logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz III. JAK NA TO? POKRAČOVÁNÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þDISKRÉTNÍ SIGNÁL èvzorkováním signálu xa(t) vzorkovací frekvencí è F > 2fmax; èvýsledná posloupnost xnT má N hodnot è (0 £ n £ N-1) NEPERIODICKÝ SIGNÁL S NEKONEČNOU ENERGIÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ODHADOVÝ EXKURZ þodhad parametru je závislý na volbě úseku signálu; þprotože je výběr intervalu náhodný, je i odhad parametru náhodnou veličinou; þzákladní (požadované) vlastnosti odhadů: ènestrannost – záruka, že v průměru se bude odhad pohybovat kolem správné hodnoty parametru è è èkonzistence – čím delší bude zkoumaný interval, tím více se bude odhad blížit neznámé hodnotě è èeficience – eficientní odhad je takový nestranný odhad, který má minimální disperzi levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz èodhad spektrální hustoty výkonu z konečné posloupnosti (nepřímá metoda) è è è èodhady AK posloupnosti: NEPERIODICKÝ SIGNÁL S NEKONEČNOU ENERGIÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ODHADY AUTOKORELAČNÍ POSLOUPNOSTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ODHADY AUTOKORELAČNÍ POSLOUPNOSTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ODHADY AUTOKORELAČNÍ POSLOUPNOSTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdosadíme-li do vztahu pro výpočet odhadu spektrální hustoty výkonu za podle 2), dostaneme (ještě to nikdo nedokázal) þperiodogram (Schuster 1898) (přímá metoda) NEPERIODICKÝ SIGNÁL S NEKONEČNOU ENERGIÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PERIODOGRAM skenování0015.jpg levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PERIODOGRAM skenování0016.jpg skenování0017.jpg logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz IV. NEPARAMETRICKÉ METODY ODHADU VÝKONOVÉHO SPEKTRA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz NEPARAMETRICKÉ METODY ODHADU VÝKONOVÉHO SPEKTRA þnekladou žádné požadavky na znalosti vlastností signálu; þvšechny uvedené metody vycházejí z konečné posloupnosti vzorků signálu Þ frekvenční rozlišovací schopnost je při nejlepším určena spektrální šířkou obdélníkového okna þ (všechny metody však snižují frekvenční rozlišení díky snaze o snížení rozptylu spektrálního odhadu) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz BARTLETOVA METODA þrozdělení posloupnosti N vzorků na K nepřekrývajících se segmentů, každý o délce M þxi(nT) = x(nT+iMT), i=0, 1, …, K-1; n=0,1,…,M-1 þpro každý segment se spočítá periodogram þ þ þzprůměrněním periodogramů ze všech K segmentů dostaneme odhad výkonového spektra levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz STATISTICKÉ VLASTNOSTI BARTLETTOVA ODHADU þstřední hodnota þ þ þ pro jednotlivé periodogramy þ þ þ þ þomezení délky signálové posloupnosti z N vzorků na M=N/K vzorků způsobí váhování oknem, jehož spektrální šířka vzroste K-krát; tím se též sníží K-krát frekvenční rozlišovací schopnost levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz STATISTICKÉ VLASTNOSTI BARTLETTOVA ODHADU þrozptyl þ þ þ rozptyl se sníží K-krát levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdvě modifikace Bartletovy metody þpřekrývání segmentů þxi(nT) = x(nT+iDT), þi=0, 1, …, K-1 (počet vzorků v segmentu); þn=0,1,…,M-1(počet segmentů) þpro D=M se segmenty nepřekrývají (dělení odpovídá B.m.) Welch WELCHOVA METODA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þváhování vzorků v každém segmentu oknem před výpočtem periodogramů þ þ þ kde U je výkonový normalizační faktor okna daný vztahem U = Σw2(nT)/M þ þWelchův odhad výkonového spektra þ WELCHOVA METODA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz STATISTICKÉ VLASTNOSTI WELCHOVA ODHADU skenování0018.jpg levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz STATISTICKÉ VLASTNOSTI WELCHOVA ODHADU skenování0019.jpg levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz BLACKMANOVA-TUKEYHO METODA VYHLAZENÍ PERIODOGRAMU þnepřímá metoda – přes výpočet odhadu autokorelační funkce þvýpočet odhadu autokorelační funkce þváhování odhadu autokorelační funkce oknem þ w(mT)¹0 pro –M+1£m£M-1; w(mT)=0 pro |m|³M þ váhování autokorelační funkce oknem ® vyhlazení periodogramu; sníží se rozptyl, omezí se frekvenční rozlišovací schopnost þvýpočet Fourierovy transformace váhovaného odhadu autokorelační funkce – váhování snižuje vliv odhadu autokorelační funkce počítaného pro malé hodnot posunu (N-m)T levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þBlackmanův-Tukeyův odhad þ þ þ þ þ þve frekvenční oblasti þ þ þVáhování AKF oknem Þ vyhlazení periodogramu – sníží se rozptyl, omezí se rozlišovací schopnost BLACKMANOVA-TUKEYHO METODA VYHLAZENÍ PERIODOGRAMU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þpožadavky na okna: èsudá funkce (symetrická kolem m=0) … odhad výkonového spektra bude reálná funkce èW(f) ³ 0 pro |f| £ F/2 Þ odhad výkonové spektrální funkce bude nezáporný pro |f| £ F/2 BLACKMANOVA-TUKEYHO METODA VYHLAZENÍ PERIODOGRAMU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz BLACKMANOVA-TUKEYHO METODA STATISTICKÉ VLASTNOSTI ODHADU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz BLACKMANOVA-TUKEYHO METODA STATISTICKÉ VLASTNOSTI ODHADU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz BLACKMANOVA-TUKEYHO METODA STATISTICKÉ VLASTNOSTI ODHADU skenování0021.jpg levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SROVNÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH METOD ODHADU VÝKONOVÉHO SPEKTRA þmíra kvality þ þ þ þA je označení metody þPoužívá se i převrácená hodnota, nazývá se variabilita. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þperiodogram SROVNÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH METOD ODHADU VÝKONOVÉHO SPEKTRA skenování0022.jpg levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þBartlettův odhad SROVNÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH METOD ODHADU VÝKONOVÉHO SPEKTRA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þWelchův odhad SROVNÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH METOD ODHADU VÝKONOVÉHO SPEKTRA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þBlackmanův-Tukeyho odhad SROVNÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH METOD ODHADU VÝKONOVÉHO SPEKTRA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SROVNÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH METOD ODHADU VÝKONOVÉHO SPEKTRA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þPožadavky vychází z předpokladu, že: þ se zpracovává sekvence o délce N vzorků a je specifikována relativní rozlišovací schopnost ∆f.T; þpro výpočet se použije radix-2 FFT algoritmus þpracnost je vyjádřena pouze počtem komplexních násobení þ VÝPOČETNÍ POŽADAVKY NEPARAMETRICKÝCH METOD ODHADU VÝKONOVÉHO SPEKTRA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VÝPOČETNÍ POŽADAVKY NEPARAMETRICKÝCH METOD ODHADU VÝKONOVÉHO SPEKTRA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VÝPOČETNÍ POŽADAVKY NEPARAMETRICKÝCH METOD ODHADU VÝKONOVÉHO SPEKTRA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz NEPARAMETRICKÉ METODY þvýhody: èrelativně jednoduché, srozumitelné, pomocí DFT (FFT) snadno spočitatelné þnevýhody: èpotřeba dlouhého záznamu pro dostatečou frekvenční rozlišovací schopnost; èprosakování spekter díky použitým oknům (maskování slabých signálů); èomezení vyplývající z předpokladu, že rxx(mT)=0 pro |m|³N èvnucená periodicita signálu definicí periodogramu