logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
logo-MU
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
prof. Ing. Jiří Holčík, CSc.
holcik@iba.muni.cz, Kamenice 3, 4. patro, dv.č.424

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
XIII.
ZÁKLADNÍ TYPY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SPOJITÉ SYSTÉMY
þTéměř všechny realizovatelné (fyzikálně, biologicky, chemicky, …) spojité lineární systémy (kromě
systémů s dopravním zpožděním) lze vytvořit z prvků tří typů:
þproporcionálních členů (ideálních zesilovačů multiplikátorů);
þintegrátorů;
þsoučtových členů (sumátorů);

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þa1y‘(t)+a0y(t) = x(t)
þy‘(t) = x(t)/a1 - a0y(t)/a1
þy(t) = ò(x(t)/a1 - a0y(t)/a1)dt = òx1(t)dt
SPOJITÉ SYSTÉMY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þKromě těchto základních prvků existují další typové články s určitými typickými vlastnostmi:
þsystém se setrvačností 1. řádu;
þderivační systém;
þstatický systém 2. řádu;
þsystém s dopravním zpožděním.
SPOJITÉ SYSTÉMY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PROPORCIONÁLNÍ SYSTÉM
operátorová přenosová funkce
H(p) = Y(p)/X(p) = k
frekvenční přenosová funkce
H(ω) = Y(ω)/X(ω) = k
þdefiniční rovnice
þ y(t) = k.x(t)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þfrekvenční charakteristika
þv komplexní rovině
modulová a fázová
frekvenční charakteristika
PROPORCIONÁLNÍ SYSTÉM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
?impulsní charakteristika
?přechodová charakteristika
?nuly a póly přenosových funkcí
þ
þFyzikální realizace:
üvysokofrekvenční zesilovače
ümechanické převody
üpotenciometry
üpřevodníky (fyzikálních) veličin (??)
PROPORCIONÁLNÍ SYSTÉM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þdiferenciální rovnice
þy‘(t) = ki.x(t)
þpo Laplacově transformaci
þp.Y(p) – y(0) = ki.X(p)
þoperátorová přenosová funkce (!! y(0)=0 !!)
ki - zesílení integrátoru; Ti – časová konstanta integrátoru
INTEGRAČNÍ SYSTÉM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þfrekvenční přenosová funkce
þ
þ
þfrekvenční charakteristika
þ v komplexní rovině
* modulová a fázová frekvenční charakteristika v log. souřadnicích
INTEGRAČNÍ SYSTÉM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þimpulsní charakteristika
þ
þ
þpřechodová charakteristika (pro t≥0)
INTEGRAČNÍ SYSTÉM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ
1.ŘÁDU
þ(zpožďující(?) člen 1.řádu, aperiodický člen, statický člen 1. řádu)
þdiferenciální rovnice
þa1y‘(t) + a0y(t) = x(t)
þT.y‘(t) + y(t) = k.x(t)
þT = a1/a0; k = 1/a0

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þoperátorová přenosová funkce
þ
þfrekvenční přenosová funkce
SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ
1.ŘÁDU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þmodulová logaritmická frekvenční charakteristika
þ
þ
èpro ω « 1/T je (Tω)2 «1  a tedy
þ
þ
è pro ω » 1/T je (Tω)2 »1  a tedy
SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ
1.ŘÁDU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þfázová frekvenční charakteristika
þ
þ
þ
þ
þ pro 0 ≤ ω < ¥ je φÎá0;-90°)
SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ
1.ŘÁDU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ
1.ŘÁDU
39_54

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þimpulsní charakteristika
þ
þ
þpřechodová charakteristika
SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ
1.ŘÁDU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
40_54
SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ
1.ŘÁDU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þnuly a póly
þrealizační schéma
41_55
SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ
1.ŘÁDU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DERIVAČNÍ SYSTÉM
þdefiniční rovnice
þy(t) = kd.x‘(t)
þoperátorová přenosová funkce
þF(p) = Y(p)/X(p) = kd.p
þ
þ!!! KONFLIKT !!!
þřád polynomu v čitateli je vyšší než řád polynomu ve jmenovateli;
þjestli se vstup změní skokem, měl by být výstup úměrný Diracovu impulsu, což neumíme realizovat
(nekonečně vysoký impuls s nekonečně krátkou dobou trvání)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þfrekvenční přenosová funkce
þ
þ
þ
þ
þnula v počátku
þ komplexní roviny
DERIVAČNÍ SYSTÉM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þmodulová logaritmická frekvenční charakteristika
DERIVAČNÍ SYSTÉM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þimpulsní charakteristika
þ
þ
þ Diracův impulz 2. řádu
þ (fyzikálně nerealizovatelný)
DERIVAČNÍ SYSTÉM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þpřechodová charakteristika
þ
þ
þ Diracův impulz s mocností kd
DERIVAČNÍ SYSTÉM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þkaždý reálný derivační článek je zatížen určitou setrvačností, proto jeho přenosová funkce je
alespoň ve tvaru
þ
þ
þ kde Te je malá časová konstanta
REÁLNÝ DERIVAČNÍ SYSTÉM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þfrekvenční charakteristika v komplexní rovině
þ
þ
þ
REÁLNÝ DERIVAČNÍ SYSTÉM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þmodulová frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích
þ
è
þpro ω«1/Tε je |F(ω)|dB = 20log(kd) + 20 log(ω)
þpro ω»1/Tε je |F(ω)|dB = 20log(kd) + 20 log(ω) -        - 20log(ωTε)
REÁLNÝ DERIVAČNÍ SYSTÉM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
48_57
REÁLNÝ DERIVAČNÍ SYSTÉM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þimpulsní charakteristika
* přechodová charakteristika
* nuly a póly
REÁLNÝ DERIVAČNÍ SYSTÉM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þdiferenciální rovnice
þa2y“(t)+a1y‘(t)+a0y(t)= x(t)
þ
þoperátorová přenosová funkce
þ
þ
þ
þ
þ
þ      poměrné tlumení
STATICKÝ SYSTÉM 2. ŘÁDU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þoperátorová přenosová funkce
þ
þ
þ
þ
þ
þ
chování systému závisí na pólech přenosové funkce
* reálné různé póly
* reálné násobné póly
* komplexně sdružené póly
STATICKÝ SYSTÉM 2. ŘÁDU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SYSTÉM SE ZPOŽDĚNÍM
þSystém, který způsobuje pouze posunutí vstupního signálu v čase, jinak tvar vstupu nemění.
þdefiniční rovnice
þy(t)=x(t-τ)
þoperátorová přenosová funkce
þF(p) = e-τp
þ(není to racionální lomená funkce, tedy nemá nuly a póly – pozor, pozor – funkci lze rozložit a
pak jich má nekonečně)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þfrekvenční charakteristika
þF(ω) = e-jτω
þ|F(ω)| = 1     a     φ(ω) = -τω
6970_69
SYSTÉM SE ZPOŽDĚNÍM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DISKRÉTNÍ SYSTÉMY
þPodobně jako spojité systémy, lze lineární diskrétní modely reálných systémů realizovat pomocí tří
základních typů:
þproporcionální člen (násobení konstantou);
þzpožďovací člen;
þsumační člen.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DISKRÉTNÍ SYSTÉMY
þa1y(nT)+a0y(nT-T) = b0x(nT)
þy(nT) = b0x(nT)/a1 - a0y(nT-T)/a1

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PROPORCIONÁLNÍ ČLEN
þtotéž jako spojitý proporcionální člen
èvýstupní průběh je tvarově shodný se vstupem;
èpoměr hodnot výstupní a vstupní hodnoty je roven „zesílení“ k;
èpřenosová funkce je určena vztahem

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZPOŽĎOVACÍ ČLEN
þdiferenční rovnice
þ y(nT) = x(nT-T)
þ
þobrazová přenosová funkce
þ Y(z) = X(z).z-1 Þ
þ
þfrekvenční přenosová funkce
þ      z = ejωT    z-1 = e-jωT
þ H(ejωT) = e-jωT

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
TYPY DISKRÉTNÍCH SYSTÉMŮ
þsystémy s klouzavým průměrem (moving average – MA)
þ
þ
þsystémy autoregresivní (AR)
þ
þ
þsystémy ARMA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SUMAČNÍ ČLEN 1.ŘÁDU
KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA)
þdiferenční rovnice
þ y(nT) = x(nT) + x(nT-T)
þ
þobrazová přenosová funkce
þ Y(z) = X(z) + X(z).z-1
þ Y(z) = X(z)(1+z-1)
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SUMAČNÍ ČLEN 1.ŘÁDU
KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA)
þdiferenční rovnice
þ 2y(nT) = x(nT) + x(nT-T)
þ
þobrazová přenosová funkce
þ 2Y(z) = X(z) + X(z).z-1
þ 2Y(z) = X(z)(1+z-1)
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SUMAČNÍ ČLEN 1.ŘÁDU
KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA)
þdiferenční rovnice
þ y(nT) = x(nT) - x(nT-T)
þ
þobrazová přenosová funkce
þ Y(z) = X(z) - X(z).z-1
þ Y(z) = X(z)(1-z-1)
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SUMAČNÍ ČLEN 1.ŘÁDU
KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA)
þdiferenční rovnice
þ y(nT) = x(nT) - x(nT-T)
þ
þobrazová přenosová funkce
þ Y(z) = X(z) - X(z).z-1
þ Y(z) = X(z)(1-z-1)
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þdiferenční rovnice
þ
þ
þobrazová přenosová funkce
þ Y(z) = b0X(z) + b1X(z).z-1 +…
þ …+ bmX(z).z-m
þ Y(z) = X(z)(b0+b1z-1+…+bmz-m)
þ
SUMAČNÍ ČLEN
KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þdiferenční rovnice
þ
þ
þobrazová přenosová funkce
þ Y(z) = b0X(z) + b1X(z).z-1 +…
þ …+ bmX(z).z-m
þ Y(z) = X(z)(b0+b1z-1+…+bmz-m)
þ
SUMAČNÍ ČLEN
KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA)
bi = 1, i=1,..,4; a0 = 4

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 1. ŘÁDU
þdiferenční rovnice
þ y(nT) – y(nT-T) = x(nT)
þ y(nT) = x(nT) + y(nT-T)
þobrazová přenosová funkce
þ Y(z) – Y(z).z-1 = X(z)
þ Y(z)(1–z-1) = X(z)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 1. ŘÁDU
þdiferenční rovnice
þ y(nT) + y(nT-T) = x(nT)
þ y(nT) = x(nT) - y(nT-T)
þobrazová přenosová funkce
þ Y(z) + Y(z).z-1 = X(z)
þ Y(z)(1+z-1) = X(z)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 1. ŘÁDU
þdiferenční rovnice
þ y(nT) + y(nT-T) = x(nT)
þ y(nT) = x(nT) - y(nT-T)
þobrazová přenosová funkce
þ Y(z) + Y(z).z-1 = X(z)
þ Y(z)(1+z-1) = X(z)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 1. ŘÁDU
þdiferenční rovnice
þ y(nT) + y(nT-T) = 2x(nT)
þ y(nT) = 2x(nT) - y(nT-T)
þobrazová přenosová funkce
þ Y(z) + Y(z).z-1 = 2X(z)
þ Y(z)(1+z-1) = 2X(z)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 1. ŘÁDU
þdiferenční rovnice
þ y(nT) + 0,9.y(nT-T) = 1,9.x(nT)
þ y(nT) = 1,9.x(nT) – 0,9.y(nT-T)
þobrazová přenosová funkce
þ Y(z) + 0,9.Y(z).z-1 = 1,9.X(z)
þ Y(z)(1+0,9.z-1) = 1,9.X(z)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 1. ŘÁDU
þdiferenční rovnice
þ y(nT) + y(nT-2T) = 2.x(nT)
þ y(nT) = 2.x(nT) – y(nT-2T)
þobrazová přenosová funkce
þ Y(z) + Y(z).z-2 = 2.X(z)
þ Y(z)(1+ z-2) = 2.X(z)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 1. ŘÁDU
þdiferenční rovnice
þ y(nT) + 0,81y(nT-2T) = 1.81x(nT)
þ y(nT) = 1,81x(nT) – 0.81y(nT-2T)
þobrazová přenosová funkce
þ Y(z) + 0,81.Y(z).z-2 = 1,81.X(z)
þ Y(z)(1+ 0,81.z-2) = 1,81.X(z)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 1. ŘÁDU
þdiferenční rovnice
þ y(nT) + 1,23y(nT-2T) = 2.23x(nT)
þ y(nT) = 2,23x(nT) – 1.23y(nT-2T)
þobrazová přenosová funkce
þ Y(z) + 1,23.Y(z).z-2 = 2,23.X(z)
þ Y(z)(1+ 1,23.z-2) = 2,23.X(z)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
AUTOREGRESIVNÍ ČLEN
þdiferenční rovnice
þ y(nT) – a1y(nT-T) - … - amy(nT-mT) = b0x(nT)
þ y(nT) = b0x(nT) + a1y(nT-T) + … + amy(nT-mT)
þobrazová přenosová funkce
þ Y(z) – a1Y(z).z-1 -…- amY(z).z-m = b0X(z)
þ
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þPříprava nových učebních materiálů
þpro obor Matematická biologie
þje podporována projektem ESF
þč. CZ.1.07/2.2.00/07.0318
þ„VÍCEOBOROVÁ INOVACE STUDIA MATEMATICKÉ BIOLOGIE“
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
logo-MU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VZTAH MEZI FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKOU A NULOVÝMI BODY A PÓLY PŘENOSOVÉ FUNKCE