Domácí úkoly ke cvičení č. 10
1. Necht' lineární zobrazení (/? vektorového prostoru (R3, +, •) do vektorového prostoru (R4, +, •) je zadáno tak, Ze pro vektory baze a = (fi, f2, f3) vektoroveho prostoru (R3, +, •), kde
fi = (1,1, 2), f2 = (2,1,1), f3 = (1, 2,1),
jsou stanoveny jejich obrazy
^(fi) = (1,1, 2,4), ^(f2) = (1, 3,3, 3), p(f3) = (1, 5,4, 2).
Necht' dále lineární zobrazení V vektoroveho prostoru (R4, +, •) do vektoroveho prostoru (R5, +, •) je zadano tak, ze pro vektory baze P = (g1, g2, g3, g4) vektoroveho prostoru (R4, +, •), kde
gi = (1,0, -1, 2), g2 = (2,1,0,-1), g3 = (1, -2, -1, 0),
g4 = (0,1, -2, -1),
jsou stanoveny jejich obrazy
V(gi) = (1,1,1, 3,3), V(g2) = (1, 3,3,1,1),
V(g3) = (1,4, 2,1, 4), V(g4) = (2,3, 5,4,1).
Uvazte slozene lineární zobrazení V o ^ vektoroveho prostoru (R3, +, •) do vektoroveho prostoru (R5, +, •). Najdete matici G typu 5/3 nad R takovou, aby pro libovolná vektor x2, x3) G R3 a pro jeho obraz V(^((xi, x2, x3))) G R5 pri slozenem lineárním zobrazení V ◦ (/?, V(^((xi, x2, x3))) = (zi,z2,z3,z4,z5) platilo
fzi\		
		
	= G •	
		
W		
1
2. Nechť lineární transformace rj vektorového prostoru (M4, +, •) je zadána tak, že pro vektory báze 9 = (hi, h2, h3, h4) vektoroveho prostoru (M4, +, •), kde
hi = (1,1,1,1), h2 = (1,1,1, 2), ha = (1, 2, 2,3), h4 = (1, 3,4, 4),
jsou stanoveny jejich obrazy
r(hi) = (1, 2, 2, 2), 77(112) = (1, 2,3, 5), 77(113) = (1, 2,3,6),
77(h4) = (1, 3, 5, 7).
Rozhodnete, zda linearní transformace 77 je linearním izomorfis-mem vektoroveho prostoru (M4, +, •) s ním samotným. Je-li tomu tak, pak uvazte inverzní linearní transformaci 77"1 vektoroveho prostoru (M4, +, •). V tom prípade potom najdete Čtvercovou matici H radu 4 nad M s tou vlastností, ze pro libovolná vektor (yi,y2,ya,y4) e m4 a pro jeho.jexinty vzor 7T1((yi,y2,y3,y4)) e m4
vzhledem k zadaníe lineíarníí transformaci 7 bude pri oznaceníí
7T1((y1,y2,y3,y4)) = (r1,r2,r3,r4) platit
		(V1\
	= H •	
		
\r4^		\y4y
2