Domácí úkoly ke cvičení č. 9
1. Necht zobrazení n : R3 — R4 je lineárním zobrazením vektorového prostoru (R3, +, •) do vektoroveho prostoru (R4, +, •), ktere je zadáno predpisem: pro kazde x G R3, x = (xi,x2,x3), je n(x) = y, kde y = (2/1,2/2,2/3,2/4) se vypoCte podle formule
(Vi\		n	2	3
		2	3	-1
		3	4	-5
W		\4	5	-9j
Najdete matici linearního zobrazení n v bázích 7 = (f1, f2, f3)
vektorovíeho prostoru (R prostoru (R4, +, •), kde
fi = (1,3,1), f2 = (2, 5,1), f3 = (3, -7,1),
+, •) a ô = (gi, g2, g3, g4) vektoroveho
gi = (1, -1, 2,1), g2 = (0,1,-1, 2), g3 =(0,0,1, -1), g4 = (0,0,0,1).
2. V obou nasledujících prípadech najdete ve vektorovem prostoru (R5, +, •) matici prechodu od bíze a = (úi, ú2, ú3, ú4, ú5) k bazi P = (vi, v2, v3, v4, v5) tohoto vektoroveho prostoru.
a)   úi = (1,0,0,0,1), vi = (1,1, 2, 2, 2),
ú2 = (1, 1, 0, 0, 0), v2 = (2, 1, 1, 2, 2)
ú3 = (0, 1, 1, 0, 0), v3 = (2, 2, 1, 1, 2),
ú4 = (0, 0, 1, 1, 0), v4 = (2, 2, 2, 1, 1),
ú5 = (0, 0, 0, 1, 1), v5 = (1, 2, 2, 2, 1),
1
b) m = (-i, i, i, i,-i) u2 = (-i, -i, i, i, i) ma = (i,-i,-i, i, i)
U4 =(i, i, -i, -i, i) U5 =(i, i, i,-i,-i)
Vi =	(2, 2	-i	-i	-i)
V2 =	(-i,	2, 2,	-i	-i)
V3 =	(-i,	-i,	2, 2	-i)
V4 =	(-i,	-i,	-i,	2, 2)
V5 =	(2, -	i, -	i,-	i, 2)
3. Necht' zobrazení £ :
R4 je lineárním zobrazením vekto-
rového prostoru (R5, +, •) do vektoroveho prostoru (R4, +, •), kte-
re je na vektorech baze x = (h1, h2, h3, h4, h5) vektoroveho prostoru (R5, +, •), kde
hi = (i,        2,-i), h2 = (-i, i,        2), ha = (2,-i, i,
h4 = (-i, 2,-i, i, i), h5 = (i,-i, 2,-i, i),
zadano obrazy techto vektoru
£ (hi) = (i, i, i, i), £ (h2) = (i, i, 2,3), £ (ha) = (i, 2,3, 5),
£(h4) = (2,3,3,4),£ (h5) = (3,3,5,7).
Pomocí matice prechodu od baze x ke standardní bazi vektoroveho prostoru (R5, +, •) najdete matici B typu 4/5 nad R takovou, aby pro libovolný vektor      x2, x3, x4, x5) G R5 a pro jeho obraz
£((Xi,X2,X3,X4,X5))   G  R4, £((xi,X2,X3,X4,X5))  =  ('i ,'2,'3,'4 )
platilo
/Vi\
y2      = B • X3
2