Teorie portfolia
$-
$2,000
$4,000
$6,000
$8,000
$10,000
$12,000
$14,000
Apr-95
Jul-95
Oct-95
Jan-96
Apr-96
Jul-96
Oct-96
Jan-97
Apr-97
Jul-97
Oct-97
Jan-98
Apr-98
Jul-98
Oct-98
Jan-99
Apr-99
Jul-99
Oct-99Month
ValueofInvestment
AAPL
IBM
MSFT
SP500
T-Bill(2)
T-Bill
S&P500
MSFT
IBM
AAPL
Naive
Portfolio
0.0%
0.5%
1.0%
1.5%
2.0%
2.5%
3.0%
3.5%
4.0%
4.5%
5.0%
0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% 12.0% 14.0% 16.0%
Standard Deviation
AverageReturn
Stručná historie teorie
portfolia
z J. Hickse: Application of Mathematical
Methods to the Theory of Risk (1934) investoři
si všímají statistického rozdělení
pravděpodobnosti dosažení výnosu
z Harry Markowitz: Portfolio Selection,
Journal of Finance, březen 1952 ­ je
považován za zakladatele moderní teorie
portfolia
Harry Markowitz
z jako první se zabývá vztahem mezi
výnosností a rizikem
z konstruuje efektivní hranici portfolií, která
znázorňuje body s maximálním výnosem
pro danou úroveň rizika
z tím pokládá základy pro teorii portfolia
Link to his Nobel Prize lecture if you are interested:
http://nobelprize.org/economics/laureates/1990/markowitz-lecture.pdf
Harry Markowitz
z Markowitz předpokládá, že investor má na počátku
období k dispozici určité množství kapitálu, který bude
investovat na předem určené časové období, na jehož
konci pak investor nakoupené a držené cenné papíry
prodá a zisk buď použije pro vlastní potřebu nebo jej
opět reinvestuje
z na investování se Markowitz dívá jako na periodickou
aktivitu, při které si investor vybírá mezi investicemi
s různými očekávanými výnosy a s různou mírou jistoty,
že očekávaného výnosu bude dosaženo
z podle Markowitze sleduje investor dva protichůdné cíle a
to maximalizaci výnosu na jedné straně a minimalizaci
rizika na straně druhé
Další vývoj (1)
z model CAPM (model oceňování kapitálových
aktiv) ­ základy položeny článkem W. F. Sharpe:
Capital Asset Prices: A Theory of Market
Equilibrium under Conditions of Risk (1964) dochází
k rozšíření portfolia rizikových aktiv o
bezrizikovou investici
z v návaznosti na možnost bezrizikového
investování byla vytvořena přímka CML
z objevuje se také přímka SML
Další vývoj (2)
z důležitou etapou vývoje teorie portfolia je
APT (arbitrážní teorie oceňování)
z není založena na myšlence, že všichni
investoři pohlížejí na portfolio ve smyslu
očekávaného výnosu a rizika dosažení
tohoto výnosu
z je postaven na myšlence, že investoři
dávají přednost vyšší úrovni bohatství
před nižší
Základní pojmy
z portfolio ­ soubor různých investic (peněžní
hotovost, cenné papíry včetně derivátů,
nemovitosti atd.), které investor vytváří se
záměrem minimalizovat riziko spojené
s investováním a současně maximalizovat výnos
z těchto investic
z teorie portfolia ­ jedná se o mikro-ekonomickou
disciplínu, která zkoumá, jaké kombinace aktiv
je vhodné držet, aby takto vytvořené portfolio
mělo předem určené vlastnosti.
Aktiva v teorii portfolia
z portfolio je obvykle definováno jako
skupina aktiv
z hmotná, nehmotná a finanční ­ dále budeme
uvažovat pouze aktiva finanční, a to cenné papíry
z výnos(nost), riziko a likvidita ­ magický
trojúhelník investování
Finanční aktiva
z finanční aktiva dělíme na
y hotovost a depozita
y cenné papíry ­ majetkové, dluhové,
nárokové
z existují i jiné pohledy na členění aktiv
z dále nás budou zajímat především akcie
Výnosnost aktiv
z jedním z hlavních ukazatelů
z kde je cena akcie v čase t-k (počátek sledovaného
období), je cena akcie v čase t (konec období).
z D jsou inkasované dividendy.
z pro k = 1 se jedná o jednodenní výnosnost
kt
ktt
P
DPP
r
-
+-
=
tP
ktP-
Očekávaný výnos a riziko
z Výnos akcie je náhodná veličina
z Očekávaný výnos portfolia:
z Riziko portfolia:
ri...očekávaný výnos i-té akcie (střední hodnota)
xi...váhy investic do akcií v rámci portfolia
I...počet akcií v portfoliu
Vij...varianční matice výnosů akcií
Indiferenční křivky,
funkce užitečnosti
Expected Return E(r)
Standard Deviation p
Increasing Utility
( )( )pp
p
rUE s,max
Snažíme se najít takové
portfolio, aby byla
maximalizována hodnota
kde U je funkce užitečnosti
popisující vztah investora k
riziku (a výnosu).
Dominance
1
2 3
4
Expected Return
Standard Deviation
* 2 dominates 1; has a higher return
* 2 dominates 3; has a lower risk
* 4 dominates 3; has a higher return
Illustration: 2 risky assets
zAssume you have 2 risky assets (x & y) to
choose from, both are normally
distributed.
rx ~ N(E(rx), 2
x) & ry ~ N(E(ry), 2
y)
zYou put a of your money in x, b in y.
za + b = 1
zPortfolio Expected Return:
E(rp) = E[arx + bry]=aE(rx)+ bE(ry)
Illustration: 2 risky assets
z rx ~ N(E(rx), 2
x) & ry ~ N(E(ry), 2
y)
z Portfolio Variance:
2
p = E[rp - E(rp)]2
= E[(arx + bry)-E[arx + bry]]2
= E[(arx - aE[rx])+(bry - bE[bry])]2
= E[a2(rx - E[rx])2 + b2(ry - E[ry])2 + 2ab(rx
- E[rx])(ry - E[ry])]
= a2 2
x + b2 2
y + 2abCov(rx, ry)
= a2 2
x + b2 2
y + 2abCov(rx, ry)
2
p = a2 2
x + b2 2
y + 2abxyxy
p = (a2 2
x + b2 2
y + 2abxyxy)
Varying the portion on X & Y
13%
%8
E(rp)
a
0% 100%
Suppose:
rx ~ N(13%, (20%)2) & ry ~ N(8%, (12%)2)
E(rp) = E[arx + bry]=aE(rx)+ bE(ry)
Varying the portion on X & Y
20%
12%
p
a
0% 100%
Suppose:
rx ~ N(13%, (20%)2) & ry ~ N(8%, (12%)2)
p = (a2 2
x + b2 2
y + 2abxyxy)
xy=-1
xy=1
xy=0.3
Min-Variance opportunity set
with the 2 risky assets
r = 1
13%
%8
12% 20%
r = .3
r = -1
r = -1
p
E(rp)
XA ...váha investice do akcie A
XB ...váha investice do akcie B
RP...očekávaný výnos portfolia
RA...očekávaný výnos investice do akcie A
RB...očekávaný výnos investice do akcie B
...rozptyl výnosu portfolia
...rozptyl výnosu investice do akcie A
...rozptyl výnosu investice do akcie B
...korelační koeficient výnosů investic do akcií A, B
Min-Variance opportunity set
with the 2 risky assets -details
Ps
As
Bs
( ) BAAAP RXRXR -+= 1
( ) ( )[ ] 2
1
2222
121 BAABAABAAAP XXXX ssrsss -+-+=
ABr
r = 1
13%
%8
12% 20%
r = .3
r = -1
r = -1
p
E(rp)
Min-Variance opportunity set
with the 2 risky assets - details
PR
z perfektní pozitivní korelace
1=ABr
( ) BAAAP XX sss -+= 1
BA
BP
AX
ss
ss
-
=
÷÷

ö
çç


-
-
-+÷÷

ö
çç


-
=
B
BA
BA
BP
BA
BA
P
RR
R
RR
R s
ss
s
ss
Tedy vychází rovnice přímky.
A
B
r = 1
13%
%8
12% 20%
r = .3
r = -1
r = -1
p
E(rp)
Min-Variance opportunity set
with the 2 risky assets - details
PR
( ) BAAAP XX sss -+-= 1
BA
PB
AX
ss
ss
+
-
=
z perfektní negativní korelace
1-=ABr
( ) BAAAP XX sss --= 1
BA
BP
AX
ss
ss
+
+
= ÷÷

ö
çç


+
-
++÷÷

ö
çç


+
=
B
BA
BA
BP
BA
BA
P
RR
R
RR
R s
ss
s
ss
Tedy tentokrát vychází rovnice přímek.
nebo
A
B
÷÷

ö
çç


+
-
++÷÷

ö
çç


+
-=
B
BA
BA
BP
BA
BA
P
RR
R
RR
R s
ss
s
ss
Min-Variance opportunity set
with the Many risky assets
p
Efficient
frontier
Min-variance opp. set
Individual risky assets
E(rp)
Min-Variance opportunity set
Min-Variance Opportunity set ­ the locus of risk & return
combinations offered by portfolios of risky assets that yields
the minimum variance for a given rate of return
E(rp)
p
Efficient set
Efficient set ­ the set of mean-variance choices from the
investment opportunity set where for a given variance (or
standard deviation) no other investment opportunity offers a
higher mean return.
E(rp)
p
Individual's decision making with
2 risky assets, no risk-free asset
Efficient set
More
risk-averse
investor
U''' U'' U'
Q
P
S
Less
risk-averse
investor
E(rp)
p
Introducing risk-free assets
zAssume borrowing rate = lending rate
zThen the investment opp. set will involve any
straight line from the point of risk-free assets to
any risky portfolio on the min-variance opp. set
zHowever, only one line will be chosen because it
dominates all the other possible lines.
zThe dominating line = linear efficient set
zWhich is the line through risk-free asset point
tangent to the min-variance opp. set.
zThe tangency point = portfolio M (the market)
RA...očekávaný výnos portfolia A
RF...očekávaný výnos bezrizikové investice B
...rozptyl výnosu portfolia A
...rozptyl výnosu investice B
E(Rm)
5%=Rf
m
M
E(rp)
p
Efektivní hranice portfolia s
bezrizikovou investicí
( ) AFP XRRXR +-= 1
AP Xss =
( ) ( )[ ] 2
1
2222
121 FAFAAFP XXXX rsssss -++-=
A
P
X
s
s
=
P
A
FA
FP
RR
RR s
s ÷÷

ö
çç

 -
+=
As
0=Fs
Capital market line = the
linear efficient set
E(Rm)
5%=Rf
m
M
E(rp)
p
Individual's decision making with 2
risky assets, with risk-free asset
rf
A
M
Q
B
CMLE(rp)
p
Stanovení optimálního portfoliaMarkowitzův
model
Markowitzův model je jedním z přístupů, jak hledat optimalní
portfolio. Tento model předpokladá, že je investor racionalní,
tedy jeho cílem je maximalizovat zisk a minimalizovat riziko.
Ziskem se v Markowitzově modelu rozumí střední hodnota
náhodného výnosu a rizikem pak jeho směrodatná odchylka.
Tento model má řadu zjednodušujících předpokladů:
- předpokládá ideální trh bez transakčních nákladů a bez
arbitráže, neomezenou možnost investování a půjčovaní,
neomezenou dělitelnost aktiv, předpokládá, že investoři
preferují vyšší výnosy a nižší riziko a využívají k tomu shodné
informace - hodnoty očekávaných výnosností akcií a rozptylů a
kovariancí těchto výnosností.
Označení
Optimalizační úloha
Markowitzův model -varianty
a) Na trhu nejsou povoleny krátké prodeje. Sestavte efektivní hranici
portfolií. Vyberte některá portfolia na efektivní hranici a uveďte
jejich složení (váhy) a očekávané výnosnosti titulů zastoupených
v portfoliu.
b) Jak se změní efektivní hranice, pokud budete mít možnost
investovat do bezrizikového aktiva (např. depozita v bance).
c) Jak se změní efektivní hranice, pokud budete mít možnost
výpůjček od správce portfolia až do 30 % hodnoty portfolia.
d) Co když budete mít povoleny krátké prodeje až do 30 %
počátečního vkladu? Nakreslete efektivní hranici v tomto případě.
e) V souladu s vnitřní politikou investiční společnosti, kterou
zastupujete, nesmí žádný z titulů portfolia přesáhnout 15% váhu
v celkovém portfoliu. Nakreslete efektivní hranici při tomto
omezení.
Stanovení efektivní hranice
Formulace úlohy a)
Formulace úlohy b)
Formulace úlohy c)
Formulace úlohy d)
Formulace úlohy e)
Řešení zmíněných modelů
http://www.r-project.org/
Jde o modely kvadratického programování, které
lze řešit např. v programech R, GAMS,...:
http://cran.r-project.org/web/packages/fPortfolio/index.html
 Knihovna fPortfolio:
 Knihovna Quadprog:
http://cran.r-project.org/web/packages/quadprog/index.html
http://www.gams.com/
Možné výsledky