Základní, výběrový a datový soubor
Základním souborem rozumíme libovolnou neprázdnou množinu E. Prvky množiny E značíme s a nazýváme je objekty. Libovolnou neprázdnou podmnožinu (s1; sn} základního souboru E nazýváme výběrový soubor rozsahu n. Je-li množina GcE, pak symbolem N(G) rozumíme absolutní četnost množiny G ve výběrovém souboru, tj. počet těch objektů množiny G, které patří do výběrového souboru. Relativní četnost množiny G ve výběrovém souboru zavedeme vztahem
množina G
Příklad: Základním souborem E je množina všech ekonomicky zaměřených studentů 1. ročníku českých vysokých škol. Množina G1 je tvořena těmi studenty, kteří uspěli v prvním zkušebním termínu z matematiky a množina G2 obsahuje ty studenty, kteří uspěli v prvním zkušebním termínu z angličtiny. Ze základního souboru bylo náhodně vybráno 20 studentů, kteří tvoří výběrový soubor (s1, s20}. Z těchto 20 studentů 12 uspělo v matematice, 15 v angličtině a 11 v obou předmětech. Zapište absolutní a relativní četnosti úspěšných matematiků, angličtinářů a oboustranně úspěšných studentů.
v
Řešení:
N(G!)= 2,N(G2)= 5,N(G!n   2) = l,n= :0,p(G1)=^= i,6,p(G2)=^ = »,75, P(Gin   2) = ±= 155
Vidíme, že úspěšných matematiků je 60%, angličtinářů 75% a oboustranně úspěšných studentů jen 55%.
Vlastnosti relativní četnosti: Relativní četnost má následujících 12 vlastností, které jsou obdobné vlastnostem procent.
. p(0) = O
• p(G) > 0 (nezápornost)
. p(G)<l
. p(Gi u G2) + p(Gi n G2) = p(G0 + p(G2)
. l+p(G1nG2)>p(G1) + p(G2)
. p(Gi u G2) + 0 < p(Gi) + p(G2) (subaditivita)
. Gi n G2 = 0 => p(Gi u G2) = p(Gi) + p(G2) (aditivita)
. p(G2\G1) = p(G2)-p(G1nG2)
. Gi c G2 ^ p(G2 \ Gi) = p(G2) - p(Gi) (subtraktivita)
. Gi c G2 ^> p(Gi) < p(G2) (monotonie)
. p('E) = 1 (normovanost)
. p(G) + p( G) = 1 (komplementarita)
Pojem podmíněné relativní četnosti: Pokud se v daném základním souboru zajímáme o dvě podmnožiny, můžeme zavést pojem podmíněné relativní četnosti jedné podmnožiny v daném výběrovém souboru za předpokladu, že objekt pochází z druhé podmnožiny. Nechť E je základní soubor, G1, G2 jeho podmnožiny, (s1,    sn} výběrový soubor. Definujeme
podmíněnou relativní četnost množiny G1 ve výběrovém souboru za předpokladu G2:
p(Gi/G2) = N°'^;2:= P-%^4-: a
podmíněnou relativní četnost G2 ve výběrovém souboru za předpokladu Gi:
p(G2/G0 = m^\°= P-%4-:.
Příklad: Pro údaje z příkladu o studentech vypočtěte podmíněnou relativní četnost úspěšných matematiků mezi úspěšnými angličtináři a podmíněnou relativní četnost úspěšných angličtinářů mezi úspěšnými matematiky.
(Připomínáme, že z 20 studentů 12 uspělo v matematice, 15 v angličtině a 11 v obou předmětech.)
v
Řešení:
NCGJ = 2,N(G2) = .5,1^ n ř2) = l,n = 20,
p(Gi/G2) = NOlj?^= - = 0,73 (tzn., že 73% těch studentů, kteří byli úspěšní v angličtině, uspělo i v matematice)
p(G2/G0 = N<\?^2-=-= 0,92 (tzn., že 92% těch studentů, kteří byli úspěšní v matematice, uspělo i v angličtině)
Pojem četnostní nezávislosti dvou množin: O četnostní nezávislosti dvou množin v daném výběrovém souboru hovoříme tehdy, když informace o původu objektu z jedné množiny nijak nemění šance, s nimiž soudíme na jeho původ i z druhé množiny. V příkladě se studenty by množiny úspěšných matematiků a úspěšných angličtinářů byly četnostně nezávislé, pokud podíl úspěšných matematiků mezi úspěšnými angličtináři by byl stejný jako podíl úspěšných matematiků mezi všemi zkoušenými studenty a stejně tak podíl úspěšných angličtinářů mezi úspěšnými matematiky by byl stejný jako podíl úspěšných angličtinářů mezi všemi zkoušenými studenty, tj.
n Oj n r 2 ^ nOj^ n Oj n ř2 ^ nQ2^ n02^        n n 00 n
Po snadné úpravě dostaneme multiplikativní vztah
-=---, tj. PVj n  r2^= )ÍJjJIÍJ^
n n n
Řekneme tedy, že množiny Gi, G2 jsou četnostně nezávislé v daném výběrovém souboru, jestliže pOi^ ř2"= )0i j302ľ-(V praxi jen zřídka dojde k tomu, že uvedený vztah platí přesně. Většinou je jen naznačena určitá tendence četnostní nezávislosti.)
Příklad: Pro údaje z příkladu o studentech zjistěte, zda úspěchy
v matematice a angličtině jsou v daném výběrovém souboru četnostně
nezávislé.
(Připomínáme, že oboustranně úspěšných studentů bylo 55%, úspěšných matematiků 60% a úspěšných angličtinářů 75%.)
v
Řešení:
p(Gi n G2) = 0,55, p(Gi)p(G2) = 0,6x0,75 = 0,45, tedy skutečná relativní četnost oboustranně úspěšných studentů je větší než by odpovídalo četnostní nezávislosti množin Gi, G2 v daném výběrovém souboru. Znamená to, že úspěch v matematice se zpravidla sdružuje s úspěchem v angličtině a naopak.
Pojem skalárního a vektorového znaku: Vlastnosti objektů vyjadřujeme číselně pomocí znaků. Nechť E je základní soubor. Funkce X: E — R, Y: E — R,    Z: E — R,
které každému objektu přiřazují číslo, se nazývají (skalární) znaky. Uspořádaná p-tice (X, Y,    Z) se nazývá vektorový znak.
M) <ttí) Ď
Označení: Nechť je dán výběrový soubor {si,sn} e E. Hodnoty znaků X, Y,    Z pro i-tý objekt označíme xi = X(si), yi = Y(si), zi = Z(Si), i = 1, n.
Pojem datového souboru:
f*i Yi — Zi ^ l l
I X      V      '''    z I
Matice j 2 j typu n x p se nazývá datový soubor. Její řádky
II
lxm     Yn     — ZnJ
odpovídají jednotlivým objektům, sloupce znakům. Libovolný sloupec této matice nazýváme jednorozměrným datovým souborem. Jestliže uspořádáme hodnoty některého znaku (např. znaku X) v jednorozměrném datovém souboru vzestupně podle velikosti,
dostaneme uspořádaný datový soubor Ml, kde x(i) < x(2) < ... < x(n).
fa)
Vektor I i I, kde x^j < ... < x[r] jsou navzájem různé hodnoty znaku
[,X[r])
X, se nazývá vektor variant.
Příklad: Pro studenty z výběrového souboru uvedeného výše byly zjišťovány hodnoty znaků X - známka z matematiky v prvním zkušebním termínu, Y -známka z angličtiny v prvním zkušebním termínu, Z - pohlaví studenta (0 ... žena, 1 ... muž). Byl získán datový soubor
(2	2	0
1	3	1
4	3	1
1	1	0
1	2	1
4	4	1
3	3	1
3	4	0
1	1	0
1	1	0
4	2	1
4	4	0
2	2	0
4	3	1
2	3	1
4	4	0
1	1	0
4	3	1
4	4	1
1	3	0
Utvořte jednorozměrný uspořádaný i neuspořádaný datový soubor pro známky z matematiky a vektory variant pro známky z matematiky.
v
Řešení:
(2\ (1) lil lil
4 1 1 4 3
3
1
1
4 4
2
4 2 4 1
4
i 4 |   | 4 |
(1) I 2 I l3l
[4)
Pojem jevu: Nechť (s1,    sn) je výběrový soubor, X, Y,    Z jsou znaky, B, Bi, Bp jsou číselné množiny.
Zápis {X g B} znamená jev „znak X nabyl hodnoty z množiny B" . Zápis {X e Bi a Y e B2 a ... a Z g Bp} znamená jev „znak X nabyl hodnoty z množiny B1 a současně znak Y nabyl hodnoty z množiny B2 atd. až znak Z nabyl hodnoty z množiny Bp".
Symbol N(X g B) značí absolutní četnost jevu {X g B} ve výběrovém souboru, tj. počet těch objektů ve výběrovém souboru, pro něž xí g B. Symbol p(X e B) znamená relativní četnost jevu {X e B} ve
výběrovém souboru, tj. p(X e B) = N(Xe ^ .
n
Analogicky N(X eB!AYeB2a...AZe Bp) resp.
p(X eBiAYeB2a... aZg Bp) znamená absolutní resp. relativní
četnost jevu {X e Bi a Y e B2 a ... a Z e Bp} ve výběrovém
souboru.
Příklad: Pro datový soubor s údaji o známkách najděte relativní četnost
a) matematických jedničkářů
b) úspěšných matematiků
c) oboustranně neúspěšných studentů. Datový soubor má tvar:
(2 2 0\
113 11 4   3 1 110 12 1 4   4 1
331 340 110 110 421 440 220 431 231
440 110 431
441 130
V
Řešení:
ad a) p(X = 1) = ad b) p(X < 3) =
ad c) p(X = 4 a
— = 0,35;
20
12
20 Y = 4)
= 0,60;
= 4 = 0,20.
20
Zjistili jsme, že jedničku z matematiky mělo 35% studentů, zkoušku z matematiky úspěšně složilo 60% studentů a oboustranně neúspěšných bylo 20% studentů.
Jednorozměrné bodové rozložení četností
Jestliže počet variant znaku X v jednorozměrném datovém souboru není příliš velký, pak přiřazujeme četnosti jednotlivým variantám a hovoříme o bodovém rozložení četností.
Nechť je dán jednorozměrný datový soubor | ■ \, v němž znak X na-
i i
bývá r variant.
Pro j = 1,    r definujeme:
nj = N(X = Xj]) - absolutní četnost varianty xj] ve výběrovém souboru Pj = — - relativní četnost varianty xj] ve výběrovém souboru
Nj = N(X < X[j]) = n1 + ... + nj - absolutní kumulativní četnost prvních j variant ve výběrovém souboru
Fí =     = p1 + ... + pí - relativní kumulativní četnost prvních j variant
n
ve výběrovém souboru
Tabulka typu _
xm	ni	Pi	Ni	Fi
xrn	ni	Pi	Ni	Fi
				
xrn	nr		Nr	Fr
se nazývá variační řada (nebo též tabulka rozložení četností).
Příklad: Máme jednorozměrný datový soubor, který obsahuje údaje o známkách z matematiky (znak X) u 20 studentů.
I 1 I I 4 I
1 1 4
I 3 I I 3 I
1
1 4 4
I 2 I
4
2 4 1 4
4
1
Sestavte tabulku rozložení četností.
Řešení:
			Nj	
1	7	7/20=0,35	7	7/20=0,35
2	3	3/20=0,15	10	10/20=0,50
3	2	2/20=0,10	12	12/20=0,60
4	8	8/20=0,40	20	20/20=1,00
Z	20	1,00	-	-
Pojem četnostní funkce a empirické distribuční funkce
Pomocí relativních četností zavedeme četnostní funkci.
Funkce p(x) = jPj prox X[i]'"'      'r se nazývá četnostní funkce.
[0 jinak
Četnostní funkce je nezáporná (vx e R: p(x) >0)
GO
a normovaná ( J]p(x) =1).
x=-»
Pomocí kumulativních relativních četností zavedeme empirickou distribuční funkci.
Í0 pro x < xm
Funkce  F(x)  =   ^Fjproxm<x<x[j+1]j = i,...,r-i   se  nazývá empirická
[1 prox>x[r]
distribuční funkce.
Empirická distribuční funkce je
neklesající (vx1; x2 e R, xi < x2: F(xi) < F(x2)),
zprava spojitá (vx0 e R libovolné, ale pevně dané: iimx^Xo F(x) =
F(xo))
a normovaná (iimx_, ,F(x) = 0, iimx^ F(x) =1).
Platí VxeR:F«>I>C
t<x
Příklad: Pro známky z matematiky nakreslete graf četnostní funkce a empirické distribuční funkce.
v
Řešení:
Variační řada
	ni	pj	Nj	
1	7	7/20=0,35	7	7/20=0,35
2	3	3/20=0,15	10	10/20=0,50
3	2	2/20=0,10	12	12/20=0,60
4	8	8/20=0,40	20	20/20=1,00
Z	20	1,00	-	-
Vzorce
r
pj pro x-^] [0 jinak f 0 pro x < x.
[i]
F<c = Fj pro xm < x < x, I
[j i]
j = i, ...,r - i
[i pro x > x,
[r]
Grafy
Vztah mezi četnostní funkcí a empirickou distribuční funkcí
VxeR:F^= >"p f_
t<x
Grafické znázornění jednorozměrnho bodového rozložení četností
Tečkový diagram: na číselné ose vyznačíme jednotlivé varianty znaku X a nad každou variantu nakreslíme tolik teček, jaká je její absolutní četnost.
i -r-"- i
I      2      ,i -1
Polygon četnosti: je lomená čára spojující body, jejichž x-ová souřadnice je varianta znaku X a y-ová souřadnice je absolutní či relativní četnost této varianty.
Polygon Četností pro známky z matemati
9-,-,-,-,-1
, I-,-,-,-^
12 3 4
Sloupkový diagram: je soustava na sebe nenavazujících obdélníků, kde střed základny je varianta znaku X a výška je absolutní či relativní četnost této varianty.
Sloupkový diagram známek z matem
Výsečový graf: je kruh rozdělený na výseče, jejichž vnější obvod odpovídá absolutním četnostem variant znaku X.
Výsečový diagram známek z matematil
9
8
7
6
5
4
3
2
0
2
3
4
4
3
Dvourozměrné bodové rozložení četností
Nechť je dán dvourozměrný datový soubor ]......], kde znak X má r variant a
znak Y má s variant. Pak definujeme:
Ujk = N(X = x|j] a Y = y[k]) - simultánní absolutní četnost dvojice (x^, y[k]) ve výběrovém souboru
pjk = — - simultánní relativní četnost dvojice (x[j], y[k]) ve výběrovém souboru
nj. = N(X = x[j]) = nj1 + ... + njs - marginální absolutní četnost varianty X[j]
pj. = — = pj1 + ... + pjs - marginální relativní četnost varianty X[j]
nk = N(Y = y[k]) = n1k + ... + nrk - marginální absolutní četnost varianty ym
p k = — = p1k + ... + prk - marginální relativní četnost varianty y[k] n
Simultánní četností zapisujeme do kontingenční tabulky. Kontingenční tabulka simultánních absolutních četností má tvar:
	y	y[1] ...	y[s]	nj.
x	njk			
x[1]		nn ...	n1s	n1.
x[r]		nr1 ...	nrs	nr.
n.k		n.1 ...	n.s	n
Příklad: Máme datový soubor, který obsahuje údaje o známkách z matematiky (znak X), z angličtiny (znak Y) a pohlaví studenta (znak Z, 0 - žena, 1 - muž) u 20 studentů:
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
X	~2	1		1	1	4	3	3	1	1	4	4	2	4	2	4	1	4	4	1
Y	2	3	3	1	2	4	3	4	1	1	2	4	2	3	3	4	1	3	4	3
Z	0	1	1	0	1	1	1	0	0	_0_	1	__0_	0	1	1	0	0	1	1	0
Vytvořte kontingenční tabulku simultánních absolutních a relativních četností
pro známky z matematiky a angličtiny.
Řešení:
Kontingenční tabulka simultánních absolutních četností
r	v	■ 1   2   3 4	...
JE			
i		0   2   1 0 0   0   1 1 í 0   1   3 -1	2 ,i.
íl-i        ] 'l   <1   ? E>			n = 20 [
Kontingenční tabulka simultánních relativních četností
		\	2	3	4	Pj-
X						
1		0,20	0,05	0,10	O;0Ú	0,3-5
2		0,00	n,L(]	otos	0,00	0,13
3		0,00	0,0(1	(}.{)&	0,0o	0,10
4		0,00	0,05	ÍÍ.15	0,20	0,40
		(1,20	0,20	0,3-5	0,25	lr0Q
Pojem simultánní a marginální četnostní funkce
Pomocí simultánních relativních četností zavedeme simultánní
četnostní funkci:
Funkce
^       rpjkprox = xm,y = y[k]J = l,...,r,k = l,...,s ^0 jinak
se nazývá simultánní četnostní funkce.
Pomocí marginálních relativních četností zavedeme marginální četnostní funkce pro znaky X a Y. Odlišíme je indexem takto:
^   Ipj prox=xmJ = l,...,r
Pi*.-= , [0 jinak
~   fpk pro y = yM, k = 1, • s [0 jinak
Mezi simultánní četnostní funkcí a marginálními četnostními funkcemi platí vztahy:
GO CO
y= -co x= -co
Příklad: Sestrojte graf simultánní četnostní funkce pro známky z matematiky a angličtiny.
Řešení: Vyjdeme z kontingenční tabulky simultánních relativních četností.
		i	2	3	4	
X						
1		0,20	0,05	0,10	O.00	0,3-5
2		0,00	n, lq	otos	0,00	0,13
3		0,00	0,0(1	(}.{)&	0,0o	o,io
4		0,00	0,05		0,20	0,40
		0,20	0,20	0,35	0,-25	L,Í)0
Pojem četnostní nezávislosti znaků v daném výběrovém souboru
Řekneme, že znaky X, Y jsou v daném výběrovém souboru četnostně nezávislé, právě když pro všechna j = 1,    r a všechna k = 1,    s platí multiplikativní vztah:
Pjk = Pj. P.k neboli pro v(x, y) e R2: p(x, y) = pi(x) p2(y).
Příklad: Ověřte, zda v našem datovém souboru jsou známky z matematiky a angličtiny četnostně nezávislé.
v
Řešení: Vyjdeme z kontingenční tabulky relativních četností.
	\ v.		2	3	4	Pj-
	1 W					
1		0,20		0,10	0,00	0,3-5 ,
2		0,00	iuo	0+05	0S00	0,15
3		0,00	0,00	0.05	030o	0,10
4		0,00	0,03	(Klíi	0,20	0,40
P-k		(],20	0,20	0,35	0,25	1,00
Známky z matematiky a angličtiny nejsou četnostně nezávislé, protože už pro j = 1, k = 1 je multiplikativní vztah porušen: p11 = 0,20, pL = 0,35,    = 0,20, tudíž 0,20 í 0,35.0,20
Pojem řádkově a sloupcově podmíněných relativních četností
Sloupcově podmíněná relativní četnost varianty    za předpokladu yM:
pj(k) -
Řádkově podmíněná relativní četnost varianty yM za předpokladu x^:
pa)k —
Příklad: Pro datový soubor známek z matematiky a angličtiny sestavte kontingenční tabulku sloupcově a poté řádkově podmíněných relativních četností.
v
Řešení:
Nejprve se budeme zabývat sloupcově podmíněnými relativními četnostmi. Použijeme vzorec pJ<s- =
Jk
n,
Vyjdeme z kontingenční tabulky simultánních absolutních četností.
	V  [ 1   S   3 4	
	"JJb !	
L          14   12 0 2 0   2   1 0 3 S 0   0   Í 1 4 í 0   1   3 4		
i n-i        j i   4   7 5~		
		i	2	3	-i
	vm				
1		1,00	0,25	0,29	0,00
2		0,00	0,50	0,14	0,00
		0;00	0,00	0,14	0,20
4		ofoo	0,25	0,43	0,80
1 Ľ		1,00	1,00	1,00	1,00
Interpretujeme např. třetí sloupec: z těch studentů, kteří měli trojku z angličtiny, mělo 2/7 = 29% jedničku z matematiky, 1/7 = 14% dvojku z matematiky, 1/7 = 14% trojku z matematiky a 3/7 = 43% čtyřku z matematiky.
Dále se budeme zabývat řádkově podmíněnými relativními četnostmi. Použijeme vzorec pík = n—.
Opět nám poslouží kontingenční tabulka absolutních četností.
	v 1 í		"ä"	i	
	^iJt !				
L	1 i	i	2		
2		:■:	1	c-	3
	0	0	L	1	
4	■ 0	1		■]	
	■i	<1	?	L	n = W]
		i	2	■í	4	E
x						
:		0,57	0,14	0,29	0,00	1,00
2		0,00	0,67	0,33	0,00	1,00
		0,00	0,00	0,50	0,50	1,00
4		0,00	0,12	0,38	0,50	ls00
Interpretujeme např. první řádek: z těch studentů, kteří měli jedničku z matematiky, mělo 4/7 = 57% jedničku z angličtiny, 1/7 = 14% dvojku z angličtiny a 2/7 = 29% trojku z angličtiny.
Dvourozměrný tečkový diagram
Dvourozměrné rozložení četností lze znázornit pomocí dvourozměrného tečkového diagramu. Na vodorovnou osu vyneseme varianty znaku X, na svislou varianty znaku Y a do příslušných průsečíků nakreslíme tolik teček, jaká je absolutní četnost dané dvojice. V našem příkladě se studenty dostaneme tento diagram:
Dvourozměrný tečkový diagram svědčí o nepříliš výrazné tendenci
k podobné klasifikaci v obou předmětech.
Zcela odlišný vzhled má diagram pro muže a pro ženy: