Komplexní čísla
Při řešení kvadratické rovnice ax2
+ bx + c = 0 rozhoduje o počtu řešení diskriminant
D = b2
−4ac. Řešíme-li rovnici v množině reálných čísel, pak v případě D < 0 tato rovnice
nemá řešení. Z mnoha d˚uvod˚u má ale smysl řešit kvadratickou rovnici i v tomto případě.
Uvažujme speciální případ kvadratické rovnice
x2
+ 1 = 0,
hledáme tedy číslo x, pro které platí x2
= −1. Takové reálné číslo neexistuje, definujeme
proto “nové” číslo i, pro které platí
i2
= −1.
Řešením rovnice x2
+ 1 = 0 jsou pak čísla ±i.
Podobně např. rovnice x2
+ 9 = 0 má zřejmě řešení ±3i. Platí totiž
(3i)2
= 9i2
= 9 · (−1) = −9 a také (−3i)2
= (−3)2
· i2
= 9i2
= −9.
Číslu i, pro které platí i2
= −1, říkáme imaginární jednotka. Výraz a + bi, kde a,
b jsou reálná čísla, pak nazýváme komplexním číslem. V komplexním čísle a + bi se
číslo a nazývá reálná část a číslo b imaginární část. Zápis komplexního čísla z = a+bi
nazýváme algebraický tvar komplexního čísla z. Čísla a+bi, kde a = 0, nazýváme ryze
imaginární.
Pro libovolná dvě komplexní čísla a + bi a c + di definujeme součet po složkách
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Násobíme-li komplexní čísla a+bi a c+di jako dvojčleny s ohledem na to, že i2
= −1,
dostaneme
(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bic + bdi2
= ac + (ad + bc)i − bd = (ac − bd) + (ad + bc)i.
Komplexním číslem sdruženým k číslu a + bi nazýváme číslo
¯z = a − bi.
Absolutní hodnotu komplexního čísla z = a + bi definujeme jako nezáporné reálné
číslo
|z| =
√
a2 + b2.
1
Řešení kvadratické rovnice v komplexním oboru
Vraťme se nyní k řešení kvadratické rovnice ax2
+bx+c = 0 v situaci, kdy D = b2
−4ac < 0.
V tomto případě kořeny rovnice vypočteme ze vzorc˚u
x1 =
−b + i
√
−D
2a
, x2 =
−b − i
√
−D
2a
.
Vidíme, že kořeny jsou vždy komplexní čísla sdružená.
Příklady
Příklad 1: Řešte kvadratickou rovnici x2
− 4x + 5.
Diskriminant rovnice D = −4. Kořeny rovnice jsou tedy
x1 =
4 + i
√
4
2
= 2 + i, x2 =
4 − i
√
4
2
= 2 − i.
Příklad 2: Řešte kvadratickou rovnici x2
+ 5 = 0.
Diskriminant rovnice je D = −20. Protože
√
20 =
√
4 · 5 = 2
√
5 dostáváme
x1 =
0 + i2
√
5
2
=
√
5i, x2 =
−i2
√
5
2
= −
√
5i.
Tento příklad bychom ale spíše řešili prostou úvahou, kdy pro d < 0 bereme
√
d = i
√
−d.
Protože řešíme rovnici x2
= −5, pak řešením jsou ±
√
−5, tedy ±i
√
5.
Příklad 3: Najděte příklad kvadratické rovnice, která má kořeny x1 = 1 + i a x2 = 1 − i.
Předpokládejme řešení ve tvaru x2
+ px + q = 0. Podle Vi`etových vzorc˚u
x1 + x2 = −p, x1 · x2 = q
dostáváme
p = − [(1 + i) + (1 − i)] = −2, (1 + i) · (1 − i) = 1 − i2
= 2.
Příkladem kvadratické rovnice s kořeny 1 + i a 1 − i je tedy rovnice
x2
− 2x + 2 = 0.
2