Téma 9: Parametrické úlohy o dvou nezávislých náhodných výběrech z normálních
rozložení
Úkol 1.: Vlastnosti rozdílu výběrových průměrů ze dvou normálních rozložení
Jsou dány dva nezávislé náhodné výběry, první pochází z rozložení N(2; 1,5) a má rozsah 10,
druhý pochází z rozložení N(3; 4) a má rozsah 5. Jaká je pravděpodobnost, že výběrový
průměr 1. výběru bude menší než výběrový průměr 2. výběru?
Návod:
Počítáme ( ) ( ) ( )00MMPMMP 2121 =<-=< ,
kde (x) je distribuční funkce statistiky M1 - M2.
Statistika M1 - M2 se řídí rozložením N(1 ­ 2,
2
2
2
1
2
1
nn

+

), kde 1 ­ 2 = 2 ­ 3 = -1,
95,0
5
4
10
5,1
nn 2
2
2
1
2
1
=+=

+

, tj. statistika M1 - M2 ~ N(-1;0,95).
Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom případu. Do Dlouhého jména této
proměnné napíšeme = INormal(0;-1;sqrt(0,95)). Dostaneme výsledek 0,847549.
Úkol 2.: Intervaly spolehlivosti pro parametrické funkce 1-2, 1
2
/2
2
Bylo vylosováno 11 stejně starých selat téhož plemene. Šesti z nich byla předepsána výkrmná
dieta č. 1 a zbylým pěti výkrmná dieta č. 2. Průměrné denní přírůstky v Dg za dobu půl roku
jsou následující:
dieta č. 1: 62, 54, 55, 60, 53, 58
dieta č. 2: 52, 56, 49, 50, 51.
Zjištěné hodnoty považujeme za realizace dvou nezávislých náhodných výběrů pocházejících
z rozložení N(1, 1
2
) a N(2, 2
2
).
a) Sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro podíl rozptylů.
b) Za předpokladu, že data pocházejí z rozložení N(1, 2
) a N(2, 2
), sestrojte 95%
empirický interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot 1 - 2.
Návod:
Vytvoříme datový soubor o 2 proměnných a 11 případech. První proměnnou nazveme
hmotnost, druhou dieta. Do proměnné hmotnost zapíšeme zjištěné údaje o hmotnosti, do
proměnné dieta napíšeme 1 pro 1. dietu a 2 pro 2. dietu. Pomocí Popisných statistik zjistíme
realizace výběrových průměrů, výběrových rozptylů a výběrových směrodatných odchylek.
Pro první dietu:
Popisné statistiky (Tabulka1)
Zhrnout podmínku: v2=1
Proměnná N platných Průměr Rozptyl Sm.odch.
hmotnost 6 57,00000 12,80000 3,577709
Pro druhou dietu:
Popisné statistiky (Tabulka1)
Zhrnout podmínku: v2=2
Proměnná N platných Průměr Rozptyl Sm.odch.
hmotnost 5 51,60000 7,300000 2,701851
ad a)
Meze 100(1-)% empirického intervalu spolehlivosti pro podíl rozptylů jsou:
(d, h) =








----  )1n,1n(F
s/s
,
)1n,1n(F
s/s
21/2
2
2
2
1
21/2-1
2
2
2
1
.
Otevřeme nový datový soubor o dvou proměnných d a h a jednom případu.
Do Dlouhého jména proměnné d napíšeme
=(12,8/7,3)/VF(0,975;5;4)
(Funkce VF(x;ný;omega) počítá x-kvantil Fisherova ­ Snedecorova rozložení F(ný, omega).)
Do Dlouhého jména proměnné h napíšeme
=(12,8/7,3)/VF(0,025;5;4)
1
d
2
h
1 0,187242 12,9541
S pravděpodobností aspoň 0,95 tedy platí: 0,1872 < 1
2
/ 2
2
< 12,954.
ad b) Meze 100(1-)% empirického intervalu spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot
(v případě, že rozptyly neznáme, ale víme, že jsou shodné) jsou:
(d, h) = (m1 ­ m2 ­
21
*
n
1
n
1
s + t1-/2(n1+n2-2), m1 ­ m2 +
21
*
n
1
n
1
s + t1-/2(n1+n2-2)).
Otevřeme nový datový soubor o dvou proměnných d a h a jednom případu.
Do Dlouhého jména proměnné d napíšeme
=57-51,6-sqrt((5*12,8+4*7,3)/9)*sqrt((1/6)+(1/5))*VStudent(0,975;9)
Do Dlouhého jména proměnné h napíšeme
=57-51,6+sqrt((5*12,8+4*7,3)/9)*sqrt((1/6)+(1/5))*VStudent(0,975;9)
1
d
2
h
1 0,991963 9,808037
S pravděpodobností aspoň 0,95 tedy 0,99 Dg < 1 - 2 < 9,81 Dg.
Úkol k samostatnému řešení: Jsou dány dva nezávislé náhodné výběry o rozsazích n1 = 25,
n2 = 10, první pochází z rozložení N(1, 1
2
), druhý z rozložení N(2, 2
2
), kde parametry 1,
2, 1
2
, 2
2
neznáme. Byly vypočteny realizace výběrových rozptylů: s1
2
= 1,7482, s2
2
=
1,7121. Sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro podíl rozptylů.
Výsledek:
0,28 < 1
2
/ 2
2
< 2,76 s pravděpodobností aspoň 0,95.
Úkol 3.: Testování hypotéz o parametrických funkcích 1-2, 1
2
/2
2
Pro datový soubor z úkolu 2 testujte na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že
a) rozptyly hmotnostních přírůstků selat při obou výkrmných dietách jsou shodné
b) obě výkrmné diety mají stejný vliv na hmotnostní přírůstky selat.
Návod:
Provedeme dvouvýběrový t-test současně s testem o shodě rozptylů:
Statistika ­ Základní statistiky a tabulky ­ t-test, nezávislé, dle skupin ­ OK, Proměnné Závislé
proměnné hmotnost, Grupovací proměnná dieta ­ OK.
t-testy; grupováno: dieta (Tabulka1)
Skup. 1: 1
Skup. 2: 2
Proměnná
Průměr
1
Průměr
2
t sv p Poč.plat
1
Poč.plat.
2
Sm.odch.
1
Sm.odch.
2
F-poměr
Rozptyly
p
Rozptyly
hmotnost 57,00000 51,60000 2,771222 9 0,021710 6 5 3,577709 2,701851 1,753425 0,606345
Testová statistika pro test shody rozptylů se realizuje hodnotou 1,7534, odpovídající phodnota
je 0,6063, tedy na hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu o shodě rozptylů.
(Upozornění: v případě zamítnutí hypotézy o shodě rozptylů je zapotřebí v tabulce t-testu pro
nezávislé vzorky dle skupin zaškrtnout volbu Test se samostatnými odhady rozptylu.)
Dále z tabulky plyne, že testová statistika pro test shody středních hodnot se realizuje
hodnotou 2,7712, počet stupňů volnosti je 9, odpovídající p-hodnota 0,0217, tedy hypotézu o
shodě středních hodnot zamítáme na hladině významnosti 0,05. Znamená to, že s rizikem
omylu nejvýše 5% se prokázalo, že obě výkrmné diety se liší účinností.
Tabulku ještě doplníme krabicovými diagramy. Na záložce Detaily zaškrtneme krabicový graf
a vybereme volbu Průměr/SmOdch/Min-Max.
Krabicový graf z hmotnost seskupený dieta
Tabulka1 2v*11c
Průměr
PrůměrSmOdch
Min-Max
Odlehlé
Extrémy
1 2
dieta
48
50
52
54
56
58
60
62
64
hmotnost
Upozornění: Dvouvýběrový t-test lze v systému STATISTICA provést ještě jiným
způsobem, který je vhodný zvláště tehdy, známe-li realizace výběrových průměrů a
výběrových směrodatných odchylek.
Statistiky ­ Základní statistiky a tabulky ­ Testy rozdílů: r, %, průměry ­ OK ­ vybereme
Rozdíl mezi dvěma průměry (normální rozdělení) ­ do políčka Pr1 napíšeme 57, do políčka
SmOd1 napíšeme 3,5777, do políčka N1 napíšeme 6, do políčka Pr2 napíšeme 51,6, do
políčka SmOd1 napíšeme 2,7019, do políčka N1 napíšeme 5 - Výpočet.
Dostaneme p-hodnotu 0,0217, tedy zamítáme nulovou hypotézu na hladině významnosti 0,05.
Úkol k samostatnému řešení: Do systému STATISTICA načtěte datový soubor
studentky.sta, který obsahuje údaje o výšce 48 studentek VŠE v Praze (proměnná vyska) a
obor jejich studia (1 ­ národní hodpodářství, 2 ­ informatika).
a) Na hladině významnosti 0,1 testujte hypotézu o shodě rozptylů výšek studentek v daných
dvou oborech studia.
b) Na hladině významnosti 0,1 testujte hypotézu o shodě středních hodnot výšek studentek
v daných dvou oborech studia.
(Výpočet doplňte krabicovými diagramy.)
Výsledek:
ad a) Protože p-hodnota F-testu je 0,1249, což je větší než hladina významnosti 0,1, nulovou
hypotézu o shodě rozptylů nezamítáme na hladině významnosti 0,1.
ad b) Protože p-hodnota dvouvýběrového t-testu je 0,0878, což je menší než hladina
významnosti 0,1, nulovou hypotézu o shodě středních hodnot zamítáme na hladině
významnosti 0,1.