Neparametrické testy o mediánech Motivace: Při aplikaci t-testů či analýzy rozptylu by měly být splněny určité předpoklady: - normalita dat (pro výběry větších rozsahů (n > 30) nemá mírné porušení normality závažný dopad na výsledky) - homogenita rozptylů - intervalový či poměrový charakter dat Pokud nejsou tyto předpoklady splněny, použijeme tzv. neparametrické testy, které nevyžadují předpoklad o konkrétním typu rozložení (např. normálním), stačí např. předpokládat, že distribuční funkce rozložení, z něhož náhodný výběr pochází, je spojitá. Nevýhoda - ve srovnání s klasickými parametrickými testy jsou neparametrické testy slabší, tzn., že nepravdivou hypotézu zamítají s menší pravděpodobností než testy parametrické. V této kapitole se omezíme na ty neparametrické testy, které jsou založeny na pořadí a týkají se mediánů. Nazývají se pořadové testy. Pojem pořadí a průměrného pořadí Nechť X1, Xn je náhodný výběr. Vektor (Xw, X(n)), kde Xw < ... < X(n) se nazývá uspořádaný náhodný výběr a statistika se nazývá i-tá pořádková statistika, i = 1, n. Pořadím Ri statistiky Xi rozumíme počet těch náhodných veličin X1, Xn, které nabývají hodnoty menší nebo rovné Xi, V praxi se může stát, že některá pozorování jsou si rovna a vytvářejí skupiny shodných čísel. Pak těmto shodným číslům přiřadíme průměrné pořadí odpovídající takové skupině. Příklad: Máme čísla 2 1,8 2,1 2,4 1,9 2,1 2 1,8 2,3 2,2. Stanovte jejich pořadí. Řešení: usp.hodnoty 1,8 1,8 1,9 2 2 2,1 2,1 2,2 2,3 2,4 pořadí 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 průměrné pořadí 1,5 1,5 3 4,5 4,5 6,5 6,5 8 9 10 Jednovýběrový znaménkový test a jeho asymptotická varianta Nechť X1, Xn je náhodný výběr ze spojitého rozložení se spojitou distribuční funkcí c). Postup provedení testu: a) Utvoříme rozdíly Yi = Xi - c, i = 1, n. (Jsou-li některé rozdíly nulové, pak za n bereme jen počet nenulových hodnot.) b) Zavedeme statistiku SZ+, která udává počet těch rozdílů, které jsou kladné. Platí-li H0, pak SZ+ ~ Bi(n,1/2), tedy E(SZ+) = n/2, D(Sz+) = n/4. c) Stanovíme kritický obor. Pro oboustrannou alternativu ho budou tvořit ty hodnoty testové statistiky Sz+, které jsou blízké 0 nebo n, tedy W_ ikl), , X\, kde nezáporná celá čísla k1; k2, splňují podmínky Pro levostrannou alternativu: W_ k[), kde nezáporné celé číslo k! splňuje podmínku ^kp^ Pro pravostrannou alternativu: W_ , kde nezáporné celé číslo k2 splňuje podmínku jj^^< (Čísla k1, k2 pro oboustranný test i pro jednostranné testy lze najít ve statistických tabulkách.) d) H0 zamítáme na hladině významnosti a, když Sg+ _ . Asymptotická varianta testu: Pro velká n (prakticky n > 20) lze využít asymptotické normality statistiky Sz+. Testová statistika Lo _ --f- á^- _ má za platnosti H0 asymptoticky rozložení N(0,1). Kritický obor - pro oboustrannou alternativu: w = , X\ /2> ^ j\\ /2?qq> - pro levostrannou alternativu: W = , X\ x, - pro pravostrannou alternativu: W = (X\ ? H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti a, když L|) . Aproximace rozložením N(0,1) se zlepší, když použijeme tzv. korekci na nespojitost. Testová statistika pak má tvar _ -— _ , přičemž 1/2 přičteme, když Sz < n/2 a odečteme v opačném případě. Příklad: U 10 náhodně vybraných vzorků benzínu byly zjištěny následující hodnoty oktanového čísla: 98,2 96,8 96,3 99,8 96,9 98,6 95,6 97,1 97,7 98,0. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že medián oktanového čísla je 98 proti oboustranné alternativě. Řešení: rozdíly x. - 98: 0,2 -1,2 -1,7 1,8 -1,1 0,6 -2,4 -0,9 -0,3 0,0 Sz+ = 3, nenulových rozdílůje 9. ye statistických tabulkách najdeme pro n = 9 a a = 0,05 kritické hodnoty ki = 1, k2 = 8. Protože kritický obor W_ ,V . ! neobsahuje hodnotu 3, nemůžeme H0 zamítnout na hladině významnosti 0,05. Výpočet pomocí systému STATISTICA: Vytvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými a 10 případy. Do proměnné X napíšeme hodnoty oktanového čísla a do proměnné konst uložíme číslo 98. Statistiky - Neparametrická statistika - Porovnání dvou závislých vzorků - OK - 1. seznam proměnných X, 2. seznam proměnných konst - OK - Znaménkový test. Dvojice prom znamenKpvy test (OKtanove cisic Označené testy jsOu významne n ťoceprocei z lurovei ruzný'l v < V X & kons 9 UU,UU U,UUU U,bU4 Vidíme, že nenulových hodnot n = 9. Z nich záporných je 66,7%, tj. 6. Hodnota testové statistiky SZ+ = 9 - 6 = 3. Asymptotická testová statistika U0 (zde označená jako Z) se realizuje hodnotou 0,6667. Odpovídající asymptotická p-hodnota je 0,505, tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu, že medián oktanového čísla je 98. Upozornění: V tomto případě není splněna podmínka pro využití asymptotické normality statistiky SZ+, tj. n > 20. Je tedy vhodnější najít v tabulkách kritickjéjiodnoty pro znaménkový test. Pro n = 9 a a = 0,05 jsou kritické hodnoty ki = 1, k2 = 8. Protože kritický obor Jty^j I neobsahuje hodnotu 3, nezamítáme HQ na hladině významnosti 0,05. Dostáváme týž výsledek jako při použití asymptotického testu. Párový znaménkový test Nechť (Xi, Yi), (Xn, Yn) je náhodný výběr ze spojitého dvourozměrného rozložení. Testujeme H0: x^50 - yo,so = c proti Hi! x0 50 - y0 50 ^ c (resp. proti jednostranným alternativám). Utvoříme rozdíly Zi = Xi - Yi, i = 1, n a testujeme hypotézu o mediánu z0 50, tj. H0: z0 50 = c proti H1: z0 50 ^ c. Příklad: U 8 osob byl změřen systolický krevní tlak před pokusem a po něm. č. osoby 1 2 3 4 5 6 7 8 tlak před 130 185 162 136 147 181 138 139 tlak po 139 190 175 135 155 175 158 149 Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že pokus neovlivní systolický krevní tlak. Řešení: Testujeme H0: z050 = 0 proti oboustranné alternativě H1: z0 50 ^ 0, kde z0 50 je medián rozložení, z něhož pochází rozdílový náhodný výběr Z1 = X1 - Y1, ... Z15 = X8 - Y8. Vypočteme rozdíly mezi tlakem před pokusem a po pokusu, čímž úlohu převedeme na jednovýběrový test. rozdíly xi - yi: -9 -5 -13 1 -8 6 -30 -10 Testová statistika Sz+ = 2. Ve statistických tabulkách najdeme pro n = 8 a a = 0,05 kritické hodnoty k! = 0, k2 = 8. Protože kritický obor W_ , neobsahuje hodnotu 2, nemůžeme HQ zamítnout na hladině významnosti 0,05. Znamená to, že zvýšení krevního tlaku stejně pravděpodobné jako jeho pokles. Výpočet pomocí systému STATISTICA: Vytvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými a 8 případy. Do proměnné X napíšeme hodnoty tlaku před pokusem, do proměnné Y hodnoty tlaku po pokusu. Statistiky - Neparametrická statistika - Porovnání dvou závislých vzorků - OK - 1. seznam proměnných X, 2. seznam proměnných Y - OK - Znaménkový test._ Dvojice prorr znaménkový test (tiak.sta) Označené testy jsou významné n poceprocei z lurovei ruzný'l v < V X & Y 8 /b,UU 1,UUU U,2títí Vidíme, že nenulových hodnot n = 8. Z nich záporných je 75%, tj. 6. Hodnota testové statistiky SZ+ = 8 - 6 = 2. Asymptotická testová statistika U0 (zde označená jako Z) se realizuje hodnotou 1,06066. Odpovídající asymptotická p-hodnota je 0,2888, tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu, že zvýšení krevního tlaku stejně pravděpodobné jako jeho pokles. Grafické znázornění výsledků: Návrat do Porovnání dvou proměnných - Krabicový graf všech proměnných - Proměnné X, Y - OK - ponecháme implicitní nastavení krabicového diagramu - OK. 1 = 7 7 1 X Y Vidíme, že hodnoty tlaku před pokusem a po pokusu se poněkud liší v mediánech, variabilita je přibližně stejná. Rozložení hodnot tlaku před pokusem je nesymetrické, medián je posunut k dolnímu kvartilu. Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta Frank Wilcoxon (1892 - 1965): Americký statistik a chemik Nechť X1, Xnje náhodný výběr ze spojitého rozložení s hustotou cp(x), která je symetrická kolem mediánu x0 50, tj. c. Postup provedení testu: a) Utvoříme rozdíly Yi = Xi - c, i = 1, n. (Jsou-li některé rozdíly nulové, pak za n bereme jen počet nenulových hodnot.) b) Absolutní hodnoty |Yi |uspořádáme vzestupně podle velikosti a spočteme pořadí Ri. c) Zavedeme statistiky _ R+, což je součet pořadí přes kladné hodnoty Yi, SW Ri , což je součet pořadí přes záporné hodnoty Yi. TP. + Přitom platí, že součet SW+ + SW- = n(n+1)/2. Je-li H0 pravdivá, pak E(Sw+) = n(n+1)/4 a D(Sw+) = n(n+1)(2n+1)/24. d) Testová statistika = min(SW+, SW-) pro oboustrannou alternativu, = SW+ pro levostrannou alternativu, = SW- pro pravostrannou alternativu. e) H0 zamítáme na hladině významnosti a, když testová statistika je menší nebo rovna tabelované kritické hodnotě. Asymptotická varianta jednovýběrového Wilcoxonova testu: Pro n > 30 lze využít asymptotické normality statistiky Sw+. Platí-liH0,pakLÍ)_ "t- ^~ L«N(0,1). Kritický obor: pro oboustrannou alternativu W = , \\ ^ j\\ /2->^y pro levostrannou alternativu W = , X\ v, pro pravostrannou alternativu W = (X\ ? H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti a, když \J) . Předpoklady použití jednovýběrového Wilcoxonova testu: - rozložení, z něhož daný náhodný výběr pochází, je spojité - hustota tohoto rozložení je symetrická kolem mediánu - sledovaná veličina X má aspoň ordinální charakter (Není-li splněn předpoklad o symetrii hustoty kolem mediánu, lze použít např. znaménkový test.) Příklad: U 12 náhodně vybraných zemí bylo zjištěno procento populace starší 60 let: 4,9 6,0 6,9 17,6 4,5 12,3 5,7 5,3 9,6 13,5 15,7 7,7. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že medián procenta populace starší 60 let je 12 proti oboustranné alternativě. Řešení: Testujeme hypotézu H0: x050 = 12 proti oboustranné alternativě H1: x0 50 ^ 12. Vypočteme rozdíly pozorovaných hodnot od čísla 12: -7,1 -6,0 -5,1 5,6 -7,5 0,3 -6,3 -6,7 -2,4 1,5 3,7 -4,3. Absolutní hodnoty těchto rozdílů uspořádáme vzestupně podle velikosti. Kladné rozdíly přitom označíme červeně: usp. |xi - 121 0,3 1,5 2,4 3,7 4,3 5,1 5,6 6 6,3 6,7 7,1 7,5 pořadí 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Sw+ = 1 + 2 + 4 + 7 =14, Sw- = 3 + 5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 64, n = 12, a = 0,05, tabelovaná kritická hodnota pro n = 12 a a = 0,05 je 13, testová statistika = min(SW+, SW-) = min(14,64) = 14. Protože 14 > 13, H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05. Výpočet pomocí systému STATISTICA: Utvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými a 12 případy. Do proměnné procento napíšeme zjištěné hodnoty a do proměnné konst uložíme číslo 12. Statistiky - Neparametrická statistika - Porovnání dvou závislých vzorků - OK - 1. seznam proměnných rozdil, Druhý seznam proměnných konst - OK - Wilcoxonův párový test. Dvojice prorr Wiicoxongv parovy test (popuiac Označené testy jsou významne n foce platný 1 Z urovei procento & k 1214,UU|1,yb1| U,U49 Výstupní tabulka poskytne hodnotu testové statistiky SW+ (zde označena T), hodnotu asymptotické testové statistiky U0 a p-hodnotu pro U0. V tomto případě je p-hodnota 0,049861, tedy nulová hypotéza se zamítá na asymptotické hladině významnosti 0,05. Tento výsledek je v rozporu s výsledkem, ke kterému jsme dospěli při přesném výpočtu. Je to způsobeno tím, že není splněna podmínka pro využití asymptotické normality statistiky SW+, tj. n > 30. Párový Wilcoxonův test Nechť (X1, Y1), (Xn, Yn) je náhodný výběr ze spojitého dvourozměrného rozložení. Testujeme H0: x0 50 - y0 50 = c proti H1: x0 50 - y0 50 ^ c (resp. proti jednostranným alternativám). Utvoříme rozdíly Zi = Xi - Yi, i = 1, n a testujeme hypotézu o mediánu z0 50, tj. H0: z0 50 = c proti H1: z0 50 ^ c. Příklad: K zjištění cenových rozdílů mezi určitými dvěma druhy zboží bylo náhodně vybráno 15 prodejen a byly zjištěny ceny zboží A a ceny zboží B: (11,10), (14,11), (11,9), (13,9), (11,9), (10,9), (12,10), (10,8), (12,11), (11,9), (13,10), (14,10), (14,12), (19,15), (14,12). Na hladině významnosti 0,05 je třeba testovat hypotézu, že medián cenových rozdílů činí 3 Kč. Řešení :Testujeme H0: z^50 = 3 proti oboustranné alternativě H1: z^50 ^ 3, kde z^50 je medián rozložení, z něhož pochází rozdílový náhodný výběr Z1 = X1 - Y1, ... Z15 = X15 - Y15.Vypočteme rozdíly mezi cenou zboží A a cenou zboží B, čímž úlohu převedeme na jednovýběrový test. Výpočty uspořádáme do tabulky: č. prodejny cena zboží A cena zboží B rozdíl |rozdíl-medián| pořadí 1 11 10 1 2 12 2 14 11 3 0 - 3 11 9 2 1 5,5 4 13 9 4 1 5,5 5 11 9 2 1 5,5 6 10 9 1 2 12 7 12 10 2 1 5,5 8 10 8 2 1 5,5 9 12 11 1 2 12 10 11 9 2 1 5,5 11 13 10 3 0 - 12 14 10 4 1 5,5 13 14 12 2 1 5,5 14 19 15 4 1 5,5 15 14 12 2 1 5,5 (Tučně jsou vytištěna pořadí pro kladné hodnoty rozdíl - medián.) Sw+ = 5,5 + 5,5 + 5,5 = 16,5, Sw" = 12 + 5,5 + 5,5 + 12 + 5,5 + 5,5 + 12 + 5,5 + 5,5 + 5,5 = 74,5, n = 13, a = 0,05, tabelovaná kritická hodnota = 17, testová statistika = min(SW+, Sw") = min(16,5; 74,5) = 16,5. Protože 16,5 < 17, H0 zamítáme na hladině významnosti 0,05. Výpočet pomocí systému STATISTICA: Vytvoříme nový datový soubor se čtyřmi proměnnými A, B, rozdíl, konst a 15 případy. Do proměnných A, B napíšeme ceny zboží A a B, do proměnné rozdíl uložíme rozdíl cen A a B a do proměnné konst uložíme číslo 3. Statistiky - Neparametrická statistika - Porovnání dvou závislých vzorků - OK - 1. seznam proměnných rozdil, 2. seznam proměnných konst - OK - Wilcoxonův párový test. Dvojice prom Wncoxonyv parovy test (ceny zo< Označené testy jsou významné n platný 1 Z urovei rozdíl & Kom 1! 16,5U U,U42 Testová statistika (zde označená jako T) nabývá hodnoty 16,5, asymptotická testová statistika (označená jako Z) nabývá hodnoty 2,026684, odpovídající asymptotická p-hodnota je 0,042696, tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 nulovou hypotézu zamítáme. Příklad (na asymptotickou variantu Wilcoxonova testu): 30 náhodně vybraných osob mělo nezávisle na sobě bez předchozího nácviku odhadnout, kdy od daného signálu uplyne právě 1 minuta. Byly získány následující výsledky (v sekundách): 53 48 45 55 63 51 66 56 50 58 61 51 64 63 59 47 46 58 52 56 61 57 48 62 54 49 51 46 53 58. Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že medián rozložení, z něhož daný náhodný výběr pochází, je 60 sekund proti oboustranné alternativě (nulová hypotéza vlastně tvrdí, že polovina osob délku jedné minuty podhodnotí a druhá nadhodnotí). Řešení: Testujeme H0: x050 = 60 proti oboustranné alternativě H1: x050 ^ 60. Obvyklým způsobem stanovíme statistiku SW+ = 55. Asymptotická testová statistika: Kritický obor: w= {_ , W_,2)UUl_/2900 , %7)U%75oo , ^u^OO- Testová statistika se realizuje v kritickém oboru, tedy H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05. S rizikem omylu nejvýše 5% jsme tedy prokázali, že pravděpodobnost nadhodnocení jedné minuty není stejná jako pravděpodobnost podhodnocení. Výpočet pomocí systému STATISTICA: Utvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými a 30 případy. Do proměnné odhad napíšeme zjištěné hodnoty a do proměnné konst uložíme číslo 60. Statistiky - Neparametrická statistika - Porovnání dvou závislých vzorků - OK - 1. seznam proměnných odhad, 2. seznam proměnných konst - OK - Wilcoxonův párový test. Dvojice prorr wncoxonyv parovy test (oanaa m Označené testy jsou významné n platný 1 Z urovei oanaa konst 31 55,UU 3,bbU UuUUU Testová statistika (zde označená jako T) nabývá hodnoty 55, asymptotická testová statistika (označená jako Z) nabývá hodnoty 3,65088, odpovídající asymptotická p-hodnota je 0,000261, tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 nulovou hypotézu zamítáme. Dvouvýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta Nechť X1, Xn a Y1, Ym jsou dva nezávislé náhodné výběry ze dvou spojitých rozložení, jejichž distribuční funkce se mohou lišit pouze posunutím. Označme x0 50 medián prvního rozložení a y^50 medián druhého rozložení. Na hladině významnosti 0,05 testujeme hypotézu, že distribuční funkce těchto rozložení jsou shodné neboli mediány jsou shodné proti alternativě, že jsou rozdílné, tj. H0: X0,50 - y0,50 = 0 proti Hi: X0,50 - y0,50 + 0. Postup provedení testu: a) Všech n + m hodnot X1, Xn a Y1, Ym uspořádáme vzestupně podle velikosti. b) Zjistíme součet pořadí hodnot X1, Xn a označíme ho T1. Součet pořadí hodnot Y1, Ym označíme T2. c) Vypočteme statistiky U1 = mn + n(n+1)/2 - T1 , U2 = mn + m(m+1)/2 - T2. Přitom platí U1 + U2 = mn. d) Pokud min(U1,U2) < tabelovaná kritická hodnota (pro dané rozsahy výběrů m, n a dané a), pak nulovou hypotézu o totožnosti obou distribučních funkcí zamítáme na hladině významnosti a. V tabulkách: n = min{m,n} a m = max{m,n}. Asymptotická varianta dvouvýběrového Wilcoxonova testu: Pro velká n, m (n, m > 30) lze využít asymptotické normality statistiky Ui. ti 1 Platí-li H0, pak M) _ ^ = ~ N(0,1), kde Ui = min(U15U2). Kritický obor: pro oboustrannou alternativu w = , X\ ^ j\\ /2?qq> pro levostrannou alternativu W = , X\ v, pro pravostrannou alternativu W = (X\ ? H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti a, když L|) ^ . Předpoklady použití dvouvýběrového Wilcoxonova testu: - dané dva náhodné výběry jsou nezávislé - rozložení, z nichž dané dva náhodné výběry pocházejí, jsou spojitá - distribuční funkce těchto rozložení se mohou lišit pouze posunutím - sledovaná veličina má aspoň ordinální charakter (Není-li splněn předpoklad, že distribuční funkce se mohou lišit pouze posunutím, lze použít např. dvouvýběrový Kolmogorovův - Smirnovův test.) Příklad: Bylo vybráno 10 polí stejné kvality. Na čtyřech z nich se zkoušel nový způsob hnojení, zbylých šest bylo ošetřeno starým způsobem. Pole byla oseta pšenicí a sledoval se její hektarový výnos. Je třeba zjistit, zda nový způsob hnojení má týž vliv na průměrné hektarové výnosy pšenice jako starý způsob hnojení. hektarové výnosy při novém způsobu: 51 52 49 55 hektarové výnosy při starém způsobu: 45 54 48 44 53 50 Test proveďte na hladině významnosti 0,05. Řešení: Na hladině významnosti 0,05 testujeme H0: x0 50 - y050 = 0 proti oboustranné alternativě H1: x0 50 - y0 50 ^ 0. usp. hodnoty 44 45 48 49 50 51 52 53 54 55 pořadí x-ových hodnot 4 6 7 10 pořadí y-ových hodnot 1 2 3 5 8 9 T1 = 4 + 6 + 7 + 10 = 27, T2 = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 9 = 28 U1 = 4.6 + 4.5/2 - 27 = 7, U2 = 4.6 + 6.7/2 - 28 = 17 Kritická hodnota pro a = 0,05, min(4,6) = 4, max(4,6) = 6 je 2. Protože min(7,17) = 7 > 2, nemůžeme na hladině významnosti 0,05 zamítnout hypotézu, že nový způsob hnojení má na hektarové výnosy pšenice stejný vliv jako starý způsob. Výpočet pomocí systému STATISTICA: Utvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými a 10 případy. Do proměnné vynos napíšeme zjištěné hodnoty a do proměnné hnojeni napíšeme 4x číslo 1 pro nový způsob hnojení a 6x číslo 2 pro starý způsob hnojení. Statistiky - Neparametrická statistika - Porovnání dvou nezávislých vzorků - OK - Proměnné - Seznam závislých proměnných vynos, Nezáv. (grupov.) proměnná hnojeni - OK - M-W U test. Upozornění: Ve STATISTICE je dvouvýběrový Wilcoxonův test uveden pod názvem Mannův - Whitneyův test. iviann-vvnitneyuv u test (vynos) Dle prortiěoieni Označené testy jsou významné na hladine p <,05000 Promě sct posct po u z i úroveň z luroveiN pia n piat 2*sst sau d.I sku p. lupravel skup. skup. presné vynos 27,00 28,00 7,000 1,06tí 0,28tí f,0títí 0,28tí ^ 6 0,352 Ve výstupní tabulce jsou součty pořadí Ti, T2, hodnota testové statistiky min(Ui, U2) označená U, hodnota asymptotické testové statistiky U0 (označená Z), asymptotická p-hodnota pro U0 a přesná p-hodnota (ozn. 2*1str. přesné p - ta se používá pro rozsahy výběrů pod 30). V našem případě přesná p-hodnota = 0,352381, tedy H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05. Výpočet je vhodné doplnit krabicovým diagramem. ttaxoyga destpn PomravyoB ÍB,-.-.-1 5D--------1 | i---- ---- ^ 43 43 44 Je zřejmé, že výnosy při novém způsobu hnojení jsou vesměs nižší než při starém způsobu a také vykazují mnohem větší variabilitu. Dvouvýběrový Kolmogorovův - Smirnovův test Nechť X,- -r\a X,- - tYjsou dva nezávislé náhodné výběry ze dvou spojitých rozložení, jejichž distribuční funkce se mohou lišit nejenom posunutím, ale také tvarem. Testujeme hypotézu, že distribuční funkce těchto rozložení jsou shodné, tj., že všech B , veličin pochází z téhož rozložení proti alternativě, že distribuční funkce jsou rozdílné. Nechť lľ[(x) je výběrová distribuční funkce 1. výběru a l£(y) je výběrová distribuční funkce 2. výběru. Jako testová statistika slouží D_ [ialíí(x)_ (x). H0 zamítáme na hladině významnosti ^, když L^L^^, kde J-^(nf je tabelovaná kritic- ká hodnota. Pro větší rozsahy r?nlze kritickou hodnotu aproximovat vzorcem Příklad: Výrobce určitého výrobku se má rozhodnout mezi dvěma dodavateli polotovarů vyrábějících je různými technologiemi. Rozhodující je procentní obsah určité látky. 1. technologie: 1,52 1,57 1,71 1,34 1,68 2. technologie: 1,75 1,67 1,56 1,66 1,72 1,79 1,64 1,55 Na hladině významnosti 0,05 posuďte pomocí dvouvýběrového K-S testu, zda je oprávněný předpoklad, že obě technologie poskytují stejné procento účinné látky. Výpočet pomocí systému STATISTICA: Utvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými a 13 případy. Do proměnné X napíšeme zjištěné hodnoty a do proměnné ID napíšeme 5x číslo 1 pro první technologii a 8x číslo 2 pro starý druhou technologii. Statistiky - Neparametrická statistika - Porovnání dvou nezávislých vzorků - OK - Proměnné - Seznam závislých proměnných X, Nezáv. (grupov.) proměnná ID - OK - Kolmogorov-Smirnovův 2-výběrový test. Proměi Max zžiipiax Kli úroveň prumi prumi sm.ocn sm.ocn in piaiiN pia rozdílí rozdílí I sKup.l sKup.l sKup. 1 sKup. sKup. skup. oDsan -0,400 0,025 0 >. 1,564 1,667 0,147 0,085 t 8 Ve výstupní tabulce pro dvouvýběrový K-S test dostaneme maximální záporný a maximální kladný rozdíl mezi hodnotami obou výběrových distribučních funkcí, dolní omezení pro p-hodnotu (p > 0,1), průměry, směrodatné odchylky a rozsahy obou výběrů. Jelikož p-hodnota převyšuje hladinu významnosti 0,05, na této hladině nelze nulovou hypotézu zamítnout. Kruskalův - Wallisův test Nechť je dáno r > 3 nezávislých náhodných výběrů o rozsazích n1, ... , n . Předpokládáme, že tyto výběry pocházejí ze spojitých rozložení. Označme n = n1 + ... + n. Na asymptotické hladině významnosti a chceme testovat hypotézu, že všechny tyto výběry pocházejí z téhož rozložení. Postup testu: a) Všech n hodnot seřadíme do rostoucí posloupnosti. b) Určíme pořadí každé hodnoty v tomto sdruženém výběru. c) Označme Tj součet pořadí těch hodnot, které patří do j-tého výběru, j = 1, r (kontrola: musí platit T1 + ... + Tr = n(n+1)/2). d) Testová statistika má tvar: Q_^^ ^ _^L|J). Platí-li H0, má statistika Q asymptoticky rozložení %2(r-l). e) Kritický obor: W_ }v_ F_l5oo- f) H0 zamítneme na asymptotické hladině významnosti a, když Q > %1-a (r-1). Příklad: V roce 1980 byly získány tři nezávislé výběry obsahující údaje o průměrných ročních příjmech (v tisících dolarů) čtyř sociálních skupin ve třech různých oblastech USA. jižní oblast: 6 10 15 29 pacifická oblast: 11 13 17 131 severovýchodní oblast: 7 14 28 25 Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že příjmy v těchto oblastech se neliší. Řešení: Výpočty uspořádáme do tabulky Usp. hodnoty 6 7 10 11 13 14 15 17 25 28 29 131 Pořadí 1.výběru 1 3 7 11 Pořadí 2.výběru 4 5 8 12 Pořadí 3.výběru 2 6 9 10 T1 = 1 + 3 + 7 + 11 = 22, T2 = 4 + 5 + 8 + 12 = 29, T3 = 2 + 6 + 9 + 10 = 27 , Protože Q < 5,991, H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05. Rozdíly mezi průměrnými ročními příjmy v uvedených třech oblastech se neprokázaly. Mediánový test Výchozí situace je stejná jako u K-W testu Postup testu: a) Všech n hodnot uspořádáme do rostoucí posloupnosti. b) Najdeme medián x0 50 těchto n hodnot. c) Označme Pj počet hodnot v j-tém výběru, které jsou větší nebo rovny mediánu x0 50. r p2 d) Testová statistika má tvar Qvi_4 _tl. Platí-li H0, má statistika QM asymptoticky rozložení %2(r-l). d) Kritický obor: W_ }\_ F_l9oo- e) H0 zamítneme na asymptotické hladině významnosti a, když QM > x1-a (r-1). Příklad: Pro data o průměrných ročních příjmech proveďte mediánový test. Hladinu významnosti volte 0,05. v Řešení: Usp. hodnoty 6 7 10 11 13 14 15 17 25 28 29 131 Medián je průměr 6. a 7. uspořádané hodnoty: Xq5o_ -+ '_ P V prvním výběru existují 2 hodnoty, které jsou větší nebo rovny 14,5, stejně tak i ve druhém a třetím výběru, tedy P1 = P2 = P3 = 2. Protože QM < 5,991, H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05. Metody mnohonásobného porovnávání Zamítneme-li hypotézu, že všechny náhodné výběry pocházejí z téhož rozložení, zajímá nás, které dvojice náhodných výběrů se liší na zvolené hladině významnosti. Testujeme H0: k-tý a l-tý náhodný výběr pocházejí z téhož rozložení, k, l = 1, .., r, k ^ l proti H1: aspoň jedna dvojice výběrů pochází z různých rozložení. a) Neményiho metoda (Peter Neményi 1927 - 2002: Americký matematik maďarského původu) - Všechny výběry mají týž rozsah p (třídění je vyvážené). - Vypočteme |T - Tk |. - V tabulkách najdeme kritickou hodnotu (pro dané p, r, a ). - Pokud|Tj - Tk > tabelovaná kritická hodnota, pak na hladině významnosti a zamítáme hypotézu, že l-tý a k-tý výběr pocházejí z téhož rozložení. b) Obecná metoda mnohonásobného porovnávání IX ti Vypočteme Ve speciálních statistických tabulkách najdeme kritickou hodnotu hKW(a ). Při větších rozsazích výběrů je možno ji nahradit kvantilem %1-0l (r-1). Jestliže -zr \ rr - i pocházejí z téhož rozložení. ^ h. , pak na hladině významnosti a zamítáme hypotézu, že l-tý a k-tý výběr 1 Příklad: Čtyři laboranti provedli analytické stanovení procenta niklu v oceli. Každý hodnotil pět vzorků. Laborant A: 4,15 4,26 4,10 4,30 4,25 Laborant B: 4,38 4,40 4,29 4,39 4,45 Laborant C: 4,23 4,16 4,20 4,24 4,27 Laborant D: 4,41 4,31 4,42 4,37 4,43 Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že všechny čtyři náhodné výběry pocházejí ze stejného rozložení. Pokud nulovou hypotézu zamítnete, zjistěte, které dvojice výběrů se liší. Výpočet pomocí systému STATISTICA: Vytvoříme nový datový soubor o dvou proměnných a 20 případech. Do proměnné nikl napíšeme změřené hodnoty, do proměnné laborant napíšeme 5x1 pro 1. laboranta atd. až 5x4 pro 4. laboranta. Statistiky - Neparametrická statistika - Porovnání více nezávislých vzorků - OK - Seznam závislých proměnných nikl, Nezáv. (grupovací) proměnná laborant - OK - Summary: Kruskal-Wallis ANOVA & Median test. Ve dvou výstupních tabulkách se objeví výsledky K-W testu a mediánového testu. Kruskal-Wallisova ANUvAnzkf ož\ na Wezávislárgrupovacl)9bDarffnĚtnn^^^^x Závis nikl Ko Koce souo platnvl pořac 1 5 29,uu 2 2 5 75,uu 3 5 27,UU 4 4 5 79,uu ivieaiánovy test, celkjmeiaiániř Nef-áV;iíár.(^r1i3o(VaUÍUU)sa5^ .jiná : "3p = Závlslá: t 2 3 ceiKe 4,U Ul 'I , UU 5 , UUI U , UUI 'I U,UU <= meaián: pi ocek poz. 2,5U 2 , 5U 2 , 5U > Meaián: po ocek 1.5U - 1 , 5U 2 , 5U 2 ,5 - 2 ,5 ■|,U UU 4 , UU U , UU 5 , UU 'U U,UU - poz. á2v.,5 o-c1 .,5 2 , 5U 2 , 5U 2 , 5U 1, 5U -2 , 5U 2 , 5U celkem: 5,U U 5 , UU 5 , UU 5 , UU 2 U,UU Oba testy zamítají hypotézu o shodě mediánů v daných čtyřech skupinách na asymptotické hladině významnosti 0,05. Nyní provedeme mnohonásobné porovnávání, abychom zjistili, které dvojice laborantů se liší. Zvolíme Vícenás. porovnání průměrného pořadí pro vš. skupiny._ i vícenásobné porovnaní p np«^Ki(o b Nezávislá rgrupovacjl)ap1DOmKě^ina^N Závis nikl 1 2 R:5,8I R:15,l 3 4 R:5,4< R:15,i 1 U,U83 1 ,UUU J,U45 2 ........ U,U83 U,U61 1 ,UUU 3 1,UUU U,U61 U,U32 4 U,U45 1,UUUTU,U32 Tabulka obsahuje p-hodnoty pro porovnání dvojic skupin. Vidíme, že na hladině významnosti 0,05 se liší laboranti A, D a laboranti C, D. Grafické znázornění výsledků 45U 4« 440 435 43U 4Z 42U 4(15 41U 4U5 KabcvýgadeSupn Horanrá nk □ Q l^dán I\M&< 2 3 4