Optika nabitých částic

                                   Poznámky k přednášce – část 2

                                            Michal Lenc


6. Variační úloha

6.1. Obecná formulace

Pro určitost a jisté zjednodušení zvolíme za parametr souřadnici z. To je výhodné u optických
soustav s přímou osou. Problém je popsán akcí


Máme (sčítáme přes index i)


a po integraci per partes


Na skutečné trajektorii je pak


označíme na této trajektorii  a po zavedení hybností



máme


Nyní uvažujme o operátorech poruchy funkčního tvaru  a argumentu , takže celková porucha bude .
Taylorův rozvoj bude



tedy speciálně


Pro záměnu argumentu


Máme tedy



a


Rozepsáním dostáváme


Nyní rozepišme


Po sloučení členů u stejných mocnin máme


kde


a podobně pro vyšší řády


Povšimněme si, že pro libovolné  máme


Působením operátoru  na pak dostáváme


Pro  můžeme integrand na levé straně psát jako  a přejde na tvar


Pro jednotlivé řády poruchové teorie máme





V komplexním značení je



6.2. Paraxiální přiblížení

V paraxiálním přiblížení máme (smysl odlišení indexu aproximace v hranaté a kulaté závorce bude
vidět u přiblížení vyšších řádů)


a tedy po variaci


kde


a paraxiální rovnice je



6.3. Porucha prvního řádu

Pro  pak dosazení z do dává


kde jsme označili



Spočtěme nyní variaci


a porovnejme ji se členem prvního řádu ve výrazu . Dostáváme tak



6.4. Porucha druhého řádu

Jestliže ve vezmeme  a operátor  do prvního řádu, máme


Podle je


kde jsme v analogii k poruše prvního řádu označili


a podle


S využitím pak


Porovnáním člene druhého řádu ve s přírůstkem  spočteným z dostaneme


Ve srovnání s přibyly v poslední dva členy a přirozeně se zvýšil řád poruchových trajektorií.


6.5. Poruchy třetího a čtvrtého řádu

V těchto případech máme


a


kde jsme označili


a


Porovnáním člene třetího řádu ve s přírůstkem  spočteným z dostaneme


Stejně tak porovnáním člene čtvrtého řádu ve s přírůstkem  spočteným z



6.6. Shrnutí výsledků

Především budeme předpokládat, že


Základní člen M je kvadratickou formou v proměnných , takže  působení třetích a vyšších mocnin
operátorů  na M dává nulu. Máme


Pro poruchu prvního řádu je


kde



a


Pro poruchu druhého řádu je


kde


a



Pro poruchy třetího a čtvrtého řádu budeme potřebovat výrazy


pro poruchu čtvrtého řádu je např.


Poslední potřebný výraz pro poruchu čtvrtého řádu je


Pro poruchu třetího řádu je


kde


a




Pro poruchu čtvrtého řádu je


kde


a