logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz V. PARAMETRICKÉ METODY ODHADU VÝKONOVÉHO SPEKTRA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PARAMETRICKÉ METODY þextrapolují hodnoty autokorelační funkce pro m³N (k tomu je potřeba apriorní informace o analyzovaném signálu) þ ß þ parametrický model vzniku signálu a z toho už cokoliv þtedy: netrápí nás okna, ani prosakování spekter Þ lepší rozlišovací schopnost i při krátkých záznamech Þ analýza časově proměnných a přechodných dějů levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz MODEL SIGNÁLU PRŮCHODEM LINEÁRNÍ SOUSTAVOU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz MODEL SIGNÁLU PRŮCHODEM LINEÁRNÍ SOUSTAVOU þje-li posloupnost x(nT), resp. y(nT) realizací stacionárního náhodného procesu, platí pro jejich spektrální výkonové hustoty Γxx(f), resp. Γyy(f), þ þΓyy(f) = |H(f)|2. Γxx(f), þ þ kde |H(f)| je modul frekvenční charakteristiky použité lineární soustavy. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz MODEL SIGNÁLU PRŮCHODEM LINEÁRNÍ SOUSTAVOU þJe-li x(nT) bílý šum s nulovou střední hodnotou, pak jeho autokorelační funkce þ þa þ þ je rozptyl posloupnosti x(nT), tj. þa pro spektrální hustotu výkonu výstupní posloupnosti platí þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz MODEL SIGNÁLU PRŮCHODEM LINEÁRNÍ SOUSTAVOU þAlgoritmy parametrického odhadu výkonového spektra posloupnosti y(nT), nÎá0, N-1ñ obsahují: 1)odhad parametrů modelu přenosové soustavy; 2)výpočet spektrální hustoty výkonu Γyy(f) z odhadnutých parametrů levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz MODEL SIGNÁLU PRŮCHODEM LINEÁRNÍ SOUSTAVOU þpodle charakteru modelu přenosové soustavy dělíme algoritmy na: è èARMA(p,q) – autoregresive-moving average řádu (p,q); èAR(p), q=0, b0=1, H(z)=1/X(z) … è… autoregresivní èMA(q), X(z) = 1 Þ H(z) = Y(z) … èmoving average levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz MODEL SIGNÁLU PRŮCHODEM LINEÁRNÍ SOUSTAVOU þnejčastěji používaný AR model – proč? èvhodný pro vyjádření spektra s úzkými vrcholy (rezonance) èvýpočet parametrů vede na jednoduchou soustavu lineárních rovnic èLacoss (1971) – (platí pro všechny AR modely): qspektrální vrcholy odhadu spektra harmonckých signálů pomocí AR modelu jsou úměrné čtverci výkonu harmonických signálů; qplocha vrcholu výkonové spektrální hustoty je lineárně úměrná výkonu harmonického signálu levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz MODEL SIGNÁLU PRŮCHODEM LINEÁRNÍ SOUSTAVOU þdekompoziční teorém (Wold 1938) èjakýkoliv ARMA nebo MA proces může být jednoznačně reprezentován AR modelem max. ¥ řádu; èjakýkoliv ARMA nebo AR proces lze reprezentovat MA modelem max. ¥ řádu; èß èje nám jedno, co použijeme za model, jen by měl mít co nejméně parametrů, které se snadno počítají levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZÁKLADNÍ VZTAHY MEZI PARAMETRY MODELU A AUTOKORELAČNÍ POSLOUPNOSTÍ skenování0006.jpg ARMA: levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZÁKLADNÍ VZTAHY MEZI PARAMETRY MODELU A AUTOKORELAČNÍ POSLOUPNOSTÍ ARMA (pokračování): skenování0007.jpg levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz skenování0008.jpg ZÁKLADNÍ VZTAHY MEZI PARAMETRY MODELU A AUTOKORELAČNÍ POSLOUPNOSTÍ ARMA (pokračování): jiná interpretace: hodnoty autokorelační posloupnosti gyy(mT), m>q jsou jednoznačně určeny koeficienty charakteristického polynomu ak a hodnoty gyy(mT), 0£m£p z toho plyne, že lineární model automaticky definuje hodnoty autokorelační posloupnosti gyy(mT) pro m>q levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz skenování0009.jpg ZÁKLADNÍ VZTAHY MEZI PARAMETRY MODELU A AUTOKORELAČNÍ POSLOUPNOSTÍ AR: levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZÁKLADNÍ VZTAHY MEZI PARAMETRY MODELU A AUTOKORELAČNÍ POSLOUPNOSTÍ MA: skenování0010.jpg levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz AR MODELY þYule – Walkerova metoda þvýpočet odhadu autokorelace ze signálové posloupnosti y(nT) a pomocí tohoto odhadu odhad parametrů AR modelu þužitečnosti: 1)odhad AKF 2)řešení Yule-Walkerových rovnice; 3)odhad výkonové spektrální hustoty levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz AR MODELY þYule – Walkerova metoda skenování0011.jpg levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz AR MODELY þYule – Walkerova metoda þad 2) řešení Yule-Walkerových rovnic þ þLEVINSONŮV – DURBINŮV ALGORITMUS þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz LEVINSONŮV – DURBINŮV ALGORITMUS þefektivní rekurzivní algoritmus výpočtu koeficientů ak, k=1,…,p z Y.-W.rovnic využívající skutečnosti, že autokorelační matice má vlastnosti Toeplicovy matice (T(i,j)=t(i-j)) þ þ þ þpracnost L.-D. algoritmu je O(p2) þpracnost Gaussovy eliminační metody je O(p3) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz LEVINSONŮV – DURBINŮV ALGORITMUS þdopředná lineární predikce þnormální rovnice: þ l=1,2,…,p; ap(0)=1 þ þvýsledná minimální MSE þ þ þrozšířené normální rovnice: þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þvýpočet je rekurzivní, vychází z řešení systému 1. řádu a výsledky pro systém i-tého řádu se odvozují z řešení (i-1). řádu þsystém 1. řádu þ p=1 LEVINSONŮV – DURBINŮV ALGORITMUS levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þsystém 2. řádu þ p=2 þ LEVINSONŮV – DURBINŮV ALGORITMUS levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þsystém 2. řádu (pokračování) þ p=2 þ LEVINSONŮV – DURBINŮV ALGORITMUS levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þobecně: þ LEVINSONŮV – DURBINŮV ALGORITMUS levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þpoznámky + užitečnosti + zajímavosti þL.-D. algoritmus poskytuje odhad parametrů AR systému nejen pro požadovaný řád, nýbrž i pro všechny nižší řády; þjak se správný řád pozná: þsk2 = Ekf se v další iteraci přestane zmenšovat, resp. ap+1(k)=ap(k) pro k=1,2,..,p a tím ap+1(p+1)=0 þ obecně pro proces AR(p) ak(k)=0 a σk2 = σp2 pro k>p LEVINSONŮV – DURBINŮV ALGORITMUS levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þpoznámky + užitečnosti + zajímavosti þparametry {a1(1),a2(2),…, ap(p)} se často nazývají koeficienty reflexe Kk (název souvisí s realizací predikčních algoritmů mřížkovou strukturou); þ pokud {gyy(0), gyy(1), ,…, gyy(p)} je skutečná autokorelační posloupnost, tj. AK matice je pozitivně semidefinitní, pak þ|ak(k)|=|K(k)| £ 1 pro k=1, 2, …,p; þ důsledky: èσk+12 £ σk2, to znamená, že σk2 dosáhne minima právě při správném řádu; ènutnou a postačující podmínkou, aby póly X(z) ležely uvnitř nebo na jednotkové kružnici v rovině z je |K(k)| £ 1 pro k=1, 2, …,p Þ AR systém je stabilní; èje-li |K(k)| = 1 pro některé k, pak je třeba rekurzi ukončit, protože σk2=0 … v tom případě je proces ryze harmonický è þ LEVINSONŮV – DURBINŮV ALGORITMUS levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þpoznámky + užitečnosti + zajímavosti þpokud by byl L.-D. algoritmus implementován pomocí paralelního procesoru s optimálním počtem jednotek, je pracnost algoritmu O(p.log2p); þpři odhadu výkonového spektra harmonických signálů pomocí AR modelu jsou spektrální vrcholy AR spektra úměrné čtverci výkonu harmonických signálů; þplocha pod spektrálními vrcholy výkonové spektrální hustoty je lineárně úměrná výkonu harmonického signálu; þblokové schéma L.-D. algoritmu þ è þ LEVINSONŮV – DURBINŮV ALGORITMUS skenování0012.jpg A JE TO! http://t0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcT7Gbrm3N9DU_Sp5M4iaukCadk65Y1ZLq7g8cVIJtp0Yv3thlQ&t=1&usg= __KUGXfKBeAp3rwKqLyeFVLbjBbkI=