Derivace
Derivace funkce / podle proměnné x se zapisuje jako
df(x) dx
Používají se také označení -J^, /'(#), /', / (poslední z nich se používá ve fyzice pro derivaci podle času).
Derivace funkce je rovněž funkcí. Lze ji tedy vyčíslit v určitém bodě xq (pro určitou hodnotu argumentu).
Pro derivace elementárních funkcí platí následující vztahy:
1.   Derivace konstantní funkce je 0.
dC
—— = C' = 0 (/(x) = C kde C je konstanta).
dx
2.   Derivace polynomiální funkce je polynomiální funkce s nižším stupněm.
^-= (xnY = n ■ x"'1. dx
Příklady:
—— = 2x (n = 2). dx
f(x) = x5,  f'(x) = 5x4 (n = 5).
3.   Derivace funkce sinus je kosinus.
[sin(ax)]' = a ■ cos(ax), kde a G M je konstanta.
4.   Derivace funkce kosinus je minus sinus.
[cos(ax)]' = —a ■ sin(ax), kde a G M je konstanta.
5.   Derivace exponenciální funkce je exponenciální funkce.
[exp(ax)]' = a ■ exp(ax) (= a ■ eax), kde a G M je konstanta.
Dále platí následující obecná pravidla:
1. Derivace součtu dvou funkcí /, g je součet derivací. Derivace rozdílu dvou funkcí je rozdíl derivací.
(f + gy = f' + g' {f-g)' = ť-g-
Například
(x2 + x3)' = 2x + :íx2
2. Derivace funkce / násobené konstantou a je derivace funkce násobená konstantou
[af(x)Y = af'(x), kde a G R jekonstanta.
Například
(5x3)' = 5 • (x3)' = 5 • 3x2 = 15x2
3. Pro derivaci součinu dvou funkcí /, g platí
(f-g)' = f-g + f-g'-
Například
(x ■ sin x)' = x1 ■ sin x + x ■ (sin x)' = sin x + x ■ cos x.
Některé fyzikální veličiny jsou derivací jiných. Zejména rychlost (velikost rychlosti) tělesa je derivací dráhy uražené tělesem podle času
«W = "-f a složky vektoru rychlosti tělesa jsou derivací souřadnic tělesa podle času
K '        dt   '    yK '        dt   '      K '        dt
Podobně zrychlení je derivací rychlosti podle času. Příklad: Pro souřadnice pohybujícího se tělesa platí
x(t) = vo cos(a) • t,
y(t) =Vo+v0 sin(a) • t - -g ■ ť2.
Určete okamžitou rychlost tělesa a velikost okamžité rychlosti.
vx(t) = [x(t)Y = v0 ■ cos(a) Vyit) = [y{t)\' = vo ■ sin(a) - g ■ t
v(t) = ^Jvl +v2y = yjvl - 2v0 ■ sin(a) • g ■ t + (g ■ t)2.
Dále se derivace využívá pro hledání extrémů (minim a maxim) funkce. Má-li funkce / v bodě xq maximum nebo minimum a existuje-li v tomto bodě derivace, pak je tato derivace nulová,
/'(*<))= 0.
Příklad: V jakém bodě má funkce /(#) = x2 exp(-ax) maximum? Spočítáme derivaci.
/'(#) = [x2 exp(—ax)]' = (x2)'exp(—ax) + x2[exp(—01)]' =
= 2xexp(—ax) + x2(—a) exp(-ax) = (2x — ax2) exp(-ax).
(druhá rovnost je podle pravidla o součinu). Z podmínky pro maximum /'(#) = 0 dostaneme x = -. Funkce má tedy maximum pro x = -. Další příklady derivací:
1.
[7x4 + 3cos(2x)]' = 7 • (4x3)+3- [-2sin(2x)] = 28x3 -6sin(2x).
2.
(x2 + 2x + 1)' = 2x + 2 + 0 = 2x + 2.
3.  (x2)' podle pravidla o součinu:
(x )' = (x • x)' =x'-x + x-x' = l-x + x-l = 2x
2