Téma 10: Analýza rozptylu jednoduchého třídění
Vzorový úkol: V jisté továrně se měřil čas, který potřeboval každý ze tří dělníků k
uskutečnění téhož pracovního úkonu. Čas v minutách:
1. dělník: 3,6 3,8 3,7 3,5,
2. dělník: 4,3 3,9 4,2 3,9 4,4 4,7,
3. dělník: 4,2 4,5 4,0 4,1 4,5 4,4.
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že průměrné výkony těchto tří dělníků jsou
stejné. Zamítnete-li nulovou hypotézu, určete, výkony kterých dělníků se liší na dané hladině
významnosti.
Návod: Vytvoříme datový soubor se dvěma proměnnými (X a ID) a 16 případy. Do 1.
sloupce napíšeme změřené časy, do 2. sloupce dáme čtyřikrát jedničku, šestkrát dvojku a
šestkrát trojku.
Nejprve ověříme předpoklad o normalitě všech tří výběrů:
Grafy ­ 2D Grafy ­ Normální prvaděpodobnostní grafy ­ Proměnné X ­ OK ­ na záložce
Kategorizovaný zapneme kategorii X a vybereme proměnnou ID.
ID: 1
3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Očekávanánormálníhodnota
ID: 2
3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8
ID: 3
3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Očekávanánormálníhodnota
Vidíme, že rozložení dat se příliš neodlišuje od normálního rozložení.
Zjistíme rozsahy, průměry a směrodatné odchylky výkonů tří dělníků.
Statistika ­ Základní statsitiky a tabulky ­ Rozklad & jednofakt. ANOVA ­ OK ­ Proměnné
Závislé X, Grupovací ID ­ OK ­ Výpočet: Tabulka statistik:
ID X
průměr
X
N
X
Sm.odch.
1 3,650000 4 0,129099
2 4,233333 6 0,307679
3 4,283333 6 0,213698
Vš.skup. 4,106250 16 0,353023
Nyní zobrazíme krabicové diagramy výkonů tří dělníků:
Návrat do Statistiky dle skupin ­ Kategoriz. krabicový graf.
Kategoriz. krabicový graf: X
Průměr
PrůměrSmCh
Průměr1,96*SmCh
1 2 3
ID
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
X
Z krabicových diagramů vyplývá, že výkony 2. a 3. dělníka se liší jen málo, zatímco 1. dělník
pracuje mnohem rychleji.
Před provedením analýzy rozptylu je nutné na hladině významnosti 0,05 testovat hypotézu o
homogenitě rozptylů.
Pomocí Levenova testu testujeme H0: 1
2
= 2
2
= 3
2
proti H1: aspoň jedna dvojice rozptylů se
liší.
Návrat do Statistiky dle skupin ­ na záložce ANOVA& testy vybereme Leveneovy testy
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
X 0,042708 2 0,021354 0,183333 13 0,014103 1,514205 0,256356
Testová statistika Levenova testu se realizuje hodnotou 1,5142, počet stupňů volnosti čitatele
je 2, jmenovatele 13, odpovídající p-hodnota je 0,2564, tedy na hladině významnosti 0,05
nezamítáme hypotézu o shodě rozptylů.
Nyní pomocí jednofaktorové analýzy rozptylu testujeme H0: 1 = 2 = 3 proti H1: aspoň
jedna dvojice středních hodnot se liší.
Návrat do Statistiky dle skupin ­ na záložce ANOVA& testy vybereme Analýza arozptylu.
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
X 1,117708 2 0,558854 0,751667 13 0,057821 9,665327 0,002680
Ve výstupní tabulce je použito tohoto značení:
SČ efekt ... skupinový součet čtverců SA,
SV efekt ... skupinový počet stupňů volnosti fA = r - 1,
PČ efekt ... SA/(r-1),
SČ chyba ... reziduální součet čtverců SE,
SV chyba ... reziduální počet stupňů volnosti fE = n ­ r,
PČ chyba ... SE/(n-r),
F ... testová statistika
EE
AA
A
f/S
f/S
F =
Protože p-hodnota = 0,00268, zamítá se na hladině významnosti 0,05 hypotézu o shodě
středních hodnot.
Nyní nás bude zajímat, které dvojice dělníků se liší na zvolené hladině významnosti.
Použijeme Scheffého metodu mnohonásobného porovnávání.
Návrat do Statistiky dle skupin ­ Post ­ hoc ­ Schefféův test:
ID
{1}
M=3,6500
{2}
M=4,2333
{3}
M=4,2833
1 {1}
2 {2}
3 {3}
0,008391 0,004705
0,008391 0,937504
0,004705 0,937504
Výsledek Scheffého metody ukazuje, že na hladině významnosti 0,05 se liší výkony dělníků
(1,2), (1,3) a neliší se (2,3).
Úkoly k samostatnému řešení:
Úkol 1.: Studenti byli vyučováni předmětu za využití pěti pedagogických metod: tradiční
způsob, programová výuka, audiotechnika, audiovizuální technika a vizuální technika. Z
každé skupiny byl vybrán náhodný vzorek studentů a všichni byli podrobeni témuž
písemnému testu. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že průměrné znalosti všech
studentů jsou stejné a nezávisí na použité pedagogické metodě. V případě zamítnutí hypotézy
zjistěte, které výběry se liší na hladině významnosti 0,05.
metoda počet bodů
tradiční 76,2 48,3 85,1 63,7 91,6 87,2
programová 85,2 74,3 76,5 80,3 67,4 67,9 72,1 60,4
audio 67,3 60,1 55,4 72,3 40
audiovizuální 75,8 81,6 90,3 78 67,8 57,6
vizuální 50,5 70,2 88,8 67,1 77,7 73,9
Výsledek: Na hladině významnosti 0,05 se nulová hypotéza nezamítá.
Úkol 2.: Pan Novák může cestovat z místa bydliště do místa pracoviště třemi různými
způsoby: tramvají (způsob A), autobusem (způsob B) a metrem s následným přestupem na
tramvaj (způsob C). Máme k dispozici jeho naměřené časy cestování do práce v době ranní
špičky (včetně čekání na příslušný spoj) v minutách.
Způsob A: 32, 39, 42, 37, 34, 38
Způsob B: 30, 34, 28, 26, 32
Způsob C: 40, 37, 31, 39, 38, 33, 34
Pro všechny tři způsoby dopravy vypočtěte průměrné časy cestování. Na hladině významnosti
0,05 testujte hypotézu, že doba cestování do práce nezávisí na způsobu dopravy. V případě
zamítnutí nulové hypotézy zjistěte, které způsoby dopravy do práce se od sebe liší na hladině
významnosti 0,05.
Výsledek: Průměrný čas cestování tramvají je 37 min, autobusem 30 min a metrem
s přestupem na tramvaj je 36 min. Předpoklady normality a homogenity rozptylů všech tří
výběrů jsou oprávněné. Na hladině významnosti 0,05 se zamítá hypotéza o shodě středních
hodnot časů cestování do práce (testová statistika AF se realizuje hodnotou 6,7151,
odpovídající p-hodnota je 0,0083), na dané hladině významnosti se liší způsoby A a B, B a C.
Úkol 4.: Je dána neúplná tabulka ANOVA. Místo otazníků doplňte chybějící čísla a na
hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o shodě středních hodnot.
zdroj variability součet čtverců stupně volnosti podíl FA
skupiny ? 2 ? ?
reziduální 16,033 ? ? celkový
17,301 30 - -
Výsledek:
zdroj variability součet čtverců stupně volnosti podíl FA
skupiny 1,268 2 0,634 1,1072
reziduální 16,033 28 0,5726 celkový
17,301 30 - Kritický
obor: ( ) ) )== ,3404,3,28,2FW 95,0 . Protože se AF nerealizuje v kritickém oboru,
H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Úkol 5.: Jsou dány čtyři nezávislé náhodné výběry postupně z rozložení ( )2
1 ,N  ,
( )2
2 ,N  , ( )2
3 ,N  , ( )2
4 ,N  , přičemž každý z nich má rozsah 6. Na hladině významnosti
0,05 testujte hypotézu o shodě středních hodnot, je-li známo, že celkový součet čtverců je 114
a skupinový součet čtverců je 46,5.
Výsledek:
SE = ST ­ SA = 114 ­ 46,5 = 67,5, testová statistika
( )
( ) 205,67
35,46
rnS
1rS
F
E
A
A =
-
=
= 4,5926,
příslušný kvantil F0,95(3,20) = 3,0984, rozhodnutí o nulové hypotéze: zamítáme na hladině
významnosti 0,05.