Univerzita Karlova v Praze
Matematicko-fyzikální fakulta
MARKOWITZŮV MODEL
Optimalizace II s aplikací ve financích
Lenka Slámová, Tereza Baumová
červen 2008
Zadání
Jste správcem akciových portfolií. Potřebujete, mimo jiné, připravit pro své klienty vhodná
akciová portfolia pro investování 25 mil. Kč na období jednoho měsíce. Očekáváte, že se
klient bude chtít poradit v otázce složení vhodného akciového portfolia a rozhodli jste se
využít Markowitzův model pro selekci.
Zvolte vhodné tituly (8-10). Víte, že výběru titulů předchází globální a odvětvová
analýza a proto vyberte tituly, které jsou v souladu s vaší predikcí vývoje na finančních
trzích.
Úkoly
a) Na trhu nejsou povoleny krátké prodeje. Sestavte efektivní hranici portfolií (graficky
prezentujte). Vyberte některá portfolia na efektivní hranici a uveďte jejich složení (váhy)
a očekávané výnosnosti titulů zastoupených v portfoliu.
b) Jak se změní efektivní hranice, pokud budete mít možnost investovat do bezrizikového
aktiva (depozita v bance, aktuální sazbu nalezněte sami).
c) Jak se změní efektivní hranice, pokud budete mít možnost výpůjček od správce portfolia
až do 30 % hodnoty portfolia.
d) Co když budete mít povoleny krátké prodeje až do 30 % počátečního vkladu? Nakreslete
efektivní hranici v tomto případě.
e) V souladu s vnitřní politikou investiční společnosti, kterou zastupujete, nesmí žádný z
titulů portfolia přesáhnou 15% váhu v celkovém portfoliu. Nakreslete efektivní hranici
při tomto omezení.
Dále spočtěte v případech a) - e) Value at Risk VaR(95%) pro vybraná efektivní port-
folia.
1
Markowitzův model
Markowitzův model je jedním z přístupů, jak hledat optimální portfolio. Tento model
předpokládá, že je investor racionální, tedy jeho cílem je maximalizovat zisk a minimalizovat
riziko. Ziskem se v Markowitzově modelu rozumí střední hodnota náhodného výnosu a
rizikem pak jeho směrodatná odchylka. Tento model má řadu zjednodušujících předpokladů
- předpokládá ideální trh bez transakčních nákladů a bez arbitráže, neomezenou možnost
investování a půjčování, neomezenou dělitelnost aktiv, předpokládá, že investoři preferují
vyšší výnosy a nižší riziko a využívají k tomu shodné informace - hodnoty očekávaných
výnosností akcií a rozptylů a kovariancí těchto výnosností.
Zaveďme si následující značení:
I počet akcií, z nichž skládáme portfolio,
xi váha i-té akcie v portfoliu, i = 1, . . . , I
x0 váha bezrizikového aktiva v portfoliu,
i náhodný výnos i-té akcie ve zvoleném období, i = 1, . . . , I
ri očekávaný výnos i-té akcie ve zvoleném období, i = 1, . . . , I
rp minimální požadovaný výnos portfolia ve zvoleném období,
r0 výnos bezrizikového aktiva ve zvoleném období.
Vektor vah označíme x = (x1, . . . , xI ), vektor náhodných výnosů  = (1, . . . , I).
Rozdělení náhodného vektoru  je charakterizováno známým vektorem středních hodnot
E() = r = (r1, . . . , rI) a varianční maticí var() = V = [cov(i, j)]I
i,j=1.
Výnos portfolia s vahami x budeme chápat jako střední hodnotu celkové výnosnosti
r(x) =
I
i=1
xiri = r
x
a riziko tohoto portfolia chápeme ve smyslu Markowitzova modelu jakožto směrodatnou
odchylku celkové výnosnosti - odmocninu z rozptylu
2
(x) =
I
i,j=1
xixjVij = x
Vx.
2
Při hledání optimálního portfolia ve smyslu Markowitzova modelu pak musíme řešit
optimalizační úlohu vícekriteriálního programování
max rx
min xVx
za podmínek
x  ,
(1)
kde množina  je určena požadavkem 1x = 1 a případně dalšími podmínkami na složení
portfolia.
Jinou možností je řešit zjednodušenou úlohu nelineárního programování ve tvaru
max
x
r
x -
1
2
x
Vx, (2)
kde   0 je parametr modelující investorův vztah k riziku.
Úloha, kterou použijeme při hledání optimálního portfolia my, je následujícího tvaru
min xVx
za podmínek
x  ,
rx  rp,
(3)
kde rp je zvolená hodnota minimálního požadovaného výnosu.
Naším úkolem je pro jednotlivé úlohy najít efektivní hranice, tj. množinu portfolií, které
jsou eficientní. Řekneme, že portfolio je eficientní vzhledem ke střední hodnotě a rozptylu,
jestliže neexistuje jiné portfolio, jehož výnos by byl větší nebo roven výnosu uvažovaného
portfolia a jehož riziko by bylo menší nebo rovno riziku uvažovaného portfolia, s alespoň
jednou nerovností ostrou. Efektivní hranice odpovídá optimálním řešením úlohy(3) pro
různé nastavené hodnoty rp  rmin, kde rmin je výnos portfolia xG, které je optimálním
řešením úlohy (4) bez podmínek na očekávanou výnosnost
min xVx
za podmínek
x  .
(4)
3
Nyní již můžeme matematicky vyjádřit tvar optimalizačních úloh v případech a) - e).
Úloha a
Nejsou povoleny krátké prodeje, to znamená, že váhy jednotlivých akcií v portfoliu musí
být nezáporné.
min I
i=1
I
j=1 xixjVij
za podmínek
I
i=1 xi = 1,
xi  0, i = 1, . . . , I,
I
i=1 rixi  rp.
(5)
Úloha b
Nejsou povoleny krátké prodeje a máme možnost investovat do bezrizikového aktiva. Zavedeme
novou proměnnou x0, která bude vyjadřovat, jakou část investujeme do bezrizikového
aktiva. Bezrizikový výnos značíme r0.
min I
i=1
I
j=1 xixjVij
za podmínek
x0 + I
i=1 xi = 1,
xi  0, i = 0, . . . , I,
x0r0 + I
i=1 rixi  rp.
(6)
Úloha c
Nejsou povoleny krátké prodeje, máme možnost investovat do bezrizikového aktiva a máme
možnost výpůjček od správce portfolia až do 30 % hodnoty portfolia. Zavedeme novou
proměnnou xv, která bude vyjadřovat velikost půjčky. Proměnná xv může nabývat hodnot
v intervalu [0, 0.3], přičemž xv = 0 pokud si nic nepůjčujeme a xv = 0.3, pokud možnosti
půjčky využijeme naplno a půjčíme si celých 30 % hodnoty portfolia. Výpůjční sazbu
značíme rv. Výnos portfolia je pak roven x0r0 + xiri - xvrv.
min I
i=1
I
j=1 xixjVij
za podmínek
x0 + I
i=1 xi = 1 + xv,
xi  0, i = 0, . . . , I,
xv  0,
xv  0.3,
x0r0 + I
i=1 rixi - xvrv  rp.
(7)
4
Úloha d
Máme povoleny krátké prodeje, a to až do 30 % počátečního vkladu. To znamená, že váhy
xi mohou být i záporné, ale součet záporných částí vah I
i=1 xi
(x- = - min(0, x)) nesmí
přesáhnout hodnotu 0.3.
min I
i=1
I
j=1 xixjVij
za podmínek
I
i=1 xi = 1,
I
i=1 xi
 0.3,
I
i=1 rixi  rp.
(8)
Úloha e
Žádný z titulů nesmí přesáhnout 15% váhu v portfoliu. Toto omezení se jednoduše vyjádří
tak, že xi  0.15 pro každé i.
min I
i=1
I
j=1 xixjVij
za podmínek
I
i=1 xi = 1,
xi  0, i = 1, . . . , I,
xi  0.15, i = 1, . . . , I,
I
i=1 rixi  rp.
(9)
5
Výběr akcií
Vzhledem k tomu, že investiční horizont je jeden měsíc, je třeba k tomu, abychom mohly
odhadnout kovariance výnosností jednotlivých titulů, minimálně I2 pozorování měsíčních
výnosů, kde I je počet akcií. Budeme investovat do I = 10 akcií, to znamená, že potřebujeme
minimálně 100 měsíčních výnosů, tj. data za 8 let a 4 měsíce. Z důvodu nerozvinutosti
českého trhu, kdy se po takto dlouhou dobu obchoduje jen malý počet akcií, rozhodly jsme
se vybrat akcie zahraniční.
Americké akcie jsme zavrhly, z důvodu hrozící recese by to nebyla dobrá investice. Vybíraly
jsme tedy akcie evropských firem, které podnikají také ve střední a východní Evropě.
Vzhledem k tomu, že tyto oblasti jsou stále tzv. "emerging markets", tedy rozvojové trhy,
lze u těchto firem očekávat růst právě díky zvyšujícím se ziskům ze střední a východní
Evropy.
Vybraly jsme akcie ze 4 sektorů tak, aby z každého sektoru byly zastoupeny minimálně
dvě společnosti, a zvýšila se tím tak možnost diverzifikace mezi odvětvími. Vybraly jsme
následující sektory a společnosti:
* Finanční instituce - banky a pojišťovny
­ Commerzbank (Německo) - zkratka CBK
­ Erste Bank (Rakousko) - zkratka EBS
­ Vienna Insurance Group (Rakousko) - zkratka VIG
* Elektrárenské společnosti
­ E.ON (Německo) - zkratka EON
­ RWE (Německo) - zkratka RWE
* Automobilové společnosti
­ Volkswagen (Německo) - zkratka VW
­ Renault (Francie) - zkratka REN
­ Fiat (Itálie) - zkratka FIA
* Oil&Gas společnosti zaměřené na těžbu a zpracování ropy
6
­ OMV (Rakousko) - zkratka OMV
­ MOL (Maďarsko) - zkratka MOL
Soustředily jsme se také na tzv. 12-ti měsíční cílové ceny, které vyjadřují názor analytiků,
na jakém kurzu by se měla akcie pohybovat v horizontu jednoho roku. Na základě
této cílové ceny analytik doporučí akcie kupovat, držet nebo prodávat. V tabulce je
vyjádřeno, jaké procento analytiků doporučuje akcie kupovat, držet nebo prodávat. Vybraly
jsme takové akcie, u nichž většina analytiků dává doporučení kupovat nebo držet, a
naznačuje tak, že by akcie mohla v následujících měsících posilovat.
Kupovat Držet Prodávat
CBK 47.06 % 44.12 % 8.82 %
EBS 73.91 % 17.39 % 8.70 %
VIG 63.64 % 27.27 % 9.09 %
EON 82.93 % 17.07 % 0.00 %
RWE 46.15 % 35.90 % 17.95 %
VW 14.29 % 37.14 % 48.57 %
FIA 70.83 % 16.67 % 12.50 %
REN 43.75 % 37.50 % 18.75 %
OMV 60.00 % 25.00 % 15.00 %
MOL 41.18 % 52.94 % 5.88 %
Tabulka 1: Doporučení analytiků na vybrané akcie.
Stáhnutí dat
Ze serveru Bloomberg jsme pro těchto 10 akcií stáhly data od ledna 1999 do konce dubna
2008, celkově hodnoty akciových kurzů za 112 měsíců. Mírnou komplikací u akcií z Francie,
Německa, Rakouska a Itálie byl přechod z národních měn na společnou měnu EURO k
1.1.2001. Nicméně kurz EURa k ostatním měnám byl stanovován již od začátku roku 1999,
a tento problém za nás tedy vyřešil Bloomberg sám, neboť kurzy akcií jsou od 1.1.1999
přepočítané na současnou měnu obchodování, kterou je u všech akcií vyjma MOL EURO.
Společnost MOL se obchoduje v maďarských forintech (HUF). Kurz všech akcií jsme přepočítávaly
na české koruny (CZK), kromě akciových kurzů jsme tedy stáhly i vývoj kurzů
EUR/CZK a HUF/CZK (nepřímá kotace, tj. pokud kurz EUR/CZK = 30, pak 1EUR =
30CZK) od ledna 1999 do dubna 2008, které jsou zakresleny na obrázku 1.
Na obrázku 2 jsou znázorněny vývoje akciových kurzů společností (v měnách obchodování)
od 1/1999 do 4/2008.
7
24
26
28
30
32
34
36
38
40
1/99 1/00 1/01 1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07 1/08
EUR/CZK
9
10
11
12
13
14
15
16
1/99 1/00 1/01 1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07 1/08
100 HUF/CZK
Obrázek 1: Vývoj měnových kurzů EUR/CZK a HUF/CZK.
Dividendy a štěpení akcií
Dalším problémem bylo štěpení akcií, ale i tento problém vyřešil Bloomerg sám - kurzy
akcií do minulosti přepočítává na současný počet akcií. Dále bylo třeba získat informace
o výši dividend. Tato data jsme stáhly rovněž z Bloombergu. V následující tabulce 2 jsou
uvedeny informace o výši vyplacené dividendy v jednotlivých letech a měsíci, kdy nastává
ex-dividend day (rozhodný den pro výplatu dividendy). Pro jednoduchost předpokládáme,
že rozhodný den je vždy ve stejném měsíci, a to v tom, ve kterém nastal v roce 2007.
CBK EBS VIG EON RWE VW FIA REN OMV MOL
Měsíc 4 5 5 4 3 3 4 4 4 4
Měna EUR EUR EUR EUR EUR EUR EUR EUR EUR HUF
1999 1.10 0.29 0.33 1.53 1.31 1.10 0.57 1.07 0.23 90.00
2000 1.14 0.31 0.31 1.79 1.43 1.10 0.57 0.95 0.24 55.00
2001 1.43 0.31 0.31 1.93 1.43 1.71 0.57 1.05 0.43 55.00
2002 0.40 0.31 0.31 1.60 1.00 1.30 0.29 1.06 0.43 55.00
2003 0.10 0.31 0.31 1.75 1.10 1.30 0.29 1.27 0.35 55.00
2004 0.10 0.37 0.45 2.00 1.25 1.05 0.29 1.40 0.40 57.86
2005 0.25 0.50 0.55 2.35 1.50 1.05 0.29 1.80 0.44 167.42
2006 0.50 0.55 0.66 7.00 1.75 1.15 0.29 2.40 0.90 321.14
2007 0.75 0.65 0.82 3.35 3.50 1.25 0.16 3.10 1.05 507.96
Tabulka 2: Výše vyplacených dividend v jednotlivých letech.
8
0
10
20
30
40
50
1/99 1/00 1/01 1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07 1/08
CBK
0
10
20
30
40
50
60
70
1/99 1/00 1/01 1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07 1/08
EBS
10
20
30
40
50
60
1/99 1/00 1/01 1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07 1/08
VIG
20
40
60
80
100
120
140
160
1/99 1/00 1/01 1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07 1/08
EON
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1/99 1/00 1/01 1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07 1/08
RWE
0
40
80
120
160
200
1/99 1/00 1/01 1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07 1/08
VW
20
40
60
80
100
120
1/99 1/00 1/01 1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07 1/08
REN
4
8
12
16
20
24
28
32
1/99 1/00 1/01 1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07 1/08
FIA
0
10
20
30
40
50
60
1/99 1/00 1/01 1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07 1/08
OMV
0
50
100
150
200
250
300
1/99 1/00 1/01 1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07 1/08
MOL
Obrázek 2: Vývoj akciových kurzů našich 10 společností.
9
Vstupní data a odhad parametrů
Výpočet měsíčních výnosů
Vstupními daty Markowitzova modelu jsou odhadnuté očekávané výnosy (výběrový průměr
pozorovaných výnosů) a odhadnutá kovarianční matice výnosů (výběrová kovarianční matice
pozorovaných výnosů). Na základě našich T = 112 pozorování akciových kurzů pro I
akcií můžeme spočítat pozorovaný výnos i-té akcie v t-tém měsíci ri,t pro i = 1, . . . , I a
t = 2, . . . , T.
Nejdříve ale musíme přepočítat akciové kurzy a dividendy z měny obchodování na české
koruny. Nechť PC
i,t je kurz a DC
i,t dividenda i-té akcie na konci měsíce t v měně obchodování
a Ct je kurz české koruny k měně obchodování na konci měsíce t, pak kurz i-té akcie na
konci měsíce t v českých korunách je dán vzorcem
Pi,t = PC
i,tCt,
a dividenda odpovídající i-té akcii vyplacená v měsíci t v českých korunách je dána vzorcem
Di,t = DC
i,tCt.
Pak pozorovaný výnos i-té akcie za měsíc t je dán vzorcem
ri,t =
Pi,t - Pi,t-1 + Di,t
Pi,t-1
 100, i = 1, . . . , I, t = 2, . . . , T
kde Pi,t je kurz i-té akcie na konci měsíce t v českých korunách a Di,t je dividenda
odpovídající i-té akcii vyplacená v měsíci t v českých korunách. Výnos akcie vyjde v procentech.
Vzhledem k tomu, že máme k dispozici T = 112 pozorování akciových kurzů
dostaneme tak pro každou akcii 111 pozorování náhodné věličiny i.
Je třeba se zamyslet, jakým způsobem započítat do výnosů dividendy. Podle klasického
přístupu se dividenda započítává pouze v měsíci, kdy nastal ex-dividend day, neboť
po tomto datu by měla cena akcie klesnout o výši dividendy. To odráží jistým způsobem
fakt, že investoři dividendu očekávájí a její výše je tak v ceně akcie již zahrnuta. Proto Di,t
je rovno výši vyplacené dividendy pokud je t měsícem výplaty dividendy a rovno nule jinak.
10
Očekávaný výnos a varianční matice
Po výpočtu pozorovaných měsíčních výnosů již můžeme odhadnout vektor očekávaných
výnosů r = (r1, . . . , rI ) a kovarianční matici výnosů V = [Vij]I
i,j=1. Očekávaný výnos
budeme odhadovat pouze na základě dat od roku 2003 (pro t  t1 = 48), neboť lze předpokládat,
že nedávný vývoj popisuje chování akciových výnosů lépe než vývoj "historický".
K odhadování použijeme software R, který tyto hodnoty spočte na základě následujících
vzorců pro výběrový průměr a výběrovou kovarianční matici
ri =
1
T - t1
T
t=t1+1
ri,t, i = 1, . . . , I
Vij =
1
T - 2
T
t=2
(ri,t - ri)(rj,t - rj), i, j = 1, . . . , I.
kde ri je průměrný výnos i-té akcie od roku 1999.
Vektor odhadnutých výnosů akcií
CBK EBS VIG EON RWE VW FIA REN OMV MOL
r = (2.109 1.684 1.679 2.136 1.864 2.817 1.416 0.888 2.823 2.374 )
Vidíme, že nejvýnosnější jsou akcie společnosti OMV a Volkswagen, naopak nejmenší výnos
mají akcie společnosti Renault.
Odhadnutá kovarianční matice výnosů akcií
V =














137.23 30.51 9.67 27.32 30.46 45.54 48.40 54.09 26.72 24.82
30.51 47.80 6.90 9.00 9.47 13.76 8.65 14.48 16.79 14.91
9.67 6.90 33.19 7.84 11.60 4.70 7.68 7.21 14.97 8.28
27.32 9.00 7.84 39.12 27.12 21.21 16.53 16.00 11.91 14.00
30.46 9.47 11.60 27.12 49.76 30.15 18.68 19.58 15.40 6.04
45.54 13.76 4.70 21.21 30.15 102.80 39.77 51.51 22.17 16.35
48.40 8.65 7.68 16.53 18.68 39.77 83.81 33.78 18.39 15.86
54.09 14.48 7.21 16.00 19.58 51.51 33.78 97.01 32.19 25.38
26.72 16.79 14.97 11.91 15.40 22.17 18.39 32.19 93.07 22.63
24.82 14.91 8.28 14.00 6.04 16.35 15.86 25.38 22.63 90.47














V této matici jsou na diagonále rozptyly výnosů jednotlivých akcií, označme je 2
i = Vii,
pro i = 1, . . . , 10. Vektor směrodatných ochylek  obsahuje míry rizika jednotlivých akcií.
CBK EBS VIG EON RWE VW FIA REN OMV MOL
 = (11.715 6.913 5.761 6.255 7.054 10.139 9.155 9.849 9.647 9.511 )
Na obrázku 3 jsou v rovině dvojic bodů [r, ] zakresleny závislosti výnosů akcií na jejich
riziku.
11
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
3.2
5 6 7 8 9 10 11 12
RISK
YIELD
CBK
EBSVIG
EON RWE
VW
FIA
REN
OMV
MOL
Obrázek 3: Závislost výnosu na riziku akcie
Odhadnutá korelační matice výnosů akcií
R =














1.00 0.38 0.14 0.37 0.37 0.38 0.45 0.47 0.24 0.22
0.38 1.00 0.17 0.21 0.19 0.20 0.14 0.21 0.25 0.23
0.14 0.17 1.00 0.22 0.29 0.08 0.15 0.13 0.27 0.15
0.37 0.21 0.22 1.00 0.61 0.33 0.29 0.26 0.20 0.24
0.37 0.19 0.29 0.61 1.00 0.42 0.29 0.28 0.23 0.09
0.38 0.20 0.08 0.33 0.42 1.00 0.43 0.52 0.23 0.17
0.45 0.14 0.15 0.29 0.29 0.43 1.00 0.37 0.21 0.18
0.47 0.21 0.13 0.26 0.28 0.52 0.37 1.00 0.34 0.27
0.24 0.25 0.27 0.20 0.23 0.23 0.21 0.34 1.00 0.25
0.22 0.23 0.15 0.24 0.09 0.17 0.18 0.27 0.25 1.00














12
Úrokové sazby
Dalšími vstupními parametry modelů jsou úrokové sazby - bezriziková úroková sazba r0 a
výpujční sazba rv.
Bezriziková úroková sazba je depozitní sazba, se kterou se nám úročí například vklad
v bance. Vzhledem k tomu, že investujeme do zahraničních akcií, budeme obchodovat v
zahraniční měně - EUR. Družstevní záložna Fio nabízí termínovaný vklad s obnovou na
dobu 1 měsíce vedený v EUR s úrokovou sazbou 3.48% p.a. Ta odpovídá měsíční depozitní
sazbě r0 = 0.29%.
Společnost brokerjet.cz nabízí svým klientům pro obchodování s cennými papíry tzv.
maržový účet. Poskytuje tak svému klinetovi úvěr na obchodování s cennými papíry, klient
své investice částečně hradí z půjčených peněz, a ručí za ně nakoupenými akciemi. Díky
pákovému efektu může být zisk (na druhou stranu stejně tak i ztráta) několikrát znásobené.
Odhlédneme-li od poplatků za vedení maržového účtu, jediné, co nás tato půjčka bude stát,
je úrok z vypůjčených peněz. brokerjet.cz nabízí svým klientům úvěr v EUR s úrokovou
sazbou 9.0% p.a. Ta odpovídá měsíční výpujční sazbě rv = 0.75%.
13
Řešení úloh
Úlohy a) až e) jsme řešily v programu GAMS jako úlohy nelineárního programování.
Pro každé vybrané eficientní portfolio jsme dále spočetly Value at Risk. Označme ztrátu
portfolia -. Value at Risk je míra rizika definována vztahem P (-  VaR) = , tzn.
VaR je hodnota taková, že ztráta portfolia bude menší nebo rovna VaR s pravděpodobností
 blízko 1 (a tudíž větší než VaR s malou pravděpodobností 1-). Je to tedy 100procentní
kvantil rozdělení ztrát -.
Parametrický VaR: Pro tuto míru rizika předpokládáme, že ztráta portfolia - má
rozdělení N -r, 2 . Pak
P (-  VaR) = P
- + r


VaR + r

= 
VaR + r

= 
a tudíž VaR0.95 = -r+u0.95, kde u0.95 je 95% kvantil normovaného normálního rozdělení.
Neparametrický VaR: Pro dané portfolio můžeme z pozorovaných ztrát jednotlivých
akcií -rit v časech t = 1, . . . , T spočíst ztráty portfolia Z1, . . . , ZT . Neparametrický
VaR0.95 pak získáme jako empirický 95% kvantil, konkrétně jsme ho počítaly v programu
R příkazem
>quantile(x,prob=0.95,names=TRUE,type=7),
kde x je vektor Z(1), . . . , Z(T) , tedy vektor ztrát daného portfolia srovnaných podle ve-
likosti.
Úloha a
Formulace základní úlohy Markowitzova modelu bez možnosti krátkých prodejů:
min I
i=1
I
j=1 xixjVij
za podmínek
I
i=1 xi = 1,
xi  0, i = 1, . . . , I,
I
i=1 rixi  rp.
(10)
14
Nejprve jsme hledaly rmin a rmax, mezi kterými lze volit hodnotu rp. rmin je výnos
portfolia xG, které se nalezne vyřešením úlohy minimalizující riziko bez ohledu na výši
výnosu:
min I
i=1
I
j=1 xixjVij
za podmínek
I
i=1 xi = 1,
xi  0, i = 1, . . . , I.
rmax je maximální výnos portfolia bez ohledu na riziko, tedy rmax je řešení úlohy
max I
i=1 rixi
za podmínek
I
i=1 xi = 1,
xi  0, i = 1, . . . , I.
Tyto dvě úlohy jsme řešily rovněž v programu GAMS jako úlohy nelineárního a
lineárního progarmování. Výsledné hodnoty:
rmin rmax
1.8237 2.8231
Protože pro rp > rmax nemá úloha (10) přípustné řešení a pro rp < rmin bude podmínka
rx  rp splněna jako ostrá nerovnost, různá eficientní řešení zadané úlohy jsme hledaly
jejím řešením přes síť hodnot rp z intervalu [ rmin, rmax].
Na obrázku 4 je nakreslena efektivní hranice pro úlohu a.
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
4 5 6 7 8 9 10
sigma(x)
r(x)
Efektivni hranice - uloha a)
Obrázek 4: Efektivní hranice v úloze a
15
V tabulkách jsou uvedena složení dvou eficientních portfolií, odhady jejich parametrů
a VaR.
parametry Portfolio a1 Portfolio a2
r (x) 1.9 2.56
 (x) 4.1264 5.8460
parametrický VaR0.05 4.8873 7.0558
neparametrický VaR0.05 5.9860 8.9612
Tabulka 3: Charakteristiky dvou vybraných portfolií
CBK EBS VIG EON RWE
Váhy 0.00 0.20 0.35 0.22 0.04
Investované částky 0 5 000 000 8 750 000 5 500 000 1 000 000
VW FIA REN OMV MOL
Váhy 0.04 0.05 0.00 0.03 0.07
Investované částky 1 000 000 1 250 000 0 750 000 1 750 000
Tabulka 4: Portfolio a1
CBK EBS VIG EON RWE
Váhy 0.00 0.00 0.00 0.28 0.00
Investované částky 0 0 0 7 000 000 0
VW FIA REN OMV MOL
Váhy 0.25 0.00 0.00 0.32 0.15
Investované částky 6 250 000 0 0 8 000 000 3 750 000
Tabulka 5: Portfolio a2
16
Úloha b
Formulace úlohy s možností investice do bezrizikového aktiva s úrokovou mírou r0, bez
možnosti krátkých prodejů:
min I
i=1
I
j=1 xixjVij
za podmínek
x0 + I
i=1 xi = 1,
xi  0, i = 0, . . . , I,
x0r0 + I
i=1 rixi  rp.
(11)
rmin a rmax jsme nalezly stejně jako v úloze a) řešením úloh:
min I
i=1
I
j=1 xixjVij
za podmínek
x0 + I
i=1 xi = 1,
xi  0, i = 0, . . . , I.
max r0x0 + I
i=1 rixi
za podmínek
x0 + I
i=1 xi = 1,
xi  0, i = 0, . . . , I.
Jejich hodnoty vyšly rmin = 0.2900 a rmax = 2.8231.
Na obrázku 5 je nakreslena efektivní hranice pro úlohu b.
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
sigma(x)
r(x)
Efektivni hranice - uloha b)
Obrázek 5: Efektivní hranice v úloze b
17
V tabulkách jsou opět dvě eficientní portfolia, jejich parametry a míry rizika.
parametry Portfolio b1 Portfolio b2
r (x) 0.5430 2.0610
 (x) 0.5978 4.1848
parametrický VaR0.05 0.44034 4.8224
neparametrický VaR0.05 0.6744 6.4601
Tabulka 6: Charakteristiky dvou vybraných portfolií
riskfree CBK EBS VIG EON RWE
Váhy 0.87 0.00 0.01 0.03 0.04 0.00
Investované částky 21 750 000 0 250 000 750 000 1 000 000 0
VW FIA REN OMV MOL Váhy
0.02 0.00 0.00 0.02 0.01 Investované
částky 500 000 0 0 500 000 250 000 Tabulka
7: Portfolio b1
riskfree CBK EBS VIG EON RWE
Váhy 0.06 0.00 0.10 0.23 0.26 0.0000
Investované částky 1 500 000 0 2 500 000 5 750 000 6 500 000 0
VW FIA REN OMV MOL Váhy
0.12 0.00 0.00 0.13 0.10 Investované
částky 3 000 000 0 0 3 250 000 2 500 000 Tabulka
8: Portfolio b2
18
Úloha c
Formulace úlohy s možností investice do bezrizikového aktiva s úrokovou mírou r0, s
možností výpůjčky do 30% kapitálu s úrokovou mírou rv a bez možnosti krátkých prodejů:
min I
i=1
I
j=1 xixjVij
za podmínek
x0 + I
i=1 xi = 1 + xv,
xi  0, i = 0, . . . , I,
xv  0,
xv  0.3,
x0r0 + I
i=1 rixi - xvrv  rp.
(12)
rmin a rmax se získají stejně jako v úloze a řešením úloh:
min I
i=1
I
j=1 xixjVij
za podmínek
x0 + I
i=1 xi = 1 + xv,
xv  0, xv  0.3,
xi  0, i = 1, . . . , I.
max x0r0 + I
i=1 rixi - xvrv
za podmínek
I
i=1 xi = 1,
xv  0, xv  0.3,
xi  0, i = 1, . . . , I.
Výsledné hodnoty rmin = 0.2900 a rmax = 3.4451.
Na obrázku 6 je nakreslena efektivní hranice pro úlohu c.
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
sigma(x)
r(x)
Efektivni hranice - uloha c)
Obrázek 6: Efektivní hranice v úloze c
19
Vybraná dvě portfolia, jedno s využítím a druhé bez využití možnosti výpůjčky, jsou
charakterizována v následujících tabulkách.
parametry Portfolio c1 Portfolio c2
r (x) 0.83 3.09
 (x) 1.3421 7.1925
parametrický VaR0.05 1.3776 8.7406
neparametrický VaR0.05 1.8666 8.0825
Tabulka 9: Charakteristiky dvou vybraných portfolií
půjčka riskfree CBK EBS VIG EON
Váhy 0.00 0.70 0.00 0.03 0.08 0.08
Investované částky 0 17 500 000 0 750 000 2 000 000 2 000 000
RWE VW FIA REN OMV MOL
Váhy 0.00 0.04 0.00 0.00 0.04 0.03
Investované částky 0 1 000 000 0 0 1 000 000 750 000
Tabulka 10: Portfolio c1
půjčka riskfree CBK EBS VIG EON
Váhy 0.30 0.00 0.00 0.00 0.08 0.37
Investované částky -7 500 000 0 0 0 2 000 000 9 250 000
RWE VW FIA REN OMV MOL
Váhy 0.00 0.30 0.00 0.00 0.36 0.19
Investované částky 0 7 500 000 0 0 9 000 000 4 750 000
Tabulka 11: Portfolio c2
20
Úloha d
Formulace základní úlohy Markowitzova modelu s možností krátkých prodejů:
min I
i=1
I
j=1 xixjVij
za podmínek
I
i=1 xi = 1,
I
i=1 xi
 0.3,
I
i=1 rixi  rp.
(13)
rmin a rmax jsme získaly řešením úloh:
min I
i=1
I
j=1 xixjVij
za podmínek
I
i=1 xi = 1,
I
i=1 xi
 0.3.
max I
i=1 rixi
za podmínek
I
i=1 xi = 1,
I
i=1 xi
 0.3.
Výsledné hodnoty rmin = 1.7678 a rmax = 2.8689.
Na obrázku 7 je nakreslena efektivní hranice pro úlohu d.
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8
sigma(x)
r(x)
Efektivni hranice - uloha d)
Obrázek 7: Efektivní hranice v úloze d
21
V následujících tabulkách jsou popsána dvě eficientní portfolia s různou mírou využití
možnosti krátkých prodejů.
parametry Portfolio d1 Portfolio d2
r (x) 1.85 2.55
 (x) 4.0563 4.9071
parametrický VaR0.05 4.8221 5.5215
neparametrický VaR0.05 5.6072 6.7721
Tabulka 12: Charakteristiky dvou vybraných portfolií
CBK EBS VIG EON RWE
Váhy -0.07 0.22 0.33 0.23 0.05
Investované částky -1 750 000 5 500 000 8 250 000 5 750 000 1 250 000
VW FIA REN OMV MOL
Váhy 0.04 0.08 0.02 0.03 0.07
Investované částky 1 000 000 2 000 000 500 000 750 000 1 750 000
Tabulka 13: Portfolio d1
CBK EBS VIG EON RWE
Váhy 0.00 0.13 0.28 0.32 -0.03
Investované částky 0 3 250 000 7 000 000 8 000 000 -750 000
VW FIA REN OMV MOL
Váhy 0.23 -0.03 -0.21 0.18 0.13
Investované částky 5 750 000 -750 000 -5 250 000 4 500 000 3 250 000
Tabulka 14: Portfolio d2
22
Úloha e
Formulace úlohy bez krátkých prodejů s takovým omezením, že žádná akcie nesmí být v
portfoliu zastoupena více než patnácti procenty:
min I
i=1
I
j=1 xixjVij
za podmínek
I
i=1 xi = 1,
xi  0, i = 1, . . . , I,
xi  0.15, i = 1, . . . , I,
I
i=1 rixi  rp.
(14)
Hodnoty rmin a rmax jsme získaly řešením následujících úloh:
min I
i=1
I
j=1 xixjVij
za podmínek
I
i=1 xi = 1,
xi  0, i = 1, . . . , I,
xi  0.15 i = 1. . . . , I.
max I
i=1 rixi
za podmínek
I
i=1 xi = 1,
xi  0, i = 1, . . . , I,
xi  0.15 i = 1. . . . , I.
Výsledné hodnoty rmin = 1.9297 a rmax = 2.2869.
Na obrázku 8 je nakreslena efektivní hranice pro úlohu e.
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4
sigma(x)
r(x)
Efektivni hranice - uloha e)
Obrázek 8: Efektivní hranice v úloze e
23
Vzhledem k přidané značně omezující podmínce na složení portfolií se zmenšil interval
[rmin, rmax] a ve výsledných portfoliích není dosahováno takových výnosů, jako v předchozích
úlohách. Vybraná dvě portfolia jsou popsána v následujících tabulkách.
parametry Portfolio e1 Portfolio e1
r (x) 1.96 2.27
 (x) 4.4360 5.1887
parametrický VaR0.05 5.3366 6.2627
neparametrický VaR0.05 7.9480 8.6625
Tabulka 15: Charakteristiky dvou vybraných portfolií
CBK EBS VIG EON RWE
Váhy 0.00 0.15 0.15 0.15 0.15
Investované částky 0 3 750 000 3 750 000 3 750 000 3 750 000
VW FIA REN OMV MOL
Váhy 0.03 0.11 0.03 0.09 0.14
Investované částky 750 000 2 750 000 750 000 2 250 000 3 500 000
Tabulka 16: Portfolio e1
CBK EBS VIG EON RWE
Váhy 0.12 0.00 0.13 0.15 0.15
Investované částky 3 000 000 0 3 250 000 3 750 000 3 750 000
VW FIA REN OMV MOL
Váhy 0.15 0.00 0.00 0.15 0.15
Investované částky 3 750 000 0 0 3 750 000 3 750 000
Tabulka 17: Portfolio e2
24
Na následujících obrázcích 9 jsou pro srovnání vykresleny efektivní hranice pro všechny
úlohy.
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Uloha a
Uloha b
Uloha c
Uloha d
Uloha e
Efektivni hranice - ulohy a) - e)
sigma(x)
r(x)
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8
Uloha a
Uloha b
Uloha c
Uloha d
Uloha e
Efektivni hranice - ulohy a) - e)
sigma(x)
r(x)Obrázek 9: Efektivní hranice v úlohách a) - e).
25