w A frequency table of nominal data The location of sparrow nests. Nest site Number of nests observed A. Vines SB B. Building eaves BQ C. Low tree branches 4B D. Tree and building cavities 49 ts s e Ne J*. e -Q 7Q BQ SQ 4Q 3Q 2Q 1Q Q ABCD Nest site A bar graph of the sparrow nest data. An example of a bar graph for nominal data. VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ A frequency table of nominal data The location of sparrow nests. Nest site Number of nests observed A. Vines SB B. Building eaves BQ C. Low tree branches 4B D. Tree and building cavities 49 ts s e Ne f o r e b i B1 S9 S7 SS S3 S1 49 47 4S A bar graph of the sparrow nest data, drawn with the vertical axis starting at 45. Compare this with bar graph, where the axis starts at 0. i i i i ■ i ABCD Nest site VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ A frequency table of ordinal data Numbers of sunfish, tabulated according to amount of black pigmentation Pigmentation class o Amount of pigmentation No black pigmentation Faintly speckled Moderately speckled Heavily speckled Solid black pigmentation Number of fish 13 68 44 21 8 s o e -Q BG 7G SG 5G 4G 3G 2G 1G G G1234 Pigmentation class A bar graph of the sunfish pigmentation data. An example of a bar graph for ordinal data. VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ A frequency table of discrete data Frequency of occurrence of various litter sizes in foxes Litter size Frequency 3 10 4 2ľ 5 22 6 4 ľ 1 O v. •Q 3D 25 2D 15 1D 5 D A bar graph of the fox litter data. An example of a bar graph for discrete, ratio scale, data. 34567 Litter size VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ľUA r* A frequency table of a discrete data Number of aphids observed per clover plant Number of aphids on Number of plants Number of aphids Number of plants a plant observed on a plant observed O 3 2O 17 1 1 21 1B 2 1 22 2S S 1 2S 17 4 2 24 ig 5 3 25 1B 6 5 26 ig ľ 7 2ľ 21 B 8 2B 1B g 11 2g 1S 10 10 SO 10 11 11 Si 14 12 13 S2 g 1S 12 SS 10 14 16 S4 B 15 13 S5 5 16 14 S6 4 17 16 Sľ 1 1B 15 SB 2 ig 14 Sg 1 4O 0 41 1 Total number of observations = 424 VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ r* A frequency table of a discrete data Number of aphids observed per clover plant Number of aphids on a plant Number of plants observed 0 -3 6 4 -ľ 17 B -11 40 12 -15 54 1B -19 59 20 - 23 75 24 - 2ľ 77 2B - 31 55 32 - 35 32 3B - 39 8 40 - 43 1 f fo SD BD 7D SD SD 4D SD 2D 1D D A bar graph of the aphid data. An example of a bar graph for grouped discrete data. 0 - 3 4 - 7 8 - 11 12 - 15 16 - 19 20 - 23 24 - 27 28 - 31 32 - 35 36 - 39 40 - 43 Observed Number of Aphids per Plant VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ r* A frequency table of continuous data Determinations of the amount of phosphorus in leaves Phosphorus (mg/g of leaf) Frequency (i.e.,number of determinations) Cumulative frequency Starting with low values Starting with high values 8,15 -8,25 2 2 130 8,25 -8,35 6 8 128 8,35 -8,45 8 16 122 8,45 -8,55 11 27 114 8,55 -8,65 17 44 103 8,65 -8,75 17 61 86 8,75 -8,85 24 85 69 8,85 -8,95 18 103 45 8,95 -9,05 13 116 27 9,05 -9,15 10 126 14 9,15 -9,25 4 130 4 Total frequency = 130 3D 25 2D 15 1D 5 D A histogram of the leaf phosphorus data. An example of a histogram for continuous data (based on equal interval width).. 1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 9.0 9.1 9.2 Phosphorus (mg/g of leaf) VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ A frequency table of continuous data Determinations of the amount of phosphorus in leaves 30 25 20 15 10 5 0 i-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1 B.2 B.3 B.4 B.5 B.B B.ľ B.B B.9 9.0 9.1 9.2 A frequency polygon for the leaf phosphorus data Phosphorus (mg/g of leaf) VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ r* Grafický popis rozložení - příklad ď1 CD O CD > CD 4— > -i—> J? CD Histogram: relativní frekvence 25 20 15 10 5 0 01 23456789 10 11 12 Věk (měsíce) □ Kuřáci Histogram: kumulativní relativní frekvence £ 100 8 80 | 60 -j J| 40 20 H 0 012 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Věk (měsíce) Nekuřáci Křivka relativní kumulativní frekvence 4 6 8 Věk (měsíce) 10 12 Věk prvního růstu zubů u dětí kuřáků (- ) a nekuřáků (-------) (Rantakalio and Mákinen, 1984) CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ VÝUKA: Biostatistika - základní kurz ruA Příklad: spojitá čísla mohou mít různá rozložení (x) VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ruA Histogram - tvar rozložení a relevantní ukazatel středu o,o8 o,o7 o,o6 o, o 5 o,o4 o, o 3 o,o2 o,o1 o o,25 o,2 o,15 o,i o,o5 o o,1 5 o,1 3 o,1 1 o,o 9 o,o 7 o,o 5 o,o 3 o,o 1 -o ,o 1 Symetrické rozložení, medián je blízko průměru Asymetrické rozložení, kde průměr je menší než medián Asymetrické rozložení, kde průměr je větší než medián Reálný význam mediánu a průměru jako ukazatelů středu rozložení bude záviset na charakteru sledovaného znaku (např. znečištění vody v určité oblasti dusičnany; respirace půdy po ovlivnění kontaminantem; koncentrace látky v krvi pokusných zvířat). Při posuzování rozložení sledovaného znaku v cílové populaci je nutné uvážit jak velký výběr (n), na základě kterého byly zobrazené histogramy spojeny. VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ruA r* 3 > Q) O O i- O 35G 3GG 25G 2GG 15G 1GG 5G G 35 3Q 25 2Q 15 1Q 5 Q G Příklad: věk účastníků vážných dopravních nehod Správný histogram ? td 1G 2G3G4G Věk (roky) 5GSG7GBG Správný histogram ? Věk Q -4 5 -g 1Q -15 16 -1g 2Q - 24 25 - 5g > 6Q Q 1Q2Q3Q4Q 5Q6Q7Q8Q Věk (roky) f 28 46 58 2Q 114 316 1Q3 VÝUKA: Biostatistika -základníkurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ľUA w r* Sumární statistiky středu Modus Medián Aritmetický průměr X n Geometrický průměr Harmonický průměr X 1 n 1Z1 Z1 n 1 n n i=1 C n i Xi x4 VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ruA i r* Výpočet mediánu z primárních dat A. Lichý počet (n) B. Sudý počet (n) Vzorek: 5; 1; 8; 3; 4 Vzorek: 1; 3; 4; 5; 7; 8 Medián - pořadí: (n + 1) I 2 = 3. číslo = 4 VÝUKA: Biostatistika - základní kurz Medián - pořadí: (n I 2) ; [(n + 2) I 2] = (4 + 5)I2 = 4.5 CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ruA Průměr a medián u frekvenčně tříděných dat I. Dostupná původní data x: Měsíční výdaje rodiny na bydlení f: frekvence xi 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,Q 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 fi 1 0 1 2 1 S S 4 S 2 2 2 1 Průměr: Medián: x Zí 13-té číslo = 4,Q 3,976 Při současném odhadu mediánu a průměru jako ukazatelů středu symetrických rozložení je medián méně přesný než průměr. VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ Examples Example 3.1 A sample from a population of butterfly wing lengths. Xi(cm) Xi(cm) 3.3 4.0 3.5 4.0 3.6 4.0 3.6 4.1 3.7 4.1 Z Xi 3.S 4.1 n 3.S 4.2 3.S 4.2 3.9 4.3 X 3.9 4.3 3.9 4.4 4.0 4.5 95.0 cm ZX, _ 95.0 cm n 24 Figure 3.1 A histogram of the data in Example 3.2. The mean (3.96 cm) is the center of gravity of the histogram, and the median (3.975 cm) divides the histogram into two equal areas. 3.96 cm Example 3.2 The data from Example 3.1 recorded as a frequency table. X(cm) f 3.3 1 3.3 3.4 o o 3.5 1 3.5 3.6 2 7.2 3.7 1 3.7 3.S 3 11.4 3.9 3 11.7 4.0 4 16.0 4.1 3 12.3 4.2 2 S.4 4.3 2 S.6 4.4 1 4.4 4.5 1 4.5 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Wing Length (Xi) in cm Z f _ n _ 24 n 95.0 cm 24 3.96 cm median _ 3.95 cm + í ~W1 cm) 3.95 cm + 0.025 cm 3.975 cm Z f, _ 24 Z fiXi _ 95.0 cm VÝUKA: Biostatistika -základníkurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ruA 4 3 2 1 Q r* Examples Example 3.3 Life expectancy of two hypothetical species of birds in captivity. Species A X(mo) 34 36 37 39 40 41 42 43 79 n = 9 median = X5 = 40 mo X = 43.4 mo Species B X(mo) 34 36 37 39 40 41 42 43 44 45 median n = 10 X 5 + X6 2 40 mo + 41 mo 2 = 40.5 mo X = 40.1 mo VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ w r* Příklady - rozložení, odhady Rozložení náhodné veličiny, charakteristiky dat, Testy hypotéz, odhady Příklad 1. Nakreslete schematicky graf Gausovy křivky pro standardizované normální rozložení a pomocí symbolu A vyjádřete následující pravděpodobnosti: Pravděpodobnost, že hodnota sled. veličiny Symbol leží mezi 0 a Z A leží mezi -Z a Z 2A leží mimo interval -Z,+Z 1-2A je menší než Z (Z je kladné) 2A+(1-2A)/2=1/2+A je menší než Z (Z je záporné) (1-2A)/2 je větší než Z (Z je kladné) (1-2A)/2 je větší než Z (Z je záporné) 2A+(1-2A)/2=1/2+A VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ r* Příklady - rozložení, odhady Příklad 2. A. Zakreslete schematicky následující dvojice rozložení: a) N(n = 5,a = 1) a N(u. = 3, a = 1) b) N(n = 0, a = 2) a N(u. = 6, a = 2) a) f b) f D1 23456 78 -6 -4 -2 D 2 4 6 8 1D 12 Příklad 2. B. Najděte následující kvantily. a) 95 % kvantil Studentova rozložení pro výběr o n = 20 b) 95 % kvantil Studentova rozložení pro výběr o n = 120 t (20-1) 0,95 ( 0,95 = 1,7291 t0 95(120-1) = 1,65 7 8 VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ruA Příklady - rozložení, odhady C. „Z skóre" Hodnota kostní dřeně je u pacientů s určitým typem onkologického onemocnění hodnocena podle tzv. „Z skóre", vycházejícího z přepočtu na standardizované normální rozložení a) Vysvětlete jakou formou takové hodnoty vznikají, jaký mají smysl a jak probíhá hodnocení konkrétního pacienta b) Jakou pravděpodobnostní pozici má v dané populaci jedinec s hodnotou Z skóre - 0.6 c) Je porovnávání jedinců z různých populací pomocí Z skóre závislé na variabilitě (rozptylu) původních dat ? Hodnoty Z-skóre vycházejí z přepočtu na standardizované normální rozdělení. Pro jejich získání se od každé odečte střední hodnota souboru a podělí směrodatnou odchylkou souboru. z = x " ^ a Tyto hodnoty maji potom střední hodnotu nulovou s jednotkovým rozptylem. Z grafu rozloženi je potom možné odečítat jednotlivé hodnoty Z-skóre. Z-skóre je závislé na variabilitě původních dat. f VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ Příklady - rozložení, odhady Příklad 3. a) Jak velká část hodnot náhodné veličiny X, která má normální rozložení, leží mezi -1,76s a +1.76s? 1.76 je hodnota kvantilu normálního rozložení up pro p=0,96, tedy v intervalu -1,76s a +1.76s leží 96% hodnot náhodné veličiny X b) Koncentrace toxické chemikálie v tkáních ryb z jezera, které je kontaminováno továrnou produkující celulózu, byla shledána přibližně normální s průměrem 67.56 ng/kg tkáně a směrodatnou odchylkou 2.57 ng/kg. Rozložení této sledované veličiny bylo odhadováno na základě mnohonásobné analýzy vzorků ryb (každý o 30 rybách); výsledkem analýzy každého vzorku je průměrná koncentrace látky na 1 kg tkáně. Jak velký podíl vzorků má koncentrace nižší než 62 ng/kg? m = 67.56; s = 2.57 X< 62 - 67.56 2.57 P(X <-2.16) = P(X > 2.16) = 1 - F(2.16) = 0.015 tedy vzorků s koncentrací nižší než 62ng/kg je 1.5%. Najděte takovou koncentraci chemikálie, kterou může v jezeře překročit 5 % populace ryb. hledáme hodnotu, pro kterou bude platit, že 95% vzorků má nižší koncentraci než tato hodnota, tedy: í 0.05 = P X> ju- 67.56 2.57 í =1-P 0.95 = F A- 67.56 2.57 F (1.65) X< A- 67.56 2.57 =1 -F A- 67.56 2.57 5% populace ryb překročí hodnotu chemikálie 71.08ng/kg VÝUKA: Biostatistika - základní kurz I = 1.65*2.57 + 67.56 = 71.08 CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ r* Příklady - rozložení, odhady Příklad 3. c) Předpokládejme, že podle mezinárodních norem nesmí koncentrace vysoce toxických látek v mléčných výrobcích překročit hranici 30 pg/kg tuku (jde o vymyšlené hodnoty). Výrobce, který hodlá začít zpracovávat mléko od nového dodavatele zjistil, že je schopen produkovat výrobky s průměrnou koncentrací 28 pg/kg, ale se směrodatnou odchylkou 1.6 pg/kg. Jaký podíl jeho nových výrobků by pravděpodobně nesplnil podmínky pro uvedení na trh? X> 30 - 28 l.6 = l - P X< 30 - 28 l.6 = 1 - F(1.25) = 1 - 0.8943 = 0.1057 1(\6% "°vých výr°°bků nesp'ní v ' podmínky pro uvedeni na trh Zavedením přísné kontroly dodávaného mléka by bylo možné snížit rozptyl hodnot při zachování průměrné koncentrace sledovaných látek v mléce na 28 pg/kg. Jaká by musela být směrodatná odchylka, aby pouze 2 % nové produkce překračovalo povolený limit? 0.02 = P X> 30-28 0.98 = F 30 - 28 G G í = l - P F (2.06) X< 30 - 28 G =l-F 30-28 G g = 2/2.06 = 0.97 aby produkce překračovala povolený limit pouze o 2% musí být sm. odchylka jen 0.97 pg/kg VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ruA r* Příklady - rozložení, odhady Příklad 4. a) U následujícího souboru dat (koncentrace zinku v půdě na deseti sousedících kontaminovaných lokalitách) navrhněte vhodné charakteristiky polohy a rozptylu a vypočítejte je. 40.60, 40.29, 37.51, 38.90, 38.13, 38.15, 34.81, 37.00, 39.95, 40.43 jako charakteristiku polohy použijeme průměr: X 1 n ti Z X i=1 1 10 385,77 = 38,58 jako charakteristiku rozptylu použijeme směrodatnou odchylku: SX= i=1 10 30,65 = 1,75 b) Jaké charakteristiky souboru dat lze přibližně zjistit z histogramu četností? Popište co nejpřesněji soubory dat, které jsou zobrazeny na následujících histogramech: ní v o r o z o Q. t e č o P ní v o r o z o Q. t e č o P ní v o r o z o Q. t e č o P 0 1 2 3 4 5 6 Počet zlomenin za rok 0 1 2 3 4 5 6 Počet dětí v rodině 123456789 10 Počet zdravých listů Z histogramu četností se dá přibližně zjistit modus, minimální a maximální hodnota, kvantily. VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ D Příklady - rozložení, odhady Příklad 5. a) Při stanovení průměrného obsahu dusičnanů v říční vodě iontově selektivní elektrodou má měření směrodatnou odchylku a = 1.5 mg/l. Kolik vzorků vody musí badatel odebrat (n = ?), pokud požaduje odhad průměrné hodnoty se směrodatnou odchylkou 0.2 mg/I? a = 1.5 mg /1 sx = 0.2mg /1 a n= fa] V sx J Badatel musí odebrat 57 vzorků, pokud = 57 požaduje odhad průměrné hodnoty se směrodatnou odchylkou 0.2mgl. b) Odběr jednoho vzorku půdy na běžné stanovení minerálních forem dusíku má cenu 120 Kč. Na průzkum poměrně rozsáhlé lokality máte k dispozici 12 000 Kč. 1. Máte dostatečné finanční prostředky k odhadu průměrné koncentrace minerálního dusíku na lokalitě tak přesnému, že 95% interval spolehlivosti má šířku 4 jednotky (jednotky o rozměru koncentrace, ve kterém je výsledek vyjádřen); předpokládejte rozptyl a = 12.0 jednotek. 2. Jak se změní situace, použijeme-li 90 % interval spolehlivosti? P(LI < ju < L2) = 1 -a pro 95% interval spolehlivosti je a=0.05. Pro L1 a L2 platí LI,L2 = x ± u a 4 = L2 - Li = x + u a í 0,975 a x - u 0 975 V 2u a 0 975 n n= 1 1,96 • 12 = 139 J Pokud chceme odhadnout průměrnou koncentraci na lokalitě tak, aby 95% interval spolehlivosti měl šířku 4 jednotky, potřebujeme k tomu 139 vzorků. Finanční prostředky vystačí pouze na 100 vzorků, tedy jsou nedostatečné. Budeme-li uvažovat jen 90% interval spolehlivosti, u095=1,645. Počet vzorků získáme stejným výpočtem (n=98). V tomto případě budou finanční prostředky dostatečné. VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ruA 2 2 Příklady - rozložení, odhady Příklad 5. c/ Limit EPA pro vypouštění suspendovaných pevných odpadů do řek je maximálně 60 mg na litr denně, s maximálním měsíčním průměrem 30 mg na litr denně. Předpokládejte, že chcete testovat náhodně vybrané vzorky vody z jedné řeky s cílem odhadnout průměrnou denní dávku pevných kontaminantů, které pocházejí z těžebních závodů na břehu řeky. Pokud chcete získat 95 % interval pro průměr s šířkou 2 mg, jak velký počet vzorků vody musíte zpracovat ? Předchozí zkoušky prokázaly, že výsledky analýzy vodních vzorků jsou přibližně normálně rozloženy se směrodatnou odchylkou 5 mg. obdobně jako v předchozím příkladu platí 2 = L 2 - Ll = x + u G í 0,975 G x-u 0,975 v n 2u G 0,975 n= (1,96 • 5)2 = 96 Tedy pro získání 95% intervalu spolehlivosti potřebujeme získat 96 vzorků. d/ Podle Food and Drug Administration (FDA) obsahuje průměrný šálek kávy (7 g kávy) 115 mg kofeinu, a tato hodnota kolísá od 60 do 170 mg (rozsah výsledků provedených analýz). Máte za úkol tyto testy zopakovat tak, aby přesnost vašich závěrů byla v rozsahu 5 mg s 95% pravděpodobností. Kolik šálků kávy musíte přibližně analyzovat k dosažení takových výsledků? min=BC max=170 m=115mg Z rozsahu minimálních a maximálních hodnot vypočítáme směrodatnou odchylku. Platí, že ±3s pokrývají 99,9% všech hodnot normálního rozložení. Tedy 170-60=6s — s=18,3 rozsah 95% intervalu spolehlivosti je 5mg, pro dosažení obdobných výsledků bude zapotřebí 206 šálků kávy. 5 = L2 - Ll = x + u G f 0,975 n x-u G 0,975 v n 2u G í 0,975 n n= 1,96 18,3 5 = 206 J VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ruA 2 r* Příklady - rozložení, odhady Příklad 6. Jsou naměřena následující čísla (opakovaná měření délky jednoho objektu v cm): 15; 13; 12; 11 a) Vypočítejte aritmetický průměr, směrodatnou odchylku a standardní chybu. b) Vyjádřete správně přesnost odhadu průměru a vysvětlete použitý způsob vyjádření. c) Jaký význam v tomto případě má interval spolehlivosti pro odhad průměru? d) Změnil by se odhad ukazatelů variability při měření na 1 desetinné místo? (např. 15.3; 12.7; 12.2; 10.8) e) Změnil by se odhad ukazatelů variability při zvětšení počtu měření? a) X = Y X, = 12,75 i =1 S2 SE n Y(Xt -X)) = 2,19 S = 1,48 i=1 S n 0,74 d) X = - Y X, = 12,75 i =1 4 S2 SE n Y(X, -X)2 = 2,65 S = 1,63 i=1 S 0,82 Variabilita při měření na 1 desetinné místo vzroste. c) interval spolehlivosti pro odhad průměru nám říká, pokud budeme znovu provádět vzorkování na souboru, ze kterého byl interval spolehlivosti spočítán, průměrná hodnota nového souboru se bude s 95% pravděpodobností vyskytovat v daném intervalu spolehlivosti e) Při zvětšení počtu měření vy variabilita klesla. VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ruA 1 1 Příklady - rozložení, odhady Příklad 7. Měření vzorku 25ti malých semenáčků ve školce (zadáno jako odhad pro celou výsadbu přibližně 600 jedinců) vedlo k následujícím výsledkům: Průměr: 62.8 cm; SD: 11,8 cm Vypočítejte 95% interval spolehlivosti pro odhad průměru. L1 = x - u0 975 = 62,8 -1,96 118 = 58,17 ' -\ n a/25 95% interval spolehlivosti: (58,17; 67,43) ?= = 62,8 +1,96118 n 25 L2 = x + m0 975 = 62,8 +1,96= 67,43 Příklad 8. Bylo provedeno vzorkování na dvou polních lokalitách s cílem posoudit aktivitu extracelulární ureázy v půdě. Na každé lokalitě bylo odebráno 10 vzorků s následujícími výsledky: a) Průměr 15,1 U/g (d.w.) / SD 3,1 U/g (d.w.) b) Průměr 241 U/g (d.w.) / SD 25,8 U/g (d.w.) Která z obou lokalit je v daném znaku variabilnější ? Má smysl porovnávat intervaly spolehlivosti pro odhad průměru mezi lokalitami A a B? Pro posouzení variability určíme koeficient variance: C = S /X Ca = slx = 3?1/15 51 = 0,205 Větší variabilitu má vzorek a. Spíše než intervaly spolehlivosti samotné = sjx = 25 8/241 = 0 107 by bylo lepší porovnávat šířku těchto intervalů. VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ruA Příklady - rozložení, odhady Příklad 9. Když je medián 15. číslo ve vzestupně seřazeném souboru, jak velký je celkový vzorek (n = ?) Spočítejte medián pro následující vzorky a) Vzorek I: 5; 1; 8; 3; 4 b) Vzorek 3; 4; 5; 7; 8 Pokud je medián 15.číslo, celkový vzorek obsahuje 2n-1=29 čísel. a) medián vzorku I. je 4, protože při lichém počtu prvků je medián (n+1)/2 prvek b) medián vzorku II. je 4,5, protože při sudém počtu prvků je medián průměrem n/2 prvku a n/2+1 prvku. Příklad 10. X: originální data (g) Ln (X) otnosti rostlin v g) izované podobě spolehlivosti (95%). )to proveďte. 10,2 2,32 15,3 2,73 14,1 2,65 11,2 2,42 18,2 2,90 11,2 2,42 22,5 2,97 23,5 3,02 27,5 3,11 Průměr 17,1 2,78 Medián 15,3 2,72 SD 6,2 D,36 SE 2,1 D,12 VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ r* Výpočet mediánu z frekvenčních dat a) Určete medián tohoto souboru dat: 1,3,4,5,7,8 [4,5] b) Určete medián tohoto souboru dat: 5,1,8,3,4 [4] c) Tento příklad je ukázkou výpočtu mediánu u velkého souboru dat. V následující tabulce je uveden rozbor rozložení souboru dat od 179 krav, kde sledovanou veličinou byl počet dní od narození telete do znovuobnovení menstruačního cyklu. Uvedená data jsou velmi zjednodušena a jsou zde uvedena pouze pro ilustraci: Class limits (days) 0,520,5 20,540,5 40,560,5 60,580,5 80,5100,5 100,5120,5 120,5140,5 140,5160,5 160,5180,5 180,5200,5 200,5220,5 Frequency 8 33 50 32 15 20 11 6 2 1 1 Cumulative frequency 8 41 91 123 138 158 169 175 177 178 179 Frekvence zastoupení dosahuje nejvyšší hodnoty u třídy od 40,5 - 60,5 dnů. Druhý (menší) frekvenční pík lze pozorovat u intervalu od 100,5 do 120,5 dní. Existence dvou maxim (bimodální data) je důkazem nenormality tohoto konkrétního souboru. VÝUKA: Biostatistika -základníkurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ruA Výpočet mediánu z frekvenčních dat Jelikož n =179, pak je medián devadesátá hodnota od počátku souboru, a dále je zřejmé, že bude velmi blízko horní hranici třídy 40,5 - 60,5 dní. Za předpokladu, že 50 hodnot této třídy je v ní rovnoměrně rozmístěno lze použít následující vzorec: XL = hodnota X (sledované veličiny) na spodní hranici třídy obsahující medián: zde 40,5 dní g = pořadová hodnota mediánu minus kumulativní frekvence do horní hranice předchozí třídy, tj. 90 - 41= 49 l = třídní interval: 20 dní f = frekvence ve třídě obsahující medián • Dosadíme-li do uvedeného vzorce, získáme odhad mediánu jako 60 dní. Průměr tohoto datového souboru je 69,9, což je významně odlišná hodnota, a potvrzuje znovu nenormální charakter dat. • U velkých vzorků z normálních populací je výběrový odhad mediánu normálně rozložen kolem populační hodnoty se směrodatnou odchylkou 1,253 g /'Vn U normálního rozložení, kde medián i průměr představují odhad stejné hodnoty, je medián méně přesný než průměr. Proto hlavní význam mediánu spočívá u nesymetrických distribucí. • Existuje velmi jednoduchá metoda pro výpočet intervalu spolehlivosti pro odhad mediánu a jako horní a spodní hranice slouží pořadová čísla vypočítaná podle následujícího vztahu: i n + 1 ) 2 ± z 2 kde n představuje velikost datového souboru, z je kvantil standardizovaného normálního rozložení pro příslušnou pravděpodobnost. U našeho příkladu je n = 179 a pro 95% interval spolehlivosti je z přibližně rovno 2. Horní a spodní limit pro odhad mediánu tedy je 90±J 179 = 77 a 103. 95% interval spolehlivosti je tedy tvořen počty dní, které mají pořadí 77 a 103: 77: Počet dní = 40,5+(36)(20)/50 = 55 dní 103: Počet dní = 60,5+(12)(20)/32 = 68 dní Medián cílové populace byl tedy odhadnut 95% intervalem spolehlivosti jako hodnota ležící mezi 55 a 68 dny. Interpretujte tento výsledek. VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ruA Průměr a medián u frekvenčně tříděných dat: příklad II. Symetrická rozložení y X: třídně uspořádaná koncentrace látky zjišťovaná v n = 27 jedincích Třída fi 1,S5 - 1,95 2 1,95 - 2,05 1 2,05 - 2,15 2 2,15 - 2,25 3 2,25 - 2,35 5 2,35 - 2,45 6 2,45 - 2,55 4 2,55 - 2,65 3 2,65 - 2,75 1 Medián (M) ~ 14. číslo M = XL + g • ' = 2,35 + ±^1 f 2,367 Průměr = 2,33 Modus = 2,4 XL ... hodnota x na spodní hranici třídy obsahující medián g ... požadovaná hodnota mediánu - kumulativní frekvence do horní hranice předchozí třídy l . třídní interval f ... frekvence ve třídě obsahující medián VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ruA w Příklady - rozložení a testy pro dva výběry VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ruA Příklady Příklad 1: Hodnotili by jste následující sumární statistiky jako smysluplné ( tedy jako interpretovatelné a správně spočítané ?) Je-li to možné, pojmenujte typ rozložení pro každou takto specifikovanou proměnnou. ZNAK X1 = počet dnů v roce s deštivým počasím - hodnoceno pro 20 relativně hodně vzdálených lokalit ( n = 20) Průměr: 189,6 Medián: 142 SD: 85,3 log-normální rozložení ZNAK X2 hmotnost myší pod vlivem určitého typu diety hodnoceno pro 20 jedinců ( n = 20) Průměr: 100 MIN / MAX: 20 / 180 SE: 15,9 normální rozložení ZNAK X3 nosnost slepic za určité období - hodnoceno pro 20 jedinců ( n = 20) Geometrický průměr: 42,3 Medián: 38 MIN / MAX : 15 / 114 log-normální rozložení VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ Příklady Příklad 2: Čtete vědeckou literaturu a v ní naleznete následující údaj o výšce rostliny: n = 20 Geometrický průměr: 42,3 MIN / MAX : 10 / 114 Dovedete přibližně určit v jakých hranicích se pohybuje spolehlivý odhad průměru (uvažujte pro výpočet 95 % spolehlivost) ? Příklad 3: Chemický experiment (n = 5) Výsledky jednotlivých opakování: X1 = 5,3; X2 = 5,6; X3 = 5,9; X4 = 8,2; X5 = 5,0 Do jaké míry by mohlo být oprávněné vyloučit hodnotu X4 = 8,2 ? VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ Příklady Příklad 4: Toxikologická laboratoř musela přejít na nový způsob chovu morčat, které používala na průzkum vlivu organických kontaminantů na tělesnou hmotnost organismu v době intenzivního růstu. Dvacet těchto nových morčat ze specializované laboratoře je živeno touto speciální kontaminovanou dietou. jejich průměrný přírůstek na hmotnosti je během dvou měsíců 28g. V předchozích experimentech s bývalou populací o relativně velkém rozsahu (n > 500) byl průměrný přírůstek morčat za těchto podmínek 29,8g a rozptyl s2 = 25. Testujte hypotézu, zda je nová populace srovnatelná s předchozí. Test se bude provádět využitím jednovýběrového t-testu s nulovou hypotézou: X = jU t = t (l9) 2,093 0,975 protože t < t (l9) nulovou hypotézu nezamítáme. Nová populace je srovnatelná s předchozí. 0,975 VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ Příklady Příklad 5: Máte za úkol testovat, zda nově vyvinuté antibiotikum proniká do mléka, je-li podáváno kravám po dobu dvou týdnů. Stanovte cíl experimentu, typ sledované veličiny a uspořádání experimentu. Diskutujte pravděpodobnosti a význam možných chyb. Dále diskutujte předpokládané rozložení sledované veličiny a navrhněte způsob testování. Za normálních podmínek se antibiotikum v mléce vůbec nevyskytuje. Formulujte hypotézu a systém testování pro následující situace: a) již stopový průnik antibiotika mléko znehodnotí b) antibiotikum znehodnotí mléko až od koncentrace Ck Cílem experimentu bude ověřit hypotézu, že antibiotikum do mléka neproniká. Experiment můžeme uspořádat jako párový test, tedy vyšetřit skupinu krav před podáváním antibiotika a po podávání antibiotika. Tím zajistíme, že výskyt antibiotika v mléce po jeho podávání nebude ovlivněn jeho přítomností před podáváním. hypotéza a) množství antibiotika v mléce po jeho podávání je nulové hypotéza b) množství antibiotika v mléce po jeho podávání není větší než koncentrace ck Na Iontově selektivní elektrodě je napsáno, že průměrný obsah dusičnanů ve vzorku naměříse směrodatnou odchylkou 1,5 mg/ml. Jak velký počet opakovaných měření musíte udělat, je-li stanovení průměrné koncentrace požadováno s přesností danou standardní chybou 0,2 mg/ml ? Příklad 6: g = 1.5 mg /1 se = 0.2mg /1 se = n= V se J = 57 musíme udělat 57 měření, pokud požaduje odhad průměrné hodnoty se směrodatnou odchylkou 0.2mgl. VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ Příklady Příklad 7: Nepříliš čistá protilátka není jako směs proteinů přesně definovaná a její složení je kolísavé, což zvyšuje variabilitu opakovaných stanovení při reakci s antigenem. Jelikož není k dispozici lepší zdroj, je nutné před každým pokusem danou šarži testovat na standard - tedy na antigenní vzorek o přesně známé koncentraci. Je-li rozptyl stanovení pod hranicí o02, lze látku použít k nejdůležitějším stanovením a naopak, překročí-li hodnotu am2, nelze daný preparát použít vůbec. Navrhněte standardní způsob testování takových experimentů i pro následující konkrétní situaci: Pravdivá koncentrace testovaného antigenu je 115,2 ug/ml ve standardním vzorku. n = 10 0,5 Nezamítáme nulovou hypotézu shody rozptylů. Je tedy možné vypočítat společný rozptyl jako vážený průměr rozptylů obou proměnných: 1,42 s2 _ p 19,19 VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ruA r* Tabulka Pozn: Vzhledem k tomu, že naše H0 byla oboustranná, je třeba k testování použít tabulky (F-rozdělení): /2 = d. /. for Smaller Mean Square Z1 = d./. for Larger Mean Square 2 4 6 8 10 12 15 20 30 nekon. 2 39,00 39,25 39,33 39,37 39,40 39,42 39,43 39,45 39,46 39,50 3 16,04 15,10 14,74 14,54 14,42 14,34 14,25 14,17 14,08 13,90 4 10,65 9,60 9,20 8,98 8,84 8,75 8,66 8,56 8,46 8,26 5 8,43 7,39 6,98 6,76 6,62 6,52 6,43 6,33 6,23 6,02 6 7,26 6,23 5,82 5,60 5,46 5,37 5,27 5,17 5,07 4,85 7 6,54 5,52 5,12 4,90 4,76 4,67 4,57 4,47 4,36 4,14 8 6,06 5,05 4,65 4,43 4,30 4,20 4,10 4,00 3,89 3,67 9 5,71 4,72 4,32 4,10 3,96 3,87 3,77 3,67 3,56 3,33 10 5,46 4,47 4,07 3,85 3,72 3,62 3,52 3,42 3,31 3,08 12 5,10 4,12 3,73 3,51 3,37 3,28 3,18 3,07 2,96 2,72 15 4,76 3,80 3,41 3,20 3,06 2,96 2,86 2,76 2,64 2,40 20 4,46 3,51 3,13 2,91 2,77 2,68 2,57 2,46 2,35 2,09 30 4,18 3,25 2,87 2,65 2,51 2,41 2,31 2,20 2,07 1,79 nekon. 3,69 2,79 2,41 2,19 2,05 1,94 1,83 1,71 1,57 1,00 Pro vypočítaný poměr obou rozptylů (1,42) lze vypočítat interval spolehlivosti. Interpretujte výsledek tohoto výpočtu vyjádřený jako: ( P 0,298 < 4 < 5,61 v (72 0,95 J VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ r* Srovnání parametrů dvou výběrů Experimenty pro dva pokusné zásahy Příklad 2: Pomocí F-testu uvedeného v úloze 1, lze rovněž testovat rovnost dvou koeficientů variance: (Slog)l F (S2og)2 Je třeba ověřit, zda má koncentrace Zn nalezená v kontaminovaných půdách stejný rozptyl jako obsah mikrobiální biomasy naměřený na stejných lokalitách (srovnání často nutné pro správnou volbu metody současné analýzy obou proměnných). Nulovou hypotézu budeme testovat srovnáním koeficientů variance podle výše uvedeného vztahu: Obsah Zn (mg/kg) Log (Zn) Obsah biomasy (mg C/kg) Log (biomasa) 72,5 1,86034 183,0 2,26245 71,7 1,85552 172,3 2,23629 60,8 1,78390 180,1 2,25551 63,2 1,80072 190,2 2,27921 71,4 1,85370 191,4 2,28194 73,1 1,86392 169,9 2,22943 77,9 1,89154 166,4 2,22115 75,7 1,89910 177,6 2,24944 72,0 1,85733 - - 69,0 1,84 - - VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ruA r* Srovnání parametrů dvou výběrů Experimenty pro dva pokusné zásahy Vi _ 9 Xi _ 70,73kg SS, _ 246,1610kg 27,35i2kg 2 s1 _ 5,23kg '1 s2 _ 0,0739 (SSlog)1 _ 0,00987026 32 (sl2og)1 _ 0,00109669 59 F 0,0004961076 F _ 4,82 A 0,05(2) "+?0^ 0,20 < p < 0,50 Nezamítáme H0. V2 _ 7 X2 _ 178,82cm SS2 _ 590,1350cm2 s22 _84,3050cm2 s2 _ 9,18cm V2 _ 0,0513 (SSlog)2 _ 0,0034727534 (sl2og)2 _ 0,004961076 _ 0,0010966959 _ 2,21 VÝUKA: Biostatistika -základníkurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ruA r* Příklad - two sample test (párový x nepárový) Pokus na zvířatech - srovnání dvou variant (n = ľ jedinců) kontrola před ošetřením: X1 = 8,74;.....s2 = 4,026; s2; 0,575 kontrola po ošetření: X 2 = 7,73; s2 = 2,904; s2; 0,415 ;2 r = 0,981 Cov = 3,352 22 =-1-2 = 3,464 p 12 D = 1,01; sD2 = 0,225 sx-X2 = ^ • sp^A/n = 0,995 sD = 0,179 t = D/sD = 5,639 1,01 , t = = 1,016 0,995 p < 0.01 p < 0.328 VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ruA Příklad Průměrný denní příjem výživy odhadovaný 10 dní před lékařským zásahem a 10 dní po lékařském zásahu. Pacient před lékařským zásahem po lékařském zásahu diference 1 5260 3910 1350 2 5470 4220 1250 3 5640 3885 1755 4 6180 5160 1020 5 6390 5645 745 6 6515 4680 1835 7 6805 5265 1540 8 7515 5975 1540 9 7515 6790 725 10 8230 6900 1330 11 8770 7335 1435 Průměr 6753,6 5433,2 1320,5 Medián 6515 5265 1350 SD 1142,1 1216,8 366,7 Odhadněte 95% interval spolehlivosti pro rozdíl mezi průměry. Ověřte zda je rozdíl statisticky významný (testujte nulovou hypotézu). Pearsonova korelace: r = 0,9536 Je možné použít neparametrickou alternativu pro tyto testy ? Test provedeme využitím párového t-testu nebo jednovýběrovým t-testem s nulovou hypotézou, že průměrná hodnota diferencí se neliší od nuly VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ Příklady I Příklad 1. Při sledování určitého fyziologického parametru souvisejícího s činností srdce, nesmí rozptyl hodnot přesáhnout stanovený limit, aby možné odchylky od normálu nezanikly v šumu. Tato limitní hodnota je a0 = 4.5. Po zakoupení nového přístroje testovala klinika měření na n = 30 pacientech s výsledkem s = 4.0. Je možné dále pokračovat ve vyšetřování na novém přístroji, nebo je nutné tento test provádět na přesnějším stroji? Proveďte komplexní rozbor situace, včetně závěrů o dalším postupu měření. (Jde v podstatě o test shody výběrového odhadu rozptylu a rozptylu cílové populace. ) 2 (n - 1).s2 Testujeme nulovou hypotézu H0: s2 li na 5% hladině významnosti, jako testovou statistiku použijeme t--v n s t - X--JA o -10,2-18 /9 - -7 09 Porovnáme-li hodnotu testové statistiky s kvantilem t -10 05(8) - -1 86 /-\ /-\ y ' a 0,05 ' s 3,3 (8) platí, že t < t0 05 tedy nulovou hypotézu zamítneme. Tato hodnota není dostatečná pro účinnost antibiotika v ledvinách. VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ruA Příklady II Příklad 3. a) Deset myší bylo testováno na přítomnost jater poškozující toxické látky, která se může vyskytnout v jednom druhu masových konzerv. K testování bylo odebráno 100 konzerv a po deseti dnech uhynuly 2 myši, tzn. ve dvou konzervách byla látka prokázána. Jaký je interval spolehlivosti výskytu této látky v celém souboru konzerv? n=100 r=2 p = 0,02 p(1 n-1 0,02 • 0,98 99 interval spolehlivosti (1-a)100% n : p ± Z 1-a p0 - p) n-1 0,014 0,02 ± Z1 0,014 1 /2 b) Bylo zkoumáno 115 žen starších 36 let, zda měly potíže s chrupem během těhotenství. Kladně odpovědělo 46 žen. Jaké jsou vaše závěry o celé populaci žen tohoto věku při 99% spolehlivosti? (Vypočítejte interval spolehlivosti pro p) n=115 r=46 p = 0,4 1 n -1 0,4 • 0,6 114 0,046 interval spolehlivosti 99% n: p ± Z 1- 2 p(1 - p) n-1 0,4±Z0 995 • 0,046 = 0,4±2,58• 0,046 = 0,4±0,12 28%-52% žen tohoto věku má potíže s chrupem během těhotenství při 99% spolehlivosti. VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ Příklady III Příklad 3. c) Pravděpodobnost narození chlapce je asi 1/2. Máte zhodnotit výsledky průzkumu populace, která žije v silně poškozeném životním prostředí. Průzkum se týká 1000 náhodně vybraných rodin a zjištěný podíl narozených chlapců je 0.41. Jaké jsou vaše závěry o této populaci? Jak se váš odhad zpřesní, když použijete vzorek n = 10 000 rodin při zachování odhadu p = 0.41? Použijeme jednovýběrový binomický test s nulovou hypotézou H0: p=n, hladina významnosti a=0,05 testová statistika Z n • p - n•n 1000 • 0,41 -1000 • 0,5 -5,79 a příslušný kvantil Z a ^0,975 = 1,96 \n • p(1 - p) ^1000 • 0,41- 0,59 protože Z > Z0 975 nulovou hypotézu zamítáme. Chlapci se ve zkoumavé populaci nerodí s pravděpodobností 0,5. íp(l - p) interval spolehlivosti n: p±Zia/-,j^—= 0,4±Z 1 /2 n -1 0,975 pokud použijeme n=10 000, bude int. spolehlivosti užší n : p ± Z • 0,046 = 0,41 ± 1,96 • 0,016 = 0,41 ± 0,03 p(1 - P) - 0,41 ± 1,96 • 0,005 = 0,41 ± 0,01 1-a/ 2 n-1 d) Jaká je pravděpodobnost, že rodina se třemi dětmi bude mít 2 (3) chlapce? Podrobně analyzujte problém a použijte obecného definičního vztahu pro binomické rozložení. n = 3 r = 2 vr y p(r)-r pr-(1 -p)(n-r)- n ! p=0,5 (stejná pravděpodobnost narození ^^\ chlapce jako narození dívky) v 2 y ■0,52 • 0,5(1) r ! (n-r)! 3 ! 2 ! (1)! 0,52 • 0,5(1)- 0,375 pravděpodobnost narození 2 chlapců v rodině se třemi dětmi je 0,375 v 3y r = 3 platí p(3)-l !• 0,53 • 0,50 -1^ 0,53 • 0,50 - 0,125 VÝUKA: Biostatistika -základníkurz pravděpodobnost narození 3 chlapců v rodině se třemi dětmi je 0,125 CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ruA Příklady IV Příklad 3. e) Předpokládá se, že lidé trpící určitou krevní chorobou mají abnormální jeden z chromozómů. S cílem odhadnout podíl takto postižených chromozómů bylo studováno 5 buněk od každého ze 120 pacientů a byl zjišťován počet buněk s postiženým chromozómem (tento počet = sledovaný jev = r). Výsledky jsou uvedeny v následující tabulce. Odhadněte podíl postižených chromozómů u populace nemocných lidí. r(četnost jevu) 0 1 2 S 4 5 celkem f(poč. pacientů) 6 S1 42 29 10 2 120 Pro odhad p se používá vztah p Xi fi Xifi 0 6 0 1 S1 S1 2 42 84 S 29 87 4 10 40 5 2 10 E f E f i=1 i=1 n £fX = 252 i=1 i=1 n=5 P 252/120 5 0,42 pravděpodobnost výskytu postiženého chromozómu VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ľUA w Příklady - různé VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ruA r* Příklad 1. Two-tailed t test for significant diference between a mean and a hypothesized population mean of jU 0=22 year. Věk smrti (v letech) 25 koní určitého druhu: 17,2, 18,0, 18,7, 19,8, 20,3, 20,9, 21,0, 21,7, 22,3, 22,6, 23,1, 23,4, 23,8, 24,2, 24,6, 25,8, 26,0, 26,3, 27,2, 27,6, 28,1, 28,6, 29,3, 30,1, 35,1. H0: ji = 22 HA : ju* 22 a = 0,05 n = 25 X - 24,23 s2 -18,0388 X-u - 24,23-22 2,624 v - n -1 - 25 -1 - 24 s- 0,85 x s- - x 18,0388 25 0,85 10,05(2),24 2,064 Protože >t 0,05 (2)24, zamítáme H0 a usuzujeme, že soubor 25 životních délek koňů pochází z populace jejíž průměr, jU není 22 let. 0,01 < P (Itl > 2,624 ) < 0,02 VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ruA 2 t Příklad 2. A two-tailed t test for significant diference between a sample mean and a hypothesized population mean of zero. Hmotnostní změny 12 potkanů po pobytu v režimu nuceného cvičení. Každá změna hmotnosti (v gramech) je definována jako hmotnost po cvičení mínus hmotnost před cvičením. 1,7 0,7 -0,4 -1,8 0,2 0,9 -1,2 -0,9 -1,8 -1,4 -1,8 -2,0 X Z^UzÄ —1,81 h 0,36g H0 : jLi _ 0 HA ://^0 a _ 0,05 n _ 12 X _ -0,65 g s2 _ 1,5682g v _ n -1 _ 11 10,05 (2), 11 2,201 s- _ x 1,5682g 12 Protože t 45 sec Doby rozpustnosti (v sekundách) drogy v žaludeční šťávě:: 42,7, 43,4, 44,6, 45,1, 45,6, 45,9, 46,8, 47,6. H0: ju < 45sek HA = ju> 45sek a = 0,05 n = 8 45,21sek - 45sek 0,58 sek 0,36 v = 7 '0,05(1),7 = 1,895 X = 45,21sek SS = 18,8288sek s2 = 2,6898sek s- = 0,58sek Když t > 10 05 (1) 7 , zamítáme H0. Závěr: nezamítáme H0. P (t > 0,36 ) > 0,50 VÝUKA: Biostatistika -základníkurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ľUA t Příklad 4. 2 2 2 2 A two-tailed variance ratio test for the hypothese H0: 1,42) > 0,50 218,73moths2 + 107,50moths2 10 + 7 1919moths' The hypotheses may be submitted to the variance ratio test, for which one calculates F s or F s whichever is larger. s s VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ 2 2 2 1 2 2 1 2 Srovnání parametrů dvou výběrů Experimenty pro dva pokusné zásahy a) Máte k dispozici počty jedinců kůrovce, které byli polapeny do dvou pastí umístněných v zamořené oblasti. Vaším úkolem je srovnat rozptyl obou proměnných H0 : °f _ ^ Počty jedinců Past 1 41 34 33 36 40 25 31 37 34 30 38 Past 2 52 57 62 55 64 57 56 55 - - - K otestování shody rozptylů použijeme tzv. F-test pro poměr rozptylů (Variance ratio test) n1 _ 11, v1 _ 10 n2 _ 8 V2 _ 7 s2 _ 21,87; s22 _ 15,36 F 1,42 Max (s12. s22) _ 21,87 _ Min (s12.s22) _ 15,36 _ F(0,05)[10;7]_ 4,76 P > 0,5 Nezamítáme nulovou hypotézu shody rozptylu. Je tedy možné vypočítat společný rozptyl jako vážený průměr rozptylů obou proměnných: 19,19 s P _ VÝUKA: Biostatistika -základníkurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ruA Srovnání parametrů dvou výběrů Experimenty pro dva pokusné zásahy Pozn.: Vzhledem k tomu, že naše H0 byla oboustranná, je třeba k testování použít tabulky: 5 LEVEL (TWO-TAILED) OF THE DISTRIBUTION OF F f2 = d.f. for Smaller Mean Square f1 = d.f. for Larger Mean Square 2 I 4 I 6 I 8 I 10 I 12 I 15 I 20 I 30 I oq 2 39,00 39,25 39,33 39,37 39,40 39,42 39,43 39,45 39,46 39,50 3 16,04 15,10 14,74 14,54 14,42 14,34 14,25 14,17 14,08 13,90 4 10,65 9,60 9,20 8,98 8,84 8,75 8,66 8,56 8,46 8,26 5 8,43 7,39 6,98 6,76 6,62 6,52 6,43 6,33 6,23 6,02 6 7,26 6,23 5,82 5,60 5,46 5,37 5,27 5,17 5,07 4,85 7 6,54 5,52 5,12 4,90 4,76 4,67 4,57 4,47 4,36 4,14 8 6,06 5,05 4,65 4,43 4,30 4,20 4,10 4,00 3,89 3,67 S 5,71 4,72 4,32 4,10 3,96 3,87 3,77 3,67 3,56 3,33 10 5,46 4,47 4,07 3,85 3,72 3,62 3,52 3,42 3,31 3,08 12 5,10 4,12 3,73 3,51 3,37 3,28 3,18 3,07 2,96 2,72 15 4,76 3,80 3,41 3,20 3,06 2,96 2,86 2,76 2,64 2,40 20 4,46 3,51 3,13 2,91 2,77 2,68 2,57 2,46 2,35 2,09 30 4,18 3,25 2,87 2,65 2,51 2,41 2,31 2,20 2,07 1,79 Q 3,96 2,79 2,41 2,19 2,05 1,94 1,83 1,71 1,57 1,00 16 Pro vypočítaný poměr obou rozptylů (1,42) lze vypočítat interval spolehlivosti. Interpretujte výsledek tohoto výpočtu vyjádřený jako: 2 P(0,298 < -V < 5,61) = 0,95 a: VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ r* I Příklad 2. I Srovnání parametrů dvou výběrů Experimenty pro dva pokusné zásahy Pomocí F-testu uvedeného v Příkladu 1 této kapitoly lze rovněž testovat rovnost dvou koeficientů variance: F (s íg ) (s log )2 ; jmenovatel < čitatel Je třeba ověřit, zda má koncentrace Zn nalezená v kontaminovaných půdách stejný rozptyl jako obsah mikrobiální biomasy naměřený na stejných lokalitách (srovnání často nutné pro správnou volbu metody současné analýzy obou proměnných). Nulovou hypotézu budeme testovat srovnáním koeficientů variance podle výše uvedeného vztahu: Obsah Zn Obsah biomasy Log (mg/kg) Log (Zn) Log (Zn) (mg C/kg) (biomasa) Koeficient variance je zde označen jako V: v _ 9 v2 _ 7 72,5 1,86034 183,0 2,26245 X1 _ 70,73£g F 0,0010966959221 X2 _ 178,82cm 71,7 1,85552 172,3 2,23629 F _—-_ 2,21 60,8 1,78390 180,1 2,25551 SS1 _ 246,1610£g2 0,0004961076 SS2 590,1350cm2 63,2 1,80072 190,2 2,27921 s2 _ 27,3512£g2 F 4 ,82 1 0,05 (2),9,7 ^ 'oz- s22 84,3050cm2 71,4 1,85370 191,4 2,28194 s _ 5,23kg 0,20 < P < 0.50 s2 _ 9,18cm 73,1 1,86392 169,9 2,22943 V _ 0,0739 V2 0,0513 77,9 1,89154 166,4 2,22115 (SSlÖg) 0,0098702632 (SSlÖg)2 0,0034727534 75,7 1,89910 177,6 2,24944 (sl2Ög) 0,00 0966959 Nezamítáme H0. (sl2Ög)2 0,0004961076 72,0 1,85733 - - 69,0 1,84 - - VÝUKA: Biostatistika - základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ ruA r* Příklad 5. A one-tailed variance ratio test for the hypothesis that duck clutch size is less variable in captive than in wild birds. H)^12 ^2 _ a = 0,05 n1 = 7 Vj = 6 2,86eggs2 sj2 = 0,48eggs1 F n2 = 9 V2 = 8 SS 2 = 20,00eggs s s, = 2,50eggs s 2,50 0,48 F = 1 0,05(1),8,6 5,21 4,15 Clutch Size of Ducks Captive Wild 10 9 11 8 12 11 11 12 10 10 11 13 11 11 - 10 - 12 Therefore, reject H0 VÝUKA: Biostatistika - základní kurz 0,025 < P(F > 5,21) < 0,05 CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ Confidence interval for variance ratio A 1-a confidence interval for the variance ratio, cr^/, is defined by its lower confidence limit, L = f s 2 V 1 s 2 V s 2 J 1 F V a(2xvl,v2 J and its upper confidence limit, L2 = V s 2 J F a (2),v2 ,v 1 In Example 9.1, / = 1,42, F005(2)107 = 4,76, and F0 05(2) 7 10 = 3,95 . Therefore, we would calculate L1=0,298 and L2=5,61, and we could state ŕ 0,298 <—1T < 5,61 V G2 J 0,95 VÝUKA: Biostatistika -základní kurz CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ fttA