 26) ee
1
,
ce ,
ee , etc.,
qu on ait voulu, et que la suite de ces droites soit la
projection verticale de la suite des plans qu on a
conc.us. Cela pose, on fera succcssivcment, pour chacun
de ccs plans, et par rapport a la droite ee qui en est
la projection, 1
operatiori que nous allons indiquer
pour celui d entre eux qui est projete en EE .
Le plan EE coupera la premiere surface en une <
Ttaine
courbe, qu il sera possible de construire, si J on
connait la generation de la surface: car eetfe courbe
est la suite des points dans lesquels le plan EE est
coupe par la generatrice dans toutes ses positions.
Cette courbe etant plane et horizontale aura sa projec
tion horizontal egale, scmblable a elle-meme, et placee
de !a meme maniere; il sera done possible de construire
lie projection, et nous supposerons que ce soit la
courbe FGHIK.
Le rnemc plan EE coupera aussi la sccondc surface
dans une aulre courbe plane horizontale, dont il sera
toujours possible de construire la projection horizontale,
et nous supposerons que cette projection soit
la courbe FOGPN.
Cela fait, il
peut arriver que les deux courbes, dans
lesquelles le meme plan EE coupe les deux surfaces,
se coupent elles-memes, ou qu elles ne se coupent pas :
si elles ne se coupent pas, quelque prolongees quelles
g(>
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 97
soient, ce sera line prenve qu a la hauteur du plan EE
les deux surfaces n ont aucun point commun ;
mais si
ces 4iix courbe* se coupent, elles le fr rent en un cer
tain nombre de points qui seront communs aux deux
surfaces, et qui seront par consequent autant de points
de Pintersection demandee. En efTet, en tant que les
points d intersection des deux courbes sont sur la pre
miere d entre elles, ils sont srfr la premiere des deux
surfaces proposees; en tant qu ils sont sur la seconde
courbe, ils sont aussi sur la seconde surface :
done, en
tant qu ils sont sur les deux courbes a la fois, ils sont
aussi sur les deux surfaces.
Or, les projections horizontals des points dans
lesquels se coupent les deux courbes doivent se
trouver, et sur la projection de la premiere, et sur la
projection de la seconde; done les points F, G, ... de
rencontre des deux courbes FGIIIK et FOGPN seront
les projections horizontals d autant de points de Pin
tersection demandee des deux surfaces courbes. Pour
avoir les projections verticales des memes points, il
faut observer qu ils sont tous compris dans le plan
horizontal EE ,
et que leurs projections doivent etre
sur la droite EE .
Done, si Pon projette les points F,
G, . . . sur EE7
en /, g, . .
., on aura les projections ver
ticales des memes points.
Actuellement, si pour toutes les autres horizontales
ee
r
,
ee ,
. .
., on fait la meme operation que nous
venons de faire pour EE ,
on trouvera pour chacune
d elles, dans la projection horizontale, une suite de
nouveaux points F, G, . .
., et dans la projection verticale
une suite de nouveaux points /, g, .... Puis, si
par tous les points F, . . .
,
on fait passer une branche
MONTiK. I. 7
98 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
de courbe, par tous les points G, . . .
,
une autre branche,
et ainsi de suite, 1
assemblage de toutes ces branches,
qui pourront quelquefois rentier 1 une dans 1
autrc,
sera la projection horizontale de 1 intersection des
deux surfaces; de meme, si par tous les points /, . .
.,
on fait passer une branche de courbe, par tous les
points g, . . .
,
une autre branche, et ainsi de suite,
1
assemblage de toutes ces branches, qui pourront aussi
quelquefois rentrer les unes dans les autres, sera la
projection verticale de l intersection demandee.
53. La methode que nous venons d exposer est generale,
meme en supposant qu on ait choisi pour systeme
de plans coupants une suite de plans horizontaux.
Nous allons voir que, dans certains cas, le choix du
systeme de plans coupants n est pas indifferent, qu on
peut quelquefois le faire tel, qu il en resulte des cons
tructions plus faciles et plus elegantes, et meme qu il
peut etre avantageux, au lieu d un systeme de plans,
d employer une suite de surfaces courbes, qui ne dif
ferent entre elles que par une de leurs dimensions.
Pour construire l intersection de deux surfaces de re
volution dont les axes sont verticaux, le systeme de plans
le plus avantageux est une suite de plans horizontaux;
car chacun des plans coupe les deux surfaces en des
circonferences de cercles dont les centres sont sur les
axes respectifs, dont les rayons sont egaux aux oxdonnees
des courbes generatrices, prises a la hauteur du
plan coupant, et dont les projections horizontales sont
des cercles connus de grandeur ct de position. Dans ce
cas, tous les points de la projection horizontale de l in
tersection des deux surfaces se trouvent done par des
GEOMETRIE DESCRIPTIVE.
intersections d arcs de cercle. On sent quc si les sur
faces de revolution avaient leurs axes paralleles en I re
eux, inais non verlieaux, il faudrait changer do |)l;uis
de projection, et les choisir de maniere que I mi d cnl rn
eux fut perpendiculaire aux axes.
54. S il s agissait de construirc 1 intersection de deux
sui fares nmiqih s a bases queleonques, et don! Irs
hares sur le plan horizontal fussent donnees ou cons-
I
miles, le systeme dc plans horizontaux cntraineitiit
dans drs operations qui seraieht trop longues pour ec
cas: car ehacim des plans horizontaux couperait les
deux surfaces dans des courbes, qui srfai i;t him a Ja
ven le seinblables aux traces drs surfaces rrspei-liv.-s :
inais ces courbes ne seraient point egales aux traces;
il faudrait les construire par points, chaeune en partieulier,
tandis que si, apres avoir mene unc droite par
les sommets donnes des deux cones, on emploic le sysleine
de plans qui jiassent par cette droite, chacun de
ces plans coupera les deux surfaces coniques en quatre
droires;et ces droites, qui seront dans le meine plan,
se couperont, independainment des sorniuets, en
qiiatre points, qui seront sur 1 intersection des deux
surfaces. Dans ce cas, chacun des points de la projec
tion horizontale de I inlersi elion sera done cuiistruit
par 1 inlersection de deux ligries droites.
55. Pour deux surfaces cylindriques a bases quel
eonques, et dont les generatrices seraient inclinees
divorcement, le sysfeme des plans horizontaux ne
serait pas le plus favorable que Ton pourrait choisir.
Chacun de ces plans couperait, a la verite, les deux
100 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
surfaces dans des courbes semblables et egales a leurs
traces respectives; mais les courbes qui ne correspondraient
pas verticalement aux traces auraient pour
projections des courbes qui seraient distantes des traces
elles-memes, et qu il faudrait construire par points. Si
Ton choisit le systeme de plans paralleles en meme
temps aux generatrices des deux surfaces, chacun de
ces plans coupera les deux surfaces dans des ligries
droites, et ces droites se couperont en des points qui
appartiendront a Fintersection des deux surfaces. Par
la, les points de la projection horizontale serorit construits
par des intersections de lignes droites. Au reste,
ceci n est que la consequence necessaire de ce que nous
avons dit pour le cas de deux surfaces coniques.
56. Enfm, pour deux surfaces de revolution dont
les axes seraient dans le meme plan, mais lion paral
leles entre eux, ce ne serait plus un systeme de plans
qu il serait coiivenable de choisir, ce serait le systeme
de surfaces spheriques, qui auraient leur centre cominun
au point de rencontre des deux axes : car chacune
des surfaces spheriques couperait les deux surfaces de
revolution dans les circonferences de deux cercles qui
auraient leurs centres sur les axes respectifs, et dont
les plans seraient perpendiculaires au plan mene par
les deux axes ;
et les points d intersection de ces deux
circonferences, qui seraient en meme temps et sur la
surface spherique et sur les deux surfaces de revolu
tion, appartiendraient a 1 intersection demandee.
Ainsi les points de la projection de 1 intersection
seraient construits par les rencontres de cercles et de
lignes droites. Dans ce cas, la position la plus avanta-
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. K>I
geuse des deux plans de projection est que Tun soil
perpendiculaire a un des axes, et que 1 autre soil parallele
aux deux axes. Ce petit nombre d observations,
par rapport aux surfaces courbes qui se rencoiitrent
ie plus frequemmriil, suflit pour faire voir la manierc
dont la mclhode generale doit etre employee, ct com
ment, par la connaissance dc la generation des sur
faces courbes, on pent choisir Tespece de section qui
doit doiiner des constructions plus faciles.
57. Lorsque deux surfaces courbes sont definies de
formes et de positions respectives, non seulement la
courbe de leur intersection est determinee dans Tespace
mais encore toutes les affections de ces courbes s ensuivent
immediatement. Ainsi, par example, dans
chacun de leurs points la direction de leur tangente
est determinee : il en est de meme de celle de leur plan
normal, c est-a-dire du plan qui coupe la courbe a
angle droit, et qui est par consequent perpendicu
laire a la tangente au point d intersectiori. Quoique
nous devions avoir souvent occasion, dans la suite, de
considerer les plans normaux aux courbes a double
courbure, nous n entrerons ici, par rapport a leur deter
mination, dans aucun detail, parce que ces plans etant
toujours perpendiculaires aux tangentes, il nous sufFira
d avoir donne la maniere de construire les projections
des tangentes aux intersections des surfaces courbes.
58. SECOND PROBLEME GENERAL. Par un point
pris a volonte sur 1 intersection de deux surfaces
courbes, mener la tangente a cette intersection.
102 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIElQUE.
Solution. Le point pris a volonte sur 1 inlersection
des deux surfaces courbes se Irouve en meme
temps et sur 1 une et sur 1 autre de ces surfaces. Si
done par ce point considere sur la premiere surface
on inene a eette surface un plan tangent, ce plan touchera
1 intersection dans le point que 1 on considere.
Pareillement, si par le meme point considere sur la
seconde surface on mene a cette surface un plan tan
gent, ce plan touchera 1 intersection dans le point
que 1 on considere. Les deux plans tangents toucheront
done 1 intersection dans le meme point, qui sera
en meme temps un de leurs points communs, et par
consequent un de ceux de la droite dans laquelle ils se
coupent; done 1 intersection des deux plans tangents
sera la tangente demandee.
Ce probleme donne lieu a 1 observation suivante,
qui est d un grand usage dans la Geometric descrip
tive.
La projection de la tangente d une courbe a double
courbure est elle-meme tangente a la projection de la
courbe, et son point de contact est la projection de
celui de la courbe a double courbure.
En effet-, si, par tous les points de la courbe a double
courbure, on congoit des perpendiculaires abaissees sur
uii des plans de projection, par cxemple, sur le plan
horizontal, toutes ces perpendiculaires serorit sur une
surface cylindrique verticale, qui sera coupee par le
plan horizontal dans la projection meme. De meme,
si, par tous les points de la tangente a la courbe a
double courbure, on congoit des verticales abaissees,
elles seront dans un plan vertical qui sera coupe par le
plan horizontal dans la projection meme de la tan-
GEOMETRIC DESCRIPTIVE. !<>">
gente. Or, la surface cylindrique et le plan vertical se
touchent evidemment dans toute 1 etendue de la verticale
abaissrr du point dc contact, et qui leur est com
mune; done Irs intersections de la surface cylindrique
<} du plan par le plan horizontal se toucheront dans MM
point qui sera I intersection de la droite du contact
de la surface cylindrique et du plan vertical. Done
enfin les projections d une courbe a double eom-bure
et d une de ses tangentes se touchent en nn poiMi ([ui
est la projection du point de contact de la courbe.
59. Nous allons actuellement faire 1
application de
tout ce qui precede a quelques cas particuliers; et
pour commencer par des considerations simples, nous
supposerons d abord qu une des deux surfaces dont il
faut determiner 1 intersection soit un plan.
PREMIERE QUESTION. - Construirc
I intersection
d une surface cylindrique donnee par un plan donne
de position ?
La position des plans de projection etant arbitraire,
nous supposerons d abord, ce qui est toujours possible,
que ces deux plans aient ete choisis de maniere que
1 un soit perpendiculaire a la generatrice de la surface,
et que 1 autre soit perpendiculaire au plan coupaiit,
parce que, dans cette supposition, la construction est
beaucoup plus facile; puis, pour dormer aux eleves
1 habitude des projections, nous supposerons que les
deux plans de projection soient places d une maniere
quelconque.
Solution. Premier cas, dans laquel on suppose que
Keratrice de la surface soit
perpendiculaire a Vnn
104 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
des plans de projection, par exemple, au plan horizontal,
et que le plan coupant soit perpendiculaire a Vautre.
Solent A (fig. 27) la projection horizontale de
la droite, a laquelle la generatrice de la surface
cylindrique doit toujours etre parallele; aa" sa pro
jection verticale; BCDE la trace donnee de la sur
face cylindrique, trace qui sera la projection horizon tale
de la surface indefinie, et, par consequent, celle
de la courbe d intersection ;
soient /gla projection verti
cale donnee du plan coupant, projection qui sera aussi
celle de 1 intersection demandee, et FG la trace horizontale
du meme plan : il est evident que si Ton mene a
la courbe BCDE, et perpendiculairement a LM, les
tangentcs indefinies Ee", Cc",
les droites ee",
cc"
seront les projections verticales de la generatrice dans
ses positions extremes, et que les points e ,.c ,
dans
lesquels elles couperont la projection fg du plan cou
pant, termineront sur fg la projection verticale de 1 in
tersection demandee.
Cela pose, si par un point pris arbitrairement sur
1 intersection (point dont la projection horizontale
sera un point H, pris a volonte sur la courbe BCDE, et
dont on aura la projection verticale en projetant le
point H en i sur fg) on veut mener la tangente a cette
intersection, il est clair que cette tangente sera com
prise dans le plan coupant, et que sa projection verlicale
sera la droite fg; il est clair aussi qu elle sera com
prise dans le plan vertical tangent a la surface cylin
drique, et que sa projection horizontale, qui sera la
rneme que celle du plan tangent, sera la droite FHN
tangente en H a la courbe donnee BCDE . Ainsi tout
est determine par rapport a 1 intersection demandee-
M>I* LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUtf.
60. Actuellement, posons qu il s agisse de construire
cette intersection telle qu elle existe dans son
plan et, par un de ses points pris a volonte, de lui
mener une tangente. Si le plan de projection verticale
se trouve a une trop grande distance de la
courbe BCDE, on pourra concevoir un autre plan ver
tical qui lui soit parallele, qui passe dans 1 interieur
de la courbe BCDE, et dont la projection horizontale
soit la droite EG parallele a LM. Ce plan vertical coupera
le plan coupant dans une droite parallele a sa
projection /g, et autour de laquelle, comme charniere,
nous supposons que le plan coupant tourne pour devenir
vertical et presenter en face la courbe demandee.
Gela pose, par tant de points H qu on voudra, pris
arbitrairement sur BCDE, on concevra des plans verticaux
perpendiculaires au plan vertical de projection,
et dont on aura en meme temps les projections horizontales
et verticales, en menant par tous les points H
des droites HJKii perpendiculaires a LM. Chacun
de ces plans coupera le plan coupant dans une droite
horizontale perpendiculaire a la charniere, et dont la
projection verticale sera le point de rencontre i des
deux droites /g, ii
r
. De plus, dans chaque plan, cette
droite horizontale rencontrera la charniere dans un
point dont la projection horizontale sera 1 intersection J
des deux droites EG, HJKii ;
et elle rencontrera la
courbe demandee dans des points dont les projections
horizontales seront les intersections H, K de la droite
HJKii avec la courbe BGDE. Enfin cette droite et
toutes ses parties seront egales a leurs projections
horizontales. Or, lorsque le plan coupant tourne autour
de la charniere pour devenir vertical, toutes ses droites,
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. I<>7
qui d abord etaient horizontals, no cessent pas d etre
IK i nt-ndiculaires a la charniere, et nc changent pas de
grandeur. Done, si
par tons les points i! on mene a /g
des perpendiculaires indelinies A/c, et si sur ces pcrpendinilaires
on porte JH de i en h, et JK de i en /f, on
aura tant de points A, A:
qu on voudra, par lesquels
on fera passer la courbo demand ee e kc h.
61. La courbe etant construite dans son plan, il
s agit par un de ses points /i, pris arbitrairenient, de lui
mener une tangente; on aura la projection vertical* de
ce point en abaissant du point h sur fg la perpendiculaire
hi ;
on aura sa projection horizontale en projetant
i en H sur la courbe BCDE; on aura la pro
jection horizontale de la tangente demandee, en menant
la droite FN, tangente en H, a la courbe BCDE,
ot il suffira de rapporter sur le plan de la courbe un
point quelconque de la tangente, celui, par exemple,
qui cst projete sur le point N pris arbitrairement, et
dont la projection verticale est sur /g en a .
Or, en raisonnant
pour ce point comme pour tout autre point
du plan coupant, il est clair que si par le point a on
mene a /g la perpendiculaire a n, et que si sur cette
droite on porte de a en n la distance NA du point N
a la droite EC, lo point n sera le second point de la
tangente. Done en menant la droite hn, on aura la
tangente demand oo.
62. Quelle que soit la courbe donnee BCDE, on
voit que 1 intersection e he h jouit de la propriete,
que, pour un de ses points, quelconque, la soustangente
a n est egale a la sous-tangente AN de la
T(>8 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
premiere. Gette propriete, qui est tres connue pour le
cercle et 1
elKpse, lorsque ces deux courbes ont un axe
commun, n a lieu par rapport a elles que parce qu elles
sont les intersecti6ns d une meme surface cylindrique
par deux plans differents.
63. Enfin, il
peut arriver qu on ait besoin de tracer
sur le developpement de la surface cylindrique Feffet
de la section faite par le plan coupant. Pour cela, apres
avoir developpe la courbe BCDE, avec toutes ses divi
sions, sur une droite RQ; si par toutes les divisions
de RQ on lui mene des perpendiculaires indefinies,
on aura sur le developpement de la surface les traces
des differentes positions de la droite generatrice, et il
ne s agira plus que de porter sur ces perpendiculaires
les parties des generatrices correspondantes, comprises
entre la -section perpendiculaire BCDE et la section
faite par le plan coupant. Or, ces parties de genera
trices sont egales a leurs projections verticales, et ces
projections sont toutes terminees d une patt a la droite
LM, et de 1 autre a fg. Done, si le point H, par exemple,
tornbe en S sur la droite RQ, en portant ii sur la per
pendiculaire qui passe par le point S, de S en T, le
point T sera sur la surface developpee celui ou la
generatrice qui passe par le point H est coupee par le
plan coupant. La courbe XTYZ, qui passera par tous
les points determines de la meme maniere, sera la
courbe demandee.
64. II est evident que si Ton prolonge la tangente
au point H jusqu a ,ce qu elle rencontre la trace
horizontale GF du plan coupant quelque part en nn
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 109
point F, et quc si Ton porte HF sur RQ de S en U, la
droite TU sera tangente a la courbe; car lorsque la
surface cylindrique se developpe, ses elements ne
changcnt pas d inclinaison par rapport an plan hori
zontal.
Second cas, dans lequel on suppose la surface cylindrique
et le plan coupant places d une maniere quelcnnque
par rapport aux deux plans de projections.
G5. Solution (fig. 28).
- - Soient AA et aa! les
deux projections de la droite a laquelle la generatrice
doit etre parallele; CEDF la trace donnee de la
surface cylindrique; et HG/?, lib les traces du plan
coupant.
On imaginera une suite de plans paralleles a la generatrice
de la surface cylindrique, et qui seront de plus
tous perpendiculaires a un des plans de projection, par
exemple, au plan horizontal; chacun de ces plans scva
projete suivant une droite OKE parallele a AA ,
et
coupera la surface en des droites qui seront des posi
tions de la generatrice et qui rencontrerorit le plan
horizontal aux points d intersection E, F de la
droite OKE avec la courbe CEDF. Si done on projt-1 ir
les points E, F sur LM en e, /, et si par ces derniers
points on mene a la droite aa les paralleles ee , // ,
on
aura les projections verticales des intersections de la
surface avec chacun des plans paralleles a la genera-
trice.
Ces memes plans couperont aussi le plan coupant en
des droites qui seront paralleles entre elles, qui auront
toutes leurs traces horizontales sur les difTerents
1 10 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
\ \J
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. Ill
points dc la droite HG, et dont les projections \< iticales
seront aussi paralleles cntrc elles. Pour avoir
ces projections, il faut d abord chercher Ja direction
de 1 une d elles, de celle, par exemple, qui correspond
au plan vertical mene par AA . Pour cela, si Ton prolonge
AA jusqu a ce qu elle rencontre, d une part, la
trace du plan coupant en un point N, et, dc 1
autre, la
droite LM en un point B, et si Ton projette le point B
en b sur A6, les deux points N et b seront sur les deux
plans de projection les traces de 1 interscetion du plan
coupant avec le plan vertical. Done, si Ton projette
le point N en n sur LM, et si Ton mene la droite n,
on aura la projection verticalc de o>He intersection.
Done, en projetant sur LM tons les points O, dans
lesquels la trace GH est coupee par les projections des
plans verticaux, ce qui donnera une suite de points o,
etenmenantparcesderniers les paralleles oik a n&, on
aura les projections verticales des intersections du
plan coupant par la suite des plans verticaux. Done
en fin les points de rencontre i, k de chaque droite oik
avec les projections ee
r
, // des sections faites dans la
surface cylindrique par le plan vertical correspondant ,
seront sur la projection verticale de I intersectioii demandee;
et la courbe qui passera par tous les points i,
A",
ainsi determines, sera cette projection. Si Ton pro
jette les points i, /c, en J, K, sur la projection OKE du
plan vertical correspondant, on aura la projection
horizontale des memes points, et la courbe KJP, qui
passera par tous les points ainsi determines, sera a
projection horizontale dc I intersection.
06. Pour avoir les tangentes de ces deux projections
II "2
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
aux points J, i, il faut se rappeler que ces tangentes
sont les projections de la tangente a 1 intersection. Or}
cette derniere tangente etant en meme temps dans le
plan coupant et dans le plan tangent a la surface cylindrique
doit avoir sa trace horizontale dans 1 intersection
des traces horizontales de ces deux plans : de
plus, la trace du plan tangent est la tangente en F a
la courbe GEDF. Done, si 1 on mene cette tangente, et
si, apres 1 avoir prolongee jusqu a ce qu elle rencontre
la trace du plan coupant en un point G, on mene la
droite GJ, cette droite touchera au point J, la pro
jection horizoiitale de 1 intersection. Enfin, projetarit
le point G sur LM en g, et menant la droite gi, on aura
la tangente en i de la projection verticale de la meme
courbe.
67. S il faut construire la courbe de 1 intersection,
telle qu elle existe dans son plan, on concevra que le
plan coupant tourne autour de sa trace horizontale
HG, comme charniere, pour s appliquer sur le
plan horizontal. Dans ce mouvement, chacun des
points de la section, celui, par exemple, qui est projele
en J, decrira un arc de cercle dont le plan sera vertical,
perpendiculaire a HG, et dont on aura la projection
indefinie, en menant par le point J une droite RJS
perpendiculaire a HG :
done, lorsque le plan sera
abattu, le point de la section tombera quelque part
sur un point de cette droite. Reste a trouver la dis
tance de ce point a la charniere : or la projection
horizontale de cette distance est JR, et la difference
des hauteurs de ses extremites est la verticale is. Si
1 on porte JR sur LM de s en /, 1
hypotenuse rl sera
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. Il3
cette distance. Done, portant ri sur RJ de R en S, 1e
point S sera un des points de I intersection consideree
dans son plan abattu sur le plan horizontal; et
la courbe STUV, menee par tous les points S sernblablement
construits, sera cette intersection elle-meme.
68. Pour avoir la tangente de cette courbe au
point S, il suffit d observer que, pendant le mouvement
du plan coupant, la tangente ne cesse pas de
passer par le point G de la charniere :
done, si 1 on
incne la droite SG, on aura la tangente demandee.
69. DEUXIEME QUESTION. - Construire
1 intersection
d une surface conique a base quelconque
donnee, par un plan donne de position ?
Solution. Nous supposerons, ce qui est toujours
possible, que le plan vertical de projection soit place
perpendiculairement au plan coupant.
Soient A et a (fig. 29) les projections du sommet
du cone ou du centre de la surface conique,*
BCDE la trace de cette surface sur le plan horizontal,
fg la projection verticale du plan coupant, et G/ sa
trace horizontale. On imaginera par le sommet du
cone une suite de plans perpendiculaires au plan ver
tical de projection : les projections verticales de ces
plans seront les droites a c menees par la projection
du sommet, et leurs traces horizontales seront les
droites cC perpendiculaires a LM, qui couperont la
trace de la surface conique quelque part en des
points C, C/, .... Ces plans couperont la surface en
des droites dont les projections verticales seront les
MONOK. I. 8
114 LES MAITRES DE LA PENSEE SClENTIFIQUt.
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. Il5
droites a! c, ..., et dont on aura les projections
horizontales en menant au point A les droites CA,
C A, .... Les memes plans couperont aussi le plan
coupant dans des droites qui seront perpendiculaircs
au plan vertical. Les projections de ces droites seront
les points A, ... de rencontre de fg avec les droites
a c, . .
.,et Ion aura lours projections horizontales en
abaissant des points ft,
. . . sur LM les perpendiculaires
indefmies ft
H, .... Cela fait, les droites h H, ...
couperont les droites correspondantes CA, C/ A, ...,
en des points H, H ,
. . .
qui seront les projections
horizontales d autant de points de 1 intersection demandee;
et la courbe PHQH , qui passera par tous les
points construits de cette maniere, sera la projection
de 1 intersection.
70. Pour mener a cette courbe un<>
tangente par
un point H pris a volonte sur elle, il suffit de chercher
sur le plan horizontal la trace de la tangente de 1 iritersection
dans le point qui correspond au point H.
Or, cette trace doit etre sur celle du plan coupant, et
par consequent sur G/; elle doit e*lre aussi sur celle du
plan qui touche la surface conique dans la droite, dont
la projection est AH; de plus, si Ton prolonge AH
jusqu a ce qu elle rencontre la courbe BCDE quelque
part en un point C, la tangente CF de cette courbe au
point G sera la trace horizontalo. du plan tangent.
Done le point F de rencontre des deux traces / G, CF
sera sur la tangente au point H de la courbe PHQH .
71. S il est necessaire de conslruire I interscction
consideree dans son plan, on pourra indifTeremment
Il6 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
concevoir, ou que le plan coupant tourne autour
de G / comme charniere, pour s abattre stir le plan
horizontal, et construire la courbe dans la position
qu elle aura prise alors, ou qu il tourne autour de sa
projection verticale /g pour s appliquer sur le plan ver
tical; c est cette derniere hypothese que nous allons
suivre.
Toutes les horizontales dans lesquellcs la suite des
plans menes par le sommet a coupe le plan coupant,
et qui sont perpendiculaires a /g, ne changent pas de
grandeur dans le mouvement du plan coupant, et ne
cessent pas d etre perpendiculaires a fg :
done, si par
tous les points h on mene a fg des perpendiculaires
indefinies, et si Ton porte stir elles les horizontales
correspondantes KH, KIT, de h en N et en N ,
les
points N et N seront des points de la section; et la
courbe RNSN ,
menee par tous les points ainsi construits,
sera 1 intersection consideree dans son plan.
72. D apres tout ce qui precede, il est evident que,
pour mener a cette courbe une tangente en un point N,
pris arbitrairement sur elle, il faut du point N abaisser
sur fg la perpendiculaire N/i, mener la droite a h
jusqu a ce qu elle rencontre LM en un pomt c, projeter
ce dernier point en C sur la courbe BCDE, mener a
cette courbe la tangente en C, qui coupera la trace G/
quelque part en un point F, et porter F/ perpendiculairement
a fg de / en 0. La droite ON sera la tangente
demandee.
Quant a la maniere de construire le developpement
de la surface conique a base quelconque, et de tracer
sur ce developpement 1 effet de I mtersection par le
GEOMETRIC DESCRIPTIVE. 117
plan coupant, nous 1
exposerons inccssamment, apres
avoir parle de Intersection de la surface conique par
celle d une sphere qui aurait son centre au sommet.
73. TROISIEME QUESTION. Construire 1 intersection
de deux surfaces coniques a bases circulates,
et dont les axes sont paralleles entre eux ?
Solution. Nous ne repeterons pas ici, sur la
figure 26, lout ce que nous avons dit en exposant
la methode generale a laquelle cette figure servait
de type; nous observerons seulement que, dans le cas
dont il s agit ici, de meme que dans celui de deux sur
faces quelconques de revolution, les sections faites
dans les deux surfaces par les plans horizontaux sont
des cercles : mais nous entrerons dans quelques details
par rapport aux tangentes, dont nous n avons pas eu
occasion de parler.
74. Pour trouver la tangente an point D (fig. 9,0)
de la projection horizontale de 1
intersection, nous
nous rappellerons qu elle est la projection de la
tangente de 1 intersection des deux surfaces, au point
qui correspond a D, et qu il
siiffit, pour la determiner,
de trouver le point S qui est, sur le plan horizontal, la
trace de la tangente de 1 intersection. Or cette derniere
tangente est dans les deux plans qui touchent
les surfaces coniques dans le point de I mtefMOtion;
done, si Ton trouve les traces horizontals Rr, Q<j
de ces deux plans tangents, elles determineront par
leur rencontre le point S. Mais le plan tangent :i la
premiere surface la touche dans une droite qui pas3e
Il8 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
par le sommet, et dont on aura la projection horizonlaic
en menant la droitc indefinie AD. De plus, si Ton
prolonge AD jusqu a ce qu elle rencontre en un
point Q la trace circulaire horizontale TQUV de la
surface, le point Q sera un point de la ligiie de contact
de la surface et du plan; par consequent, la trace hori
zontale du plan sera tangente en Q au cercle TQUV :
scit done menee cette tangente Q#. Pareillement, si
Ton prolonge le rayori BD jusqu a ce qu il rencontre
en R la trace horizontale circulaire RXYZ de la seconde
surface, et si Ton mene a ce cercle la tangente en R,
cette droite Rr sera la trace horizontale du plan tan
gent a la seconde surface. Done, si par le point S d intersection
des deux tangentes Q</,
Rr on mene la
droite SD, on aura la tangente an point D de la pro
jection horizontale de 1 intersection.
Quant a la tangente au point correspondant d de la
projection verticale, il est clair qu on 1 obtiendra en
projetant le point S en s, et en menant ensuite la
droite sd, qui sera cette tangente.
75. II
peut arriver qu il soit necessaire de construire
sur le developpement de 1 une des surfaces
coniques, peut-etre meme sur celui de chacune d elles,
1 effet de leur mutuelle intersection; ce qui serail
necessaire, par exemple, s il fallait executer les cones
avec des substances flexibles,telles que des feuilles de
metal : dans ce cas, on operera pour cha que cone,comme
nous allons 1
indiquer pour le premier.
Nous observerons d abord que, lorsqu une surface
conique se developpe pour devenir plane, les lignes
droites qui sont sur cette surface no changent ni de
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 1
19
forme, ni de grandeur, parce que chacune d elles csl
successivement la charniere autour de laquelle s opere
le developpement : ainsi tous les points de la surface
restent toujours a la meme distance du sornmet. De
plus, lorsque, comme dans ce cas, la surface conique
est droite et circulaire, tous les points de la trace
horizontale circulaire sont a egale distance du sommet;
ils doivent done etre a egale distance du sommet
sur le developpement, et par consequent sur un arc de
cercle dont le rayon est egal a la distance constante du
sommet a la trace circulaire. Doric, si apres avoir pris
arbitrairement un point pour representer le sommet
sur le developpement, on decrit de ce point, comme
centre, et d un rayon egal a aC, un arc de cercle indefini,
cet arc sera aussi indefiniment le developpement
de la trace horizontale de la surface. Puis, si, a partir du
point T de la trace par lequel on veut commenccr le
developpement, on porte Tare de cercle TQ sur 1 arc
qu on vient de decrire, on determinera la position du
point Q sur le developpement; et la droite indefinie,
inenee par ce point au centre du developpement, sera
la position qu occupera la droite de la surface qui est
projetee en AQ, et sur laquelle devra se trouvei le
point D, d de la section rapportee. Pour construire ce
point, il ne s agira plus que de trouver sa distance au
sommet, et de la porter sur la droite indefinie, a partir
du centre du developpement. Pour cela, par le point d
dans la projection veiticale, on menera 1 horizontale dk
jusqu a ce qu elle coupe le cote aC du cone en un
point Ar; et la droite ak sera cette distance. En construisant
de meme successivement tous les autres points
de I
intersection, et faisant passer par tous ces points
120 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
une courbe, on aura 1 intersection des deux surfaces
rappoitees sur le developpement de la premiere : on
operera de meme pour la seconde surface.
76. QUATRIEME QUESTION. Construire 1 intersection
de deux surfaces coniques a bases quelconques ?
Solution. Solent A, a (fig. 3o) les projections
du sommet de la premiere surface; CGDG ,
sa trace
donriee sur le plan horizontal; B, 6, les projec
tions du sommet de la seconde; et EHFH ,
sa trace
sur le plan horizontal. On concevra par les deux sommets
une droite, dont on aura les projections en menant
les droites indefmies AB, a&, et dont on construira
facilement la trace I sur le plan horizontal. Par
cette droite on concevra une serie de plans qui couperont
chacun les deux surfaces coniques dans le systeme
de plusieurs lignes droites ;
et celles de ces lignes
droites qui seront dans le meme plan determineront
par leurs rencontres autant de points de 1 intersection
des deux surfaces. Les traces horizontales de tous les
plans de cette serie passeront necessairement par le
point I; et, parce que la position de ces plans est
d ailleurs arbitraire, on pourra done se donner arbitrairement
leurs traces en menant par le point I tant
de droites IK qu on voudra, pour chacune desquelles
on fera I
operation que nous aliens decrire pour une
seule d entre elles.
La trace KI de chacun des plans de la serie coupera
la trace horizontale de la premiere surface conique en
des points G, Gx
, qui seront aussi les traces horizontales
des lignes droites, suivant lesquelles le plan coupe
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. I >I
I A2 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
la surface conique : ainsi AG, AG seront les projec
tions horizontales indefinies de ces droites, et Ton
aura leurs projections verticales en projetant G, G
en g, g ,
et en menant les droites indefinies ag, ag .
Pareillement la trace KI du meme plan de la serie
roupera la trace horizontale de la seconde surface coriique
dans des points H, H , par lesquels si Ton mene
indefiniment BH, BH ,
on aura les projections horizontales
des droites, suivant lesquelles le meme plan de
la serie coupe la seconde surface; et Ton aura leurs
projections verticales en projetant H, H en &, /&
,
et
en menant les droites indefinies bh, bh .
Cela fait, pour le meme plan dont la trace est KI, on
aura sur la projection horizontale un certain nombre
de droites AG, AG , BH, BH ;
et les points P, Q, R, S,
ou celles qui appartiennent a 1 une des surfaces rencontreront
celles qui appartiennent a 1
autre, seront
les projections horizontales d autant de points de
1 intersection des deux surfaces. Ainsi en operant successivement
de la meme maniere pour d autres lignes
KI, on trouvera de nouvelles suites de points PQRS;
et faisant ensuite passer par tous les points P une pre
miere branche de courbe, par tous les points Q une
seconde, par tous les points R une troisieme, etc., on
aura la projection horizontale de 1 intersection de-
mandee.
Pareillement, pour le meme plan dont la trace
est KI, on aura sur la projection verticale un certain
nombre de droites ag, ag , bh, bh
f
,
dont les points de
rencontre seront les projections verticales d autant
de points de 1 intersection.
II faut observer ici qu il n est pas necessaire de cons-
GEOMETRIC DESCRIPTIVE.
truire les deux projections de la courbe d idtenection,
independamment Tune de 1
autre, et qu un point do
1 une etant construit, on peut trouver son corn sporidant
sur 1 autre projection, en le projetant par une
pcrpendiculaire a la commune intersection des deux
plans de projection sur Tune des droites qui doit le
contenir; ce qui fournit les moyens de verifier les ope
rations, et d eviter dans certains cas les intersections
de droites qui se couperaient sous des angles trop
obliques.
77. Pour trouver les tangentes a la projection
liMri/iMitale, cclle, par exemple, qui la louche an
point P, il faut construire la trace horizontale T de la
tangenle de 1 intersection au point qui correspond
a P. Or cette tangente est 1 intersection des deux plans
qui touchent les surfaces coniques dans ce point : sa
trace sera done dans la rencontre des traces horizontales
de ces deux plans tangents. De plus, AG P est la
projection de la droite de contact du plan qui touche la
premiere surface; ainsi la trace de ce premier plan sera
la tangente de la courbe GGDG au point G : soit
G TV cette tangente. Pareillement BH P est la pro
jection horizontale de la droite de contact du plan qui
touche la seconde surface; ainsi la trace horizontale
du second plan tangent sera la tangente au point H
de la courbe EHFH : soit H TU cette tangente. Les
deux tangentes G7
V, H U se couperont done en un
point T, par lequel, si Ton mene la droite TP, on aura
la tangente au point P demandee.
En raisonnant de meme pour les autres points Q,
R, S, on trouvera : i
que la tangente en Q doit passer
MAITRES DE LA PENSEE SCIENT1FIQUE.
par le point de rencontre des tangentes en G et en H;
2 que, la tangente en R doit passer par la rencontre
des tangentes en H et en G; 3 que la tangente en S
doit passer par la rencontre des tangentes en G et
en H .
Quant aux tangentes de la projection verticale, elles
n ont aucune difficulte, lorsque celles de la projection
horizontale sont determinees, car en projetant les
traces horizontales des tangentes de 1
intersection, on
a les points par lesquels elles doivent passer.
78. CINQUIEME QUESTION. Gonstruire 1 intersec
tion d une surface conique a base quelconque, et de
celle d une sphere ?
Nous supposerons ici que les deux surfaces sorit
concentriques, c est-a-dire que le sommet du cone est
place au centre de la sphere, parce que nous aurons
besoin de ce cas particulier pour la question suivante.
Solution. Soient A, a (fig. 3i) les projections
du centre cornmun des deux surfaces, BGDE la
trace horizontale donnee de la surface conique,
am le rayon de la sphere, et le cercle If g m la pro
jection verticale de la sphere. On concevra par le
centre commun des deux surfaces une serie de plans,
que Ton pourra de plus supposer tous perpendiculaires
a 1 un des deux plans de projection. Dans la
figure 3i, nous les avons supposes verticaux. Chacun
de ses plans coupera la surface conique dans un systeme
de lignes droites, et la surface de la sphere dans
la circonference d un de ses grands cercles; et pour
chaque plan, les rencontres de ces droites avec la cir-
GEOMETRTE DESCRIPTIVE.
H6 LES MAITRES D LA PENS^E SCIENTtflQUE.
conference du cercle determineront des points de 1 intersection
demandee : soient done menees par Je
point A tant de droites indefinies CAE qu oii voudra,
qui seront les projections horizontals d autant de
plans verticaux de la serie, et en meme temps celles des
lignes suivant lesquelles ces plans coupent les deux
surfaces. Chaque droite CAE coupera la trace horizontale
BCDE de la surface conique en des points G, E,
qui seront les traces horizontals des sections faites
dans cette surface par le plan corresporidant; et si,
apres avoir projete les points C, E sur LM en c, e, on
mene les droites ac, ae, on aura les projections verticales
des memes sections. II s agit actuellement de
trouver les rencontres de ces sections avec celles de la
sphere par le meme plan.
Pour cela, apres avoir mene par le point A la droite
GAF parallele a LM, on concevra que le plan vertical
mene par CE tourne autour de la verticale qui est
elevee par le point A et projetee en a a, jusqu a ce
qu il devienne parallele au plan vertical de projection,
et de plus qu il eiitraine avec lui les sections qu il a
faites dans les deux surfaces. Dans ce mouvement, les
points C, E decriront autour du point A, comme centre,
des arcs de cercle CG, EF, et viendroiit s
appliquer
en G, F ;
et si Ton projette ces derniers points sur LM
en g, /, les droites og, af seront les projections verticales
des sections faites dans la surface conique, considerees
dans la nouvelle position qu elles ont prise
en vertu du mouvement du plan. La section faite dans
la surface de la sphere, consideree de meme dans la
nouvelle position, aura pour projection verticale la
circonference If g m. Done les points de rencontre / ,
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 127
g de cette eirconference avec les droites ag, a/ seront
les projections des points de I intersection demandec,
consideres aussi dans la nouvelle position du plan.
Actuelleniont, pour avoir les projections des inumes
points consideres dans leur position naturelle, il faul.
supposer que le plan vertical de la serie retourne dans
sa position primitive. l);ns er iiumvrinrnt ,
luiis It -^
points du plan, et par consequent ceux de 1 intersection
qu il
contient, decriront des arcs de cercles
horizontaux autour.de la verticale elevee par le poinl A
eomme axe, et dont les projections verticales seront
des droites horizontales. Done, si par les points g , /
on mene les horizontales ^ i, f h, elles contiendront
les projections verticales des points de I intersection :
mais ces projections doiveiit aussi se trouver sur les
druites respectives ac, ae; done elles seront aux points
de rencontre /,
h de ces dernieres droites avec les
horizontales g i, f h. Ainsi la courhe khni, menee par
tons les points construits de la meme maniere pour
toute autre droite que Cl\, sera la projection verticale
de I intersection demandec.
Si Ton projelte ]es points i,
h sur CK en J, II, <n
aura les projections horizontales des memes points
de 1
intersection; et la courbe KIINJ menee par tous
les points J, H, construits de la meme maniere pour
toute autre droite que GE, sera la projection horizontale
de 1 intersection.
79. Pour trouver la taiigente au point J de la pro
jection horizontale, il faut construire la trace horizoni;i!<-
P de la tangente au point correspondant de 1 interseelion.
Cette droite doit se trouver a la rencontre
1 28 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
des traces des plans tangents aux deux surfaces au
point de 1 intersection qui correspond au point J. Or
il est evident que, si par le point C on mene a la
courbe BGDE la tangente CP, on aura la trace du
plan tangent a la surface conique. Quant a celle du
plan tangent de la sphere, on operera comme nous
J avons vu pour les surfaces de revolution, c est-a-dire
en menant par le point g
r
au cercle If g m la tangente
g o prolongee jusqu a la droite LM en 0, en portant
ensuite a o sur CE de A en 0, et menant par le point
la droite OP perpendiculaire a CE. Done les deux
traces CP, OP se couperont en un point P par lequel,
si Ton mene la droite JP, on aura la tangente au
point J.
Enfin, il est evident que 1 on aura la tangente au
point i de la projection verticale de 1
intersection,, en
projetant le point P sur LM en p, et menant ensuite
la droite i/>, qui sera la tangente demandee.
80. Si la sphere et la surface conique n etaient pas
concentriques, il faudrait concevoir par leurs deux
centres une ligne droite, et choisir la serie des plans
coupants qui passerait par cette droite. Chacun de
ces plans couperait la surface conique dans des dioites,
et celle de la sphere dans un de ses grands cercles,
comme dans le cas precedent, ce qui donne egalement
une construction simple; mais alors il serait avantageux
de placer le plan vertical de projection parallelement
a la droite menee par les deux centres, afin que,
dans le mouvement que Ton fait faire a chaque, plan
coupant pour le rendre parallele au plan vertical de
projection, les deux centres soient immobiles et ne
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 129
changent pas de projections; ce qui simplifie les cons
tructions.
81. SIXIEME QUESTION. Construire le developpement
d une surface conique a base quelconque, et
rapporter sur cette surface ainsi developpee une sec
tion dont on a les deux projections ?
Solution. On concevra la surface d une sphere
d un rayon pris a volonte, et dont le centre soit place
au sommet du cone, et on construira, comme nous
i avons fait dans la question precedente, les projec
tions de 1 intersection de ces deux surfaces. Cela fait,
il est evident que tons les points de 1 intersection spherique
etant a la meme distance du sommet, ils doivent
aussi sur la surface developpee se trouver a la meme
distance du sommet, et par consequent sur un arc de
cercle decrit du sommet comme centre, et avec un
rayon egal a celui de la sphere. Ainsi, en supposant
que le point K (fig. 33) soit le sommet de la
surface developpee, si de ce point comme centre, et
d un rayon egal a am (fig. 3i), on decrit un arc de
cercle indefini STL",
ce sera sur cet arc que tous les
points de 1 intersection spherique viendront s appliquer,
de maniere que les parties de cet arc seront reepectivement
egales aux parties correspondantcs de
^ intersection spherique. II s agit done actuellement,
apres avoir pris a volonte sur cette intersection un
point pour origine, par exemple, celui qui est projete
en N, n (fig. 3i), et un point S (fig. 33) pour son correspondant
sur la surface developpee, de developper
les differents arcs de 1 intersection spherique, et de les
MOXGE. I. Q
l3o LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
potter successivement sur 1 arc de cercle STU de S en
des points T. Pour cela, la courbe spherique etant a
double courbure, il faut lui faire perdre successive
ment ses deux courbures, sans alterer sa grandeur,
de la maniere suivante :
L intersection spherique etant projetee sur le plan
horizontal en NJKH (fig. 3i), on peut la regarder
comme tracee sur la surface d un cylindre vertical,
dont la base serait NJKH : on pourra done developper
cette surface, comme nous 1 avons indique (fig. 27), et
rapporter sur cette surface cylindrique developpee
1 intersection spherique, en developpant Tare NJ
(fig. 3i) en N J (fig. 82), et en portantla verticale i
1
i
(fig. 3i) perpendiculairement a N N (fig. 82) de J
en J". La courbe N"J"K"H"N", qui passera par tous
les points J" ainsi determines, sera 1 intersection sphe
rique privee de sa courbure horizontale, sans avoir
change de longueur. On aura la tangente au point J"
de cette courbe, en prenant JP (fig. 3i) et la portant
sur N N (fig. 82) de J en P ,
et menant la droite J"P .
Actuellement, on developpera la courbe N"J
ff
K"H"N"
pour la replier sur 1 arc STU (fig. 33) :
par exemple, on
portera Tare N/;
J" de S en T, et le point T sera sur la
surface conique developpee, le point ou s applique
celui de 1 intersection spherique, dont les projections
sont J, i (fig. 3i). Done, si 1 on mene la droite RT, on
aura sur le developpement de la surface la generatrice
dont la projection horizontale est AC (fig. 81); enfin,
s il se trouve sur cette generatrice un point qu il faille
rapporter sur la surface developpee, il ne s agira plus
que de prendre (fig. 3i) la distance de ce point au
sommet de la surface conique, et de la porter (fig. 33)
GEOMETRIC DESCRIPTIVE. l3l
sur RT de R en V; et le point V sera sur la surface
developpee celui que Ton considere.
82. SEPTIEME QUESTION. Construire 1 intersection
de deux surfaces cylindriques a bases quelconques
?
Solution. Lorsque, dans la recherche qui donne
lieu a la question dont il s agit, on n a-pas d autres
intersections a considerer que celle des deux surfaces
cylindriques, et surtout quand ces surfaces sont a
bases circulates, il est avantageux de choisir les plans
de projection de maniere que 1 un d entre eux soit
parallele aux generatrices des deux cylindres :
par la
1 intersection se construit sans employer d autres
courbes que celles qui sont donnees. Mais, lorsqu on
doit considerer en meme temps les intersections de
ces surfaces avec d autres, il n y a plus d avantage a
changer de plans de projection; et meme il est plus
facile de se representer les objets en les rapportant
tous aux memes plans.
Nous allons done supposer les generatrices des deux
surfaces placees d une maniere quelconque, par rapport
aux plans de projection.
Soient done (fig. 34) TFF U, XGG V les traces
horizontals donnees des deux surfaces cylindriques ;
AB, ab les projections donnees de la droite a
laquelle la generatrice de la premiere doit etre paral.lele;
CD, cd celles de la droite a laquelle doit etre
parallele la generatrice de la seconde. On concevra une
serie de plans paralleles aux deux generatrices. Ces
plans couperont ies deux surfaces dans des lignes
droites; et les rencontres des jdeux sections faites dans
l3a LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. i33
la premiere surface, par les sections faites dans la
seconde, determineront les points de 1 intersection
demandee.
Ainsi, apres avoir construit,comme dans la figure i5,
la trace horizontale AE d un plan mene par la
premiere droite donnee parallelement a la seconde,
on menera parallelement a cette trace tant de
droites FG qu on voudra, et Ton regardera ces paralleles
comme les traces des plans de la serie. Chaque
droite FG7
coupera la trace de la premiere surface en
des points F, F ,
et celle de la seconde en d autres
points G, G , par lesquels on menera aux projections
des generatrices respectives les paralleles FH, F H , ...,
GJ, G J ,
. . .
;
et les points de rencontre P, Q, R, S,
de ces droites, seront les projections horizontales
d autant de points de 1 intersection des deux surfaces.
En operant de meme pour la suite des droites FG7
,
on
trouvera une suite de systemes de points P, Q, R, S,
et la courbe qui passera par tous les points trouves
de la meme maniere sera la projection horizontale
de 1 intersection.
Pour avoir la projection verticale, on projettera
sur LM les points F, F ,
. .
., G, G ,
... en /, / ,
. .
.,
g, g ,
. .
., et, par ces derniers points, on menera aux
projections des generatrices respectives les paral
leles //i, / /i
,
. . .
, gi, g i ,
... qui, par leurs ren
contres, determineront les projections verticales p,
g, r, s des points de 1 intersection. En operant de
meme pour toutes les autres droites FG ,
on aura de
nouveaux points p, g, r, s; et la courbe qui passera par
tous ces points sera la projection verticale de 1 inter
section.
1 34 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
Pour avoir les tangentes de ces courbes aux points P
et p, on construira la trace horizontale F Y du plan
tangent en ce point a la premiere surface cylindrique \
puis la trace G Y du plan tangent en ce meme point a
la seconde ;
et la droite, menee du point P au point Y
de rencontre de ces traces, sera la tangente en P. Enfin,
projetant Y sur LM en ?/, et menant la droite py, on
aura la tangente au point p de la projection verticale.
83. HUITIEME QUESTION. Construire 1 intersection
de deux surfaces de revolution, dont les axes
sont dans un meme plan ?
Solution. On disposera les plans de projection
de maniere que 1 un d entre eux soit perpendiculaire
a 1 axe d une des surfaces, et que 1 autre soit parallele
aux deux axes. D apres cela, soient A (fig. 35)
la projection horizontale de 1 axe de la premiere
surface, aa sa projection verticale, et cde la gene
ratrice donnee de cette surface. Soient AB, parallele
a LM, la projection horizontale de 1 axe de la
seconde surface, a b sa projection verticale, de maniere
que A et a soient les projections du point de rencontre
des deux axes; et soit fgh la generatrice donnee de
cette seconde surface. On concevra une serie de sur
faces spheriques, dont le centre commun soit place
au point de concours des deux axes. Pour chacune des
surfaces de cette serie, on construira la projection
iknopq du grand cercle parallele au plan vertical de
projection; et ces projections, qui seront des arcs de
cercle decrits du point a comme centre, et avec des
rayons arbitrages, couperont les deux generatrices en
des points A , p.
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. l35
Cela pose, chaque surface spherique coupera la pre
miere surface dans la circonference d un cercle, dont
le plan sera perpendiculaire a 1 axe aa!,
et dont on
aura la projection verticale en menant 1 horizontale /co,
et dont on aura la projection horizontale en decrivant
du point A comme centre, et d un diametre egal
a fro, la circonference de cercle KROR . De meme
chaque surface spherique de la serie coupera la seconde
surface de revolution dans la circonference d un cercle
dont le plan sera perpendiculaire au plan vertical
de projection, et dont on aura la projection verticale
en menant par le point p une droite pn perpendicu
laire a a b.
Si le point r, dans lequel se coupent les deux
droites fro, /m, est plus pres des deux axes respectifs
que n en sont les points /f, p, il est evident que les
deux circonferences de cercles se couperont en deux
points, dont le point r sera la projection verticale
commune ;
et la courbe menee par tous les points r,
construits de la meme maniere, sera la projection ver
ticale de 1 intersection des deux surfaces. Projetant le
point r sur la circonference du cercle KROR en R et R ,
on aura les projections horizontales des deux points de
rencontre des circonferences de cercles qui se trouvent
sur la meme sphere; et la courbe menee par tous les
points R, R ,
construits de la meme maniere, sera la
projection horizontale de 1 intersection demanded.
Ges exemples doivent suffire pour faire connaitre la
maniere dont il faut employer la methode de construire
les intersections des surfaces et de leur mener des tangentes,
surtout si les eleves s appliquent a construire
avec la plus grande exactitude, s ils emploient de
1 36 LES MAITRES DE LA PENSEF. SCIENTIFIQUE.
35.
CEOMETRIE DESCRIPTIVE.
grandes dimensions, et si, autant qu il sera possible,
ils tracent les courbes dans toute leur etendue.
84. Dans tout ce qui precede, nous avons regarde
les courbes a double courbure comme determinees chacune
par deux surfaces courbes dont elle est 1 intersection,
et c est, en effet, le point de vue sous lequel elles
se presentent le plus ordinairement dans la Geometric
descriptive. Dans ce cas, nous avons vu qu il est tonjours
possible de leur mener des tangentes. Mais, de
meme qu une surface courbe peut etre definie an
moyen de la forme et du mouvement de sa generatrice,
il
peut arriver aussi qu une courbe soit donnee par la
loi du mouvement d un point generateur; et alors,
pour lui mener une tangente, si 1 on ne veut pas avoir
recours a 1
Analyse, on peut employer la methode de
Roberval. Cette methode, qu il inventa avant que
Descartes eut applique 1
Algebre a la Geometric, est
implicitement comprise dans les precedes du Calcul
differentiel, et c est pour cela que les elements de
Mathematiques n en font pas mention; nous nous
contenterons ici de 1
exposer d une maniere sommaire.
Ceux qui desireront en voir des applications nombreuses
pourront consulter les Memoires de VAcademie
des Sciences, anterieurs a 1699, dans lesquels les
ouvrages de Roberval ont ete recueillis.
85. Lorsque, d apres la loi de son mouvement, un
point generateur est perpetuellement pousse vers un
meme point de 1
espace, la ligne qu il
parcourt en vertu
de cette loi est droite; mais si, dans chaque instant de
son mouvement, il est en meme temps pousse vers
1 38 LES MAITRES DE LA PENSEEl SCIENTIFIQUE.
deux points, la ligne qu il
par-court, et
qiy,
dans
quelques cas particuliers, peut encore etre une droite,
est en general une ligne courbe. On aura la taoigente
a cette courbe en menant par le point de la courbe
deux droites, suivant les deux directions differentes
du mouvement -du point generateur, en portant sur
ces directions, et dans le sens convenable, des parties
proportionnelles aux deux vitesses respectives de ce
point, en achevant le parallelogramme, et en menant
la diagonale, qui sera la tangente demandee j car cette
diagonale sera dans la direction du mouvement du
point decrivant, au point de la courbe que Ton consi-
dere.
86. Nous ne-citerons qu un seiil exemple.
Un fil A1V1B (fig. 36) ptant attache par ses extremites
a deux points fixes A, B, si, au moyen d une
pointe M, on tend ce fil, et si Ton fait mouvoir la
pointe, de maniere que le fil soit toujours tendu, la
pointeJdeerira une courbe DCM qui, comme on sait,
est une ellipse dont les points fixes A, B sont les foyers.
D apres la generation de cette courbe, il est tres facile
de lui mener une tangente par la methode de Roberval.
En effet, puisque la longueur du fil ne change pas,
dans chaque instant du mouvement le rayon AM
s allonge de la meme quantite dont le rayon BM se
raccourcit. La vitesse du point decrivant dans la direc
tion AM est done egale a sa vitesse dans la direc
tion MQ. Done, si Ton porte sur MB, et sur le prolongement
de AM, des droites egales MQ, MP, et si 1 on
acheve le parallelogramme MPRQ, la diagonale MR
de ce parallelogramme sera la direction du point gene-
GEOMETRIC DESCRIPTIVE.
rateur en M, et, par consequent, la tangente au meme
point de la courbe. On voit clairement, d apres cela,
que dans 1
ellipse la tangente partage en deux parties
egales Tangle BMP forme par un des rayons vecteurs
.et par le prolongement de 1 autre ; que les angles AMS
et BMR sont egaux entre eux, et que la courbe doit
avoir la propriete de reflechir a un des foyers lea
rayons de lumiere emanes de Tautre.
II est facile d etendre la methode de Roberval au
cas des trois dimensions, et de 1
appliquer a la cons
truction des tangentes des -courbes a double courbure.
En effet, si un point generateur se meut dans
Pespace, de maniere qu a chaque instant de son mouvement
il soit pousse vers trois points differents, la ligne
qu il
parcourt, et qui, dans quelques cas particuliers,
peut etre plane et meme droite, est en general une
courbe a double courbure. On aura la tangente de cette
courbe en un point quelconque, en menant par ce
point des droites, suivant lea trois directions diflerentes
des mouvements du point generateur ;
en portant
sur ces droites, et dans le sens convenable, des parties
proportionnelles aux trois vitesses respectives de ce
point, en achevant le parallelepipede ;
et en menant
la diagonale du parallelepipede, qui sera la tangente
de la courbe au point que Ton considere.
87. Nous allons appliquer cette methode a un cas ana
logue a celui de 1
ellipse; et la figure 87, que nous
allons employer, representera 1
objet en perspective,
et non pas en projection.
Trois points fixes A, B, C etant donnes dans 1
espace,
soit un premier fil AMB attache par ses deux extre-
I/Jo LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
mites aux points A et B 5
soit un autre fil AMC, d une
grandeur independante de celle du premier, et qui
soit attache par ses extremites aux deux points A
et C ;
si un point generateur, saisissant en meme temps
les deux fils, se meut de maniere que ces fils soient
toujours tendus, il
parcourra une courbe a double
courbure (
L
).
Pour mener a cette courbe une tangente
au point M, il faut remarquer que la longueur du pre
mier fil AMB etant constante dans chaque instant du
mouvement, la quantite dont la partie AM s allonge
est egale a celle dont la partie MB se raccourcit, et que
la vitesse du point generateur dans la direction AM
est egale a sa vitesse dans la direction MB. De meme,
la longueur du fil AMC etant constante, la vitesse
du point generateur dans la direction MC est encore
egale a sa vitesse dans la direction AM. Done, si sur
le prolongement de AM, et sur les droites MB, MC,
on porte les parties egales MP, MQ, MR, et si
Ton acheve le parallelepipede MPUSVQRT, la diagonale
MS de ce parallelepipede sera la tangente de-
mandee.
Comme la methode de Roberval est fondee sur le
(
x
)
M. Dupin, en s occupant de la determination d une
sphere tangente a trois autres, a fait voir que la courbe
indiquee ci-dessus comme a double courbure, est plane
et du second .degre ;
ce qui tient a la theorie generale du
nombre infini de foyers qui appartiennent a chaque courbe
du deuxieme degre. Voir la Correspondance sur 1 Ecole
Polytechnique, t. I, p. 22; t. II, p. 887, et les Developpements
de Geometrie, par M. DUPIN, p. 280. (Note communiquee
par M. Dupin. )
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. l4l
principe dc la composition du mouvement, il est facile
d apercevoir que, dans les cas moms simples que ceux
que nous avons choisis pour exemples, on peut s aider
des methodes connues pour trouver la resultante de
forces qui sont dirigees vers un point, et dont on connait
les grandeurs et les directions.
FIN DU PREMIER VOLUME.
TABLE DES MATIERES
OU PREMIER VOLUME.
Pages,
AVERTISSEMENT V
NOTICE. BIOGRAPHIQUE VII
PROGRAMME XIII
I.
Objct de la Geometric descriptive I
Considerations d apres lesquelles on determine la
position d un point situe dans 1
espace. De la m6thode
des projections I
Comparaison de la Geometric descriptive avec
1 Algebre I?
Convention propre a exprimer les formes et les posi
tions des surfaces. Applications au plan 19
Solutions de plusieurs questions elementaires rela
tives a la ligne droite et au plan 25
II.
Des plans tangents aux surfaces courbes, et de leurs
normales 39
Methode pour mener des plans tangents par des points
donnes sur les surfaces 4^
Des conditions qui determinent la position du plan
tangent a une surface courbe quelconque; observa
tion sur les surfaces developpables 56
"
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE
HUYGENS (Christian). Traite de la lumiere. Un vol. de x-155 pages
et 74 figures ; broche, net 3 fr. 50
LAVOISIER (A.-L.). Memoires sur la respiration et la transpira
tion des animaux. Un vol. de vni-68 pages ; broche, net. . . 3 fr.
SPALLANZANI (Lazare). Observations et Experiences \aites sur les
Animalcules des Infusions. Deux vol. de vin-106 et 122 pages;
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CLAIRAUT (A.-C.). Elements de Geometric. Deux vol. de xiv-95 et
103 pages avec 69 et 77 figures; chaque vol. broche, net. 3 fr. 50
LAVOISIER et LAPLACE. Memoire sur la chaleur. Un vol. de 78 pages
avec 2 planches; broche, net * 3 fr.
CARNOT (Lazare). Reflexions sur la melaphysique du Calcul infini
tesimal. Deux vol. de vin-117 et 105 pages avec 5 figures; chaque
vol. broche, net 3 fr.
D ALEMBERT (Jean). Traite de Dynamique. Deux vol. de XL-102 et
187 pages avec 81 figures; chaque vol. broch6, net 3 fr.
DUTROCHET (Rene). Les mouvements des vegetaux. Du reveil et du
sommeildes plantes. Un vol. de vin-121 pages et 25 figures; broche,
net ... 3 fr.
AMPERE (A.-M.). Memoires sur Velectromagnetisme et Velectrodynamique.
Un vol. de xiv-1 10 pages et 17 figures; broche, net 3 fr.
LAPLACE (P.-S.). Essai philosophique sur les probabilites. Deux
vol. de xn-103 et 108 pages; chaque vol. broch6, net . . 3 fr.
BOUGUER (Pierre). Essai d optique sur la gradation de la lumiere.
Un vol. de xx-130 pages et 17 figures ; broche, net. . . 3 fr. >
PAINLEVE (Paul). Les axiomes de la Mecanique. Examen critique .
Note sur la propagation de la lumiere. Un vol. de xni-112 pages et
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Sous presse :
MARIOTTE (Edme). Discours de la nature de Vair. De la vegetation
des plantes. Nouvette decouverte touchant la vue. Un vol. de
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II est tire de chaque volume 10 exemplaires sur papier
de Hollande, au prix uniforme et net de 6 francs.
LES MAITRES DE LA PENSfiE SCIENTIFIQUE
COLLECTION DE MBMOIRES ET OUVRAGKS
Publiee par les soins de MAURICE SOLOVINE
GEOMETRIE DESCRIPTIVE
PAR
Gaspard MONGE
AIJGMBNTEE DTNE TBEORIE DES OMBRES ET DE L4 PERSPECTIVE
EXTRAITE DES PAPIKRS DE I/AUTEUR
Par Barnab6 BRISSON
II.
PARIS
GAUTHIER-VILLARS ET Cu
,
EDITEURS
LIBRAIRKS DU BUREAU DBS LONGITUDES, DE L ECOLE POLYTEGHNIQUK
Quai des Grands-Augustins, 55.
1922
Tous droits de traduction, de reproduction et d adaptation reserves
pour tous pays.
(xEOMETRIE DESCRIPTIVE
IV.
APPLICATION DE LA METHODE DE CONSTRUIRE LES
INTERSECTIONS DES SURFACES COURSES A LA SOLU
TION DES DIVERSES QUESTIONS.
88. Nous avons donne (fig. 26) la methode de
construire les projections de I intersection de deux
surfaces courbes definies de forme et de position; et
nous 1 avons fait d une maniere abstraite, c est-a-dire
sans nous occuper de la nature des questions qui
pourraient rendre necessaires de pareilles recherches.
L exposition de cette methode, eonsiderfo d une ma
niere abslraite, serait suflisante pour le plus grand
nombre des arts; car, si Ton prend pour exemples
I art de la coupe des pierres et celui de la charpenterie,
les surfaces courbes que Ton y considere, et dont on
IMMI! avoir besoin de construire les intersections,
formeui ordinairement I
obj**! principal doul on
g occupe, et elles &e pr&entenl naturellcinent. Mais la
Geometric descriptive devant deveriir mi jour unr d s
parlies principales de 1 education nationale, parce que
les methodes qu ellc donnt: sont aussi necessaires aux
artistes que le sont la lecture, 1 ecriture et l"arithmetique,
nous croyons qu i! est utile do fa ire voir par
quelques exemples comment elle peut suj,>pleer
1 AnaMONUL.
II. i
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
lyse pour la solution d un grand nombre de questions,
qui, au premier apergu, ne paraissent pas de nature
a devoir etre traitees de cette maniere. Nous comineiicerons
d abord par des exemples qui n exigont
que les intersections de plans, nous passerons ensuite
a ceux pour lesquels les intersections de surfaces
courbes sont necessaires.
89. La premiere question qui frappe d une maniere
remarquable ceux qui apprennent les elements de
Geometrie ordinaire est la recherche du centre du
cercle dont la circonference passe par trois points
places arbitrairement sur un plan. La determination
de ce centre par 1 intersection de deux lignes droites,
sur chacune desquelles il doit se trouver necessairement,
frappe les eleves, et par sa generalite, et parce
qu elle doiine un moyen d execution. Si toute la Geo
metrie etait traitee de cette maniere, ce qui est pos
sible, elle conviendrait a un plus grand nombre
d esprits; elle serait cultivee et pratiquee par un plus
grand nombre d hommes; 1 instruction moyenne de la
nation serait plus avancee, et la science elle-memc
serait poussee plus loin. II existe dans les trois dimen
sions une question analogue a celle que nous venous
de citer, et c est par elle que nous allons coinmencer.
9U. PREMIERE QUESTION. Trouver le centre et
le rayon d une sphere dont la surface passe par quatre
points donnes arbitrairement dans 1
espace ?
Solution. Les quatre points etant donnes par
leurs projections horizontales et vcrticales, on con-
GEOMETRIE DESCRIPTIVE.
cvra par Pun dYux do drnilcs menees a chacuii tics
trois autres; ct Pon tracera les projections hoi i
talcs ct verticales do ces trois droites. Puis, consul i
rant
la premiere de ces droites, il est evident que le
centre demande devant etre a egale distance d
deux cxtremites, il doit se trouver sur le plan p. rp ndiculaire
a cette droite, et mene par son milim. Si
done on divise en parties egales les projections dc la
driie, PC qui donncra les projections dc son milieu,
et si Pon construit les traces du plan menc par le point
jM-pendiculairement a la droite, ce que nous savoiis
faire, on aura les traces d un plan sur Icquel le cenlre
demande doit se trouver. Considerant ensuite les deux
autres droitcs, et faisaiit successivement pour chacunc
d ellcs la memc operation, on aura les traces des trois
plans difTerents, sur cliacuii desquels doit se trouver
le centre demande. Or, de ce que le centre doit etre
sur le premier de ces plans ct sur le second, il doit etre
sur la droite de leur intersection; done, si Pon construit
les projections de cettc intersection, on aura, sur
chaque plan de projection, une droite qui contiendra
la projection du centre. Par la meme raison, si Pon
construit les projections dc, Pintersection du premier
plan et du troisieme, on aura encore, sur chaque plan
de projection, une autrc droite qui contiendra la pro
jection du centre. Done, sur chaque plan de projec
tion on aura deux droites qui, par leur intersection,
determineront la projection demandee du centre de la
sphere.
Si Pon employait Pintersection du second plan ct
du troisieme, on aurait une troisiemc droite qui passcrait
par le centre, et dont les projections passeraient
4 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
encore par les projections demandees, ce qui fournit
un moyen de verification.
Quant au rayon, il est evident que si, par la projec
tion du centre et par celle d un des points donnes, on
mene une droite, elle sera sa projection; on pourra
done avoir la projection horizontale et la projection
vertical e du rayon, et par consequent sa grandeur.
9.1. Si Ton est libre de choisir la position des plans
dr. projection, la methode precedente peut etre considerablement
simplifiee. En effet, supposons que celui
do ces plans que nous regardons comme horizontal
(fig. 38) passe par trois des points donnes, de
maniere que des projections donnees A, B, C, D des
quatre points, les trois premieres se confondent avcc
leurs points respectifs; puis, apres avoir mene les
trois droites AB, AC, Al), supposons que le plan verlical
soit parallele a AD, c est-a-dire que les droites LM
et AD soient paralleles eiitre elles ;
les projections verticales
des trois premiers points seront sur LM en
des points a, &, c, et celle du quatrieme sera donnee
quelque part en un point d de la droite Dd perpendiculaire
a LM. Cela pose, la droite menee du point A
au point B etant horizontale, tout plan qui lui sera
perpendiculaire sera vertical, et aura pour projection
horizontale une droite perpendiculaire a AB. II en est
de meme pour la droite menee du point A au point C.
Done, si sur le milieu de AB on lui mene la perpendi
culaire mdefinie Ee, cette perpendiculaire sera la pro
jection horizontale d un plan vertical qui passe par le
centre de la sphere; done la projection horizontale du
centre sera quelque part sur la droite Ee. De meme,
GEOMETR1E DESCRIPTIVE.
Fig 5$
fig 40
e\
h LES MA1TRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
si sur le milieu de AC on lui mene la perpendiculairc
indefinie F/, cette perpendiculaire sera la pro
jection d un second plan vertical qui passe par le
centre de la sphere, et la projection horizontale de
re centre sera quelque part sur un point de la
droiic, F/j done Jo point G d intersection des deux
droites E<?, F/sera la projection horizontale du centre
de la sphere, dont la projection verticole sera, par
consequent, sur la droite indefinie de projection Ggg .
La droite menee du point A au quatrieme point
etant paraJlele a sa projection verticale ad, tout plan
qui lui sera perpendiculaire sera aus^i perpendiculaire
au plan vertical de projection, et aura pour projection
verticale une droite perpendiculaire a ad. Done, si sur
le milieu de ad on lui mene une perpendiculaire indefinie
H/i, on aura la projection d un troisieme plan qui
passe par le centre de la sphere; done la projection
verticale de ce centre, devant se trouver en meme
temps et sur gg et sur H/i, sera au point K d intersection
de ces deux droites.
Enfin, si Ton mene les deux droites AG, K, 011 aura
evidemment les deux projections d un meme rayon de
la sphere; done, si 1 on porte AG sur LM, de g en J,
la droite JK sera la grandeur du rayon demande.
92. DEUXIEME QUESTION. Inscrire une sphere
dans une pyramide triangulaire donnee, c est-a-dirn
trouver la position du centre de la sphere et la gran
deur de son rayon?
Solution. La surface de la sphere inscrite devant
toucher les quatre faces de la pyramide, il est evident
GEOMETRIE DESCRIPTIVE.
quo si par Ic centre de la sphere et par chacune des
six aretes on congoit un plan, ce plan partagera <
n
deux parties egales Tangle que formcnt entre ellcs Irs
deux faces qui passent par la ineme arete. Si done
j.iinni Irs six aretes mi -n rh.dsit iruir, qui ne pa
l. as I.Mil.-s p;sr Ir inrliie suiniiK I d ailgK; solide,
par chacune de ces aretes on fait passer un plan qui
partage en deux parties egales Tangle forme par les
deux faces correspondantes, on aura trois plans, sur
ehacun desquels le centre de la sphere demandee doit
se trouver, et qui, par leur intersection commune,
doivent determiner la posilion.de ce centre.
93. Pour Bimplifier la construction, nous supposerons
que les plans de projection aient etc choisis dc
maniere que celui <IIK^
nous regarderons coiuinc
horizontal soit le meme qu une des faces de la p\ia-
mide.
Soient done (fig. 89) A, B, C, D les projec
tions horizontals donnees des sornmets des quatre
angles solides de la pyramide, et a, //, c-,
d leurs pro
jections verticales; par le sommet de la pyramide, on
concevra des plans perpendiculaires aux trois cotes
de la base; ces plans seront verticaux, et leurs projec
tions horizontals seront les droites DE, 1)I\ I
XI,
ahaissees perpendiculairement, du point D sur les
cdtea .Vli, (11), BA de la base. Chacun de ces plans
coupera la base de la pyramide et la face qui passe par
Tarete en deux droites qui comprendront entre elles un
angle egal a celui que la face forme avec la base. Si
done on porte sur LM les droites DE, DF, DG, a partir
dr ia verticale Ddd ,
de d en e, /, g, et si
par U- sum-
8 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
GEOMETRIC DESCRIPTIVE.
met d on mene les droites d e,
d /,
d g, ces droilos
formeront avec LM des angles egaux a ceux quc
les faces correspondantes de la pyramide forment
avec la base; el si Ton parlagc chacun de ces trois
angles en deux parties egales par les droiti-s ee , // ,
gg ,
les angles que ces dernieres droites formeront
avec LM seront egaux a ceux que formeraient avec
la base les faces d une scconde pyramide qui aurait la
meme base que la pyramide donnee, et dont le sommet
serait au centre de la sphere demandee.
Pour trouver le sommet de cette seconde pyramids,
on la coupera par un plan horizontal, mene a une
hauteur arbitraire, et dont on aura la projection verticale,
en menant une horizontale quelconque pn.
Cette droite coupera ee
1
, // , gg
r
en des points /t
,
i
,
A ,
desquels on abaissera sur LM les verticales hh, i /,
/r /r; et si Ton porte les trois distances eh, /i, kg sur
les perpendiculaires respectives de E en H, de F en J
et de G en K, on aura en H, J, K les projections
horizontals de points pris dans les trois faces de la
seconde pyramide, et qui se trouvent sur le plan
horizontal arbitraire. Done, si par les points H, J, K
on mene aux cotes respectifs de la base des paralleles
PN, NO, OP, ces droites seront les projections des
sections des trois faces de la seconde pyramide par le
meme plan horizontal ;
elles se couperont en des points
N, O, P, qui seront les projections d autant de points
des trois aretes de la seconde pyramide; et si par ces
points on mene, aux sommcts des angles respectifs de
la base des droites indefinies AP, BO, CN, ces droites
seront les projections des aretes; enfin, le point
unique Q, dans lequel elles se rencontreront toutcs
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
trois, sera la projection horizontale du sommet de la
scconde pyramide, ct par consequent du centre de la
sphere demandee.
Pour avoir la projection vcrticale de ce centre, on
inenera d ahord la droite, indefinie de projection Q<7/,
sur laquciii <
v
iic doil. se irouvcr; puis on projellcra k-s
trois points N, 0, P sur 1 horizontale np en n, o, p;
par les projections , 6, c, des sommets des angles rcspectifs
de la base, on menera les droites ap, bo, en, qui
seront les projections verticales des trois are"tes; et le
point unique q ,
dans lequel ces trois dernieres droites
se couperont et qui sera en meme temps sur la droite
Qqq ,
sera la projection verticale du centre de la
sphere.
Knlin, la vorlieafc qq sera evidemment e^ale au
rayon de la sphere inscribe, et les points Q, q seront
les projections du point de contact de la surface de la
sphere avec le plan de la base.
94. Nous avons fait voir (3) par quelles considera
tions on pouvait determiner la position d un point,
lorsque Ton coimaissait ses distances a trois points
connus de position; nous allons actuellement donner
la construction de cette question.
TROISIEME QUESTION. Construire les projections
d un point dont on connaifc les distances a trois autres
points donnes dans 1
espace?
Solution. Nous supposerons les plans de projec
tion choisis de maniere que celui que nous regarderons
eomme horizontal passe par les trois points
donnes, et que 1 autre soit perpendiculaire a la droite
G^OMETRIE DESCRIPTIVE. I I
qui joint deux de ces points. D apres cola, soient A,
B, C (fig. 4o) les trois points donnes ;
A ,
B ,
( /
les distances donnees de ces points an point
dciuande. On joindra deux des points par la droiie Al,
perpendiculairemenl a lacpielle on menera I.M inn
determine la position du plan vertical de ] ]
! ion.
Puis, des points A, l>, C, comiuc. centres, et aver des
rayons egaux aux distances respectives A ,
!>
,
(
/, on
deerira trois arcs de cercles qui se couperont deux a
deux en des points D, E, F, J, P, Q; par les points
d intenection de ces arcs consideres deux a deux, on
iHL-nera les droites DE, FJ, PQ, qui seront les proji <
tions
horizontals des circonferences de cercles, dans
lesquellea les trois spheres se coupent; et le point
lie N, dans lequel ces trois droites se rcncontreront,
sera evidemment la projection hoi-i/ontale du
]oinl deinaude.
Pour avoir la projection vertieale du ineiu<;
point,
.on m&nera la ligne de projection indefinic Nnn ; ]>iiis,
observant quc le cercle projete en DE est parallele au
plan vertical, et que sa projection sur ce plan doit etre
un cercle de merae rayon, on projettera la droite AB
ur LM au point r, duquel, comme centre, et avec un
intervalle egal a DR, ou a la moitie de DE, on decrira
le cercle dnen ;
ct la circonference de ce cercle coupera
la droite N/i/i
7
en deux points /i,
n , qui seront indiflVrcinniciit
la projection vertieale du point dcinande.
Ce sera d apres les autres circonstances de la ques
tion qu on deterrninera si les deux points n et n
doivent etre tous deux employes; et dans le cas ou il
n y en aurait qu un de necessaire, quel est celui qui
doit etre rejef*-.
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
Le lecteur pourra se proposer de construire les pro
jections d un point dont on connait les distances a trois
lignes donnees dans Vespace.
95. QUATRIEME QUESTION. Un ingeiiieur parcourant
un pays de montagnes, soit pour etudier la
forme du terrain, soit pour faire le projet de travaux
publics qui dependent de cette forme, est muni d une
carte topographique, dans laquelle non seuleinent les
projections des differents points du terrain sont
exactes, mais encore les hauteurs de tous ces points
au-dessus d une meme surface de niveau sont indiquees
par des nombres places a cote des points respectifs, et
auxquels on a coutume de donner le nom de cotes. II
rencontre un point remarquable qui n est pas place
sur la carte, soit parce qu il a etc omis, soit parce qu il
a ete rendu remarquable depuis la confection de la
carte. L ingenieur ne porte avec lui d autre instru
ment d observation qu un graphometre propre a
mesurer les angles, et cet instrument est garni d un
fll a plomb.
On demande que, sans quitter la station, il construise
sur la carte la position du point ou il
est, et qu il trouve
ia cote qui convient a ce point, c est-a-dire sa hauteur
au-dessus de la surface de niveau ?
Moijen de solution. Parmi les points du terrain
marques d une maniere precise sur la carte, et qui
seront les plus voisins, 1
ingenieur en distinguera trois,
dont deux au moins ne soient pas a la meme hauteur que
lui; puis il observera les angles formes par la verticale
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. i3
et les rayons visuels diriges a < s irois points, et,
d apres cctte seule observation, il
pourra resoudrc la
En rdVi, noinmons A, B, C les trois points ol>-, r\<
donl il a Irs pniji rlions liori/oni ales sur la cartr, < I
don I il
pourra construirc les projections vert ica les au
inoyen de leurs cotes. Puisqu il connait l
angle forme
par la verl.icalr rl par le rayon visuel dirige au point A,
il connait aussi I
angir forme par le ineiiic rayon < I
pai
1
la verticale elevee au point A; car en negligeaal la
courbure de la terre, ce qui est convenable, ees deux
angles sont alternes-internes, et par consequ<;nt egaux.
Si done il concoit une surface conique a base circulaire,
dont le sommet soit au point A, dont 1 axe soit
vertical, et dont I
angle forme par 1 axe et par la droite
generatrice soit egal a I
angle observe, ce qui deter
mine completement cette surface, elle passera par le
rayon visuel dirige au point A, et par consequent par
le point de la station : ainsi il aura une premiere stirface
courbe deteiminee, sur laquelle se trouvt-ia If
point demande. En raisonnant pour les deux autres
]>oints B, C comme pour le premier, le point demande
se trouvera encore sur deux autres surfaces coniques
a bases circulates, dont les axes serorit verticaux,
dont les sommets seront aux points B, C, et pour chacune
desquelles I
angle forme par 1 axe et par la g<-nera
trice sera egal a I
angle forme par la verticale el par
le rayon visuel correspondant. Le point demande seru
done en meme temps sur trois surfaces coniques determinees
de forme et de position, et par consequent dans
leur intersection commune. II ne s asrit done plus que
de construire, d apres les duimeeb de la ({uestion, les
1 4 LES MA1TRES DE LA PENSEE SCIEN TIFIQUE.
projections horizontals et verticales des intersections
de ces trois surfaces considerees deux a deux; les
intersections de ces projections donneront les projec
tions horizontale et verticale du point demande, et
par consequent la position de ce point sur la carte, et
sa hauteur au-dessus ouau-dessous des points observes,
ce qui determinera sa cote.
Cette solution doit en general produire qualrc points
quisatisfont a la question; mais ilsera facile a 1 obscrvateur
de distinguer parmi ces quatre points celui qui
coincide avec le point de la station. D abord, il
pourra
toujours s assurer si le point de la station est au-dessus
ou au-dessous du plan qui passe par les trois points
observes. Supposons que ce plan soit au-dessus du
plan des sommets des cones ;
il sera autorise a negliger
les branches des intersections des surfaces coniques
qui existent au-dessous de ce plan; par la le nombre
des points possibles sera reduit a quatre. Ce serait la
memo chose si le point de la station etait au contraire
place au-dessous du plan. Ensuite, parmi ces quatre
points, s ils existent tous, il reconnaitra facilemerit
celui dont la position, par rapport aux trois sommets,
est la meme que celle du point de la station, par rap
port aux points observes.
96. Construction. Soieiit A, B, C (fig. 4i) les
projections horizontales des trois points observes,
prises sur la carte; a, fe,
c les projections ver
ticales des memes points, construits en portant sur les
verticales B 6, Cc, a partir de 1 horizontale LM, qui
passe par le point a, la difference des cotes des deux
autres points; et soient A ,
B ,
C les angles observes,
GEOMETRIC DESCRIPTIVE. I ,
l6 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIF1QUE.
que les rayons visuels, diriges aux points respectifs A,
B, C, forment avec la verticale.
On menera les verticales indefinies aa ,
66 ,
cc , qui
seront les projections verticales des axes des trois
cones; par les trois points , 6, c, on menera les
droites al, 6m, en, qai formeront avec ces verticales
des angles respectivement egaux aux angles donnes A ,
13 ,
C ;
et ces droites seront chacune la projection ver
ticale dc I lin des deux cotes extremes rle la surface
conique correspondanlc.
Cela fait, on menera dans Ja projection verlicale
tant de droites horizontales ee qu oii voudra; on les
regardera comme les projections d autant de plans
horizontaux ;
et pour chacune d elles, on fera 1
operation
que nous allons decrire pour celle d entre elles qui
est indiquee par EE .
Cctte droiie coupera les projections des axes des
Irois cones en des points /, g, A, qui seront les pro
jections verticales des centres des cercles, suivant
lesquels le plan horizontal correspondant coupe les
trois surfaces coniques; et elle coupera les cotes
extremes des cones a/, 6m, en en des points / , g ,
A ,
tels que les distances // , gg ,
hh seront les rayons
dc ces meines cercles. Des points A, B, G, pris successivoment
pour centres, et avec des rayons respective
ment egaux a // , gg ,
hh
f
,
on decrira des cercles donf.
les circonferences seront les projections horizontales
des sections faites dans les trois surfaces coniques par
le meme plan EE ;
ces circonferences se couperont deux
a deux dans des points D, D , K, Iv , J, J , qui seront
les projections d autant de points des trois intersec
tions des surfaces coniques considerees deux a deux;
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. I~
! I en projetant ces points sur EE7
en d, d , A, A*
7
, i,
/
,
>n aura Ics projections verticales des monies points
ilcs Irois intersections.
En operant ensuite de memo pour les autres
droites ee y
on trouveia pour chacune d elles de nouvraux
points D, D7
T K, K7
, J, J ,
dans la projection
horizontale, et de nouveaux points d, d , A, A,
i, i
,
ilai.s la projection verticale; puis par tons les points D,
D ,
. .
., on fera passer unc courbc DPD\ qui sera la
projection horizontale de 1 intersection de la premiere
surface conique avec la seconde; par tous les points K,
K , ..., on fera passer une autre courbe KPK qui
- i.i la projection de 1 inlersection de la seconde sur<!
de la troisieme; et par tous les points J, J ,
. .
.,
on en fera passer une dernierc JPJ7
qui si ra la projrrlioii
de 1 intersection de la troisieme surface et de la
piviuiere. Les points P, . .
., dans lesqucls ces courbes
se couperont toutes trois, seront les projections
horizontals d autant de points qui satisfont, a la <jucs-
tion.
De meme dans la projection verticale, par tous les
points d, d ,
. . .
,
on fera passer une premiere courbe ;
par tous les points A-,
A*
,
. .
., une seconde; et par tous
;.ints /, i
7
, ..., une troisieme. Ces courbes si-ront
li-s
projections verticales des intersections d< s Jruis
surfaces considere s deux a deux; et les points />,
. .
.,
dans lesquels ces courbes se couperont toutes Irois,
seront les projections verticales de tous les poinis |iii
salisfont a la question.
Les projectioiis i
, //
d un mem.: }>oinl
s.-ront dans
une meme perpendieulaire a LM.
L observateur, apres avoir reconnu parmi tous les
MONQK. ^ 11, J
1 8 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
points P celui qui appartient au point de la station,
aura la projection horizontale de cette station, et par
consequent sa position sur la carte; puis, au moyen de
la hauteur du point correspondant p au-dessus de la
droitc LM, il aura 1 elevation du point de la station
au-dessus du point observe A, et par consequent il
trouvera la cote qui convient a la station.
97. Dans cette solution nous avons construit les
projections des trois intersections des surfaces, tandis
quo deux auraient suffi. Nous conscillons d agir toujours
de meme, parce que ies projections des deux
courbcs a double courbure peuvcnt se couper en des
points qui ne correspondent pas a des points d intersection,
et que pour recormaitre les projections des
points d intersection, il faut suivre les brandies des
deux courbes qui sont sur la meme nappe d une des
surfaces; ce qui exige uiie attention penible, dont on
est prcsque toujours dispense en construisant les trois
courbes; les points ou elles se coupent toutes trcis
sont de veritables points d intersection.
98. CINQUIEME QUESTION. Les circonstaiices
etant les memes que dans la question precedente,
avec cette seulc difference que 1 instrument n est pas
garni de fil a plomb, de maniere que les angles avec
la verticale lie puisseiit pas etre mesures ;
on demande
encore que 1
ingenieur, sans quitter la station, deter
mine sur la carte la position du point ou il
est, et qu il
trouve la cote de ce point, c est-a-dire son elevation
au-dessus de la surface de niveau a laquclle tous les
points de la carte sont rapportes ?
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. i<)
Moyen de solution. Apres avoir choisi trois
poinls du terrain qui soicnt marques d une maniere
precise sur la carte, el, ! !
que le point de station nc
soil pas avec eux dans le iiienie plan, Tingenieur mrsurcra
les trois angles que formcnt entre eux les rayons
YJM ids diriges a ces trois points; et au moyen de eel !<
seule observation, il sera en etat de resoudre la ques
tion.
En eflet, si nous nommons A, B, C les trois points
observes, et si on les suppose joints par les trois
droites AB, BC, CA, Tingenieur aura les projections
horizontals dc ces droites tracees sur la carte; de plus,
au moyen des cotes des trois points, il aura les diffe
rences de hauteur des extremites de ces droites; il
pourra done avoir la grandeur de chacune d elles.
Cela pose, si dans un plan quelconque mene par AB
on conc.oit un triangle rectangle BAD (fig. 4^),
construit sur AB comme base, et dont I
angle
en B soit le complement de Tangle sous lequcl le
cote AB a etc observe, Tangle en D sera egal a Tangle
observe, et la circonference de cercle decrite par les
trois points A, B, D jouira de la propriete, que si d un
point quelconque E de Tare ADL> on mene deux
droites aux points A et B, Tangle en E qu elles coinprendront
entre clles sera egal a Tangle observe. Si
done on conceit que le plan du cercle tourne aulour
de AB comme charniere, Tare ADB engendrera une
surface de revolution, dont tous les points jouiront
de la meme propriete; c est-a-dire, que si d un
point quelconque de la surface on mene deux droites
aux points A et B, ces droites formeront entre elles un
angle egal a Tangle observe. Or, il cst evident que les
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
GEOMETRIC DESCRIPTIVE. 21
points de cettc surface de revolution sont les seuls qui
jouissent de cette propriete; done la surface passera
par le point de la station. Si Ton raisonne de la mf tin
maniere pour les deux autres droites BC, CA, on aura
deux autres surfaces de revolution sur chacune desquelles
se trouvera le point de la station; ce point sera
done en merne temps sur trois surfaces de revolution
diflerentes, deterniinees de forme et de position; il
sera done un point de leur intersection commune.
Ainsi, en construisant les projections horizontales et
verticales des intersections de ces trois surfaces considerees
deux a deux, les points ou les projections se
couperont elles-memes toutes trois seront les pro
jections du point qui satisfait a la question. La pro-
j<
clion horizonlale donnera la position du point sur la
carte, ct la projection verticale donnera 1 elevalioii do
ce point au-dcssus on au-dcssous des points nlisrrvrs.
99. Si cettc question elait traitee par I
Analyse, clle
conduirait generalement a une equation du 64 degre;
car chacune des surfaces de revolution a quatre nappes
distinctes, dont deux sont engendrees par Tare de
cercle ADB, et dont les deux autres sont engendrees
par 1 arc AFB. Chacune des nappes de la premiere
pouvant etre coupee par toutes celles de la secondc,
il
peut en resulter 16 branches dans la courbe d intersection
;
et les 1 6 branches pouvant etre coupees par les
quatre nappes de la troisieme surface, il
peut en resulter
64 points d intersection des trois surfaces : mais ces
points ne satisferaient pas tous a la question. En effet,
si d un point quelconque F de Tare AFB on mene des
droites aux extremites de AB, Tangle AFB qu elles
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
comprcndront ne sera pas egal a Tangle observe; il en
sera le supplement. Les nappes engendrees par 1 arc
AFB, et les nappes analogues dans les autres surfaces
de revolution, ne peuvent done servir a resoudre la
question; et tous les points d intersection, qui appartiennent
a quelques-unes de ces nappes, sont des points
ctrangers au probleme.
Dans la Geometric descriptive, on peut ct Ton doit
exclure 1 arc AFB et ses analogues dans les deux autres
surfaces; chacune de ces surfaces n a plus alors que
deux nappes; et le nombre de leurs points d intersec
tion possibles se reduit a huit. De ces huit points,
quatre sont d un cote du plan qui passe par les trois
axes de revolution, et quatre sont de 1 aulre. L observaleur
connaissant toujours de quelcote il est place par
rapport a ce plan, il ne construira pas les intersections
qui sont placees de 1 autre cote, et le nombre des points
qu il
pourra trouver est reduit a quatre. Enfin parmi
ces quatre points, s ils existent tous, il reconnaitra
facilement celui qui sera place par rapport aux
points A, B, C, de la meme maniere que celui de la
station 1 est par rapport aux trois points du terrain
qu il a observes.
100. Construction. On choisira la position des
deux plans de projections de maniere que celui que
nous regardons comme horizontal passe par les trois
points observes, et que 1 autre soit perpendiculaire
a la droite menee par deux de ces trois points. Soicnt
done ABC (fig. 42 )
le triangle forme par les points
observes, considere dans son plan, et A ,
B ,
C les trois angles donnes par 1 observation. On
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 23
p ij
.-iidk ulairrui. nl au cole AH ia droih I,V
qui indiquera la position du plan vertical de projec:
ct Ton construira, com.n<- &oui v nons de 1 indiquer
(98), les arcs de ccrck- jirnrrah-urs ADEB,
liGC, CLA des trois surfaces dc revolution, dont le-s
cotes AB, BC, AC sont les axes. Cola fait, du point A
comme centre, on decrira tan! d arcs <lt crrcio EOL
que Ton voudra, et qui couperont K*s gefcraJLriee,
dont les axes se rencontrent en A, dans des points E,
L, desquels on abaissera sur les axes respectifs Ics pcrpendiculaires
indcfinics EE ,
LL ;
ces perpendiculaires
se couperont quuiquc part en un point H qui
sera la projection horizontal d un point d intcrscction
dcy deux surfaces dont les axes sont AB ct AC,
ct la courbc AHP menec par tous les points H...
trouves de t
cettc manicrc, sera la projection horizontale
de cette intersection. Puis, apres avoir projete
Taxe AB en a, on decrira du point a comme centre,
ct avec des rayons suceessivement egaux aux perpeiidiculaires
EE ,
des arcs de ccrcle ee h, sur chacun
desquels projetant le point II corrcspondant en /*,
on
aura Ja projection verticalc d un point de 1 intersection
des deux memes surfaces dc revolution; et la
courbe ahp menee par tous les points h. . . construits
de cette maniere, sera la projection verticale de cette
intersection.
On opercra de meme pour les deux surfaces de revo
lution autour des axes AB, BC; c cst-a-dire, du
point B dc rencontre des deux axes, comme centre, on
decrira tant d arcs de cercle MKG que Ton voudra; ces
arcs couperont les deux generatrices en des points :>F,
G, desquels on abaissera sur h:s axes rcspcctifs les
24 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
perpendiculaires indefmies MM ,
GG ;
ces perpendiculaires
se couperont en mi point J; et la courbe BJP
mcnee par tous les points J... sera la projection
horizontalc de ^intersection de la premiere et de la
troisieme surface de revolution. Du point a comme
centre, et avec dcs rayons successivemerit egaux aux
perpendiculaires MM ,
on decrira des arcs dc cerclc
mm i, sur lesqucls on projettera en i les points J corrcspondants;
et la courbe aip menee par tous les
points i sera la projection verticale de la meme inter
section.
Cela fait, tous les points P . . .
,
dans lesquels les deux
courbes AHP, BJP se couperont, seront les projec
tions horizontals d autant de points qui satisfont a
la question; et tons les points p. .
., dans lesquels sc
couperont les courbes a/ip, aip, seroiit les projections
verticales des memes points.
Les projections ainsi trouvees nc domieront pas
immediatement la position du point dc station sur la
carte, ni sa hauteur, parcc que le plan horizontal de
projection n est pas celui de la carte; mais il sera facile
dc la rapporter sur les veritables plans de projection.
101. SIXIEME QUESTION. Le general d une armee
en face de 1 ennemi n a pas la carte du pays occupe
par celui-ci, et il en a besoin pour faire le plan d une
attaque qu il medite. II a un aerostat. II
charge un
ingenieur de s elever avcc 1
aerostat, et de prendre
toutes les mesures neccssaires pour faire la carte, et
pour en dormer un riivellement approche : mais il a
lieu de croire que si 1 aerostat changeait de station sur
le terrain, 1 ennemi s apercevrait de son dessein; en
GEOMETRIE DESCRIPTIVE.
consequence il
permet a 1
ingenieur de s elever a dilTerentes
hauteurs dans 1
atmosphere, si cela est iiecessairr;
mais i! iui defend de changer de slalion a terre.
L ingenieur est muni d un instrument propiv a mcsurer
les angles, ct cet instrument est garni d un fil a plomb :
on demande comment 1
ingenieur pourra executer les
ordivs du
Moyen de solution. L ingenieur fera deux sl.adans
la meme verticale, et il connaitra leur
distance en faisant mesurer la corde que Ton aura filee
pour i elever de 1 une a 1 autre. Dans 1 unc des stations,
par . -x:
r.iplr dans celle qui est inferieure, il mesurera
I* angles
que i ait la verticale avec les rayons visuels
diriges aux points dont il veut determiner la position
sur la carte; puis, parmi tous ces points, il en choisira
un qu il
regardcra comme premier, et qite nous rioirimerons
A, et il mesurera de plus successivemcnt les
angles formes par le rayon visuel dirige au point A,
et ceux qui sont diriges a tous les autres. Dans 1 autre
station, il mesurera les angles formes par la verticale,
et les rayons visuels diriges a tous les points du terrain.
D apres ces observations, il sera en etat dc construire
la carte dcmandee.
En effet, puisque Ton connail les angles formes par la
verticale, et les deux rayons visuels diriges des deux
stations au meme point, ce point se trouve en meme
temps sur deux surfaces coniques determinees et
connues, car ces surfaces sont a bases circulaires; elles
ont leurs axes dans la meme verticale; la distance de
leurs sommets est egale a la difference des hauteurs des
deux stations, et les angles que leurs generatrices
2f> LES MAITRES DE LA PENSJ^E SCIENT1FIQUE.
i onnent avec Taxe eommun sont egaux aux angles
observes. De plus, puisque Ton connait Tangle forme
par le rayon visuel dirige de la premiere station a ce
point, et par celui qui est dirige au point A; le point
que Ton considere sera done encore sur une troisiemc
surface coniqne a base cireulaire, dont 1 axe incline
sera le rayon visuel dirige de la premiere station au
point A, dont le sornmet sera a la premiere station, el,
dont Tangle forme par 1 axe et la generatriee sera egai
a Tangle observe. Le point que Ton considere se trouvera
done en meme temps sur des surfaces coniques
( )
a bases circulaires connues de forme et de
position; il sera done au point de leur intersection
commune; et en construisant les projections horizontale
et verticale de cette intersection, on aura la posi
tion du point sur la carte, et son elevation au-dessus
on au-dessous des autres.
102. Sans changer de considerations, la construction
peut devenir plus simple, au moyen de quelques-unes
des methodes que nous avons deja exposees precedemment
:
car, connaissant les angles formes a la pre
miere station par le rayon visuel dirige au point A, et
par les rayons visuels diriges a tous les autres points,
et connaissant, pour chacun de ces angles, les angles
(*)
Deux de ces surfaces sont des cones droits a base ciroulaire,
qui ont pour sominet le point A et qui se coupei)t,
necessairement suivant deux droites. On determine un
point de chacune de ces deux droites par [ intersection de
deux cercles, en considerant les cones comme des surfaces
de revolution dont les axes sc rcncontrent (art. 83).
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. a?
qiu- ccs cotes form, n nv> c la \ .
.-licalo, il sera faciJe
dc les rt duire a 1
horizon, c est-a-dire de conslruiiv
leurs projections horizontalet. Si done on prond sur
la carte un point arbitrairc pour rcprt sonter la projec
tion de la vt rliral. dr. 1 arrosla! : rt si
par re point on
inene une droite arbitraire, qui doive rrpn -srnler la
projection du rayon visucl dirige au point A; enfin, si
par le memo point, on nienc des droites qui fassmt,
avec la projection du rayon dirige au point A, dta|
angles egaux aux a - huts a {
horizon, i rst -\ ident
que chacune dc ccs droites d<>\ra (-onhMiir la
projection horizontal du point du terrain qui lui corr.^spond.
T! in s a;rira done plus que de trouver la distance
de ce point du terrain a la verticale. Or, si <l;ui^ !a pro
jection verticale, et sur la projection de la verticale dTaerostat,
on prcnd deux points qui, en parties dc
1
echelle, soient distants 1 un de 1 autre d unc quant ite
egale a la distance mesuree des deux stations, et si par
ees points on inene des droites qui fassent avec la v i
ticale
des angles egaux a ccux qui ont ete observ 1
:;
pour un meme point du terrain, ces droitcs sc couperont
en un point dont la distance a la verticale sera
la distance demandee. Portant done cette distance sur
le rayon correspondant, a partir de la projection de
1
aerostat, on aura sur la carte la position du point du
terrain. Les deux memes droites, dans la projection
M-rticale, determinent, par leur intersection, ia hauteur
du point du terrain; prenant done sur la projection ver
ticale les hauteurs de tous les points du terrain audessus
d un meme plan horizontal, on determinera l-s
cotes qui conviendront a tous les points de la carte,
et Ton aura le nivellement du terrain.
28 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
Cetle construction est assez simple pour ne pas avoir
besoin dc figure.
La droite menee de la projec lion de la verlieale de
1 aerostat a celle du premier point A observe, ayant
ete tracee d abord arbitrairemcnt sur la carte, il
s ensuit que la carte n est point orientee; et, en effet,
dans les observations que nous avons indiquees, il n y
a rieri qui puissc determiner la position des objets
par rapport aux quatre points cardinaux de I liorizon.
Mais si 1
ingenieur observe a terre Tangle que fait avec
la meridienne un rayon visuel horizontal dirige du
pied de la verticale a un des points places sur la carte,
et s il
rapporte cet angle sur sa projection, il aura la
direction de la meridienne, et la carte sera orientee.
V.
103. Ce que nous avons vu jusqu a present de la
Geometric descriptive, consideree d une inaniere
abstraite, contierit les principales methodes dont on
peut avoir besoin dans les arts.
Si done on avail etabli dans toutes les villes un pen
considerables des ecoles secondaires, dans lesquelles
les jeunes gens de 1
age de 12 ans, et qui se destinenl
a la pratique de quelques-uns des arts, auraient ett
exerces pendant deux annees aux constructions gra
phiques, et familiarises avec les principaux pheno
menes de la nature, dont la connaissance leur esi
indispensable; ce qui, en developpant leur intelligence
et en. leur donnant 1 habilude et le sentiment de h
precision, aurait contribue de la maniere la plus cer
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 9.9
taine aux progres de i lnduttlifl nationaie, et ce qui,
en les accoutumant a 1
evidnuv, les aurait garantis
pour toujours de la seduction dts imposteurs de tous
les genres; et si nous ne nous proposions que de faire
le iivre elementaire qui aurait du scrvir de base a I ins
truction de ces ecoles secondaires, il faudrait termino*
la Its generalites, et passer immediatement aux applications
les plus utiles, et a celles dont 1
usage est le
plus frequent. Mais nous ne devons pas ecrire seulement
pour les eleves des ecoles secondaires, nous
devons ecrire pour leurs professeurs.
On ne doit faire entrer dans le plan d une instruc
tion populaire que des objets simples et d une utiiile
journaliere : mais si im artiste rencontre une seule
fois dans sa vie une difficult^ dont il n ait poin! itquestion
dans les ecoles, a qui s adressera-t-il pour la
lever, si ce n est au professeur ? et comment le professeur
la levera-t-il, s il ne s cst exerce a des conside
rations d une generalite plus grande que celles qui
forment 1
objet ordinaire des eludes ?
Pour donner aux professeurs la connaissance de
quelques proprietes generales de 1
etendue, et dont
on peut avoir occasion de faire usage dans les arts,
nous aliens consacrer quelques lemons a 1 cxamen de
la courburc des courbcs a double courbure, et de celles
des surfaces courbes.
DE LA COURBURE ET DES DfiVELOPPfiES DES COURBES
A DOUBLE COURBURE.
J04. On sait que si une droite, consideree dans un
plan, tuurne autour d un de ses points suppose fixe,
32 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
Ces deux branches se toucheront done elles-memes
en P .
Le point P dans lequel une courbe se reflechit
ainsi, de maniere que ses deux branches se touchent
a ce point, se iiomme point de rebroussement.
La courbe MNP O, sur laquelle s appuie la droite
en ia touchant perpetuellement, s
appeiie la developpee
de la courbe GPP P"!!, parce qu un de ces
arcs quelconques MNP est egal a la partie correspondante
MP de la droite mobile, et la courbe GPP P" H
s
appeiie la developpante de la courbe MNO. Comme
on peut avoir autant de courbes decrites de la meme
maniere que i on peut concevoir de points P, p sur
la droite AB, regardee comme indefmie, il est evident
qu une meme developpee peut avoir une infinite de
developpantes diflerentes, telles que GPP P H,
gpp
f
p"het
toutes ces developpantes ont la propriete
d avoir les memes normales. Nous verrons incessamment
que reciproquement il n y a pas de courbe qui n ait
une infmite de developpees differences.
105. On fait usage dans les arts de quelques deve
loppantes, et principaiement de celle du cercle, qui est
une spirale dont le nombre des revolutions est infmi,
et dont toutes les branches successives sont eloignees
les unes des autres d une quantite constante, egale a
la circonference du cercle developpe. C est suivant
la courbure de cette developpante que Ton coupe les
cames ou dents des arbres tournants qui soulevent
des pilous, comme dans les bocards, parce que le
contact de la came avec le mentonnet du pilon etarit
toujours dans la meme verticale, 1 effort de 1 arbre
GE"OMETRIE DESCRIPTIVE. . )
pour soulevcr le pilon est constamiuent le menu-.
Vaucanson employait souvcnt la spirale developpante
du cercle coinine inoyen d engrenage pour traiismcltiv
le mouvement d un arbre lournant a un autre arbre
qui lui etait parallele, surtout lorsqu il fallait <|iir
1
engrenage fut exact ct transmit subitcment, sans
temps perdu, le mouvement d un arbre a 1 autiv.
106. Nous avons fait voir (104) comment la ch -\ loppante
peut etre fonnee d apres la developpee; il 681
facile de conccvoir comment, a son tour, la develop
pee peut etre formee d apres la developpante. En effet,
nous avons vu que toutes les normales de la develop
pante sont tangentes a la developpee. Si done, par
tons les points P, Q d une courbe proposee GPQP ,
on conceit des normales, la courbe MNO qui touchera
toutes ces normales sera la developpee. De plus, si par
deux points P, Q consecutifs et infimmeiit procbes
on conc,oit deux normales PB, Q&, le point M ou cllt-s
se couperont, pour se croiser au dela, sera sur la deve
loppee; et ce point pourra etre regarde cummc !
(vntro d un ]>etit
arc de cercle qui, etant decrit aver !
rayon PiVl, aurait la ineme courburc qiu; I arc l (
x
) <l,la
courbe que 1 on considere. Le rayon PM du ct-ivlc,
dont la courbure est la meme que celle de I arc inliniment
petit PQ d une courbe, se iiomme le rayon da
courbure de cet arc; le point M ou se coupent les deux
normales conseeutives en est le centre de courbure; et
cette courbure est coniiue lorscjuc la position du
point M est determinee.
107. Jusqu ici nous avons suppose que les courbeb
MU.NUL. II. 3
34 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
etaieiit planes, et nous n avons considere que ce qui
se passe dans leur plan. Nous aliens passer aux courbes
a double courbure, telles que celles qui sont produites
par Finterscction de deux surfaces courbes.
Si Ton concoit une droite meiiee par le centre d un
cercle, pcrpendiculairement a son plan et indefmiment
prolongee de part et d autre, on sail que chacuii
des points de cette droite sera a egales distances de
tous les points de la circonference, que par consequent,
si Ton imagine qu une seconde droite, tcrminee d une
part a un des points de la circonference et de 1 autre
a un point quelconque de la perpendieulaire, tourne
autour de cette derniere comme axe, en faisant constamment
le meme angle avec elle, son extremite mo
bile decrira la circonference du cercle avec la meme
exactitude que si I oii eut fait tourner le rayon autour
du centre. La description du cercle au moyen du rayon,
el qui n est qu un cas parliculier de la premiere, par
sa simplicite est plus propre a donner 1 idee de 1 etendue
du cercle :
mais, s il ne s agit que de description, la
premiere peut dans certains cas avoir de 1
avantage,
parce qu en prenaiit sur 1 axc deux poles places de part
et d autre du plan du cercle, puis menant par ces deux
points deux droites qui se couperaient eii un point de
la circonference, et faisant ensuite mouvoir le systeme
de ces deux droites aulour de 1
axr, de maniere que
leur point d intersection fut fixe sur 1 une et sur 1 autre
droite, ce point decrirait la circonference du cercle,
sans qu il eut ete necessaire d executer auparavant le
plan dans lequel elle doit se trouver.
108. Soit KA a D (fig. 44) une courbe a double
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 35
courbure quelconque tracee dans J
espace. Par
un point A do cette courbe soil COIIQU un plan
MNOP porpendiculaire a la langente en A; par le
point a iiiiinimcnt proche soit pareillemerit imagine
in i
plan wnPO perperidiculaire a la tangente en a;
i: ux plans se coup* rout en une droite OP qui sera
1 axc du cerelc dont le petit arc Aa de la courbe peut
etre cense faire partie : de maniere que si, des points A,
//,
<m abaisse deux perpendiculaires sur cette droite,
ces perpendiculaires, egales entre elles, la rencontreront
en un meme point G qui sera le centre de ce cercle.
Tous les autres points g, g , g",
... de cette droite
seront chacun & egales distances de tous les points de
Tare infiniment petit Aa, et pourront par consequent
en etre regardes comme les poles. Ainsi, si d un point
quelconque g de cet axe on raene deux droites aux
points A, <z,
ces droites gA, ga seront egales entre
elles, et formeront avec Paxe des angles AgO, agO,
egaux entre eux; en sorte que si Ton voulait definir
la courbure de la courbe au point A, il faudrait donner
la longueur du rayon de courbure AG, et que s il
s agissait d assigner le sens de la courbure, il faudrait
donner la position du centre G dans Pespace. Mais s il
est simplement question de decrire le petit arc, il
suffira egalement ou de faire tourner la droite Ag
autour de 1
axe, sans altertr Tangle AgO qu elle fait
avcc lui, ou de faire tourner le rayon de courbure AG
perpendiculairement a cet axe.
Ainsi la droite OP peut etre rejjardee comme la
ligne des poles de Pelement Aa; le centre de courbure
de cet element est celui de ses poles don I la distance
a Pelement est un minimum, en fin son rayon de cour-
36 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
bure est la perpendiculaire AG, abaissee de 1 element
sur la ligne des poles.
109. Que 1 on fasse actuellemerit sur tous les points
de la courbe a double courbure la meme operation que
Ton vient de faire sur un de ses elements, c est-a-dire
que par tous les points consecutifs A, A , A",
A ",
etc.
(fig. 45) 1 on fasse passer des plans MNOP, perpendiculaires
chacun a la tangente de la courbe au
point ou il la coupe; le premier de ces plans rencoiitrera
le second dans une droite OP qui sera le lieu
geometrique des poles de 1 arc AA ;
le second rencontrera
le troisieme dans une droite O P ,
lieu des poles
de 1 arc A A",
et ainsi de suite. II est evident que le
systeme de toutes les droites d intersection, ou la
surface courbe qu elles forment par leur assemblage,
sera le lieu geometrique des poles de la courbe KAD ;
car cette courbe n aura point de pole qui ne soit sur
la surface, et cette surface n aura pas de point qui lie
soit le pole de quelqu un des elements de la courbe.
110. Avant que d aller plus loin, il est necessaire
d exposer quelques proprietes dont jouissent les sur
faces de ce genre, independamment de la courbe qui
a servi a leur formation.
Ces surfaces peuvent se developper sur un plan sans
rupture et sans duplicature. En effet, les elements tels
que OPP O ,
dorit est cornposee la surface, sont des
portions de plans infmiment etroites, et qui se joignent
successivement par des lignes droites. On peut done
toujours concevoir que le premier de ces elements
OPP O tourne autour de O P comme charniere,
GOMETRIE DESCRIPTIVE. 37
jusqu a ce qu il soil dans le plan de 1 element suivant
P P"0"; qu ensuite leur assemblage tourne autour
de O"?*, jusqu a ce qu il soit dans le plan du troisieme
et ainsi de suite. D ou Ton voit que rien n empeche
que de cette maniere tous les elements de la surface ne
viennent sans rupture se ranger dans un meme plan.
De meme que les plans normaux a la courbc KAD,
par leurs intersections successives, ferment une surface
courbe, a laquelle ils sont tous tangents, pareillement
les lignes droites dans lesquelles ils se coupent se rencontrent
successivement dans des points qui forment
une courbe a double courbure, a laquelle toutes ces
droites sont tangentes : car deux de ces droites consecutives
sont les intersections d un meme plan nor
mal, avec celui qui le precede et avec celui qui le suit
immediatement. Ces deux droites sont done dans un
meme plan; elles se coupent done quelque part en un
point, et la suite de tous ces points dc rencontre forme
une courbe remarquable sur la surface developpable.
En effet, les droites consecutives, apres s etre croisees
sur la courbe qui les touche toutes, se prolongent au
dela, et forment par leurs prolongements une nappe
de surface, distincte de la nappe formee par les parties
des memes droites avant leurs rencontres. Ces deux
nappes se joignent sur la courbe qui est, par rapport a
la surface entiere, une veritable arete de rebroussement.
Actuellement, du point A (fig. 45) de la courbc, par
lequel passe le premier plan normal MNPO, soit
menee dans le plan, et suivant une direction arbitraire,
une droite Ag jusqu a ce qu elle rencontre la
section OP quelque part en un point g; par les points A
g, soit menee dans le second plan^normal la droite A g
38 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
prolongee jusqu a ce qu elle rencontre la section O P
en un point g ;
soit pareillement menee A"
g g",
et
ainsi de suite. La courbe qui passe par tous les points g,
g g",
etc. est une developpee de la courbe KAD; car
toutes les droites Ag, A g , A"g"
sont les tangentes
de la courbe gg g", puisqu elles sont les prolongernents
des "elements de cette courbe. De plus, si 1 on congoit
que la premiere, Ag, tourne autour de OP, comme
axe, pour veiiir s appliquer sur la suivante, A g, elle
n aura pas cesse d etre tangen tc a la courbe gg g" ;
et son extremite A, apres avoir parcouru 1 arc AA ,
se
confondra avec 1 extremite A de la seconde. Que Ton
fasse de rneme tourner la seconde ligne, A g ,
autour
de O P ,
comme axe, pour qu elle vienne s appliquer
sur la troisieme, A"g ,
elle ne cessera pas de toucher la
courbe gg g"
et son extremite A ne sortira pas de
Tare A A",
ct ainsi dc suite. Done la courbe gg g"
est telle, que si Ton congoit qu une de ces tangentes
tourne autour de cette courbe sans cesser de lui etre
tangente et sans avoir de mouvement dans le sens de
sa longueur, un des points de cette tangente deerira
a courbe KAD; done elle est une de ses developpees.
Mais la direction de la premiere droite Ag etait arbitraire;
et suivant quelque autre direction qu ori l eut
menee dans le plan normal, on aurait trouve une autrc
courbe gg g" qui aurait ete pareillement une developpee
de la courbe KAD. Une courbe quclconque a done
une infinite de developpees qui sont toutes comprises
sur une meme surface courbe.
Les droites A g et A"g
formcrit des angles egaux
avec la droite O P ;
et 1 element g g"
etant le prolongement
de la droite A*g ,;il s ensuit que les deux ele-
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. >
)
m. -its c<Misecutifs gg , g g"
cle la developpee gg g"
foriiient des angles egaux avec la droite O P qui passe
par leur point de rencontre. Or, lorsqu on developpe la
surface J>OUP
1
appliqucr sur un plan, les elements do
la developpee ne cessent pas de faire les menus angles
ftvec les droites O P ;
done deux elements consecutiis
d<- la courbe gg g",
considered dans la surface etendue
sur un plan, forment des angles egaux avec une meme
ligne droite; done ils sont dans le prolongement 1 un
d" 1 aulre. II suit de la que chaeune des developpees
d une courbe a double courbure devient une ligne
droite, lorsque la surface qui les contient toutes est
etendue. sur un plan; done elle est sur cette surface
!;
plus courte que I mi puisse mriier en I re ses extreiii
it t s.
On deduit de la nil moycn facile d oblcnir une deve
loppee quelconque d une courbe a double courbure,
lorsqu on a la surface developpable qui les contient
toutes. Pour cela, il suffit, par un point de la courbe,
de mener un fil
tangent a la surface et de plier ensniie
ce fil sur la surface en le tendant :
car, en vertu de la
tension, il
prendra la direction de la courbe la plus
courte entre ses extremites; il se pliera par consequent
sur une des developpees.
111. On congoit, d apres cela, comment il est pos
sible d engendrer, par un mouvement continu, une
courbe quelconque a double courbure :
car, apres avoir
execute la surface developpable, touchee par tous les
plans normaux de la courbe, si, du point donne dans
IV -pare et par lequel la courbe doit passer, on dirige
den x fils tangents a cette surface; et si, apres les avoir
4o LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
plies ensuite sur la surface en les tendant, on les fixe
par leurs autres extremites; le point de reunion des
deux fils qui aura la faculte de se mouvoir avec le plan
tangent a la surface, sans glisser ni sur Tun des fils,
ni sur 1
autre, engendrera dans son mouvement la
courbe proposee.
112. Tout ce que nous venons de dire, par rapport
aux courbes a double courbure, convient egalement
aux courbes planes, avec cette difference, seulement,
que tous les plans normaux etant perpendiculaires
au plan de la courbe, toutes les droites de leurs inter
sections consecutives sont aussi perpendiculaires au
meme plan, et par consequent paralleles entre elles.
La surface developpable, touchee par tous ces plans
normaux, est done alors une surface cylindrique, dont
la section perpendiculaire est la developpee ordinaire
de la courbe. Mais cette surface cylindrique contient
de meme toutes les developpees a double courbure
de la meme courbe; et chacune de ces developpees
fait, avec toutes les droites generatrices de la surface
cylindrique, des angles constants. Le filet d une vis
ordinaire est une des developpees de la developpante
du cercle qui sert de base a la surface cylindrique sur
laquelle il se trouve; et quelle que soit la hauteur du
pas de la vis, si le diametre du cylindre ne change pas,
le filet sera toujours une des developpees de la meme
courbe.
113. Apres avoir expose la theorie des courbes a
double courbure, nous allons nous occuper des surfaces
courbes. Get objet est de nature a etre traite avec
GEOMETRIC DESCRIPTIVE. 4 I
beaucoup plus de facilite par le secours de TAnalyse,
que par la simple contemplation dcs proprietes de
i etendue : mais les resultats auxquels il conduit
peuvent etre utiles a des artistes que nous ne devons
pas supposer familiarises avec les operations analytiques;
nous aliens done essayer de les presenter
on n employant que des considerations geometriques.
Cette methode introduira la clarte qui lui est particuliere,
mais aussi elle apportera de la lenteur dans la
marche.
Les surfaces, par rapport a leurs courbures, peuvent
etre divisees en trois grandes classes. La premiere
comprend celles qui dans tous leurs points n ont aucune
courbure; les surfaces de ce genre se reduisent au plan,
qui d ailleurs pcut etre place d une maniere quelconque
dans 1
espace. La seconde classe renferme
toutes celles qui dans chacun de leurs points n ont
qu une seule courbure; ce sont, en general, les sur
faces developpables, dont deux elements consecutifs
peuvent etre regardes comme faisant partie d une sur
face conique, meme en regardant la grandeur de ces
elements comme indefinie dans le sens de la generatrice
de la surface conique. Enfm, toutes les autres sur
faces courbes composcnt la troisieme classe; dans
chacun de leurs points, elles ont deux courbures distinctes
et qui peuvent varier 1 une independamment
de 1 autre. Coinmengons par considerer les surfaces
courbes les plus simples, et d abord les surfaces cylin-
driques.
114. Soit ABFE (fig. 46) une surface cylindrique
indefinie a base quelconque, sur laquelle
4 >LES
MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFiQUE.
on considere un point L pris arbitrairement. Par ce
point concevons la droite generatrice CLG, et line sec
tion JLK faite par un plan perpendiculaire a la gene
ratrice; cette section sera parallele et semblablc a la
base de la surface. En fin, par le point L concevons a la
surface la normale LP; cette iiormale sera perpendicu
laire a la generatrice CG, et par consequent dans le
plan de la section JLK ;
de plus, elle sera perpendicu
laire a la tangente de la section au point L, ou, ce qui
comprend a la fois les deux conditions, elle sera per
pendiculaire au plan tangent a la surface en L. Gela
pose, si 1 on prend sur la surface deux autres points
mfimment. voisins du point L, 1 un M sur la gene
ra !ric(- CG, I autre N sur la section perpendiculaire,
cl si
par chacun de ces points on mene une nouvelle
normale a la surface, ces deux normales MQ, NP
seront chacune dans un meme plan avec Ja premiere
normale LP; mais ces plans seront differents pour les
deux dernieres normales. En effet, le plan tangent a
la surface en L etaut aussi tangent en M, les deux
droit.es LP et MQ sont perpendieulaires au meme plan;
elles sont done parallel es entre elles, et par consequent
dans un meme plan. Ces droitcs paralleles peuvent
etre regardees comme concourant a rinfmi. Quant aux
normales LP, NP, elles sont evidemment comprises
dans le plan de la section perpendiculaire; elles concourent
done en un certain point P de ce plan; ainsi
les deux plans qui contiennent les trois normales deux
a deux sont noil seulement differents, mais perpendiculaires
a I autre.
115. Actuellement, quelque autre point O que 1 on
GEOMETRIE DESCRIPTIVE.
44 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
prenne sur la surface, infiniment voisin du premier
point L, si par ce point on congoit a la surface une
normale OQ, cette normale ne sera pas dans un meme
plan avec la premiere normale LP, et par consequent
ne pourra la rencontrer : car si par le point on congoit
une nouvelle section iOk perpendiculaire a la
surface, et qui coupe quelque part en un point M la
droite generatrice qui passe par le point L, la nor
male OQ sera dans le plan de cette section. Les deux
normales LP ct OQ seront done dans deux plans paral
leles, et ne pourront etre elles-memes dans un meme
plan, a moins qu elles ne soient paralleles entre elles :
or elles ne sont point paralleles. En effet, si Ton congoit
la normale au point M, nous avons vu que cette nor
male MQ sera parallele a LP; mais elle ne sera pas
parallele a OQ : done les normales LP et OQ ne sont
point paralleles entre elles; done elles ne sont pas dans
un meme plan; done elles ne peuvent jamais se ren
contrer.
116. On voit done que si, apres avoir mene par un
point quelconque d une surface cylindrique une nor
male a la surface, on veut passer a un point infiniment
voisin pour lequel la nouvelle normale soit dans un
meme plan avec la precedente, et puisse la rencontrer
meme a 1
infini, si cela est necessaire, on ne peut le faire
que dans deux sens differents : i en suivant la direc
tion de la droite generatrice de la surface, et alors la
nouvelle normale rencontre la premiere a 1 infmi;
2 en suivant la section perpendiculaire ti la surface,
ct alors la nouvelle normale rencontre la premiere en
un point, dont la distance depend de la courbure de la
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 45
base dans le point correspondant; enfin, quo ces deux
directions sont entre elles a angles droits sur la
surface.
Les deux points de rencontre des trois normales sont
done les seuls centres de courbure possibles de I elemrnt
quo 1 on considere sur la surface; les deux plans difl erents,
qui passent par la premiere normale et par
chactme des deux autres, indiquent lr sens de chacune
de ces courbures; les distances du point de la surface
aux deux points de rencontre des normales sont les
rayons des deux courbures; et 1 on voit que dans les
surfaces cylindriques, un de ces rayons etant toujours
infini, tandis que la grandeur de 1 autre depend de la
nature de la base de la surface pour chacun des points,
il n y a qu une courbure finie; 1 autre est toujours
infiniment petite ou nulle.
Ce que nous venons de dire pent s
appliquer facilement
a toutes les surfaces developpables, dont deux
elements consecutifs meme indefinis dans le sens de
la direction de la droite gen eratrice peuvent toujours
etre considered comme faisant partie d une certainc
surface cylindrique. Passons maintenant au cas general
des surfaces courbes quelconques.
117. Soit ABCD (fig. 4?) une surface courbe
quelconque, sur laquelle on considere un point L
pris a volonte, et par ce point soit concue unc
droite FL/ tangente a la surface : la position de cette
droite ne sera pas determinee; elle pourra etre menee
d une nianiere quelconque dans le plan tangent a la
surface au point L. Puis concevoris que la droite F/
se mcuve de maniere qu elle soit toujours parallele a
46 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
elle-meme, et qu elle soit toujours tangente a la sur
face courbe ;
elle engendrera par son mouvement une
certaine surface; cylindrique EegG, dont la base
depeiidra de la forme de la surface courbe, et qui touehera
cette surface dans une courbe LGKAL, erigendree
elle-meme par le mouvement du point de contact de
la droite generatrice avec la surface proposee. Cette
courbe de contact LCKAL est en geneial a double
courbure.
118. Dans le cas tres particulier de la surface courbe
du second degre, c est-a-dire de la surface qui, etant
coupee par un plan quelconque, produit toujours une
section conique, la ligne de contact avec une surface
cylindrique qui 1
enveloppe est toujours une courbe
plane, quelle que soit d aineurs la direction de la generatrice
de la surface cylindrique.
119. Dans le cas un peu plus general oil la surface
courbe est engendree par le mouvement d une ligne
courbe plane, fixe dans son plan, mais mobile avec lui,
lorsqu il roule sur deux surfaces courbes donnees, pour
chaque point de la surface il existe une direction a
donm-.r a la droite generatrice, pour que la surface
cylindrique engendree par le mouvement de cette
droite toucbe la surface courbe dans une courbe plane,
et cette direction doit etre telle, que la droite soit
toujours perpendiculaire au plan mobile, lorsqu il
passe par le point que 1 on considere. Les surfaces de
revolution en sont un cas particuliei. En effet, si par
un point quelconque d une surface de revolution on
conQoit une droite tangente a la surface et perpendi-
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 4?
culaire au plan du meridien qui passe par ce point,
et si Ton suppose que cettc droite sc meuve de maniere
qu elle soil toujours tangente a la surface et perpendiculaire
au plan du meme meridicn, le point de contact
de la ligne avec la surface parcourra la circonfercnce
du meridien, et la droite engendrera une surface cylindrique
qui touchera la surface de revolution dans la
circonference meme du meridien, et par consequent
dans une courbe plane.
120. Pour tout autre cas, une surface cylindrique
i
circonserite a une surface quelconque touche cette
surface dans urn- courbe LCKAL qui est a double
courbure.
La droite FL/ ayani d abord ete menee d une ma
niere arbitraire dans le plan tangent a la surface au
;point L, si par ce point on conceit la tangente LU a la
courbc de contact LCKAL, cette tangente fera avcc
la iigne droitc generatrice FL/ un angle FLU qui
dependra et de la nature de la surface courbe, et de la
direction arbitraire donnee a la droite FL/. Concevons,
ce qui est toujours possible dans chaque cas parfticulier,
que la direction de la droite FL/ change, saris
quc cette droite cesse d etre tangmtc a la surface au
point L, et que, d apres cette nouvelle direction, elle
se meuve parailelcment a elle-meme en touchant
toujours la surface ;
elle engendrera par son mouvement
une autre surface cylindrique circonscrite a la surface,
qui la touchera dans une autre ligne de contact a
double courbure; cette nouvelle courbe de contact
passera encore par le point L, et sa tangente en cc
point fcra, avcc !a nouvelle direction de la droite gene-
48 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
ra trice, un angle different du premier angle FLU. Con
cevons enfin qu on ait ainsi fait varier la direction d
la droite generatrice, jusqu a ce que la surface cylin
drique, engendree par cette droite, touche la surfac
dans une courbe de contact, dont la tangente en 1
soit perpendiculaire a la droite generatrice.
Cela pose, soil (fig. l\.S) une surface courb
quelconque, sur laquelle on considere d abord ui
certain point L; soit FLJ la droite tangente a 1
surface eri L, dont la direction soit prise de manier
que, si on la fait mouvoir parallelement a elle-mem
et sans qu elle cesse de toucher la surface, elle engendr
une surface cylindrique EFGHJK, qui touche la sui
face en une courbe, dont la tangente en L soit perpen
diculaire a FLJ. La ligne de contact de la surfac
cylindrique avec la surface proposee sera une courb
a double courbure; mais au point L son element s
confondra avec 1* element LN de la section GNLD fait
dans la surface cylindrique par un plan perpendicu
laire a la droite generatrice FLJ. Les deux extre
mites L, N, de cet element, se trouvant sur la ligne d
contact, seroiit en meme temps sur les deux surfaces
et si par ces points L, N on rnene deux normales LI
NP a la surface cylindrique, elles seront aussi nor
males a la courbe. Or ces deux normales sont dans 1
meme plan perpendiculaire a la generatrice de la sur
face cylindrique, et doivent se rencontrer quelque par
en un point P, qui est le centre de courbure de Tare LN
done si sur une surface courbe quelconque on preiu
deux points L, N, qui soient places sur la ligne d
contact de cette surface avec la surface cylindriqu
dont la droite generatrice soit perpendiculaire a 1 ele
GEOMETRIE DESCRIPTIVE.
inrnt LN de cette ligne de contact, les norraales a la
surface courbe, menees par ces deux points, seront
dans un meme plan, et se rencontreront en un point
qui sera le centre de la courbure de la surface, dans le
sens du plan qui contient les deux normales.
121. Si sur la droite FLJ on prend un point m infiniment
proche du point L, et si par ce point m on
congoit une normale a la surface cylindrique, cette
normale sera parallele a LP et ne sera pas normale a
la surface courbe. Mais si Ton congoit que dans le plan
de la courbe ALMB, determine par les droites FLJ
et LP, la droite FLJ se meuve sans cesser de toucher
la surface et prenne la position infmiment voisine /i,
de maniere qu elle touche la surface dans un point M
infiniment voisin du point L, et si Ton suppose que
cette droite /Mi se meuve parallelement a ellememe
en touchant toujours la surface, elle engendrera
une nouvelle surface cylindrique efghik, infiniment
peu differente de la premiere, tant pour la forme que
pour la position, et la ligne de contact de cette nou
velle surface cyliridrique passera par le point M. La nor
male MQ a cette surface cylindrique, au point M, sera
aussi normale a la sur . ace courbe; elle sera dans un
meme plan avec la premiere normale LP, puisqu elles
seront toutes deux dans le plan determine par les
droites FLJ, /Mi; et ce plan sera perpendiculaire ;
celui qui passe par les normales LP, NP. Les deux
normales LP et MQ se rencontreront done en un cer
tain point R, qui sera le centre de courbure <!,
Tare LM, et par consequent le centre de la courbuiv
MONGE. II.
5o LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
de la surface dans le sens du plan qui passe par les
droites FLJ, /Mi.
On voit done que si, considerant sur une surface
courbe quelconque un point quelconque L, on conceit
une normale a la surface en ce point, on peut tou ours
passer, suivant deux directions differentes, a un autre
point M ou N, pour lequel la nouvelle normale soit
dans un meme plan avec la premiere, et que ces deux
directions etant dans des plans no maux rectangulaires
entre eux, ellcs sont elles-memes a angles droits
sur la surface courbe.
122. Actuellement, ces deux directions sont en
general les seules pour lesquelles cet effet puisse avoir
lieu; c est-a-dire, que si sur la surface courbe on passe
dans toute autru direction a un point 0, infmiment
voisiri du point L, et que si par ce point on mene a la
surface la normale OQ, cette normale ne sera pas dans
un meme plan avec la normale LP, et ne pourra par
consequent la rencontrer.
En effet, concevons que la scconde surface cylindrique
ait ete inclinee de telle maniere que sa ligne
de contact avec la surface passe par le point 0;
1 arc OM de cette ligne de contact se confondra avec
Tare de la section C OMD perpendiculaire a la surface
cylindrique ;
les deux i ormales en et en M a la
surface seront aussi normales a la surface cylin
drique, elles seront dans le plan de la section perpen
diculaire ;
elles se rencontreront quelque part en
un point Q : mais la normale OQ ne rencontrera pas
la normale LP; car pour que ces deux normales se
rencontrassent, il faudrait que le point Q de la nor-
GE"OMETRIE DESCRIPTIVE. 5i
male comcidat avec le point R, dans lequel cette normale
rencontre LP; ce qui en general n arrive pas,
parce que cela suppose une egalil.e entn- Irs courbures
des deux arcs LM el LN, et ce qui ne peut avoir lieu
que pour certains points de quelques surfaces courbes.
Par exemple, la courbure de la surface de la sphere
etant la meme dans tous les sens, suivant queljjue
direction que 1 on passe d un de ses points a un autre
infiniment proche, les normales menees par ces deux
points sont toujours dans un meme plan; et cette
surface est la seule pour laquelle cette propriete convienne
a tous les points. Dans les surfaces de revolu
tion pour lesquelles a courbe generatrice coupe 1 axe
perppruiiculairement, la courbure au sommet est encore
la meme dans tous les sens, ct deux normales consecutivos
sont loujours dans un meme plan; mais cette
propriete n a lieu que pour le sommet. Enfm il existe
des surfaces courbes, dans lesquelles cette propriete
a lieu pour une suite de points qui forment une certaine
courbe sur la surface : mais cela n arrive que pour
les points de cette courbe; et pour tous les autres
points de la surface, la nouvelle normale ne peut rencontrer
la premiere, a inoins que le point de la surface
par lequel elle passe no soit pris suivant Tune des deux
directions que nous avons defmios.
123. II suit de la qu en general une surface quelconque
n a, dans chacun de ces points, que deux cour
bures; que chacune de ces courbures a son centre particulier,
son rayon particulier, et que les deux arcs sur
lesquels se prennent ces deux courbures sont a angles
droits sur la surface. Lrs cas particulars
52 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
comme dans la sphere, et dans les sommets de surfaces
de revolution, deux normales consecutives quelconques
se rencontrent ne sont pas une exception a cette pro
position. II resulte seulement que pour ces cas les deux
courbures spnt e ales entre elles, et que les direelions
suivant lesquelles on doit les estimer sont indifTe-
rentes.
124. Quoique les deux courbures d une surface
courbe soient assujeties 1 une a 1 autre par la loi de
la generation de la surface, elles eprouvent d un point
de la surface a 1 autre des variations qui peuvent
etre dans le meme sens ou dans des sens contraires.
Nous ne pouvons pas entrer, a cet egard, dans de tres
grands details, qui deviendraient beaucoup moins
penibles par le secours de 1
Analyse; nous nous contenterons
d observer que pour certaines surfaces, telles
que les spheroides, dans chaque point les deux cour
bures sont dans le meme sens, c est-a-dire qu elles
toiirnent leurs convexites du meme cote; que pour
quelques autres surfaces, dans certains points, les
deux courbures sont dans des sens opposes, c est-adire
que 1 une presente sa concavite et 1 autre sa convexite
du meme cote (la surface de la gorge d une
poulie est dans ce cas); que pour quelques autres sur
faces dans tous les points, les deux courbures sont dans
des sens opposes (la surface engendree par le mouvement
d une ligne droite, assujetie a couper toujours
trois autres droites donnees arbitrairement dans
1
espace, est dans ce cas); enfm que dans une surface
particuliere ces deux courbures opposees sont, pour
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 53
chaque point, egales entre elles. Cette surface est
celle dont Paire est un minimum.
125. Passons maintenant a quelques consequences
qui suivent des deux courbures d une surface courbe,
et qu il est important de faire connaitre aux artistes.
Soit (fig. 4o) Ilne portion de surface courbe
quelconque, sur laquelle nous considerions uri
point L pris arbitrairement, et soit congue la normale
a la surface en L. Nous venons de voir que Pon pcut
passer, suivant deux directions difTerentes, du point L
a 11 ;i autre M ou L , pour lequel la riouvelle normale
rencontre la premiere, et que ces deux directions sont
a angles droits sur la surface. Soient done LM et LI/
ces deux directions rectangulaires en L. Du point M
on pourra de meme passer dans deux directions difTe
rentes a un autre point N ou M , pour lequel la nor
male rencontre la normale en M, et soient MN, MM
ces deux directions rectangulaires en M. En operant
de meme pour le point N, on trouvera les deux direc
tions NO et NN rectangulaires en N; pour le point 0,
on aura les deux directions OP, 00 ,
et ainsi dc suite.
La serie des points L, M, N, 0, P, etc., pour lesquels
deux normales consecutives sont toujours dans un
plan, formera sur la surface courbe unc ligne courbe,
qui indiquera perpetuellement le sens d une des deux
courbures de la surface, et cette courbe sera une ligne
de premiere courbure, qui passera par le point L. Si Ton
opere pour le point L ,
comme on Pa fait pour le
point L, on pourra d abord passer, suivant deux direc
tions rectangulaires, a un nouveau point M ou L",
pour lequel la nouvelle normale rencontre la normale
54 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
en I/, ct Ton trouvcra de meme une nouvelle serie de
points L ,
M ,
N , ,
P , etc., qui formeront sur la
surface courbe une autre ligne de premiere courbure,
qui passera par le point L . En operant de meme pour
la suite des points L",
I/ ,
Llv
,
. .
., trouves cormne L ,
L",
on aura de nouvelles lignes de premiere courbure ...
L" M" N" 0"
P",
L "
W" W "
P ", etc., qui passcront
par les points respectifs L",
I/ ,
Liv
, etc., et qui diviseront
la surface courbe en zones. Mais la suite des
points L, L , I/, L;//
, etc., pour lesqueis deux iiormales
consecutives sont encore dans un plan, formera sur la
surface courbe une autre courbe qui indiquera perpetuellcment
le sens de J autre courbure de la surface,
et cette courbe sera la ligne de seconde courbure; M,
M , M",
Mw
,
etc. formera une autre ligne de seconde
courbure, qui passera par le point M; la serie des
points N, N , N",
N/;/
,
etc. formera une nouvelle ligne
de seconde courbure qui passera par le point N, el
ainsi de suite, et toutes les lignes de seconde courbure
diviseront la surface courbe en d autres zones. Enfin
toutes les lignes de premiere courbure couperont a
angles droits toutes les lignes dc seconde courbure, et
ces deux systemes de lignes courbes diviseront la sur
face en elements rectangulaires ;
et cet effet aura lieu,
non seulement si ces lignes sont infiniment prochcs,
comme nous 1 avons suppose, mais meme quand cellcs
d un meme systeme scraient a des distances finies
les unes des autres. Avant que d aller plus loin, nous
allons en apporter un exemple, avec lequel on est deja
familiarise.
126. Si Ton coupe une surface quelconque de revo-
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 55
lution par une suite de plans menes par 1
axr, on aura
une suite de sections qui seront Its lignes d une des
courbures de la surface; car pour qu une courbe soit
ligne de courbure d une surface, il faut qu en chacun
de ses points 1 element de surface cylindrique, qui
toucherait la surface dans 1 element de la courbe, ait
sa droite generatrief ])orp<-ndiculaire
a la courbe ;
or
cette condition a evidemment lieu ici, non seulement
(ii chaque point de la courbe pour un element de sur
face cylindrique particuliere, ce qui serait suffisant,
inais meme par rapport a toute la courbe pour une
memo surface cylindrique. De plus, si 1 on coupe la
mcme surface de revolution par une suite de plans
perpendiculaires a 1
axe, on aura une seconde suite
de sections, qui seront toutes circulaires et qui seront
les lignes de 1 autre courbure; car si, par un point quelconque
d une de ces sections, on congoit la tangente
au meridien de la surface, et si Ton suppose que celle
tangente se meuve parallelement a elle-meme pour
engendrer 1 element d une surface cylindrique tangent
a la surface de revolution, 1 element de la surface
cylindrique touchera cette surface dans 1 arc de cercle,
et cet arc sera perpendiculaire a la droite genera trice.
Ainsi, sur une surface quelconque de revolution, les
lignes de courbure sont, pour une espece de courbure,
les meridiens de la surface, et pour 1 autre courbure,
les paralleles; et il est evident que ces deux suites de
courbes se coupent toutes a angles droits sur la surface.
127. Si par tous les points d une des lignes de
courbure LMNOP (fig. 40) d une surface courbe
on conQoit des normales a la surface, nous avons vu
56 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
que la seconde normale rencontrera la premiere en
un certain point, que la troisieme reneoiitrera la
seconde en un autre point, et ainsi de suite; le systeme
de ces normales, dont deux consecutives sont toujours
dans un meme plan, forme done une surface developpable,
qui est partout perpendiculaire a la surface
proposee et qui la coupe suivant la ligne de courbure.
Cette ligne de courbure etant elle-meme partout per
pendiculaire aux normales qui composent la surface
developpable est aussi une ligne de courbure de cette
derniere surface. L arete de rebroussement de la sur
face developpable, arete qui est formee par la suite
des points de rencontre des normales consecutives, et
a laquelle toutes les normales sont tangentes, est une
des developpees de la courbe LMNOP; elle est le lieu
des centres de courbure de tous les points de cette
courbe, et elle est aussi celui des centres d une des
courbures de la surface pour les points qui sont sur la
ligne LMNOP. Si Ton fait la meme observation pour
toutes les autres lignes de courbure de la meme suite,
telles que Lr
M N P ,
L" M" N" 0"
P", etc., toutes
les normales de la surface courbe pourront etre regardees
comme composant une suite de surfaces developpables,
toutes perpendiculaires a cette surface, et
le systeme des aretes de rebroussement de toutes les
surfaces developpables formera une surface courbe
qui sera le lieu de tous les centres d une des courbures
de la surface proposee.
Ge que nous venons de remarquer pour une des deux
courbures de la surface a egalemeiit lieu pour 1 autre.
En effet, si par tous les points L, I/, L",
L", ...,
d une des lignes de 1 autre courbure, on congoit des
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 57
normales a la surface, ccs droites seront consecutivcn
it nt deux a deux dans uii meme plan; leur systeme
formera une surface developpable, qui sera partout
perpendiculaire a la surface proposee, et qui la rencontrera
dans la ligne dc courburc LI/ L" L",
. . .
qui sera elle-meme une ligne de courburc de la sur
face developpable. L arete de rebroussement de cette
dernierc surface sera le lieu des centres de courbure
de la ligne LI/ L" L ",
. . .
,
et en meme temps celui des
centres de seconde courbure de la surface proposee,
pour tons les points de la ligne LL L" L",
.... II en
sera de meme pour toutes les normales menees par les
points des autrcs lignes de courbure MM M" M",
. .
.,
N N N" N ",
En sorte que toutes les normales
de la surface courbe proposee pourront etre regardees
de nouveau comme composant une seconde suite de
surfaces developpables, toutes perpendiculaires a cette
surface, et le systeme des aretes de rebroussement
de toutes les nouvelles surfaces developpables for
mera une seconde surface courbe, qui sera le lieu des
centres de la seconde courbure de la premiere.
128. Dans quelques cas pariiculiers, les surfaces
des centres des deux courbures d une meme surface
courbe sont distinctes, c est-a-dire qu elles peuvent
etre engendrees separement, ou qu elles out leurs
equations separees. On en a un exemple dans les sur
faces de revolution, pour lesquelles une de ces sur
faces se reduit a 1 axe meme de rotation, et pour
lesquelles 1 autre est une autre surface de revolution
engendree par la rotation de la devcloppee plane du
meridien autour du meme axe. Mais le plus souvent,
58 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
et dans le cas general, ces deux surfaces ne sent point
distinctes, elles ne peuvent etre engendrees separement;
elles ont la meme equation, et elles sont deux
nappes diflerentes d une meme surface courbe.
129. On voit. done que toutes les normales d une
surface courbe peuvent etre considerees comme les
intersections do deux suites de surfaces developpables
telles, que chacune des surfaces developpables ren
contre perpendiculairemeiit la suiface proposee et
la coupe suivant une courbe, qui est en meme temps
ligne de courbure de cette surface ct ligne de courbure
de la surface developpable, et que chacune des sur
faces developpables de ia premiere suite coupe toutes
celles de la seconde suite en ligne droite et a angles
droil.s.
130. Voyons actuellement que1 quea exemples de
1 utilite dont ces generalites peuvent etre dans cer
tains arts. Le premier exemple sera pris dans 1 Archi-
tecture.
Les voutes construites en pierres de taille sont com
posees de pieces distinctes auxquelles on donne le
nom generique de voussoirs. Ghaque voussoir a plusieurs
faces qui exigent la plus grande attention dans
1 execution : i la face qui doit faire parement et qui,
devant etre une partie de la surface visible de la voute,
doit etre executee avec la plus grande precision^
cette
face se nomme douelle; 2 les faces par lesquelles les
voussoirs consecutifs s
appliquent les uns contre les
autres, on les nomme generaleinent joints. Les joints
exigent aussi la plus grande exactitude dans leur
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. ><)
execution; car la pression se transinettaiit d un voussoir
a 1 autre perpendiculairt mcnt a la surfaces du
joint, il est necessaire que Ics deux pierres be touch* ni
par le plus grand nombre possible do points, a fin que
*
pour chaque point de contact la pression soit la
moindre, et que pour tous elle approche le plus de
1
egalite. II faut done que dans chaque voussoir les
joints approchent le plus de la veritable surface dont
ils doivent faire partie; et pour que cet objet soit plus
facile a remplir, il faut que la surface des joints soit
de la nature la plus simple et de 1 execution la plus
susceptible de precision. C est pour cela que Ton fait
ordinairement Jos joints plans, mais les surfaces de
toutes les voiitcs ne comportent pas cette disposition,
et dans quelques-unes on blesserait trop les conve
nances dont nous parlcrons dans uri moment, si Ton
ne donnait pas aux joints une surface courbe. Dans ce
eas, il fauL choibir parmi toutes les surfaces courbes,
qui pourraient d ail eurs satisfaire aux autres condi
tions, celles dont la generation est la plus simple et
dont 1 execution est plus susceptible d exactitude. Or,
de toutes les surfaces courbes, celles qu il est plus
facile d execuler sont celles qui sont engendrees par
le mouvement d une ligne droite, et surtout les sur
faces developpables; ainsi, lorsqu il est necessaire que
les joints des voussoirs soient des surfaces courbes,
on les compose, autant qu il est possible, de surfaces
developpables.
Une des principales conditions auxquelles la forme
des joints des voussoirs doit satisfaire, c est d etre
partout perpendiculaircs a la surface de la voute que
ces voussoirs composent. Car, si les deux angles qu uii
60 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
ineme joint fait avec la surface de la voute etaient sensibJement
inegaux, cclui de ces angles qui excederait
Tangle droit serait capable d une plus grande resis
tance que 1 autre; et dans Faction que deux voussoirs
corisecutifs exercent Tun sur 1
autre, Tangle plus petit
que Tangle droit serait expose a eclater, ce qui, au
moins, deformerait la voute, et pourrait meme alterer
sa solidite et diminuer la duree de Tedifice. Lors done
que la surface d un joint doit etre courbe, il convient
de Tengendrer par une droite qui soit partout perpendiculaire
a la surface de la voute ;
et si Ton veut de plus
que la surface du joint soit developpable, il faut que
toutes les normales a la surface de la voute, et qui
composent, pour ainsi dire, le joint, soient consecutivement
deux a deux dans un meme plan. Or nous
venons de voir que cette condition ne peut etre
remplie, a moins que toutes les normales ne passerit
par une meme ligne de courbure de la surface de la
voute; done, si les surfaces des joints des voussoirs
d une voute doivent etre developpables, il faut necessairement
que ces surfaces rencontrent celle de la
voute dans ses lignes de courbure.
D aillems, avec quelque precision que les voussoirs
d une voute soient executes, leur division est toujours
apparente sur la surface; elle y trace des lignes tres
sensibles, et ces lignes doivent etre soumises a des lois
generales et satisfaire a des convenances particulieres,
seloii la nature de la surface de la voute. Parmi les
lois generales, les unes sont relatives a la stabilite,
les autres a la duree de Tedifice; de ce nombre est la
regie qui prescrit que les joints d un meme voussoir
soient rectangulaires entre eux, par la meme raison
CEOMETRIE DESCRIPTIVE. C.I
qu ils doivent etre eux-memes perpendiculaires a la
surface dc la voute. Aussi les lignes de division des
voussoirs doivent etre telles, quo, cellos qui divisent
la voute en assises soient toutes perpendiculairea a
celles qui divisent une meme assise en voussoirs. Quant
aux convenances particulieres, il
y en a de plusieurs
sortes, et notre objet n est pas ici d en faire remunera
tion; mais il
y en a une principale, c est que les lignes
de division des voussoirs qui, comme nous venous de
le voir, sont de deux especes, et qui doivent se rencontrer
loutes perpendiculairement, doivent aussi
porter le caractere de la surface a laquelle cllcs appartiennent.
Or, il n existe pas de ligne sur la surface
courbe qui puisse remplir en meme temps toules ces
conditions, que les deux suites dc lignes de courbures,
et elles les remplissent completcmrnt. Ainsi la division
d une voute en voussoirs doit done toujours etre failc
par des lignes de courbure de la surface de la voute,
et les joints doivent etre des portions de surfaces developpables
formees par la suite des normales a la sur
face qui, considerees consecutivement, sont deux a
deux dans un meme plan; en sorte que, pour chaque
voussoir, les surfaces des qualre joints, et celle de la
voute, soient toutes rectangulaires.
Avant la decouverte des considerations geometriques
sur lesquelles tout ce que nous venons de dire
est fonde, les artistes avaient un sentiment confus des
lois auxquelles elles conduisent, et, dans tous les cas,
ils avaient coutume de s y conformer. Ainsi, par
exemple, lorsque la surface de la voute etait de revo
lution, soit qu elle fut en spheroide, soit qu elle fut
en berceau tournant, ils divisaient ses voussoirs par
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
des meridiens et par des paralleles, c est-a-dire par
les lignes dc courbures de la surface de la voute.
Lcs joints qui correspondaient aux meridiens etaient
des plans menes par 1 axe de revolution; ceux qui
correspondaient aux paralleles etaient des surfaces
coniques de revolution autour du rneme axe; et ces
deux especes de joints etaient rectangulaires entre
eux et perpendiculaires a la surface de la voute. Mais
lorsque les surfaces des voutes n avaient pas une gene
ration aussi simple, et quarid leurs lignes de courbure
ne se presentaient pas d une maniere aussi marquee,
comme dans les voutes en spheroides allonges et dans
un grand nombre d autrcs, les artistes ne pouvaient
plus satisfaire a toutes les convenances, et ils sacrifiaient,
dans chaque, cas particulier, celles qui leur
presentaient les difficuJtes les plus grandes.
II serait done convenable que dans chacune des
ecoles de Geometric descriptive etablie dans les departements,
le professeur s occupat de la determination
et de la construction des lignes dc courbure des sur
faces employees ordinairement dans les arts, afm que,
dans le besoin, les artistes, qui ne peuvent pas consacrer
beaucoup de temps a de semblables recherches,
pussent les consultcr avec fruit et profiler de leurs
resultats.
131. Le second exemple que nous rapporterons sera
pris dans Fart de la gravure.
Dans la gravure, les teintcs des differentes parties
de la surface des objets representes sont exprimees
par des hachures que 1 on fait d autant plus fortes
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 63
ou d autant plus rapprochees, que la teintc doit etre
plus obscure.
Lorsquc la di a lamirlle la gravure doit elre
vue est asscz grande pour qm- it-s trails individuals
de la hachurc nr s.n,>nt
pas apiTcus, le ^onrc dc la
liachure est a pen pres indifferent, <-t, quel que soit
le contour de ses traits, Partis I e prut toujours les
forcer et les multiplier de maniere a obtenir la teinte
qu il desire et a produire 1 efTet demande. Mais,
et c est le cas le plus ordinaire, quand la gravure est
destinee a etre vuc d assez pres pour que Irs contours
des traits de la hachure soient apt rgus, la forme de
ces contours n est plus indiflereiiue. Pour chaque
objet, et pour chaque parlie de la surface d un objet,
il
y a des contours de hachures plus propres que tous
les autres a donner une idee de la courbure de la sur
face; ces contours particuliers sont toujours au nombre
ilf.
iloiix, rt quelquefois les graveurs les
emploicnt tous
di-ux a la fois, lorsque, pour forcer plus facilement
(("urs
teintes, ils croiscnt les hachures. Os COD OPT.,
dont les artistes n ont encore qu un sentiment confus,
sont les projections des lignes de courbure de la sur
face qu ils veulent exprimer. Comme les surfaces de
la plupart des objets nc sont pas susceptibles de defi
nition rigoureusc, leurs lignes dc courbure nc sont pas
de nature a etre determinees, ni par le calcul, ni par
des constructions graphiques. Mais si, dans leur jeune
age, les artistes avaient etc exerces a rechercher les
lignes de courbure d un grand nombre de surfaces
differentes et susceptibles de definition exacte, ils
seraicnt plus sensibles a la forme dc ces lignes et a Iriir
position, meme pour Irs objets moins determines ;
ils les
64 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
saisiraient avec plus de precision, et leurs ouvrages
auraient plus d expression.
Nous n insisterons pas sur cet objet qui ne presente
peut-etre que le moindre des avantages que Ics arts
et 1 industrie retireraient de I etablissement d une
ecole de Geometric descriptive dans chacune des principales
villes de France.
THEORIE DES OMBRES
I)K LV PERSPECTIVE
(Extrait des Lecons ineditex de M. Monge,
par M. RRISSO.V, ingenieur des Fonts et Chaussees.)
132. Apres avoir expose les principes generaux a
1 aide desqucls on resout les differentes questions
qu embrasse la Geometric descriptive, il est convenable
d en faire connaitre quelques applications. Nous
nous proposons de nous occuper d abord de la deter
mination des ombres dans les dcssins, et ensuite de la
perspective.
Dans une ecole destines a repandre les methodes de
la Geometric descriptive, il serait convenable que les
eleves cominencassent, les applications de ces methodes
par Tetude de la coupe des pierres et de la
cbarpente. La correction rigoureuse des epures, que
comporte ce genre de recherches, accoutume 1
esprit
et la main a plus de precision; les problemes qui se
presentent sont plus varies en general et ofTrent plus
d exercice a la sagacite. Mais dans un cours specialemcnt
consacre a la Geometric descriptive propreMONGK.
II. 5
66 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENT1FIQUE.
ment dite, il est naturel de prendre pour premier objet
d application la Theorie des Ombres, qui doit etre
regardee comme le complement de cette science.
On a dit que la Geometric descriptive doit etre envisagee
sous deux points de vue. Sous le premier, on la
considere comme un moyen de rccherches pour arriver,
avec precision, a des resultats dont on a besoin; et
c est ainsi que 1
emploient la coupe des pierres et la
charpente. Sous le second, elle est simplement un
moyen de representer les objets; et dans ce cas, la
determination des ombres est pour elle un auxiliaire
avantageux.
Les personnes qui sont au courant des mcthodes
de cette science saveiit qu une projection seule ne
suffit pas pour definir un objct; qu il faut neccssaireinent
deux projections, parce qu il
y a toujours sur un
plan une des dimensions qui manque, mais qu au
moyen de deux projections, les trois dimensions se
trouvent determinees. Lors done que Ton considere
la description d un objet faite completement au moyen
de ses deux projections, on doit comparer la projection
horizontale avec la projection verlicale; et c est de
cette perpetuclle comparaison que 1 on deduit la connaissance
de la forme de 1
objet propose.
Quoique la melliode des projections soit facile et
qu elle ne soit pas depourvue d un genre particulier
d elegance, cependant cette obligation, de comparer
sans cesse deux projections 1 une a 1
autre, est une
fatigue qu on peut diminuer considerablement par
Pindication des ombres.
Supposons, en efTet, que 1 on ait une projection
horizontale, comprenant toutes les dimensions en Ion-
GEOMETRIC DESCRIPTIVE.
gueur et en largeur, mais qui nc determine en ri
(limn -<iuns ru liuiilnir; si I oii admct quo ies corps
s d une maniere bien oomuir (>{.
i! con-
!
d adopter en g neral !a maniriv !a plus jiuluivilo,
e^llr av< <
Inqurlli nous SOIMMK s !
pins iannliaris<V),
jurd<-> rayons do !iimi(To parallrh- ,
par i
XditpV, c. s
corp -rhr oinbiv Its ims sur
les autrcs et sur le plan horizontal au-dessus duquel
Us s,iit jt!a(M-s; ri par le moyon de 1 etcndue des
ombres ct dc leurs formes, on jugcra itnm^diatement
des dimensions verticah-s. Ainsi, la direction
rayons c! etant connue, on n a pas besoin de
deux projections : ime seule, avec lc* trace des ombres,
donnera une idee complete de 1 objet que Ten corisi.
i
si Ton a la projection horizontale ct la projection
vertical^, 1 une et 1 autre avcc les ombres cons-
I
mites, ces deux projections seront lire,
.i:>nlrcront
plus facilement 1
objet que si Ton
n avail que les projections mi"S et sans ombr .
.
\insi, pour tous les arts ou il s agit de reprcseulir
des objets, ou la Geometric descriptive n est pas em]!iyoe
comme moyeii de recherches, mais <
r .
sition, la determination des ombres est avantageuse
et rend plus parfaite la representation que Ton sc pro
pose dc tracer.
La determination des ombres comprcnd deux parties
distinctes, 1 une est la description graphiquo du con
tour des ombres, 1 autre est la recherche do 1 i
site des teintes a attribucr a chaque par tie des sur
faces qui reyoivent ces ombres.
Nous nous occuperons d abord de la premiere partie,
de celle qui est relative a la description graphique.
68 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
DE LA DESCRIPTION GRAPHIQUE DES OMBRES.
133. La theorie des ombres est entierement fondee
sur un phenomenc que tout le monde connait, c est
que la lumiere se propage en ligne droite. Nous sommes
si accoutumes a cette proposition, que toutes les fois
qu on cherche a verifier si une ligne est droite, on la
compare a un rayon de lumiere. Veut-on s assurcr
qu une regie est droite, on la compare, dans toute sa
longueur, avec Je rayon de lumiere passant par ses
deux extremites >
cherche-t-on a savoir si une
rangee d arbres est alignee, on se place de maniere
que le rayon de lumiere qui vient d une extremite dc
cette rangee jusqu a 1 ceil passe le long des arbres,
et si tous sont places exactement le long de ce rayon,
on reconnait qu ils sont parfaitement alignes.
Nous admettons done, comme principe, que la luiniere
se repand en ligne droite. II faut cepcndant
observer que cette proposition n est rigoureusement
vraie que quand le milieu dans leqnel la lumiere se
rneut est d une densite uniforme; mais dans les appli
cations aux arts que nous avons ici uniquement en
vue, on a rarement besoin de considerer les rayons de
lumiere comme prolonges a une grande distance, et
traversant des milieux de densites sensiblement difTerentes
: il nous sera done permis de supposer les mi
lieux uniformes et les rayons de lumiere rigoureuse
ment en ligne droite.
Nous distinguerons deux cas : celui ou 1
espace est
eelaire par un point lumineux unique et celui ou il est
CEOMETRIE DESCRIPTIVE. (xj
eelaire par un corps lumineux dc dimensions iijii nous
corisidererons d abord Ic premii r cas.
Le point liunim ux lance dans tons les sens dcs
rayons de lurniere, dont 1 cnsemble occupe entierement
1
espacc, si aucun corps ne s ofTre pour les arretcr
dans leur direction : il n en sera pas de memo s il BC
trouve un corps opaque, c esl-a-dire qui nc soil pas
penetrable aux rayons dc la lumiere, qui les arrete ou
It s reflechisse en lout ou en partie; les rayons qui ne
If ivncontreront pas continueront de se repandre
dans 1
espace; mais ceux sur la direction desquels il
est place seront arretes et ne s etendront pas dans la
partie de 1
cspace qui est au dela, rt <jui, par 1 internitsition
du corps, s< ra ainsi privee de lumierc.
Concevez une surface conique ayant son sommel. an
point liuniiieux ct enveloppant le corps opaque, el
supposez-la prolongee indefmiment; ellc sera au dela
du co^rps opaque, la limite dc la partie de Tespace dans
laquelle penetrent les rayons envoyes par le point
lumineux et de celle ou il rie saurait en arriver aucun.
Cette derniere partie, privee de lumiere par 1
interposition
du corps opaque, est ce qu on appelle rombre
de ce corps; telle est du moins la definition de ce qu on
entend par le mot ombre, lorsqu en parlant d une
eclipse de Lime, par exemple, on dit que la Lune entre
dans Tombre de la Tcrrc. Le Soleil est le corps lumi
neux duquel les rayons parlent et se repandent dans
toutes les directions; la Terre est le corps opaque qui
intercepte une portion de ces rayons; et deriiere elle,
par rapport au Soleil, il se trouve une partie de Tespace
privee de lumiere. Tant que la Lune est hors de cette
partie, elle est eclairee et renvoie de la lumiere, elle
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
est visible; mais du moment qu elle y entre, elle ne
regoit plus de lumiere, n en renvoie plus et devient
invisible.
Dans ie laiigagc ordinaire loutefois, ce n cst pas la
ce qu on entend le plus souvent par le mot ombre,
lorsque par exemple en se promenant au Soleil on
remarque que les ombres sont courtes a midi. Dans
cette acception, 1 ombre n est point 1
cspace prive de
lumiere par I interpqsition d un corps qui arretc line
partie dcs rayons lances par le point lumineux, mais
c est la projection dc cet espace sur la surface qui la
regoit ;
c est dans ce dernier sens que nous emploierons
habituellemont ce mot.
Supposons que le point lumineux soit a une distance
infmie; les rayons de lumiere qui vicndront de la
jusqu a nous seront paralleled entre eux, a pcu pres
comme nous le paraissent ceux du Soleil. Dans cette
hypothese, a laquelle nous nous arreterons d abord,
on peut considerer deux cas, celui dans lequcl le corps
opaque, qui porte ombre, est termine par dcs surlaces
planes, et par consequent par des aretes rectilignes et
par des sommets d angles solides, et celui ou il est ter
rain e par dcs surfaces arrondies. Nous commencerons
par nous occuper du premier qui est extremement
simple,
Si le corps qui regoit la lumiere et qui porte ombre
e :
t terraine par des faces planes, on congoit aisement
ju uiie partie de ces faces est eclairee, que Fautre est
o )):cure, et que la ligne qui, sur cc corps, separe la
partie eclairee de celle qui ne 1 est pas est formee par
I ensemble des aretes rectilignes d intersection des
faces obscures et des faces eclairees; cette ligne est
GEOMETRIE DESCRIPTIVE!. 71
facile a trouver, ct c est elle qui determine le contour
de 1 ombre cherchee. Si Ton con^oit que le corps opaque
vienne a disparaitre, mais que cette meme lignc con
tinue de subsister, et qu on lui suppose une epaisseur
sensible, 1 ombre de cette ligne, tracee sur la surface
qui doit la recevoir, sera le contour de 1 ombre du
corps. On voit que dans le cas que nous considerons,
le problemc se reduit a trouver 1 ombre de certaines
lignes droites connues de position.
Pour fixer les idees et rendre ce qui preeeur plus
sensible, supposons que le corps qui porte oinluv.
soit le parallelepipede ABCDabcd (fig. 5o), quo
la direction des rayons de lumiere, paralleles entre eux,
suit indiquee par L/, et que le plan MN soit la surface
qui doit recevoir 1 ombre. On juge immediaternent,
d apres la direction des rayons de lumiere, que les
faces ABCD, AI3a, AD ad sont eclairees, et que les
faces DCefc, CBc6 et abed ne le sont pas; que les
aretes DC, CB, B&, &a, ad et d\) sont les limites de la
partie eclaireeetde la partie obscure. Les ombres D C ,
G B ,
B b ,
b a ,
a d et d Dr
de ces six aretes, sur le
plan MN, forment le contour ou les limites de 1 ombre
du parallelepipede; les ombres des six autres aretes,
tombant dans 1 interieur de 1 aire eiiveloppee par ce
contour, sont confondues dans Toinbre totale du corps
propose.
En general, quand il s agit de corps termines par des
surfaces planes, les aretes limites, ou qui separerit les
faces eclairees des faces obscures, se distinguent imme
diaternent ou sont faciles a determiner; et plus tard
nous indiquerons un moyen simple de les reconnaitre
surement, si dans quelques circonstances leur position
72 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
Fig
^^*^-^vv ,. .-,.-.:_, ~^< .~ ^\ , ,
GEOMETRIE DESCRIPTIVE.
pouvait laisser de I incertitude. La question se borne
done, comme nous 1 avons deja dit, a trouver 1 ombiv
d un certain assemblage de lignes droites comiucs de
position.
Cherchons en premier liou i ombre d une de ces
droites. Nous observerons que le corps qui porte
ombre etant connu de forme et de position par rap
port aux plans de projection, les aretes qui torininrnt
ses faces sont egalement connues par rapport a ces
menu s plans, c est-a-dire qu on a ou qu on pent
trouver leurs projections horizontals et verticales.
Supposons que 1
objet lumineux soil un point uniqix
1
place a une distance infinie; la direction des rayons de
lumiere, dans ce cas, sera donnee par la projection
horizontale et verticale d une ligrie droite a laquclle
ils devront tous etre paralleles. Les rayons de lumicre
qui rencontrent la droite dont nous cherchons a deter
miner 1 ombre forment un plan, dont la position, par
rapport aux plans de projection, resulte de la condi
tion de passer par la droite proposee et d etre parallele
a la direction de la lumiere. Ce plan, prolonge, contieiit
evidemment 1 ombre de la droite ; ou, si Ton considere
le corps dont cette droite cst une dcs aretes, il
separe la partie eclairee de 1
espace de celle que 1 interposition
de ce corps prive de lumiere. Ce meme plan
va rencontrer la surface sur laquelle 1 ombre est regue,
suivant une certaine ligne qui est 1 ombre portee par
la droite sur cette surface, ou qui appartient au con
tour de 1 ombre du corps propose. La surface etant
connue et determinee par rapport aux plans de pro
jection, on pourra toujours construire son intersection
avec le plan que nous avons conQu, et parvenir ainsi
74 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
a connaitre completement cette partie du contour de
Fombre cherchee.
Ce que Ton aura fait pour une premiere arete du
corps qui porte ombre, on le fera pour une seconde,
pour une troisieme, et enfin pour toutes celles dont
1
assemblage forme, sur ce corps, la separation des
faces eclairees des faces obscures.
Si le point lumineux etait a une distance finie, la
solution precedente serait encore applicable en y
apportant une legere modification. Les rayons de
lumiere partant de ce point dont on doit connaitre les
projections, ct diriges vers la premiere des aretes qu on
a considerees, formeront egalement un plan determine
dans 1
espace, ou par rapport aux plans de projection,
par la condition dc passer par cette droite et par le
point lumineux; et les raisonnements que nous avons
faits tout a 1
heure, relativemeiit au plan qui, dans la
premiere hypothese, contenait les rayons de lumiere
paralleled, se repeteront pour celui qui contieut les
memes rayons, lorsqu ils
partent d un point place a
une distance finie.
On voil que ces recherches ne sont que de simples
applications des methodes de la Geometric descrip
tive. Recoimaitre sur le corps qui porte ombre les
aretes qui separent ia partie eclairee de la partie
obscure; par ces aretes faire passer des plans qui soient
parallelcs a la direction des rayons de lumiere, ou qui
coiitiennent le point luimneiix s il ii est pas a une
distance infinie, et coiistruire les intersections de ces
plans avec la surface qui doit recevoir 1 oinbre : Jans
Je cas qui nous occupe, telle est toute la solution.
Nous avons dit que la distinction des aretes limites,
GEOMLTRIE DESCR1! :
dont les oiiibivs eir. t>\
1 ombre propiv du
corps, est en general facile a itii
eilVl, il snl ili
pour cola dc rli .vlier indistinct; int i.l !
: ecllrs dViiiiv <
lies qni nln nwl
.
sir dii polygone funnant lc coi-iour de
i\ ihi corps ne peuv<
nt appartcnir aux aretes
>iii
i, .!.!(. !a liui.iv 5o, les ombres /> t ,
d c ,
A a ,
A D ,
A ir del be, dc, (ir, A, s
A; 1
. AB n a])j)arli. I;IK nt ;\ aucunc dcs arelcs liniites,
[U ellefl entrcnt dans 1 inleru iir du polygone
a b B C D d .
.Mais on pint avec Iravail reconnaiLre si
de deux faces planes d un corps, 1 unc cst eclaii
fautre obscure, on si <!!< s sen! fouks d u\ o!.:-.-nr<
s,on
touivs Uriix t -c^ it
ecs, cl.
pisr cfiisf^pu-nl si leur
i
n cgt. line arete limit e ou non. En effet, par
iii
point (jiu lcoiique de celle inUrs(eUon, imaginons
un rayon de luniiere; si dcs deux faces Tune est
eclairei! ct 1 autre obscure, ce rayon dc lumiere prolonge
les laissera toutes deux du meme cote; rnais si
elles sont Tune el 1 autre eclairees on Tune et 1 autre
obscures, il
passera entre elles deux. Cela jx^e, les
d; ux faces planes que nous considerons apparticnmnl
..x plans donnes de position dans 1
espace, e1 dorit
par consequent on peut consiruire les traces sur les
plans de projection, ainsi que les projections horizontale
et verticale de leur intersection; que par un point
(uelconque de cette intersection on fasse passer unc
ligne parallele a la direction de la luniiere, et que 1 on
construise ses deux points de rencontre avec les plans
de projection; si ces deux points sont en dehors des
traces des plans proposes, le rayon de lumiere rie passe
76 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
pas entre les deux plans, et 1 un est eclaire et Pautre
ne Test pas; si 1 im des points on tous les deux se
trouvent en dedans des traces, on en conclura que le
rayon de lumiere passe entre les deux plans, et que
ces plans sont tous deux eclaires on tous deux obscurs
: dans le premier cas, leur intersection est une
arete limite; dans le second, elle ne 1 est pas. Ainsi
1 on peut reconnaitre d avance quelles sont les aretes
par rapport auxquelles on doit operer pour obteriir le
contour de Fombre du corps propose.
Les corps que 1 on considere dans les arts presentent
frequemment des aretes verticales, c est ce qui rend
souvent litile 1 observation suivante. La projection
liorizontale de la ligne verticale se reduit a un seul
point; la ligne passant par ce point dans le plan
horizontal de projection et dirigee vers le point lumineux
renferme toujours la projection horizontale de
1 ombre de la verticale, sur quelque surface que cette
ombre soit regue; ce resultat est vrai, que le point
lumineux soit a une distance finie ou infinie. En eiiet,
dans 1 un et 1 autre cas, I ensemble des rayons de
lumiere passant par la verticale forme un plan ver
tical qui doit contenir 1 ombre de la verticale proposee,
et qui la donnera par son intersection avec la surface
qui doit recevoir 1 ombre. La trace de ce plan vertical,
dans le plan horizontal de projection, contiendra par
consequent la projection horizontale de 1
ombre,
quelle que soit la surface qui la regoive.
Au reste, cette observation s applique egalement a
toute droite perpendiculaire a un plan quelconque de
projection. Le plan forme par les rayons de lurniere
qui passent par cette droite est perpendiculaire
GEOM6TRIE DESCRIPTIVE. 77
comme elle au plan de projection, et sa trace sur ce
plan doit contenir evidemment la projection sur ce
meme plan de 1 ombre portee par la droite sur quelque
surface que ce soit. On congoit que dans quelques circonstances
et en choisissant avec intelligence les plans
de projection, le resultat precedent peut limplifier
beaucoup les operations.
Ce que nous venous de dire renferme a peu pres
tout ce qui est d usage habituel dans la theorie des
ombres, et resout les questions relatives aux corps tcrinines
par des surfaces planes et des lignes droites
et eclaires par un point unique. Les livres qu on a
coutuinc de publier sur cet objet vont rare ment
plus
loin, et n ajoutent guere a ce qui precede que divers
developpements d operations grapbiques pour lesquels
nous renverrons aux lemons de Geometric descrip
tive.
134. Passons maintenant au cas ou le corps qui
porte oinbre n est pas termine par des surfaces planes.
La ligne qui separe, sur la surface du corps, la partic
eclairee de la partie obscure n est plus, en general,
n n assemblage d aretes facile a reconnaitre; c est une
courbe qu il faut determiner par la seule propriety
d etre la limite de ces deux parties. Les rayons de
lumiere que regoit la partie eclairee penetreraienl
dans le corps s ils etaient j>ro!onp; s; la partic obscure,
i! .
ti reroit pas, parce que ccux qui pourraient lui
arriver auraient a travc rser le corps <iui ]>orte ombre
avant de lui parvenir; mais il est facile de voir que les
rayons qui vont a la courbe limite de la pariie obscure
et de la partie eelairee n entrenl pas dans ce corps
78 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIF1QUE.
et ne font que toucher sa surface. Ces derniers rayons
sont done tangents a la surface du corps ;
chacun d eux
se trouve dans un plan tangent a cette surface et pas
sant par le point lurnineux. On peut done coristruire
la courbe dont il s agit, en menant du point lumineux
une suite de plans tangents a la surface du corps pro
pose et en determinant les points de tangence ;
chacun
de ces points appartiendra a la courbe cherchee. Nous
ne nous arretcrons cependant point a ce mode de
solution, et nous allons en exposer un autre qui est
aussi general et d un emploi plus facile pour le genre
de recherchcs dont il s agit, car on sait que P elegance
et la simplicite des constructions graphiques dependent
du systeme de nioyens qu ori adopte pour obtenir
chaque element du resultat.
Nous supposcrons toujours le point lurnineux a une
distance infinie, et la direction des rayons de lumiere
indiquee par les projections horizontale et verticale
d une ligne donnee, a laquelle ees rayons doivent elre
paralleles. Le corps qui porte ombre etant ccnnu de
forme et de position, par rapport aux plans do pro
jection, aiiisi que la surface sur laquelle Fombre doit
etre recue, on dcmande dc construire la projection de
cette ombre ct, pour y parvcnir, de determiner sur la
surface du corps qui r>orte ombre la ccurbo qui
la partie obscure de la partie eclairee. Cette derniere
ri.chcrche, outre qu cllc entre dans la solution du probleme
({in nous occupe, est encore iiiteressante pour
les arts du dessin et de la peinture, puisqu elle fait
cor.nailre sur la surface du corps eclaire, ou doivent
s arreter les teintes claires et commencer les teintes
obscures.
CEOMETRIE DESCRIPTIVE. 79
La methode quc nous alloris exposer est analogue
a celle qui a cte donneo, dans la Geometric descriptive,
pour Ics intersections des surfaces cylindriqm s.
Conccvons un systemc de plans par:il!r
<
s a la direc
tion de la lumiere el, do plus, perperidiculaires a Pun
des plans de projection, au plan vertical par cxcmple.
Les opcralions (pic nous alions indiqurr pour Pun des
premiers plans se repeteronl fcn&nettl pour U-s autres.
Nous rcmarquerons d abord quc, puisqu il est perpcndiculaire
an plan vertical de projection, il est
entiernncnt projete suivant sa trace, ainsi que toutes
Ics ligncs qu il
pent renfermcr. On prut, le concevoir
comme compose de lignes parallelcs a la direction de
la lumiere ou, cc qui revicnt an meme de rayons lumiiicux.
Or, il doit en general couper la surface du corps
qui porte ombre suivant une courbe. DCS rayons de
lumiere si lues dans le plan, les uns rcncontrent la
courbe el s y arrelent : ils font evidemment partie des
rayons qui soul iutcrceptes par le corps propose et
Jont PintermptioD produit Pombre dm! -rps;
les autres ne rcncontrent pas la courbe et, n eprouvant
aucun obstacle, so propagont au loin dans Pcspace ;
cnfm il se trouvc des rayons de lumicre qui, places
entre ccux qui rcncontrent la courbo et ceux qui n<la
rencontrent pas, ne font simplement que la toucher;
ct Ton observers quc, si le corps qui porte ombre n a
pas d< s dimensions infinirs, il doit se trouver en general
deux rayons de c<- <_
r <
nr . Ccs (icrniei-s, tangents a la
section du corps par le plan que nou
sont aussi tangents a la surface de ce corps; leurs
points appartiennent done, d apres cc que nous avons
dit precedemment, a la courbe limite dc la parlic dc
8o LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
la surface du corps qui est eclairee et de celle qui ne
Test pas; cnfin leurs points de rencontre avec la sur
face sur laquelle 1 ombre est recue appartiennent
egalement au contour de cette ombre.
Ge sont done ces rayons qu il nous importe de reconnaitre
et de construire ; la propriete qui les caracterise
doit nous en fournir les inoyens. Puisqu ils sont
tangents a la courbe d intersection de la surface du
corps qui porte ombre, par le plan que nous considerons,
leurs projections horizontales doivent etre tangentes
a la projection de cette meme courbe. La surface du
corps est connue, le plan coupant est donne de posi
tion; supposons done que la projection horizontals de
leur intersection* soit construite. Si nous menons a cette
projection dcs tangentes paralleles a la direction du
rayon de lumiere projet e sur le plan horizontal, elles
seront les projections des rayons dont il s agit, et les
points de tangence seront les projections horizontales
de ceux ou ces rayons de lumiere touchent la surface
du corps propose. La projection ou la trace du plan
coupant sur le plan vertical contient la projection
veriicale du rayon de lumiere, et pour determiner sur
ces projections celles des points de tangence dont on
vient de parler, il sufTit d elever par les projections
horizontales de ces points des lignes perpcndiculaires
a la commune intersection des deux plans de projec
tion. On obtient done ainsi, en projections horizontale
et verticale, deux points de la courbe qui, sur la
surface du corps propose, separe la partie eclairee de
ceile qui lie Test pas.
Si 1
operation que nous veiions d indiqucr se repete
pour un nombre quelconque de plans paralleles a la
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 8l
lumiere et perpendiculaires au plan vertical de pro
jection, on trouvera, en projection horizontale, une
pareille suite de points, par lesquels faisant passer une
courbe on aura la projection de la courbe limite qui,
sur la surface proposee, separe la partie eclairee de la
partie obscure. On trouvera egalement, en projection
verticale, une autre suite de points, et la courbe qui les
reunira sera la projection verticale de la meme courbe
limite.
Occupons-nous maintenant de la determination du
contour dc 1 ombre sur la surface qui doit la recevoir.
Le plan parallele a la lumiere, que nous avons d abord
considere, determine en general, comme nous 1 avons
vu, deux rayons lumineux tangents a la surface du
corps qui porte ombre, et qui sont eux-memes situes
dans ce plan. Les points de rencontre de ces rayons
avec la surface qui recoit 1 ombre appartiennent au
contour qu il s agit d obtenir. Ces points de rencontre
doivent evidemment etre places sur la courbe de 1 intersection
du plan avec cette meme surface. Le plan
et la surface etant connus et determines de position,
on peut construire la projection horizontale de leur
intersection. Supposons cette projection construite;
les projections horizontales des deux rayons de lumiere
que nous considerons la rencontreront en des points
qui seront les projections de ceux ou les rayons euxmemes
rencontrent la surface; et ces derniers points
appartiennent, ainsi que nous 1 avons dit, au contour
demande. Si des points obtenus en projection horizontale,
on rnene des lignes perpendiculaires a la com
mune intersection des plans de projection, ces lignes
determineront, par leur rencontre avec la projection
MO.NUE. 11. 6
82 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
verticale du plan coupant sur lequel nous avons opere,
les projections verticalcs des memes points du contour
de 1 ombre portee.
En repetant cette derniere operation pour chacun
des plans paralleles a la direction de la lumiere, 011
obtiendra, sur 1 une et Fautre projection, une serie
de points par lesqucls faisant passer des courbes on
aura les projections horizontale et verticale du conlour
de 1 ombre du corps propose sur la surface destinee
a la recevoir.
Au nombre des plans paralleles a la direction de la
lumiere, il
peut s eri trouver qui, apres avoir coupe
le corps portant 1
ombre, ne rencontrerit pas la surface
qui doit la recevoir, ou quelques-uns des rayons tan
gents a la surface du corps, et determines par ces plans,
peuvent ne pas rencontrer ensuite la courbe d intersection
de ces memes plans avec la surface sur laquelle
011 suppose que 1 ombre doit etre portee. Dans 1 un
et 1 autre cas, ces circonstances feront reconnaitre que
cette surface ne regoit pas entieremcnt 1 ombre portee
par le corps, mais qu une partie lui echappe, pour etre
rogue par une surface plus eloignee ou se perdre dans
1 c
space.
Pour rendre tout ce qui precede plus facile a com
prendre, nous allons 1
appliquer a un exemple.
Soit une sphere representee par les projections
verticale et horizontale A, A (fig. 5i) de deux de
ses grands cercles; supposons que la direction des
rayons de lumiere soit donnee par les projections LL,
L L d une ligne a laquelle ils doivent etre paralleles,
et cherchons les projections horizontale et verticale
de la ligne qui separe la partie eclairee de la surface
GEOMETR1E DESCRIPTIVE. 83
-I-
-
\A
84 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
de la sphere de la partie obscure, et celles du contour
de 1 ombre portee par la sphere sur un cylindre droit
a base circulaire, donne en projection horizontale par
le cercle B .
Conformeinent a la methode que nous venous
d exposer, concevons une suite de plans paralleles
a la direction de la lumiere, perpendiculaires au plan
vertical de projection, et par consequent projetes sur
ce plan suivant leurs traces Pp, Pipu P2 p&
Gonsiderons en particulier le plan P; il
coupera la
sphere suivant une courbe dont la projection verticale
ne peut etre que sur la trace P/?, et dont la pro
jection horizontale sera la courbe p p p p -
Apres
1 avoir construite nous lui menerons les deux tangentes
6 et TY, paralleles a L L , lesquelles
serorit les projections horizontales de deux rayons de
lumiere tangents a la sphere; quant aux projections
verticales de ces memes rayons, elles ne peuvent etre
1 une et 1 autre que la trace Pp elle-meme. Les points
de tangence T et sont les projections des deux
points ou ces rayons de lumiere touchent la sphere, et
qui appartiennent par consequent a la courbe qui
scparc, sur sa surface, la partie eclairee de la partie
obscure. Pour avoir les projections verticales de ces
memes points, on menera les deux lignes T T et 0,
perpendiculaires a la commune intersection des deux
plans de projection, proloiigees jusqu a la rencontre
de la trace Pp, et Ton obtiendra ainsi, en T et 0, les
projections verticales des deux points dont il s agit.
En repetant pour chacun des plans P1?
P2,
P3,
P4>
. .
1
operation que nous venons d executer pour le
plan P, on trouvera sur le plan horizontal la courbe
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 85
TTjT.e^e flie; T;, et sur le plan vertical la
courbe TTX T2 X 003 0, T3 , pour les projections de
celle qui, snr la sphere, separe la partie eclairee de la
partie obscure.
Reprenons les rayons de lumiere dont 1 t et r
j
sont les projections horizontals, et dont Pp est la
projection verticale, et cherchons les points on ils
rencontrent la surface du cylindre ; ce seront des
points du contour de 1 ombre portee sur cette surface
par la sphere. Le plan P coupe la surface du cylindre
suivant une courbe projetee sur le plan horizontal,
dans le cercle qui sert de base au cylindre. Les lignes
TY et 6 rencontrent ce cercle dans les points r
et p , qui sont par consequent les projections horizontales
des points de rencontre que nous cherchons;
pour avoir leurs projections verticales, il suflit de
moner les lignes r
1
r et p p perpendiculaires a la com
mune intersection des deux plans de projection, et
jusqu a la rencontre de la ligne Pp. Si Ton repete
egalement cette derniere operation, relativement aux
autres plans P1 ,
P2,
. .
., on trouvera les projections
verticales de divers autres points de contour de
1 ombre portee par la sphere sur le cylindre, et Ton
construira la courbe rr1
r2 GJ pp s p 4 qui sera la projec
tion verticale de ce contour.
En considerant le plan P3 et les deux lignes T 3
tf
3
et 3
O .
t qui sont les projections horizontals des deux
rayons de lumiere tangents a la sphere, situes dans le
plan dont il s agit, on observera que 1 une de ces pro
jections, celle qui est designee par T 3
t
31 ne rencontre
pas la base du cylindre, qui est la projection horizontale,
ainsi que nous 1 avons observe de la section de
86 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
la surface cylindrique par le plan P3 ;
le rayon de lumiere
auquel appartient la projection T3
i
{
ne ren
contre done pas cette surface et passe a cote. On en
conclura que 1 ombre portee par la sphere n est pas
recue en entier par le cylindre, et que le contour de
cette ombre sur la surface cylindrique n est point
feraie, mais s arrete aux points ou les rayons de lumiere
tangents a la sphere sont aussi tangents au
cyliridrc.
135. Nous avons suppose jusqu a present que le
point lurnineux etait a une distance infmie; et cette
hypo these est celle qui est le plus frequemment admise,
parce qu clle est a peu pres conforme a la maniere
dont les corps sont eclaires par le Soleil; mais si 1 on
supposait le point luniineux a une distance finie, il
suffirait, pour reridre la methode precedente appli
cable encore dans ce cas, de substitucr aux plans paralleles
que nous avons employes une suite de plans
assujetis a passer par le point lumineux, et du reste
toujours perpendiculaires au plan vertical de projec
tion, comme dans la premiere hypothese.
Le proccde que nous venons d exposer peut souvent
se simplifier dans les questions particulieres, d apres
la generation de la surface du corps qui porte 1 ombre
et de celle qui la regoit. Nous renverrons, a cet egard,
aux methode s de la Geometric descriptive qui, dans
ces rechcrches, sont susceptibles de diverses applica
tions interessantes. II nous suffit d avoir fait connaitre
un mode de solution qui comprend dans toute
sa generalite le
probleme de la determination gra-
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 87
pbique des ombres, lorsquc le corps lumineux se
reduit a un point uni<p;:
.
La solution do ce probleme satisfait a peu pres a
tout ce, que demandent habituellt :s du
i nous reste a dire nous doii-.i* ia lieu de
fnhe quelqucs observations qui ne seronl p;ts sans
us le rapport dc ces memcs arts: r-uiis
.
n Mi!.;.- rps lumint ux :.i; des din:.
Unit s, Irs constructions graphiques
mcm;-nt compliqiu cs, -! st:r;uciit d isillt -in-.-; d un u
mil, ce sera plutdt sous lo point de vue dc !a
i heorie que sous celui des applications que nous allons
Iraiter cette derniere pariie de la determinalion
lineaire des ombres.
Lorsque le corps lumineux n
?
est qu un point et que
rien dans Pespace ne reflechit la lumiere, 1 ombre
portee par un corps opaque sur une surface placee deruoit
otr,?
parfaitement noire, puisquo aiieun rayon
ne peut y arriver directement, a raison de 1
interposition
du corps opaque, ui indirectement, car nous supposons
qu il n existe aucun autre objet qui puisse y
reflecbir de la lumiere. Cettc ombre etant done d un
noir absolu sera par consequent egale dans toute son
etendue; et de plus elle se terminera brusquement a
son contour qui sera une ligne parfaitement nette et
proronceo.
II nVn cst pas aiiisi lorsque le corps lumii"iix a des
dimensions fi- . . ontour ii est pas tranche brusquemeiit,
et c cst par une degradation insensible que
Ton pa^se du noir de 1 ombre a la clarte.
i, cbcrchons ci qui a lieu dans cc cas, en
bupposant toujours qu il n existe dans 1
espace que le
88 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
corps lumineux, le corps opaque et la surface qui revolt
1 ombre.
Concevons un plan tangent a la fois an corps lumineux
et au corps opaque, et tel que les deux corps se
trouvent du meme cote relativement au plan; puis
concevons-en un semblablement tangent et infiniment
voisin du premier, qu il
coupcra suivant une droite
tangente a la fois aux deux corps. Concevons encore
un troisieme plan tangent, infiniment voisin du second ;
il le coupera suivant une autre droite egalcment tan
gente aux deux derniers plans, et Ton observera que
cette scconde ligne doit rencontrer la premiere,
puisque 1 une et 1 autre se trouvent sur le second plan
tangent. En multipliant ainsi les plans tangents, on
aura une suite de lignes tangentes a la fois aux deux
corps et se rcncontrant deux a deux; elles appartiendront
a une surface que 1 on doit reconnaitre,
d apres sa generation que nous venons d indiquer,
pour etre du genre de celles qu on appelle developpables
(110).
Cettc surface developpable enveloppe a la fois le
corps lumineux et le corps opaque; et dans la partie
de 1
espace qu elle renferme au dela de ce dernier, il
ne pent penetrer aucun rayon lance par le corps lumi
neux; 1 aire de ^intersection de cette surface avec celle
qui recoit 1 ombre sera done d un noir parfait, et par
consequent egal dans toute son etendue.
Maintenant, concevons une autre suite de plans
tangents au corps lumineux et au corps opaque, mais
places de maniere que 1 un de ces corps se trouve d un
cote du plan, et que 1 autre se trouve du cote oppose;
les intersections successives de ces plans donneront
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 89
naissance, comme tout a Pheure, a une nouvelle sur
face developpable qui enveloppera, ainsi que Ja precedente,
le corps luniincux et Ic corps opaque; mai-i
on observera, par rapport a cette surface et aux lignes
droites dont on pent la concevoir composee, que 1 un
dcs corps se trouve d un cote rt 1 aulre du cole oppose.
II resulte de cette disposition que, de tous les points
exterieurs a cette seconde surface developpable, on
decouvre en entier Ic corps lumineux, sans qu aucune
partie de ce corps puissc etre cachee par Tinterposition
du corps opaque. Si Ton construit 1 intersection de
ri lte surface avec celle qui rec.oit 1
ombre, chacun des
points situes en dehors de cette intersection jouira
d une clarte totale, c est-a-dire recevra tous les rayons
qui peuvent lui parvenir du corps lumineux.
Si Ton considere maintenant les deux surfaces developpablcs
a la fois, on remarquera que dans 1
espace
qu elles comprennent entre elles, au dela de leurs
courbes de tangence avec le corps opaque, une partie
des rayons lances par le corps lumineux est interceptee
par Ic corps opaque, et qu ainsi cette portion
de Tespace n est pas completement eclairee. Cherchant
ensuite ce qui a lieu sur la surface qui regoit
1
ombre, on observera que 1 aire comprise entre les
deux contours donnes par les intersections de cette
surface avec les deux surfaces developpables forme, en
general, une espece d anneau pour lequel 1 ombre et
la clarte sont incompletes. Au milieu se trouve 1 ombre
absolue, et en dehors la clarte totale; mais chacuri des
points situes dans 1 aire annulaire elle-meme ne regoit
qu une partie des rayons emanes du corps lumineux,
le reste lui etant enleve par 1
interposition du corps
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
opaque. Si ce point, pris sur 1 aire annulaire, est voisin
du contour interieur donne par la premiere surface
developpable, il ne peut recevoir la lurniere que d un
tres petit segment du corps lumineux, lc corps opaque
lui derobant tout le reste; il est par consequent tres
pres de 1 obscurite. Si ce meme point est voisin du
contour exterieur donne par la seconde surface dev<
loppable,
il n y a, par rappoit a lui, qu urie ties petite
partie du corps lumineux qui reste couverte par le
corps opaque; il est done tres pres de jouir de la clarte
totale. On voit par la que du contour interieur au
contour exterieur, determines par les deux surfaces developpables,
I cmbrc va en diminuant et la clarte enaugmentant,
de maniere qu il
y a une degradation insen
sible entre 1 ombre absolue renfermee dans le contour
interieur, et la clarte totale qui a lieu au dela du con
tour exterieur : cette aire annulaire, qui entoure
1 ombre absolue et dans laquelle 1 ombre et la clarte
sont incompletes, se nomme la pen-ombre, ce qui signifie
presque ombre.
Nous n avons encore considere la distribution de
1 ombre et de la lumiere que sur la surface placee derriere
le corps opaque; il nous reste a la considerer ega
lenient sur la surface meme de ce corps.
La courbc de tangence de la premiere surface deve
loppable avec le corps forme la ligne de separation de
la partie de la surface qui ne peut recevoir aucun rayon
de iumiere dc celle qui peut en recevoir. La courbe de
tangence avec la seconde surface developpable forme
egalement, sur la surface du corps opaque, la ligne qui
separe les points pour lesquels une partie des rayons
lumineux est interceptee par la convexite meme du
CEOMETRIE DESCRIPTIVE. 91
corps opaque, de ecux pour lesqucls cetlc convt xile
ne peut en arretcr aucun. II sc trouve done sur la sur
face du corps opaque, entre sa face obscure et sa face
eclairee, une zone ou penombre, sur laquelle 1 intensite
de 1 ombre diminue par gradation insensible, pour
r de 1 ombre absoiur a la clnrte totalc.
Ce que nous venous d exposer, en embrassant dans
toute sa generalite le probleme qui nous occupc, ssiinplifie
beaucoup et devient tres sensible dans des
excinples particuliers. Supposons que le corps luinineux
et le corps opaque soient Tun et 1 autre des
spheres representees par Ics ccrcles L et O (fig. 62)
sur un plan dc projection, dans leqiu-1 IMM-S
centres soient places; que la surface sur laquelle
1 ombre doit etre portee soit le plan SS perpendiculaire
a la lignc LO qui joint les centres des spheres.
Dans ce cas, tous les plans tangents a la fois aux.deux
corps et places de maniere qu ils se trouvent tous du
meme cote, par rapport a chaque corps, formeront,
comme on le sait, par leurs intersections successives,
une surface conique que nous indiquerons par les
lignes TT ,
TT ,
suivant lesquclles cette surface coupe
le plan de projection. Son sonimot, ou centre, torn!i-i-a
au dela de la sphere 0, si cette sphere est d un
rayon plus petit que la tphere L; et au contraire en
di ri i de L, si cette derniere sphere est la plus petite.
C est a cette surface coniquc que se rcduit la premiere
surface developpable que nous avons considered en
tri.it ant le cas general. On voit aisement que 1
espace
qu elle renferme au dela de la sphere opaque ne p-ul,
recevoir aucun rayon de lumiere emane de la sphere L;
son intersection avecle plan SS est un cercle dont MN
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
GEOMETRIE DESCRIPTIVE.
est le diametrc et do; if Piiitericur est absolument
prive de lumiere.
Si Pon congcit main U nan I. d aulres plans tangents
egalement aux deux spheres, inais tels qne par rupport,
a chaque plan Tune des spheres se trouve d un cote
et Tautrc du cote oppose, ces plans, par leurs inter
sections successives, formeront une autre surface
conique dont le somiuet sera place entrc les deux
spheres, et que nous indiquerons comrne la premiere,
par les lignes tt , , qui sont ses intersections avec le
plan de projection; cette seconde surface conique
repond a la seconde surface developpable que nous
avons considered, dans le cas general. On voit de
meme que tout 1
espacc qu elle laissc a son exterieur
reQoit les rayons emanes de la sphere L, sans qu aucun
soit arrete par la sphere 0. Son intersection avec
le plan SS est un cercle dont mn est le diametre, et tous
les points du plan, exterieurs a ce cercle, regoivent les
rayons de lumiere sans obstacle de la part de la
sphere opaque.
Mais 1
espace compris entre les deux surfaces coniques
au dela de leurs courbes de tangence avec la
sphere, et qui se trouve indique sur le plan de projec
tion par les aires angulaires T ct , TW, nc regoit pas
completement les rayon lumincux de la sphere L,
puisque chacun de ses points ne pent decouvrir qu urie
partie du corps lumineux, le rcste lui etant derobe
par 1
interposition de la sphere opaque : cet espace ne
sera done pas entitlement obscur ni entierement
eclaire. Les points du plan SS, situes entre le cercle du
diametre MN et le cercle du diametre mn, scront dans
ce cas: 1 intervalle de ces deux cercles formera done
<)4
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
uii anneau pour lequel ni 1 ombre ni la clarte ne seront
absolues.
Si, sur cet anneau, on prend un point voisin du
cercle iriterieur, tel que le point p, on voit, d apres
la figure, qu il ne peut recevoir des rayons lumineux
que de la partie de la sphere L, correspondant a
1 arc gfi si, au contraire, on prend un point voisin du
cercle exterieur, tel quo p ,
on voit qu il
peut recevoir
des rayons de la partie dc la sphere lumineuse, cor
respondant a 1 arc g
1
/ , beaucoup plus grand que g/;
la clarte doit done aller en augrnentant, ou 1 oinbre
eri diminuant, du cerele interieur au cercle exterieur,
ou dans 1 eteridue de ce que nous avons nomine la
penombre.
Sur la surface de la sphere opaque, la courbe de tangence
du premier cone est un cercle projete suivant
son diametre aa. La courbe de tangence du second
cone est un autre cercle projete suivant son diametre bb.
La partie de la surface de la sphere qui est au dela
du cercle aa est entierement dans 1 obscurite; celle
qui est en deca-du cercle bb recoit sans obstacle tous
les rayons de lumiere. Mais les points situes sur la zone
comprise entre ces deux ccrcles ne voient qu en partie
la sphere lumineuse, son! par consequent dans un etat
intermediaire entre la clarte et 1 obscurite, et l ombre
perd de son intensite, du cercle aa au cercle bb, sans
qu il
y ait nulle part de passage brusque et precis : il
y a egalement une sorte de penombre dans 1 etendue
de cette zone.
On pent regarder, en general, comme inutile de
determiner d une maniere geometrique les contours
des penombres, ce qui serait d ailleurs fort long et fort
CEOMETRIE DESCRIPTIVE. -I
ernbarrassant; mais queiques observations ;
simples peuvent fournir des donnees sur la mesn;
la largeur qu il convicnt de li-ur allribiHT.
La distance entre le corps lumincux L et Ic corps
;ue rcstant la memc, si Ton rapproche parallc.1
a lui-nuMiie le plan SS do cc dernier, la lignc N/i
qui iiidiqiK>
la largeur de la penombre diminue, si Ton
eloigne ce plan die augments ;
on voit aisement qu elle
est proportions lie a la distance du corps opaque au
plan sur lequel i ombre est portee, et quVUr depuid
d aillmrs d<>
Tangle ncN forme par les aretes TT
et tt
r
des deux cones qui envcloppent la sphere opaque
rt !a sphere lumineusr, angle qui depend lui-meme
de la distance entre le
corps opaque et le corps lumiju
ux, et des dimensions de ce dernier.
Si nous supposons que le corps lurnineux soit le
Soleil, la distance de cet astre a la Terre etant partout
sensiblement la rneme, Tangle dont il s agit sera toujours
egal, qucl que soit le corps opaque que 1 on considere
comme eclaire par le Soleil. Get angle mesure
ce qu on appelle le diametre appnivnt du Soleil ;
il est
d ciiviron un demi-dcgre, et de cctte donnee on peut
conclure que la largeur de la penombre sera environ
la n5e
partic de la distance comprise entre le point
qui porte I ombre et ceiui ou elle est reQue sur le plan,
que nous supposons a peu pres perpendiculairc a la
direction du rayon de lumiere. II est facile de voir que s il
s eloignait de cette position, la largeur de la penombre
augmenterait dans le rapport inverse du sinus de
Tangle que le plan ferait avcc la direction de la lu
miere; on trouverait par exemple, en supposant cet
angle de 4o que la large ur de la penombre dt
96 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
etre la 8i e
partie dc la distance eiitre le point qui porte
1 ombre et celui ou cette ombre est recue.
II est done essentiel dans les dessins de donrier une
plus grande largeur a la penombre, a mesure que
1 ombre portee s eloigne de 1
objet qui la produit, et
les resultats que nous vcnons d indiquer suffisent
poiirfaireconnaitrel etendue a donncr a chaque partie
de la penombre, avec plus de precision meme que
Texecution des dessins ne le comporte ordinairement.
Nous avons remarque qu il se trouvait egalement
une penombre, ou zone mcompletemeiit eclairee, sur
la surface du corps opaque. Supposons toujours que ce
corps soit la sphere 0; et pour trouver Tetendue de
Tare ba qui mesure la largeur de la penombre, concevons
aux points b et a deux normales a la surface, qui,
dans le cas de la sphere, seront les deux rayons ob
et oa. On sait que Tangle forme par les normales est
egal a celui que forment entre elles les tangentes TT
et tt
r
; ainsi, la mesure de 1 arc ba ne depend que de
deux elements, Tangle forme par les tangentes et le
rayon ob auquel Tare est proportionnel.
Si la lumiere vient du Soleil, Tangle dont il s agit
est toujours le meme, quel que soit le corps eclaire,
et d un demi-degre a peu pres.
On en conclura done que la largeur de la penombre
sur la sphere est a peu pres egale a la n5e
partie du
rayon.
On peut, sans erreur sensible, etendre ce resultat
a un corps de figure quelconque, en observant quopour
avoir la largeur de la penombre correspondant
a un point determine de la ligne de separation db la
face obscure et de la face eclairee de ce corps, il faut
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 97
voir par cc point, etdans ! suis du rayon de hi
mirre, un plan normal a la surface du corps, et prendrr
la i i5e
partie du rayon de courbure de cette section.
KM nous bornant a <<qui
precede, sur ccltr parii<!
la theorie des ombmi qui a pour objet hi dHrrinination
geoim triqur de leurs contours, il nous rcsl.
a trailer de ecllr (jui esi relative a la recherche de
rink iisile des teintes qu il faut donnor aux different* parlies
des surfaces ombrees, pour qu elles nous
ofhvnt dans les dessins loutes les apparences d ornbre
et de lumiere que les objels imites nous presenlent
dans la nature; mais pour embrasser un tel sujet dans
toute son etendue, il ne suffit pas d envisager uniqucnient,
comme nous 1 avons fait jusqu a present, un
corps lumineux, un corps opaque el une surface; qui
regoit 1
ombre, en faisant abstraction de toute circonstance
accessoire. II faut etudier les objets avec
tout ce qui les enlonre dans la realite, et avoir egard,
entre autres choses, a la position du spectateur -t
aux modifications quo la lumiere peut eprouver avanl
d arriver a son ceil, pour y porter la sensation du
spectacle sur lequel il attache sa vue; ces considera
tions nous semblent exiger que nous fassions preceder
ce que nous avons a dire sur celle maliere par 1
exposition
de la theorie de la perspective.
THfcORIE DE LA PERSPECTIVE.
136. L art de la Perspective consiste a represenler,
sur un lableau dont la forme et la position sont connues,
des objets egalcment donnes de forme et de
position, tels qu ils
paraitraient a un ceil dont la posiMONGE.
II. -?
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
tion serait aussi determinee. Pour rendre cette defini
tion encore plus sensible, supposons que le tableau
soit d abord une gjace transparente. Si, de tous les
points des objets proposes, on concoit des rayons
diriges vers 1
ceil, que ces rayons, en traversant le
tableau transparent, y laissent leurs traces empreintes
de la couleur et de la teinte propre aux points
dont ils partent, 1 ensemble de ces traces forrnera sur
le verre la representation complete des objets : c esfc
cette representation qu on se propose d obtenir dans
1 art de la perspective. On voit qu ici, comme dans la
theorie des ombres, on doit admettre deux parties
distinctes : Tune est purement geometrique, et son
objet est de determiner d une maniere precise sur le
tableau la position de chaque point represente;
1 autre a pour objet la recherche de la teinte d onibre
et de luniiere qu on doit donner a chaque" partie du
tableau, et c est par des considerations physiques
qu on peut en general la traiter. Gette derniere partie,
qu on designe sous le nom de Perspective aerienne,
rentre entierement dans le cercle des recherches que
nous essaierons d exposer plus tard, pour completer ia
theorie des ombres ;
nous ne nous occuperons done ici
que de la premiere partie, appelee Perspective lineaire.
D apres les definitions que nous venons de donner,
il est facile de concevoir que la perspective lineaire
se reduit a construire la section qu une surface deter
minee fait dans une pyramide dont le sommet et la
base sont donnes. L oeil est le sommet; la base peut
etre regardee comme repandue sur la surface des
objets qu on se propose de mettre en perspective, et
la surface secante est le tableau.
GEOMETRIC DESCRIPTIVE.
Les methodes de la Geometric descriptive doniienl
aisement la solution de ce probleme ]!<
dans loute sa
generalite, c est-a-dirc, en supposant HHMMC qn<>
!<
tableau soil une surface courbe quelconqur ;
cependant,
conime nous avons surtout en vuc o qui -i
d une utilitr habit uelle dans les arts, nous ne nous
etendrons avec quelqur d I M ail que sur ce qui concerne
les perspectives a tracer sur des surfaces planes, < M
nous nous conteiiterons de presenter ensuite quelqurs
observations concernant les perspectives a construire
sur des surfaces courbes.
Nous supposerons que le tableau soit un plan ver
tical ou perpendiculaire a celui des plans de projec
tion que 1 on considere comme horizontal; on pourrait
sans difficulte le supposcr incline d une manierc
quelconque par rapport a ces plans ;
mais I
hypothesc
a laquellc nous nous arretons est plus naturelle et simplifie
les constructions.
Ainsi, la position de 1
oeil, celle d un objet connu dc
forme et enfm celle d un plan vertical etant donnees
par rapport aux plans de projection, il s agit de
trouver les rencontres de ce plan avec les droitcs
menees de 1 oeil a chacun des points de 1
objet propose,
et de les rapporter sur un tableau representant ce
meme plan vertical suppose rabattu.
Diverses constructions peuvent donner les points
de rencontre avec plus ou moiiis d avantage et de
facilite, selon les positions respectives de 1
objet, d;-
1 oeil et du tableau; nous allons exposer en premiv r
lieu celle qui est la plus simple et ordinairement la
plus commode.
Piagons d abord le plan vertical de projection d
100 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
une position telle, que celui du tableau lui soit perpendiculaire,
et qu en consequence ce dernier s y
trouve projete par une Jigne verticale qui sera sa trace.
Solent et 0"
(fig. 53) les projections de 1
oeil,
T T" et T"T" celles du tableau, ou les traces du
plan vertical auquel il
appartient; supposons qu on
ait. an dela les projections des objels a meltre en
perspective deja fait.es, ou que 1 on doit commenccr
par fairc sur les plans de projection qu on a adopt rs;
par exeinple, celles d une pyrannde a base quadrangulaire,
dont les sommets ou angles solides A, B, C, D, E
soient donnes en projection horizontale aux points A ,
IV, (] ,
D ,
K ,
et en projection verticale aux points A",
i/, C", D",
K".
Si, dr l
(i;il, on menc une ligne a un premier point
de 1 objet propose, on aura pour les projections de cello
iigne les droites O A et 0"A". Les points a et a",
ou
ces droites coupent, les projections T T el. T" T" du
tableau, sont. evidemment les projections du point
de rencontre du rayon visuel avec le tableau; il ne
s
agit plus que de trouver la position de ce point sur le
tableau lui-meme, que nous concevrons enleve de sa
position T T T"!
1 "
el place en MN. Un moyen simple
d y parvenir est de determiner sur ce tableau deux
lignes que Ton prendra pour des axes auxquels tons les
aulres points doivent se rapporter; la position de ees
axes etant fixee sur les plans de projection, 011 cberchera
la distance a laquelle se trouve, de chacuii d eux,
!e
point de rencontre du rayon visuel avec !e tableau,
et a 1 aide de ces distances la situation du point sur le
tableau sera facile a marquer. Ces deux axes pouvant
etre pns arbitrairement, nous supposeron^ que, par
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 101
r<r> LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
1
ceil, on mene deux plans, l un horizontal et 1 aut e
vertical, perpendiculaires tous deux au tableau; leurs
traces sur ceux de projection seront O Y et 0"X; ils
couperont le plan du tableau suivant deux lignes, 1 une
horizontals, represented en projection verticale par le
point x, et 1 autre verticale, representee en projection
horizontale par le point y; ces deux lignes seront les
axes quc nous adopterons et, sur le tableau, nous les
representerons, savoir, par XX 1 axe horizontal, et
par YY 1 axe vertical.
Cela pose, nous avons dit que a est la projection
horizontale du point ou le rayon visuel mene au pointA
rencontre le tableau ; ya sera done la distance a laquelle
co point doit se trouver dc la verticale passant par le
point ?/,
ou de 1 axe YY sur le tableau MN. Si done sur
ce tableau on mene a droite ou a gauche de 1 axe YY,
selon qu en projection horizontale a est a droite ou a
gauche de y, une parallele a une distance egale a ya ,
cette parallele aa renfermera le point cherche. De
njeme a" etant la projection verticale du meme point,
xaH
mesure la distance a laquelle ce point se trouve de
1 axe horizontal, mene dans le tableau par le point x :
qu on tire done sur le tableau une parallele a" a a
1 axe XX, en ayant 1 attention de la placer au-dessus
ou au-dessous, selon que dans la projection verticale
le point a" sera au-dessus ou au-dessous du point x;
les deux lignes a a, a"
a, paralleles aux axes, donneront
par leur rencontre le point cherche, ou la perspective
du point A; on peut faire la meme operation pour tous
les points de la pyramide ABODE dont on obtiendra
ainsi la perspective complete.
Quelques observations abregeront beaucoup le
GfoMETRIE DESCRIPTIVE. 103
tnvail; on remarquera d abord que la perspectfve
d une ligne droite est urn- li:ri:- dn.it e
lorsque le
tableau est une surface plane. En . I!
i,
Irs rayons
visuels menes de 1 ceil aux divers points dr la (i
-see sont dans le plan mene pni- en". .h i! , :
par 1
ceil; par consequent, leurs points dr rer.eontiv
avec le tableau doivent etre sur la droite d intersection
du tableau par le plan auquel i?s appartienm nl.
Aiiui, il sull it de construire les perspectives de dmx
points de la ligne proposee et de Irs joindre par une
droite, pour avoir la perspective de la ligne eWe-nif mr.
Mans lYxeiiiple <me nous avons pris, on pourra done
se contenter de construire les persp<
dives dcs ciiuj
sominets A, B, C, D, E de la pyramide; et en les joignant
par dos droites, on aura les perspectives d s
En second Keu, si le corps dont on vent fairc la ;
pective est opaque et impenetrable aux rayons visuels,
la partie anterieure derobera la vue de 1 autre parti. :
il est done inutile de construire la perspective des
points qui apparticnnent a cette derniere ; ainsi, dans
1
exemple propose, le point E de la pyramide ne pouvant
etre apercu de Tceif place au point O, il est inu
tile de cbercher sur le tableau MN le .point qui lui
correspond.
La partie visible d un objet est separee de celle (jue
1 ceil ne peut apercevoir par une ligne que 1 on appelle
contour apparent. La perspective du contour apparent
est le trait qui, sur le tableau, enveloppe 1
image de
1
objpf qu on se propose de representer; il est done im
portant, en general, de bien determin* r le contour a]>parent
d un objet et d en faire avec soin la
perspective.
104 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
Lorsque les objets a representer sont termines par
des surfaces planes et des aretes reclilignes, il est en
general facile de distinguer les faces visibles, pour une
position determined de 1
ceiJ, de celles qui ne le son I
pas, et par consequent de reconnaitre celles des aretes
dont 1
assemblage forme la ligne du contour apparent.
Mais lorsque ces objets sont termines par des surfaces
courbes, le contour apparent n est plus forme de lignes
droites : c est alors une courbe qu il faut determiner
sur la surface du corps, a 1 aide de son caractere particulier,
qui est de separer la partie du corps qui est
v sible de celle qui ne Test pas, par rapport a un reil
doul. la position est donnee. On voit que cette re
cherche est tout a fait semblable a celle de la ligne qui
separe, sur im corps opaque, la partie eclairee de la
partie obscure, lorsque le corps lumineux est un point
unique, place a une distance fmie : il s agit egalement
de trouver la courbe de t|ingence d un cone dont le
sommet est donne, et qui enveloppe un corps termine
par une surface connue. Nous croyons inutile de nous
arreter a cette recherche, et nous renverrons aux solu
tions que nous avons donnees des questions parfaitement
analogues, dans la theorie des ombres.
137. Nous devons faire connaitre ici un resultat de
perspective tres important par ses frequentes appli
cations, et dont 1 observation est essentielle pour la
correction du dessin; il consiste en ce que toutes les
fois que 1 on doit mettre en perspective plusieurs
lignes droites paralleles entre elles (mais non pas au
tableau), sur quelque tableau que ce soit, les perspec
tives de ces droites concourent en un seul point. Si
CEOMETRIE DESCRIPTIVE. IO.5
ce tableau est plan, ces perspectives sonl elles-mf-mrs
d( s
lignes droites qui passent toules par le ineiiir point,
proposition facile a demontrer.
En effet, une droite etant donnee pour la mettre en
perspective, on conc,oit que 1 ensemble de tous les
rayons visuels menes de Trail a cette ligne forme un
]>lan passant par la ligne et par Trail, et dont Tintersection
par le tableau trace la perspective demandee;
alors, si par Trail on suppose une droile parallele ;i !.i
ligne donnee, elle se trouve en entier dans le premier
plan. Maintenant, qu on ait une secoride ligne, paral
lele a la premiere, a mettre egalement en perspective,
et que Ton considere aussi le plan passant par cette
ligne et par Trail, comme trac.ant par son intersection
avec le tableau la perspective qu il s agit d obhuii.
puis qu on mene par Trail une droite parallele a la
seconde ligne donnee, elle sera eritierement dans le
second plan. Mais les deux lignes donnees etant paralleles,
les droites qu on mene par Trail, parallelement
a la premiere et a la seconde, se confondent en une
seule qui est en meme temps dans le premier plan et
dans le second : elle est done leur ligne d intersection;
le point ou elle rencontre le tableau est par consequent
ccliii ou se croisent les ligws suivant lesquelles ces
plans coupent le tableau, ou, ce qui revient au meme,
celui ou concoureiit les perspectives. 11 suit de la que,
pour mettre en perspective tant de droites paralleles
qu on voudra, il n y a qu a mener par Trail une ligne
qui leur soit parallele; le point ou cette derniere rencontrera
le tableau sera le point de concours auquel
teridront les perspectives de toutes ces droites.
Les projections de la droite menee par Trail sont
I0() LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
paralleles a celles de la ligne a mcttrc on perspective,
et sont par consequent faciles a construire; on a les
traces du tableau sur les plans de projection : il cst
done aise de trouver le point de rencontre de la droitc
t-l, du iablrftii.
Le resultat quo nous venons d exposer peut abreger
beaucoup les operations, lorsque le tableau est une
surface plane, et qu il s agit de tracer les perspectis ;;
de differentes lignes paralleles. Dans ce cas, ces pers
pectives sont elles-memes des lignes droites, et leur
point de concours etant determine ainsi que nous
1 avons indique, il
suffira, pour les tracer, de connaitre
sur le tableau, relativement a chacune d elles, la pers
pective d un second point.
Mais ce ri est pas seulenient comme moyen d abreviation
que ce que nous verions de dire doit etre
considere; c est encore le procrdo !<
plus sur pour
eviter des incorrections dont notre ceil est facile UK <\\
blesse. Nous sommes en general moins sensibles aux
grandeurs reelles des objets qu au parallelisme des
lignes que nous jugeons devoir etre paralleles. Que
deux lignes soient un peu plus eloignees ou un peu
plus rapprochees 1 une de 1 autre qu elles ne doiverit
1
etre, il faudra un ceil exerce et quelque attention
pour saisir ce defaut; mais si dies doivcnt etre paral
leles et qu elles ne le soient pas, nous nous en apercevrons
sur-le-champ et nous en serous vivement
choques. Si done, lorsqu on met en perspective plusieurs
lignes paralleles, les perspectives qui doivent
(MUK-ourir au meme point n y concourent pas en effet,
cette erreur blesse extremeinent 1
observateur, et les
paralleles ne lui paraissent plus telles; ainsi, on peut
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. 107
ton jours regarder comme essential do determiner sur
le tableau !<
point d concours dos lignes qui rrj.n-
<t
!!(<>nt les perspectives de* droites paralleles, afm
d etre sur que les perspectives passent par or point.
Dans lY-.|.t.vih.,n tin prnrede do eonslruelion qur
nous a\nns dori M- ,-i-d- >-i:-
7
nous avons sujipo>.
-
(pi*-
Ift
plan vrrlirnl dr projection etait perpcndiculaire
au plan du rabteau; nous avons Irouve dans cette disposilion
1
avantage d avoir le tableau projele en
I
ntier sur une seule ligne. Si le tableau etait oblique
an plan vertical do projection, pour trouvcr la hanteur
de chaque point de fa perspective au-dessns ! Taxihorizontal
auquel on le rapporto, i!
faudrait, du poinl
ou la projection horizontal"- du rayon visuel rencontre
la traer liori/.ontale du 1abfe:u, abaissi-r in;e ]erpondiculairo
sur rinterseetion des deux plans de projec
tion, et la prolongor jusqu a la rencontre de la pro; i
i
ion verticale du rayon visuel. Ge travail, quoique fl
,
pent dans quelques circonstances etre moins
penible que la construction preliminaire d une pr. j.
tion
verticale sur un plan perpendiculairr ;.u l;.i
Supposons qu on ait a metlre en pers])ee.1ive nne
suite de pilastres semblables, et dnt la direction soit
oblique au plan du tableau; il serait fort long d en fa ire
la projection sur un ]>lan
vrrlical perpendiculairc au
tableau, mais en la faisant sur un plan perpendiculaire
a la direction des pilaslres, e!!e so reduit a la projec
tion d un seul d entro eux. On voit que, dans ce cas,
i! devient preferable d adopter cette derniere dis.
li.ii, malgre rinconvenieu! d avoir une ligne do plus
a tracer pour construire la perspective de chaque
point.
108 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
1^8. En general, le probleme que presente la pers
pective lineaire, en le considerant dans ses elements,
se reduit a construire le point de rencontre du tableau,
par le rayon visuel mene de 1 oeil a un point deter
mine; et il est utile de connaitre plusieurs moyens de
le resoudre, afin de faire usage, en chaque cireonstance,
de ceux qui exigent le moms de travail. La plupart
des methodes donnees dans les ouvrages qui
traitent de la perspective, et particulieremciit celle
que nous avoiis deja developpee, rentrent dans le
mode general de solution que nous allons indiquer.
Si, par le point a mettre en perspective et par PceiJ,
on conQoit deux plans difterents, le rayon visuel se
conforidra avec leur intersection, et cornme iis couperont
necessairement le tableau, si Ton construit les
ligiies ou les traces suivaiit lesquelles ils le rencontrent,
le point ou ces traces se croiseront appartiendra a
1 intersection des deux plans entre eux, ct sera par
consequent le lieu de rencontre du rayon visuel et du
tableau. C cst au dessiriateur a choisir parmi le iiombre
infin de plans qui peuvent passer par 1 oeil et par le
point a mettre en perspective, les deux plans dont il
lui est le plus facile de determiner les traces sur le
tableau. Kn les prcnant perpeiidiculaires, chacun a
1 un des plans de projection, on retombe sur la methode
de construction que nous avons deja donnee. II pent
etre souvent avantageux de supposer 1 un des plans
peipendiculaire au tableau meme; dans ce cas, il est
aise de voir que sa trace passera par les pieds des per
pend iculaires abaissees de 1 oeil et du point propose sur
le tableau. Plus generalement, si Ton congoit, par le
point et par 1
ceil, deux lignes paralleles entre elles,
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. M.II
I iiih rst clion du tableau et du plan qui les contiml
pftSSen par les
point! ou le l;il>lraii rsi Ini-mcmc ren
contre p;r res paralleled.
<li\<r--cs observation! snlliscnl pt.ur nn 1 1 IT Irs
pcrsonncs, ((ill
-I ll! ail murai,! des inclliodcs dc la
(Jeomclric dcscripl ivc, rn rial d abrger dans un rr;nid
dv i-as cl dc siiMpli!i(>r Ix-aucoiip Ics o])crali(>ns
o la pralitpir dc la pcrsjx i l ivc lincairc.
Suppnsoiis inaintcnant que lc tableau nc soil
])lns
un plan, inais cine surface courbe doiinec; les conside
rations que nous venons d exposer doivent en general
conduire, pour chaquc cas, a la plus avanlageusc dcs
constructions possibles. En eiTet, parmi tous les plans
passant par 1 oe.il et par le point don! on dcmandc la
perspective, el qui eonliennent en consequence lc
rayon visuel, on peut toujours choisir celui qui.
d apres la nature connue de la surface proposee pour
tableau, dounc par son intersection aver cc lal.!.-an
la courbo la plus aisee a construirt ,
soil sin- N |.!.-in
inenit (|i:c Ton considere, soit dans fuiif dc ses pro
jections. II sera ensuile facile de trouvcr Tin I. :
tions de cette courbe avec le rayon visuel, ce qui deterininera
le point ou le rayon rencontre le tableau.
Si, par exemple, le tableau etait une surface splieri(pie,
il faudrait que le
plan mene par 1 oeil et par lc
point a mettre en perspective passat egalenient par
le centre de la sphere; alors 1 intersection serail
loujours un grand cerele, dont on Irouverait. lacilenient
sur le plan menie la rencontre par le rayon
visuel.
Si le tableau etait une surface conique, on ferait
passer containment le
plan contenant le rayon visuel
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
par le sommet du cone ;
Fintersection de cc plan avec
le tableau serait urie ligne droite dont on trouverait
sans peine les projections, et leur point de rencontre
avec celles du rayon visuel.
Les panoramas sont des perspectives tracees sur des
surfaces cylindriques verticales a base circulaire, le
point de vue etant pris sur 1 axe meme de ces surfaces.
Pour mettre un point quelconque en perspective sur
la surface d un cylindre vertical, on concevia par I ceil
et par le point propose uii plan vertical qui coupera
cette surface suivant une de ses aretes, determinee par
la rencontre de la trace horizontale du plan avec la
circonference du cercle servant de base au cylindre.
Que Ton fasse la projection verticale de cette arete, sa
rencontre avec la projection verticale du rayon visuel
determinera la hauteur a laquelle le rayon visuel ren
contre la surface du cylindre, au-dessus de la base
de ce dernier; et il sera facile, d apres ces donriees,
de construire la perspective du point propose, soit sur
la surface meme du cylindre, soit sur le tableau sup
pose developpe.
139. Ce qui precede donnant les moyens dc resoudre
toutes les questions que peut presenter la pers
pective, nous n ajouterons plus que quelques observa
tions.
Lorsqu on a un tableau offrant la perspective d un
objet, prise d un point determine, on peut en deduire
le trace d une perspective du meme objet prise du
meme point de vue, et sur un tableau different. En
effet, I ceil et le premier tableau etant determines de
position, la direction des rayons visuels menes de I o3il
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. i I t
;i elmcun des points de 1
objet rejirrsenle s
fixee, ct 1 on pent en deduire par consequent lenr ren
contre avec la surface d uii autre tableau dont la posii
i<;i csi donnee.
Mais ce qu on vieiit de dire ne saurait plus avoir
lieu, si 1 on prcnait un autre point de vue; rien dans ce
cas ne determinant la direction dos rayons visiiels, < I
une simple perspective lie suflisant pas pour deiinir
Tobjet represente. Une perspective est line sor
projection qui nc difTere de la projection orthogonale,
dont on fait habihiellement usage, qu en ce que la
ier, s
opere par des lignes qui concourent an
point de vue d ou la perspective est.
prise, tandis que,
]>otir
la srconde, ces lignes sont perpendiculaires an
plan de projection; or, on sait qu un objct n est completeinent
defmi qu a 1 aide de deux projections : ii DC
le serait egalement qu a 1 aide de deux perspectives,
par rapport a chacune desquelles on connaitrait la
position du point de vue.
Nous terminerons ici nos recherelu s sur la partie
geometrique de la theorie des ombres et de la perspec
tive. Les methodes que nous avons exposees embrassent,
relativement a la representation des objets,
a peu pres tout ce qui, dans 1
usage, est susceptible
d un trace rigoureux. Ainsi, divers objets etant pro
poses et determines par leurs projections, si on les
suppose eclaires d une maniere cormuc, on construira
les contours des parties eclairees et des parties
obscures sur la surface de chacun d eux, et ceux des
ombres qu ils portent les uns sur les autres, puis on
tracera sur un tableau d une forme donnee la pers
pective de ces memes objets, ainsi que des contours de
1T2 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
eurs ombres, prise d uu point connu; il lie restera
plus, pour completer leur representation, qu a donner
aux diverses parties de leur image les teintes avec
lesquelles, dans la realite, elles s ofirent a nos regards.
DE LA DETERMINATION DBS TEINTES DANS LA REPRE
SENTATION DES OBJETS, ET DE LA PERSPECTIVE
AERIENNE.
140. La par Lie de la theorie des ombres et de la pers
pective dont nous avons maintenant a nous occuper
est tres compliquee, et a besoin d etre etudiee avec
plus de soin qu elle ne 1 a ete jusqu a present; elle
exige quelques connaissances physiques et surtout
un grand nombre d observations.
Malheureusement, les peirilres, qui soiit obliges de
reflechir a lout moment sur cette matiere, publienl
peu les resultats de leurs meditations sur leur art.
Peut-etre plusieurs decouvertes curieuses, des obser
vations importantes, demeurent-elles ignorees el
perdues pour 1 instructiori generale, parce que Jes
artistes qui les out faites n ont pas su en rendrc un
compte precis, ou ont neglige de prendre ce soin. Nous
sommes bien loin de presenter les recherches que nous
allons exposer comme un corps complet de doctrine;
ce-ne son I
que des idees jetees en avarit el destinees a
ouvrir uiie earriere a peu pres nouvelle ; puissent nos
essais faire riaitre des recherches plus profondes, et
devenir ainsi pour la scieiice le principe de quelques
progres ulterieurs.
La temte qu offre a iiotre vue un objet eclaire
GEOMETRIE DESCRIPTIVE.
depend, premifcrement, dc fintensite propre de la lu
miere rec.ue du corps lumincux ct rcnvoYcc a imhv
ceil, et de la maniere dont a lieu sa distribution sur la
surface de 1
objet, et la reflexion qui la fait parvenir
jusqu a nous; secondement ,
des modifications que la
lumiere eprouve par I efl et des milieux on dc I air
qu elle traverse, et des autres circonstances aux(|ucl!cs
elle est soumise : c est dans cet ordre que se suivroni
les considerations auxquelles nous allons nous livrer.
Commenc,ons par chercher 1 intensite de la lumicrc
venant du corps lumineux a 1
objet eclaire et, pour
plus de simplicite, supposons que le corps lumineux
soit unique, et considerons-le comme reduit a un point.
On sait que Vintensite de la lumiere ernisc par un point
lumineux diminue en raison inverse du carre de la dis
tance; il est evident, d apres ce principe, que plus
1
objet eclaire est eloigne du corps lumineux, moiris
il en recoit de clarte. Cette observation n rst pas d uiic
Ires grande importance dans les arts du dessin, parce
qu on suppose habituellement les objets eclaires par
le Soleil. Dans ce cas, la distance du corps lumineux
etant immense, par rapport aux dimensions des
objets eclaires et aux distances qui les separent entre
eux, elle peut etre regardee comme egale pour tous, et
que par consequent il n y a aucune difference entre
1 intensite de la lumiere qui parvient aux divers points
des objets que Ton considere; mais si Ton avail a
representer une scene nocturne, eclairee par une lani|c
ou un foyer, il faudrait avoir egard aux distances des
objets eclaires au corps lumineux, et donner une clarte
plus vivc a ceux qu on voudrait fa ire pa ru it re plus
voisins du point d ou part la lumiere.
MONGl :. II. 8
Il4 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
Ce que nous venons de dire n cst relatif qu aux
parties eclairees; quant aux parlies dans 1
ombre, des
qu on suppose qu il n y a qu un seul point lumineux,
et qu on fait abstraction de tout ce qui peut reflechir
la lumiere, elles ont toutes line intensite egale, ellcs
sont toutes d un noir absolu. Cette assertion peut
paraitre extraordinaire, parce que nous ne sornmes
pas habitues a voir les corps eclaires de cette maniere;
le Soleil est bien pour nous, dans le jour, la cause de
la lumiere, mais les autres corps la reflechissent et
nous la renvoienl, tellement qu il i ait dair ou les
rayons directs du Soleil n arrivent pas, et que nous
n avons jamais occasion dc voir une ombre complete :
on ne peut s en former une idee que par les experiences
de la chambre noire, et surtout par celles du micro
scope solaire. Lorsqu on introduit dans la chambre
noire un faisceau de rayons solaires, en les faisant
tomber sur un vcrre lenticulaire; ces rayons se reunissent
au foyer, s y croisent et de la divergent, en
formant un cone de lumiere qui se projette, suivant
un cerclc tres lumineux, sur le mur oppose de la
chambre. Que Ton dispose un tableau tres blanc pour
recevoir ce cercle lumineux, et qu au-devant Ton
place un objet qui intercepte une partic des rayons,
1 ombre paraitra du noir le plus intense et sera terminee
par un contour tres precis, tres tranche. Dans
ce cas, en effet, la lumiere part d un point unique, le
foyer du verre lenticulaire par lequel passeiit les
rayons lumineux; et il n y a pas assez de lumiere reflechie
pour diminuer sensiblement 1 obscurite de la
chambre noire, dans les parties ou les rayons n arrivent
pas directement.
GEOM^TRIE DESCRIPTIVE. | i ",
l- i l. Considerons maintcnant la lumicre renvov, .
de 1 objet eclaire a 1 ceil de 1 observaleur. Si
a traverser 1111 milieu parl aileinent libiv, <|ni
n*> lui
oHYil aunme rtVislaner, <|ui
n en intem-pta! aucunc
parlie, deux objets dr ia memo clarte paraitraien!
a noire ceil de la menu elarte, quellr |ue i ut Irur (\\^.i
a nre par rapport a nous. Pour s en rendre coinjilf,
que Ton oom-oivr drux cercles egaux, egalement
eclaires, (^t silucs sur dcs plans (
;
gali;ment inclines par
rapport a MX. rayons nu-iu s de leurs centres a 1
oeil;
1 intensite de la lumierc renvoyee par chacun d eux
decrojtra en raison inverse du carre de leurs distances
jusqu a 1
ceil, mais en meme temps les grandeurs des
images, suivant lesquelles ces cercles se peindrojit a
i
a-il, decroitront aussi en raison inverse drs e
del nieincs distances. Ainsi. d une part, si la luiniei-r
renvoyee par tons les points du cerele le
plus eloigne
est moins intense, d une autrc part, elle est plus rasseinbler;
et se condense pour nous oflrir une image plus
i>
MM i. : -
deux efTets contraires se Irouvant dans
le meme rapport, se balancent pour donncr lieu a la
sensation que notre ceil eprouve, et il en resulte que
les deux cercles places a des distances ir.egah s doivent
jiiiiirlanl preseiiler Ja rnenie clartr.
dependant, il n en est pas ainsi dans la nature, j;.
<jue
1 air dans lequel se ineut la lumierc n est pas coinpletement
transj>areiit.
Nous chercherons plus tard a
a ppretier les alteration! que sa transparence impu i la i t e
fait eprouver aux rayons lumineux, mais nous devons
auparavant examiner comment la lumiere se comporte
a la surface des corps eclaires, soit pour s y u
soit pour revenir a not re ceil.
lift LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
Nous diviscrons les surfaces en deux classes, relativemeiit
a la mariiere dont elles reQoiveiit ct renvoient
la lumiere, savoir, les surfaces polies et les surfaces
mates.
Nous ne connaissons pas dc surfaces parfaitemenl
polies, mais nous regarderons comme approchant de
cet etat celles qui forment miroir. On sait qiie les
rayons de lumiere, qui viennent frapper urie surface
polie, sont reflechis en faisant Tangle de reflexion egal
a Tangle d incidence. Si la lumiere emane d un point
unique, chaque point de la surface polie ne reQoit et
ne reflechit qu un rayon, et parmi ces rayons un seul
parvient a Trail; tons les autres lui echappent : Tceil
n aperc,oit done que le point de la surface qui lui
renvoie ce rayon; le reste est pour lui dans une com
plete obscurite, et le point visible en parait d autant
plus brillant. La surface, la position de Toeil et celle
du point lumineux etant connues, la determination
du point brillant est un probleme de Geometric des
criptive, dont la solution est plus ou moins compliquee,
suivant la generation de la surface proposee; il s agit,
en eft ct, de trouver sur cette surface un point tel, que
menant de la des lignes a Toeil et an point lumineux,
ces lignes soient dans un plan perpendiculaire au
plan tangent et fassent avec lui des angles egaux (34).
II est facile de voir qu en supposant la surface polie
assez etendue, il doit y avoir en general un point bril
lant. Sur les surfaces planes, sur celles qui ont dans
un sens des elements plans indefmis, telles que les sur
faces cylindriques, coniques et developpables, il ne
peut se trouver, ainsi que sur les surfaces arrondies,
que des points brillants, et non pas des lignes ou des
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. II;
an-lrs brillantes, du moins tant quc la lumieiv vinit
d un point unique. Si elle vient d un corps d<- din . nsions
linies, plusieurs points de la surface polio renvoient
a 1 ceii des rayons dont 1 enscmble lui pn scnfr
1
image plus (HI moins alteree du corps lumineux; Ic
reste deineure d un noir d aulant plus parfait que !;t
surface est plus polie. Lors done que Ton doit reprex-nirr
un corps poli, il
faut, apres avoir determine la
position du point brillant, ptindre ce point d un blanc
Ires eelutant et tenir Ic reste .du corps dans 1 obscu-
rite.
J-.es surfaces mates, dorit se compose la seconde
classe, beaucoup plus nombrcuse que la premiere,
different des surfaces polies en ce que, de tous leurs
points auxquels parvicnnent des rayons du corps
liunineux, elles en renvoient a notre ceil, a moins
qu un corps interpose n y mette obstacle. .
II est assez facile de se faire une idee precise de la
quantite de lumiere que chaque partie d une surl ;ir<quelconque
regoit du corps lumineux que, pour plus
de simplicite, nous regarderons comme un point
unique. On sait deja, qu abstraction faite de 1 obli(juite
suivant laquelle la surface presente chacune de
ses parties, 1 intensite de la lumiere qui lui arrive est en
raison inverse du carre de la distance du point luminoiix.
De plus, si Ton congoit que ce point soit le
centre d une sphere, la quantite de rayons rec,ue par
un element de la surface eclaiiee pourra se mesurer
par la portion de la surface de la sphere comprise dans
le cone dont le sommet est an point lumineux, et dont
la base est 1 element de la surface proposee. Plus cet
element sera oblique, par rapport aux rayons qu il
l8 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
recoit, plus le cone sera resserre, et moins la portion de
la surface de la sphere qui s y trouve comprise aura
d etendue. On peut done en conclure, que plus la sur
face eclairee se presente obliquement aux rayons
liiinineux, et moins elle recevra de lumiere. On exprime
d une maniere mathematique ces resultats, eri disant
que pour chaque point de la surface, Vintensite de la
lumiere est en raison directe du sinus de Vangle d incideuce
du rayon sur le plan tangent en c.c
point, et en
raison inverse du carre de la distance an point lumi-
ncux.
II est plus difficile d apprecier d une maniere satisiaisante,
comment la lumiere est reflechie par Ics
corps mats, et quelle quantite chaque partie de leur
surface en fait parvenir a noire osil. Cette recherche
depend de la contexture de 1
enveloppe des corps; et
nos connaissances physiques sont trop imparfaites,
pour nous fournir les donnees qui nous seraient necessaires
: ce que nous allons dire sera done fonde sur des
hypotheses; nos resultats rie seront que probables, el
nous ne les proposons que jusqu a ce que Ton puissc
les remplacer par d autres, fondes sur une theorie
plus certain e.
Nous admeltroiis done que chacune des molecules
qui appartierment a une surface mate agit a la ma
niere d un corps lumineux, en reflechissant dans tout
1
espace libre la lumiere qu elle a recue et qu elle
n absorbe pas. On sent que ces molecules doivent
offrir une infinite d asperites, qui ne sont sensibles
pour nous qu en ce que le corps nous parait mat, et
qui n empechent pas que la surface qui 1
enveloppe
ne soit a nos yeux unie et continue. Dans cette hypo-
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. I H)
these, eluxjiir molecule placec a la surface du <
nous renvoie un rayon de Imnierc. Considtfeoilf un
element de la MM!. in ; nuns avms dej; i vu <pie
la dislam-e
a laquelle se trouve <le nous cet element iiiflue
sin- l;i _ r:iiideur de I
lma^e qu il nous |.r<--,
( -iil e, nun s
non sur la elarle aver laquelle il nous apt). trail, anlant.
du moins qu ou n a aucun (
^ard aii\
qu epTOUVi la lumiore par i cllVt du drlau! d;nce
de 1 air qu ellc traverse pour nous parvruir.
L ensemhJe des rayons reflechis par tons Irs points
appartenant a crt element et diriges vers I osil
torment un cone dont 1 elernent est la l>asc et I osil
le sommet, et le nombre des rayons compris dans re
cone est proportiouuel a 1 etendue de IVIrmeiH de la
surface. Si 1 on congoit une sphere doul f<j il sf)il i<centre,
ct d un rayon egal a la distance comprise euhr
la base du cone et Trail, la portion de la surface de
cette sphere, qui sera comprise dans le cone, donneia
la mesure de i
espace angulaire dans lequel Jes rayons
se trouvent reunis. L intensite de la lumiere arrivant
a 1 oeil
pourra done s evaluer, par le rapport de
1 etendue de 1 element que nous considerous a cellc
de cette portion de la surface de la sphere. L etendue
de I eleiiient restant la meme, celle de la jtorlion rorrespondante
de la surface de la sphere sera d autunt
moins grande, que cet element (era un angle plus aigu
avec les rayons visuels; ainsi, 1 intensih <!
la luinicrt
reflechie par la surface mate sera d autant moindre,
que cette surface approchera plus d etre perpendiculaire
aux rayons qu elle nous renvoie, ce qu on peut
exprimer d une maniere mathematique, en disant que
pour chaque element << In surjace, cette intensite est
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
en raison inverse du sinus de Vangle que fait le plan
tangent avec le rayon visuel.
Ge resultat ne doit pas etre interpreted a la rigucur,
Jorsque Tangle dont il s agit est presque nul; dans ce
cas, les asperites de la surface mate, se couvrant en
partie les unes les autres, nous derobent une portion de
la lumiere qu elles devraient nous faire parvenir. Ainsi,
en regardant une surface plane mate sous un angle
tres aigu, on ne la voit pas avec une clarte Ires intense,
comme I
mrlique Fexpression analytique que nous
avons proposee; cette expression devient alors incom
plete, parce qu elle ne tient pas compte des petites
asperites, dont la surface est couverte, et des rapports
de leurs dimensions avec les distances qui les separent.
Nous citerons un exemple remarquable a 1
appui du
resultat precedent.
La Lime peut etre regardee comnic un corps mat,
eclaire par le Soleil, dont il nous reiivoie les rayons. Si
cet astre etait enveloppe d une atmosphere, les rayons
qu il nous renvoie des bords de son disque auraient a la
traverser sur une plus grande epaisseur et, sans doute,
ils nous arriveraient plus affaiblis que ceux qui vicndraient
du centre. Mais les observations astronomiques
prouvent que la Lune n a point d atmosphere sensible ;
et, a raison de sa forme spherique, nous devons voir
pres de ses bords une plus grande etendue de surface
sous un meme angle visuel : il doit done nous arriver
de la plus de rayons reflechis, et les bords doivent, en
consequence, nous paraitre plus eclaires; aussi observera-t-on
que la clarte de la Lune a plus d intensite sur
le contour de son disque que dans son milieu.
La nature nous oflre un grand nombre de corps dont
GEOMETRIE DESCRIPTIVE.
les surfaces sont inliTiut-diuiiv^ au\ <1< u\ cklMt
exlremes quo nous venous de considerer, et participenl
jusqu a un certain point, comme le demontre IVxpericnce,
aux proprietes des surfaces polies et des sur
faces mates. Relativeinenl a ces corps, on ])cul
admettre (}ue les molecules <pii apparl i. iincnt a leur
enveloppe exterieure sont des petite* spheres a peu
pres polies, reflechissant en partie la lumiere, a la maniere
des corps polis, et plus ou moins engagees dans la
solidite merne du corps propose, selon que son poll
est plus ou moins parfait. Si elles etaient isolVs,
chacune olfrirait un point brillant ;
mais comme ellrs
ne nous laisscnt voir qu une partie dc leur contour,
toutes ne peuvent pas nous presenter un point de cc
genre : celles-la seules jouissent de cetle propriele,
pour lesquelles le point brillant tombe sur leur seg
ment anterieur et visible, qui sc confond sensiblement
avec la surface generale du corps. On peut conclure de
la, que si, sur la surface du corps propose consideree
comme continue, on cherche la position du point
brillant, ainsi qu on le ferait dans le cas ou le corps
serait poli, on aura, en quelque sorte, le centre de la
partie de la surface ou se trouvent les molecules polies,
susceptibles de nous ofTrir des points brillan s;et Ton
congoit que cette partie lumineuse sera d autant moins
resserree, que les molecules polies dont il s agit seront
plus saillantes, ou que le corps sera moins lisse. KM
d autres termes, on peut dire que pour les corps imparfaitement
polis le point brillant s elargit et se repand,
en s afTaiblissant, sur un espace d autant plus etendu,
que le poll est moins parfait. Sur le reste de la surface
du corps propose, les molecules ne nous renvoierit
122 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
Ja lumiere que de la maniere propre aux surfaces completernent
mates; et ce que nous avons dit a ce sujet
trouvc la son application.
Jusqu a present, nous n avons considere dans la lu
miere que 1 intensite avec laquelle elle arrive au corps,
s y distribue et s y reflechit pour reveiiir a 1 ceil du
s; eclateur; nous avons fait abstraction des alterations
qu elie subit dans les miJieux qu elle traverse, et par
1 eifet des autres circonstances qui agisscnt sur elle :
ce sont les modifications resultantes de ces diverses
causes que nous avons maintenant a etudier.
142. L air que la lumiere traverse pour arriver
jusqu a nous n est pas doue d une transparence parlaile;
ses molecules arretent quelques rayons de lu
miere et les reflechissent, comme le font les corps
opaques. Get effet, qui est insensible pour les objets
peu eloignes, devicnt frappant pour les lointairis; il
s etend sur les parties eclairees comme sur les parties
placees dans 1
obscurite; il diminue 1 intensite de la
clarte des premieres et de 1 cmbre des secondes, et
modifie la couleur des objcts.
La lumiere que reflecbissent les molecules de i air
a une couleur determinee; I
air, comme tons les autres
corps de la nature, a sa couleur particuliere ;
c est ce
qui forme le bleu de ce que nous appelons le CieL Si
I air n existait pas, ou ne renvoyait pas de lumiere,
le ciel nous paraitrait d un noir absoiu, sur lequel les
astres formeraient des points brillants. Le b]eu du ciel
est d autant plus vif, que I air a moins d lmmidite; et
c est pour cette raison que le ciel des pays meridio-
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. l-i
naux est habituellement d un a/nr p!u<
beau que
oolui des pays du nonl.
Lors done qu uii faisceau de lumiere iravi INC uue
eiendue (Taif ass.-/ considerable, il
pen! en eliemiu
une partie des ?"I\<M>> donf i! rst ionur, H par conse
quent de son intensile.
(lotto observation n o.sl
pas anssi iuiporlanlc,
lursque Ton consider?. Je raxon ,| t
lumiere
dans sa
inarche, depuis 1
corps luniineux jusqu a I oli jo I
eclaire, que lorsqu on le suit comme rayon visuel dans
son retour de 1
objet eclaire jusqu a TosiJ. En eft et,
relativement a tons les objets eclaires par le Soleil, par
cxemple, qui s ofTrcnt a nos regards d;ns un instant
determine, la lumiere traverse une eonelf d air x usiblement
egale pour eeiaircr oliacun d cnx, et la pcrte
qu ellt eprouve dans sa inarchn diniinue rgaleinent.
la clarte de tous. II
y a cependant des eircons1an< i-s
ou il esl essentie! d avoii e^fard a c< lie po-te ; el, pour
representer dans un tableau un effet de soleil lo\an,
un peintre remarquera quo la lumiere traversant alors
horizontalement une grande etendue de 1
alinosphere,
avant de parvenir aux objets qu elle coloie, a bien
inoins de force et. d eclat qu au milieu du jour.
Mais c est surtout dans le Irajol de i
objoi erlaire
jusqu a I
osil, qu il est essentiel d examiner comnu nl
la lumiere est alteree par la masse d air interposee.
Non seulement une par lie des rayons reflechis par
1
objet se trouve interceptee, mais les molecules d air
intermediaires regoivcnt aussi des rayons directs
de lumiere et les reflechissent avec leur propre couleur,
dans la direction meme de ceux qui sont renvoyes
a 1 ceil
par 1
objet eclaire. La sensation que cet
124 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIEN TIFIQUE.
objet doit faire eprouver a 1 oeil est done alteree de
deux manieres ;
d abord, en ce qu une partie des
rayons qui doit la faire naitre est arretee; et ensuite,
parce que des rayons etrangers et d une coulem
bleuatre se melont aux premiers. Get efTet est d autant
plus prononce, que la masse d air interposee est plus
considerable; et 1 on peut admettre comrne principe,
qu a mesure que la distance des objets eclaires a notre
oeil augmente, leur clarte diminue, et leur coulcur
propre parlicipe davantage de la couleur bleue dc
J
atmosphere.
Pour les objets dans 1
ombre, un eflet analogue a lieu.
S il n y avait qu un corps lummcux et point d atmosphere,
1 ombre serait d un noir absolu; mais les objets
environnants, et particulierement Fair lui-meme,
eclairent jusqu a un certain degre les parties des
corps qui ne recoivent pas directement la lumiere, ct
c est ainsi que leurs formes deviennent sensibles pour
nous. De plus, les rayons qu elles peuveiit nous renvoyer
sont aussi en partie arretes par les molecules de
1 air intermediaire; ces molecules recoivent et reflechissent
vers notre oeil d autres rayons, qui nous
parviennent dans la direction ou 1 ombre que nous
considerons est placee relativemeiit a nous, et qui
affaiblissent 1 intensite de cette ombre, en y melant
uiie teinte bleuatre; on peut done admettre egalemerit,
que plus les objets non eclaires sont eloignes
de nous, plus 1 ombre diminue d intensite, en se rapprochant
de la teinte de I
atmosphere.
Concevons deux files d objets semblables se prolongearit
a une grande distance, 1 une composee
d objets eclaires et 1 autre d objets dans 1 ombre. La
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. r5
clarte des objets qui composont la premiere ira s atlail-
i ;uil a mesurc qu ils sYluiirnent; si on les suppose
de couleur blanche, le blanc diminuera d eclat et, de
plus, il
changera de couleur par degres inscnsihles,
d un objet an suivant, niais d uno maniere marquee sur
la longueur de la file, et il
passera a une teinte bleuul iv.
En mf-me temp*, I ombrr des ubjets <|ni oompnsent
la seconde file (iuiiinuera d intensite; elle s eclaircira,
non pas en s
approehant dc la couleur blanche, niais
"! la couleur bleue. Si les deux files d objets que imus
considerons s etendent extreniemeiit loin, il arrivera
( nlin que le blanc de ceux qui sont eclaires et le insi
de ceux qui son I dans Poinbre, decroissant loujours
pour se rapprocher <lu l>li
%
u, sc perdront en se confondant
dans la couleur de 1
atmosphere. CYs! ci
<]ti
on
remarque, lorsqu oii aperyoit dc hautes niontagnes,
dans un lointain de 25 ou 3o lieues; leurs cirnes couvertes
de neige et brillantes de clarte, leurs grandes
ombres si prononcees, lorsqu on les voit d une petite
distance et pendant un beau jour, tout s eteint presque
i-nliercmcnt et se fond dans 1 azur du ciel.
Ainsi, quand on veut laire sentir dans un tableau
1 intervalle qui separe deux objets inegalement
eloigncs, il rst de principe de peindre celui qui est le
plus distant de couleurs moins vives, en eteignant les
clairs et en aft aiblissant 1 intensite des ombres; et
quand on doit representer des objets tres lointains, les
couleurs doivent prendre une teinte generale bleu u I re.
Ce principe est bien connu, et memo on 1
exagere, et
1 on en fait tres frequemment un abus qu il est utile
de signaler. D apres ce que nous avons dit, ee n est que
lorsque la difference cntrc les inlervalles (\u\ srpa
T26 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
divers objets de notre ceil devient considerable, qu il
en resulte une difference sensible entre les effets produits
par les masses d air qui occupent ces interval les,
sur la lumiere que les objets nous renvoient. Si Ton
a par exemple devant les yeux une, facade d archilecturc,
dont une par-tie forme une saillie on un
avant-corps de i
m,
la couche d air de i
m d epaisseur,
que les rayons visuels venant de la partie en arrierecorps
out a parcourir de plus que les autres, pour
arrive! jusqu a nous, ne leur ote rieri de leur intensite,
ou du moins leur cii ote trop peu, pour que la diminu
tion soit appreciable par rios sens. En supposant
done 1 avant ct 1
arriere-corps paralleles entre eux et
semblablement eclai es, c est a tort qu on etablirait
une difference entre les teintes qu il faut donner a 1 un
et a 1
autre, comme le font beaucoup de dessinateurs ;
ils nous paraissent egalement eclaires et doivent etre
represented avec la meme clarte.
Cependant, nous distinguons parfahement dans la
realite qu une partie forme saillie sur 1
autre; il n est
pas meme necessaire que 1
avant-corps porte ombre
sur la partie en arriere ;
et lors meme que la direction
du rayon de lumiere venant du Soleil et la position
de Fceil sont tels, qu aucunc ombre n est apparente,
on juge sans peine quel est le plan le plus voisin et
quel est le plus eloigne. 11 est essentiel de reconnaitre
ce qui dirige a cet egard notre jugement, pour 1 imiter
s il se peut, et que )a peinture averlisse 1 ceil
par les
memes moyens que ceux qui 1 avertissent dans la rea
lite.
Representons-nous toujours une fagade d architecture
d un ton de cuuleur parfaitcmciit uniforme, et
GEOMETRIE DESCRIPTIVE.
dont une parlie fonne : ur fauHr uu avant-corps. Si
fon place 1111 <>li-laelr
qiielnmque, tcl qu une planclir,
<|ui
nous dernbe la vu< <Ie 1 arete par laquelle se tnmine
ravant-corps, il nous dr\irnl impossible de
juger laquellr des deux parties est la plus voisinc de
imtiv u-il: niais M l ol!;.rle t >!
tnlrve, on en prut
jugi.T a I inslanl. C.clle rxprrifiu-,- Tori Dimple nuns
apprend done (pje c est par la inaniere dont la lumierr
agit sur 1 arele qui termine 1
avant-corps, que nous
sommcs avertis (ju il exish- uiie saillie. Si I arete dont
il s agit etait unc ligric droite inatlieinatique, 1 action
de la luiniere sur 1 arele serait nulle, ou parfaitem, i,t
inappreeiable, et nous ne pourrions j-as meorr !i>tin^uer
quelle est la parlic qui est en avan I
-ou-ps.
tfllU cette arele n\ si jainais tranchant< , juni.-.is une
ligne droite matb^matique : les nmieriaux dont i ile
est composee ne sont pas d une compariie absolue, les
instruments dont on fait usage pour !< l;.il!er ne sont
point parfuits, on n a point apporl
k
an laillage une
PI ( air ion infinie; et en sortant des mains de 1 ouvrin ,
cette arele etait deja loin d etre ligoureusement pre
cise. \>
-[Miis, lout ee qui a pu la
IVapper )ii
simpleinent
la frotter a du 1 emousser davantage; el, di linitiveuicnt,
au lieu d etre une arete tranehanle, ce n est
qu une suriaci arrondie, que Ton pent considercr
eonime une portion de cylindre Vertical circulaire et
d un tres petit rayon; c est par la inaniere dont la
lumiere agit sur cette surface cylindrique, et en est
renvoyee a notrc ceil, que 1 existence de la saillir nous
est indiquec.
Nous avons montre precedemment que chaque
parlie d une surface courbe rc-*joiJ d aulanl plus de
LES MAITRES DE LA PENSEE SC ENTIFIQUE.
lumiere qu elle se present e plus directement aux
rayons lumiiieux, et que la lumiere qu elle renvoie a
notre cejl a d autant plus d intensite, que cette sur
face s offre plus obliquement a nos regards. D apres
ces principes, il doit, se trouver sur la petite surface
cylimlrique, qui represente 1 arete du cote ou vient la
lumiere, une partie dont la clarte est plus vive; et, sur
1 autre arete, une partie dont la clarte est moindre
que celle de la fagade du batiment; le tout dependant,
pour Ja determination precise, de la position de I ffiil
et de la direction des rayons lumineux.
Ainsi, pour faire sentir, dans 1
exemple propose,
qu il
y a une partie de la fagade qui forme saillie, il
faut menager aux aretes, du cote de 1
ombre, une
ligne un peu moins claire, et a celles qui sont du cote
de la lumiere, une ligne plus eclairee, qu on appelle
reflet; du reste, la teinte sur les deux plans paralleles
dont se compose la fagade doit etre la merne.
Nous devons ajouter cependant encore quelques
developpements qui tiennent a d autres considera
tions.
Nos organes sont doues de certaines proprletes qui
altereiit les sensations qu ils nous transmettent.
L organe de la vue, par exemple, prolonge la sensa
tion au dela de 1 instant ou il 1
eprouve; c est ce que
demontre une experience bien connue :
quand on fait
mouvoir avec rapidite un charbon allume, place au
bout d un baton, on voit, non pas le charbon occu
pant successivemeiit differents points, mais un ruban
de feu continu.
Ge merne organe jouit d une autre propriete, c cst
d etendre, d agrandir les objets, d autant plus qu ils
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. I
>0
sont plus eclai 6a; MI void un rxemple fra])j;int.
Quelques jours apres la nouvelle Lune, et lorsquYlle
approche de son pr -inier quartier, die cst visible sur
1
horizon, encore un p-u apres le coucher du.Soleil;
un quart environ dr son disque seulement est eclaiir,
inais ce qui est dans Fombre recoit par reflexion
quelquc luinierr de la lerre et n est pas invisible pour
nous la parfie rclairoc parait alors d nn diamitTC
beancoup plus grand quo celle qui est dans 1
ombre,
i t i! scinl)!c y avoir nn ressaiil considerable au pas
sage de la courbure dc i linc a la eourbure de 1 autre.
A Tepoque du dernier quartier, d avant le lever du
Solril, la meme illusion se renouvellc; mais la partie
dans 1 ombre au premier quartier est alors eclairee, et
narait a son tour plus grande que 1
autre, qui est
devenue obscure. Plusii-urs experiences confirmcnt
cette faculte qu a la vue d etendre les dimensions des
objets blancs et eclaires, aux depens de ceux qui son I
<
Incurs; nous nc rapporterons que 1
experience suivante,
comme la plus simple. Lorsqu oii place, a cote
1 une de 1
autre, plusieurs bandes paralleles, parfaitenient
egales en largeur et alternativement noires et
blanches, en les regardant d un point un peu eloigne,
ies bandes blanches paraissent beaucoup plus larges
que les noires.
Une troisieme propriete, que 1 oeil partage avec nos
autres organes, tient a ce qu en general les sensations
fortes aflaiblissent momentanemcnt en nous la per
ception des sensations plus faibles. C est ainsi <|uc
!
canonnier, qui vient d entendre la decharge dune
batterie, est insensible a 1
impression d un bruit me
diocre. II arrive memo qu une sensation vive, e
MONO E. II.
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
par un organe, couvre tout a fait une sensation regue
ensuite par un autre organe d une sensibilite plus
obtuse. Avant de boire de la liqueur, nous sentons son
parfum, mais notre odorat y devient insensible,
aussitot que nous en avons bu quelques gouttes; la
sensation forte eprouvee par le palais emousse tout
a fait la sensibilite de 1 odorat. Get effet des sensations
vives est tres remarquable sur 1
organe de la vue : les
objets brillants nous rendeiit insensibles a ceux qui
ne jouissent que d une moindre lumiere; lorsque Ton
passe du grand jour dans un lieu peu eclaire, on ne
distingue rien dans les premiers moments; on a de la
peine a reconnaitre les personnes les plus voisines de
soi; mais peu a peu, la vue s habitue a cette faible
clarte, et Ton parvient, apres quelque temps, a lire
meme un caractere assez fin. II est vrai qu au moment
ou Ton passe de la lumiere a 1
obscurite, la prunelle
de 1 oeil se dilate et permet 1 entree a un plus grand
nombre de rayons ;
mais cette dilatation de la prunelle
a lieu instantanement, et n est pas la cause de 1 effet
que nous venons de rappeler : il tient a ce que 1 oeil
ne perd que lentement 1
impression vive que lui a
laissee la clarte du grand jour.
En appliquant ces remarques a la determination du
reflet qu on doit menager sur une arete eclairee, on
reconnaitra que ce reflet parait a 1 oeil un peu plus
large qu il ne Test en effet, et que les parties contigues
paraissent un peu plus obscures. Pour reproduire dans
la peinture ces apparences, essentielles a la verite, de
1
image, il faudra donner une plus giande largeur au
reflet, et placer parallelement, a droite et a gauche,
une teinte un peu plus sombre sur une faible etendue.
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. I \l
Si nous avions a notre disposition des coulrur- austi
vives que celles de la nature, si nous pouvions prindre
le reflet d un blanc aussi eclatant qm- criui <|ui
a lieu
dans la realite, il deviendrait inutile de lui donner plus
de largeur, et de le rehausser en quelque sortc, par
1
opposition de teintes plus sombres placees a cuic :
la copie fidele de ce qui existe leproduirait, sur nos
organes, 1 efTet produit par 1
objet lui-memo; inais
nous sommes obliges de compenser par unr sorlr
d exageration, qui nous est facile, I
imperfcction dr M.>,
moyens d imitation.
143. Apres avoir traite des modifications quo la
lumiere eprouve, specialement dans son intensite
absolue, et quelles que soient les couleurs dont elle
nous apporte la sensation, il nous reste a examiner
quelles sont les variations que subissent les couleurs
elles-memes par 1 action des diverses causes qui
peuvent les modifier. Cette recherche se rattache a la
partie de 1
Optique, dont 1
objet est 1 etude de la himiere
coloree; elle est beaucoup trop vaste pour que
nous 1 embrassions dans son entier, et nous nous bornerons
a tin petit nombre d observations, que nous
croyons susceptibles d une assez frequente applica
tion.
Une des causes principales des variations
qu eprouvent les couleurs tient a la nature du corps
lumineux; ainsi, le bleuet des champs, qui est d un
beau bleu pendant le jour, semble violet a la clarte
d une bougie; a la meme clarte, le vert des feuilles et
des plantes devient beaucoup plus sombre, et le jaune
se lapproche beaucoup d un blanc un peu rose; c est la
\
102 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
raison pour laquelle les personnes dont le teint n est
pas tres blanc paraissent avec plus d avantage a la
lumiere.
Mais les changements qu on observe dans les couleurs
ne proviennent pas uriiquement de la nature de
la lumiere, soil directe, soil reflechie, dont les objets
sont eclaires; ils tiennent souvent, en partie, a une
appreciation inexacte que nous faisons des couleurs,
lorsque notre jugement est, pour ainsi dire, fausse par
des circonstances particulieres : nous en citerons
quelques exemples.
Le matin, avant le lever du Soleil, et lorsque le ciel
est d un bel azur, si, devant une fenetre ouverte,
nous avons sur une table un papier blanc et une
bougie, le papier se trouve a la fois eclaire par la
clarte de la bougie et par la lumiere deja repandue dans
ratmosphere, et que 1 air nous renvoie. Dans ces cir
constances, que nous placions un corps qui intercepte
en partie la clarte de la bougie par rapport au papier,
1 ombre portee sur le papier ne sera plus eclairee que
par 1
atmosphere, elle paraitra d un beau bleu, ce qui
doit etre en effet, puisque la lumiere reflechie par
1
atmosphere est bleue; mais si nous eteignoiis la
bougie, le papier ne sera en entier eclaire que par cette
meme lumiere bleue, et cependant, nous n hesiterons
pas alors a le juger blanc; et s il se trouve a cote un
papier d uiie teinte bleue, il nous paraitra sensiblement
blanc comme le premier.
Supposons encore que nous soyons dans un appartement
dont les fenetres soient parfaitement exposees
au Soleil, et que nous les fermions par des rideaux
rouges; la piece sera alors entierernent eclairee par
GEOMETRIE DESCRIPTIVE.
dc la lumiere rouge; au bout de quclques instants,
1
ceil, familiarise avec la teinte rougeatre repandue sur
tous les objets, reconnait pour blancs ceux qui sont de
cette couleur, et il
regarde aussi comme blancs crux
qui sont de la couleur rouge des rideaux : mais ce n est
]>as
tout. Si dans le rideau il se trouve une ouverture de
3 mm ou 4
mm de diametre, et qu on presente a peu cle
distance un papier blanc pour recevoir le faisceau de
rayons du Soleil qui passe par cette ouverture, ces
rayons peindront sur le papier blanc une tache verte;
si les rideaux etaient verts, la tache serait rouge.
.Nous ne pouvons pas ici expliquer pourquoi la
tache est verte dans le premier cas, et rouge dans le
second; parce que ce phenomene depend de la theorie
de la composition de la lumiere; mais nous all<>nessayer
d exposer comment il se fait que, 1
appartcment
etant eclaire par de la lumiere rouge, par exemplc,
un objet blanc qui recoit cette lumiere parait encore
blanc, un objet rouge parait egalement blanc, <!
pourquoi la lumiere blanche des rayons solaires, qui
n eprouve aucune alteration, puisqu elle passe par
une ouverture du rideau et qu elle est regue sur un
papier blanc, parait cependant d une couleur toute
difTerente.
II nous est necessaire de faire preceder ce que nunavons
a dire sur ce sujet par quelques considera
tions sur le role que la lumiere blanche joue, en general,
dans 1
operation de la vision.
Lorsque Ton regarde un corps, quelle qu en soit la
couleur, chaque molecule de sa surface visible nous
renvoie des rayons blancs avec ceux qui sont empreints
de la couleur propre du corps.
l )/l LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
Plus nous recevons des rayons de ce genre, et plus
1
objet nous parait eclaire, ou plus sa couleur nous
parait vive et claire. On connait le cinabre, substance
composee de soufre et de mercure, de laquelle on
obtienlce rouge brillant qu onemploie dans la peinture
des vitraux : en masse, le cinabre est d un rouge, brun
assez terne, et semblable a celui de la brique fortement
cuite; inais, a rnesure qu on le broie, il
perd cette
couleur obscure et foncee; en se divisant, il
acquiert
plus de surface et nous renvoie de la lumiere blanche
par un plus grand riombre de points; enfin, quand il
est reduit en poudre impalpable, il offre un rouge tres
eclatant et devient du vermilion. Chaque molecule
du cinabre renvoie done a 1 ceil
plus ou moins de lu
miere blanche; et c est lorsqu elles peuvent en reilechir
une plus grande quantite, que cette substance
prend une couleur plus brillante. De meme, si nous
examirions un chapeau, chaque poil dont le feutre est
compose est un petit cylindre, qui, vu au microscope,
presente une arete blanche, semblable a celle que nous
voyons sur un baton de cire d Espagne, quand nous le
regardons au grand jour; cette arete renvoie done a
notre reil de la lumiere blanche. Ce que nous venons de
dire relativement a ces deux exemples, est vrai de
tous les corps de la nature; c est cette lumiere blanche,
reflechie de tous les points visibles, qui determine
essenliellement la teinte de clarte propre a chaque
partie de 1
objet considere, parce que les rayons blancs
sont les plus complets et les plus vifs de ceux que
chaque molecule nous renvoie; ce sont ceux, par con
sequent, qui nous font mieux connaitre les formes,
apprecier 1 inclinaison de chaque element et la cour-
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. I >5
bure en chaque point de la surface. Nous sommes
habitues a cette grande abondance de lumiere blanche
et aux services qu elle nous rend dans la vision ;
et c est
comparativement a elle qu en general nous jugeons
dc la lumiere coloree.
Ceci pose, si les objets ne sont eclaires que par d<- la
lumiere deja coloree, si, comme nous 1 avons suppose
tout a 1
heure, des rideaux ou des vitres rouges donnent
cette couleur a toute la lumiere que le Soleil projette
dans un appartement, ce ne sera plus au moyen de la
lumiere blanche que nous jugerons de la forme des
corps, puisque les rayons blancs que chaque point
aurait reflechis, si la lumiere n eut pas ete alterce,
deviennent alors des rayons rouges. Ces rayons, cependant,
sont encore les plus complets et les plus vifs de
ceux qui nous parviejment, et quoique notre ceil en
soit afTecte d une maniere differente, il
juge cependant
par leur secours, comme il 1 eut fait a 1 aide des rayons
blancs ;
il est done conduit naturellement a les regarder
comme blancs, et c est en comparant les autres rayons
a ceux-la qu il
apprecie leurs couleurs. On voit, d apres
ceci, que s il se trouve dans 1
appartement un corps
du meme rouge que la lumiere dont la piece est eclairee,
cet objet, renvoyant des rayons de meme nature que
ceux que nous jugeons blancs, nous paraitra blanc
egalement. On verifiera facilement cette experience,
en plagant un verre rouge devant ses yeux et en regar
dant, au travers, des objets blancs et des objets rouges ;
les uns et les autres paraitront de la premiere de ces
couleurs.
La meme cause qui nous determine a regarder
comme blancs des rayons qui ne le sont pas en eiTet
l!>() LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.
ne nous permet pas d admettre comme tels ceux qui
le sont reellement; et telle est ]a raison pour laquelle la
lumiere naturelle du Soleil, qui passe a travers urn.
petite ouverture d un rideau rouge, va porter sur un
papier blanc une couleur qui nous parait tres sensiblemcnt
differente de la couleur blanche.
Lcs observations precedentes, que nous avons faites
en considerant un exemple particulier, sont de nature
a etre facilement generalisees, et s etendent a toutes
les circonstances ou la lumiere dont les corps sont
eclaires n est pas telle que celle que nous recevons
habituellement du Soleil. On sent combieii il
peut
etre essentiel, quelquefois, d y avoir egard, surtout
quand il s agit de peindre un objet qui ne recjoit que
de la lumiere reflechie, ou alteree par les milieux diaphanes
qu elle a traverses. Presque toujours, la lu
miere qui n arrive que par reflexion est empreinte de
la couleur des corps qui la reflechissent; cette modifi
cation influe sur les apparences que presentent les
couleurs de 1
objet qu elle eclaire, et sur le jugement
que nous portons de leurs rapports.
FIX DU DEUXIEME ET DERMKR VOLU3:i:.
TABLE DBS MATIERES
HI l-l.l XIKMK VOI.IMK.
IV.
Application des intersections des surfaces a la solu
tion dc diversos questions
V.
Utilite de I
enseignernent de la geometric descriptive
dans les ecoles secondaires
Des courbes pianos et a double courbure, de leurs
developpees, de leurs developpantes, de leurs
rayons de courburc 29
De la surface qui cst le lieu geornetrique des deve
loppees d unt- courlc; a double courbure; propriete
remarquable <!
ddvelopp^eSi
considerees sur cettc
surface. Generation d une courbe quelconque a
double courbure par un mouvement continu ....
Des surfaces courbes. Demonstration de cette pro
position : Unc surface quelconque n a dans
chacun de ses points quc deux courburcs ;
chacuno
de ces courbims a un sens particulier, son rayon
particulier, et les deux arcs sur lesquels se mesurent
ces deux courbures sont a angles droits sur
la surface 4o
Des lignes de courbure d une surface quelconque, de
ses centres de courburs et de la surface qui en est
TABLE DES MATIERES.
le lieu geometrique. Application a la division des
voutes en voussoirs et a Fart du graveur 53
Theorie des ombres et de la perspective.
Utilite des ombres tracees sur les epures 65
De la description graphique des ombres 68
Theorie de la perspective.
Methodes pour mettre les objets en perspective. ... 97
De la determination des teintes dans la representa
tion des objets, et de la perspective aerienne 112
Des variations que subissent les couleurs dans certaines
circonstances . . i3i
FIN DE LA TABLE DES MATIERES.
LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE
HUYGENS (Christian). Traite de la lurniere. Un vol. do x-155 pages
et 74 figures ; broche, net 3 fr. 50
LAVOISIER (A.-L.). Memoires snr la respiration el la transpira
tion des animaux. Un vol. de vni-68 pages ; broche, net. . . 3 fr.
SPALLANZANI (Lazare). Observations et Experiences failes sur les
Animalcules des Infusions. Deux vol. de vm-106 et 122
chaque vol. broche, net 3 fr.
CI.AIHAUT (A.-C.). Elements de Geometric. Deux vol. de xiv-95 et
103 pages avec G9 et 77 figures; chaque vol. broche, net. 3 fr. 50
LAVOISIER et LAPLACE. Memoire sur la chaleur. Un vol. de 78 pages
avec 2 planches; broche, net 3 fr.
r (Lazare). lieflexions sur la melaphysique du Calcul in/l/iinal.
Deux vol. de vni-117 et 105 pages avec 5 figures; chaque
v
-ol. broche, net 3 fr.
D ALEMBERT (Jean). Traile de Dynamique. Deux vol. de XL-102 et
1 87 pages avec 8 1
figures ; chaque vol. broche, net 3 f r.
IK TROCHET (Rene). Les mouvements des vegelaux. Du reveil et du
sommeil des plantes. Un vol. de vni-121 pages et 25 figures; broclu-,
net 3 fr.
AMPERE (A.-M.). Memoires sur I
eleclromagnetisme et I
electrodynamique.
Un vol. de xiv-1 10 pages et 17 figures; broche, net 3 fr.
LAPLACE (P.-S.). Essai philosophique sur les probabilites. Deux
vol. de xn-103et 108 pages; chaque vol. broche, net. ... 3 fr.
. CER (Pierre). Essai d optique sur la gradation de la luiniere.
Un vol. de xx-130 pages et 17 figures; broche, net... 3 fr. ,
I.VE (Paul). Les axiomes de la ]\Iecanique. Exainen critique.
^ntc aur la propagation de la lumiere. Un vol. de xin-112 pages et
4 figures; broche, net 4 fr.
Sous presse :
MAI.IOTTE (Edme). Discours de la nature de lair. De la vegetation
des planles. Nouvelle decouverte touchanl la vue. Tin vol. de
GO pages; broche, net
NO! (Gaspard). Geomelrie descriptive. Deux vol. de xvi-l il
^ \ !. *.X
pages avec 53 figures; chaque vol. broche, net. ...
:i *st tire de chaque volume 10 exemplaires sur papier
de Hollande, au prix uniforme et net de G francs.
Paraitront successivement :
NEWTON. Principes malhematiques de la philosopliie naturelle.
LAME. Examen des differentes methodes employees pour resoudre
les problernes de geometrie.
PASCAL. Traite de I
equilibre des liqueurs. Traite de la pesanleur
de la masse de I air.
GALILEE. Dialogues el demonstrations concernant deux sciences
nouvelles.
FERMAT. De la comparaison des lignes courbes avec les lignes droiles.
CARNOT (Sadi). Reflexions sur la puissance motrice du feu.
D ALEMBERT. Elements de philosophic.
FARADAY. Recherches experimentales sur I electricite.
HELMHOLTZ. Memoires sur Vhydrodynamique.
MALUS. Theorie de la double refraction de la lumiere.
LAPLACE. Memoire sur les inegalites seculaires des planeles el des
satellites.
EUCLIDE. Les Elements.
DE SAUSSURE. Recherches chimiqucs sur la vegetation.
ARCHIMEDE. De la sphere et du cylindre.
GAUSS. Methode des moindres carres.
FOUCAULT. Memoires rclatifs a la mesure de la vilesse de la lumiere
et au rnouvemenl de la Terre.
GAY-LUSSAC et THENARD. Recherches physico-chimiques.
INGENHOUSZ. Experiences sur les vegelaux.
CHEVREUL. Recherches chimiques sur les corps gras d origine ani-
male.
NEWTON. Optique.
LAMARCK. Philosophic zoologique.
COULOMB. Memoires sur I electricite et le magnetisms.
MENDEL. Essai sur les planles hybrides.
LEIBNIZ. Memoires sur I analyse infinitesimale et la dynamique.
BRAVAIS. Memoire sur les systemes formes par des points distribues
re gulicrement sur un plan ou dans I
espace.
BICHAT. Recherches physiologiqiies sur la vie et la morl.
LAPLACE. Sur la theorie des tubes capillaires. Sur I action capillaire.
De I adhesion des corps a la surface des fluides. Considerations sur la
iheorie des phenomenes capillaires.
YOUNG. Theorie de la lumiere et des couleurs. Correspondance
choisie sur des sujets d optique.
VOLTA. Lettres sur I electricile animale.
FARADAY, AMPERE. Rotations clectrornagnetiques.
HERSCHEL. Discours prelirninaire stir V etude de la philosophic natu-
relle.
LAGRANGE. Memoire sur la tlieorie du mouvement des fluides.
DUTHOCUET. De Vendosmose el de Vexosmose.
GAUSS. Recherches gernTnlfx sur li:t
surfaces cinirli<-x.
RIEMANN. Sur les hypotheses qui servenl de base a la geomclrie.
CLIFFORD. Essais el conferences sur les fondements etla philosophic
des sciences.
LAPLACE. Exposition du systcme du monde.
REAUMUR. Memoires pour servir a I histoire des insectes.
FRESNEL. De la lumiere.
CiEOFFROY SAINT-HILAIRE. Principes de philosophic zoologique.
DESCARTES. La geometric.
CLAIRAUT. Theorie de la figure de la Terre.
LAVOISIER. Decomposition el recomposition de lean. lu /le.i!<>ns
sur
la decomposition de I eau par les substances ve^etalcx t-l aniinales.
DESARGUES. Traite des coniques.
FOURIER. Questions sur la theorie physique de la cliali-nr rttijnnminlt .
Resume theorique des propricles de la chaleur rayonnunle.
HALES. Essais de statique vegelale.
MENDELEEFF. ^lemoire sur le sysleme nalurel des ulcmcnls clti-
miques.
SWAMMERDAM. Memoires sur les abeilles.
LOBATSCIIEFSKI. Pangeometrie ou theorie ginerale des paralleles,
suivie des opinions de d Alemberl sur le meme sujet el d une discus
sion sur la ligne droite entre Fourier el Monge.
SPALLANZANI. Experiences sur la digestion de I homme et de diHerentes
especes d animaux.
ACCADEMIA DEL CiMENTo. Essais d experiences physiques.
BOLYAI. La science absolue de Vespace.
HARVEY. La circulation du sang.
DE SAUSSURE (H.-B.). Essais sur I
hygrotnetrie.
CLIFFORD. Memoires malhematiques.
BERNARD (CLAUDE). Introduction d I elude de la medecine cxpe-
rimenjale.
HERTZ. Equations electrodynamiqucs fondamcnlales des corps en
mouvemenl et des corps en repos.
D autres volumes sont en preparation.
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Tel. No. 642-3381
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stamped below, or on the date to which renewed.
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OR 1986L8
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