Domácí úkoly ke cvičení č. 11
M4 je lineárním zobrazením vekto-
4
■5    1   1 Ji
3 +,
1. Necht' zobrazení n : M3 -
roveho prostoru (M3, +, •) do vektoroveho prostoru (M4, +, •), které
5    '   5 /5
má vzhledem k bázi a = (si, S2, S3) vektorového prostoru kde
si = (1, 2,3), S2 = (3, 7,8), S3 = (4,9,10),
á vzhledem k bázi t = (ti, t2, t3, t4) vektorového prostoru (R4, +, •), kde
ti = (1, 1, 1, -1), t2 = (1, 1, -1, -1), t3 =(1, -1, -1, 1),
1, "I, 1, "I
matici
(n)
(2	1	1
2	2	1
1	2	2
1	3	5J
Najdete matici Q typu 4/3 nad M takovou, aby pro libovolný vektor (xi,x2,x3) G M3 a pro jeho obraz n((xi, x2, x3)) G M4, n((xi,X2,X3)) = (2/1,2/2,2/3,2/4) platilo
///A
V/4/
x1
= Q •  I X2
2. Necht' A : R3 —> R3 je lineární transformací vektoroveho prostoru (R3, +, •) májící vzhledem k bázi 7 = (gi, g2, g3) vektoroveho prostoru (R3, +, •), kde
gi = (1,1, 2), g2 = (1,0,1), g3 = (2,1,1),
mátici
A   = l\ - -1
111
1
Nechť /i : R3 — R4 je lineárním zobrazením vekťoroveho prosťoru (R3, +, •) do vekťoroveho prosťoru (R4, +, •), kťeré je na vekťorech sťandardní báze v = (ci, c2, c3) vekťoroveho prosťoru (R3, +, •) zadáno obrazy ťechťo vekťoru
/(ci) = (1, 2,-1,-2), M(c2)
(1,-2,-1, 2),
/i^) = (2,-1,-2, r
Zjisťeťe, zda váSe uvedena linearní ťransformace A vekťoroveho prosťoru (R3, +, •) je linearním izomorfismem. Je-li ťomu ťak, pak uvazťe inverzní linearní ťransformaci A-1 vekťoroveho prosťoru (R3, +, •) a slozene linearní zobrazení / o A-1 : R3 — R4 vekťoroveho prosťoru (R3, +, •) do vekťoroveho prosťoru (R4, +, •). V ťom prípade poťom najdeťe maťici C ťypu 4/3 nad R mající ťu vlasť-nosť, ze pro libovolní vekťor (x1,x2,x3) G R3 a pro jeho obraz /(A-1((x1, x2, x3))) G R4 pri slozenem lineírním zobrazení / o A-1, /(A-1((x1, x2, x3))) =      z2, z3, z4) bude plaťiť
W
=C
3. Nechť' (/? : R3 — R4 je linearním zobrazením vekťoroveho prosťoru (R3, +, •) do vekťoroveho prosťoru (R4, +, •), kťere je na vekťorech baze ? = (f1, f2, f3) vekťoroveho prosťoru (R3, +, •), kde
f1 = (2,1,3), f2 = (3, 2,4), f3 = (1,3, -2)
zadano obrazy ťechťo vekťoru
P(f1) = (1, 1,-1,-1), ^(f2)=(1,-1, 1, -1),
p(f3 ) = (1,-1,-1, 1).
Nechť' ^ : R4 — R3 je linearním zobrazením vekťoroveho prosťoru (R4, +, •) do vekťoroveho prosťoru (R3, +, •), kťere je na vekťorech
2
standardní báze e = (ei, e2, e3,64) vektorového prostoru (M4, +, •) zadáno obrazy téchto vektoru
^(ei) = (1,0, -1), V(e2) = (1, -1, 0), ^(e3) = (0,1, -1),
^(e4) = (l, 1,1).
Zjistěte, zda složené lineární zobrazení, tedy lineární transformace ^ o : R3 —> R3 vektoroveho prostoru (R3, +, •) je linearním izomorfismem. Je-li tomu tak, potom uvažte inverzní linearní transformaci o vektoroveho prostoru (R3, +, •). V tom prípade pak najdete Čtvercovou matici D rídu 3 nad R takovou, ze pro libovolní vektor (yi,y2,y3) G R3 a pro jeho jediní vzor oy2, y3)) G R3 vzhledem k víse zmínene lineímí transformaci ^ o ((? vektoroveho prostoru (R3, +, •) bude pri oznacení
(V> o ^)-i((yi,y2,y3)) = (ri,r2,r3) platit
= D
3