logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
logo-MU
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
prof. Ing. Jiří Holčík, CSc.
holcik@iba.muni.cz, Kamenice 3, 4. patro, dv.č.424

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
IX.
Z TRANSFORMACE
SYSTÉMY S DISKRÉTNÍM ČASEM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þdefinice DTFT - opakování
X(ω) je obecně komplexní funkce proměnné ω - kmitočtu
je-li z=exp(jωT), dostaneme
oboustranná
Z-transformace
Z TRANSFORMACE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
Z TRANSFORMACE
jednostranná Z-transformace
Z-transformace jednotkového impulsu
Z(Δ(kT))=1
Z-transformace posunutého jednotkového impulsu
Z(Δ(kT-nT))=

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
Z TRANSFORMACE
Z-transformace jednotkového skoku
U(z) = 1 + z-1 + z-2 + z-3 + z-4 + …
vynásobíme-li obě strany (z-1) dostaneme
(z-1).U(z) = (z+1+z-1+z-2+z-3+…) – (1+z-1+z-2+z-3+z-4+…) = z
U(z) = z/(z-1) = 1/(1-z-1)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VLASTNOSTI Z TRANSFORMACE
Linearita
a.x(k) + b.y(k) ~ a.X(z) + b.Y(z)
Posun vpravo x(k).u(k)
x(k-n).u(k-n) ~ z-nX(z)
Posun vpravo x(k)
x(k-1) ~ z-1X(z) + x(-1)
x(k-2) ~ z-2X(z) + x(-2) + z-1.x(-1)
:
x(k-n) ~ z-nX(z) + x(-n) + z-1.x(-n+1) + … + z-n+1.x(-1)
Je-li x(m) = 0 pro m = -1, -2, …., -n, je
x(k-n) ~ z-nX(z),
což je totéž jako pro x(k-n).u(k-n) .

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VLASTNOSTI Z TRANSFORMACE
Konvoluce

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þy(nT) = h(nT)*x(nT)
þY(z) = H(z).X(z)
þH(z) = Y(z)/X(z), kde H(z) je racionální lomená funkce proměnné z-1 (obrazová přenosová funkce)
SYSTÉMY S DISKRÉTNÍM ČASEM
PŘENOSOVÁ FUNKCE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SYSTÉMY S DISKRÉTNÍM ČASEM
NULOVÉ BODY A PÓLY
A – zesílení; zni … nulové body; zpi … póly

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SYSTÉMY S DISKRÉTNÍM ČASEM
DIFERENČNÍ ROVNICE
diferenční rovnice
!!! za předpokladu nulových počátečních podmínek !!!

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SYSTÉMY S DISKRÉTNÍM ČASEM
FREKVENČNÍ PŘENOSOVÁ FUNKCE
z = exp(jωT)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SYSTÉMY S DISKRÉTNÍM ČASEM
FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
Fcharka
SYSTÉMY S DISKRÉTNÍM ČASEM
FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þkonvoluce
operátorová přenosová funkce
H(p) = Y(p)/X(p) H(z) = Y(z)/X(z)
Y(p) = H(p).X(p) Y(z) = H(z).X(z)
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ
IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ
IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA
Y(z) = H(z).X(z)
za předpokladu, že X(z) = 1 máme
Y(z) = H(z).1
y(kT) = h(kT) = Z-1(H(z))
X(z) = 1 Þ x(kT) = Z-1(1)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ
IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA
þY(z) = H(z).X(z)
þza předpokladu, že X(z) = 1 máme
þY(z) = H(z).1
þy(kT) = h(kT) = Z-1(H(z))
þX(z) = 1 Þ x(kT) = Z-1(1)
þ
þZ-transformace jednotkového impulsu
þZ(Δ(kT))=1

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þy(kT) = h(kT) = Z-1(H(z).Z(Δ(kT)))
þodezva na jednotkový impuls -
-impulsová charakteristika
þ
þ
þy(t) = h(t) = L-1(H(p).L (d(t)))
þY(p) = H(p) = L (h(t)*L-1(1))
þ
þimpulsní charakteristika a přenosová funkce tvoří transformační pár Laplacovy (Z) transformace.
þimpulsní charakteristika a frekvenční přenos tvoří transformační pár Fourierovy (DFT)
transformace.
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ
IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þje-li h(t) = 0 pro t > t0 (h(kT) = 0 pro k >k0) hovoříme o systému s konečnou impulsní
charakteristikou (KIO – FIR); þnení-li h(t) = 0 pro t > t0 (h(kT) = 0 pro k >k0) hovoříme o systému
s nekonečnou impulsní charakteristikou (NIO – IIR);
þ
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ
IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þpřechodová charakteristika =
þ= odezva systému na jednotkový skok
þL(σ(t)) = 1/p
þY(p) = G(p) = H(p).L(σ(t)) = H(p).1/p
þZ(u(kT)) = 1/1-z-1 = z/(z-1)
þY(z) = G(z) = H(z).z/(z-1)
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ
PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
X.
ZÁKLADNÍ JEVY V SYSTÉMECH

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZÁKLADNÍ JEVY V SYSTÉMECH
þvstup – primární příčinou dynamiky systému; þpaměť – sekundární příčina dynamiky systému;
þß
þdva základní typy experimentování se systémy
þzkoumání vlivu počátečního stavu;
þzkoumání vlivu vstupního signálu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þv čase t0 se systém nachází vlivem své předcházející činnosti ve stavu x(t0) – fyzikální
(chemické, biologické,…) počáteční podmínky; þbez přivedeného vstupu analyzujeme chování systému –
přirozená odezva systému (odezva na počáteční stav – nulové počáteční podmínky)
ZÁKLADNÍ JEVY V SYSTÉMECH
 ZKOUMÁNÍ VLIVU POČÁTEČNÍHO STAVU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZÁKLADNÍ JEVY V SYSTÉMECH
 ZKOUMÁNÍ VLIVU POČÁTEČNÍHO STAVU
http://www.nasepenize.cz/images/image/penize/penize1.jpg
tendence (konvergence, divergence) není počátečním stavem ovlivněna

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þ
þSPOJITÝ SYTÉM
þobecně:
þbny(n) + bn-1y(n-1) + … + b0y =
þ= amx(m) + am-1x(m-1) + … + a0x
þy(n)(0)=yn0; y(n-1)(0)=yn-1,0; …, y(0)=y0
þ
þbez vstupu:
þbny(n) + bn-1y(n-1) + … + b0y = 0
þy(n)(0)=yn0; y(n-1)(0)=yn-1,0; …, y(0)=y0
þ
þ
ZÁKLADNÍ JEVY V SYSTÉMECH
 ZKOUMÁNÍ VLIVU POČÁTEČNÍHO STAVU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þ
þDISKRÉTNÍ SYTÉM
þobecně:
þ
þ
þy(-mT)=y-m,0; y(-mT+T)=y-m+1,0; …, y(0)=y0,0
þ
þbez vstupu:
þ
þ
þy(n)(0)=yn0; y(n-1)(0)=yn-1,0; …, y(0)=y0
þ
þ
ZÁKLADNÍ JEVY V SYSTÉMECH
 ZKOUMÁNÍ VLIVU POČÁTEČNÍHO STAVU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZÁKLADNÍ JEVY V SYSTÉMECH
 ZKOUMÁNÍ VLIVU POČÁTEČNÍHO STAVU
odezva komplex odezva real

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þPřirozená odezva –
þčasem zaniká – asymptoticky stabilní systém vzhledem k počátečním podmínkám;
þustálí se v konečných mezích (periodicky osciluje nebo je konstantní) – stabilní systém nebo
systém na mezi stability vzhledem k počátečním podmínkám;
þ neohraničeně roste – nestabilní systém vzhledem k počátečním podmínkám
ZÁKLADNÍ JEVY V SYSTÉMECH
 ZKOUMÁNÍ VLIVU POČÁTEČNÍHO STAVU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þlze zjišťovat:
þdynamické vlastnosti (tvar přechodu do nového stavu - rychlost přechodu, monotónnost či kmitání,
frekvence kmitání, apod.);
þlinearitu (sledováním podobnosti odezev při různých počátečních stavech);
þstabilitu (sledováním konvergence);
ZÁKLADNÍ JEVY V SYSTÉMECH
 ZKOUMÁNÍ VLIVU POČÁTEČNÍHO STAVU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þsystém se musí nacházet v nulovém počátečním stavu;
þodpověď systému při nulovém počátečním stavu – vnucená (vynucená) odezva;
þmůžeme sledovat chování systému buzeného signály očekávaného průběhu – impulsová odezva,
přechodová odezva, frekvenční charakteristika
ZÁKLADNÍ JEVY V SYSTÉMECH
 ZKOUMÁNÍ VLIVU VSTUPNÍHO SIGNÁLU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZÁKLADNÍ JEVY V SYSTÉMECH
 ZKOUMÁNÍ VLIVU VSTUPNÍHO SIGNÁLU
002.jpg

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þpřechodný děj - popis chování systému z počátečního do koncového stavu þustálený stav - stav kdy
zaniká pohyb systému (stejnosměrný ustálený stav) – není to v jediném okamžiku, ale v časovém
intervalu
þrovnovážný stav - stabilní, nestabilní
þ
þcelková odezva = přirozená odezva + vnucená odezva
þ!!!POZOR !!!     platí to jen u lineárních systémů
ZÁKLADNÍ JEVY V SYSTÉMECH

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZÁKLADNÍ JEVY V SYSTÉMECH
celková odezva = přechodná odezva + ustálená odezva

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZÁKLADNÍ JEVY V SYSTÉMECH
þTEST NA HARMONICKÝ SIGNÁL
þKMITOČTOVÁ CHARAKTERISTIKA
skenování0001.jpg skenování0002.jpg

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZÁKLADNÍ JEVY V SYSTÉMECH
þKMITOČTOVÁ CHARAKTERISTIKA
þLINEÁRNÍ FREKVENČNÍ FILTRACE
skenování0003.jpg

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þPříprava nových učebních materiálů
þpro obor Matematická biologie
þje podporována projektem ESF
þč. CZ.1.07/2.2.00/07.0318
þ„VÍCEOBOROVÁ INOVACE STUDIA MATEMATICKÉ BIOLOGIE“
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
logo-MU