Tomáš Hanzák, Marek Mikoška MFF UK obor Pravděpodobnost, matematická statistika a ekonometrie Optimalizace II s aplikací ve financích (EKN004) LS 2005/06 Zápočtová úloha Markowitzův model Obsah Zadání úlohy Markowitzův model Zisk a zpracování dat Použité metody řešení Výsledky Závěr Zdroje Zadání úlohy Potřebujete připravit pro své klienty vhodná akciová portfolia pro investování 2 mil. Kč na období jednoho roku. Pro selekci portfolií složených z několika vybraných titulů (8-10) jste se rozhodli využít Markowitzův model. a) Sestavte efektivní hranici portfolií (graficky prezentujte). Vyberte některá portfolia na efektivní hranici a uveďte jejich složení (váhy) a očekávané výnosnosti titulů zastoupených v portfoliu. b) Jak se změní efektivní hranice, pokud budete mít možnost investovat do bezrizikového aktiva (depozita v bance). Nalezněte sami příslušnou úrokovou sazbu. c) Jak se změní efektivní hranice, pokud budete mít možnost výpůjček od správce portfolia až do 30% hodnoty portfolia. Pro jednoduchost předpokládejte, že výpůjční sazba je stejná jako depozitní. Dokázali byste zohlednit rozdílnou depozitní a výpůjční sazbu? (nalezněte ji). d) Co když budete mít povoleny krátké prodeje, až do 30 % počátečního vkladu? Nakreslete efektivní hranici v tomto případě. e) V souladu s vnitřní politikou investiční společnosti, kterou zastupujete, nesmíte navrhnout portfolia, kde některý z titulů přesáhne 15% váhu v celkovém portfoliu. Nakreslete hranici efektivních portfolií v tomto případě. Zdůvodněte jak jste získali odhady vstupních parametrů modelu, jaké jste volili tituly a proč. Efektivní hranice počítejte numericky, stačí aproximace pro "dostatečně hustý nosič". V případech a) - e) vyberte některé z efektivních portfolií a spočtěte jeho VaR(95%). Markowitzův model Ve svém článku z roku 1952 navrhl Harry Markowitz způsob volby vhodného portfolia cenných papírů (dále budeme mluvit jen o akciích). Podle něj by měl investor hledět jednak na očekávaný výnos svého portfolia, který by měl být co možná největší, ale také na (nějak kvantifikované) riziko investice, které by naopak mělo být požadováno co možná nejmenší. Markowitzův přístup je považován za průlomový právě kvůli explicitnímu zahrnutí hlediska rizika do procesu volby portfolia. Uvažujme investora, který chce svůj kapitál investovat v různé míře do některých z J akcií. Investice je plánována pro všechny akcie na shodné časové období pevné délky. Výnosnost akcie, definovaná jako relativní zisk z rozdílné nákupní ceny na začátku období a prodejní ceny na konci období vztažený k počáteční ceně, je považována za náhodnou veličinu s konečnou střední hodnotou a konečným rozptylem, které jsou investorovi známé. Dále jsou známy i kovariance mezi výnosnostmi jednotlivých akciových titulů. Investor volí způsob, jakým svůj kapitál rozdělí mezi 2 47 jednotlivé z J akcií tak, aby vzniklé portfolio mělo maximální střední hodnotu výnosnosti a současně minimální hodnotu rozptylu výnosnosti. Proto se také někdy hovoří o mean-variance modelu. Matematická formulace modelu je poměrně snadná. Předpokládejme, že náhodný vektor výnosností p = (p1,..., pjf má střední hodnotu r = (n,...,rjf a varianční matici V. Naším úkolem je zvolit vektor x = (xu...,xjf, určující kolik kapitálu o celkové výši 1 jednotky bude investováno do kterého titulu. To představuje podmínku X! +... + xj = 1 spolu s x > 0 . Výnosnost zvoleného portfolia jako celku je p(x) = X! pí +... + xj p j = pTx se střední hodnotou r(x) = E[p(x)] = rTx a rozptylem a2(x) = var[yo(x)] = xrVx. Volbu portfolia je tedy možné chápat jako úlohu vícekriteriálního programování maximalizovat (rrx, -xrVx) j za podmínek ^x^=1 a x>0. Klíčovým pojmem je eficientní portfolio x, které má následující vlastnost: neexistuje jiné portfolio x* takové, že by současně platilo r(x*)>r(x) a a2(x*)>a 2(x) a alespoň jedna z nerovnostní byla splněna jako ostrá. Portfolio, které není eficientní, si tedy podle uvedeného modelu racionální investor nikdy nevybere; existuje totiž jednoznačně lepší portfolio x*. Naším úkolem je najít všechna eficientní portfolia, z nichž si investor zvolí jediné podle svého uvážení, především s ohledem na svojí osobní míru averze vůči riziku. Graficky se výsledky Markowitzova modelu prezentují pomocí tzv. (a, r)-roviny. Každé portfolio je zde reprezentováno bodem, jehož horizontální souřadnice je směrodatná odchylka jeho výnosnosti a a vertikální souřadnice jeho střední výnosnost r. Preferovaná jsou tedy portfolia ležící v této rovině "vlevo nahoře". Nejvíce nás přirozeně zajímá tzv. efektivní hranice, což je množina bodů odpovídajících eficientním portfoliím. Do (a, r)-roviny můžeme nakonec zakreslit i systém indiferentních užitkových křivek konkrétního investora a nalézt tak pro něj optimální portfolio. Markowitzův model je pochopitelně založen na některých zjednodušujících předpokladech. Například zanedbáváme transakční náklady spojené s obchodováním, neuvažujeme možnost arbitráže (tj. nákupu a okamžitého prodeje cenného papíru na různých trzích). Předpokládáme možnost investovat neomezeně do nekonečně dělitelných dokumentů a také to, že naše vlastní rozhodnutí o koupi daného titulu neovlivní jeho budoucí vývoj. Velkým praktickým problémem je předpoklad znalosti charakteristik rozdělení náhodného vektoru výnosností. 3 Zisk a zpracování dat Než je možné přistoupit k samotnému použití Markowitzova modelu, tj. k řešení výše uvedené úlohy vicekritehální optimalizace, je nutné učinit několik věcí. Předně musíme z nepřeberného množství akciových titulů obchodovaných po celém světě vybrat několik (v našem případě 8), z nichž budeme naše portfolio skládat. Dále je nutné pro zvolené akciové tituly nalézt potřebná data - historický vývoj jejich tržních cen za určité zvolené období. Z těchto dat musíme pak nějakým způsobem získat odhady středních výnosností (vektor r) a odhad varianční matice výnosností (matice V). Všem těmto věcem je postupně věnována tato kapitola. Výběr akciových titulů Při výběru společností, jejichž akcie zahrneme do našeho modelu, jsme se řídili několika jednoduchými zásadami. Předně jsme se omezili pouze na společnosti působící v ČR a jejichž akcie se obchodují na Pražské burze cenných papírů. Tím nám odpadly problémy s přepočítáváním cen akcií pomocí měnových kurzů, které se také vyvíjejí v čase. Investice do domácích akcií s sebou určitě nese nižší transakční náklady (jejich význam samozřejmě závisí na objemu investované částky), které Markowitzův model nebere v úvahu. A v neposlední řadě jsme si tím ulehčili práci se získáváním potřebných dat stejně jako všeobecných informací o zvolených firmách (např. výplaty dividend). Dále jsme se soustředili na nejznámější a nejčastěji obchodované akciové tituly, tzv. blue chips. To odráží náš jistý konservatismus v přístupu k volbě titulů. Takovou volbu by například ocenil malý soukromý investor, který by tak mohl každý večer na obrazovce veřejnoprávní televize sledovat vývoj hodnoty svého portfolia. Naše pozornost padla okamžitě na systém SPAD (Systém pro Podporu trhu Akcií a Dluhopisů), kde jsou obchodovány právě takové akciové tituly. Bohužel ne u všech zde zastoupených titulů jsou k dispozici tržní ceny za námi požadované časové období zpět. Takto jsme museli vyloučit akcie CETV a Zentivy. Nyní nám zbylo 6 společností, které jsem doplnily společnostmi Stavby silnic a železnic a Východočeské plynárny na požadovaný minimální počet 8. Zde je tedy výsledná skupina společností, jejichž akcie budeme nakupovat, spolu se stručnými firemními profily: ČESKÝ TELECOM, a. s. www.telecom.cz Člen skupiny ČESKÝ TELECOM (dále např. Eurotel Praha, spol. s r. o.) je přední česká telekomunikační společnost. Poskytuje komplexní nabídku hlasových a datových služeb v pevných linkách (jejich počet 3.368.325 k 31.12. 2004) včetně nabídky na využívání síťové infrastruktury pro provozovatele a poskytovatele veřejných i neveřejných sítí a služeb. Na základě dohody se státem provozuje též veřejné telefonní stanice. 4 ČEZ, a. s. www.cez.cz Akciová společnost ČEZ byla založena v roce 1992 Fondem národního majetku ČR, jenž je doposud majoritním vlastníkem jejích akcií. Hlavním předmětem činnosti ČEZ, a. s., je výroba a prodej elektřiny a s tím související podpora elektrizační soustavy. Zároveň se zabývá výrobou, rozvodem a prodejem tepla. Erste Bank www.erste.cz Erste bank je rakouská univerzální banka. Zaměřuje na drobnou klientelu, ale poskytuje také služby korporátním klientům. Banka má své pobočky v Rakousku, České republice, Slovenku, Maďarsku a v Chorvatsku. Nově probíhá akvizice banky v Rumunsku. Na českém bankovním trhu se Erste angažuje prostřednictvím svého vlastnictví České spořitelny. Komerční banka, a. s. www.kb.cz Komerční banka patří k nejvýznamnějším bankovním institucím v České republice. Poskytuje komplexní služby v oblasti drobného, podnikového a investičního bankovnictví. 7.400 zaměstnanců Komerční banky obsluhuje více než 1.450.000 klientů, kteří mohou využít rozsáhlé sítě 359 obchodních míst a 607 bankomatů v ČR. PHILIP MORRIS ČR, a. s. www, philipmorrisinternational.com Společnost Philip Morris International se sídlem ve švýcarském Lausanne je jednou z největších tabákových společností na světě. Česká pobočka sídlí v Kutné Hoře a zaujímá nadpoloviční podíl na domácím trhu s tabákem. Pod křídla společnosti patří značky jako Petra, Start či Marlboro. Stavby silnic a železnic, a. s. www.ssz.cz Byly založeny v roce 1952 jako jeden z významných českých podniků činných v oblasti dopravně - inženýrského stavitelství. V roce 1992 získala majoritní podíl v akciové společnosti francouzská silničářská společnost Entreprise Jean Lefebvre. SSŽ získává zakázky především od Ředitelství silnic a dálnic ČR, Správy železniční dopravní cesty, s. o., měst, obcí a krajů ČR. UNIPETROL, a. s. www.unipetrol.cz Unipetrol je skupina společností působících v České republice v sektoru chemického průmyslu zejména v oblastech rafinérskeho zpracování ropy, petrochemie, agrochemie a kvalifikované chemie. Ve všech těchto oblastech patří mezi nejvýznamnější představitele daného průmyslového odvětví v České republice a střední Evropě. 5 Východočeská plynárenská, a. s. www.vcp.cz Východočeská plynárenská, a.s. byla založena Fondem národního majetku ČR na konci roku 1993 jako jedna z osmi plynárenských distribučních společností v ČR. Hlavní předmět podnikání společnosti se sídlem v Hradci Králové je nákup, rozvod a prodej zemního plynu, investiční výstavba, údržba, rekonstrukce rozvodných plynárenských zařízení. Na východě Čech zásobuje čtvrt milionu odběratelů zemním plynem v 528 městech a obcích. Získávání dat Data ke zvoleným akciovým titulům jsme získávali na internetovém serveru www.akcie.com. Zde je možné ke každému titulu dohledat otevírací a uzavírací tržní cenu pro každý obchodní den, maximální a minimální cenu za daný den, denní objemy obchodů a jiné informace. Nás z toho zajímaly především denní uzavírací ceny (close). Bohužel se nám nepodařilo zobrazovat zmíněná data na delší časové období než cca jeden měsíc, takže jsme museli data stahovat takto po částech. S ohledem na zvolený způsob odhadování charakteristik rozdělení vektoru výnosností (viz. následující odstavec) jsme takto postahovali uzavírací ceny od 1.4.2004 do 31. 3. 2006. Další zpracování dat už probíhalo bez vynaložení větší manuální práce, převážně v tabulkovém procesoru Excel od Microsoftu. U akcií Erste Bank došlo v jednom okamžiku ke štěpení jednoho kusu akcie na 4 kusy. S ohledem na to jsme tržní ceny od toho okamžiku dále vynásobily 4. Zpracování dat Klíčovým okamžikem celé úlohy bylo nalezení vhodného způsobu, jak ze získaných dat spočítat odhady vektoru r a matice V, potřebných jako vstup do Markowitzova modelu. Jednou možností je použití tzv. faktorového modelu, který se snaží výnosnosti jednotlivých akciových titulů vysvětlovat pomocí obecného faktoru (celkový vývoj trhu) a faktorů specifických pro jednotlivé tituly. Pro použití tohoto postupu jsme však nenašli dostatek nám srozumitelných teoretických ani empirických podkladů. Rozhodli jsme se tedy pro použití klasických statistických odhadů, tj. střední hodnotu odhadovat průměrem a kovariance (a spec. rozptyly) odhadovat výběrovými kovariancemi (rozptyly). I zde však nastaly problémy, a to jak skloubit jednoleté období naší investice s denní frekvencí získaných dat. Nakonec jsme použili metodu klouzavého okna, kdy jsme vždy spočítali výnosnost mezi dvěma dny vzdálenými od sebe jeden rok a toto "okno" délky jednoho roku jsme posouvali v čase, opět v délce jednoho roku. Celkem jsme tedy potřebovali data za období dvou let. Připomeňme, že výnosností akcie od okamžiku A do okamžiku B rozumíme bezrozměrnou veličinu Pb-Pa kde PA resp. PB je cena akcie v okamžiku A resp. B. 6 Drobným problémem je, že na burze se neobchoduje pravidelně 365 dní v roce, ale pouze v tzv. obchodní dny. To jsou vlastně běžné pracovní dny, tedy jsou vyloučeny soboty, neděle a státem uznávané svátky. Kalendářní rok se potom skládá z přibližně 254 obchodních dní, přičemž toto číslo záleží především na krytí se státních svátků se sobotami a nedělemi. Námi získané časové řady mají tedy ve skutečnosti nepravidelně pozorované hodnoty. To má za následek nemožnost dodržet stálou délku jednoho roku u našeho "okna". Zatímco například 27. 3. 2006 (pondělí) byl obchodní den, tak 27. 3. 2005 (neděle) nikoli. Následující stručná tabulka ukazuje, jak byly jednotlivé dny nakonec spárovány (řazeno směrem do minulosti): konec okna začátek okna 1 31.3.2006 31.3.2005 2 30.3. 2006 30.3. 2005 3 29.3. 2006 29.3. 2005 4 28.3. 2006 25.3. 2005 5 27.3. 2006 24.3. 2005 63 4.1.2006 3.1.2005 64 3.1.2006 30.12.2004 65 2.1.2006 29.12.2004 66 30.12.2005 28.12.2004 251 7.4. 2005 2.4. 2004 252 6.4. 2005 1.4.2004 253 5.4. 2005 - 254 4.4. 2005 - 255 1.4.2005 - Získali jsem tedy (pro každou z 8 společností) řadu 252 výnosností. I když je z podstaty věci zřejmé, že nejde o náhodný výběr (není splněna nezávislost), budeme tuto skutečnost přehlížet. Považujme tedy těchto 8 x 252 hodnot za náhodný výběr o rozsahu 252 z rozdělení 8-rozměrného vektoru výnosností. Nyní provedeme klasické statistické odhady střední hodnoty (výběrovým průměrem) a varianční matice (výběrovou varianční maticí). Výsledky jsou uvedeny v následujících tabulkách (1 =100%): Střední kapitálové výnosnosti Tele CEZ Erste KB PM ssz Unip VCP 0.3931 1.3866 0.1946 0.0789 0.0880 0.9549 1.2226 0.3415 7 Kovariance kapitálových výnosností Tele CEZ Erste KB PM ssz Unip VCP Tele 0.0076 0.0103 0.0007 0.0048 0.0058 0.0160 0.0073 -0.0040 ČEZ 0.0103 0.1097 0.0203 0.0306 0.0377 0.0773 0.0376 -0.0335 Erste 0.0007 0.0203 0.0067 0.0056 0.0073 0.0109 -0.0005 -0.0066 KB 0.0048 0.0306 0.0056 0.0117 0.0121 0.0248 0.0128 -0.0099 PM 0.0058 0.0377 0.0073 0.0121 0.0185 0.0293 0.0208 -0.0103 ssž 0.0160 0.0773 0.0109 0.0248 0.0293 0.1439 0.0241 -0.0510 Unip 0.0073 0.0376 -0.0005 0.0128 0.0208 0.0241 0.1376 -0.0025 VČP -0.0040 -0.0335 -0.0066 -0.0099 -0.0103 -0.0510 -0.0025 0.0228 Poznámka: Tele = Český telecom, Erste = Erste Bank, KB = Komerční banka, PM = Philip-Morris, Unip = Unipetrol. Užitečné je také podívat se na korelační matici výnosností, která nám může napovědět, jak účinná bude diverzifikace portfolia při snižování rozptylu jeho výnosnosti. Korelace kapitálových výnosností (červeně vyznačené jsou záporné hodnoty) Tele CEZ Erste KB PM SSZ Unip VCP Tele 1.0000 0.3549 0.0978 0.5133 0.4913 0.4843 0.2259 -0.3042 ČEZ 0.3549 1.0000 0.7456 0.8549 0.8364 0.6148 0.3061 -0.6702 Erste 0.0978 0.7456 1.0000 0.6337 0.6576 0.3503 -0.0152 -0.5338 KB 0.5133 0.8549 0.6337 1.0000 0.8214 0.6046 0.3195 -0.6082 PM 0.4913 0.8364 0.6576 0.8214 1.0000 0.5675 0.4125 -0.5028 SSŽ 0.4843 0.6148 0.3503 0.6046 0.5675 1.0000 0.1715 -0.8911 Unip 0.2259 0.3061 -0.0152 0.3195 0.4125 0.1715 1.0000 -0.0453 VČP -0.3042 -0.6702 -0.5338 -0.6082 -0.5028 -0.8911 -0.0453 1.0000 Většina korelací je kladná, ale některé ne příliš vzdálené od nuly. Akcie společnosti VČP vykazují jako jediné zřetelně negativní korelovanost s ostatními tituly. Zahrnutí dividend Zatím jsme brali v potaz jen tzv. kapitálové výnosnosti akcií, tj. míru výnosu způsobeného nárůstem tržní ceny akcie. Druhou složkou zisku držitele akcie jsou tzv. dividendy. Jde o platby, které firma provádí ve prospěch akcionářů jakožto jejich podíl na firemním zisku. Výplata dividend probíhá obvykle jednou za rok a jejich výše se udává v peněžních jednotkách na jednu akcii. Jestli budou dividendy vyplaceny a v jaké výši je však plně v rukou valné hromady akciové společnosti, která o této věci rozhoduje na návrh představenstva. Tzv. dividendová výnosnost je výše roční dividendy dělená tržní cenou akcie. Platí potom 8 66 celková výnosnost = kapitálová výnosnost + dividendová výnosnost Výše vyplacených dividend námi zkoumanými společnostmi za léta 1998 až 2005 v Kč na jednu akcii jsou obsaženy v následující tabulce: 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 odhad 2006 Český Telecom 7.5 57.5 17 30 CEZ 2 2.5 4.5 8 9 10 Erste bank 10 12 16 18 Komerční banka 11.5 40 200 100 100 Philip Morris 864 996 880 940 1240 1448 1575 1606 1640 SSZ 32 32 33 36 44 55 130 390 400 Unipetrol 1.33 0 VCP 6.7 50 100 58 316 253 364 347.5 350 zdroj: www.miras.cz Poznámka: Prázdné buňky odpovídají tomu, že akcie dané firmy se v daný rok neobchodovaly nebo data nejsou k dispozici, nuly odpovídají nevyplaceným dividendám. U akcií Erste Bank jde o převod z EUR na CZK. Poznámka: V průběhu zpracování zápočtové úlohy se u některých společností objevily informace o výši dividend na rok 2006. Tyto informace již ale nebyly brány v úvahu. Jak je z této tabulky vidět, předvídat velikost dividendy vyplacené akciovou společností v příštím roce může být pro nezasvěcené osoby velice obtížné. Rozhodli jsme se přesto provést naše "expertní" odhady výše dividend vyplacené v roce 2006, které bychom mohli zakalkulovat do celkových výnosností jednotlivých akciových titulů. Tyto odhady vztáhneme k ceně akcií z 31.3. 2006 a tím získáme odhady dividendových výnosností. Spolu s dalšími souhrnnými charakteristikami pro jednotlivé akciové tituly jsou uvedeny v následující tabulce: cena 31.3. 06 dividendy 2006 dividend, výnos. kapitál, výnos. celková výnos. směr. odchylka Český Telecom 501.3 30 0.0598 0.3931 0.4530 0.0873 CEZ 819.2 10 0.0122 1.3866 1.3988 0.3312 Erste bank 1389 18 0.0130 0.1946 0.2075 0.0821 Komerční banka 3285 100 0.0304 0.0789 0.1093 0.1081 Philip Morris 16072 1640 0.1020 0.0880 0.1901 0.1360 SSZ 4200 400 0.0952 0.9549 1.0502 0.3794 Unipetrol 274.7 0 0.0000 1.2226 1.2226 0.3709 VCP 6200 350 0.0565 0.3415 0.3980 0.1508 9 Výsledné odhady Budoucí dividendové výnosy budeme považovat za deterministické veličiny rovné našim odhadům. Na základě tohoto zjednodušujícího predpokladu bude varianční matice celkových výnosností V rovna varianční matici kapitálových výnosností. Odhad strední hodnoty vektoru celkových výnosností r bude pak roven předposlednímu sloupci ("celková výnosnost") předchozí tabulky. Nyní tedy máme připraveny všechny vstupy do Markowitzova modelu a nic nám nebrání přistoupit k jeho numerickému řešení. Než tak učiníme, můžeme si ještě jednotlivé akciové tituly graficky znázornit v (a, r)-rovině stejně jako budeme následně znázorňovat jednotlivá portfolia. Jednotlivé akciové tituly to o ČEZ» V) o c > Unip • SSŽt Tele • VCP t Erste • p m t KB • riziko 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 Pokud bychom tedy mohli svojí investici soustředit vždy jen do jednoho akciového titulu, pak eficientní by byly akcie Erste Bank, Českého telecomu a ČEZu. Akcie ČEZu mají nejvyšší očekávanou výnosnost (1.3988= 139.88%), zatímco akcie Erste Bank mají nejnižší směrodatnou odchylku výnosnosti (0.0821 = 8.21 %). Použité metody řešení Když máme k dispozici odhady vektoru středních hodnot výnosností r a varianční matice výnosností V (viz. předchozí kapitola), můžeme přistoupit k samotnému řešení Markowitzova modelu, tj. řešení úlohy vicekriteriální optimalizace 10 maximalizovat (rrx, -xrVx) 8 za podmínek ^x^laxžO. Označme si x = jxeR8 :^Xj= 1,x>ol množinu přípustných řešení naší úlohy. Tento tvar množiny X odpovídá situaci a) v našem zadání. V případech b) až e) bude množina X určena jinými omezeními, vždy ale půjde o lineární omezení ve tvaru rovností nebo neostrých nerovností (jejich formulaci provedeme později) definující konvexní polyedr. Přesto, že existuje software přímo určený k vyhodnocování Markowitzova modelu (např. knihovna fPortfolio pro program R), rozhodli jsme se řešit naší úlohu více méně "ručně". Jednak tak budeme mít možnost sami určit podobu odhadů vektoru r a matice V (speciální software si je počítá sám) a také budeme vždy schopni zadat příslušný tvar množiny X přípustných řešení. Jedním ze způsobů, jak hledat eficientní řešení naší úlohy vicekriteriální optimalizace, je řešit úlohu max rrx-X —xrVx kde A, e [o, oo] je parametr (pro X=oo máme na mysli účelovou funkci -xrVx). Účelová funkce v této úloze je tedy nezápornou lineární kombinací dvou účelových funkcí z původní úlohy. Parametr X, pak určuje relativní zastoupení střední hodnoty výnosnosti portfolia a jejího rozptylu v této kombinované účelové funkci. Je-li X blízké nule, znamená to, že investor nemá příliš silnou averzi vůči riziku a rozhoduje u něj především velikost očekávané výnosnosti portfolia. Je-li naopak X, "hodně" velké, znamená to, že rozhodující je pro investora především co nejmenší rozptyl výnosnosti portfolia (má velkou averzi vůči riziku). Protože matice V je pozitivně definitní, jedná se pro dané pevné X * 0 o úlohu kvadratického programování (KP) mající právě jedno optimální řešení (maximalizujeme striktně konkávni funkci na kompaktní množině). Pro X = 0 půjde o velice jednoduché úlohy lineárního programování mající taktéž právě jedno optimální řešení. To je zaručeno např. tím, že složky vektoru r jsou vesměs různé. Z teorie vyplývá, že každé optimální řešení úlohy max rrx-X-xrVx pro dané X e [o, oo] je eficientním řešením původní úlohy vicekriteriální optimalizace a takto dokonce vyčerpáme všechna její eficientní řešení. Zvolíme si tedy dostatečně hustou a reprezentativní mřížku hodnot parametru X a pro každý bod této mřížky vyřešíme příslušnou optimalizační úlohu. K tomu použijeme proceduru QPsolve na řešení úloh KP knihovny quadprog v programu R. Tato procedura umožňuje zadat vektor a pozitivně definitní matici určující účelovou funkci úlohy a dále libovolné rovnosti a nerovnosti určující množinu přípustných řešení. Z hodnot a(x) = VxrVx a r(x) = rTx pro jednotlivá optimální řešení x pak sestavíme efektivní hranici portfolií v (a, r)-rovině. 11 25 Value at Risk Buď a e (o,l). Pro dané portfolio x je VaRa(x) definován jako největší hodnota výnosnosti, které portfolio x dosáhne s pravděpodobností alespoň a. Jde tedy vlastně o (l-a)-kvantil rozdělení p(x). Protože přesné rozdělení p(x) neznáme, musíme se spokojit s jednou ze dvou obvyklých aproximací: Buď použijeme empirickou distribuční funkci p(x) sestrojenou na základě dostupných dat (tzv. neparametrický VaR) nebo určíme příslušný kvantil ze znalosti střední hodnoty a rozptylu p(x) na základě předpokladu normality (tzv. parametrickýVaR), konkrétně VaR = r(x)+a(x)-Wi-a , kde ui-a je l-a-kvantil rozdělení n(o,l). Obě aproximace mají své výhody i nevýhody. Neparametrický VaR lépe odráží tvar skutečného rozdělení p(x), ale k jeho použití je potřeba mít velký počet dat, zvláště pokud je a blízké 0 nebo 1. Parametrický VaR nevyžaduje tolik dat, jeho výpočet je jednoduší a je použitelný i když je a blízké 0 nebo 1. Je ovšem přirozeně nepřesný, pokud se skutečné rozdělení p(x) příliš liší od normálního. My použijeme pro porovnání vždy obě aproximace. Protože máme počítat 95% VaR a náš počet pozorování je 252, bude neparametrický VaR roven 13. nejhorší výnosnosti z 252 historických realizací (round(o.05-252) = 13). To je ještě relativně velký počet, takže by neparametrický VaR mohl dávat rozumné výsledky. Případ a) Množina přípustných řešení v případě a) je X = l x e R8: ^ x3■ = 1, x > 01. Odpovídá situaci bez možnosti krátkých prodejů, výpůjček nebo investic do bezrizikového aktiva (viz. ostatní případy). Evidentně jde o konvexní polyedr v prostoru R8. Případ b) V tomto případě máme oproti předchozí situaci možnost investovat svůj kapitál nejen do některých z J akciových titulů, ale také do tzv. bezrizikového aktiva. To je investice, která obnáší pevný (nenáhodný) výnos r0. Obvykle jde o bankovní vklady s pevným úrokem nebo nákup státních dluhopisů. Tato možnost způsobí, že podmínka ^xs =1 se změní na ^xs 01 je stále konvexní polyedr v R8. Musíme ještě určit konkrétní hodnotu r0 výnosnosti bezrizikového aktiva. Jako nejrealističtější volba se nám jeví nabízené roční úrokové sazby u jednoletých termínovaných vkladů s pevnou úrokovou sazbou. Ta však obvykle závisí na velikosti ukládané částky, která se v našem případě může pohybovat od 0 do 2 mil. Kč. Nakonec jsme zvolili kompromisní hodnotu 1.2 %, tj. r0 =0.012. Případ c) V tomto případě máme oproti předchozí situaci navíc možnost půjčovat si za jistou úrokovou sazbu r_i >r0 dodatečný kapitál, a to až do výše 30% našeho základního kapitálu o velikosti 1. Podmínka ^Tx^ ol. Účelová funkce je rovna j=i j=i J íJ > + ( J \ *ErJxJ~r-1 T.xj -1 + r0 i-2> j=i W=1 J i >=i j 1 T 2 Její první část ovšem není obecně lineární funkcí vektoru x, takže nejde o úlohu KP. V případě, kdy se výpůjční a depozitní sazba rovnají, tj. r, =r0, se účelová funkce zjednoduší na tvar f \ í i i i ^rjxj+rio l-J^Xj -X-xTVx = ro+YJ(rJ-ro)xJ-X-xTVx j=i V J=l ) 2 J=l 2 totožný s případem b), takže již jde o úlohu KP, kterou umíme řešit. Případ c*) Uvažujme nyní na chvíli situaci, kdy máme možnost pouze si vypůjčovat a nikoli ukládat. Účelová funkce bude j í j \ i j i 2>^"ri Z*'-1 -^-XTVx = ri+^{rj-ri)xj-X-XTVx J=l J=l 13 a množina prípustných řešení l= xeR! :1^Xxj ^1-3, x>oL Toto tedy je, na rozdíl od obecné situace c), úloha KP. Vraťme se teď k obecné situaci c) s ukládáním i vypůjčováním. Efektivní hranici portfolií můžeme v tomto případě určit následující úvahou. Je-li, jak předpokládáme, r_i >r0, nebude nikdy optimální současně si vypůjčit a uložit kapitál. Stačilo by totiž snížit o stejnou částku jak půjčovaný tak ukládaný kapitál a ušetřili bychom úměrnou částku díky rozdílu v úrokových mírách. Racionální investor si tedy vždy buď pouze půjčuje nebo pouze ukládá. Pokud vezmeme množinu eficientních portfolií v situaci b), sjednotíme jí s množinou eficientních portfolií v situaci c*) a z výsledné množiny vybereme v rámci ní eficientní portfolia, získáme hledanou množinu eficientních portfolií v situaci c). Musíme ještě určit konkrétní hodnotu r_i úrokové sazby, za kterou si můžeme vypůjčovat. Jako nejrealističtější volba se nám jeví nabízené roční úrokové sazby u jednoletých podnikatelských bankovních úvěrů. Zvolili jsme kompromisní hodnotu 12 %, tj. r_x =0.12. Případ d) Oproti případu a) máme nyní možnost provádět tzv. krátké prodeje (short sales allowed). Jde zjednodušeně o to, že akcie prodáme za současnou cenu a na konci období je nakoupíme za cenu platnou v tomto okamžiku. Spekulujeme tedy na pokles ceny dotyčných akcií. Jiný výklad je, že si prostě půjčujeme prostředky a úroková sazba je rovna výnosu dané akcie za dotyčné období. To, že provádíme krátký prodej y-té akcie, vyjádříme zápornou hodnotou x}. Krátké prodeje jednotlivých akciových titulů nesmí podle zadání přesáhnou 30 % z výchozího kapitálu o velikosti 1. Tedy místo původní podmínky x>0 máme nyní podmínku x > -0.3 a X = l x e R8: ^ x}. = 1, x > -0.31. Účelová funkce bude stejná jako v případě a). Případ e) Zde je oproti situaci a) podmínka, že žádný titul nesmí tvořit více než 15 % celého portfolia. Účelová funkce tedy zůstává stejná jako v případě a), jen množina přípustných řešení je nyní X = jxeR8 :Y_lxj =1, 0 3 O S) S) o CO o m -*\ ô" (Ď" 3 |-+ 3 ■o O S" o- 00 o o co o jív o Ol o O) o o bo o CD m o" (D 3 ■o O 1 0)' I 0) N< CD o co CD CD 00 m o 3 ■Ö O a. 5" CD Závěr Numerické výsledky v jednotlivých částech a) až e) nejsou nijak v rozporu s naší intuicí. Efektivní hranice portfolií v případě b) je prodloužením hranice z případu a) do bodu odpovídajícímu bezrizikovému aktivu. Vysoké výnosnosti portfolií v případě d) jsou dány značnými rozdíly ve výnosnostech jednotlivých akciových titulů v našem koši a možností krátkých prodejů až do celkové výše 7-0.3 = 2.1. Protože jsme pracovali jen s 8 tituly, je požadavek z případu e) na maximálně 15% zastoupení jednotlivých titulů v portfoliu značně restriktivní. To má za následek velice krátkou efektivní hranici portfolií v tomto případě. U většiny zkoumaných portfolií byl napočítaný parametrický VaR menší než jejich neparametrický VaR. To ukazuje na skutečnost, že rozdělení výnosností většiny portfolií má zřejmě kladnou šikmost (je "nahnuté" na levou stranu). Tento rozdíl byl méně patrný u více diverzifikovaných portfolií, která měla zřejmě rozdělení výnosností blíže k normálnímu (náznak CLV). Portfolia s maximálním 95% parametrickým VaR byla ve všech případech velice blízko protfóliím s maximálním výnosem (ta vykazovala největší neparametrický VaR). Obecně se dá říct, že použití Markowitzova modelu v naší úloze dalo rozumné výsledky, samozřejmě za předpokladu splnění svých důležitých předpokladů. Jako nejzávažnější problém se nám jeví otázka kvality odhadu vektoru r a matice V. Historické kurzy akcií totiž v sobě nesou informaci, která nemusí být vždy nutně dobrým vodítkem pro prognózovaní jejich budoucích hodnot. Hrozí nehomogenita jak v historických datech samotných, tak hlavně mezi minulostí a budoucností. Užitečná pro předvídání budoucího vývoje akciových kurzů by jistě byla znalost aktuální situace dané firmy a jejího nejbližšího vývoje. Zdroje www.akcie.com www.miras.cz Internetové stránky vybraných akciových společností Internetové zpravodajské servery Dupačová, J.: Markowitzův model optimální volby portfolia. Předpoklady, data, alternativy. Cipra, T.: Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. HZ, Praha 1995. Markowitz, H.: Portfolio selection. The Journal of Finance, Vol. 7, No. 1, 1952. 19