logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
logo-MU
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
prof. Ing. Jiří Holčík, CSc.
holcik@iba.muni.cz, Kamenice 3, 4. patro, dv.č.424

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VIII.
SPOJITÉ SYSTÉMY
FORMY ABSTRAKTNÍHO POPISU SPOJITÝCH SYSTÉMŮ
VNĚJŠÍ A VNITŘNÍ POPIS

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PROČ ABSTRAKTNÍ SYSTÉMY?
þmodely zkoumaných reálných (biologických) objektů (procesů) -; þpopis algoritmů pro zpracování dat
(technické, resp. matematické systémy);

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FORMÁLNÍ (MATEMATICKÝ)
POPIS SYSTÉMU
þMatematické prostředky se různí podle:
þtypu časové základny (spojité, diskrétní, nezávislé na časovém měřítku);
þcharakteru proměnných (spojité, diskrétní, logické);
þdeterminovanosti proměnných a parametrů (deterministické, nedeterministické -  pravděpodobnostní,
fuzzy,…);
þvztahu k okolí (autonomní, neautonomní);
þproměnnosti parametrů (lineární, nelineární, časově proměnné);
þvztahu k minulosti (bez paměti, s pamětí);

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
TECHNICKÝ & BIOLOGICKÝ
SYSTÉM
þzákladními vlastnostmi biologických systémů jsou:
þpřirozenost (zpravidla nejsou vytvořeny člověkem);
þveliký rozměr (velký počet stavových proměnných a ne vždy je přesně znám);
þsložitá hierarchická struktura;
þvýznamná interakce na všech úrovních jejich struktury (často časově proměnná);
þvelké rozdíly mezi jednotlivými realizacemi (jedinci) – rozptyl uvnitř populace –
interindividuální variabilita;
þvelké rozdíly v chování jednotlivých realizací (jedinců) v čase – intraindividuální variabilita;

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
TECHNICKÝ & BIOLOGICKÝ
SYSTÉM
þzákladními vlastnostmi biologických systémů jsou i:
þnestacionarita a neergodicita nedeterministického chování;
þpředpoklady o linearitě představují velice hrubou a omezenou aproximaci;
þvýznamné omezení počtu experimentů opakovatelných za dostatečně srovnatelných podmínek;
þvýznamné omezení experimentů z hlediska prevence škod;
þexperimenty na jedincích různého typu (člověk x zvířata) mohou přinášet různé výsledky jak z
hlediska kvality, tak kvantity

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
RLC
VNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS
předpokládejme konstantní parametry prvků R, L, C obvodu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS
Pak lze psát
RLC

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS
RLC
Po záměně pořadí členů na levé straně a po dosazení za proud i1 a jeho derivaci ze vztahu mezi
proudem a napětím na kapacitě je
a protože napětí na kapacitě je současně i výstupním napětím, tj. uC(t) = u2(t) lze psát
matematický vztah mezi výstupním u2 (t) a vstupním u1(t) napětím obvodu
.
Vztah mezi vstupem a výstupem – jedna z forem vnějšího popisu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þobecně, spojitý systém n-tého řádu popisuje diferenciální rovnice n-tého řádu
þ
þbny(n) + bn-1y(n-1) + … + b0y = amx(m) + am-1x(m-1) + … + a0x ,
þ
þkterá je, za předpokladu že parametry an, an-1, …, a0, bm, bm-1, …, b0 jsou konstantní, lineární;
þprakticky nelze realizovat takové systémy, jejichž výstupní signál by byl přesně úměrný derivacím
vstupního signálu, proto musí platit m ≤ n;
VNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
LINEARITA
þSystém je lineární, platí-li pro něj princip superpozice þJe-li y=f(x) převodní funkce systému,
pak pro lineární systém musí platit
þ 1) f(x1) + f(x2) = f(x1 + x2);
þ 2) c.f(x) = f(c.x), c = konst.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þA to je jen tehdy, je-li y=k.x, kde k = konst.
þ
þ1) k.x1 + k.x2 = k.(x1 + x2)
þ2) c.k.x = k.c.x
LINEARITA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þA neplatí to ani, když
þy=k.x-q, kde k,q = konst.,
þprotože
þ
þ1) (k.x1-q)+ (k.x2-q) ≠ k.(x1+x2)-q
þ2) c.(k.x-q) ≠ (k.c.x-q)
LINEARITA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
LAPLACEOVA TRANSFORMACE
þDEFINIČNÍ VZTAH
þ
þ
þ kde p = σ+jω.
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
LAPLACEOVA TRANSFORMACE
þDEFINIČNÍ VZTAH
þ
þ
þ kde p = σ+jω.
þ
þPamatujeme si ještě definiční vztah Fourierovy transformace?
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
LAPLACEOVA TRANSFORMACE
þDEFINIČNÍ VZTAH
þ
þ
þ kde p = σ+jω.
þ
þPamatujeme si ještě definiční vztah Fourierovy transformace?
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þVLASTNOSTI
þ
þspousta úžasných vlastností ekvivalentních vlastnostem Fourierovy transformace, navíc i něco co se
neuvěřitelně hodí pro řešení diferenciálních rovnic (převádí diferenciální rovnice na mocninné
algebraické)
þLaplacův obraz derivace:
þf’(t) ~ p.F(p) - f(0)
þf(n)(t) ~ pn.F(p) - pn-1f(0) – pn-2f’(0) - … - f(n-1)(0)
LAPLACEOVA TRANSFORMACE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PŘENOSOVÁ FUNKCE
Vyjádřeme nyní tuto rovnici pomocí Laplacových obrazů obou veličin. Za předpokladu nulových
počátečních podmínek pro Laplacův  obraz n-té derivace funkce y(t) platí
Do dosazení dostáváme

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PŘENOSOVÁ FUNKCE
Pro poměr obrazů výstupní a vstupní veličiny můžeme psát
Takto definovanou funkci za nulových počátečních podmínek (!!!!) nazýváme obrazovou (operátorovou)
přenosovou funkci daného systému.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PŘENOSOVÁ FUNKCE
þpro obecnou diferenciální rovnici n-tého řádu
þ
þbny(n) + bn-1y(n-1) + … + b0y =
þ= amx(m) + am-1x(m-1) + … + a0x ,
þ
þmá přenosová funkce lineárního systému za předpokladu nulových počátečních podmínek tvar
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þpolynom ve jmenovateli přenosové funkce
þ
þ
þ
þnazýváme charakteristickým polynomem systému a rovnici
þ
þ
þ
þcharakteristickou rovnicí systému
PŘENOSOVÁ FUNKCE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þřešením charakteristické rovnice
þ
þ
þresp.
þ
þ
þdostaneme n jejích kořenů pi, i=1,…,n.
PŘENOSOVÁ FUNKCE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þPodobně můžeme určit i kořeny zj, j=1,…,m rovnice, která vznikne položením polynomu v čitateli
přenosové funkce rovno nule, tj.
þ
þ
þKořeny pi i zj mohou být obecně reálné i komplexní; za předpokladu, že koeficienty bi, resp.
aj jsou reálné, pak kořeny pi i zj, jsou-li komplexní, jsou komplexně sdružené.
þ
PŘENOSOVÁ FUNKCE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PŘENOSOVÁ FUNKCE
Pomocí hodnot kořenů zj a pi můžeme psát přenosovou funkci ve tvaru
Kořeny zj nazýváme nulové body přenosové funkce a kořeny pi póly přenosové funkce F(p)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þproměnná p má obecně komplexní charakter a tedy nabývá tvaru
þp = s + jw ,
þ kde s je koeficient tlumení a w = 2pf je kruhová frekvence
þpředpokládejme, že koeficient tlumení
þs = 0,
þ pak po dosazení za p v operátorové přenosové funkci dostáváme
þ
þ
þ
þ což nazýváme frekvenční přenosovou funkcí systému
FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þfrekvenční charakteristika je grafické vyjádření frekvenční přenosové funkce systému (geometrické
místo koncových bodů vektoru přenosu pro frekvence, prakticky pouze v intervalu 0 ≤ w < ¥)
FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þfrekvenční charakteristiky vyjadřujeme zpravidla dvěma způsoby:
èfrekvenční charakteristika v komplexní rovině
èF(jw) = Re [F(jw)] + j.Im [F(jw)]
èmodulová (amplitudová) a fázová frekvenční charakteristika
èF(jw) = |F(jw)|.ejj(w)
FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA
V KOMPLEXNÍ ROVINĚ
v tomto případě kreslíme frekvenční charakteristiku nejčastěji v komplexní rovině s osami, na které
vynášíme reálnou a imaginární složku přenosu; frekvenční vlastnosti systému vyjadřuje křivka v
komplexní rovině, jejímž parametrem je kruhová frekvence w
kcharky1

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þvlastnosti systému určují dvě funkce – závislost modulu přenosu na frekvenci a závislost fáze na
frekvenci;
fcharky
MODULOVÁ A FÁZOVÁ FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þv některých případech se využívá pro znázornění těchto charakteristik logaritmické měřítko –
amplitudu pak vyjadřujeme v decibelech
þ|F(jw)|dB = 20.log |F(jw)|
þ Tento způsob popisu je výhodný v případech, kdy je přenosová funkce systému určena součinem
dílčích přenosových funkcí
þF(jw) = F1(jw). F2(jw). … . Fk(jw);
þ pak platí
è|F(jw)|.ejj(w) = |F1(jw)|. |F2(jw)|… |Fk(jw)|.ej(j1+ j2+…+ jk)
þ
MODULOVÁ A FÁZOVÁ FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
MODULOVÁ A FÁZOVÁ FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA
kcharky

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
RLC
VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU
nyní předpokládejme, že kapacita C závisí na napětí na kondenzátoru

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
a tedy i
Pak se poněkud komplikuje určení i1 = iC ze vztahu
VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
Platí, že
Potom pro  iC platí
Pro jednoduchost, nechť je C(u2) = k.u2 a tedy C‘(u2) = k ; pak
VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
A po dosazení dostáváme
Protože C(uC) = k.uC, můžeme psát
A tedy obecně
bn(·).y(n) + bn-1(·).y(n-1) + … + b0(·).y =
= am(·).x(m) + am-1(·).x(m-1) + … + a0(·).x
VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
bn(·).y(n) + bn-1(·).y(n-1) + … + b0(·).y =
= am(·).x(m) + am-1(·).x(m-1) + … + a0(·).x
(·) znamená závislost na určité (dané, zvolené) proměnné popisující chování systému – její průběh,
ale obecně závisí na vstupním signálu
ß
(1)Vlastnosti nelineárního systému nezávisí jen na systému samém, nýbrž i na jeho vstupu (buzení)
(2) Laplacovu transformaci součinu funkce a derivace proměnné lze počítat (zda-li) jen pro
konkrétní případ a tedy nelze obecně stanovit tvar operátorové přenosové funkce nelineárního
systému
VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
RLC
VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS
předpokládejme konstantní parametry prvků R, L, C obvodu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS
RLC
u2 a i1 jsou stavové veličiny; z jejich hodnot, resp. jejich derivací a parametrů systému jsme
schopni spočítat hodnoty všech dalších veličin popisujících chování daného systému

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
rovnice dynamiky
VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
výstupní rovnice
VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þA - matice vnitřních vazeb systému (též systémová matice nebo matice zpětných vazeb);
þ rozměr: n x n
þB - matice vazeb systému na vstup (též vstupní matice); rozměr: m x n
þC - matice vazeb výstupu na stav (výstupní matice); rozměr: n x r (r je počet výstupů)
þD - matice přímých vazeb výstupů na vstupy; rozměr: m x n (z hlediska zkoumání vlastností
lineárních dynamických systémů nejsou tyto vazby podstatné a často je tato matice nulová)
VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU
nyní opět předpokládejme, že kapacita C závisí na napětí na kondenzátoru; pak

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ
1.diferenciální rovnice;
2.operátorová přenosová funkce (Laplacova transformace);
3.rozložení nul a pólů;
4.frekvenční přenosová funkce;
5.frekvenční charakteristiky – amplitudová, fázová;

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ
1.diferenciální rovnice;
2.operátorová přenosová funkce (Laplacova transformace);
3.rozložení nul a pólů;
4.frekvenční přenosová funkce;
5.frekvenční charakteristiky – amplitudová, fázová;
6.impulsní charakteristika;
7.přechodová charakteristika;

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þkonvoluce
operátorová přenosová funkce
H(p) = Y(p)/X(p)
Y(p) = H(p).X(p)
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ
IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þ
þy(t) = h(t) = L-1(H(p).L (d(t))) = L-1(H(p).1)
þY(p) = H(p) = L (h(t)*d(t)) = L (h(t)*L-1(1))
þ
þimpulsní charakteristika a přenosová funkce tvoří transformační pár Laplacovy transformace.
þimpulsní charakteristika a frekvenční přenos tvoří transformační pár Fourierovy transformace.
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ
IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þje-li přiveden na vstup signálu přiveden Diracův impulz, má systém reagovat na dvě nekonečně velké
změny úrovně signálu v nekonečně krátkém intervalu;
þčím užší signál, tím širší spektrum – jednotkový impulz má nekonečně široké konstantní spektrum,
takže přivedeme-li na vstup systému Diracův impulz, je situace ekvivalentní současnému přivedení
úplné rovnoměrné směsi harmonických signálů o frekvencích od 0 do ¥ Hz;
þtakový signál není reálný systém schopen přenést bez deformace;
þimpulsové charakteristice lze tedy rozumět jako systémem zdeformovaný Diracův impulz. Podle
vlastností deformovaného výstupního signálu můžeme usuzovat na vlastnosti systému;
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ
IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þje-li h(t) = 0 pro t > t0,
þ hovoříme o systému s konečnou impulsní charakteristikou (KIO – FIR);
þnení-li h(t) = 0 pro t > t0,
þ resp. je-li  h(t) ¹ 0 pro t < ¥,
þ hovoříme o systému s nekonečnou impulsní charakteristikou (NIO – IIR);
þ
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ
IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þpřechodová charakteristika =
þ= odezva systému na jednotkový skok
þL(δ(t)) = 1/p
þY(p) = G(p) = H(p).L(δ(t)) = H(p).1/p = H(p)/p
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ
PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þPříprava nových učebních materiálů
þpro obor Matematická biologie
þje podporována projektem ESF
þč. CZ.1.07/2.2.00/07.0318
þ„VÍCEOBOROVÁ INOVACE STUDIA MATEMATICKÉ BIOLOGIE“
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
logo-MU